A4: Introduction to Cosmology. Forelæsning 2 (kap. 4-5): Kosmisk Dynamik
|
|
- Lærke Andresen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 A4: Introduction to Cosmology Forelæsning (kap. 4-5): Kosmisk Dynamik 1-komponent modeller
2 Robertson-Walker metrikken ds = c dt² a t [ Metrik med medfølgende koordinater (x,θ,φ), x= S κ (r) i den rumlige sektor a(t): Skala faktor t : Proper tid R : Krumningsradius κ : Krumningskonstant dx 1 x / R x d ]
3 Robertson-Walker metrikken Hvis Universet er perfekt homogent og isotropt er de medfølgende koordinater konstante i tiden kun lokale perturbationer ændrer dem (pekuliær bevægelse) Universets fortid, nutid og fremtid styres af a(t), κ og R hvordan ses dag. (beregning af a(t) for en given model )
4 Metrikafstand og rødforskydning Med x som radial koordinat: Skalafaktor og rødforskydning: = = = + = = 1) ( ) / ( sinh ) ( ) ( ) ( 1) ( ) / ( sin ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 κ κ κ R x R t a x t a R x R t a x r t a t d p ) ( 1 ) ( ) ( 1 e t e a t a t a z = = +
5 Bånd på krumningsradius Trekant: α + β + γ = π + Mål vinkler κ Mål areal R Umuligt! κa R Hvis positivt krummet: R c/h (ellers multiple billeder) C = πr Multiple billeder for C < ct ~ c/h
6 Outline for 1. time Friedmann-ligningen (Einstein og Newton) Accelerations-ligningen Tilstandsligningen Den kosmologiske konstant
7 Poissons ligning Relation mellem tyngdepotentialet og massefylden i et punkt i rummet x' x 3 Φ = Φ = F = G ρ( x') d x' = 4πGρ 3 x' x Gradient i potentialet acceleration Einstein: relation mellem metrikken og stress-energi tæthed i rumtiden
8 Friedmann-ligningen (Newton) En ekspanderende sfære F=G M s m d R s dt R s = G M s R s Newtons. lov Gang med dr S /dt på begge sider og integrer 1 { dr } s = G M s U dt R s E kin = -E pot
9 Friedmann-ligningen (Newton) 1 { dr } s = G M s U dt R s R s t =a t r s M s = 4 3 t R s t 3 1 r a = 4 s 3 G r t a t U s Divider med r s a / } = 8 G {ȧ a 3 t U r s 1 U > : always expanding. U = : t, ρ, a a t GM s U < : amax = (4.5) Ur s
10 Friedmann-ligningen I (Einstein) G = 8 G c 4 T g G =R g R/ Einsteins feltligning! Einstein tensoren. Består af kontraktioner af Riemann krumningstensoren. Geometri g T Metrikken Stress-energi tensoren. Bestemt af masse, energi og tryk. Den kosmologiske konstant (T for vakuum)
11 Friedmann-ligningen II (Einstein) G = 8 G c 4 T g For et homogent isotropisk Univers: T = p/c v v p g v= c,,, g = c g =a t x g 11 = a t 1 x / R g 33 =a t x sin
12 Friedmann-ligningen (Einstein vs. Newton) } = 8 G {ȧ a 3c t c R 1 a t 3 Fejl i bogen! ρ ε/c E= m c 4 p c U κ U r s κc = R E mc nonrel 1 v /c 1/ mc 1 mv E rel = pc=hf {ȧ a } = 8 G 3 t U r s 1 a t Λ
13 Hubble parameter Vi kan omskrive Friedmann-ligningen, så der indgår observerbare størrelser v=h t d t (Hubble parameteren) H t = 8 G 3c t c R 1 a t 3 Idag: H =H t = ȧ a t=t (Hubble konstanten) H = 8 G 3c c R (Uden kosmol. konstant)
14 Nedre grænse på krumningsradius Friedmann-ligningen: H = 8 G 3c c R Mål H og ε κ/r Negativt krummet univers: ε = R = c/h =43 ± 4 Mpc (Hubble radius ) ε > R > c/h
15 Tæthedsparameteren Friedmann-ligningen {ȧ a } = 8 G 3c t c R 1 a t Kritisk tæthed (κ = ) 3c ε c( t) = H( t) 8πG 3c ε c ε c,( t) = H ρ c, = 8πG c Definition af tæthedsparameteren: Ω( t) ε( t) ( t) ε c,
