AFTERMATH LØSNINGER. En tryllekunst

Transkript

1 AFTERMATH LØSNINGER To af opgaverne i sidste nr. er hentet fra Frederic Mosteller, Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions, Dover, New Yor 987. Ebbe Thue Poulsen og problemlubben Con Amore har løst de to opgaver herfra. En trylleunst Trylleunstneren og hans assistent præsenterer publium for 8 mønter på en ræe. Trylleunstneren instruerer publium om opgaven og forlader loalet. Publium vælger nu for hver mønt, om den sal være rone eller plat. Derefter oplyser publium assistenten om deres foretrune mønt, fx nr 5 fra venstre. Nu vender assistenten én af mønterne om efter sit valg. Trylleunstneren ommer ind fra ulissen og udpeger den foretrune mønt. Vi stiller mønterne på ræe og giver dem numre fra venstre mod højre, 0,,..., 7. Disse tal organiserer vi som gruppen Z 3 2, fx ved at srive numrene binært fra 000 til og definere gruppeoperationen som addition uden mente eller, om man vil, med regneregle 0. Så fx er En ræe af mønter gives nu værdien, der er summen af numrene på de viste roner. Mønsteret PPKKPKPP får således summen Hvis nu publium vælger at pege på mønt nr 3, så sal vi vende en mønt, så summen bliver 3 i stedet for 4. Vi sal altså løse ligningen 4 + x 3. Men da alle elementer i gruppen er deres egen inverse, er x Vi sal derfor vende den sidste mønt, så vi får PPKKPKPK med summen Dette tric virer for enhver potens af 2, men med andre antal mønter an unsten ie udføres. Prøv selv at lave trylleunsten med 3 mønter! En sum I Amer. Math. Monthly April 2008 stilles som problem 356 en opgave af Michael Poghosyan, Yerevan State University, Yerevan, Armenien. Vis identiteten ( n 2 ) (2 + ) ( ) 2n 2 2 4n (n!) 4 (2n)!(2 )! Bevis: Vi definerer den nedstigende fatoriel med angivet sridtlængde således n (x jd) n N j0 x, d] n : n 0 n n N, x / {d, 2d,, nd} x + jd j

2 2 Vi omsriver de fleste binomialoefficienter i summen til fatorieller ( ) n n!(2)!(2 2)!!( )!(2n)!(2 + ) Fatoriellerne med et 2 tal deles i fatorieller af hvert andet led og sridtlængde 2 ( ) n n! 2, 2] 2, 2] 2 2, 2] n 2 2, 2] n!( )! 2n, 2] n 2, 2] n (2 + ) Nu halveres alle fatorerne, så sridtlængden bliver, med orretioner af diverse potenser af 2 ( ) n n!!2 2, ] 2 ( )!2 n 2, ] n 2n!( )!n!2 n 2, ] n 2n (2 + ) Efter at have forortet, hvad som an, fås ( n ) 2, ] 2, ] n 2, ] n (2 + ) 2, ] n For at omme nævneren til livs indføres fatoriellen ( ) n 2, ] 2, ] n 2 + 2, ] n 2 2, ] n+ 2, ] n ( + 2 ) 2, ] hvorved fås Så an vi srive 2 + 2, ] n 2, ] n 2, ] 2, ] n 2, ] n ( ) n 2, ] 2, ] n 2, ] n 2, ] Nu sifter vi fortegn i alle fatorerne i de fatorieller, der indeholder et i starten 2, ] n 2, ] n ( n hvilet srives pænere som ) 2, ] ( ) 2, ] n ( )n 2, ] n ( ) n 2, ] n 2, ] n 2, ] ( ) ( ) 2, ] 2 2, ] n 2, ] n ( ) Dette udtry genendes som Pfaff-Saalschütz formel, (9.), i min nylige lærebog, Summa Summarum, A K Peters 2007:

