Abstract! Andreas(I.(Jensen( Greve(Gymnasium( 18/12/2014( (

Transkript

1 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Abstract This%study%investigates%the%number%pi%and%its%significant%development%throughout%time.%This%is%done%by% explaining%the%first%determinations%of%pi%found%in%ancient%egypt%and%babylonia.%archimedes %method%of% finding%pi%will%then%be%derived%in%detail.%furthermore,%newer%ways%of%determining%pi%will%be%discussed,% and%an%example%of%this%will%be%presented.% Based%on%these%results,%an%article%with%the%purpose%of%disseminating%the%scientific%knowledge%will%be% composed.%thus%article%will%focus%on%making%the%difficult%and%challenging%mathematical%part% understandable%to%the%reader%of%a%popularascience%magazine.%additionally,%a%metaatext%containing% reflections%on%the%rhetorical%and%stylistic%sides%of%the%article%is%produced.%this%also%includes%a%reflection% on%the%chosen%target%group%and%the%selection%of%the%scientific%math.%from%this%metaapart%it%is%concluded% that%in%order%to%get%the%reader%of%an%article%to%understand%a%complex%theme,%it%is%essential%that%the% writer%is%able%to%put%himself%in%their%place%and%communicate%from%that%level.%% The%study%also%shows%that%the%commonly%known%value%of%pi%has%changed%many%times%throughout%time,% and%that%there%has%been%a%transition%from%knowing%about%three%decimals%of%the%number%in%2000%b.c.,%to% knowing%thousands%of%billions%digits%today.%moreover,%it%is%discovered%that%pi%has%had%a%great%influence% on%the%development%of%modern%technology,%and%this%is%a%result%of%the%last%century s%hunt%for%digits%of% this%miraculous%number.% % % % % % %

2 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Indholdsfortegnelse-.Indledning De-første-værdier-af-π Forhistorie Denægyptisketilnærmelseafπ... 2.Denbabylonisketilnærmelseafπ...4.Archimedes bestemmelseafπ Nyere-metoder-til-bestemmelse-af-π... 4.VidereførselafArchimedes metode Uendeligerækker Opgave-på-bilag Artikel:- Pi- -er-det-ikke-bare-,4? Metaopgave Vidensformidling Formål Målgruppe Opbygning Sprog Layout Udvælgelse Konklusion...28 Litteraturliste...29 Bilag

3 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204.Indledning Vikenderallesammentiltalletpi,mendeterdefærresteafos,derkendernogettildetshistorieog udvikling.pierenbemærkelsesværdigstørrelse,derharbeskæftigetutalligematematikeregennem tiden,oghvistilnærmedeværdiharudvikletsigmarkantgennemalledisseår.menhvorstammerdet fra,oghvordanharmankunneberegneetsåkompleksttal?dettevilbliveforsøgtbesvaretidenne opgave. Tilatbegyndemedvilderbliveredegjortfordeførsteberegningerafpiforetagetafhenholdsvis ægypterneogbabylonierne,oghvordandisseberegningerharfåetbetydningforseneretiders bestemmelseafpi.heraffølgerendetaljeretgennemgangafdengræskematematikerarchimedes bestemmelseafenøvreognedregrænseforpi.dernæstvilderbliveomtaltnyereogmeremoderne måderatberegnetallet,hvortileksemplervilforekomme.afslutningsvisvilopgavenpåbilagblive beregnet. Dendanskfagligedelafdenneopgavevilbeståafenpopulærvidenskabeligartikelomtalletpiskrevettil IllustreretVidenskab,somhartilformålatformidledetmatematiskeindholdtildenalmindeligelæseraf dettemagasin.påbaggrundafdenneartikeludarbejdesenmetaopgave,hvoriderreflekteresoverde anvendteformidlingsredskaberiforholdtilindhold,udseendeogudformning.

4 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 2.Deførsteværdierafπ- 2.-Forhistorie- Sidentidernesmorgenharmennesketlevetisamspilmednaturen.Gennemtidenharmanforsøgtat svarepådemangefantastiskeegenskaberogevner,somnaturenbesidder,ogdeterdenne nysgerrighed,somharudvikletsigtildenvidenskab,vikenderidag.forlidtmereend4000årsiden begyndtedeførstemenneskeratforetagemålingerogberegningerafnaturen,ogdeterplausibeltat forestillesig,atdeharværetyderstfascineretafcirklen.dennehardekunnetseideres medmenneskersiris,isolen,imånenogiderundeblomster. Samtidigtkanmanforestillesig,at menneskeneharkendttilenvisformforproportionalitet.eteksempelpådettekanvære,athvisén markkanmættedenhalvestamme,såkantomarkermættedenhele,ogtremarkerkanmætte halvandenstamme,osv. 2 Altsåjostørredeneneer,jostørreerdenanden.Denneformfortankegang førtetilenidéom,atjostørreencirkeler påtværs jostørreerden rundtom.detvikendersom omkredsogdiameter.påetseneretidspunkterdenneidéblevettilenantagelseaf,atforholdetmellem dissetolængdererkonstantforallecirkler. Dennekonstanterden,viidagkendersomdetgræske bogstavpi,derbetegnesmedπ.deterdogvigtigtatholdesigforøje,atdennenavngivningførstblev foretagetibegyndelsenaf700tallet,menfornemhedsskyldvil π blivebrugtidenneopgave.denne antagelseomkringcirklenførertilendefinitionafπ: hvoroercirklensomkredsogderdensdiameter. 4 Såledeservifremmevedcirka2000årf.Kr.,hvortildeførstematematiskekilder,frahenholdsvis ÆgyptenogdetdaværendeBabylonienidagIrak),kanspores.Dissekilderindeholderikkebareet kendskabtiltalletπ,menogsåhverderestilnærmelsetildensværdi,somidetfølgendevilblive betegnetsom: Æ fordenægyptiskeværdi fordenbabylonskeværdi. Svendsen, 994, p. 7) 2Beckmann, 97, p. ) Svendsen, 994, p. 7) 4Beckmann, 97, p. 2, sæt.) 2