16 Tæthedsparameteren Omskriv Friedmann-ligningen Udtrykt ved H, Ω, κ/r ) ( 8 3 ) ( t H G c t c π ε = ) ( ) ( ) ( t t t ε c ε Ω ) ( ) ( ) ( 1 t H t a R c t κ = Ω 1 H R κc = Ω ) 1 ( Ω = c H R κ ) ( ) ( 3 8 ) ( t a R c t c G t H κ ε π = Mål Ω κ Mål H /c R
17 Hydro-ligningen Adiabatisk ekspansion (dq=ds=) dq=de PdV Ė P V = Betragt en sfære med comoving radius r V t = 4 3 r 3 a t 3 V = 4 3 r 3 3 a ȧ =V 3 ȧ a E t =V t t Ė=V V =V 3 ȧ a => V 3 ȧ => a 3 ȧ a P = 3 ȧ a P =
18 Accelerations-ligningen Friedmann-ligningen: Differentier: Divider med aa: ȧ ä= 8 G 3c. ȧ t = 8 G 3c a c R a 3 ȧ a a ȧ a 3 ȧ a 3 ä a = 4 G 3 c Brug Hydro-ligningen: ȧ a = 3 P ä a = 4 G 3 P 3 c 3
19 Tilstandsligningen Non-relativistisk materie ( støv ) P= kt P= kt P c c Relativistisk materie ( stråling ) 3 k T = v v 3 c 1 P= 1 3 =1 3
20 Bånd på ω Acceleration: 1/3 ä a = 4 G 3c 3 P 3 Lyd hastighed: c s =c dp d c s = c 1 Øvre grænse Stråling Støv Mørk energi Λ ω 1 1/3 < 1/3 1
21 Den kosmologiske konstant Først introduceret af Einstein for at tillade statiske løsninger til feltligningen Newtonsk analogi: Statisk: a= = = 1 4 G = Løsning: for =4 G. Statisk Univers = 4 G
22 Mørk Energi Friedmann-ligningen ȧ a = 8 G 3c t c R Hydro-ligningen 3 ȧ a P = Accelerations-ligningen ä a = 4 G 3 c 3 P 3 1 a t 3 = c 8 G ε Λ konstant => P =
23 Einsteins statiske model Accelerations-ligningen, kun støv ä G = 4 3 P => a 3c 3 = = 4 G 3 3 Friedmann-ligningen, kun støv = 8 G 3 R = c R 3 c G = c =4 G c R Men ustabilt!
24 Vakuum energi Den fysiske årsag til Λ er en energiform med konstant energitæthed under Universets ekspansion Spontan dannelse og annihilation af partikel antipartikel par (jvf. Casimir) E t h Den associerede vakuumenergi er uafhængig af Universets ekspansion, men: vac E P l P ev m c!!!
25 A4: Introduction to Cosmology. time: Løsninger til de kosmologiske ligninger 1-komponent modeller
26 Kosmologiske ligninger Friedmann-ligningen ȧ a = 8 G 3c t c R Hydro-ligningen 3 ȧ a P = Tilstandsligningen P= a t 3 Givet begyndelsesbetingelser The Devil hides in the detail 1 løs for ε(t), P(t), a(t)
27 Tilstandsligningen Flere komponenter Heldigvis = P= P = Ingen vekselvirking mellem komponenter 3 ȧ a P = Komponent Øvre grænse stråling støv mørk energi Λ ω 1 1/3 < 1/3 1
28 Udviklingen af energitætheden Omarranger hydro-ligningen 3 ȧ a 1 = d = 3 da a 1 3 ȧ a P = dln = 3 dln a 1, P = a =, a 3 1 a =1
29 Udvikling af energitætheden Energitætheden af enkelt komponent a =, a 3 1 Λ alene, ω =-1 a =, Støv alene, ω = m a = m, /a 3 Radiation only, ω =1/3 r a = r, /a 4 Dermed må ε > ε r m i fortiden og på et senere tidspunkt dominerer Λ, ε Λ > ε m, ε r
30 Støv vs. stråling For begge komponenter: =n E n: Antalstæthed af partikler E: Middelenergi af partikler Antalsbevarelse: Støv: Stråling: n a 3 E=m c, nmc a 3 E=hc/, r =n h c/ a 3 a 1 a 4
31 Antalsbevarelse af fotoner? Fotoner dannes og forsvinder hele tiden! Men betyder det noget for regnskabet? Energitæthed af CMB CMB = T 4 = J m 3 Energitæthed af stjernelys star n L t 1 8 L Sol Mpc 3 14Gyr J m 3 IR-UV målinger af baggrundsstrålingen OK at ignorere ε star star / CMB.1
32 Hauser & Dwek, ARA&A, 1
33 Den Kosmiske neutrinobaggrund Analog til CMB: Da Universet var hedt og tæt nok, var det optisk tykt for neutrinoer T>T freeze = K, t freeze =1s Middelenergi per neutrino (næsten masseløs) E ν = ev / a(t) Energitæthed per neutrino (e, µ, τ) ε ν. 3 ε CMB Når E ν < mc : overgang fra stråling til støv De kosmologiske neutrinoer er endnu ikke observeret...