3 Theorem 9.. If the complex numbers satisfy a + a 2 + b + b 2 we have the Pfaff- Saalschütz formula (J. F. Pfaff 797, L. Saalschutz 890) ( ) n a, ] a 2, ] b, ] n b 2, ] n ( ) b + a, ] n b + a 2, ] n ( ) n 3 Så vi an reducere til 2, ] n 2, ] n, ] 2 n n! 2 2, ] n 2 4n n! 4 2, ] n 2 2n n! 2 2, 2] n 2, 2] n 2, 2] n 2n, 2] 2 n 2, 2] n 2 4n (n!) 4 (2n)!(2 )! Soer, der passer til hinanden Når sandsynligheden for at få to røde soer er 2, når man træer to tilfældigt ud af en sæ med røde og sorte soer, hvor mange er der så af hver farve i sæen? Det samlede antal soer betegnes med m, og antallet af røde soer med n. Så an man udtage et par soer på m(m )/2 måder, og et par røde soer på n( )/2 måder. Sandsynligheden for, at et tilfældigt udtaget par soer er røde, er altså n( )/m(m ), og denne sandsynlighed er 2, hvis og un hvis m(m ) 2n( ). () Et talpar (m, n), som er løsning til (), giver en løsning til soeproblemet, hvis m og n er hele tal 2. Ligningen () an omformes til (2m ) 2 2(2 ) 2, og det ses let, at hvis (x, y) er en heltallig løsning til x 2 2y 2, (2) så er x og y begge ulige, således at m (x + )/2 og n (y + )/2 er hele. For at finde samtlige løsninger til soeproblemet, sal vi altså finde samtlige heltallige løsninger til (2) med x 3 og y 3. For reelle tal z i ringen Z 2 ] af tal af formen z x+y 2 med x, y Z indfører vi betegnelsen z x y 2. Vi bemærer, at der for z, w Z 2 ] gælder zw z w, samt at (x, y) er løsning til (2), hvis og un hvis z x + y 2 er løsning til zz. (3) Idet vi sætter e + 2, ser vi, at ee, hvoraf følger, at z er løsning til (3), hvis og un hvis e 2 z er det.

4 4 Hermed har vi uendeligt mange løsninger til (3), nemlig z e 2+, 0,, 2,.... (4) Her giver z 0 e + 2 ie nogen løsning til soeproblemet, men alle z med gør, og specielt har vi z , der giver (m, n ) (4, 3). Ved brug af binomialformlen i (4), får vi x der for giver løsningen m j0 j0 ( ) j, y 2j + ( ) j, 2j j0 ( ) j +, n 2j + j0 ( 2 + 2j ) 2 j + +, til soeproblemet. Da z e 2 z ( )z, an følgen {(x, y )} også bestemmes reursivt ved x 7, y 5, x 3x + 4y, y 2x + 3y for 2. Ved indsættelse af x 2m, y 2n heri fås reursionligningerne m 4, n 3, m 3m + 4n 3, n 2m + 3n 2 for 2 til bestemmelse af løsninger til soeproblemet. Jeg vil slutte med at bevise, at dette er samtlige løsninger. Dertil vil jeg vise, at talsættene {(x, y )} er samtlige positive heltalsløsninger til (2). Lad nemlig (x, y) være en vilårlig positiv heltalsløsning til (2), sæt z x + y 2, og bemær, at z e. Lad 0 være bestemt således, at e ze 2 < e 3, (5) og sæt z ze 2. Da z an srives z ze 2, er z Z 2 ], lad os sige z x + y 2. Da z z zz og z >, er z x y 2 <, hvilet un an være opfyldt, hvis x og y har samme fortegn, dvs hvis x og y begge er positive. Da x 2 2y 2, er x y en mulighed, medens y 2, 3 eller 4 ie an bruges. y 5 giver x 7, og altså z x + y 2 e 3 i modstrid med (5). Der må altså gælde z e, og dermed z z e 2 z. Travle duellanter Duellerne i Travløse er sjældent fatale. Hver ombattant møder op på et tilfældigt tidspunt mellem 5 og 6 om morgenen på den aftalte dag, venter 5 min på sin modstander, og går igen, hvis denne ie er mødt op. Ellers slås de to.