5 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Derudoverkendtedeantikkematematikereogsåtilmådenatberegnearealetforencirkel,som,udover enenkelmetodeiægypten,ikkeerforklarettilfulde.derblevanvendttoforskelligeformler: og 4 hvorterarealetafcirklenogrerdensradius Den-ægyptiske-tilnærmelse-af-π- Detældsteægyptiskedokumentsomindeholdermatematiker PapyrusRhind,derblevfundeti858. DetteskrifterudarbejdetafdenægyptiskematematikerAhmesomkringår659f.Kr.,menerenkopiaf etskrift,somblevudarbejdetunderkongne`ma et`re 6.Dokumentetindeholder84matematiske problemerogderesdertilhørendeløsninger,hvorafdeflesteforekommerudennogenvidere forklaring. 7 Idet48.problembliverenberegningafπforetaget.Ahmesbeskriverencirkelmeddiameteren9,der bliveromskrevetafetkvadratmedsidelængden9.kvadratetbliverderefterdeltopi9andrekvadrater medensidelængdepå,oghjørnekvadraternebliveropdeltitoretvinkledetrekanter.såledesbliver derdannetenirregulæridetat hjørnesiderne erlængereendresten)ottekant: 8 DerefterantagerAhmestotilnærmelser, somhanvurderervilophævehinanden. Denførsteer,atarealetafcirklenerlig arealetafdenirregulæreottekant.denneer dog6,idetatarealetafdetstorekvadrat måvære9 8,ogfratrækkessådefire hjørnetrekanter,somtilsammenudgørto kvadratermedsidelængden,fåsarealetaf ottekantentil: Beckmann, 97, pp. 6-7) Figur:LavetpåTISNspireafAndreasI.Jensen 6Svendsen, 994 p. 0) 7Beckmann, 97, p. 2) 8Svendsen, 994, p. 9)

6 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 DernæstgørAhmessinandentilnærmelseogsætterdettearealafottekantenligmed64idetat deristedetblivertaleometkvadratmedensidelængdepå8). 9 Udfrakendskabettilformlenfor cirklensareal: 4 fåsdetatarealetafcirklenmeddiameter9er: ogviderekandenægyptiskeværdi Æ findes: Æ Æ 4 Æ ,6049 Såledeskandenægyptiskeværdiafπbestemmestilatvære Æ, Den-babyloniske-tilnærmelse-af-π- LigesomveddenægyptiskeberegningafπharmanogsåioldtidensBabylonienfundetetgammelskrift fraenlertavle,somviserkendskabtilcirklensforholdogegenskaber.babylonierneanvendte,modsat ægypterne,et60`talssystem,somisinopbygningerligesomdetmoderne0`talssystem.såledesvarde langtforanægypterneideresbehandlingaftal.dettesystemerligeledesgrundentil,atviidaginddeler vorestidihenholdsvis60sekunderog60minutter,samthar60 iencirkel. 0 Pådennelertavleerbeskrevetetforholdmellemomkredsenafenregulærsekskantogomkredsenaf densomskrevnecirkel.heromskrevettilmodernenotation: hvor svarettilomkredsenafsekskantenog svarertilomkredsenafdenomskrevnecirkel. 9Svendsen, 994, p. 9) 0Svendsen, 994, p. 0) 4

7 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Daderertaleomenregulærsekskant, kanomkredsenafdenneberegnestil 6,ogomkredsenafcirklentil 2".Eftersomderpådet babyloniskeskrifterangivetetforhold mellemnetopdissetoomkredse,kan detopstilles: " detkanføresvideretil: såledeskandenbabyloniskeværdi findes: Deraffåsatdenbabyloniskeværdiafπvar,25 Detoværdiererbeggeenudmærkettilnærmelseafpi,somsagtenskunnebrugestilatkonstruere noglefornuftigegeometriskefigurer.detteblevdaogsågjortimangetusindår,førmerepræcis værdierafπblevfundet.disseværdiervardogbyggetpådetfundament,somantikkensmatematikere støbtemangeårforinden. Figur-2:--Lavet-på-TITNspire-af-Andreas-I.-Jensen-.Archimedes "bestemmelse"afπ Dengræskematematiker,ArchimedesfraSyrakus,blevfødtomkringår287f.Kr.ogerafmange anerkendtsomenafdestørstematematikerenogensinde.ifysikkensverdenerhanisærkendtforsin lovomkringopdriftenpåetlegeme,derbliverfortrængtienmasse,somhanangiveligtskullehave 5

8 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 fundetpå,menshanlåisitbadekar. Idetfølgendeerdetdoghanstilnærmelsetiltalletπ,somvil blivegennemgået. 2 Archimedes metodeerisinopbygningrelativsimpeloggårialtsinenkelthedudpå,atmaniencirkel harenindskrevetogenomskrevetpolygon,hviskantergradvistfordobles,såderesomkredsnærmer sigmereogmereomkredsenpåcirklen.ifigurennedenforerindtegnetencirkelmedradius,somer ind`ogomskrevetafenregulærsekskant.deharhenholdsvissidelængderneh fordenindskrevne polygon,og fordenomskrevne,hvorerantalletafsideripolygonen: - Detsesheraftydeligt,atomkredsenafden indskrevnepolygon måværemindre endomkredsenafcirklen ),ogomvendt måomkredsenafdenomskrevne polygon )værestørre.såledeskandet udledesat: < < Pådennemådefindesentilnærmelseafπ ved: h < 2" < hvor ogerantalletafsider:" h < 2 < 2 h < < 2 PådennemådekunneArchimedesvedbrug afsiderneidetopolygonerfindeen Figur-:-Lavet-på-GeoGebra-af-Andreas-I.-Jensen.-Det-ses-at-siderne-i-den-indre- polygon-og-dens-diagonaler-danner-6-ligesidede-trekanter,-som-alle-har- sidelængden-.- tilnærmelsetilπ,somvilleblivemereogmerepræcisitaktmedatantalletafsideripolygonerneblev større. Archimedesbrugteen96`siderspolygontilattilnærmesigdenneværdiafπ: Beckmann, 97, p. 62) 2Det følgende er bygget på Svendsen, 994, pp. 6-2) 0 7 < <

9 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 somliggertilgrundfordengenerelle,mendogikkekorrekte,tankeom,atπer: Førstfindesensammenhængmellemsidernepådenregulæreindskrevnen`kanth ogdendobbeltså store2n`kanth.tildetteanvendesnedenståendetegninger,hvorcercentrum: Detses,atvinkelDer90,ogvinkelAer90,idetatdenstovinkelbenspænderoverenhalvcirkel. Derudoverer ABDog ABEensvinklet,davinkelBerensforbeggetrekanter.Dissetotrekantertegnes herfigur5): Figur5:-Lavet-på-GeoGebra-af-Andreas-I.-Jensen- Figur-4:-Lavet-på-GeoGebra-af-Andreas-I.-Jensen- Eftersomderertaleomtoensvinkledetrekanter,kan detopstilles,at: detføresvideretil: " " " " " " " " " " " " " Affigur4sesdet,at " h og " 2 2, såledeskanviskriveenformelforh : 7 -