34 Tæthedsparameteren for baggrundsstråling CMB energitæthed CMB, = CMB, c, Alle 3 neutrino typer, = = Total for stråling r, = CMB,, /3 CMB,.681 CMB,
35 Tæthedsparameteren i Benchmark modellen Kosmologisk konstant Støv,.7 m,.3 Stråling: r, Status idag: Λ dominerer over støv som dominerer over stråling.
36 Udviklingen af tæthedsparameterne a Kosmologisk konstant vs. støv: ε ε ( a) ε Λ Λ, = = 3 m ( a) εm, / a Λ støv ligevægt (equality) Λm ε = ε m, Λ, 1 3 Først fornyligt er Λ begyndt at dominere! Ω = Ω ε ε m, Λ, Λ, m, 1 3 a =.75 1 z= 1 a m z=.33
37 Udviklingen af tæthedsparameterne Støv vs. stråling: ε ε m r ( a) ( a) = ε ε m, r, / a / a m, r, Støv-stråling ligevægt a mr = ε ε r, m, 3 4 = =.8 1 ε ε 4 a Under antagelse af, at neutrinoerne er relativistiske idag. Støv-domineret for.33<z<36
38 Udviklingen af tæthedsparameterne For hver komponent ε w ( a) = ε w, a 3(1+ w) For a dominerer komponenten med størst ω I et forevigt ekspanderende Univers vil komponenten med mindst ω vinde. Benchmark model: Stråling Støv Λ, som tiden går...
39 Analytisk løsning generelt? Friedmann-ligningen ȧ t = 8 G 3c, a 1 3 c R a =, a 3 1 Komponenterne har forskellig afhængighed af a Støv 1 a Stråling a Λ konstant generelt ingen analytisk løsning for a(t)
40 1-komponent modeller Akademisk øvelse: Løs de kosmologiske ligninger i de simpleste tilfælde Få indsigt i de generiske træk ved løsninger Løsningen til det generelle problem ikke analytisk (løses let numerisk) I nogle perioder i det virkelige Univers er en enkelt komponent dominerende
41 Bestemmelse af løsninger Step I: Løs for a(t) (i) sæt ind i hydro-ligningen ε(t) (ii) afstande og tider Step II: Udtryk alle størrelser ved observable: H,z Kun flade Universer (κ=)
42 Fladt, 1-komponent Univers ȧ t = 8 G 3c, a 1 3 c R =8 G 3c a 1 3 Antag a t q. På venstre side: t q Højre side: t q q= 3 3 a t = t t 3 3
43 Fladt, 1-komponent Univers Vigtige formler (5.3, udled selv!): Universets alder: Hubble konstant: Energitæthed: Metrikafstand: Horisont: t = 1 c 1 6 G a = a 3 1 t = t t d p t = c H 1 3 H = 3 1 t 1 t d p t = t e (z uendelig) dt a t = c H 1 3 [1 1 z / ]
44 Støv-domineret universes, ω= Metrikafstand ved observation: t d p t = t e dt Metrik afstand ved emission d p t e =d p t a t e a t =d p t e 1 1 z = Maximum for z=5/4 t a t = t e dt t t = c [ /3 H 1 1 ] 1 z c [ H 1 z 1 1 ] 1 z a t = t t 3 3 Horisont d p t = c H 1 3 = c H
45 Metrikafstand ved observation Metrikafstand ved emission Maximum for z=5/4 + = z H c t d p ) ( + + = z z H c t d e p ) (1 ) ( Støv-domineret universes, ω=
46 Strålings Univers, ω=1/3 Skala faktor: a t = t t 3 3 = t 1/ t Universets alder: t = 3 1 H 1 = 1 H Horisont: d p t = c H 1 3 = c H
47 Strålings Univers, ω=1/3 Metrikafstand ved observation: t d p t = t e dt a t = t e Metrikafstand ved emission Maximum for z=1 t dt t t 1/ = c H [ d p t e =d p t a t e a t =d p t e 1 1 z = c H z ] z 1 z a t = t t 3 3
48 Strålings Univers, ω=1/3 Metrikafstand ved observation: c z d p ( t ) = H 1+ Metrikafstand ved emission d p ( t e ) = H Maximum for z=1 cz z (1 + z)
49 Strålings Univers, ω=1/3 Tidligt i Universet var stråling dominerende og strålingen kunne beskrives med en blackbody energitæthed ε 4 r ( t) = ε bb = αt Strålingstemperaturen går som Mod Big Bang T ( t) 1/ t ε r T for for t t Sammenbrud af teorien! Når det synlige Univers er så småt at det kun indeholder omkring 1 photon => quantum gravity t t P = s
