Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar

Transkript

1 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori Der er mage virelig svære opgaver, og derfor er flere opgaver mareret med Hit hvilet betyder at ma bagerst a fide et hit til opgave 1 Fordelig af elemeter i m bose Biomialoefficietere fortæller på hvor mage måder ma a udtage r elemeter ud af elemeter Ma a også med biomialoefficieter lave e formel for på hvor mage måder ma a fordele es objeter i m ummererede bose Da objetere er es, er det lige meget hvile der haver i hvile bose; det iteressate er u hvor mage der er i hver bos 11 Sætig Ma a fordele es objeter i m ummererede bose på ( +m 1 m 1 måder Nogle af bosee må gere være tomme Bevis Sæt de objeter op på e ræe At fordele dem i m ummererede bose svarer til at sætte m 1 sillevægge op i ræe, således at ma putter objetere før de første sillevæg i første bos osv Det svarer til at fordele objeter og m 1 sillevægge på e ræe med + m 1 pladser, hvilet a gøres på ( +m 1 m 1 måder 1 Esempel I et supermared vil du øbe 10 sliposer, og der er 5 forsellige slags at vælge imellem På hvor mage måder a du vælge de 10 poser? Det svarer til at fordele 10 objeter i fem ummererede bose der hver repræseterer e bestemt slags slipose, dvs ifølge sætige er der ( måder at vælge på 13 Esempel I e isbuti sælger de vaffelis med op til fem ugler, og de har vaille-, jordbær- og chooladeis Når ma sal udrege hvor mage forsellige vaffelis ma a lave, a ma bruge sætige om at fordele objeter i m bose Vi atager at ugleres ræefølge er uderordet Atallet af vaffelis svarer u til at fordele 5 ugler i 4 bose hvor de ee bos repræseterer vaille, de ade jordbær, de tredje choolade og de fjerde igetig På dee måde får ma alle ombiatioer ilusiv de ude ugler Hvis ma træer de fra, er der derfor ( forsellige ombiatioer 14 Opgave ( Bevis at atallet af måder at fordele es ugler i m forsellige bose, m, således at der midst er e i hver bos, er ( 1 m 1

2 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave I et supermared vil du øbe 10 sliposer, og der er 5 forsellige slags at vælge imellem, me supermaredet har u 6 poser tilbage af tre af slagsee samt 7 poser af de to sidste slags På hvor mage måder a du vælge de 10 poser? 16 Opgave E sat på 50 guldstyer sal fordeles mellem 6 pirater De beslutter sig for at srive alle ombiatioer ed hvor ige får mere ed halvdele af guldstyere, og alle får midst 4 guldstyer, og derefter træe lod bladt disse ombiatioer Det tager piratere et miut at srive e ombiatio ed Hvor lag tid tager det dem at srive samtlige ombiatioer ed? 17 Opgave I ( et lottospil udtræes syv tal ud af 36 Ma a som beedt vælge de syv tal på måder Vis at mere ed 3 4 af disse ombiatioer ideholder to abotal (Hit 18 Opgave I et rigspil er der 10 rige i forsellige farver samt fem forsellige målpide til at aste efter Hvor mage forsellige slutofiguratioer fides der med 7 rige på målpidee og 3 rige i græsset? (Hit (Bemær at hvis flere rige er på samme målpid, a de ligge i forsellig ræefølge på pide Tælle på to måder I Kombiatori så vi flere gage at ma a vise ogle formler hvori der idgår biomialoefficieter, ved at tælle på to måder 1 Esempel Formle ( ( + m 1 + m m 1 m 0 a let vises ved at tælle på to måder, mes det er lagt mere rævede hvis ma begyder at omsrive biomialoefficietere Tallet ( +m m agiver på hvor mage måder ma a fordele es ugler i m + 1 asser Ma a også tælle dette på følgede måde: Når der er ugler i de første bos, a ma fordele de resterede ugler i de m resterede bose på ( +m 1 m 1 måder Når ma summerer dette, får ma etop vestreside af lighedsteget Esempel Formle ( 1 1

