Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet
|
|
- Gabriel Villadsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet
2 Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store tal. Riemannhypotesen Et nyt resultat om primtal.
3 Matematik er et enormt område Matches: Publications results for "Publication Type=(Journals)" Facts and Figures: 487,048 authors indexed
4 Matematikken vokser! Matches: Publications results for "(Publication Type=(Journals)) AND pubyear=2006 "
5 Matematik er mange emner Der er mere end 6000 emner i Math Subject Classification Eks: 11Axx er elementær talteori. 11A41 er primtal. Ingen har overblik over det hele Men der er store fælles opgaver Opgaver, man kan se på fra mange områder af matematikken
6 Høje tinder i matematikkens landskab
7 Høje tinder i matematikkens landskab Store uløste problemer giver fælles langsigtede mål
8 Høje tinder i matematikkens landskab Store uløste problemer giver fælles langsigtede mål Synlige toppe og andre gemt i skyerne
9 Høje tinder i matematikkens landskab Store uløste problemer giver fælles langsigtede mål Synlige toppe og andre gemt i skyerne Matematiske værktøjer bygges til bestigning af toppene
10 Høje tinder i matematikkens landskab Store uløste problemer giver fælles langsigtede mål Synlige toppe og andre gemt i skyerne Matematiske værktøjer bygges til bestigning af toppene Fra toppen kan man se nye toppe og overskue dalene.
11 Hvad er et Stort uløst problem? Formodet af store matematikere Forsøgt løst af mange Gammelt problem Med en god historie bag (Med vigtige anvendelser) Anledning til ny matematik.
12 Fermats store sætning: Ingen hele tal x, y, z opfylder n n x + y = hvis n=3,4,5, ligningen n z Pierre de Fermat
13 Fermats store sætning: Ingen hele tal x, y, z opfylder n n x + y = ligningen n z hvis n=3,4,5, = = 5 Pierre de Fermat
14 Vist i 1995 af Andrew Wiles
15 Hilbert problemerne 23 stk. 10 af dem fremsat af David Hilbert ved Verdenskongressen i Paris 8/8-1900, resten senere på tryk. En blanding af præcise hjemmeopgaver og overordnede problemområder David Hilbert
16 Clay Mathematics Institute Dedicated to increasing and disseminating mathematical knowledge 7 stk. 1 million dollars for hver løsning Vanskelige at forstå!
17 Clay-problemerne Riemannhypotesen, Den mest berømte. Mere senere
18 Clay-problemerne Riemannhypotesen Poincaré formodningen (Er bevist!) Om at genkende en 3-dimensional kugleflade
19 Clay-problemerne Riemannhypotesen Poincaré formodningen (Er bevist!) Birch og Swinnerton-Dyer formodningen om at finde antallet af heltalsløsninger til visse ligninger
20 Clay-problemerne Riemannhypotesen Poincaré formodningen (Er bevist!) Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Hodge formodningen. Genfind geometrien i en abstraktion fra geometri.
21 Clay-problemerne Riemannhypotesen Poincaré formodningen (Er bevist!) Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Hodge formodningen Navier-Stokes ligninger. Forstå ligningerne bag strømning og turbulens.
22 Clay-problemerne Riemannhypotesen Poincaré formodningen (Er bevist!) Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Hodge formodningen Navier-Stokes ligninger Yang Mills teori og massegab. Giv matematisk fundament til kvanteyang- Mills teori.
23 Clay-problemerne Riemannhypotesen Poincaré formodningen (Er bevist!) Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Hodge formodningen Navier-Stokes ligninger Yang Mills teori og massegab P vs NP: Sammenlign de problemer, man kan løse effektivt i en computer med dem, hvor man kan checke en løsning effektivt.
24 Problemer om de hele tal Det må da være nemmere? Fermat s problem! Generelt: Diophantiske ligninger find hele tal, der opfylder
25 Perfekte tal 6= = = =
26 Perfekte tal Euklid(300 f.kr.) Et lige tal er perfekt, hvis det er på formen ( 2 1) 2 p 1 p Hvor p og 2 1er primtal p
27 Perfekte tal 6=1+2+3 p=2 28= p=3 486= p=5 8128= p= p= p=17 2 p 1 (2 p 1)
28 Perfekte tal Euler ( ): Alle lige perfekte tal har den form. Er der uendelig mange? Findes der ulige perfekte tal? Vi ved det ikke.
29 Perfekte tal Euler ( ): Alle lige perfekte tal har den form. Er der uendelig mange? Findes der ulige perfekte tal? Vi ved det ikke. Hvis ulige perfekte tal findes, er de større end
30 Hvorfor er det ikke godt nok? Hvorfor er det ikke nok at vide, der ikke er 300 perfekte tal under 10? Erfaring: Nogen ting går galt for MEGET store tal.