50 ΛUnivers Friedmann-ligningen a a = 8πG 3c ε Λ a = H a, H = 8π Gε 3c Λ Løsning: a og t) = exp( H ( t )) = ( t Eksponentiel ekspansion som Steady State modellen, ε er konstant p.g.a. dannelsen af partikel/anti partikel par (?) t
51 ΛUnivers Metrikafstand ved observation d p t = t e a t =c t e H t dt t dt exp H t t = c H [exp H t t e 1]= c z Metrikafstand ved emission d p t e =d p t a t e a t =d p t e 1 1 z = c H z 1 z
52 ΛUnivers For store rødforskydninger d ( t ) for z p c d p( te ) for z H Høj rødforskydnings objekter er meget langt væk idag! Vi kan ikke se objekter som ved emissionstidspunktet fjernede sig med mere end lyshastigheden. d p t e c H
53 Opsummering af simple Universer Skala faktor Λ Kruming Støv Stråling
54 Opsummering af simple Universer Metrikafstand ved observation Λ Krumning Støv Stråling
55 Opsummering af simple Universer Metrikafstand ved emission Λ Krumning Stråling Støv
56 Andre muligheder? JA! Vi har løst Friedmann-ligningen i simple tilfælde (flade og tomme universer) Alle eks. på ekspanderende universer MEN mange andre muligheder => Multi-komopenent universer Det virkelige Univers er et multikomponent univers, hvor de forkellige komponenter dominerer til forskellige tider (næste gang)
57 Læsning Idag (April. 15): Ryden, kap. 4-5 (s ) Næste gang (April ): Ryden, kap. 6 Multi-Component Universes kap. 7 Measuring Cosmological Parameters
Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 2003.
Formelsamling Noter til Astronomi 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look
Læs mereDannelsen af Galakser i det tidlige. Univers. Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse. første galakser. Johan P. U.
Dannelsen af Galakser i det tidlige Johan P. U. Fynbo, Adjunkt Univers Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse Observationer af de første galakser Et dybt billede af himlen væk fra Mælkevejens
Læs mereMørkt stof og mørk energi
Mørkt stof og mørk energi UNF AALBORG UNI VERSITET OUTLINE Introduktion til kosmologi Den kosmiske baggrund En universel historietime Mørke emner Struktur af kosmos 2 KOSMOLOGI Kosmos: Det ordnede hele
Læs mereMODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI
MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI T (K) t (år) 10 30 10-44 sekunder 1 mia. 10 sekunder 3000 300.000 50 1 mia. He, D, Li Planck tiden Dannelse af grundstoffer Baggrundsstråling
Læs mereMørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet
Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den
Læs mereUniverset bliver mørkere og mørkere
Universet bliver mørkere og mørkere Af Signe Riemer-Sørensen, School of Physics and Mathematics, University of Queensland og Tamara Davis, School of Physics and Mathematics, University of Queensland samt
Læs mereDET USYNLIGE UNIVERS. STEEN HANNESTAD 24. januar 2014
DET USYNLIGE UNIVERS STEEN HANNESTAD 24. januar 2014 GANSKE KORT OM KOSMOLOGIENS UDVIKLING FØR 1920: HELE UNIVERSET FORMODES AT VÆRE NOGENLUNDE AF SAMME STØRRELSE SOM MÆLKEVEJEN OMKRING 30,000 LYSÅR GANSKE
Læs mereKosmologi. December Michael A. D. Møller. Kosmologi
Kosmologi. December 017. Michael A. D. Møller. side 1/16 Kosmologi Planck-satellittens målinger af den kosmologiske baggrundsstråling. Sådan et billede kan bruges til at måle kosmologiske parametre. Kilde:
Læs mereA4: Introduction to Cosmology. Forelæsning 5: Big Bang Nukleosyntese: Dannelsen af grundstofferne 2. time: inflation