3 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar a også vises ved at tælle på to måder Vi beytter u to forsellige metoder til at tælle på hvor mage måder ma a edsætte et udvalg med e formad år der er persoer at vælge imellem, og udvalget sal bestå af mellem e og persoer: Metode 1: Først er der muligheder for at vælge formade Derefter sal ma for de 1 resterede beslutte om de er med eller ej Dette a samlet gøres på 1 måder Metode : Der er ( måder at edsætte et udvalg med medlemmer på, og for hver af disse er der måder at vælge formade på Dette giver samlet 1 ( Dermed er formle vist 3 Opgave Vis formlere (Hit ( ( + 1 og 1 ( 3 ( Opgave Lad og r være hele positive tal Formle r ( ( + + r + 1 r 0 a vises ved at beytte at ( r ( 1 r + ( 1 r 1 på dee måde ( +r+1 r ( +r ( r + +r r 1 ( ( +r r + +r 1 ( r 1 + +r 1 r ( ( +r r + +r 1 ( r 1 + +r r r 0 ( + + ( +r r 3 Vis i stedet formle ved at tælle på to måder (Hit 5 Opgave Lad F (, r betege geemsittet af midste-elemetere i samtlige delmægder af {1,,, } med r elemeter Vis at F (, r + 1 r + 1 (IMO 198 (Hit

4 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave a I e by er der et vejet som daer et vadrat med + veje ord-syd og + veje øst-vest Lags de ordligste og de østligste vej løber e flod Astrid starter i det sydvestlige hjøre af vejettet Hu vil ed til flode og går på følgede måde Først slår hu plat og roe Hvis det bliver roe, går hu mod ord til æste vejryds, og hvis det bliver plat går hu mod øst til æste vejryds Såda fortsætter hu til hu år flode Bestem sadsylighede for at hu år flode der hvor de ordligste vej rydser de fjerde vej fra vest b Vis formle ( Opgave Vis at ved at tælle på to måder (Hit 8 Opgave ( ( I e ourrece er der a deltagere og b dommere, hvor b 3 er et ulige tal Hver dommer bedømmer om hver deltager har bestået eller er dumpet Atag et er et tal således at der for to vilårlige dommere gælder at deres bedømmelse højst stemmer overes for deltagere Vis at a b 1 b (IMO 98 (Hit 3 Pricippet om ilusio og eslusio PIE I ogle situatioer har ma behov for at tælle atallet af elemeter i e foreigsmægde, og det a ma beytte pricippet om ilusio og eslusio til, også aldet PIE 31 Esempel Hvis ma sal bestemme atallet af elemeter i foreigsmægde mellem to mægder A og B, ses det emt ved et Ve-diagram at A B A + B A B Tilsvarede ses for tre mægder A, B og C at A B C A + B + C A B A C B C + A B C Ma iluderer med adre ord først alt det der er i A og i B og i C, me så har ma iluderet alt det de har tilfælles to gage hvis det ligger i to af mægdere, og tre gage hvis det ligger i alle tre mægder Derfor esluderer ma u alt det der ligger i fællesmægde mellem A og B, fællesmægde mellem A og C samt fællesmægde mellem B og C Nu har ma sørget for at alt det der ligger i e eller to af mægdere er iluderet præcis e gag De elemeter der ligger i alle tre mægder, har ma imidlertid først iluderet tre gage, me derefter esluderet tre gage, dvs vi sal til slut iludere disse elemeter

5 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar ige Dette a geeraliseres til følgede sætig 3 Sætig PIE Atallet af elemeter i foreigsmægde mellem de mægder A 1, A,, A a bereges således: A 1 A A A i A i A j + A i A j A ( 1 +1 A 1 A A i1 i<j i<j< Bevis Formle bevises ved at se på et elemet der idgår i præcis af mægdere Dette elemet er talt med gag ( 1 33 Esempel ( + ( ( ( ( ( 1 i 1 i Ma a fx beytte PIE til at tælle atallet af permutatioer af tallee 1,,, der er fisputsfri, dvs at itet tal afbildes på sig selv Der er i alt! permutatioer af de tal Lad A i være mægde af permutatioer som fiserer elemetet i Atallet af fisputsfri permutatioer P er da Ifølge PIE er ( P! A i A i A j + i1 i<j P! A 1 A A i<j< i0 A i A j A ( 1 +1 A 1 A A Atallet af permutatioer som fiserer bestemte tal, er (!, dvs ( ( ( ( P! ( 1! + (! ( 1 0!! ! + 1! 1 ( 1! 34 Opgave På hvor mage måder a ma udtage tre delmægder A, B og C af e mægde med elemeter således at A B, A C og B C, mes A B C 35 Opgave Lad og være positive hele tal Vis at ( ( (! (+ +( 1 1 (+ 1 +( 1 (+ + +( 1 (+ 1 (Hit

