Komplekse tal og rækker
|
|
- Bertram Steensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver de fundamentale definitioner givet og, vi viser, at er et legeme. I afsnit 3 tolker vi de komplekse tal geometrisk og giver et argument for eksistens. I afsnit 4 udvider vi eksponentialfunktionen til de komplekse tal og skriver et par af egenskaberne ved den op. I afsnit 5 giver vi de mest elementære definitioner og egenskaber ved følger og vi konstruerer rækken for en følge af komplekse tal. I afsnit 6 diskuterer vi den komplekse eksponentialfunktion og Riemanns zeta-funktion. Tilsidst i dette afsnit opskrives den berømte Riemann hypotese. I afsnit 7 giver vi en kort liste over den mest udbredte notation. Håbet er, at det øger læsevenligheden. Sidste afsnit, afsnit 8, er der otte opgaver af varierende sværhedsgrad. Forudsætningerne for at kunne gå igang med noterne er en vis erfaring med at regne med sin og cos. Hvis man ikke kender til vektorregning, kan man ikke forstå argumentet for eksistens af i Bemærkning 3.6, men det er ikke centralt i fremstillingen. 2 De komplekse tals legeme I dette afsnit vil vi vise, at del indledende definitioner., som defineres senere, udgør et legeme. Vi starter med en Definition 2.1. En ring 1, R, er en mængde, der er udstyret med en addition, +, og en multiplikation,, så der gælder, at 1. for alle r,s R er r + s R. 2. for alle r,s R er r s R. 3. addition er kommutativt: r + s = s + r for alle r,s R. 4. addition er associativt: (r + s) + t = r + (s + t) for alle r,s,t R. 5. for alle r R eksisterer der et 0 R så r + 0 = r. 6. for alle r R eksisterer der et s R så r + s = multiplikation er associativ: (r s) t = r (s t) for alle r,s,t R. 8. multiplikation er distributiv: (r + s) t = rt + st for alle r,s,t R. 9. for alle r R eksisterer der et 1 R, så r 1 = 1 r = r. 1 Strengt taget definerer vi en ring med enhed. I disse noter vil vi, når vi skriver ring, mene ring med enhed. 1
2 Definition 2.2. Lad R være en ring. R kaldes en kommutativ ring 2, hvis der for alle r,s R gælder at r s = s r. Definition 2.3. Lad R være en ring. Et legeme er en kommutativ ring, hvor der gælder, at for alle r 0 R eksisterer et s R, så rs = 1. Hvis ringen ikke er kommutativ kaldes den et skævlegeme. Eksempel 2.4. Det tilrådes læseren at tjekke, at alle punkterne i Defintion 2.1 og 2.2 er opfyldt for. Det vil sige, at er en kommutativ ring. Endvidere bør læseren tjekke at alle punkterne i Defintion 2.1, 2.2 og 2.3 er opfyldt for og. Det vil sige, at og er legemer. Vi vil nu motivere en udvidelse af de reelle tal. Man lærer tidligt i skolesystemet metoder til at løse ligninger af typen ax+b = c, hvor a,b,c, a 0, hvor løsningen selvfølgeligt er x = (c b)/a. Senere i forløbet lærer man, hvorledes man løser ligninger af formen ax 2 +bx+c = 0, hvor a,b,c, a 0. Løsningen til denne ligning er x = ( b± D)/2a, hvor D = b 2 4ac. Ligningen har to løsninger hvis D > 0, en løsning hvis D = 0 og ingen løsninger, hvis D < 0. Specielt har ligningen x = 0 ingen løsning i de reelle tal. Hvis man uden at tænke over, om det har mening indsætter 1 i ligningen, får man ( 1) = = 0. Det betyder at 1 faktisk løser ligningen! Det vil sige, at vi søger en ring, R, som har følgende tre egenskaber 1. R er et legeme 2. R 3. 