Abstract! Andreas(I.(Jensen( Greve(Gymnasium( 18/12/2014( (

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Abstract! Andreas(I.(Jensen( Greve(Gymnasium( 18/12/2014( ("

Transkript

1 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Abstract This%study%investigates%the%number%pi%and%its%significant%development%throughout%time.%This%is%done%by% explaining%the%first%determinations%of%pi%found%in%ancient%egypt%and%babylonia.%archimedes %method%of% finding%pi%will%then%be%derived%in%detail.%furthermore,%newer%ways%of%determining%pi%will%be%discussed,% and%an%example%of%this%will%be%presented.% Based%on%these%results,%an%article%with%the%purpose%of%disseminating%the%scientific%knowledge%will%be% composed.%thus%article%will%focus%on%making%the%difficult%and%challenging%mathematical%part% understandable%to%the%reader%of%a%popularascience%magazine.%additionally,%a%metaatext%containing% reflections%on%the%rhetorical%and%stylistic%sides%of%the%article%is%produced.%this%also%includes%a%reflection% on%the%chosen%target%group%and%the%selection%of%the%scientific%math.%from%this%metaapart%it%is%concluded% that%in%order%to%get%the%reader%of%an%article%to%understand%a%complex%theme,%it%is%essential%that%the% writer%is%able%to%put%himself%in%their%place%and%communicate%from%that%level.%% The%study%also%shows%that%the%commonly%known%value%of%pi%has%changed%many%times%throughout%time,% and%that%there%has%been%a%transition%from%knowing%about%three%decimals%of%the%number%in%2000%b.c.,%to% knowing%thousands%of%billions%digits%today.%moreover,%it%is%discovered%that%pi%has%had%a%great%influence% on%the%development%of%modern%technology,%and%this%is%a%result%of%the%last%century s%hunt%for%digits%of% this%miraculous%number.% % % % % % %

2 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Indholdsfortegnelse-.Indledning De-første-værdier-af-π Forhistorie Denægyptisketilnærmelseafπ... 2.Denbabylonisketilnærmelseafπ...4.Archimedes bestemmelseafπ Nyere-metoder-til-bestemmelse-af-π... 4.VidereførselafArchimedes metode Uendeligerækker Opgave-på-bilag Artikel:- Pi- -er-det-ikke-bare-,4? Metaopgave Vidensformidling Formål Målgruppe Opbygning Sprog Layout Udvælgelse Konklusion...28 Litteraturliste...29 Bilag

3 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204.Indledning Vikenderallesammentiltalletpi,mendeterdefærresteafos,derkendernogettildetshistorieog udvikling.pierenbemærkelsesværdigstørrelse,derharbeskæftigetutalligematematikeregennem tiden,oghvistilnærmedeværdiharudvikletsigmarkantgennemalledisseår.menhvorstammerdet fra,oghvordanharmankunneberegneetsåkompleksttal?dettevilbliveforsøgtbesvaretidenne opgave. Tilatbegyndemedvilderbliveredegjortfordeførsteberegningerafpiforetagetafhenholdsvis ægypterneogbabylonierne,oghvordandisseberegningerharfåetbetydningforseneretiders bestemmelseafpi.heraffølgerendetaljeretgennemgangafdengræskematematikerarchimedes bestemmelseafenøvreognedregrænseforpi.dernæstvilderbliveomtaltnyereogmeremoderne måderatberegnetallet,hvortileksemplervilforekomme.afslutningsvisvilopgavenpåbilagblive beregnet. Dendanskfagligedelafdenneopgavevilbeståafenpopulærvidenskabeligartikelomtalletpiskrevettil IllustreretVidenskab,somhartilformålatformidledetmatematiskeindholdtildenalmindeligelæseraf dettemagasin.påbaggrundafdenneartikeludarbejdesenmetaopgave,hvoriderreflekteresoverde anvendteformidlingsredskaberiforholdtilindhold,udseendeogudformning.

4 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 2.Deførsteværdierafπ- 2.-Forhistorie- Sidentidernesmorgenharmennesketlevetisamspilmednaturen.Gennemtidenharmanforsøgtat svarepådemangefantastiskeegenskaberogevner,somnaturenbesidder,ogdeterdenne nysgerrighed,somharudvikletsigtildenvidenskab,vikenderidag.forlidtmereend4000årsiden begyndtedeførstemenneskeratforetagemålingerogberegningerafnaturen,ogdeterplausibeltat forestillesig,atdeharværetyderstfascineretafcirklen.dennehardekunnetseideres medmenneskersiris,isolen,imånenogiderundeblomster. Samtidigtkanmanforestillesig,at menneskeneharkendttilenvisformforproportionalitet.eteksempelpådettekanvære,athvisén markkanmættedenhalvestamme,såkantomarkermættedenhele,ogtremarkerkanmætte halvandenstamme,osv. 2 Altsåjostørredeneneer,jostørreerdenanden.Denneformfortankegang førtetilenidéom,atjostørreencirkeler påtværs jostørreerden rundtom.detvikendersom omkredsogdiameter.påetseneretidspunkterdenneidéblevettilenantagelseaf,atforholdetmellem dissetolængdererkonstantforallecirkler. Dennekonstanterden,viidagkendersomdetgræske bogstavpi,derbetegnesmedπ.deterdogvigtigtatholdesigforøje,atdennenavngivningførstblev foretagetibegyndelsenaf700tallet,menfornemhedsskyldvil π blivebrugtidenneopgave.denne antagelseomkringcirklenførertilendefinitionafπ: hvoroercirklensomkredsogderdensdiameter. 4 Såledeservifremmevedcirka2000årf.Kr.,hvortildeførstematematiskekilder,frahenholdsvis ÆgyptenogdetdaværendeBabylonienidagIrak),kanspores.Dissekilderindeholderikkebareet kendskabtiltalletπ,menogsåhverderestilnærmelsetildensværdi,somidetfølgendevilblive betegnetsom: Æ fordenægyptiskeværdi fordenbabylonskeværdi. Svendsen, 994, p. 7) 2Beckmann, 97, p. ) Svendsen, 994, p. 7) 4Beckmann, 97, p. 2, sæt.) 2

5 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Derudoverkendtedeantikkematematikereogsåtilmådenatberegnearealetforencirkel,som,udover enenkelmetodeiægypten,ikkeerforklarettilfulde.derblevanvendttoforskelligeformler: og 4 hvorterarealetafcirklenogrerdensradius Den-ægyptiske-tilnærmelse-af-π- Detældsteægyptiskedokumentsomindeholdermatematiker PapyrusRhind,derblevfundeti858. DetteskrifterudarbejdetafdenægyptiskematematikerAhmesomkringår659f.Kr.,menerenkopiaf etskrift,somblevudarbejdetunderkongne`ma et`re 6.Dokumentetindeholder84matematiske problemerogderesdertilhørendeløsninger,hvorafdeflesteforekommerudennogenvidere forklaring. 7 Idet48.problembliverenberegningafπforetaget.Ahmesbeskriverencirkelmeddiameteren9,der bliveromskrevetafetkvadratmedsidelængden9.kvadratetbliverderefterdeltopi9andrekvadrater medensidelængdepå,oghjørnekvadraternebliveropdeltitoretvinkledetrekanter.såledesbliver derdannetenirregulæridetat hjørnesiderne erlængereendresten)ottekant: 8 DerefterantagerAhmestotilnærmelser, somhanvurderervilophævehinanden. Denførsteer,atarealetafcirklenerlig arealetafdenirregulæreottekant.denneer dog6,idetatarealetafdetstorekvadrat måvære9 8,ogfratrækkessådefire hjørnetrekanter,somtilsammenudgørto kvadratermedsidelængden,fåsarealetaf ottekantentil: Beckmann, 97, pp. 6-7) Figur:LavetpåTISNspireafAndreasI.Jensen 6Svendsen, 994 p. 0) 7Beckmann, 97, p. 2) 8Svendsen, 994, p. 9)