5 5 Hvad er sandsynligheden for, at det ommer til amp? Lad (x, y) betegne anomsttidspunterne for de to duellanter, regnet i timer fra loen 5. Så er sandsynlighedsfordelingen for (x, y) Lebesguemålet på enhedsvadratet 0, ] 0, ]. Det ommer til amp, hvis og un hvis y x /2, dvs hvis og un hvis (x, y) ie ligger i en af treanterne T : 2 < x og 0 y < x 2, T 2 : 0 x < 2 Sandsynligheden for, at de to duellanter mødes, er altså og x + 2 < y. 2 2 ( ) NYE OPGAVER De lystige roner De lystige roner Der ligger ses roner i énronestyer på et bord. De tre ligger på en ret linie. De ligger ie helt tæt sammen men så tæt at der ie an presses en rone til mellem to af dem. To roner støder til to af de tre til samme side og udenpå dem støder den sidste rone til begge de to. Nu unne det se ud til at den sidste rone ligger lige langt fra de to yderste. Det gør den selvfølgelig hvis den tredie rone ligger lige midt mellem de to andre. Men gør den det altid?

6 6 Den mystise pyramide Ægyptens ældste pyramide, trinpyramiden ved Saara, ligner ie Cheops og de andre. Som navnet antyder, har den snarere form som en æmpetrappe, mere som Mayaernes pyramider. Hvis vi begynder fra over, er der én sten i det øverste lag, fire i det næste, ni i det tredie, osv. Når vi nu får at vide, at antallet af sten, der ialt er medgået til byggeriet, er et vadrattal, og at der er medgået mere end én sten, hvor mange trin har så pyramiden? (Det er vanseligt at bevise, at der un er én løsning.) Klassieren Et sted ude i tundraen havde man fået rejst tre raftværer, et eletricitetsvær, et gasvær og et vandvær. Nu var det ellers et øde område, der var ialt un tre huse, der sulle forsynes med strøm, gas og vand. Men det var ie helt problemfrit. Man sulle jo træe ledningerne oven på jorden, som var for stivfrossen til at grave i, men ledningerne tålte ie at rydse hinanden. Og selv om der un var de tre værer og de tre huse, havde ingeniørerne endnu ie fundet en rørføring, der løste problemet. Hvorfor ie? Men oppe på den ringformede asteroide, Torus II, var det lyedes de loale ingeniører at løse rørføringsproblemet. Hvordan? Æventyret Der var engang en prins, der sulle vælge sig en prinsesse. Han havde valget mellem tre søstre, som alle var unge og smue. Deres far var en viis gammel onge, og han ville sire sig, at hans ommende svigersøn havde omløb i hovedet. Så han sagde til prinsen: Før du får min velsignelse til at ægte en af mine døtre, vil jeg sætte dit mod og din intelligens på en prøve. Du får lov til at stille én af prinsesserne ét spørgsmål, som an besvares med ja eller nej. Den ene vil svare sandfærdigt, den anden vil svare fals, og den tredje, som er min yndlingsdatter, an svare sandfærdigt eller fals, som hun vil. Hun har alligevel aldrig rettet sig efter mig. Ud fra svaret på dit spørgsmål sal du vælge din brud. Men jeg advarer dig: Hvis du vælger min yndlingsdatter, sal du have dit hoved hugget af! Prinsen havde ingen anelse om, hvem der var ongens yndligsdatter, lige så lidt som han anede, hvem der ville tale sandt, og hvem fals. Han måtte altså formulere sit spørgsmål sådan, at ligegyldigt hvem han spurgte, og ligegyldigt, hvad hun svarede, sulle han ud fra svaret unne vælge en af de to andre til sin brud. Naturligvis stillede prinsen et så snedigt spørgsmål, at han med sierhed undgi yndlingsprinsessen. Og ongen blev så imponeret, at han alligevel gav prinsen yndlingsdatteren, og de to levede lyeligt til deres dages ende. Hvordan mon prinsen formulerede sit spørgsmål? En rørende historie Et vandrør er 6,4 cm i diameter, og midt på røret er der et T rør, så siderøret er 2,7 cm i diameter. Siderøret sidder altså nøjagtig vinelret på hovedrøret. Nu løber vandet i en strøm gennem hovedrøret, og en del af vandet løber ud ad siderøret. Man har nu tilsat nogle miadopinde til vandet, og det er meningen, at de ie må løbe ud ad siderøret. Man har derfor spurgt ommuneingeniøren, hvor lange miadopindene sal være, for at de ie på nogen måde an dreje om ad siderøret. Hvis de prøver, sal de sætte sig fast.