1 R. Vi definerer en delmængde af R kaldet ved = {x + iy x,y, i = 1 }. Denne delmængde kaldes de komplekse tal. Vi vil indtil videre antage at en sådan delmængde eksisterer. Et argument for eksistens gives i Bemærkning 3.6. Definition 2.5. Lad z = x + iy være et komplekst tal. x kaldes for realdelen af z og y kaldes for imaginærdelen af z. Real- og imaginærdel betegnes henholdsvis R(z) og I(z). For at gøre til en ring, skal vi definere en addition og en multiplikation på. Definition 2.6. Lad z,w være givet ved z = x + iy og w = a + ib. Da er z + w = (x + a) + i(y + b) zw = (x + iy)(a + ib) = xa yb + ixb + iya = (xa yb) + i(xb + ya). Observation 2.7. Da i0 = 0, ses det at {x + i0 x } = {x x } =, det betyder, at. Før vi kan se, at er et legeme, skal vi have nogle flere regneregler på banen. 2 Strengt taget definerer vi en kommutativ ring med enhed. I disse noter vil vi, når vi skriver kommutativ ring, mene kommutativ ring med enhed. 2
3 Definition 2.8. Lad z,w være givet ved z = x + iy og w = a + ib. Da er z w = (x a) + i(y b) z/w = (x + iy)/(a + ib) = (x + iy)(a ib)/(a + ib)(a ib) = ((xa + yb) + i(ya xb))/(a 2 + b 2 ), w 0 1/z = (x iy)/(x 2 + y 2 ), z 0 Bemærkning 2.9. I definitionen af multiplikation og division skal man frem for at memorere slutformlen i højere grad huske på, hvordan den er udledt. Definition Lad z være et komplekst tal givet ved z = x + iy. Da er længden eller normen af z givet ved z = x 2 + y 2. Nu kan vi formulere den første vigtige sætning. Sætning er et legeme. Bevis. Vi skal vise at punkterne 1-9 i Definition 2.1, Definition 2.2 og Definition 2.3 er opfyldt. Punkt 1 og 2 er oplagte per konstruktion af + og. Punkterne 3 og 4 følger af de tilsvarende egenskaber for reelle tal. For at vise at punkt 5 og 9 er opfyldt lader vi z, z = x + iy være vilkårlig. Hvis vi sætter 0 = 0 + i0 er z + 0 = z. Hvis vi sætter 1 = 1 + i0, ses det, at 1z = z1 = z. For at vise at punkt 6 er opfyldt lader vi z, z = x + iy være vilkårlig. Vi ser at z = x iy opfylder at z + ( z) = 0. Punkt 7 og 8 vises ved en direkte udregning, der overlades til læseren. Nu har vi vist, at er en ring. Vi skal vise, at er en kommutativ ring. Lad z,w og lad z = x + iy og w = a + ib. Da er zw = (xa yb) + i(xb + ya), men da x,y,a,b er xa = ax, yb = by, xb = bx og ya = ay. Dermed er zw = (ax + by) + i(bx + ay) = wz. Vi skal tilsidst se, at er et legeme. Lad z være vilkårlig og lad z = x + iy 0. Da er 1/z = (x iy)/(x 2 + y 2 ). Det ses, at z(1/z) = (x + iy)((x iy)/(x 2 + y 2 )) = (x 2 + y 2 )/(x 2 + y 2 ) = 1. Da i åbenlyst er i, er altså vores ønskede udvidelse af. Som belønning for vores anstrengelser har vi følgende fantastiske sætning. Sætning 2.12 (Algebraens fundamentalsætning). Lad a i. Ethvert polynomium af grad n, a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, har præcist n komplekse rødder talt med multiplicitet. Bevis. Udelades. Bemærkning Bemærk at Sætning 2.12 intet siger om, hvordan man finder disse rødder. Faktisk kan man vise, at der kun findes en eksplicit løsningsformel for løsning af ligninger af grad mindre end fem! Dette blev vist af den norske matematiker Niels Henrik Abel. 3
4 3 Geometrisk fortolkning af Casper Wessel, digteren Johan Hermann Wessels bror, var den første til at se tal i geometrisk som punkter i planen, det vil sige at se x + iy som vektoren (x,y). iy r x + iy θ x Den komplekse talplan. Bemærkning 3.1. Der findes en anden måde at opskrive komplekse tal på. Som det ses på figuren er z = x + iy entydigt givet ved talparret (r,θ), hvor r = z, og hvor θ er vinklen med den positive 1.