6 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 DernæstgørAhmessinandentilnærmelseogsætterdettearealafottekantenligmed64idetat deristedetblivertaleometkvadratmedensidelængdepå8). 9 Udfrakendskabettilformlenfor cirklensareal: 4 fåsdetatarealetafcirklenmeddiameter9er: ogviderekandenægyptiskeværdi Æ findes: Æ Æ 4 Æ ,6049 Såledeskandenægyptiskeværdiafπbestemmestilatvære Æ, Den-babyloniske-tilnærmelse-af-π- LigesomveddenægyptiskeberegningafπharmanogsåioldtidensBabylonienfundetetgammelskrift fraenlertavle,somviserkendskabtilcirklensforholdogegenskaber.babylonierneanvendte,modsat ægypterne,et60`talssystem,somisinopbygningerligesomdetmoderne0`talssystem.såledesvarde langtforanægypterneideresbehandlingaftal.dettesystemerligeledesgrundentil,atviidaginddeler vorestidihenholdsvis60sekunderog60minutter,samthar60 iencirkel. 0 Pådennelertavleerbeskrevetetforholdmellemomkredsenafenregulærsekskantogomkredsenaf densomskrevnecirkel.heromskrevettilmodernenotation: hvor svarettilomkredsenafsekskantenog svarertilomkredsenafdenomskrevnecirkel. 9Svendsen, 994, p. 9) 0Svendsen, 994, p. 0) 4

7 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Daderertaleomenregulærsekskant, kanomkredsenafdenneberegnestil 6,ogomkredsenafcirklentil 2".Eftersomderpådet babyloniskeskrifterangivetetforhold mellemnetopdissetoomkredse,kan detopstilles: " detkanføresvideretil: såledeskandenbabyloniskeværdi findes: Deraffåsatdenbabyloniskeværdiafπvar,25 Detoværdiererbeggeenudmærkettilnærmelseafpi,somsagtenskunnebrugestilatkonstruere noglefornuftigegeometriskefigurer.detteblevdaogsågjortimangetusindår,førmerepræcis værdierafπblevfundet.disseværdiervardogbyggetpådetfundament,somantikkensmatematikere støbtemangeårforinden. Figur-2:--Lavet-på-TITNspire-af-Andreas-I.-Jensen-.Archimedes "bestemmelse"afπ Dengræskematematiker,ArchimedesfraSyrakus,blevfødtomkringår287f.Kr.ogerafmange anerkendtsomenafdestørstematematikerenogensinde.ifysikkensverdenerhanisærkendtforsin lovomkringopdriftenpåetlegeme,derbliverfortrængtienmasse,somhanangiveligtskullehave 5

8 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 fundetpå,menshanlåisitbadekar. Idetfølgendeerdetdoghanstilnærmelsetiltalletπ,somvil blivegennemgået. 2 Archimedes metodeerisinopbygningrelativsimpeloggårialtsinenkelthedudpå,atmaniencirkel harenindskrevetogenomskrevetpolygon,hviskantergradvistfordobles,såderesomkredsnærmer sigmereogmereomkredsenpåcirklen.ifigurennedenforerindtegnetencirkelmedradius,somer ind`ogomskrevetafenregulærsekskant.deharhenholdsvissidelængderneh fordenindskrevne polygon,og fordenomskrevne,hvorerantalletafsideripolygonen: - Detsesheraftydeligt,atomkredsenafden indskrevnepolygon måværemindre endomkredsenafcirklen ),ogomvendt måomkredsenafdenomskrevne polygon )værestørre.såledeskandet udledesat: < < Pådennemådefindesentilnærmelseafπ ved: h < 2" < hvor ogerantalletafsider:" h < 2 < 2 h < < 2 PådennemådekunneArchimedesvedbrug afsiderneidetopolygonerfindeen Figur-:-Lavet-på-GeoGebra-af-Andreas-I.-Jensen.-Det-ses-at-siderne-i-den-indre- polygon-og-dens-diagonaler-danner-6-ligesidede-trekanter,-som-alle-har- sidelængden-.- tilnærmelsetilπ,somvilleblivemereogmerepræcisitaktmedatantalletafsideripolygonerneblev større. Archimedesbrugteen96`siderspolygontilattilnærmesigdenneværdiafπ: Beckmann, 97, p. 62) 2Det følgende er bygget på Svendsen, 994, pp. 6-2) 0 7 < <

9 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 somliggertilgrundfordengenerelle,mendogikkekorrekte,tankeom,atπer: Førstfindesensammenhængmellemsidernepådenregulæreindskrevnen`kanth ogdendobbeltså store2n`kanth.tildetteanvendesnedenståendetegninger,hvorcercentrum: Detses,atvinkelDer90,ogvinkelAer90,idetatdenstovinkelbenspænderoverenhalvcirkel. Derudoverer ABDog ABEensvinklet,davinkelBerensforbeggetrekanter.Dissetotrekantertegnes herfigur5): Figur5:-Lavet-på-GeoGebra-af-Andreas-I.-Jensen- Figur-4:-Lavet-på-GeoGebra-af-Andreas-I.-Jensen- Eftersomderertaleomtoensvinkledetrekanter,kan detopstilles,at: detføresvideretil: " " " " " " " " " " " " " Affigur4sesdet,at " h og " 2 2, såledeskanviskriveenformelforh : 7 -

10 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 ℎ " " 2 " foratfindelinjestykket sesdetaffigur4at: " " " " hervedskallængden " findesvedbrugafpythagoraslæresætningpå ADCfigur4a): " DC + " DC " " " " " værdiernefrafigur4indsættes: " ℎ 2 ℎ 4 Nukansidelængden " bestemmes: " " ℎ 4 Figur4a:LavetpåGeoGebraaf AndreasI.Jensen.Påfigurenses ADC- Dettesættesnuindiformlenforℎ : ℎ 2 " 2 ℎ ℎ ℎ oghermederensammenhængmellemℎ ogℎ fundettil: -- ℎ 2 4 ℎ Ligning-:-Formlen-for-sidelængden-af-den-indskrevne-2nTkant- - Dernæstkanentilsvarendesammenhængmellemdenomskrevnepolygonssidelængderpåhenholdsvis n`kantenog2n`kantenbestemmes.herbrugesfølgendebevisomvinkelhalveringslinjer,somafhensyn tilpladsmangel,ikkeerbevist: 8

11 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Envinkelhalveringslinjeientrekantdelerdenmodståendesideistykker,hvisindbyrdesforholderlig medforholdetmellemdesiderderdannervinklen Altså,setiforholdtilfigur6,sålydersætningen: " " " " Dettekanbrugestilatbestemmesammenhængenmellemn` kantenog2n`kantenafdenomskrevnepolygon.tildettebruges yderligerenedenståendefigur7,hvorlinjen CK eren vinkelhalveringslinjetilvinkelci CFK: Fordennekonstruktiongælderdet,jf.ovenståendesætningom Figur6:LavetpåGeoGebraaf AndreasI.Jensen- halveringafvinkler,at: " " " " Affigurenkandetses,at: " 2 " 2 2 " 2 " " beregnesvha.pythagoraspå CFK: " " + " " Figur7:-Lavet-på-GeoGebra-af-Andreas-I.-Jensen.-På-figurenses-den-samme-enhedscirkel-med-en-nTkantet-omskrevetpolygon-med-siden- FL -og-en-2ntkantet-polygon-medsidelængden- JG Såledeskandetovenståendeforholdskrives: 2 " " 2 <> " " 2 Svendsen, <> , p. 8, sæt. ) 9