10 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 ℎ " " 2 " foratfindelinjestykket sesdetaffigur4at: " " " " hervedskallængden " findesvedbrugafpythagoraslæresætningpå ADCfigur4a): " DC + " DC " " " " " værdiernefrafigur4indsættes: " ℎ 2 ℎ 4 Nukansidelængden " bestemmes: " " ℎ 4 Figur4a:LavetpåGeoGebraaf AndreasI.Jensen.Påfigurenses ADC- Dettesættesnuindiformlenforℎ : ℎ 2 " 2 ℎ ℎ ℎ oghermederensammenhængmellemℎ ogℎ fundettil: -- ℎ 2 4 ℎ Ligning-:-Formlen-for-sidelængden-af-den-indskrevne-2nTkant- - Dernæstkanentilsvarendesammenhængmellemdenomskrevnepolygonssidelængderpåhenholdsvis n`kantenog2n`kantenbestemmes.herbrugesfølgendebevisomvinkelhalveringslinjer,somafhensyn tilpladsmangel,ikkeerbevist: 8

11 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Envinkelhalveringslinjeientrekantdelerdenmodståendesideistykker,hvisindbyrdesforholderlig medforholdetmellemdesiderderdannervinklen Altså,setiforholdtilfigur6,sålydersætningen: " " " " Dettekanbrugestilatbestemmesammenhængenmellemn` kantenog2n`kantenafdenomskrevnepolygon.tildettebruges yderligerenedenståendefigur7,hvorlinjen CK eren vinkelhalveringslinjetilvinkelci CFK: Fordennekonstruktiongælderdet,jf.ovenståendesætningom Figur6:LavetpåGeoGebraaf AndreasI.Jensen- halveringafvinkler,at: " " " " Affigurenkandetses,at: " 2 " 2 2 " 2 " " beregnesvha.pythagoraspå CFK: " " + " " Figur7:-Lavet-på-GeoGebra-af-Andreas-I.-Jensen.-På-figurenses-den-samme-enhedscirkel-med-en-nTkantet-omskrevetpolygon-med-siden- FL -og-en-2ntkantet-polygon-medsidelængden- JG Såledeskandetovenståendeforholdskrives: 2 " " 2 <> " " 2 Svendsen, <> , p. 8, sæt. ) 9

12 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 derreduceresyderligere: + 4 <> faktoriseringbruges,såvikunhareth 2n : herafkanenformelforsammenhængenmellem og bestemmes,vedatisolere : såledeserformlenforbestemmelseafsiderneidenomskrevne2n`kant: Ligning-2:-Formel-for-sidelængden-af-den-omskrevne-2nTkant PådennemådekunneArchimedesbestemmeentilnærmelseafπvedbrugafligningog2,somville blivebedrejostørrenvar.somtidligerenævntregnedearchimedesentilnærmelsemedbrugafto96` kanter,ogfikværdien: 0 7 < < 22 7 Menmankaniprincippetblivevedmedatfordobleantalletafkanteripolygonen,ogfåenmereog merepræcisværdiafπ.dogmedderedskaber,somarchimedeshavde,varen96`kantdetmaksimale hankunneregnemed.detskalligeledesnævnes,atarchimedes værdierikkestemmerheltoverens meddet,somvivillekunneberegneviacomputeroglommeregneridag.detteergrundetde kvadratrødder,somindgåribeviset.f.eks.erstattedehan med " " og 49450med59,hvilke beggeergodetilnærmelser,mensom,påsammemådesomhansværdiafπ,ikkeerheltpræcise. 0

13 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Itaktmedattidengår,blivermatematikkennaturligvisbedreogbedre.Dettegælderogsåfor tilnærmelserneafπ,somgennemdesidste4000årharhaftmangeforskelligetilnærmelser.i midtenaf600stalletbegyndernyematematiskemetoderatkommefrem.deteridennetid,at differentialsogintegralregningbliverudviklet,ogdetbanervejenforheltnyeaspekterafdetderi matematikkaldesanalyse.detmedførersamtidigtogså,atderfremkommernyeogmerepræcise redskabertilatberegneπ.princippetomuendeligerækker,somerdefineretvedensummed uendeligmangeled,blivermereogmereanvendt,ogisærforπfårdetenafgørendebetydning. 4 4.Nyere%metoder%til%bestemmelse%af%π- 4.-Videreførsel-af-Archimedes -metode- 4.2-Uendelige-rækker- I650fremstillerdenengelskematematikerJohnWallis,somenafdeførste,enuendeligetalrække tilbestemmelseafπ.denneerisærspeciel,dadensomenafdeførsteikkekræverberegningmed vanskeligekvadratrødderellerandreumedgørligeudtryk.denneproduktfremstillinglyder: Selvomdennerækkeforπvarbemærkelsesværdigsammenlignetmedandreudtryk,såer konvergenshastigheden,altsådenhastighedhvormedudtrykketgårmod,megetlille,ogførstved 0 findesenværdiforπ,hvisførste6cifreerkorrekte.bevisetforwallis rækkevilikke blevetgennemgået,menblotbrugessomeksempelpådenførsteafmangerækkertilberegningen afπ. 5 IdetfølgendevilistedetdetorækkerafhenholdsvisGottfriedLeibniz646S76) 6 og AbrahamSharp65S742) 7 bliveomtalt. 8 Leibniz rækkefra674lyder: hvordenuendeligerækkerherkonvergerermod 4Svendsen, 994, pp. 2-25) 5Bøge, 99, p. 24) 6Beckmann, 97, p.) 7Beckmann, 97, p.02) 8Det følgende bygger på: Svendsen, 994, pp. 26-)

14 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 TilsvarendeudvikledeAbrahamSharpi699enuendeligrækketilberegningafπmed7 decimaler: hvorrækkenherkonvergerermod EftersomSharpsrækkehurtigerefårmindreled,erdennemerevelegnettilatberegneπend rækkenafleibniz,menfællesfordemerderestilknytningtildensåkaldte"$%srække."$% ellerarcustangenserdeninversefunktionaf"$%&ietintervalhvor"$%&eller"er injektiv.eninjektivfunktionerenfunktion,somkunharenxsværdiforhverysværdi,ogsåledes kanderfindeseninversfunktion.tiltangenserdennealtså"$%,somogsåtitbetegnes". Intervalletafdefinitionsmængdenbegrænsestil] ; [ogderafer"$%&injektiv,ogsåledes findeseninversfunktion,"$%.idetat"og"$%erhinandensomvendtekandetskrives,at: arctan Vmtan) R " arctan Dmtan) ] 2 ; 2 [ hvordmerdefinitionsmængdenxsværdierne)forfunktionen,vmerværdimængdenysværdierne) forfunktionenogreretudtrykforderationelletal.tegnesdetofunktionerfås: Figur8:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen 2