6 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave Lad S være mægde af permutatioer af tallee 1,, 3,, E permutatio σ S siges at have egesabe P hvis der fides et i {1,, 3,, 1}, så σ(i σ(i+1 Vis at mere ed halvdele af alle permutatioere i S har egesabe P (Hit

7 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar Hits Opgave 17 Tæl alle de ombiatioer der ie ideholder to abotal ved at betragte de udtrue tal som sillevægge mellem de resterede 9 elemeter eller før det første eller efter det sidste Opgave 18 Tæl først på hvor mage måder syv es rige a fordeles på fem pide Overvej derefter for hver af disse ombiatioer hvor mage ombiatioer der er år ma har 10 rige med forsellig farve hvor syv sal fordeles på de syv forsellige positioer Opgave 3 a Atal måder at vælge et udvalg med e formad og e referet ud af persoer b Atal måder at vælge et udvalg med e formad, e referet og e asserer ud af persoer Opgave 4 Se på aattallet af måder at vælge r elemeter ud af + r + 1, og tæl atal ombiatioer hvor ma har valgt de r første elemeter, me ie elemet ummer r + 1 Opgave 5 Se på atallet af måder ma a udtage delmægder med r + 1 elemeter af {1,,, + 1}, og tæl hvor mage der etop har + 1 som det æstmidste elemet Opgave 7 Tæl atal måder at vælge x, y og z på så x, y, z {1,,, + 1}, z > x og z > y Opgave 8 Vurder atallet N af tripler (dommer, dommer, deltager for hvile de to dommere er forsellige og har givet deltagere samme bedømmelse på to forsellige måder Opgave 35 Betragt mægde S {(x 1, x,, x x j {1,, 3,, + }}, og lad A i, i 1,,,, være delmægde af S som ideholder de elemeter hvor i ie er repræseteret bladt x 1, x,, x Opgave 36 Lad A, 1,,,, være mægde af permutaioer σ hvor der fides et i så σ(i og σ(i eller σ(i + og σ(i + 1 Brug PIE, og vurder summe

8 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar Løsigssitser Opgave 14 Først fordeles e ugle i hver bos, og derefter fordeles de resterede m ugler frit i de m bose Det a gøres på ( ( m+m 1 m 1 1 m 1 måder Opgave 15 Hvis der ie var begræsiger, så vi i esemplet at der var 1001 muligheder Fra dette træer vi atal muligheder hvor vi vælger 7 eller flere af de tre slags der u var 6 af, eller 8 eller flere af de to slags der u var 7 af Vi a vælge 7 eller flere af e bestemt slags ved først at vælge syv af slagse og derefter vælge tre poser frit bladt alle fem slags Dette a gøres på ( ( måder Vi a vælge 8 eller flere af e bestemt slags ved først at vælge 8 af slagse og derefter vælge to poser frit bladt alle fem slags Dette a gøres på ( ( måder I alt er der altså ombiatiosmuligheder Opgave 16 Hvis alle sal have midst 4 guldstyer, er der 6 guldstyer tilbage til at fordele frit bladt de 6 pirater, og det a gøres på ( ( måder For at få det øsede atal, sal vi for hver pirat træe de ombiatioer fra hvor hu har fået mere ed 5 guldstyer Hvis vi først giver fem pirater 4 guldstyer hver og de sidste 6, er der 8 guldstyer tilbage til at fordele frit bladt de 6 pirater Det a gøres på ( ( måder Dermed er der samlet ombiatioer Det tager piratere 11 døg 15 timer og 9 miutter at srive samtlige ombiatioer ed - så de får travlt! Opgave 17 Vi tæller alle de ombiatioer der ie ideholder to abotal Forestil dig 36 bolde på e lag ræe som repræseterer de 36 tal Vi sal u vælge syv bolde hvoraf der ie må være to ved side af hiade Dem farver vi sorte Dette svarer i virelighede til at idsætte syv sorte sillevægge i mellemrummee mellem de 9 ie valgte bolde eller fora de første eller efter de sidste ie valgte bold, altså at idsætte syv sorte sillevægge på 30 pladser Dette a gøres på ( måder, og dette er midre ed 1 af Opgave 18 Hvis syv es rige sulle fordeles på fem pide, ue det gøres på ( ( måder Vi betragter u hver af de 330 muligheder separat De syv placeriger af rigee ummereres 1,, 3, 4, 5, 6 og 7 Da de 10 rige har forsellig farve, sal vi beslutte hvile rig der sal i første positio, ade positio osv til og med syvede positio, dvs der er 10! 3! måder at fordele farvere på Ifølge multipliatiospricippet er der derfor i alt ! 3! slutofiguratioer Opgave 3 a Atal måder at vælge et udvalg med e formad og e referet ud af persoer tælles på to måder (formad og referet må gere være samme perso: Metode 1: Hvis formad og referet er to forsellige persoer, er der ( 1 måder at vælge dem på Derefter sal ma for de resterede beslutte om de er med eller ej Dette a gøres på i alt ( 1 måder Hvis formad og referet er samme perso, er der 1 måder, dvs samlet er der ( ( + 1 måder at 4