12 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 derreduceresyderligere: + 4 <> faktoriseringbruges,såvikunhareth 2n : herafkanenformelforsammenhængenmellem og bestemmes,vedatisolere : såledeserformlenforbestemmelseafsiderneidenomskrevne2n`kant: Ligning-2:-Formel-for-sidelængden-af-den-omskrevne-2nTkant PådennemådekunneArchimedesbestemmeentilnærmelseafπvedbrugafligningog2,somville blivebedrejostørrenvar.somtidligerenævntregnedearchimedesentilnærmelsemedbrugafto96` kanter,ogfikværdien: 0 7 < < 22 7 Menmankaniprincippetblivevedmedatfordobleantalletafkanteripolygonen,ogfåenmereog merepræcisværdiafπ.dogmedderedskaber,somarchimedeshavde,varen96`kantdetmaksimale hankunneregnemed.detskalligeledesnævnes,atarchimedes værdierikkestemmerheltoverens meddet,somvivillekunneberegneviacomputeroglommeregneridag.detteergrundetde kvadratrødder,somindgåribeviset.f.eks.erstattedehan med " " og 49450med59,hvilke beggeergodetilnærmelser,mensom,påsammemådesomhansværdiafπ,ikkeerheltpræcise. 0

13 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Itaktmedattidengår,blivermatematikkennaturligvisbedreogbedre.Dettegælderogsåfor tilnærmelserneafπ,somgennemdesidste4000årharhaftmangeforskelligetilnærmelser.i midtenaf600stalletbegyndernyematematiskemetoderatkommefrem.deteridennetid,at differentialsogintegralregningbliverudviklet,ogdetbanervejenforheltnyeaspekterafdetderi matematikkaldesanalyse.detmedførersamtidigtogså,atderfremkommernyeogmerepræcise redskabertilatberegneπ.princippetomuendeligerækker,somerdefineretvedensummed uendeligmangeled,blivermereogmereanvendt,ogisærforπfårdetenafgørendebetydning. 4 4.Nyere%metoder%til%bestemmelse%af%π- 4.-Videreførsel-af-Archimedes -metode- 4.2-Uendelige-rækker- I650fremstillerdenengelskematematikerJohnWallis,somenafdeførste,enuendeligetalrække tilbestemmelseafπ.denneerisærspeciel,dadensomenafdeførsteikkekræverberegningmed vanskeligekvadratrødderellerandreumedgørligeudtryk.denneproduktfremstillinglyder: Selvomdennerækkeforπvarbemærkelsesværdigsammenlignetmedandreudtryk,såer konvergenshastigheden,altsådenhastighedhvormedudtrykketgårmod,megetlille,ogførstved 0 findesenværdiforπ,hvisførste6cifreerkorrekte.bevisetforwallis rækkevilikke blevetgennemgået,menblotbrugessomeksempelpådenførsteafmangerækkertilberegningen afπ. 5 IdetfølgendevilistedetdetorækkerafhenholdsvisGottfriedLeibniz646S76) 6 og AbrahamSharp65S742) 7 bliveomtalt. 8 Leibniz rækkefra674lyder: hvordenuendeligerækkerherkonvergerermod 4Svendsen, 994, pp. 2-25) 5Bøge, 99, p. 24) 6Beckmann, 97, p.) 7Beckmann, 97, p.02) 8Det følgende bygger på: Svendsen, 994, pp. 26-)

14 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 TilsvarendeudvikledeAbrahamSharpi699enuendeligrækketilberegningafπmed7 decimaler: hvorrækkenherkonvergerermod EftersomSharpsrækkehurtigerefårmindreled,erdennemerevelegnettilatberegneπend rækkenafleibniz,menfællesfordemerderestilknytningtildensåkaldte"$%srække."$% ellerarcustangenserdeninversefunktionaf"$%&ietintervalhvor"$%&eller"er injektiv.eninjektivfunktionerenfunktion,somkunharenxsværdiforhverysværdi,ogsåledes kanderfindeseninversfunktion.tiltangenserdennealtså"$%,somogsåtitbetegnes". Intervalletafdefinitionsmængdenbegrænsestil] ; [ogderafer"$%&injektiv,ogsåledes findeseninversfunktion,"$%.idetat"og"$%erhinandensomvendtekandetskrives,at: arctan Vmtan) R " arctan Dmtan) ] 2 ; 2 [ hvordmerdefinitionsmængdenxsværdierne)forfunktionen,vmerværdimængdenysværdierne) forfunktionenogreretudtrykforderationelletal.tegnesdetofunktionerfås: Figur8:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen 2

15 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Hvor")ermarkeretmedblåog"$%)medrød. Nusættes: tan <> arctan idetatarctan arctan tan,dadeneneophæverdenanden. Hvis"$% nudifferentieresviacomputerenfås,at: "$ + Detteskalbrugessenereibevisetfornedenståendesætning,kaldetsætning9: arctan) +, [ ; ] 5 7 hvorarctan erskrevetsomenuendeligsum.bemærkattherliggeriintervallet[ ; ],menat detidetfølgendebeviserimellem] ; [ Hvisf.eks.enfunktion)skrivessomenuendeligrække,dergårmod,fåsdetat: + + hvordetnetoper,attskalværeimellem] ; [foratrækkengivermening. Hvis multiplicerespåhvertled,giverdetat: ) Adderesdetoudtryka)ogb)nusammenfåsdet,at: derfaktoriseresforatkunneisolere : + <> Eftersomudtryka)ogb)harsammevenstreside,kandetskrives: Integreresdettenufås: " " )" arctan Svendsen, 994, p. 28, sæt. 6)

16 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 dadetafdenovenståendesætningmarkeretmedfedt)ervist,at"$ Såledeser: arctan hvorkeretudtrykfor +.Sættes 0,bliverogså 0,daarctan 0 0. Hermedersætningbevist. Denmåde,hvorpåLeibnizogSharpharanvendtdennearctanSrækkeer,atdeharindsatenværdi fort,derafarctangiveretforholdmedπ,somdenuendeligerækkekonvergeremod.leibnizsatte ogfiksåledes: arctan ogheraferleibniz rækkevist.detsammekangøresmedsharpsrække,hvor blevbrugtistedet: tan 6 såledesbliverabrahamsharpsrække: idetateksempelvis: VedatgørebrugafovenståenderækkekunneAbrahamSharpberegneπmed7korrekte decimaler,hvilketpådettidspunktvarenrekord.denneersenereblevetslåetmangegange,og medimplementeringenafdatamatenimidtenaf900stalletogfrem,fikberegningenafπet overordentligtstortskub,ogtildagsdatoerflerehundredemilliarderdecimalerafπblevetfundet. Pådennemådeharπaltsåhaftenindvirkningpåudviklingenafnyteknologi. 4

17 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 5.Opgavepåbilag- Vis,-at- " -- Sammenlign-denne-værdi-med-værdien-af-π- Førsttegnesencirkelmedradiusligvenstre),derharstykket AB somdiameter.dernæstindtegnes enandencirkelhøjre)medsammeradiussomdenførste,ogmedbsomcentrum.detsesheraf,at stykket BC erlig,dadennenetoperradiusidenblåcirkel: Figur9:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen.Endelaffigurenerskåretfraafhensyntilplads Fornuatkunnetegnedenvinkelrettelinjetildiameteren, " " skalstykket AC først bestemmes.dettegøresvedbrugafpythagoraslæresætningpådenretvinklede ABC: Heraferlængden AC fundetog AP ersåledes: AC + " " AC " " AC 2 4 AC " " 5

