Billeder af Julia-mængder

Transkript

1 1 Billeder af Julia-mængder af Gert Buschmann Dengang fraktalerne så dagens lys, var der endnu noget tilbage af den orden, ifølge hvilken nyskabelser der ikke syntes at føje sig smukt ind i mønsteret af det gamle, måtte ses kritisk an og næsten med sikkerhed blev dømt som nedbrydende for den begrænsning og harmoni der måtte være i kulturen for at tingene kunne have deres virkning. Ånden, mente man, havde ligesom naturen love der måtte følges når man dyrkede, og fejl kunne føre til uoprettelige skader. At en vækst på et ukultiveret sted skulle vise sig nyttig, var næsten utænkeligt, og omvendt var der vækster på de kultiverede steder som var så nyttige at deres betydning kun behøvede at kunne vurderes af få mennesker - et paradoks som kom af at man havde forpligtelser overfor højere instanser såsom Gud, nationen, fremtiden. Men denne kulturorden kunne ikke vare ved. De højere instanser og uligheden i livsmulighederne kom i konflikt med en ny tids ideer, og væksten i velstand og smag for nyhed og sjov betød at man bekymrede sig mindre: der skulle mere til førend noget var skadeligt og der skulle mindre til for at rette op på en skade. Et typisk eksempel på den form for virke som var opstået i gammel tid og som for det meste kun var tiltænkt at skulle ofres til en højere instans, var matematikken. Den nye tids ugudelighed viste sig til at begynde med derved, at jo mere lærdomskrævende matematikken blev, jo mere forsvandt matematikeren fra den almindelige bevidsthed - og ligeledes hans håb om udødelighed, idet man foretrak at læse og skrive om den nemme fortid frem for den svære nutid. Men så blev matematikken pludselig synlig igen, men en matematik som måtte kaldes et tilbageskridt, idet den blot var foranlediget af den nye teknologis redskaber og problemstillinger - og latterlig elementær i forhold til hans matematik - men dens folk kunne, oftest blot i kraft af det nyopfundne apparatur, kapre en opmærksomhed som evnerne og tålmodigheden ellers ikke havde berettiget til. Den forkerte form for uretfærdighed? Næh såmænd nej, tænkte denne matematiker: kulturens retfærdige uretfærdighed lader sig kun forstyrre midlertidigt. Hans fagområde var så veletableret og nød så stor respekt blandt fagets kendere, at intet anstændigt menneske hverken kunne eller ville anfægte hans nytte. Thi hans virke gjaldt kulturens ædelsten, og disse skabes ved tid og tryk. Og selv om sådanne forhold ikke er almindelige - og de mennesker som forstår at værdsætte kulturskattene heller ikke er almindelige - så ligger driften imod forædling i menneskets natur, og opretholder man blot et vist mål af

2 2 almen dannelse, så vil enhver indse og (inderst inde) godkende den højere orden som menneskene og deres skaberværker har deres plads i. Og de vil erkende, at det spektakulære altid er blændværk som kun berører følelserne et øjeblik, idet det herefter kun vil vække latteren enten fordi det er latterligt eller fordi man ikke mere fatter at det kunne frembringe det postyr det gjorde. Og tilsvarende, at det ægte stemmer os til alvor fordi det udfordrer og stiller krav til os, og fordi det, da vores indsats altid vil være mangelfuld, har en tendens til at undfly os, idet det så at sige søger ned imod det dyb hvorfra det er hentet. Opretholder man disse erkendelser, vil kulturen støt og roligt gå frem, fordi hoben vil have den portion dårlige samvittighed som den behøver og geniet vil have den stiltiende anerkendelse som han behøver. Således tænkte matematikeren (dengang). Kunstneren, hvis billeder var ligeså abstrakte som matematikerens teorier, havde ikke dennes stabile indkomst og tro på at kulturens dybere lovmæssigheder er ligeså smukke som matematikkens, men hans forestilling om udviklingen var ikke mindre absurd: "Nu er mennesket endelig, igennem en lang lang udvikling, nået frem til den erkendelse, at den ædleste og sandeste kunst er den hvori formerne og farverne og ordene og tonerne er gjort fri af krav om at skulle efterligne og tjene interesser, og så vender virkeligheden Gud hjælpe mig tilbage - og nu med fornyet styrke. For disse fraktaler må kaldes afbildninger af noget virkeligt, og de mennesker som laver dem har en tænkemåde som vinder mere og mere udbredelse og som man er afmægtig overfor. Denne Mandelbrot-mængde er bare begyndelsen, deres formler har ingen grænser, og billederne vil blive mere og mere barokke. Og det er noget folk kan forstå og vil elske, de vil bruge timer på at gå på opdagelse i dem og matematikerne vil tjene millioner". Disse to venner - matematikeren og kunstneren - som nu er noget oppe i årene, havde i sin tid mødt hinanden i Paris hvor de begge studerede. Matematikeren har lige siden omtalt dette ophold som spild af skatteydernes penge og distraherende for ham selv. Kunstneren er ikke ligeså uafhængig af menneskenes vurderinger og materialernes egenskaber som matematikeren, og han har lært at mestre disse så godt at han kan nyde deres genstridighed, men han erkender at man, når man er ude i verden, må mobilisere ekstra selvtugt hvis det ikke skal udarte til turisme. Og de deler den opfattelse at det netop er den vej udviklingen er gået: engang var en højere uddannelse en rejse som krævede møjsommelig forberedelse og hvor man sneglede sig frem, idag således forekommer det dem - er videnstilegnelse en sight-seeing hvor blikket farter hid og did og på kryds og tværs af alle grænser. "Det er ubegribeligt at en så løsagtig form for kunnen kan afstedkomme så megen iver og målrettet-

