R S T. bg b g bg 19/10/2015. domaine borné et multiplement connexe. * Domaine simplement connexe. * Domaine multiplement connexe

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Silje Ravn
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1 9//5 Epessios des foctios ϕ( ) et ψ ( ) das u doaie boé et ultipleet coee Doaie sipleet coee C C D D Doaie ultipleet coee C C + C C D C L C C Doaie doubleet coee Doaie ultipleet coee - Le chap des cotaites est solutio de + = e Φ + i = Φ' + Ψ ch d i - L uifoité de la solutio ipose su tout cotou feé C de D eφ C = = - Cette coditio est satisfaite si o ped Φ() de la foe : Φ = Α log + Φ avec, les poits situés à l'itéieu de C et Φ ( ) uifoe das D _ coee Véificatio su la coube feée L avec - =e i C + C C Φ = πiα e Φ = L L L C C Doaie ultipleet coee 9

2 9//5 Φ = Α logb g + Φ avec Φ() = ϕ'() = = Φ d = C logb g + foctio uifoe das D = ϕ = Φ d + cste = Α log + Φ d + cste ϕ ( ) = Α log ( ) + ( C ) log ( ) ( ) = = + foctio uifoe das D = ialeet ϕ = Α + γ log + ϕ avec γ = bc g C ϕ = b g + f. u. = + = e Φ + i = Φ' + Ψ ch d i avec Ψ() = ψ '() - La coditio d uifoité de la solutio ipose Ψ() uifoe, c.a.d. ψ() de la foe : ' = ψ = γ log + ψ avec ψ Coséqueces su le chap des déplaceets? d i di di ' γ C uifoe das D λ + 3µ µ U + iu = κ ϕ ϕ ' ψ avec κ = e DP λ + µ ϕ( ) = πi( Α + γ ) ( ) [ ] ( ) L L ϕ' = Φ ( ) = π i Α ϕ ' = π i Α L ( ) µ U + iu = πi κ + γ + + γ ' L ( ) µ U + iu = π i κ + Α + κγ + γ ' L = ϕ = Α + γ log + ϕ L Α = κγ + γ ' =, ψ ψ ( ) = L πiγ ( ) = L πiγ

3 9//5 Calcul de la ésultate du toseu des effots su L C C C + ésultate des effots su L X + iy = i ϕ + ϕ ' + ψ di di L L C C oietée ves l'itéieu du cotou + = X ' iy i π iγ π iγ ' X + iy = πdγ γ i Α chageet de sige = κγ + γ ' = Doaie ultipleet coee X + iy γ = π + κ X iy ' γ J = κ π + κ ialeet, les epessios de ϕ() et ψ() seot : ϕ = X + iy log + ϕ π + κ = κ ψ = X iy ψ πb κg b glogb g + + = Epessios des foctios ϕ( ) et ψ ( ) das u doaie ifii et ultipleet coee O se place à l etéieu d u cecle C de ao tès gad tel que :, < < log = log + log log K J = H G K J + X + iy ϕ = log + ϕ π + κ κ X iy ψ b g = log + ψ π + κ uifoe das ( D-C ) avec Développeet e séie de Lauet ϕ = X + iy log + ϕ π + κ = κ ψ = X iy ψ πb κg b glogb g + + = ϕ et ψ uifoes das D - C X = X et Y = Y ϕ ψ = a ' = a

4 9//5 + = ϕ ' + ϕ ' + i = ϕ '' + ψ ' e di d i X + iy ϕ = log + ϕ π + κ κ X iy ψ b g = log + ψ π + κ avec ϕ = ψ = a ' a Les cotaites doivet este fiies à l ifii L N M X + iy X iy + = π + κ π + κ a e + i = ϕ '' + ψ ' i + + ϕ '' boée ψ ' boée a' = pou d a O Q P = e a + a = a = a = pou L epessio fiale des foctios ϕ() et ψ() est doc : X + iy ϕ = log + Γ + ϕ πb κg + X iy ψ = κ log + Γ ' + ψ π + κ avec d d Γ = B ϕ = + + et Γ' = B' + ic' d' d' ψ = + + Calcul des éels B, B et C e foctio du chageet à l ifii α α α ϕ + = Li e ' = = B B = + Γ B d i ' = + i = Li ϕ '' + ψ ' = ' d i d i Γ C' = - E foctio des cotaites o picipales - E foctio des cotaites picipales ϕ + = e ' = Γ = B B = + i i = e Lid ϕ '' + ψ ' i = e Γ' Γ' = c he α α i α c h