-akse. Talparret (r, θ) kaldes opskrivningen af z på polarform. r kaldes modulus for z og θ kaldes argumentet for z og betegnes med henholdsvis z og arg(z). Ud fra figuren kan man også se, at z er defineret ud fra Pythagoras sætning. Lad os se, hvorledes man kan oversætte fra den ene til den anden opskrivning. Det formulerer vi i et lemma. Lemma 3.2. Lad z = x+iy. Da er θ = cos 1 (x/r) og θ = sin 1 (y/r). Hvis z = 0, er der uendeligt mange vinkler, der bestemmer z. Længden af z er z = r = x 2 + y 2. Hvis vi har z opskrevet som (r,θ) er x = r cos θ og y = r sin θ. Bevis. Dette følger direkte fra definitionen af cos og sin. Bemærkning 3.3. Læg mærke til at et komplekst tal har én modulus men uendeligt mange argumenter. Det skyldes, at en drejning på 360 eller 2π giver det samme punkt i planen. Det viser sig at være meget nemmere at multiplicere to komplekse tal, når de er opskrevet på polarform. Det formuleres i følgende proposition. Proposition 3.4. Lad z 1,z 2 og lad z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ). Da er z 1 z 2 = (r 1 r 2,θ 1 + θ 2 ) Bevis. Beviset benytter faktisk intet andet end additionsformlerne for sin og cos og definition af multiplikation af to komplekse tal, Definition 2.6. Additionsformlerne for sin og cos ser ud som følger: cos(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) sin(θ 1 )sin(θ 2 ), sin(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) + sin(θ 1 )cos(θ 2 ). (1) Beviset for disse to formler udelades. 4
5 Vi har set, at hvis z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ) er z 1 = r 1 (cos θ 1 + isin θ 1 ) og z 2 = r 2 (cos θ 2 +isin θ 2 ). Ved at benytte formlen for multiplikation af to komplekse tal, får man z 1 z 2 = (r 1 cos(θ 1 )r 2 cos(θ 2 ) r 1 sin(θ 1 )r 2 sin(θ 2 )) + i(r 1 cos(θ 1 )r 2 sin(θ 2 ) + r 1 sin(θ 1 )r 2 cos(θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) sin(θ 1 )sin(θ 2 )) + ir 1 r 2 (cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) + sin(θ 1 )cos(θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + isin(θ 1 + θ 2 )), hvor vi i tredje lighedstegn har brugt additionsformlerne, formel (1), for sin og cos. Vi ser dermed, at z 1 z 2 = (r 1 r 2,θ 1 + θ 2 ), som skulle vises. Eksempel 3.5. Lad z 1 = (8,11π/12) og z 2 = ( 1 2,19π/12). Hvad er z 1z 2? Vi benytter sætningen overfor og får z 1 z 2 = (4,5π/2) = (4,π/2). Ved at tegne tallet i den komplekse talplan ses det at (4, π/2) svarer til tallet 4i. Man kunne også oversætte polarformerne til sædvanlig form og så bruge definitionen af multiplikation, men det er meget mere besværligt. Bemærkning 3.6. Vi vil nu give en skitse af et argument for eksistens af. Man identificerer det komplekse tal x+iy med vektoren (x,y) 2 og ser at i svarer til vektoren (0, 1). Addition i svarer til sædvanlig vektoraddition i planen. Ved at opskrive z = x + iy og w = a + ib på polarform ses det, at multiplikation også blot er en operation mellem de to tilhørende vektorer. 4 Den komplekse eksponentialfunktion I dette afsnit udvider vi eksponentialfunktionen til de komplekse tal. Definition 4.1. Lad z og lad z = x + iy. Da er e z = e x (cos y + isin y). Bemærkning 4.2. Hvis z = x + i0 er e z = e x. Det betyder, at den komplekse eksponentialfunktion er identisk med den velkendte eksponentialfunktion, hvis inputtet er et reelt tal. Bemærkning 4.3. Hvis man lader z = iπ, får man e iπ = e 0 (cos π + isin π). Dermed har vi, at e iπ = 1 eller e iπ + 1 = 0. Denne formel kaldes Eulers identitet og den knytter på smukkeste vis tallene e,π, 1 og 0 sammen. Vi har følgende vigtige sætning om den komplekse eksponentialfunktion. Sætning 4.4. Lad z,w. Da er e z+w = e z e w. Bevis. Overlades til læseren. Sætning 4.5. Den komplekse eksponentialfunktion er periodisk med periode 2πi, det vil sige for alle z, er e z = e z+2πi. Bevis. Dette er klart, idet sin og cos er 2π periodiske. 5