18 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Detteindtegnesnupåfigurenfigur0): Figur0:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen.Bemærkatendelaffigurenerskåretfra. Nuindtegneslinjestykket BQ,ogPogQforbindesrødlinjepåfigur):- Nuskaldetvises,atlængdenfraPtilQkanskrivessom: " 4 + DettevisesvedigenatanvendePythagoras.Førstindtegnes enlinjefigur),dererparallelmedogharsammelængdesom AB.Punktethvordennerammerlinjestykket " kaldes Rfigur2): Nudannesentrekant PQR,somhardekendtesidelængder: " 2og " " " Pythagorasanvendespådenretvinklede PQRforatfinde densidstesidelængde PQ : " " + " 2 + Figur:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen. Igenengangerendelaffigurenskåretvæk- "

19 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 " 4 + hvilketvardetderskullevises Nuskaldenneværdifor PQ sammenlignesmedπ. Vedbrugaflommeregnerfås:ª Værdienforπer: 4 +,4587, Detsesatdetoværdierermegettætte,ogfaktisker enspåde5førstecifre.detsesyderligere,atπer størreend PQ,ogatdererenafvigelsepåca.: " 000 0,0889 hvilketerenmegetlilleafvigelseogderveder konstruktionen PQ enudemærkettilnærmelsetilπ. Figur2:LavetpåGeoGebraafAndreasI.Jensen 7

20 Andreas I. Jensen Greve Gymnasium 8/2/204 Pi erdetikkebare,4? Det$har$været$kendt$i$flere$årtusinder$og$er$blevet$behandlet$af$mange$ matema8kere$gennem$8den.$i$dag$kender$vi$det$som$,4$?$men$sådan$har$det$ ikke$al8d$været$ Ahmes Den ægyptiske matematiker Ahmes eller Ahmose er forfatteren bag det ældste eksisterende matematiske skrift Papyrus Rhind, som indeholder 84 problemer og deres løsninger. Ahmes er således den ældste matematiker, vi kender til. Archimedes Archimedes fra Syrakus f.kr.) var en stor græsk matematiker og fysiker, som især er kendt for sin lov omkring opdrift Derudover lagde han også de matematiske grundsten for senere tiders store matematikere. Gottfried Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz ) var en tysk matematiker og videnskabsmand, som især er kendt for, uafhængigt af Isaac Newton i øvrigt, at udvikle differential- og integralregningen. erfindesnokikkemangemenneskerpådenne jord,somikkepåetellerandet4dspunktideres livharbeskæ:igetsigmedtalletpi, matema4kkensmys4skeværdi.iskolenlærtevi,atdetkan bruges4latfindeomkredsenogarealetafencirkel,men hvaderhistorienbagtallet,oghvordanharmankunnet beregneetsåkompleksttal? Svaretligger,sommedsåmegetandenvidenskab,i nysgerrighed.pået4spunktihistorienermennesketblevet istand4lgenkendefigurerinaturen,hvorisærcirklenhar vaktmegeninteresse.deharkunnetsedeniandredyrog menneskersøjne,isolenogimånen.pået4dspunkthar manfundetudaf,atdervarensammenhængmellem cirklenslængdepåtværsogdenslængderundtom,eller detvikendersomdiameterogomkreds.netopdefehar ført4lenidéom,atforholdetmellemdissetolængderer detsammeforallecirkler.defeforholderdetvikalderpi, somer: FormangeerdeFetalkendtsom eller,4,mendeter fak4sksådan,athverkendetoovenståendeellernogle andrelnærmelsererkorrekteværdier.pieretsåkaldt transcendent-tal,deraldrigenderogaldriggentagersig. Alligevelharpiha:mangeforskelligeansigtergennem 4den. ILLUSTRERET VIDENSKAB 8

21 Andreas I. Jensen Greve Gymnasium 8. dec. 204 Deførsteværdierserdagenslys Ægypternevardeførste4latberegneen værdiafpi.defeblevgjortengang2000år f.kr.,hvorisærmatema4kerenahmeshavde enfingermedispillet.menhvordanhar dissemenneskerfleretusindeårf.krkunne udregneenværdiafpi?jadetsimpleog åbenlysesvarvilleværeatmåleomkredsen afencirkelogsådivideredenmeddens diameter.ladosprøveatfores4lleos,atvi befinderospåenægyp4skstrandformere end4000årsiden.viharikkenoget målebånd,ingenskriveredskaber,ingen passerogikkenogetpapir.viharikkeengang ettalsystem.detenesteviharernogetsnor, noglepindeognogetsand.tagervinuog binderenpindpåhverendeafsnoren,kanvi s4kkedenenenedidetvådesandogmed denandentegneencirkel.såtagervi midterpindenop,og4lbagestårvimeden cirkelmedethulimidten,somvikankalde centrum.nukanvitageetandetoglængere stykkesnorogmålelængdenfradeneneside 4ldenandensidehenoverhullet,hvorvedvi markererlængdenpåsnorenmedetstykke How I want a drink? Alcoholic of course Tæller du antallet af bogstaver i hvert ord, får du de første 8 cifre af pi kul.derharvialtsåcirklensdiameter.såkan vitagedetsammestykkesnor,oglæggedet rundtpådentegnedecirkel.dafinderviud af,atsnorenkanlæggesrundtpåcirklen gange+enlille rest.denneekstralængde svarer4lkommatalleneafpi,ogpådenmåde harde4dligematema4kerekunnefindeen værdiafpi,somvarplusensmulemere. SenerehenkunnedenførnævnteAhmesdog bestemmepimedenstørrenøjag4ghedved brugafenlidtandenmetode.mendetvar medenmetode,sombyggedepådissetanker. Archimedeskommerpåbanen Nuspolervi4denetpartusindårfremog havneretstedomkring200årf.kr.herstøder vipågrækerenarchimedes,derskullevisesig atfåenvig4grolleiberegningenafpi. Archimedesstodilærehosdenanerkendte matema4kerogprofessoreuklid,somvirkelig forstodatvækkearchimedes interesseinden formatema4kken.idefølgendeårarbejdede hanpåmangeforskelligeprojekter,menisær hansarbejdemedgeometrienfiken Hverfarverepræsentererenlængdepå enhed,pånærstykketmellemdogc,som svarerdlrestenellerπ afgørendebetydningforudviklingenaftallet. Archimedestegnede,påsammemådesom ægypterne,encirkel.dere:ertegnedehanen ILLUSTRERET VIDENSKAB 9

22 Andreas I. Jensen Greve Gymnasium 8. dec. 204 sekskantetfigur-indeicirklenogen 4lsvarendeudenomcirklenoggjordeden tanke,atomkredsenpåcirklenmåfevære størreendomkredsenpådenindresekskant, menmindreendomkredsenpådenydre. Leibnizgøri674brugafensåkaldtuendeligrække4latbestemmeencirka`værdiafpi.En uendeligrækkeerenrækkefølgeaftal,deri teorienaldrigender,somf.eks.: Detkansammenligneslidtmedenlagkage, somskalskæresitostykker,såifire,såiofe ogsåfremdeles.teore4skvildennerække altsåværeuendelig,mensmanipraksisbare vilstå4lbagemednoglevirkeligsmåstykker kage. Menhvadhardetmedberegningafpiat gøre?ibundoggrundhandlerdetomatfinde enlangrækkeaftal,somgår-modeller bevægersighenmodtalletpi.someksempel HersesArchimedes cirkelmedenindreogen ydresekskant MeddennetankekunneArchimedesudregne enformel4latfindesidelængderneiden indreogydresekskant,ogpådenmåderegne enværdiafpi,somvarimellemtotal.det vistesigsåforarchimedes,atjofleregange hanforstørredeantalletafsiderifigurerne,jo bedreenværdiforpifandthan.tilslutendte Archimedesopmedatregnemeden96`kant ogfikdenvelkendteværdi: Hvemskalovertage? Derskullegåmangeår,førennyog anderledesmetode4ludregningafpiblev fundet.i600`talletbryderenrækkestore matema4kereforførstegangmed Archimedes metode.tyskerengobried kannævnesrækkenpåbilledetovenfor,som fak4skbevægersigmodtallet,menaldrig nårdet.påsammemådeharmatema4kere somleibnizops4llettalrækker,derforhvert ledkommernærmereognærmeretalletpi. Dennemetode,somsidenLeibnizerblevet forbedretutalligegange,udgørfundamentet forudregningenafpipåmodernecomputere. SomeksempelkannævnesbrødreneGregory ogdavidchudnovsky,deri987udregnede mereend480millionerdecimalervedbrugaf Vidste du, at Symbolet π først blev taget i brug i 706 af den britiske matematiker William Jones. Før det var tallet kendt som Archimedes konstant ensupercomputer,somdeselvhavdebyggeti dereslejlighed.dennerekord ILLUSTRERET VIDENSKAB 20