31 Om primtal. Et primtal er et tal, hvori kun 1 og tallet selv går op. Og 1 er ikke et primtal. Primtal: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 Alle hele tal kan skrives som produkt af primtal på præcis en måde. 12=2x2x3 Der er uendelig mange primtal (Euklid 300 f.kr)
32 Om primtal. Det er svært at primfaktorisere store tal (skrive som produkt af primtal) Sikkerhed i netbank, databaser, afhænger af, at det er svært at primfaktorisere. Men vi ved ikke, om det er svært nok. Måske kan nogen finde en smart algoritme
33 Spørgsmål om primtal Primtalspar: (3,5) (11,13) (17,19) (29,31) (41,43) Er der uendelig mange primtalspar? Goldbachs formodning: Ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal.
34 Spørgsmål om primtal Primtalspar: (3,5) (11,13) (17,19) (29,31) (41,43) Er der uendelig mange primtalspar? Goldbachs formodning: Ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal. Er der uendelig mange Mersenne primtal? (Primtal på formen 2 p 1 )
35 Spørgsmål om primtal Primtalspar: (3,5)(11,13) (17,19) (29,31) Er der uendelig mange primtalspar? Goldbachs formodning: Ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal. Er der uendelig mange Mersenne primtal? (Primtal på formen 2 p 1 ) Der er fundet 44. Det seneste 4/ (p= ). Det har cifre.
36 π(n)= antal primtal mindre end n 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59, 61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,113 π(3)=2, π(4)=2, π(5)=3, π(6)=3, π(7)=4= π(8)= π(9)= π(10) π(11)=5 En funktion, der vokser, men hvordan vokser den?
37 Primtalssætningen Π(x) Li(x) x/ln(x)
38 Primtalssætningen Gauss formodede i 1792 (15 år gammel) Π(x)~x/ln(x) på grafen før (den grønne). Π(x)/(x/ln(x)) nærmer sig 1, når x går mod uendelig. I omegnen af N=10000 er cirka 1 ud af 9 tal et primtal Omkring N= er det 1 ud af 21. C. F. Gauss,
39 Primtalssætningen Primtalssætningen: π(x) ~ Li(x) (den røde) Li( x) = x 1 dt 2 ln( t) Bevist i 1896 af Hadamard og de la Vallée Poussin. Og i 1949 af Selberg og Erdös
40 Primtalssætningen Π(x) Li(x) x/ln(x)
41 Hvad med Li(x) - π(x)? Gauss, Riemann, : Det er nok altid positivt. Littlewood(1914). Skifter fortegn uendeligt ofte. Første gang omkring Vi har ikke fundet noget x, hvor det er negativt.
42 Mere om Li(x) -π(x) π(x)/li(x) nærmer sig 1, når x går mod uendelig (de la Vallee Poussin,Hadamard) Men hvad med differensen? Eks: ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( ) (, ) ( x x g x f x x g x f x x g x x x f = + = = + =
43 Hvor hurtigt går Li(x)-π(x)? Mulige svar på den slags spørgsmål: Langsommere/hurtigere end et fjerdegrads polynomium. Som en eksponentialfunktion (hurtigt) Som en logaritmefunktion (langsomt)
44 Riemannhypotesen (1859) π ( n) Li( n) c n ln( n) For en (stor nok) konstant c. G.F.B. Riemann,
45 Riemannhypotesen Hilbert problem OG Clay problem. Siger noget om fordelingen af primtallene Giver ikke en opskrift på primfaktorisering Måske vil beviset give en opskrift?
46 Harald Bohr og Hardy Harald Bohr G. H. Hardy
47 Mere om primtal og deres fordeling Terence Tao (f. 1975) og Ben Green (f.1977): der findes vilkårligt lange aritmetiske progressioner af primtal Terence Tao,
48 Aritmetiske progressioner 2 2,3 3,5,7 5,11,17,23 5,11,17,23,29 7,37,67,97,127,157 7,157,307,457,607, xn (n=1,2,..20)
49 Tao og Green viste For ethvert (også MEGET stort) n, findes et primtal p og en skridtlængde k, så p, p+k, p+2k,, p+nk alle er primtal Ingen opskrift på at finde p og k
50 Afrunding Der er masser af uudforskede områder i matematikken; der udkommer 200 artikler om dagen. Byggestenene for de hele tal, primtallene, kender vi godt nok til at kunne finde store primtal. Men vi kan endnu ikke faktorisere hurtigt. Store problemer er ofte meget gamle og overlever generationers angreb.