6 Bemærkning 4.6. Hvis θ er e iθ = cos θ + isin θ per definition af eksponentialfunktionen. Hvis z = (r,θ) har vi set, at vi kan omskrive z, så z = r(cos θ + isin θ). Dermed er z = re iθ. Dette giver os endnu en let måde at multiplicere komplekse tal på. Hvis z 1 = (r 1,θ 1 ) og z 2 = (r 2,θ 2 ) er z 1 z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ). Vi har i sidste lighedstegn brugt Sætning 4.4. Tilsidst viser vi en vigtig formel opkaldt efter den franske matematiker Abraham de Moivre. Sætning 4.7 (de Moivres formel). Lad θ og lad n. Da er (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ). Bevis. Per definition af den komplekse eksponentialfunktion er e iθ = cos(θ)+isin(θ). Ved at benytte Sætning 4.4 n gange får vi, at (e iθ ) n = e inθ. Dermed er (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ), som skulle vises. Vi vil senere se en anden måde at definere den komplekse eksponentialfunktion på. Det involverer rækker, som vi vil studere i næste afsnit. 5 Følger og rækker I dette afsnit vil vi give de vigtigste definitioner og resultater i teorien for rækker. Vi starter med en fundamental definition. Definition 5.1. En kompleks talfølge består af uendeligt mange tal, der er nummererede. Talfølgen betegnes {z n } n=1, hvor {z n} n=1 = {z n z n, n }. Definition 5.2. En talfølge, {z n } n=1, kaldes konvergent mod a, hvis der gælder at ɛ > 0 N : n n > N a z n < ɛ. Med andre ord er en følge konvergent, hvis der gælder, at uanset hvor lille et ɛ man kommer med, skal man kunne finde et N, så når n > N ligger z n i den åbne cirkelskive med centrum a og radius ɛ. Tallet a kaldes følgens grænseværdi. En følge kaldes divergent, hvis den ikke er konvergent. Bemærkning 5.3. Intuitivt skal man tænke på, at en følge er konvergent, hvis der gælder, at jo længere man kommer ud i halen på følgen, jo tættere vil tallene ligge ved et bestemt tal nemlig følgens grænseværdi, a. Intuitivt er en divergent følge en følge, hvor elementerne ikke nærmer sig nogen bestemt værdi, når n vokser. Det kan enten skyldes at følgens elementers norm vokser ubegrænset mod uendeligt eller, at følgens elementer hopper frem og tilbage mellem flere forskellige værdier, når n vokser. Vi vil nu give nogle eksempler på konvergente følger. Det vil vi formulere i to propositioner. Proposition 5.4. Lad z grænseværdi z.. Følgen {z n } n=1, z = z n for alle n er konvergent med 6
7 Bevis. Da følgen konstant er lig z gætter vi på at følgens grænseværdi er z. Vi skal bevise at ɛ > 0 N : n n > N z z n < ɛ. Lad ɛ > 0 være givet. Vi ser at z z n = z z = 0, og dermed er z z n < ɛ for alle n. N = 1 er dermed et brugbart N, idet z z n < ɛ for n 1. Proposition 5.5. Følgen {z n } n=1, z n = 1/n er konvergent med grænseværdi 0. Bevis. Vi gætter på at følgens grænseværdi er 0. Vi skal bevise ɛ > 0 N : n n > N 0 z n < ɛ. Lad ɛ > 0 være givet. Vi ser at 0 z n = 1/n. Vi ser at 1/n < ɛ hvis og kun hvis n > 1/ɛ. Hvis vi vælger N så N > 1/ɛ får vi et brugbart N, idet der gælder, at for n > N er n > 1/ɛ, og dermed er 0 z n < ɛ. Bemærkning 5.6. I ovenstående bevis vælges et N, så N > 1/ɛ. Sætningen, der sikrer, at det altid er muligt at vælge et sådant N, kendes under navnet Arkimedes Princip. Beviset for Arkimedes Princip er noget teknisk og udelades. Eksempel 5.7. Eksempler på divergente følger er også ret lette at finde. Vi vil ikke studere dem nærmere, men overlade til læseren at overveje at følgerne {n} n=1 og {ln