7 7 Hvad er den ritise grænseværdi for miadopindene? Et biproblem Betragt en regulær sesant, der er gennemsåret i et regelmæssigt treantet mønster. Man tæner sig, at hver side er delt i n lige store styer, og derefter er alle de linier, der erparallelle med siderne, tegnet. Problemet er at tælle alle foreommende regulære sesanter på figuren. Vejerboden I den lassise opgave er der givet 2 ugler, hvoraf de er ens. Man sal så afsløre den aparte i 3 vejninger. Samtidig sal det afgøres, om den er lettere eller tungere end de andre. Til hjælp har man en almindelig sålvægt med to såle. Men til variation af temaet har vi denne gang 4 ugler, hvoraf de 3 vejer nøjagtig 0 g. Desuden har vi et 0 gramslod. Vi sal igen afsløre den aparte ugle i højst 3 vejninger, men det er ie rævet, at vi finder ud af, om den er lettere eller tungere end de andre. Hvordan sal man bære sig ad med det? Gitterpunterne Forleden dag sad jeg og slog russeduller på et almindeligt ar ternet papir. Så om jeg for sade at lege med gitterpunterne. Jeg valgte 5 af dem tilfældigt ud. Så tegnede jeg alle 0 forbindelseslinier mellem dem. Og hver gang var der et af liniestyerne, der passerede hen over et gitterpunt. Hvorfor det? Pythagoras En Pythagoræis treant med heltallige sider, x, y og z, der opfylder x 2 + y 2 z 2 må have mindst én side som et lige tal. Og ingen Pythagoræis treant har en side af længde 2. Men man an tæne sig en Pythagoræis treant, hvis sider er to primtal og et tal, der er det dobbelte af et primtal. Opgaven går ud på at bestemme samtlige Pythagoræise treanter af den slags. De logise frimæresamlere Tre personer A, B og C var alle fuldstændig logise. De unne alle tre øjeblielig drage alle de logise onsevenser af alle præmisser. Desuden vidste hver af dem, at de to andre var lige så logise som han selv. Man viste dem syv frimærer; to røde, to gule og tre grønne. Derpå fi de bind for øjnene, og et frimære blev listret i panden af dem hver især, mens de resterende frimærer blev lagt ned i en suffe. Da øjenbindene var fjernet, spurgte man A: Kan du nævne én farve, som dit frimære i hvert fald ie har? Nej, svarede A. Så fi B det samme spørgsmål, og han svarede også nej. Er det muligt ud fra disse oplysninger at regne sig frem til, hvilen farve A s frimære havde? Eller B s? Eller C s? Joaim von And i Sahara Joaim von And er som beendt verdens rigeste og nærigste and. Da han derfor engang sulle øre over Sahara i jeep, måtte han jo speulere på, hvor billigt det unne lade sig gøre. Nu var hans jeeps un i stand til at øre en trediedel af vejen på en fuld tan, men til gengæld unne alle hans jeeps øre fuldautomatis uden chauffør, og han havde masser af dem. Og han unne let tømme og fylde tanene midt i ørenen uden at spilde. Men med fuld tan menes så meget benzin, som en jeep på nogen måde an medbringe. Problemet er, hvordan slipper Joaim von And billigst muligt over ørenen, når hele hans flåde af jeeps står på den ene side. Hvor mange jeeps sal han bruge, og hvordan sal han bære sig ad? (Han an bare efterlade sine jeeps i ørenen, de sal ie returneres.)