3 3 hed", sagde kunstneren en dag. "Det er ikke dér det ubegribelige ligger", svarede matematikeren, "hoben skubbes frem imod afgrunden kunne man tilføje - eliten trækkes frem af en tro på en højere verden og en drøm om et evigt liv i den. Og det ubegribelige er, at vi har mistet troen i enhver betydning af ordet. Du sagde engang, at du betragter et lærred med to signaturer for blasfemi. Dette viser at du er et troende menneske!". Denne forandring af verden fra det at skulle forstå en orden og mening som var relativt uafhængig af tiden, til det at skulle finde fortolkninger som kan tjene ens interesser og som hele tiden må fornys - er et emne som altid berøres når de mødes. Dog aldrig uden at de sandheder de når frem til viser uønskede sider. En dag, under en god middag i matematikkerens hjem, var det fraktalerne som erindrede dem om at antipati imod en ting ofte kommer af antipati imod de mennesker som vi forbinder med tingen - hvilket naturligvis ikke altid kan dadles. "Forstil dig", sagde matematikeren, "at der fandtes en orkidé-art som groede efter et princip der mindede om de flotteste Julia-mængder og som for alle mennesker stod som kronen på Gud skabervirksomhed i skønhedsmæssig henseende - øh næst efter kvinden - og som derfor var lovprist af digtere og malere. Men så opdager man - en matematiker måske - det princip der genererer deres vækst - og generaliserer det - og får billeder frem på computerskærmen som er endnu flottere. Så ville orkideerne være berøvet deres hemmelighed, og digterne og malerne ville føle sig som idioter". "Ja", svarede kunstneren, "det bliver sværere og sværere for den anstændige kunstner at skildre verden. Han må enten søge imod fortiden eller imod verdener som er uberørte af mennesker". "Uberørte af blandt andet matematikere", indskød matematikeren. "Du véd hvad jeg mener - vi har talt nok om den sag. Du søger selv - ligesom jeg og af samme grund - imod det abstrakte". "Jeg vil sige, at jeg søger imod de ting som er dybest prægede af menneskene, hvilket indebærer at de kommer sent i udviklingen, og det betyder paradoksalt nok at de kan have et skær af umenneskelighed over sig. De ting som vi forbinder med det umenneskelige cykelrytternes maskinagtige ydre og indre rockmusikkens hamren studieværternes rablen er i virkeligheden såre menneskelige: således bliver mennesket i tidsaldre til hvor kulturen er sat ud af kraft og hvor naturen vender tilbage. Og så vil jeg sige, at jeg er taknemmelig for den tid og det miljø som skæbnen placerede mig i. Ja man kan jo egentlig sige, at vi uforbedrelige romantikere som insisterer på modstand, lever i en slags guldalder lige nu. Vi kender ikke til fattigdom eller er truet på livet, og vi bilder os ind at vores fredelige modstandere inderst inde værdsætter og misunder os. Problemet er, at de ikke er til at råbe op, men den tanke at man stillede dem nogle nærgående spørgsmål, pirrer mig. At man fik dem til at fornemme den pris de betaler for deres sociale samvær. Tag nu