9 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar edsætte udvalget på Metode : Der er ( måder at edsætte et udvalg med medlemmer på, og for hver af disse er der måder at vælge formade og referet på Dette giver samlet 1 ( b Atal måder at vælge et udvalg med e formad, e referet og e asserer ud af persoer tælles på to måder (formad, referet og asserer må gere være samme perso: Metode 1: Hvis formad, referet og asserer er tre forsellige persoer, er der ( 1( 3 måder at edsætte udvalget på Hvis formad, referet og asserer samlet er to persoer, er der 3( 1 måder, og hvis formad, referet og asserer er samme perso, er der 1 måder Samlet er der ( 1( 3 +3( (+3 3 måder at edsætte udvalget på Metode : Der er ( måder at edsætte et udvalg med medlemmer på, og for hver af disse er der 3 måder at vælge formade, referet og asserer på Dette giver samlet 1 3( Opgave 4 Højreside er atallet af måder at vælge r elemeter ud af + r + 1 Dette a tælles på e ade måde: Atal ombiatioer hvor ma har valgt de r første elemeter, me ie elemet ummer r + 1, er ( +r+1 (r +1 ( + Dermed er r ( ( + + r + 1 r 0 Opgave 5 Der fides ( r 1 delmægder hvor midste elemetet er, dvs at r+1 1 ( r 1 F (, r ( r Nu beyttes tricet med at tælle det samme på to forsellige måder ige, dee gag til at fide et pæere udtry for højresides tæller Vi ser på atallet af måder ma a udtage delmægder med r + 1 elemeter af {1,,, +1}, som er ( +1 r+1 Disse mægder a dog også tælles ved at tælle hvor mage der etop har + 1 som det æstmidste elemet, og det har etop ( r 1 delmægder, da det midste elemet a vælges på måder, og de resterede r 1 elemeter a vælges på ( r 1 måder Dermed er Samlet giver dette F (, r ( r r + 1 r ( r 1 ( r ( r 1 ( +1 r+1 ( r + 1 r + 1 Opgave 6 Astrid sal gå tre gage mod øst og + 1 gage mod ord for at å flode i det øsede ryds Det sidste stye sal hu gå mod ord, da hu ellers har ået flode i et tidligere ryds Hu sal altså de første + 3 gage hu slår plat eller roe, slå tre plat og roe, mes hu de sidste gag sal slå roe Sadsylighede for at hu gør dette, er (