A4: Introduction to Cosmology Forelæsning 5: Big Bang Nukleosyntese: Dannelsen af grundstofferne. time: inflation Idag: Dannelsen af H, D, He, Li Hvad skete før rekombinationen? Hvornår blev atomkernerne
Læs mereFormelsamling i astronomi. Februar 2016
Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske
Læs mereKosmologi supplerende note
Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 1/10 Kosmologi supplerende note Denne note omhandler skalafaktoren for Universets ekspansion, og i modellen er inkluderet de seneste
Læs mereBig Bang og inflation
Big Bang og inflation Af Michael Cramer Andersen, Christianshavns Gymnasium og John Rosendal Nielsen, Aurehøj Gymnasium I denne artikel vil vi give en introduktion til nogle af de væsentligste træk ved
Læs mereJuly 30, SLAC Summer Institute: Scott Dodelson
Standard Cosmological Model: I Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Metric / Friedmann Equation Constituents of the Universe Thermal History: Neutrino Abundance Thermal History: Weakly Interacting Massive
Læs mereBig Bang Modellen. Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning.
Big Bang Modellen Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning. Jacob Nielsen 1 Varmestråling spiller en central rolle i forståelsen af universets stofsammensætning og udvikling. Derfor
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereFormelsamling i astronomi. November 2015.
Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereModerne Fysik 1 Side 1 af 7 Speciel Relativitetsteori
Moderne Fysik 1 Side 1 af 7 Hvad sker der, hvis man kører i en Mazda med nærlysfart og tænder forlygterne?! Kan man se lyset snegle sig afsted foran sig...? Klassisk Relativitet Betragt to observatører
Læs mereCHRISTIAN SCHULTZ 28. MARTS 2014 DET MØRKE UNIVERS CHRISTIAN SCHULTZ DET MØRKE UNIVERS 28. MARTS 2014 CHRISTIAN SCHULTZ
OUTLINE Hvad er kosmologi Observationer i astrofysik Hvorfor må vi have mørk energi og mørkt stof for at forstå observationerne? 2 KOSMOLOGI Kosmos: Det ordnede hele Logi: Læren om Kosmo+logi: Læren om
Læs mereAstrofysik. M bol = konstant + α log Π,
Astrofysik Ugeseddel 6 7 9/5 giver jeg en indledning til kosmologi med en gennemgng f Fundmentl Astronomy, Kpitel 19, og det supplerende mterile på denne ugeseddel. 11/5 behndler jeg målinger f kosmologiske
Læs mereKosmologi Big Bang-modellen
Kosmologi 6/BN - fra www.borgeleo.dk 1/17 Kosmologi Big Bang-modellen De tre søjler De tre grundpiller, som teorien om Big Bang bygger på, er 1) Rødforskydningen af bølgelængder i lyset fra fjerne galakser
Læs mereUniversets opståen og udvikling
Universets opståen og udvikling 1 Universets opståen og udvikling Grundtræk af kosmologien Universets opståen og udvikling 2 Albert Einstein Omkring 1915 fremsatte Albert Einstein sin generelle relativitetsteori.
Læs mereSupermassive sorte huller og aktive galaksekerner
Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner V.Beckmann / ESA Daniel Lawther, Dark Cosmology Centre, Københavns Universitet Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner Vi skal snakke om: - Hvad
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereTermodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system
Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige
Læs mereResumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven
Galakser 2014 F3 1 Resumé fra sidst Mælkevejen består grundlæggende af en skive, en bule og en halo. Solen befinder sig sammen med spiralarmene i skiven i en afstand af ca. 8.0 kpc fra centrum af galaksen.