15 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Hvor")ermarkeretmedblåog"$%)medrød. Nusættes: tan <> arctan idetatarctan arctan tan,dadeneneophæverdenanden. Hvis"$% nudifferentieresviacomputerenfås,at: "$ + Detteskalbrugessenereibevisetfornedenståendesætning,kaldetsætning9: arctan) +, [ ; ] 5 7 hvorarctan erskrevetsomenuendeligsum.bemærkattherliggeriintervallet[ ; ],menat detidetfølgendebeviserimellem] ; [ Hvisf.eks.enfunktion)skrivessomenuendeligrække,dergårmod,fåsdetat: + + hvordetnetoper,attskalværeimellem] ; [foratrækkengivermening. Hvis multiplicerespåhvertled,giverdetat: ) Adderesdetoudtryka)ogb)nusammenfåsdet,at: derfaktoriseresforatkunneisolere : + <> Eftersomudtryka)ogb)harsammevenstreside,kandetskrives: Integreresdettenufås: " " )" arctan Svendsen, 994, p. 28, sæt. 6)

16 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 dadetafdenovenståendesætningmarkeretmedfedt)ervist,at"$ Såledeser: arctan hvorkeretudtrykfor +.Sættes 0,bliverogså 0,daarctan 0 0. Hermedersætningbevist. Denmåde,hvorpåLeibnizogSharpharanvendtdennearctanSrækkeer,atdeharindsatenværdi fort,derafarctangiveretforholdmedπ,somdenuendeligerækkekonvergeremod.leibnizsatte ogfiksåledes: arctan ogheraferleibniz rækkevist.detsammekangøresmedsharpsrække,hvor blevbrugtistedet: tan 6 såledesbliverabrahamsharpsrække: idetateksempelvis: VedatgørebrugafovenståenderækkekunneAbrahamSharpberegneπmed7korrekte decimaler,hvilketpådettidspunktvarenrekord.denneersenereblevetslåetmangegange,og medimplementeringenafdatamatenimidtenaf900stalletogfrem,fikberegningenafπet overordentligtstortskub,ogtildagsdatoerflerehundredemilliarderdecimalerafπblevetfundet. Pådennemådeharπaltsåhaftenindvirkningpåudviklingenafnyteknologi. 4

17 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 5.Opgavepåbilag- Vis,-at- " -- Sammenlign-denne-værdi-med-værdien-af-π- Førsttegnesencirkelmedradiusligvenstre),derharstykket AB somdiameter.dernæstindtegnes enandencirkelhøjre)medsammeradiussomdenførste,ogmedbsomcentrum.detsesheraf,at stykket BC erlig,dadennenetoperradiusidenblåcirkel: Figur9:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen.Endelaffigurenerskåretfraafhensyntilplads Fornuatkunnetegnedenvinkelrettelinjetildiameteren, " " skalstykket AC først bestemmes.dettegøresvedbrugafpythagoraslæresætningpådenretvinklede ABC: Heraferlængden AC fundetog AP ersåledes: AC + " " AC " " AC 2 4 AC " " 5

18 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Detteindtegnesnupåfigurenfigur0): Figur0:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen.Bemærkatendelaffigurenerskåretfra. Nuindtegneslinjestykket BQ,ogPogQforbindesrødlinjepåfigur):- Nuskaldetvises,atlængdenfraPtilQkanskrivessom: " 4 + DettevisesvedigenatanvendePythagoras.Førstindtegnes enlinjefigur),dererparallelmedogharsammelængdesom AB.Punktethvordennerammerlinjestykket " kaldes Rfigur2): Nudannesentrekant PQR,somhardekendtesidelængder: " 2og " " " Pythagorasanvendespådenretvinklede PQRforatfinde densidstesidelængde PQ : " " + " 2 + Figur:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen. Igenengangerendelaffigurenskåretvæk- "

19 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 " 4 + hvilketvardetderskullevises Nuskaldenneværdifor PQ sammenlignesmedπ. Vedbrugaflommeregnerfås:ª Værdienforπer: 4 +,4587, Detsesatdetoværdierermegettætte,ogfaktisker enspåde5førstecifre.detsesyderligere,atπer størreend PQ,ogatdererenafvigelsepåca.: " 000 0,0889 hvilketerenmegetlilleafvigelseogderveder konstruktionen PQ enudemærkettilnærmelsetilπ. Figur2:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen 7

20 Andreas I. Jensen Greve Gymnasium 8/2/204 Pi erdetikkebare,4? Det$har$været$kendt$i$flere$årtusinder$og$er$blevet$behandlet$af$mange$ matema8kere$gennem$8den.$i$dag$kender$vi$det$som$,4$?$men$sådan$har$det$ ikke$al8d$været$ Ahmes Den ægyptiske matematiker Ahmes eller Ahmose er forfatteren bag det ældste eksisterende matematiske skrift Papyrus Rhind, som indeholder 84 problemer og deres løsninger. Ahmes er således den ældste matematiker, vi kender til. Archimedes Archimedes fra Syrakus f.kr.) var en stor græsk matematiker og fysiker, som især er kendt for sin lov omkring opdrift Derudover lagde han også de matematiske grundsten for senere tiders store matematikere. Gottfried Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz ) var en tysk matematiker og videnskabsmand, som især er kendt for, uafhængigt af Isaac Newton i øvrigt, at udvikle differential- og integralregningen. erfindesnokikkemangemenneskerpådenne jord,somikkepåetellerandet4dspunktideres livharbeskæ:igetsigmedtalletpi, matema4kkensmys4skeværdi.iskolenlærtevi,atdetkan bruges4latfindeomkredsenogarealetafencirkel,men hvaderhistorienbagtallet,oghvordanharmankunnet beregneetsåkompleksttal? Svaretligger,sommedsåmegetandenvidenskab,i nysgerrighed.pået4spunktihistorienermennesketblevet istand4lgenkendefigurerinaturen,hvorisærcirklenhar vaktmegeninteresse.deharkunnetsedeniandredyrog menneskersøjne,isolenogimånen.pået4dspunkthar manfundetudaf,atdervarensammenhængmellem cirklenslængdepåtværsogdenslængderundtom,eller detvikendersomdiameterogomkreds.netopdefehar ført4lenidéom,atforholdetmellemdissetolængderer detsammeforallecirkler.defeforholderdetvikalderpi, somer: FormangeerdeFetalkendtsom eller,4,mendeter fak4sksådan,athverkendetoovenståendeellernogle andrelnærmelsererkorrekteværdier.pieretsåkaldt transcendent-tal,deraldrigenderogaldriggentagersig. Alligevelharpiha:mangeforskelligeansigtergennem 4den. ILLUSTRERET VIDENSKAB 8