23 Andreas I. Jensen Greve Gymnasium 8. dec. 204 erdog,igen,blevetslåetmangegange.så sentsomsidsteårkunnetojapanske computerteknikeree:er82dageshårdt computerarbejdepræsentereenværdiforpi medsvimlende cifre. Ja,oghvadså? Menhvaderpiså?Iprincippeterdetbare omkredsenafencirkeldivideretmeddens diameter.derforkanmanundresigover,hvad derersåspecieltvedtallet,atsåmange menneskerharbeskæ:igetsigmeddet gennem4den.spørgermanenmatema4ker, villehanhøjstsandsynligtargumenterefor,at pieretfascinerendetal,dersæfer spørgsmålstegnvedvoresvidenomnaturen oglivetgenerelt.spørgermanistedetden bredebefolkning,villemannokmedstor chancefåetmegetanderledessvar,det-er-jobare-et-tal.en4ngerdogsikkert.piharværet medvirkende4l,atmatema4kkenog moderneteknologiharudvikletsigenormt, baresepåchudnovskybrødrenes supercomputer.itaktmedatflereogflere matema4kprofessorerogentusiasterhar kæmpetforatfindeflereogfleredecimaleraf detberygtedetal,erdernærmestsketen naturligforbedringafdematema4skeog teknologiskeredskaber. Vil du vide mere? Tallet pi: Nu skal pi fejres: videnskab.dk/miljonaturvidenskab/4-nu-skal-pi- ILLUSTRERET VIDENSKAB 2

24 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 7.Metaopgave- 7.-Vidensformidling- Formidlingafvideneretvidtbegreb,ogderfindesmangeforskelligemåderatinformereog viderebringedennepå.dettekaneksempelvisskeviaartikler,somderoverodnetsetfindestre forskelligetyperaf: Denvidenskabeligeartikel,derhartilformålatviderebringeogdokumenterefagligvidenfraén forskertilenandenforskerindenforsammefeltif.eks.videnskabeligetidskrifter. Denfagligeartikel,somskaloplyseoginformerefagfællerogkollegermedensærliginteresse forområdetometgiventemne. Denformidlendeartikel,derforsøgeratviderebringefagligvidentilikke`fagfolkigennem detaljeredeforklaringerogillustrativeformuleringerif.eks.populærvidenskabeligemagasiner. Fællesfordetoførstetyperer,atderertaleomsymmetriskkommunikation,dadenforegårmellem tofagfolk,somharnogleindforståedeindbyrdesnormerogtermer.pådenandensideharviden formidlendeartikel,hvordertalesomasymmetriskkommunikation,eftersomdetnetopherer formidlingfraenfagmandtilenikke`fagmand. 20 IfølgeKatinkaPaludandengode populærvidenskab 2 : Forståelig Ærligtforholdendetilvidenskabeligviden Underholdende,menikketriviel Dissetreelementereralleblevetimplementeretiminformidlendeartikelompi.Dettevilblive forklaretdybereidefølgende. 7.2-Formål- IdenneopgaveharjegudarbejdetenpopulærvidenskabeligartikeltilIllustreretVidenskabomtalletpi. Artiklenhartilformålatoplyseoginformerelæserenafmagasinetomtalletshistorieogudviklingogi sidsteendeskabeenyderligereforståelseforemnet.detteharjegvalgtatgørevedatbegyndefradet udgangspunkt,atallekendertilpi,menatdeterdefærrestesomrentfaktiskkendernogettildets historieogbetydning. 20Reinecker, Jørgensen, & Gandil, 2008, pp. 6-7) 2Paludan, 2005, p. 6) 22

25 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Setudfradetretoriskepentagram,såer afsenderennaturligvismigsomenfagperson,der skalforsøgeatformidlenogetmatematiskviden tillæseren,somsåledesermodtageren. Situationenerenpopulærvidenskabeligartikeltil IllustreretVidenskab,derhardetbudskabatgøre folkklogerepåtalletpi shistorie.dettegøres vha.afetsprog,somertilpassetmodtageren,så hanfårdetmaksimaleudbytteafafteksten Målgruppe- Iforbindelsemedvalgetafmålgruppeogpopulærvidenskabeligtmagasinharjeggjortmigvisse overvejelser.daillustreretvidenskaberetmagasin,derharfokuspånyforskningogviden 2,menerjeg, atderopståretmismatchimellembladetsvisionogmitemneompi,daenhistoriskgennemgangaf detsudviklingikkeligefremkankategoriseressomnyforskning.derforharjegogsåhaftandreblade somf.eks.dsb sudogseogbonniersandetbladhistorieimineovervejelser.alligevelerjegendtmed IllustreretVidenskab,dadet,efterminoverbevisning,hardenstørstematematiskerelevans.På baggrundafdetteharjegvalgt,atminartikelskalfungeresomenoplysendehistoriskgennemgang, fremformagasinetssædvanlige breakingnews indenforforskning.dettebladhar,ifølge printguiden.dk,flest62%)mandligelæsere,hvorafstørstedelenermellem40`59år%)og naturvidenskabeligtinteresseret. 24 Denneinformationharjegforsøgtatanvendepåtomåder.I forklaringerneafdematematiskebegreberharjegprøvetgøredetsåforståeligtogvelkendtsom muligt,ogjegharf.eks.sammenlignetuendelighedenmedudskæringenafenpizzaoginddrageten alkoholiskdrinkienhuskeremseforpi.derudoverharjeggenereltitekstenlagtenvis naturvidenskabeliglinje,somikkenødvendigviskræverenfagligkunnen,mensomappellerertilfolkder erinteresseretidetteemne.forengodordensskyldskaldetnævnes,atikkeheleartiklenssprogog layouterbyggetpådissetalmenpåbagrundafminegenvurderingogensammenligningmed magasinetsoriginaleartikler. 22hentetfra:http://www.danskfaget.dk/let/udskoling/sprog/mundtlighed/kommunikationSiSpraksis/ 2Bonnier Publications) 24Bonnier Publication, 200) Figur:TagetfraDanskfaget.dk 2 Figurenforestiller Cicerosretoriskepentagram,somkanbrugestilat analysereentekstretorisk. 2