n} n=1 er divergente. Man skal tænke på, at følgernes elementer vokser ubegrænset og dermed ikke kan være konvergente. Et andet eksempel på en divergent følge er {( 1) n } n=1. Denne følge hopper frem og tilbage mellem 1 og 1 og kan således ikke være konvergent. Nu vil vi ud fra en kompleks talfølge, {z n } n=1, konstruere en anden kompleks talfølge kaldet rækken for {z n } n=1. Definition 5.8. Lad {z n } n=1 være en vilkårlig kompleks talfølge. Vi danner en ny talfølge {s k } k=1 ud fra {z n} n=1 ved at definere s k = k n=1 z n. Talfølgen {s k } k=1 kaldes rækken for {z n } n=1, og rækken betegnes med n=1 z n. Definition 5.9. Rækken n=1 z n kaldes konvergent eller divergent, hvis rækken {s k } k=1 er henholdsvis konvergent eller divergent. Hvis rækken er konvergent kaldes rækkens grænseværdi for rækkens sum. Definition En række, n=1 z n, kaldes absolut konvergent, hvis rækken n=1 z n er konvergent. Bemærkning Hvis en række er absolut konvergent er den konvergent, men det omvendte er ikke altid tilfældet. Et eksempel på dette er n=1 ( 1)n (1/n), hvis sum er ln(2), men som ikke er absolut konvergent. 6 Berømte og vigtige eksempler på rækker I dette afsnit vil vi betragte nogle af de vigtigste eksempler på rækker, blandt andet den komplekse eksponentialfunktion og Riemanns zeta-funktion. Vi starter med et simpelt men vigtigt eksempel, nemlig den geometriske række. 7
8 Sætning 6.1. Rækken n=0 czn er konvergent på mængden {z z < 1} med sum c/(1 z). Bevis. Udelades. Vi husker at for n er n! = n(n 1)(n 2) 2. Nu kan vi give en anden beskrivelse af den komplekse eksponentialfunktion. Sætning 6.2. Rækken n=1 z n n! er absolut konvergent for alle z med sum e z. Bevis. Udelades. Bemærkning 6.3. Man kan også vise, at rækkerne n=1 ( 1) n z2n (2n)!, n=1 z2n+1 ( 1) n (2n + 1)! er absolut konvergente med sum henholdsvis cos(z) og sin(z). Bemærkning 6.4. Man kan vende argumentet om og definere funktionerne ved deres rækker. Ud fra den definitionen kan man så vise alle de velkendte egenskaber. Tilsidst vil vi se på den måske vigtigste af alle rækker, Riemanns zeta-funktion. Vi husker at for r,t og r > 0 er r t = e tln(r). Tilsvarende definerer vi for n +, s og s = a + ib n s = n a+ib = n a e ib ln(n). Definition 6.5. Lad s ζ(s) = n=1 1 n s. med R(s) > 1. Riemanns zeta-funktion er givet ved Bemærkning 6.6. Man kan vise, at ζ er konvergent for R(s) > 1. ζ(s) kan udvides til en pæn funktion defineret på hele \ {1}. Vi vil ikke komme yderligere ind på, hvordan den første påstand bevises eller hvad pæn betyder. Den schweiziske matematiker Euler fandt følgende sammenhæng mellem primtallene og Riemanns zeta-funktion. Sætning 6.7. Lad s ζ(s) = p primtal 1 1 p s, med R(s) > 1. Lad ζ være Riemanns-zeta funktion. Da er Bemærkning 6.8. Man er interesseret i at vide for hvilke s ζ(s) = 0. Ved at bruge lidt mere teori end vi kan give her, er det let at se, at ζ(s) = 0, hvis s {..., 6, 4, 2}. Disse nulpunkter kaldes de trivielle nulpunkter for ζ. Det er også rigtigt, at alle ikke trivielle nulpunkter nødvendigvis må ligge i striben {s 0 R(s) 1}. Dette leder frem til et af matematikkens helt store ubesvarede spørgsmål. 8
9 Hypotese 6.9 (Riemann hypotesen). Alle ikke trivielle nulpunkter for ζ ligger på linien R(s) = 1 2. Bemærkning Clay Institute udlover $ til den, der enten viser eller modbeviser Riemann hypotesen. Det vil have enorme konsekvenser for den moderne talteori, hvis man får afklaret, hvorvidt Riemann hypotesen er sand eller ej. Ved hjælp af en computer har man vist at Riemann hypotesen er sand for de første nulpunkter. Det skal også bemærkes, at dusøren ikke gives, hvis man ved hjælp af en computer finder et nulpunkt, der ikke ligger på linien R(s) = 1 2! 9