21 Andreas I. Jensen Greve Gymnasium 8. dec. 204 Deførsteværdierserdagenslys Ægypternevardeførste4latberegneen værdiafpi.defeblevgjortengang2000år f.kr.,hvorisærmatema4kerenahmeshavde enfingermedispillet.menhvordanhar dissemenneskerfleretusindeårf.krkunne udregneenværdiafpi?jadetsimpleog åbenlysesvarvilleværeatmåleomkredsen afencirkelogsådivideredenmeddens diameter.ladosprøveatfores4lleos,atvi befinderospåenægyp4skstrandformere end4000årsiden.viharikkenoget målebånd,ingenskriveredskaber,ingen passerogikkenogetpapir.viharikkeengang ettalsystem.detenesteviharernogetsnor, noglepindeognogetsand.tagervinuog binderenpindpåhverendeafsnoren,kanvi s4kkedenenenedidetvådesandogmed denandentegneencirkel.såtagervi midterpindenop,og4lbagestårvimeden cirkelmedethulimidten,somvikankalde centrum.nukanvitageetandetoglængere stykkesnorogmålelængdenfradeneneside 4ldenandensidehenoverhullet,hvorvedvi markererlængdenpåsnorenmedetstykke How I want a drink? Alcoholic of course Tæller du antallet af bogstaver i hvert ord, får du de første 8 cifre af pi kul.derharvialtsåcirklensdiameter.såkan vitagedetsammestykkesnor,oglæggedet rundtpådentegnedecirkel.dafinderviud af,atsnorenkanlæggesrundtpåcirklen gange+enlille rest.denneekstralængde svarer4lkommatalleneafpi,ogpådenmåde harde4dligematema4kerekunnefindeen værdiafpi,somvarplusensmulemere. SenerehenkunnedenførnævnteAhmesdog bestemmepimedenstørrenøjag4ghedved brugafenlidtandenmetode.mendetvar medenmetode,sombyggedepådissetanker. Archimedeskommerpåbanen Nuspolervi4denetpartusindårfremog havneretstedomkring200årf.kr.herstøder vipågrækerenarchimedes,derskullevisesig atfåenvig4grolleiberegningenafpi. Archimedesstodilærehosdenanerkendte matema4kerogprofessoreuklid,somvirkelig forstodatvækkearchimedes interesseinden formatema4kken.idefølgendeårarbejdede hanpåmangeforskelligeprojekter,menisær hansarbejdemedgeometrienfiken Hverfarverepræsentererenlængdepå enhed,pånærstykketmellemdogc,som svarerdlrestenellerπ afgørendebetydningforudviklingenaftallet. Archimedestegnede,påsammemådesom ægypterne,encirkel.dere:ertegnedehanen ILLUSTRERET VIDENSKAB 9

22 Andreas I. Jensen Greve Gymnasium 8. dec. 204 sekskantetfigur-indeicirklenogen 4lsvarendeudenomcirklenoggjordeden tanke,atomkredsenpåcirklenmåfevære størreendomkredsenpådenindresekskant, menmindreendomkredsenpådenydre. Leibnizgøri674brugafensåkaldtuendeligrække4latbestemmeencirka`værdiafpi.En uendeligrækkeerenrækkefølgeaftal,deri teorienaldrigender,somf.eks.: Detkansammenligneslidtmedenlagkage, somskalskæresitostykker,såifire,såiofe ogsåfremdeles.teore4skvildennerække altsåværeuendelig,mensmanipraksisbare vilstå4lbagemednoglevirkeligsmåstykker kage. Menhvadhardetmedberegningafpiat gøre?ibundoggrundhandlerdetomatfinde enlangrækkeaftal,somgår-modeller bevægersighenmodtalletpi.someksempel HersesArchimedes cirkelmedenindreogen ydresekskant MeddennetankekunneArchimedesudregne enformel4latfindesidelængderneiden indreogydresekskant,ogpådenmåderegne enværdiafpi,somvarimellemtotal.det vistesigsåforarchimedes,atjofleregange hanforstørredeantalletafsiderifigurerne,jo bedreenværdiforpifandthan.tilslutendte Archimedesopmedatregnemeden96`kant ogfikdenvelkendteværdi: Hvemskalovertage? Derskullegåmangeår,førennyog anderledesmetode4ludregningafpiblev fundet.i600`talletbryderenrækkestore matema4kereforførstegangmed Archimedes metode.tyskerengobried kannævnesrækkenpåbilledetovenfor,som fak4skbevægersigmodtallet,menaldrig nårdet.påsammemådeharmatema4kere somleibnizops4llettalrækker,derforhvert ledkommernærmereognærmeretalletpi. Dennemetode,somsidenLeibnizerblevet forbedretutalligegange,udgørfundamentet forudregningenafpipåmodernecomputere. SomeksempelkannævnesbrødreneGregory ogdavidchudnovsky,deri987udregnede mereend480millionerdecimalervedbrugaf Vidste du, at Symbolet π først blev taget i brug i 706 af den britiske matematiker William Jones. Før det var tallet kendt som Archimedes konstant ensupercomputer,somdeselvhavdebyggeti dereslejlighed.dennerekord ILLUSTRERET VIDENSKAB 20