26 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/ Opbygning- Idetatderertaleomenformidlendeartikel,medførerdetogsånogleretningslinjerforopbygningenog formatet.dogerdisseåbneforfortolkningsålængemanlæggersitfokushoslæseren. Titlenforenartikelafdennetypeerekstremvigtig.Dener,somoftest,detførstemansomlæser læggermærketil,ogpådenmådevirkertitlensomblikfangforrestenafartiklen.denersåledesyderst afgørendefor,ommanstopperopoglæserartiklenellerbarebladrervidere.derforerdengodetitel interessevækkende,fængendeogikkemindstrelevantfortekstenogdenshovedbudskab.udfradisse ideerharjegvalgtatkaldeminartikelfor Pi erdetikkebare,4?,dajegbådefinderden interessevækkende,idetatdenerudformetsometspørgsmål,ogfordidenhængergodtsammenmed minintentionomatflyttelæserenfrabareatkendetilπtilatkendehistorienbag.detnæstederfølger erenundertitel,somkortuddyberoverskriftenogsamtidigtlederoptilbegyndelsenpåartiklen. 25 Dernæstkommeranslaget,ogakkuratsommedtitlenerdetvitalt,atindledningenpåbrødtekstener fængende,samtkortogpræcistbeskrivertekstenshovedfokus.dettekaneksempelvisgøresmeden historieellerberetning,derharudgangspunktikonkreteeksempler.detkanogsågøres,somjeghar valgtiminartikel,vedatskabeenrelationtilmodtageren,hvorveddebliver fanget ogfåretoprigtigt ønskeomatlæsevidere Sprog- Sprogetskalværelevende,interessantogikkemindstforståeligt 27,ogsomforfattertildennetype artikelerdetvigtigt,atmankansættesigilæserenssted,ogforståhvadhanforstår,førmankanlære hamnogetnyt. 28 Deterderforvigtigt,atman,jf.deikkefagligelæsere,hellerikkeanvendersærpræget fagsprog.såledesskalmansåvidtmuligtundgåatbrugefagtermerogbegreber,ogisærikkeudenatfå denforklaret,evt.ienfaktaboks. 29 Iminartikelharjegvalgtatmarkeredesværematematiskebegreber medkursivforatunderstregederessærskilthedfrarestenafteksten.ydermereharjegforsøgtat forklaredemmeddagligdagstermerogvendinger,såjegdervedkanskabeenrelationtilnogetvelkendt oghåndterbart.detteereksempelvisgjortvedforklaringenafbegrebetuendelighed. 25Christensen & Christensen, 2009, p. -2) 26Kock & Tandrup, 2006, pp. 6-7) 27Paludan, 2005, p. 6) 28Felsager, 20, p. 49) 29Reinecker, Jørgensen, & Gandil, 2008, pp 8-9) 24

27 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Itaktmedatartiklenskalhavemodtagerenifokus,erdetvigtigtatmantagerenpointeadgangen,når manskalforsøgeatformidlesitbudskab. 0 Pådennemådenytterdetaltsåikkenogetatforsøgeat proppelæserentilmedinformationerudenatdisseakkompagneresafnoglerelevanteeksemplerog detaljeredebeskrivelser.somfølgeherafforsøgerjegiminartikelattageminelæserevedhåndenpå denkulturellerejsegennempi shistoriskeudviklingvedatgørebrugafspecifikke afsnits`åbnere som: Nuspolervietpartusindårfrem,og og Detskullevisesigatgåmangeår,før.Detosætningerhar deneffekt,atdegiveroverblikoverdenhistorisketidogartiklengenerelt. Enandenvæsentligfaktoriforbindelsemeddetsprogligeaspekteretunderholdende ogpersonligt sprog,derharmodtagerenifokus.detteersærdelesformålstjenligtiformidlingenafetfagligtsvært stof,ogdetkanværeennøgletilat låse læserenshjerneop,ogherafkunneskabeenforståelse. Dennetypeafsprogkaldesogsåfornormalstil,hvormanikkeharlangetungeformuleringerhøjstil), menhellerikkeskrivertalesprogmeduformellevendingerlavstil). 2 Dissepersonligeorderde personligepronominer,somjeg,han,duogvi,derselvvedenlilleanvendelsesgradmedføreretmere særegentoginteressantsprog.depersonligeformuleringerersætninger,derentenermangelfulde, brudtopellerformuleretsometspørgsmål.dissekanman,medfordelfordetlevendesprog,anvende mangegangeientekst.detvisersigdaogsåfraforskning,atbrugenafdeomtaltepersonligeordog sætningernetopharenstorbetydningforlæserensoplevelseaftekstensmenneskeliginteresse. Imin artikelerdettegjortvedatskabeengennemgåendelettone,somforsøgeratgøresprogetlevendeog interessant.endvidereharjegvalgtattilføjemineegnekreativesætningerogformuleringer,derbåde skalbidragetildenintentionelleforståelseaftekstenmenogsåsomindsparktildenneomtaltetone. Eksemplerpådisseformuleringerer: hvorisærmatematikerenahmeshavdeenfingermedispillet, Ladosprøveatforestilleos,atvi og Menhvadhardetmedberegningafpiatgøre? Hvorde personligeordogdeleerunderstreget. 0Kock & Tandrup, 2006, pp.6-7) Paludan, 2005, p. 6) 2Sørensen, 20) Kock & Tandrup, 2006, pp. 42-4) 25

28 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Somnævnttidligereerdenneartikelmentsomenoplysningstekst,hvorderbliverforklaretogredegjort forenmatematiskudviklingaftalletpi.såledesharjegikkegjortmegetbrugaftoulmins argumentationsmodel,menistedetharjeganvendtappelformenlogos,dervialogiskeogrationelle argumenterforsøgeratappelleretilmodtagerensfornuft.derfindesdogalligevelislutningenet eksempelpåargumentationsmodellen,hvorjegargumentererfor,atpiharbetydetenheldelforden teknologiskeogvidenskabeligeudvikling.dennepåstandunderstøtterjegmedbelæggetom,atdeti matematikernessøgenefterfleredecimalerharværetnødvendigtatudviklenyeregneredskaber.som eteksempel,ellerdensåkaldterygdækning,anvenderjegchudnovskybrødrene,dernetop produceredeennytypecomputer,somkunneløsepimedmangeflerecifreendtidligere. 7.6-Layout- Påsammemådesomsprogetharlayoutetellerdesignetogsåenafgørendebetydningforlæserens forståelseogudbytteafteksten.somtidligerenævntkantitlenvirkesomblikfangforartiklen,idetat deterdetførstelæserenvillæggemærketil.mendeterikkekunpga.sproget,attitlenkanfange modtagerensopmærksomhed.detharligeledesmegetmedplacering,farveogstørrelsepåtekstenat gøre.titlenpåminartikelerskrevetmedenblåligfarve,derpåenogsammetidadskillersigfraden sortetekstomkringdenogskaberopmærksomhedhoslæserenheraf,mensamtidigterensfor oveskrifterneifaktaboksene.ligeledesharjeggennemgåendeanvendtforskellige,mendog konsekventefarverogtypografierpåhenholdsvisunderrubrikker,tekstbokse,billedteksterosv.,så enkelthedenbevaresogdervedstøtterbudskabet. 4 Ibegyndelsenafbrødtekstenharjeggjortbrugafetstørrebegyndelsesbogstav,ogsåkaldetdropcap ellerinitial 5,somigenhardenegenskab,atdetskaberopmærksomhed.Ligeledesskabesderenvisuel grænsemellemrubrikkerneogselveteksten,ogsamtidigtgørforfatternetilillustreretvidenskabogså gørbrugafdennelayoutmæssigedetalje.jeghardogikkevalgtattilføjenogenbylineindeholdendemit navnafdenårsag,atdetteertænktsomenartikeltiletblad,somikkegøropmærksompådenenkelte forfatter,menhvordenneerfremstilletsomeninstitution. Jeghardesudenvalgtatgørebrugaffaktabokse,derhartilformåldelsatuddybespecifikkedeleaf brødtekstensom,afhensyntilpladsmangelogrelevans,ikkeerforklaretidetaljer,ogdelsatfungere 4Tverskov & Tverskov, 2009, p. 96) 5Christensen & Christensen, 2009, p. ) 26