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
Læs mereOpgavesvar til Kosmologi
Side 2 af 14 Opgavesvar til Kosmologi Opgave 1, side 12 Soldøgn og stjernedøgn P * = 23 h 56 m 4.09 s med de forelagte tal 365.24 soldøgn: 8765.76 timer 366.24 stjernedøgn: 8765.76 timer Opgave 2, side
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 21. september 2009 Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Øvelse nr. 10: Solen vor nærmeste stjerne Solens masse-lysstyrkeforhold meget stort. Det vil sige, at der
Læs mereMads Toudal Frandsen. frandsen@cp3- origins.net. Mørkt Stof 4% Dark. Dark 23% 73% energy. ma)er
Mads Toudal Frandsen frandsen@cp3- origins.net Mørkt Stof 4% Dark 73% energy Dark 23% ma)er Disposition! Ø Hvad er mørkt stof?! Astronomisk, partikelfysisk, astropartikelfysisk! Ø Hvorfor mørkt stof?!
Læs mereTillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Læs mereKompendium til Kosmologi 1. Kompendium til Kosmologi
Kompendium til Kosmologi 1 Kompendium til Kosmologi Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 010-011 Kompendium til Kosmologi Indhold Indhold... 1. Hvad er kosmologi...3. Einsteins generelle relativitetsteori...3.1
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereGravitationsbølger Steen Hannestad, astronomidag 1. april 2016
Gravitationsbølger Steen Hannestad, astronomidag 1. april 2016 TYNGDELOVEN SIDST I 1600-TALLET FORMULEREDE NEWTON EN UNIVERSEL LOV FOR TYNGDEKRAFTEN, DER GAV EN FORKLARING PÅ KEPLERS LOVE TYNGDELOVEN SIGER,
Læs mereObservationelle Værktøjer
Observationelle Værktøjer Et værktøjskursus. Afsluttes med en rapport på ca. 10-15 sider (IKKE et Bachelor Projekt!). Tenerife Kursus (Januar 2010?). Matlab programmering. Øvelser i 1525-319, Instruktor:
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereSpiralgalakser - spiralstruktur
Galakser 2014 F6 1 Spiralgalakser - spiralstruktur Spiralstruktur skyldes formentligt en quasistatisk tæthedsbølge. Tæthedsbølger er områder med 10-20% højere massetæthed end gennemsnittet jf. en trafikprop.
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereModerne Fysik 8 Side 1 af 9 Partikelfysik og kosmologi
Moderne Fysik 8 Side 1 af 9 I dag: Noget om det allermest fundamentale i naturen; nemlig naturens mindste byggesten og de fundamentale naturkræfter, som styrer al vekselvirkning mellem stof. Desuden skal
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereMyonens Levetid. 6. december 2017
Myonens Levetid 6. december 2017 Det er en almindelig opfattelse at rigtigheden af relativitetsteorien nødvendigvis er vanskelig at eftervise eksperimentelt. Det er den faktisk ikke. Et lille eksperiment
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereDet kosmologiske verdensbillede anno 2010
Det kosmologiske verdensbillede anno 2010 Baseret på foredrag afholdt i foreningen d. 6. maj 2010. Af Anja C. Andersen Niels Bohr Instituttet Københavns Universitet. Hvad består Universet egentlig af?
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Efterår 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse stx Fag og niveau Fysik B Lærer(e) Christian Møller Pedersen
Læs mereForelæsning 7a. Ikke-linariteter Multipoler (specielt sekstupoler) Andenordens resonans Tredjeordens resonans Langsom ekstraktion
Moderne acceleratorers fsik og anvendelse Forelæsning 7a Ikke-linariteter og Instabiliteter Ikke-linariteter Multipoler (specielt sekstupoler Andenordens resonans Tredjeordens resonans Langsom ekstraktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAfstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk
1/7 Afstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk Afstandsstigen I astronomien har det altid været et stort problem at bestemme afstande. Først bestemtes afstandene til de nære objekter som Solen,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDen klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Fysik niveau B Knud Søgaard
Læs mereI dag. Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvilken betydning har skiven omkring det sorte hul?