5 9//5 pplicatio : plaque copotat u petit tou ciculaie de ao u voisiage du tou coodoées polaies X + iy d d ϕ = log + Γ πb + κg X iy d' d' ψ = κ log + Γ ' π + κ ' ' + = ϕ + ϕ i + i = e ϕ'' + ψ ' X + iy d d Φ = + Γ + 3 πb + κg X iy d' d' Ψ = κ + Γ' + 3 π + κ X + iy Φ ( ) = a avec a = Γ, a =, a = d π ( + κ ) X iy Ψ ( ) = a ' avec a ' = Γ ', a ' = κ = κa, a ' = d ' π ( + κ ) di i - u le tou (=) o a : i = Φ + Φ e Φ ' + Ψ = e avec = e i i i = + a e a e a e a' a' i i i i i + e + ' e + - i le chageet su le tou (=) est cou, le tee de gauche est cou i = Α e i a' a' ( = ) Α = a + a = a a = a = avec Γ i a a ' ees e e Α = avec a ' = κ a ees e e i ees e i a e Α = a ' avec a ' = Γ ' a i pou 3 Α = ees e e pou a a + + ' = Α + a = Γ ; a' = Γ' ; a' = Γ Α ; a = + Γ ' Α a = ; a' = κ + κ + κ + a = ( pou 3) ; a' = + a Α ( pou ) + d i 3

6 9//5 Eeple : chageet de tactio siple - Coditios Liites (CL) à l ifii - CL su le tou (tou libe) = = Α = = = = d i C' = B = + d i B' = B = Γ = B' = Γ' = a = Γ ; a' = Γ' ; a' = Γ Α ; a = + Γ ' Α a = ; a' = κ + κ + κ + a = ( pou 3) ; a' = + a Α ( pou ) + d i a = Γ =, a' = Γ ' =, a' = a = a = Γ ' =, a' = Γ =, a3 = a = a ' 3 = 3 a ' = ( + ) a a ' = - Déteiatio des foctios ϕ() et ψ() a =, a' =, a' = a = ' a =, a' =, a3 = a3 = a = 3 a ' = Φ = Ψ 3 = + ϕ = + ψ = Calcul des cotaites au voisiage du tou + = e Φ i + i = e Φ' + Ψ c h d i = cos = cos = + 3 si u bod du tou =, o a alos = = a Le coefficiet de cocetatio des cotaites K a π Τ = = 3 = = = 3

7 9//5 - Calcul du chap des déplaceets di di i e du + iu i = µ κ ϕ ϕ ' ψ ϕ = + ψ = + 3 u = κ + + κ + + cos 8µ u L NM U V W = κ + + si µ O QP U V W Eeple : chageet de tactio équibiaiale - Coditios Liites (CL) à l ifii - CL su le tou (tou libe) = = Α = = = = d i C' = B = + d i B' = Γ = B = B' = C' = Γ ' = a = Γ ; a' = Γ' ; a' = Γ Α ; a = + Γ ' Α a = ; a' = κ + κ + κ + a = ( pou 3) ; a' + = b + ga Α ( pou ) d i a = Γ =, a' = Γ' =, a = a' = a = Γ' =, a' = Γ =, a' = a =, = a ' = + a = 3 3 5

8 9//5 - Déteiatio des foctios ϕ() et ψ() a =, a' = a' = a = a' = a = a' = a = a ' = = 3 3 Φ =, Ψ = ϕ =, ψ = - Calcul des cotaites au voisiage du tou + = e Φ i + i = e Φ' + Ψ c h d i = = + et = a = = u bod du tou =, o a alos K a Τ = = = Eeple 3 : ou sous pessio hdostatique P P - Coditios Liites (CL) à l ifii = = = Γ = Γ ' = - CL su le tou = P, = = P et = Φ = d' où ϕ = Ψ i = Α e i P = d' où ψ = a = Γ ; a' = Γ' ; a' = Γ Α ; a = + Γ ' Α a = ; a' = κ + κ + κ + a = ( pou 3) ; a' = + a Α ( pou ) + P u a' = P d i a = a' = a = a' = a = a' = a = a ' = = 3 3 P P = ; = ; = P = ; u = µ 6