23 Andreas I. Jensen Greve Gymnasium 8. dec. 204 erdog,igen,blevetslåetmangegange.så sentsomsidsteårkunnetojapanske computerteknikeree:er82dageshårdt computerarbejdepræsentereenværdiforpi medsvimlende cifre. Ja,oghvadså? Menhvaderpiså?Iprincippeterdetbare omkredsenafencirkeldivideretmeddens diameter.derforkanmanundresigover,hvad derersåspecieltvedtallet,atsåmange menneskerharbeskæ:igetsigmeddet gennem4den.spørgermanenmatema4ker, villehanhøjstsandsynligtargumenterefor,at pieretfascinerendetal,dersæfer spørgsmålstegnvedvoresvidenomnaturen oglivetgenerelt.spørgermanistedetden bredebefolkning,villemannokmedstor chancefåetmegetanderledessvar,det-er-jobare-et-tal.en4ngerdogsikkert.piharværet medvirkende4l,atmatema4kkenog moderneteknologiharudvikletsigenormt, baresepåchudnovskybrødrenes supercomputer.itaktmedatflereogflere matema4kprofessorerogentusiasterhar kæmpetforatfindeflereogfleredecimaleraf detberygtedetal,erdernærmestsketen naturligforbedringafdematema4skeog teknologiskeredskaber. Vil du vide mere? Tallet pi: Nu skal pi fejres: videnskab.dk/miljonaturvidenskab/4-nu-skal-pi- ILLUSTRERET VIDENSKAB 2

24 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 7.Metaopgave- 7.-Vidensformidling- Formidlingafvideneretvidtbegreb,ogderfindesmangeforskelligemåderatinformereog viderebringedennepå.dettekaneksempelvisskeviaartikler,somderoverodnetsetfindestre forskelligetyperaf: Denvidenskabeligeartikel,derhartilformålatviderebringeogdokumenterefagligvidenfraén forskertilenandenforskerindenforsammefeltif.eks.videnskabeligetidskrifter. Denfagligeartikel,somskaloplyseoginformerefagfællerogkollegermedensærliginteresse forområdetometgiventemne. Denformidlendeartikel,derforsøgeratviderebringefagligvidentilikke`fagfolkigennem detaljeredeforklaringerogillustrativeformuleringerif.eks.populærvidenskabeligemagasiner. Fællesfordetoførstetyperer,atderertaleomsymmetriskkommunikation,dadenforegårmellem tofagfolk,somharnogleindforståedeindbyrdesnormerogtermer.pådenandensideharviden formidlendeartikel,hvordertalesomasymmetriskkommunikation,eftersomdetnetopherer formidlingfraenfagmandtilenikke`fagmand. 20 IfølgeKatinkaPaludandengode populærvidenskab 2 : Forståelig Ærligtforholdendetilvidenskabeligviden Underholdende,menikketriviel Dissetreelementereralleblevetimplementeretiminformidlendeartikelompi.Dettevilblive forklaretdybereidefølgende. 7.2-Formål- IdenneopgaveharjegudarbejdetenpopulærvidenskabeligartikeltilIllustreretVidenskabomtalletpi. Artiklenhartilformålatoplyseoginformerelæserenafmagasinetomtalletshistorieogudviklingogi sidsteendeskabeenyderligereforståelseforemnet.detteharjegvalgtatgørevedatbegyndefradet udgangspunkt,atallekendertilpi,menatdeterdefærrestesomrentfaktiskkendernogettildets historieogbetydning. 20Reinecker, Jørgensen, & Gandil, 2008, pp. 6-7) 2Paludan, 2005, p. 6) 22

25 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Setudfradetretoriskepentagram,såer afsenderennaturligvismigsomenfagperson,der skalforsøgeatformidlenogetmatematiskviden tillæseren,somsåledesermodtageren. Situationenerenpopulærvidenskabeligartikeltil IllustreretVidenskab,derhardetbudskabatgøre folkklogerepåtalletpi shistorie.dettegøres vha.afetsprog,somertilpassetmodtageren,så hanfårdetmaksimaleudbytteafafteksten Målgruppe- Iforbindelsemedvalgetafmålgruppeogpopulærvidenskabeligtmagasinharjeggjortmigvisse overvejelser.daillustreretvidenskaberetmagasin,derharfokuspånyforskningogviden 2,menerjeg, atderopståretmismatchimellembladetsvisionogmitemneompi,daenhistoriskgennemgangaf detsudviklingikkeligefremkankategoriseressomnyforskning.derforharjegogsåhaftandreblade somf.eks.dsb sudogseogbonniersandetbladhistorieimineovervejelser.alligevelerjegendtmed IllustreretVidenskab,dadet,efterminoverbevisning,hardenstørstematematiskerelevans.På baggrundafdetteharjegvalgt,atminartikelskalfungeresomenoplysendehistoriskgennemgang, fremformagasinetssædvanlige breakingnews indenforforskning.dettebladhar,ifølge printguiden.dk,flest62%)mandligelæsere,hvorafstørstedelenermellem40`59år%)og naturvidenskabeligtinteresseret. 24 Denneinformationharjegforsøgtatanvendepåtomåder.I forklaringerneafdematematiskebegreberharjegprøvetgøredetsåforståeligtogvelkendtsom muligt,ogjegharf.eks.sammenlignetuendelighedenmedudskæringenafenpizzaoginddrageten alkoholiskdrinkienhuskeremseforpi.derudoverharjeggenereltitekstenlagtenvis naturvidenskabeliglinje,somikkenødvendigviskræverenfagligkunnen,mensomappellerertilfolkder erinteresseretidetteemne.forengodordensskyldskaldetnævnes,atikkeheleartiklenssprogog layouterbyggetpådissetalmenpåbagrundafminegenvurderingogensammenligningmed magasinetsoriginaleartikler. 22hentetfra: 2Bonnier Publications) 24Bonnier Publication, 200) Figur:TagetfraDanskfaget.dk 2 Figurenforestiller Cicerosretoriskepentagram,somkanbrugestilat analysereentekstretorisk. 2