Galakser 2014 F8 1 I dag Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvad er en quasar og hvordan ser spektret fra sådan en ud? Hvilke andre typer af aktive galakser findes der, og hvad er deres
Læs mereAnvendelse af Rindler-koordinater til at lette forståelsen af gravitationelle og kvantemekaniske aspekter af sorte huller
Anvendelse af Rindler-koordinater til at lette forståelsen af gravitationelle og kvantemekaniske aspekter af sorte huller et formidlingsprojekt i relativitetsteori Speciale i Fysik Christian Kirk 20116360
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 Skoleår 2015/2016 Thy-Mors HF & VUC Stx Fysik,
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereEksamensopgaver i Astrofysik
Eksamensopgaver i Astrofysik 1998 2006 Anden udgave, april 2007 Disse eksamensopgaver har været brugt til kurset Af.4 Astrofysik I og, siden vinter 2004 05, til kurset Astrofysik. De er lavet af Jørgen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse stx Fag og niveau Fysik B Lærer(e) Christian Møller Pedersen
Læs mereStandardmodellen og moderne fysik
Standardmodellen og moderne fysik Christian Christensen Niels Bohr instituttet Stof og vekselvirkninger Standardmodellen Higgs LHC ATLAS Kvark-gluon plasma ALICE Dias 1 Hvad beskriver standardmodellen?
Læs mereUniversets begyndelse
Universets begyndelse Af Erik Høg, Peter Laursen og Johan Samsing, Niels Bohr Institutet Vi gør op med populære misforståelser for at skabe mere klarhed. Teorien om Big Bang handler ikke om Universets
Læs mereDiffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.
Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er
Læs mereStrålende eksperimenter 2 dele:
Strålende eksperimenter 2 dele: Relativitetsteori Lys-eksperimenter All the fifty years of conscious brooding have brought me no closer to the answer to the question, 'What are light quanta?' Of course
Læs mereAlt det vi IKKE ved Morten Medici Januar 2019
Alt det vi IKKE ved Morten Medici Januar 2019 Universets historie Første atomer 379.000 år Udviklingen af galakser, planeter, etc. Big Bang Hubbleteleskopet Første stjerner omkring 200 millioner år Big
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs merevores plads i kosmos
Lys bevæger sig altid langs den korteste vej mellem to punkter i rumtiden. Dette kaldes også en geodætisk vej. I euklidisk geometri er den en ret linje (se s. 163), men på overfladen af en kugle former
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereØvelse 2: Myonens levetid
Øvelse 2: Myonens levetid Det er en almindelig opfattelse at rigtigheden af relativitetsteorien nødvendigvis er vanskelig at eftervise eksperimentelt. Det er den faktisk ikke. Et lille eksperiment (og,
Læs mereTilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g
Læs mereForventet bane for alfapartiklerne. Observeret bane for alfapartiklerne. Guldfolie
Det såkaldte Hubble-flow betegner galaksernes bevægelse væk fra hinanden. Det skyldes universets evige ekspansion, der begyndte med det berømte Big Bang. Der findes ikke noget centrum, og alle ting bevæger
Læs mereHubble relationen Øvelsesvejledning
Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereMørkt stof i Universet Oprindelsen af mørkt stof og masse
Mørkt stof i Universet Oprindelsen af mørkt stof og masse Mads Toudal Frandsen m.frandsen1@physics.ox.ac.uk NSFyn, SDU, 10 April, 2012! Outline! Introduction til universets sammensætning! Universet, mikroskopisk!
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereDanske besvarelser af udvalgte opgaver.
IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 14 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Fysik niveau B Knud Søgaard
Læs mereBilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS
Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN
Læs mereFormler til den specielle relativitetsteori
Formler til den specielle relativitetsteori Jeppe Willads Petersen 25. oktober 2009 Jeg har i dette dokument forsøgt at samle de fleste af de formler, vi har brugt i forbindelse med den specielle relativitetsteori,
Læs mereMODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET
MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereÅrets nobelpris i fysik bygger videre på resultater opnået af danske forskere
Årets nobelpris i fysik bygger videre på resultater opnået af danske forskere Hans Ulrik Nørgaard-Nielsen, DTU Space og Leif Hansen, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Nobelprisen i fysik 2011
Læs mereBitten Gullberg. Solen. Niels Bohr Institutet
Solen Niels Bohr Institutet 1 Sol data Gennemsnits afstanden til Jorden Lysets rejse tid til Jorden 1 AU = 149 598 000 km 8.32 min Radius 696 000 km = 109 Jord-radier Masse 1.9891 10 30 kg = 3.33 10 5
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-Juni 13/14 Herning HF og VUC Stx Fysik B Niels Kr.
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q3-1 Large Hadron Collider (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner fra den separate konvolut, før du starter på denne opgave. Denne opgave handler om fysikken bag partikelacceleratorer LHC (Large
Læs mere