Studieretningsopgave
|
|
- Martin Kvist
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik)
2 Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Delforsøg 1 og Hookes lov... 3 Udledning af løsning til differentialligning... 4 Udtryk for harmoniske svingninger... 8 Delforsøg 2 og harmoniske svingninger... 8 Beregning af svingningstid Efterprøvning af løsningen til differentialligningen Konklusion Litteraturliste Bøger Internetmateriale Dokumenter
3 Indledning Et lod er ophængt i en fjeder. Vi definerer ligevægtspunktet og sætter til på dette sted. Fra denne ligevægt er der en udstrækning eller et udsving, vi betegner. Den resulterende kraft kan beskrives ved Hookes lov, hvor er en konstant og kaldes fjederkonstanten. Når en kraft kan beskrives ved denne formel, har vi noget, der udfører harmoniske svingninger Kraften vil altid være rettet mod ligevægtspunktet, og derfor har og aldrig ens fortegn. Vi ved, at den resulterende kraft også kan beskrives ved formlen Vi kan derved sætte de to udtryk lig hinanden På grund af definitionen af acceleration, kan vi i stedet for skrive, da betegner stedfunktionen Vi har nu, at Det sidste skridt tages ved at bruge vores information om konstanten Vi har nu udledt en differentialligning, der beskriver sammenhængen mellem stedfunktionen og accelerationen 2
4 Delforsøg 1 og Hookes lov Vi vil nu undersøge rent fysisk om denne Hookes lov er gyldig. I vores første forsøg undersøges sammenhængen mellem fjederkraften og udstrækningen af fjederen ved tilføjelse af tungere og tungere lodder. Her fås denne graf pålagt en lineær regression. Vi betragter et kraftdiagram (se figur til højre). Således ser vores opstilling til forsøget ud. En fjeder er monteret på en kraftmåler, og et lod er ophængt i fjederen. Vi sætter ligevægtspunktet til stedet, fjederens bund befinder sig uden vægt på. Her er og accelerationen er lig nul. Derfor er fjederkraften også lig nul, da Da loddet ikke er i bevægelse men står stille, vil tyngdekraften være lig fjederkraften ifølge Newtons 3. lov. Den resulterende kraft er altså lig nul 3
5 Kraftmåleren måler tyngdekraften og dermed fjederkraften, da de to kræfter hele tiden er ens loddet er aldrig i bevægelse. Når flere lodder hænges på fjederen, vil udstrækningen blive større og både fjederkraften og tyngdekraften ligeså. De vil forblive af samme størrelse, da loddet stadig ikke er i bevægelse. Dette ser vi af vores lineære udvikling, grafen ovenfor, der viser fjederkraften som funktion af udstrækningen fra ligevægt. En lineær udvikling kan altid skrives på formen I dette tilfælde er den uafhængige variabel udstrækningen af fjederen, som vi har valgt at betegne ikke at forveksle med det, der betegner den afhængige variabel i formen for en lineær sammenhæng. Derimod er vores afhængige variabel fjederkraften, som vi betegner. Vores - værdi burde være lig nul, dog har målingerne ikke været helt præcise, blandt andet på grund af unøjagtige aflæsninger af udstrækningen, og det er derfor grafen ikke går igennem. Endeligt bliver vi nødt til at have en -værdi. Dette skal være en konstant, og da vi ikke kender dens værdi, kalder vi den. Vi har altså en formel, der hedder Det er på denne form, vores regressionsgraf er, da kraftmåleren jo måler den positive tyngdekraft. Dog peger den positive retning for fjederkraften opad, mens den positive retning for udstrækningen peger nedad. Derfor bliver vi nødt til at skabe omvendt fortegn på hver side af lighedstegnet, og vi sætter til at være negativ Vi har bevist, at forsøget med fjederen opfylder Hookes lov. Denne konstant kaldes fjederkonstanten, og den er individuel for hver eneste fjeder. Den angiver, hvilken kraft der skal til for at trække fjederen ud. Som komponent i Hookes lov angiver den det, der lægges til kraften for hver meter, fjederen udstrækkes. Derfor har den enheden. Vores forsøg har givet os -værdien med en usikkerhed på. Udledning af løsning til differentialligning I indledningen udledte vi en differentialligning, der viste sammenhængen mellem accelerationen og udstrækningen af fjederen. Vi har altså antaget at 4