26 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/ Opbygning- Idetatderertaleomenformidlendeartikel,medførerdetogsånogleretningslinjerforopbygningenog formatet.dogerdisseåbneforfortolkningsålængemanlæggersitfokushoslæseren. Titlenforenartikelafdennetypeerekstremvigtig.Dener,somoftest,detførstemansomlæser læggermærketil,ogpådenmådevirkertitlensomblikfangforrestenafartiklen.denersåledesyderst afgørendefor,ommanstopperopoglæserartiklenellerbarebladrervidere.derforerdengodetitel interessevækkende,fængendeogikkemindstrelevantfortekstenogdenshovedbudskab.udfradisse ideerharjegvalgtatkaldeminartikelfor Pi erdetikkebare,4?,dajegbådefinderden interessevækkende,idetatdenerudformetsometspørgsmål,ogfordidenhængergodtsammenmed minintentionomatflyttelæserenfrabareatkendetilπtilatkendehistorienbag.detnæstederfølger erenundertitel,somkortuddyberoverskriftenogsamtidigtlederoptilbegyndelsenpåartiklen. 25 Dernæstkommeranslaget,ogakkuratsommedtitlenerdetvitalt,atindledningenpåbrødtekstener fængende,samtkortogpræcistbeskrivertekstenshovedfokus.dettekaneksempelvisgøresmeden historieellerberetning,derharudgangspunktikonkreteeksempler.detkanogsågøres,somjeghar valgtiminartikel,vedatskabeenrelationtilmodtageren,hvorveddebliver fanget ogfåretoprigtigt ønskeomatlæsevidere Sprog- Sprogetskalværelevende,interessantogikkemindstforståeligt 27,ogsomforfattertildennetype artikelerdetvigtigt,atmankansættesigilæserenssted,ogforståhvadhanforstår,førmankanlære hamnogetnyt. 28 Deterderforvigtigt,atman,jf.deikkefagligelæsere,hellerikkeanvendersærpræget fagsprog.såledesskalmansåvidtmuligtundgåatbrugefagtermerogbegreber,ogisærikkeudenatfå denforklaret,evt.ienfaktaboks. 29 Iminartikelharjegvalgtatmarkeredesværematematiskebegreber medkursivforatunderstregederessærskilthedfrarestenafteksten.ydermereharjegforsøgtat forklaredemmeddagligdagstermerogvendinger,såjegdervedkanskabeenrelationtilnogetvelkendt oghåndterbart.detteereksempelvisgjortvedforklaringenafbegrebetuendelighed. 25Christensen & Christensen, 2009, p. -2) 26Kock & Tandrup, 2006, pp. 6-7) 27Paludan, 2005, p. 6) 28Felsager, 20, p. 49) 29Reinecker, Jørgensen, & Gandil, 2008, pp 8-9) 24

27 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Itaktmedatartiklenskalhavemodtagerenifokus,erdetvigtigtatmantagerenpointeadgangen,når manskalforsøgeatformidlesitbudskab. 0 Pådennemådenytterdetaltsåikkenogetatforsøgeat proppelæserentilmedinformationerudenatdisseakkompagneresafnoglerelevanteeksemplerog detaljeredebeskrivelser.somfølgeherafforsøgerjegiminartikelattageminelæserevedhåndenpå denkulturellerejsegennempi shistoriskeudviklingvedatgørebrugafspecifikke afsnits`åbnere som: Nuspolervietpartusindårfrem,og og Detskullevisesigatgåmangeår,før.Detosætningerhar deneffekt,atdegiveroverblikoverdenhistorisketidogartiklengenerelt. Enandenvæsentligfaktoriforbindelsemeddetsprogligeaspekteretunderholdende ogpersonligt sprog,derharmodtagerenifokus.detteersærdelesformålstjenligtiformidlingenafetfagligtsvært stof,ogdetkanværeennøgletilat låse læserenshjerneop,ogherafkunneskabeenforståelse. Dennetypeafsprogkaldesogsåfornormalstil,hvormanikkeharlangetungeformuleringerhøjstil), menhellerikkeskrivertalesprogmeduformellevendingerlavstil). 2 Dissepersonligeorderde personligepronominer,somjeg,han,duogvi,derselvvedenlilleanvendelsesgradmedføreretmere særegentoginteressantsprog.depersonligeformuleringerersætninger,derentenermangelfulde, brudtopellerformuleretsometspørgsmål.dissekanman,medfordelfordetlevendesprog,anvende mangegangeientekst.detvisersigdaogsåfraforskning,atbrugenafdeomtaltepersonligeordog sætningernetopharenstorbetydningforlæserensoplevelseaftekstensmenneskeliginteresse. Imin artikelerdettegjortvedatskabeengennemgåendelettone,somforsøgeratgøresprogetlevendeog interessant.endvidereharjegvalgtattilføjemineegnekreativesætningerogformuleringer,derbåde skalbidragetildenintentionelleforståelseaftekstenmenogsåsomindsparktildenneomtaltetone. Eksemplerpådisseformuleringerer: hvorisærmatematikerenahmeshavdeenfingermedispillet, Ladosprøveatforestilleos,atvi og Menhvadhardetmedberegningafpiatgøre? Hvorde personligeordogdeleerunderstreget. 0Kock & Tandrup, 2006, pp.6-7) Paludan, 2005, p. 6) 2Sørensen, 20) Kock & Tandrup, 2006, pp. 42-4) 25

28 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Somnævnttidligereerdenneartikelmentsomenoplysningstekst,hvorderbliverforklaretogredegjort forenmatematiskudviklingaftalletpi.såledesharjegikkegjortmegetbrugaftoulmins argumentationsmodel,menistedetharjeganvendtappelformenlogos,dervialogiskeogrationelle argumenterforsøgeratappelleretilmodtagerensfornuft.derfindesdogalligevelislutningenet eksempelpåargumentationsmodellen,hvorjegargumentererfor,atpiharbetydetenheldelforden teknologiskeogvidenskabeligeudvikling.dennepåstandunderstøtterjegmedbelæggetom,atdeti matematikernessøgenefterfleredecimalerharværetnødvendigtatudviklenyeregneredskaber.som eteksempel,ellerdensåkaldterygdækning,anvenderjegchudnovskybrødrene,dernetop produceredeennytypecomputer,somkunneløsepimedmangeflerecifreendtidligere. 7.6-Layout- Påsammemådesomsprogetharlayoutetellerdesignetogsåenafgørendebetydningforlæserens forståelseogudbytteafteksten.somtidligerenævntkantitlenvirkesomblikfangforartiklen,idetat deterdetførstelæserenvillæggemærketil.mendeterikkekunpga.sproget,attitlenkanfange modtagerensopmærksomhed.detharligeledesmegetmedplacering,farveogstørrelsepåtekstenat gøre.titlenpåminartikelerskrevetmedenblåligfarve,derpåenogsammetidadskillersigfraden sortetekstomkringdenogskaberopmærksomhedhoslæserenheraf,mensamtidigterensfor oveskrifterneifaktaboksene.ligeledesharjeggennemgåendeanvendtforskellige,mendog konsekventefarverogtypografierpåhenholdsvisunderrubrikker,tekstbokse,billedteksterosv.,så enkelthedenbevaresogdervedstøtterbudskabet. 4 Ibegyndelsenafbrødtekstenharjeggjortbrugafetstørrebegyndelsesbogstav,ogsåkaldetdropcap ellerinitial 5,somigenhardenegenskab,atdetskaberopmærksomhed.Ligeledesskabesderenvisuel grænsemellemrubrikkerneogselveteksten,ogsamtidigtgørforfatternetilillustreretvidenskabogså gørbrugafdennelayoutmæssigedetalje.jeghardogikkevalgtattilføjenogenbylineindeholdendemit navnafdenårsag,atdetteertænktsomenartikeltiletblad,somikkegøropmærksompådenenkelte forfatter,menhvordenneerfremstilletsomeninstitution. Jeghardesudenvalgtatgørebrugaffaktabokse,derhartilformåldelsatuddybespecifikkedeleaf brødtekstensom,afhensyntilpladsmangelogrelevans,ikkeerforklaretidetaljer,ogdelsatfungere 4Tverskov & Tverskov, 2009, p. 96) 5Christensen & Christensen, 2009, p. ) 26