4 4 fraktalerne, billederne er fascinerende og vækker opsigt, men matematikken er kedelig den er uden dybde og skønhed. Dette kunne for resten tyde på at de unge idag kaster sig over den. For resten nej, der er næppe penge i den. For resten!", matematikeren brød ud i latter: "Ka' du huske hva' du forestillede dig dengang?" "Ja, men det var jo ikke fraktalerne der var det afgørende i det vi diskuterede. Jeg sagde, at der er noget sterilt over de naturlove som menneskene kan fatte, og som de kaster sig over, enten bare for at vise at de kan fatte dem eller fordi de kan drage nytte af dem". "Ja, og hertil svarede jeg, som jeg lige har antydet, at dette netop er de naturlove hvis afdækning er en naturlov, hvorimod den største og mest ægte videnskab i sig selv er ufattelig. Fordi den er forårsaget af en trang som ikke på nogen måde kan forklares, men som snarere synes i strid med menneskets natur. Men lad nu dette være nok for i dag, lad os nu, for en kort bemærkning, lade fraktalerne være det afgørende. Jeg foreslår at vi arrangerer en... øh sight-seeing i fraktalernes verden. Jeg har ikke set dem i årevis, jeg ka' dårlig huske hvordan de egentlig ser ud - jeg bliver helt nysgerrig konkurrencen er jo hård i billedverdenen. Vi må ud at surfe når vi er færdige". Så efter middagen trak de lænestolene og bordet med kaffekopper og cognacglas hen til matematikerens computer og indtastede "fractal". "Der er langt imellem sjusserne her", mumlede matematikeren og satte farten op. Men af og til opholdt han sig nogle sekunder ved et billede, og som minutterne skred frem kom hovedet tættere og tættere på skærmen, hvorimod kunstneren sank dybere og dybere tilbage i lænestolen. "Du må undskylde", sagde denne, "vi fæstner os jo ved forskellige ting - men jeg ka' se at det optager dig - du er ligegodt imponeret, hva'?" "Imponeret!", svarede matematikeren, "Det er skoledrenge der er på spil her! Se det dér billede. Du har et iterationsudtryk med et tiltrækkende fikspunkt og en lillebitte figur ved fikspunktet, så har du det billede. Men se her, her er et program man kan købe - 50 $. Man ka' prøve det, la' os se. Ja, der har vi jo gamle Mandelbrot! Man kan zoome ind med sådan et rektangel. Se her, nu rejser vi ned i Søhestedalen, sådan, længere og længere ned..." "Jamen? - hvor er søhestene?", udbrød kunstneren, "Joh de er der, men hvorfor ser de sådan ud? - de er jo helt udtværede". "De har sgu' aldrig været der!", brølede matematikeren, "Det er nogen tumber hele bundtet! - og det har de altid været!" "Jamen søhestene har da været der!", insisterede kunstneren. "Der er noget muggent ved déther", fortsatte matematikeren, "Jeg indtastede i sin tid det program de havde lavet søhestene med, men jeg fik det aldrig til at virke - ikke ordentligt - jeg havde en følelse af at der var noget galt med proceduren, men jeg fik ikke set nærmere på det. Meeen den sag ska' undersøges! Her er noget for os at gå igang med. Ja dig og mig!", sagde han på vej ud af stuen.

5 5 Han kom tilbage med nogle fotokopier og en diskette. "Her har vi søhestene. Joh, man ka' pludselig fornemme det sug i maven man følte dengang. Men de er uden farver og dikkedarer, og så ka' de vel ikke kaldes kunst. Og du påstår at de heller aldrig er blevet kunst og jeg påstår at de heller aldrig er blevet matematik. Jeg synes sgu' ærlig talt at fraktalerne er blevet uretfærdigt behandlet! Det er muligt at de i vores stopfyldte verden ikke kan kræve mere opmærksomhed end et øjebliks forundring, men dette øjeblik skal da - det formoder vi da - skænkes alle mennesker i al fremtid, og bør vi så ikke gøre os den ulejlighed at skabe nogle anstændige billeder? Jeg tænker på billeder som er helt naturlige i matematisk henseende - fri for al det søgte og tilfældige de skal demonstrere noget på én gang nærliggende og tankevækkende. For resten, her vi måske en sådan verden som du og jeg længes efter. Jeg forestiller mig nogle surrealistiske landskaber som man ikke forbinder med nogen kultur - formationer skabt af sære og ukendte naturlove. Sterile? det kommer vel an på lyset og farverne. Jeg kan allerede se dem for mig. Ser du, det der undrer mig ved alle de billeder vi så, er at afstandsfunktionen er totalt fraværende. Afstandsfunktionen er der en formel for i de her papirer. For et punkt udenfor fraktalen estimerer den afstanden ind til fraktalen - den er altså ikke præcis, og langt væk fra fraktalen kan tallet sikkert afvige meget fra den sande afstand ja det skulle ikke undre mig om den har singulariteter - men jo mere man nærmer sig til fraktalen jo mere korrekt bliver tallet. Det er ved hjælp af den formel man i sin tid fik den flotte rand frem. Selve fraktalen er uendelig tynd, og det betyder at computeren ikke umiddelbart kan tegne den: sandsynligheden for at et af de punkter der tegnes ligger på fraktalen er lig nul. Man får kun et indtryk af fraktalen igennem farvelægningen, men da farverne kommer til at ligge tættere og tættere jo mere man nærmer sig fraktalen, bliver billedet grumset og uæstetisk. Ved afstandsformlen kan man få et klart billede af selve fraktalen, og man fjerner grumset. Men det jeg kommer til at tænke på er, at afstandsfunktionen jo giver anledning til et landskab: i ethvert punkt udenfor fraktalen går man ligeså højt tilvejrs som afstandsfunktionens værdi i punktet, så får man et bakket landskab hvor igennem fraktalen løber som en flod. Og det landskab kan man jo vise i perspektiv - og i en belysning som får det til at fremtræde som virkeligt. Matematisk set er det rutinearbejde - programmet det skal selvfølgelig laves sådan at man kan zoome ind og finde det helt rigtige motiv. Men hva' siger du? Det er jo dig der skal trække det tunge læs: farvelægningen. Den foregår - som du sikkert lagde mærke til - og kan tænke dig til - ved en farveskala som bidder sig selv i halen, og den skal konstrueres. Og det må være noget med at lægge en lukket kurve i et område der parametriserer farverne. Kurven behøver nok bare at være en cirkel eller ellipse, men det er området der er problemet. Computerteknisk ville det være nemmest at lade det være terningen med