29 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 somenpartafartiklensgrafiskeudseende.faktaboksenebliversomoftestlæst,ogdervedkande medvirketilatskabeetoverblikoverartiklen. 6 Endvidereharjeganvendten Vidsteduat `boks,som erklassiskforillustreretvidenskabsartikler,ogsomgørtekstenmereillustrativoginformationsrig. Derudoverharjeganvendtendnuenfaktaboksomtalendeenhuskeremseforpi,deregentligikke relaterersigtildetmatematiskearbejde,mensomjeg,jf.målgruppeudvælgelsen,vurderergørteksten lidtmerespændendeoginteressant.fællesforalledisseeksterneteksterertypografien,somafviger fradencentralebrødtekst,sometsymbolpåderesuafhængighed.forståetpådenmåde,atman sagtenskanlæsedem,udenathavelæstartiklenførst. 7.7-Udvælgelse- Denneformidlendeartikelsformålharsombekendtværetatkogedenmatematiskeopgaveompined tilenhåndgribeligmasse,somdengennemsnitligelæserafillustreretvidenskabvillekunnekapereog ikkemindstforstå.somfølgederafharjegmåttetforetagenogletil`ogfravalgiforholdtilhvilke matematiskedele,somjegvillevælgeatbringeiartiklen.jeghardog,somkatinkapaludanforeskriver det,forholdtmigærligttildenvidenskabeligedel. 7 Overordnetsetharjeginddragetdetre hovedemnerforopgaven: Deførsteværdierafπ, Archimedes sbestemmelseafπ og Nyere metodertilberegningafπ,mendeterforskelligt,hvormegetjegergåetidybdenmedderespektive dele.someksempelkannævnesdenogetkompliceredematematiskebeviserogudregninger,somikke pånogenmådevillepasseindidennetypeartikel.deterderudoverogsåværdatbemærke,atjegi denmatematiskedelgennemgåendeharvalgtatbrugesymbolet π,mensjegiartiklenogrestenaf opgavenharvalgtatbruge pi.denneskelnenharjegforetaget,idetat π imatematikkenvirkermere professioneltogpræcist,mensdetomvendtidetmereskrevnesprog,iminoptik,fungererbedremed pi.detteerogsåetemneiforholdtiloverskriften Pi erdetikkebare,4,hvordetskrevnevisuelt virkerbedreendsymbolet.ligeledeserdetteeteksempelpådetofagsdiskurser,hvormatematikken harnoglefasteformuleringerogvendinger,modsatdendanskfagligeartikelsmerefriestruktur. 6Tverskov & Tverskov, 2009, p. 49) 7Paludan, 2005, p. 6) 27

30 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 8.Konklusion- Iopgavenerderblevetforetagetengrundiggennemgangaftalletpi sbetydningsfuldehistorie,ogheraf erenrækkeeksemplerblevetgennemgået.detervist,hvordanmanalleredefor4000årsidenhavde kendskabtildennekonstant,oghvordandevha.relativtfåmidlerkunneudregneenmegetpænværdi aftallet.endvidereerseneretidersudregningafpiblevetbehandlet,hvorisærarchimedes bestemmelseaftalleterblevetgennemgåetidetaljer.ydermereerbrugenafarcustangenstilen bestemmelseafpiblevetforklaret,ogeksemplerpådisseudregningerblevetgivet.sidstmenikke mindsteropgavenpådetvedlagtebilagblevetløst,ogensammenligningmedpierblevetforetaget. Derudovererenformidlendeartikelblevetudarbejdet,derhartilformålatskabeenforståelsefordette matematiskeemnegennemdetaljeredeforklaringerogillustrationer.dettekankungøresvedatsætte sigilæserenssted,ogformidlesinvidenderfra.refleksionerneoverdetteerdernæstblevetomtaltien metaopgave`del,hvordererblevetargumenteretforvalgetafdedanskfagligevirkemidler,ogderes respektiveeffekt.detkanherafkonkluderes,atnårderertaleomformidlingafviden,såerdermange elementer,someressentielleforatkunneviderebringedenne. Altialtkandetkonkluderes,atpiharværetetyderstcentralttalidenmatematiskehistorie,hvornogle afdeældsteskrifternetopomhandlerdettetal.påsammemådeharstorematematikeresom ArchimedesogLeibnizsenerehenbeskæftigetsigmedpiogfundetværdier,somvimangeårsenere kankonstaterevarmegettættepådenkorrekteværdi.tilsidstskaldetsiges,atpi,somfølgeafjagten pådecimaler,harhaftenstorpåvirkningpåudviklingafmoderneteknologiskeogmatematiske redskaber. 28

31 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Litteraturliste Bøger Bøge,K.99).Elementeraftalletπ'shistorie.Vejle:Abacus. Beckmann,P.97).AHistoryofπ.udg.).NewYork:St.Martin'sPress. Kock,C.,&Tandrup,B.2006).Skriviallegenrer.København:Gyldendal. Mailand,M.K.20).Guidetilstoreskriftligeopgaver.Københanv:Gyldendal. formidlendeartikler.frederiksberg:samfundslitteratur. Sørensen,J.20).Metoderidansk.Systime. Svendsen,T.994).Bogenomπ.Herning:Systime. Andet BonnierPublications.u.d.).IllustreretVidenskab.Hentede6.december204fraBonnier Publications:http://bonnierpublications.com/publikationer/illustreretSvidenskab BonnierPublications.200).IllustreretVidenskabSProfilaf læsere.Hentetfra 204 Christensen,B.,&Christensen,F.2009).Formidlingsopgavermeddansk.HaslevGymnasiumoghf. Felsager,B.20).Detvarentemmeligmørkogmåskeogsåsormfuldogråkoldoktoberaften Paludan,K.2005).Atfortælleomvidenskab.Dansk,InstitutforNordiskeStudierog Sprogvidenskab. 29

32 AndreasI.Jensen GreveGymnasium 8/2/204 Bilag&- 0

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

gl. Matematik B Studentereksamen

gl. Matematik B Studentereksamen gl. Matematik B Studentereksamen gl-stx123-mat/b-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Start i cirklen med nummer 1 - følg derefter pilene:

Start i cirklen med nummer 1 - følg derefter pilene: Bogstaver Bogstavet a Skriv bogstavet a i skrivehusene: Farv den figur som starter med a: Bogstavet b Skriv bogstavet b i skrivehusene: Farv den figur som starter med b: Bogstavet c Skriv bogstavet c i

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx123-mat/b-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf102-MAT/C-31082010 Tirsdag den 31. august 2010 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 9 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 2st101-MAT/B-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

gl-matematik B Studentereksamen

gl-matematik B Studentereksamen gl-matematik B Studentereksamen gl-1stx121-mat/b-25052012 Fredag den 25. maj 2012 kl. 9.00-13.00 Side 1 af 5 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Dec 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg gsk Fysik/B

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Skriftlig prøve (4 timer)

Matematik B. Studentereksamen. Skriftlig prøve (4 timer) Matematik B Studentereksamen Skriftlig prøve (4 timer) STX093-MAB Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt

Læs mere

årgang 2012 lektionsfordeling v8 040613, 95 min. Moduler i 2. og 3.g Aalborg Katedralskole Årgang 12-15 Studieretning 1c, 1u Biotek A, MA A, Fy B

årgang 2012 lektionsfordeling v8 040613, 95 min. Moduler i 2. og 3.g Aalborg Katedralskole Årgang 12-15 Studieretning 1c, 1u Biotek A, MA A, Fy B Studieretning 1c, 1u Biotek A, MA A, Fy B Engelsk B 3 3 2 2,5 Matematik A 4 5 2,5 2 2,5 3 Samfundsfag C 3 3 Kemi C 3 3 Fysik B 1,5 1,5 2,5 2,5 Bioteknologi A (bio C) 3 3 2 2 2,5 3 SUM 34 32 17 17 13,5

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx103-mat/b-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf103-MAT/C-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

Undervisningsplan Udarbejdet af Kim Plougmann Povlsen d. 2015.01.19 Revideret af

Undervisningsplan Udarbejdet af Kim Plougmann Povlsen d. 2015.01.19 Revideret af Undervisningsplan Udarbejdet af Kim Plougmann Povlsen d. 2015.01.19 Revideret af Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes:

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Fysik B Karin Hansen 7Bfy2S14

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Matematik. Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten. Johan P. Hansen. 10. april 2012. Aarhus Universitet

Matematik. Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten. Johan P. Hansen. 10. april 2012. Aarhus Universitet Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten 1 1 Institut for Aarhus Universitet 10. april 2012 Disposition 1 Tallenes oprindelse og matematisk metode Oprindelse indledning Sumererne Grækerne

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx111-MAT/B-18052011 Onsdag den 18. maj 2011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011 Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles

Læs mere

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Fysik B (Fysik C-B) Janus

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx171-matn/a-305017 Tirsdag den 3. maj 017 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-14 med i alt 19 spørgsmål.