6 Vi vil nu matematisk bevise, at den fuldstændige løsning til ligningen kan skrives hvor og er konstanter. Altså er de to udtryk ensbetydende, og vi skal derfor vise, at dobbeltpilen gælder og er sand begge veje. Vi viser nu, at dobbeltpilen er sand mod venstre. Til start differensieres får to gange, så vi Vi får nu et udtryk for. Nu mangler vi bare at tjekke, at dette udtryk er lig højresiden af differentialligningen. Dette gør vi simpelt ved at indsætte og i differentialligningen Vi kan tydeligt se, at de to sider af lighedstegnet er fuldstændig ens, og vi har hermed bevist, at er en løsning til differentialligningen. Beviset er ikke færdigt endnu, da vi mangler at påvise sandheden af dobbeltpilen for den modsatte retning. Vi er givet, at også kan skrives på formen hvor og er funktioner. Værdierne for disse er givet Vi viser nu, at kan skrives på formen 5
7 Dette gøres ved simpel indsættelse af og i udtrykket for For at reducere det sidste udtryk bruger vi vores viden om Pythagoras sætning og enhedscirklen. I parentesen ses et udtryk, der minder om venstresiden af Pythagoras sætning Betragter vi en enhedscirkel (se figur til højre), ser vi, at og angiver de to kateter i en retvinklet trekant, der skabes af et vinkelben. Benytter vi herved Pythagoras sætning, får vi, at Da radius i en enhedscirkel altid er 1, er hypotenusen her også 1. Vi kan derfor reducere yderligere Vi ser hermed, at ved indsættelse af og i fås, og dette er jo sandt. Hermed har vi bevist, at dobbeltpilen også gælder den anden vej, og at er den eneste løsning. Nu mangles der bare at påvise, at og er konstanter. Dette gøres ved differensiering af de to funktioner. Hvis vi herved får nul, må funktionerne være lig en konstant, da kun en konstant differensieret giver nul. Vi differensierer de to funktioner 6
8 Vi ser, at de begge giver nul, og hermed har vi også bevist, at og er konstanter. Nu er beviset færdigt, da vi også har vist, at pilen gælder begge veje. Alt i alt har vi bevist, at er den fuldstændige løsning til differentialligningen 7
9 Udtryk for harmoniske svingninger Vi ved, at løsningen til differentialligningen også kan skrives på formen hvor, og er konstanter. Dette vil vi nu vise. Til det benyttes en regneregel, der kaldes additionsformlen for sinusfunktionen. Når sinus tages til to vinkler lagt sammen, hvad vi i dette tilfælde gør, kan udtrykket også skrives således, hvor og er vinkler Denne regel benytter vi på udtrykket for For yderligere reduktion af dette bruger vi vores information om konstanterne og Derfor kan vi nu tydeligt se, at også kan skrives på formen Delforsøg 2 og harmoniske svingninger Nu vil vi beskrive, hvorledes formlen for harmoniske svingninger kan relateres til virkeligheden. Andet forsøg vi udførte, lod vi vægtskålen med loddet, der hang i fjederen, svinge lodret op og ned. En motion detector lå på gulvet og målte afstanden til vægtskålen over tid. Af dette fås en graf, der ser således ud 8
10 Den uafhængige variabel, der forløber ud ad x-aksen, er tiden målt i sekunder, og den afhængige variabel op ad y-aksen er positionen over måleren målt i meter. Vi har altså med en stedfunktion at gøre. Vi har tidligere vist, at harmoniske svingninger kan beskrives ved formlen Derfor burde det være muligt, at lægge en regression på grafen, der følger samme form. Dette har vi gjort, dog indgår der en ekstra konstant. Regressionen er altså på denne form Vi har altså, at, at, og at. De fire konstanter har hver deres betydning for grafens udseende. Konstanten angiver ligevægten, det vil sige afstanden fra motion detectoren til ligevægt. Denne konstant er målt til med en meget lille, ubetydelig usikkerhed. Denne konstant indgår ikke i den teoretiske formel, da vi der sætter ligevægtspunktet lig 0. Konstanten angiver faseforskydningen. Denne konstant er nødt til at indgå, da der ikke er ligevægt til tiden 0. er målt til med en usikkerhed på. Konstanten angiver vinkelhastigheden den tid, det tager for fjederen at bevæge sig en radian, og den kan beregnes ved formlen hvor T er svingningstiden, fjederkonstanten og massen. Den er her målt til med en usikkerhed på. Til sidst har vi konstanten, der betegner amplituden. Den angiver, den længde, der er fra ligevægt til bølgetop eller dal. I vores forsøg er den med en usikkerhed på. Vi ser, at regressionen den sorte graf stemmer umådeligt godt overens med vores målte graf den røde. Vi har altså med harmoniske svingninger at gøre. 9