29 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 somenpartafartiklensgrafiskeudseende.faktaboksenebliversomoftestlæst,ogdervedkande medvirketilatskabeetoverblikoverartiklen. 6 Endvidereharjeganvendten Vidsteduat `boks,som erklassiskforillustreretvidenskabsartikler,ogsomgørtekstenmereillustrativoginformationsrig. Derudoverharjeganvendtendnuenfaktaboksomtalendeenhuskeremseforpi,deregentligikke relaterersigtildetmatematiskearbejde,mensomjeg,jf.målgruppeudvælgelsen,vurderergørteksten lidtmerespændendeoginteressant.fællesforalledisseeksterneteksterertypografien,somafviger fradencentralebrødtekst,sometsymbolpåderesuafhængighed.forståetpådenmåde,atman sagtenskanlæsedem,udenathavelæstartiklenførst. 7.7-Udvælgelse- Denneformidlendeartikelsformålharsombekendtværetatkogedenmatematiskeopgaveompined tilenhåndgribeligmasse,somdengennemsnitligelæserafillustreretvidenskabvillekunnekapereog ikkemindstforstå.somfølgederafharjegmåttetforetagenogletil`ogfravalgiforholdtilhvilke matematiskedele,somjegvillevælgeatbringeiartiklen.jeghardog,somkatinkapaludanforeskriver det,forholdtmigærligttildenvidenskabeligedel. 7 Overordnetsetharjeginddragetdetre hovedemnerforopgaven: Deførsteværdierafπ, Archimedes sbestemmelseafπ og Nyere metodertilberegningafπ,mendeterforskelligt,hvormegetjegergåetidybdenmedderespektive dele.someksempelkannævnesdenogetkompliceredematematiskebeviserogudregninger,somikke pånogenmådevillepasseindidennetypeartikel.deterderudoverogsåværdatbemærke,atjegi denmatematiskedelgennemgåendeharvalgtatbrugesymbolet π,mensjegiartiklenogrestenaf opgavenharvalgtatbruge pi.denneskelnenharjegforetaget,idetat π imatematikkenvirkermere professioneltogpræcist,mensdetomvendtidetmereskrevnesprog,iminoptik,fungererbedremed pi.detteerogsåetemneiforholdtiloverskriften Pi erdetikkebare,4,hvordetskrevnevisuelt virkerbedreendsymbolet.ligeledeserdetteeteksempelpådetofagsdiskurser,hvormatematikken harnoglefasteformuleringerogvendinger,modsatdendanskfagligeartikelsmerefriestruktur. 6Tverskov & Tverskov, 2009, p. 49) 7Paludan, 2005, p. 6) 27

30 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 8.Konklusion- Iopgavenerderblevetforetagetengrundiggennemgangaftalletpi sbetydningsfuldehistorie,ogheraf erenrækkeeksemplerblevetgennemgået.detervist,hvordanmanalleredefor4000årsidenhavde kendskabtildennekonstant,oghvordandevha.relativtfåmidlerkunneudregneenmegetpænværdi aftallet.endvidereerseneretidersudregningafpiblevetbehandlet,hvorisærarchimedes bestemmelseaftalleterblevetgennemgåetidetaljer.ydermereerbrugenafarcustangenstilen bestemmelseafpiblevetforklaret,ogeksemplerpådisseudregningerblevetgivet.sidstmenikke mindsteropgavenpådetvedlagtebilagblevetløst,ogensammenligningmedpierblevetforetaget. Derudovererenformidlendeartikelblevetudarbejdet,derhartilformålatskabeenforståelsefordette matematiskeemnegennemdetaljeredeforklaringerogillustrationer.dettekankungøresvedatsætte sigilæserenssted,ogformidlesinvidenderfra.refleksionerneoverdetteerdernæstblevetomtaltien metaopgave`del,hvordererblevetargumenteretforvalgetafdedanskfagligevirkemidler,ogderes respektiveeffekt.detkanherafkonkluderes,atnårderertaleomformidlingafviden,såerdermange elementer,someressentielleforatkunneviderebringedenne. Altialtkandetkonkluderes,atpiharværetetyderstcentralttalidenmatematiskehistorie,hvornogle afdeældsteskrifternetopomhandlerdettetal.påsammemådeharstorematematikeresom ArchimedesogLeibnizsenerehenbeskæftigetsigmedpiogfundetværdier,somvimangeårsenere kankonstaterevarmegettættepådenkorrekteværdi.tilsidstskaldetsiges,atpi,somfølgeafjagten pådecimaler,harhaftenstorpåvirkningpåudviklingafmoderneteknologiskeogmatematiske redskaber. 28

31 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Litteraturliste Bøger Bøge,K.99).Elementeraftalletπ'shistorie.Vejle:Abacus. Beckmann,P.97).AHistoryofπ.udg.).NewYork:St.Martin'sPress. Kock,C.,&Tandrup,B.2006).Skriviallegenrer.København:Gyldendal. Mailand,M.K.20).Guidetilstoreskriftligeopgaver.Københanv:Gyldendal. formidlendeartikler.frederiksberg:samfundslitteratur. Sørensen,J.20).Metoderidansk.Systime. Svendsen,T.994).Bogenomπ.Herning:Systime. Andet BonnierPublications.u.d.).IllustreretVidenskab.Hentede6.december204fraBonnier Publications: BonnierPublications.200).IllustreretVidenskabSProfilaf læsere.Hentetfra Christensen,B.,&Christensen,F.2009).Formidlingsopgavermeddansk.HaslevGymnasiumoghf. Felsager,B.20).Detvarentemmeligmørkogmåskeogsåsormfuldogråkoldoktoberaften Paludan,K.2005).Atfortælleomvidenskab.Dansk,InstitutforNordiskeStudierog Sprogvidenskab. 29

32 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Bilag&- 0