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Fysik 0- B Janus Juul Povlsen

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx131-MATn/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1. Tredje forelæsning: Differential- og integralregningen

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1. Tredje forelæsning: Differential- og integralregningen Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Tredje forelæsning: Differential- og integralregningen Klaus Frovin Jørgensen 27. september, 2010 1 / 33 Fra den græske tradition mod et nyt paradigme Centrale

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 13.00 STX091-MAB. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 13.00 STX091-MAB. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 13.00 STX091-MAB Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

5. Bio A, Idræt B, Mat B

5. Bio A, Idræt B, Mat B Studieretningsbeskrivelse for 5. Bio A, Idræt B, Mat B I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om et

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf132-MAT/C-29082013 Torsdag den 29. august 2013 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx13-mat/b-1408013 Onsdag den 14. august 013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe131-mat/b-31052013 Fredag den 31. maj 2013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Naturvidenskabelig grundforløb

Naturvidenskabelig grundforløb Naturvidenskabelig grundforløb Den naturvidenskabelige revolution 1500-1750 ISBN 13 9788761613813 Forfatter(e) Marie Sørensen, Nanna Dissing Bay Jørgensen Følger de fem videnskabsmænd Kopernikus, Brahe,

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Torsdag den 31. maj 2012 kl. 9.00-13.00. 2stx121-MAT/B-31052012

Matematik B. Studentereksamen. Torsdag den 31. maj 2012 kl. 9.00-13.00. 2stx121-MAT/B-31052012 Matematik B Studentereksamen stx11-mat/b-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-13.00 Side 1 af 6 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Fredag den 22. maj 2015 kl stx151-MAT/B

Matematik B. Studentereksamen. Fredag den 22. maj 2015 kl stx151-MAT/B Matematik B Studentereksamen 1stx151-MAT/B-22052015 Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Analyse af kultur og sprog. En arbejdsbog til kultur- og sprogområdet i SO1 på hhx. 1. udgave, 2015

Analyse af kultur og sprog. En arbejdsbog til kultur- og sprogområdet i SO1 på hhx. 1. udgave, 2015 Studieområdet Analyse af kultur og sprog. En arbejdsbog til kultur- og sprogområdet i SO1 på hhx. 1. udgave, 2015 ISBN 13 9788761683557 Forfatter(e) Barbara Kjær-Hansen, Kasper Asklund Analyse af kultur

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Læsning på Hurup skole. Overbygningen, 7. 9. klasse

Læsning på Hurup skole. Overbygningen, 7. 9. klasse Læsning på Hurup skole Overbygningen, 7. 9. klasse Kære forælder og elev Dit barn/du er nu så langt i skoleforløbet, at læsning er en vigtig forudsætning for at få noget ud af stort set alle skolens fag.

Læs mere

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE.

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE. WordMat er en udvidelse til Microsoft Word, som kan køre både på Windows og Mac. Windows-versionen kræver mindst Office 2007, og mac-versionen kræver mindst Office 2011. Du downloader WordMat her: http://goo.gl/wubvvo

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx112-mat/b-11082011 Torsdag den 11. august 2011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

4. Bio A, Mat B, Psykologi C

4. Bio A, Mat B, Psykologi C Studieretningsbeskrivelse for 4. Bio A, Mat B, Psykologi C I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe103-mat/b-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 MATEMATIK NOTAT 02 - ARITMETIK & ALGEBRA AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 2017 Aritmetik og Algebra Side 2 af 16 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 ARITMETIK... 3 REGNEARTERNE...

Læs mere

Find de billeder som vises i begge kasser. Papiret kan eventuelt foldes på midten først - kig først på den øverste kasse. Vend papiret og se om du

Find de billeder som vises i begge kasser. Papiret kan eventuelt foldes på midten først - kig først på den øverste kasse. Vend papiret og se om du Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.8.1.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.8.1.1.da Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.8.2.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.8.2.1.da Navn: Klasse: 254 Materiale

Læs mere

2. Mat A, Fys B, Kemi B

2. Mat A, Fys B, Kemi B Studieretningsbeskrivelse for 2. Mat A, Fys B, Kemi B I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om et fælles

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf112-MAT/C-31082011 Onsdag den 31. august 2011 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

SRP i stx Formidlingsopgaver. med dansk

SRP i stx Formidlingsopgaver. med dansk Side 1 SRP i stx Formidlingsopgaver med dansk s.1 og 2 af Sofie Christensens (3b 0809) autentiske 4-siders artikel-besvarelse fra SRP-eksamen i skoleåret 2008-09. Læs mere mere om hele opgaven på http://www.haslev-gym.dk/srp%202009.htm

Læs mere

1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 HVORDAN OPGAVENS OPBYGNING... 2

1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 HVORDAN OPGAVENS OPBYGNING... 2 SRO-opgaven - opbygning, formalia, ideer og gode råd Indhold 1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 HVORDAN OPGAVENS OPBYGNING... 2 2.1 OPBYGNING/STRUKTUR... 2 2.2 FORSIDE... 2 2.3 INDHOLDSFORTEGNELSE... 3 2.4 INDLEDNING...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Fysik 0- B Karin Hansen

Læs mere

Pascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3

Pascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3 Pascals trekant Det mest bemærkelsesværdige ved Pascals trekant er formentlig, at den for en gangs skyld ikke går tilbage til grækerne. I stedet har den gamle indiske, muslimske og kinesiske rødder, der

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Voksenuddannelsescenter Frederiksberg - VUF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STK

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Portfolio - prøvemappe. Navn: Rami Kaddoura Fødselsdagsdato: 26/08/1993 Klasse: 3.4 Skole: Roskilde tekniske gymnasium, HTX Dato: 31/03/2012

Portfolio - prøvemappe. Navn: Rami Kaddoura Fødselsdagsdato: 26/08/1993 Klasse: 3.4 Skole: Roskilde tekniske gymnasium, HTX Dato: 31/03/2012 Portfolio - prøvemappe Navn: Rami Kaddoura Fødselsdagsdato: 26/08/1993 Klasse: 3.4 Skole: Roskilde tekniske gymnasium, HTX Dato: 31/03/2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1. arbejder Fysiske eksperimenter

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

1a. Mat A, Fys A, Kemi B

1a. Mat A, Fys A, Kemi B Studieretningsbeskrivelse for 1a. Mat A, Fys A, Kemi B I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om et

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve

Læs mere

Verdensbilleder i oldtiden

Verdensbilleder i oldtiden Verdensbilleder Teksten består af to dele. Den første del er uddrag fra Stenomuseets skoletjeneste(http://www.stenomuseet.dk/skoletj/), dog er spørgsmål og billeder udeladt. Teksten fortæller om hvordan

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Matematik Niveau B Prøveform b

Matematik Niveau B Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b Torsdag den 15. maj 2014 Kl. 09.00-13.00 GL141 - MAB - NY 1 GUX matematik B sommer 2014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014 Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold VUC Skive-Viborg Hfe Fysik B Claus Ryberg Nielsen

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf111-MAT/C-26052011 Torsdag den 26. maj 2011 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved bedømmelsen.

Læs mere