10 7 Notation : for alle. : eksisterer. : tilhører. : forskellig fra. produkt. = {0,1,2,3,...}. = {..., 2, 1,0,1,2,...}. = {a/b a, b \ 0}. : de reelle tal. : de komplekse tal. + = {x x, x > 0}. ɛ: det græske bogstav epsilon., : medfører. : hvis og kun hvis. 10
11 8 Opgaver Opgaver mærket med ( ) er svære. Øvelse 8.1. z har modulus π og argument π. Opskriv z på formen x + iy. Tegn z i den komplekse plan. Øvelse 8.2. Lad z = 1 + i. 1. Opskriv z på polarform. 2. Beregn z 6. Skriv resultatet på formen x + iy. Øvelse 8.3. Lad z = 3 + i. 1. Opskriv z på polarform. 2. Beregn z 4. Skriv resultatet på formen x + iy. Øvelse 8.4. Lad z = 1 + 2i, w = 2 i og v = 1 + 3i. 1. Tegn z,w,v i den komplekse plan. 2. Beregn 1/z, 1/w og 1/v og tegn 1/z, 1/w og 1/v i den komplekse plan. 3. Opskriv z, w og v på polarform. 4. Beregn produktet zwv. Tegn produktet zwv i den komplekse plan. Øvelse 8.5. Tegn mængden {z z = e iθ, θ [0,2π]} i den komplekse talplan. Øvelse 8.6. ( ) Lad z,w. Vis at zw = 0 hvis og kun hvis z = 0 eller w = 0. Vink til : Hvis s,t og st = 0 medfører det, at s = 0 eller t = 0. Skriv z = x + iy og w = a + ib og brug Definition 2.6 til at slutte det ønskede. Øvelse 8.7. ( ) I denne øvelse skal vi vise Sætning 4.4. Lad z,w w = a + ib. og z = x + iy, 1. Opskriv e z og e w. 2. Beregn produktet e z e w og benyt additionsformlerne (1) for sin og cos til at vise Sætning 4.4. Øvelse 8.8. lad D være et område i den komplekse plan givet i polære koordinater ved { 5π D = (r,θ) 1 r 2, 6 θ 5π } Tegn området D i den komplekse plan. 2. Find de fire hjørner z 1,z 2,z 3 og z 4 i D og skriv dem på formen re iθ og x + iy. 3. Beregn produktet z 1 z 2 z 3 z 4 og angiv resultatet på tegningen i (1). 4. ( ) Find den reelle og komplekse faktorisering af polynomiet z ( ) Find alle komplekse tal z, der løser ligningen e 3z = 1. Vink: Brug (4). 11
Komplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne
De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereKomplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015
Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereKomplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning
enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereKomplekse tal. enote Indledning
enote 1 1 enote 1 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereKomplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006
Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereMatematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1
f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable
Læs mereDe Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.
De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKomplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011
Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereAnalyse 1. Matthias Christandl
Analyse 1 Matthias Christandl Marts 2019 ii Forord Følger af tal kan opføre sig på mange forskellige måder, bare tænk på talfølgerne som går mod uendelig, som konvergerer mod nul, og 1, 2, 3, 4, 5,...,
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereHer skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereSvar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Læs mereKomplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereKursusnoter til BasisMat
Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold
Læs mere