9 9//5 Eeple : ou souis à u cisailleet τ τ - Coditios Liites (CL) à l ifii = = = Γ = Γ ' = - CL su le tou i = Α e =, = τ = iτ et = Φ = d' où ϕ = Ψ i = iτ iτ d' où ψ = a = Γ ; a' = Γ' ; a' = Γ Α ; a = + Γ ' Α a = ; a' = κ + κ + κ + a = ( pou 3) ; a' = + a Α ( pou ) + a' = iτ d i a = a' = a = a' = a = a' = a = a ' = = 3 3 = = ; = τ τ u = ; u = µ oules de Neube Calculs patiques du facteu de cocetatio de cotaite K t Les foules de Neube sot tès utilisées pou calcule le facteu de cocetatio des cotaites das des éléets de stuctues tels que des abes ou des plaques avec goge et/ou épauleet 7

10 9//5 oules de Neube K t = + + ak p bk q où K p d = + et K q = D d Les coefficiets a et b ot pou valeus selo l éléet de stuctue et le tpe de sollicitatio : a- be avec goge sei ciculaie actio : a =,97 b =,87 leio : a =,75 b = osio : a =,365 b = b- be avec épauleet siple actio : a =,88 b =,83 leio : a =,5 b =,83 osio : a =,63 b =,83 c- be avec double épauleet i L > d, êe valeus de a et b que le cas pécédet io ( L < d ), êes valeu de a et b ais e eplaçat das la elatio [.5] D pa u diaète équivalet, D eq, doé pa : D = d +,3L eq U abe épaulé de diaètes D =, d = 6 et de ao de cogé = 5, est souis à ue tactio de foce cobiée à ue fleio de oet M f et à ue tosio de oet M t. Cet abe est e acie de liite d élasticité E = 3 MPa. - déteie pou chaque chageet, le coefficiet de cocetatio de cotaite à l aide des foules de Neube. - l abe est souis à ue foce =5 N, à u oet de fleio M f =.dan et à u oet de tosio M t =5.daN ; calcule la cotaite équivalete au ses de Vo-Mises que l o copaea à la liite d élasticité 3- les chageets e tactio et tosio état fiés au valeus doées e - quelle est la valeu de M f à e pas dépasse pou que l abe e se plastifie pas? - le ao du cogé de accodeet est diiué à. L abe se plastifiea-til si o applique les chageets de -? et M f état fiés, quelle est la valeu de M t à e pas dépasse si o veut évite ue plastificatio de l abe? L abe est à goge à fod ciculaie de diaètes D =, d = 6, de ao à fod de goge = 5 et souis au êes chageets. Mêes questios, et 3 8

11 9//5 = 3MPa E 9

12 9//5 = 3MPa E pplicatios du facteu K t Calculs des cotaites ésiduelles l coviet avat tout de pécise la sigificatio de «cotaites ésiduelles». Celles-ci se éféet à ue distibutio de cotaites pésete das ue stuctue, u coposat de stuctue, ue plaque e dehos de toute applicatio d u quelcoque chageet etéieu : les cotaites ésiduelles sot pafois appelées cotaites itees. Cepedat, o utilise plus souvet le tee de cotaites ésiduelles ca leu pésece das u coposat de stuctue fait féqueet suite à ue défoatio plastique ihoogèe du atéiau. E l absece de chageet, l équilibe des foces et des oets ipose Æ t / t / d = t / t / d =

9//5 Eeples de plaques touées chagées e tactio - + Cotaites ésiduelles apès déchage a Kt o i a E alos a = Kt o et ε a = = = Ktε o E E Hpothèse de Neube io a < Kt o et ε a > Ktε o K Kε = K t ε

13 9//5 Eeples de plaques touées chagées e tactio - + Cotaites ésiduelles apès déchage a Kt o i a E alos a = Kt o et ε a = = = Ktε o E E Hpothèse de Neube io a < Kt o et ε a > Ktε o K Kε = K t ε = ε a a K t o o Loi de copoteet = E ( ε ε ) E p E E 3 u poit = 3 + ( ε ) E ( K ) E ( K ) t o t o 3 HN ε = = 3 + ( ) E E E i 85 5 = = 33, 6MPa = K = 76, MPa es t o es K = =,6 o K t K Kε = = 3,86

14 9//5 E 3 u poit = 3 + ( ε ) E ( K ) 3 E t o HN = 3 + ( ) E E i a) K = et = MPa t o 85 8 = = 3, 7MPa = K = 89, 6MPa es t o es K = =,55 o K t K Kε = =,57 a) K = 3 et = MPa t o 85 8 = = 338, MPa = K = 6, 78MPa es t o es K = =,69 o K t K Kε = = 5,3 Le cous OP5 de la seaie 3 aua lieu le eudi Octobe 5 de h à h phi ENM

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