51 Reklame Mere om matematik i Numb3rs på Kanal 5, onsdag klokken 20. Og i min blog
Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereSecret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik, Aarhus universitet 24. marts 2017 Resumé Secret sharing henviser til metoder til fordeling af en hemmelighed blandt en gruppe af deltagere, som hver især
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereDeling - primtal - kryptografi. Johan P. Hansen. 15. september Indledning 2
Deling - primtal - kryptografi Johan P. Hansen 15. september 2011 Indhold 1 Indledning 2 2 Primtal og heltalsdeling 3 2.1 Primtalsfaktorisering.............................. 4 2.1.1 Primtalsfaktoriseringens
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereMatematik. Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten. Johan P. Hansen. 10. april 2012. Aarhus Universitet
Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten 1 1 Institut for Aarhus Universitet 10. april 2012 Disposition 1 Tallenes oprindelse og matematisk metode Oprindelse indledning Sumererne Grækerne
Læs mereElmTal Primtallene 1.1
Primtallene.. Primtallene. (.) Setup. Et tal p kaldes som bekendt et primtal, hvis p 2 og p kun har trivielle divisorer, dvs hvis de eneste (positive) divisorer i p er og p. De første primtal er tallene
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereOpspaltning i primfaktorer
1 Opspaltning i primfaktorer Et program som kan undersøge om et tal er et primtal, eller finde hvilke primtal det er sammensat af, er det allerførste program enhver talentusiast laver. For den tid jo er
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereKædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.
Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3
Læs mereNote omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig
Læs mereAf Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk
Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs merePrimtal. Frank Nasser. 20. april 2011
Primtal Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereBroer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.
Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs merePå opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik
københavns universitet På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik Rune Johansen Ørsted 14. november, 2018 Dias 1/23 Overblik 1 Eksperimentel matematik? 2 Visualisering
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereDatalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel
9. marts NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes problemer som slet ikke kan løses
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereNote omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereFermat, ABC og alt det jazz...
Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?
Læs mereForord 3 Strukturen i denne bog 6
Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang
Læs mereP vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012
P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? Hvad
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 11/12 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereStudieretningsprojekt i matematik og engelsk. Autisme og matematik. Udarbejdet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund.
06.04.2007 Studieretningsprojekt i matematik og engelsk Autisme og matematik Udarbejdet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion Dette oplæg omhandler ungdomsromanen The Curious Incident
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereEmil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning
Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære
Læs mereMatematikken bag Numb3rs. UNF 2010. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag
Matematikken bag Numb3rs UNF 2010. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag TV-programmet Numb3rs Produceret af CBS i foreløbig 6 sæsoner med 13, 24, 24, 18, 23 og formentlig 16 afsnit. I alt 118.
Læs mereDIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING
DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereOPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM FERMATS SIDSTE SÆTNING OG SOPHIE GERMAIN
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM FERMATS SIDSTE SÆTNING OG SOPHIE GERMAIN Indledning Fermats sidste sætning påstår, at ligningen n n n x + y = z ikke har positive heltalsløsninger
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereNormale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Læs merePascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3
Pascals trekant Det mest bemærkelsesværdige ved Pascals trekant er formentlig, at den for en gangs skyld ikke går tilbage til grækerne. I stedet har den gamle indiske, muslimske og kinesiske rødder, der
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 08/09 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Sanne Schyum
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereP2-gruppedannelsen for Mat og MatØk
Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/
Læs mereUndersøgelser i nyere geometri
Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1
Læs mereViètes formel Jens Siegstad
6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018 Institution Vestegnen HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kåre Lund
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Sandsynlighed (DM538)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Fredag den 25. januar 2013 kl. 1013 Alle hjælpemidler (computer, lærebøger, notater,
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSRP-Inspiration: Hvad er problemorienteret projektarbejde? Tinne Hoff Kjeldsen Institutfor matematiskefag
Ungdommens Naturvidenskabelige Forening SRP-Inspiration: Hvad er problemorienteret projektarbejde? Tinne Hoff Kjeldsen Institutfor matematiskefag Københavns Universitet 17. oktober 2015 Ungdommens Naturvidenskabelige
Læs mereSætninger og Beviser
Sætninger og Beviser Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereSætninger og Beviser
Sætninger og Beviser Frank Villa 12. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAnders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001
Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F2001 1. Primtallene... 1 2. Gruppen af primiske restklasser... 15 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer... 21 4. Reciprocitetssætningen...
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereForord. Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives
Baggrunden for tilblivelsen af denne bog er to serier af forelæsninger, som jeg arrangerede på Folkeuniversitetet i 2010 og 2011. De omhandlede forskellige matematiske emner og tiltrak mange deltagere.
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereMeditation over Midterbinomialkoefficienten
18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Vestegnen HF & VUC Hf Matematik C Kåre Lund
Læs mereSRP-Inspiration: Hvad er problemorienteret projektarbejde? Tinne Hoff Kjeldsen Institutfor matematiskefag
Ungdommens Naturvidenskabelige Forening SRP-Inspiration: Hvad er problemorienteret projektarbejde? Tinne Hoff Kjeldsen Institutfor matematiskefag Københavns Universitet 14. september 2016 Ungdommens Naturvidenskabelige
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereOmvendingsformler for potensrækker Asymptotiske og svingende asymptotiske potensrækker Riemanns metode og cirkelmetoden
1 Omvendingsformler for potensrækker Asymptotiske og svingende asymptotiske potensrækker Riemanns metode og cirkelmetoden Af Niels-Henrik Aphel Indledning 1 De talteoretiske funktioner (n) og (n) 2 Euler-Maclaurins
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mere