10 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar Astrid år med sadsylighed 1 frem til flode på et tidsput Sadsylighede for at hu år flode der hvor de ordligste vej rydser de te vej fra vest, 1,,, 1, er ( Da der er symmetri, er sadsylighede for at å flode der hvor de østligste vej rydser de te sydligste vej, de samme Dermed er +1 ( og dette giver de øsede formel ( + 1 +, Opgave 7 Atal måder at vælge x, y og z på så x, y, z {1,,, + 1}, z > x og z > y, tælles på to måder: Metode 1: For z + 1 er der muligheder for x og y Samlet a ma altså vælge x, y og z på måder Metode : Hvis x og y er forsellige, svarer det til at vælge tre tal ud af + 1, sætte det største tal lig z og sætte de to sidste tal lig heholdsvis x og y Dette a gøres på ( +1 3 måder Hvis x y svarer det til at vælge to tal bladt de + 1 og sætte z lig det største og x og y lig det midste Samlet er der derfor ( ( ombiatioer Opgave 8 Vi tæller atallet N af tripler (dommer, dommer, deltager for hvile de to dommere er forsellige og har givet deltagere samme bedømmelse Der er i alt b(b 1 par af dommere, og hvert par har højst bedømt deltagere es, så N b(b 1 Nu ser vi på e bestemt deltager X og tæller hvor mage par af dommere der har bedømt X es Hvis x dommere har ladet X bestå, er der x(x 1 par af dommere der har ladet X bestå, og (b x(b x 1 par af dommere der har dumpet X Dermed er der i alt x(x 1+(b x(b x 1 par af dommere som bedømmer X es Me x(x 1 + (b x(b x 1 x bx + b b (x b + b 4 b b 4 b (b Me (b 1 4 er et helt tal da b er ulige, så atallet af par af dommere der bedømmer X es, er midst (b 1 4 Dermed er N a(b 1 4 Samlet giver dette at a b 1 b Opgave 34 Lad S være mægde af tripler af delmægder (A, B, C hvor A, B og C er delmægder af e mægde med elemeter således at A B C Vi bereger først atallet af elemeter i S Ved at tege et Ve-diagram a ma se at hvert af de elemeter sal ligge i etop e af følgede syv disjute mægder: (A B C, A\(B C, B\(A C, C\(A B, (A B\C, (A C\B og (B C\A Dvs der er 7 tripler af delmæger (A, B, C hvor A B C Herfra sal vi træe alle dem hvor ete A B, A C eller B C er tom Lad X være mægde af tripler (A, B, C hvor A B, Y være

11 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar mægde af tripler (A, B, C hvor A C, og Z være mægde af tripler (A, B, C hvor B C Vi øser at berege X Y Z, da S X Y Z er det atal vi søger Ifølge PIE er X Y Z X + Y + Z X Y X Z Y Z + X Y Z Elemetere i X er etop dem hvor ige af de elemeter tilhører (A B\C, me etop e af de øvrige ses disjute mægder ovefor dvs at X 6 Tilsvarede er Y Z 6 Elemetere i X Y er etop dem hvor ige af de elemeter tilhører (A B\C eller (A C\B, me etop e af de øvrige fem disjute mægder ovefor dvs at X Y 5 Tilsvarede er X Z Y Z 5 Elemetere i X Y Z er etop dem hvor hvert af de elemeter tilhører etop e af følgede fire disjute mægder (A B C, A\(B C, B\(A C og C\(A B, dvs at X Y Z 4 I alt er der ombiatioer Opgave 35 Betragt mægde S X Y Z S {(x 1, x,, x x j {1,, 3,, + }} Lad A i, i 1,,,, være delmægde af S som ideholder de elemeter hvor i ie er repræseteret bladt x 1, x,, x Atallet af elemeter i S som ie ligger i A 1 A A er!, da disse elemeter etop er dem hvor x 1, x,, x etop er samtlige tal 1,,, i e eller ade ræefølge Dermed er Ifølge PIE er (! S A i A i A j + i1 i<j! S A 1 A A i<j< A i A j A ( 1 +1 A 1 A A Atal elemeter i S er (+ Atallet af elemeter i fællesmægde af r af delmægdere A 1, A,, A er ( + r da x 1, x,, x sal vælges bladt + r tal Desude er der ( r måder at vælge de r delmægdere på Dette giver etop! (+ +( 1 1 ( 1 (+ 1 +( 1 ( (+ + +( 1 ( (+ Opgave 36 Lad A, 1,,,, være mægde af permutatioer σ hvor der fides et i så σ(i og σ(i+1 + eller σ(i + og σ(i+1 Lad A være mægde af permutatioer med egesabe P Da er A A 1 A A PIE giver dermed at A A i A i A j + A i A j A ( 1 +1 A 1 A A i<j i1 i<j<

12 Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar Hvis vi blot ser på de første to led på højreside, er et elemet fra A som ligger i m af delmægdere A 1, A,, A talt med ( m m(m 1 m m 1, dvs at A A i A i A j i<j i1 Desude er A ( 1(! ( 1! og A A l (! Det sidste ses på følgede måde Vi sal vælge to elemeter i, j {1,,, 1} således at i og i + 1 afbildes i og +, og j og j + 1 afbildes i l og l + Dette a gøres på ( 1( ( ( ( 3 måder da vi ie må vælge i og j som to på hiade følgede tal Desude sal vi vælge om i sal afbildes i eller +, og om j sal afbildes i l eller + l Dette a gøres på måder For de resterede 4 elemeter er der ( 4! muligheder Dermed er A ( 1 ( 1! ( (! (! > (! S