11 Nedenfor ses vores fulde resultater af dette forsøg med stedfunktionen, hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen. De kan alle beskrives ved formlen for harmoniske svingninger, da de alle er sinusfunktioner. Teoretisk ser formlen for stedfunktionen således ud Teoretisk vil hastighedsfunktionen derfor stå på formen og accelerationsfunktionen vil stå på formen De fire konstanter,, og har samme betydning, dog er i både hastigheds- og accelerationsfunktionen meget nær. 10
12 Hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen er lige så pæne som stedfunktionen, og de stemmer ligeså godt overens med regressionen. Vi kan også se, at de i forhold til hinanden svinger godt. Betragt den prikkede streg nedenfor. Vi ser, at når vægtskålen befinder sig i et af yderpunkterne, her længst fra måleren, er hastigheden lig, og accelerationen er på sit højeste acceleration og position har altid modsat fortegn. Det er præcis sådan, det i teorien burde være. Hvis vi ser på den stiplede linje, er hastigheden ved ligevægt størst, og accelerationen er derfor lig. De tre kurver harmonerer derfor fint. Beregning af svingningstid Vi vil nu beregne svingningstiden for loddet både teoretisk og eksperimentelt. Svingningstiden angiver, hvor lang tid det tager for loddet at foretage en svingning, dvs. enten fra bølgetop til bølgetop eller fra bølgedal til bølgedal eller fra ligevægt til loddet igen når ligevægt for anden gang. Da vi kender formlen for, hvori svingningstiden indgår, kan vi finde formlen for. 11
13 Ved udførelsen af vores forsøg brugte vi lodder med massen. Her ser vi, at usikkerheden ligger på første decimal, og der må derfor være en usikkerhed på massen på. Desuden har vi set i det første delforsøg, at vores fjederkonstant er lig med, hvor usikkerheden også her ligger på første decimal, og den er derfor. Da vi har usikkerheder på vores værdier bliver vi nødt til at benytte max-min-metoden. Vi beregner altså først den størst mulige svingningstid og herefter den mindst mulige svingningstid og finder gennemsnittet. Den maksimale svingningstid findes ved formlen Vi beregner den minimale svingningstid ved brug af formlen Vi beregner nu gennemsnittet af de to værdier, og denne er den teoretiske værdi for svingningstiden, vi vil bruge. Her ligger usikkerheden på anden decimal, og vores resultat er derfor Nu vil vi beregne svingningstiden, som vi har målt den i delforsøg 2. Til dette bruger vi vores målte -værdi, som er lig med. Også -værdien har en usikkerhed, og den ligger på tredje decimal. Ud fra grafen kan vi herved se, at usikkerheden er. Vi benytter altså igen max-min-metoden, og begynder med den maksimale svingningstid 12
14 Vi udregner den minimale svingningstid Vi tager herved gennemsnittet og finder vores målte svingningstid Vi ser, at usikkerheden ligger på fjerde decimal, og resultatet bliver derfor Vi sammenligner den teoretiske,, og den eksperimentelle svingningstid,, og ser, at den eksperimentelle svingningstid er en smule større end den teoretiske. De er meget ens, men den lille forskel skyldes med stor sandsynlig vores udeladelse af fjederen i massen. Fjederen masse trods lille tæller med, og den ville have sørget for, at den teoretiske værdi blev en smule større. Vi kan også betragte grafen for stedfunktionen (se nedenfor), og vi ser, at det passer meget godt med en svingningstid på lidt under. Efterprøvning af løsningen til differentialligningen Vi vil prøve at bestemme den løsning, der til differentialligningen opfylder, at 13
15 og Vi skriver løsningen på formen Det vil sige, at for at finde løsningen skal vi bestemme konstanterne, og. Vi kan starte med at finde, da differentialligningen står på formen Vi sætter de to udtryk lig hinanden Vi får altså til at være. Vi bruger kun den positive værdi af, da vi ved altid er positiv. Vi vil nu finde, og da vi ved, at finder vi først og. Vi prøver nu at sætte ind i Da, og da, får vi, at. Nu sætter vi og ind i. Først differentieres Vi ser her, at. Da vi nu har fundet både og, kan vi beregne Konstanten har altså værdien. Nu mangler vi kun, og denne kan beregnes ved brug af vores information om Vi isolerer i denne ligning og husker, at der skal regnes med radianer 14
16 Da vi nu har beregnet de tre konstanter, kan vi sætte løsningen til differentialligningen op Grafen for denne ligning ser således ud Vi ser, at den skærer y-aksen i nøjagtigt, som den skulle. Konklusion I denne opgave har vi ved hjælp af en differentialligning baseret på Hookes lov udledt, hvorledes en harmonisk svingning kan beskrives, og vi har vist, at en fjeder svinger harmonisk. Litteraturliste Bøger Brydensholt, Morten & Gjøe, Tommy, m.fl.: Orbit BA, 2. udgave, Systime, 2011 Brydensholt, Morten & Ridder Ebbesen, Grete: Lærebog i matematik Bind 2, 1. udgave, Systime,
17 Internetmateriale Artikel om additionsformlen for sinus fra denstoredanske.dk: etri/additionsformler, sidst besøgt 30/ Billede af enhedscirkel fra denstoredanske.dk: etri/sinus, sidst besøgt 30/ Dokumenter Fra Christian Holst Hansen: Matematik til SRO.pdf Fra Christian Holst Hansen: Differentialligningen y =ky.pdf 16
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereKræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereSvingninger. Erik Vestergaard
Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset
Læs mereFaldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":
Læs merePETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL
PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL Dæmpede svingninger SENTEKNISKGYMNASIUMHADERSLE Studieretningsprojekt
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereNedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:
Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereLigningsløsning som det at løse gåder
Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereOpgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:
Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006
Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Studenterkurset
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereDet skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse
Det skrå kåst Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse 19/12-2012 Matematik Opstil stedfunktionen s x (t) og s y (t) for den lodrette og den vandrette bevægelse, som funktion af
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår forår 2019, eksamen maj-juni 2019 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse STX Fag og niveau Matematik
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik C Anne Birte
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereBevægelse i to dimensioner
Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereOpg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.
18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereFY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Matematisk Pendul Hold E: Hold: D12 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereMini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted
Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereb. Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a = 1 og b= k.
Kapitel 5 Øvelse 56 a = b = 3 b a = 1,7 b = 0,8 c a = 3 b =1 d a = b = 8 Øvelse 57 Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a =1 b k = b Sammenhængen passer med forskriften for en
Læs mereBevægelse op ad skråplan med ultralydssonde.
Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Formål: a) At finde en formel for accelerationen i en bevægelse op ad et skråplan, og at prøve at eftervise denne formel, ud fra en lille vinkel og vægtskål
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereSvingninger & analogier
Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er
Læs mereBeviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.
År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb
Læs mere