6 6 kantlængde 255 af RGB-værdierne, men det med ellipser i en firkant klinger ikke godt, og hvordan er det nu med de rene farver? Det er dem enhver farve fås af ved at iblande hvid og sort, så det må være dem hvor RGB-talsættet indeholder både 0 og 255, og de ligger langs de seks kanter der ikke indeholder det sorte og det hvide hjørne. Jeg vil hellere have dem til at ligge på en cirkel - ligesom i farvelæren. Du fortalte engang hvordan cirklen af de rene farver dannes - det er virkelig tankevækkende. Jeg lavede et program, det må vi finde frem. Nuvel, enhver tænkelig farve fås ved blande hvidt og sort i en af farverne på cirklen, og det betyder at farverne er parametriseret ved en dobbeltkegle der har cirklen tilfælles og hvor sort er det ene toppunkt og hvid det andet. Det er ved hjælp af denne kegle at vi skal farvelægge fraktalerne". *** De første par dage gik alt som en leg for matematikeren. Senere da han skulle se hvordan det går når man går fra rationale til trancendente funktioner, kom hans matematiske intuition dog på en hård prøve: det er noget naturstridigt ved Julia-mængderne, de udarter, men har ikke-trivielle tilnærmelser. Og da han gik i lag med de ikke-holomorfe funktioner opstod nye besynderligheder, flere ting måtte han opgive at forstå til bunds, men han mente at han kunne forklare det man ser på skærmen, og desuden var hans tid udløbet. Han nedskrev al sin teori, den kom til at fylde fire sider, og skulle nogen ønske at se disse, er de her: Han gjorde dog den triste erfaring, at smukke motiver er meget vanskelige at finde, der skal mange indtastninger af parametre til, og megen leden efter brugbare lokaliteter, og det er åbenbart en naturlov at helheden og detaljen ikke harmonerer sammen. Men sådan er det vel strengt taget med alting verden er disharmonisk. Og det kan vi ikke forlige os med, så derfor udvælger og omordner vi, og sætter resultatet i glas og ramme. Matematikeren har igennem årene fået mere blik for det menneskeskabte i sin matematik. Ikke bare begreberne, men også den uforklarlige størrelse atmosfære. Hans matematik hører en helt anden verden til end den vi lever i nu, den holdes kun i live af ham selv og nogle få andre, og dette er han taknemmelig for. Tænk hvis han havde valgt noget populært som speciale, f.eks. fraktalerne. Så havde han været påtvunget et fællesskab med de mennesker de mødte da de surfede på Internettet. Kunstneren havde åbenbart tænkt noget tilsvarende, for han begyndte at gøre besværligheder. Men lad os nu tage tingene i den rigtige følge: først matematikken og så kunsten. Lad f(z) være en rational kompleks funktion. Når vi itererer et punkt z med f(z) er det almindelige at iterationsfølgen konvergerer imod en endelig cykel

7 7 z 1,..., z r, og at alle punkter i en omegn af z konvergerer imod den samme cykel, og der vil højst være endelig mange af disse cykler. Dette betyder en opdeling af planen i endelig mange åbne områder - et sådant kalder vi et Fatouområde. Komplementær-mængden til foreningen af Fatou-områderne er en ikke-tom og ikke-numerabel nulmængde - den kalder vi Julia-mængden hørende til f(z). Den er randen af hvert af Fatou-områderne. For z tilhørende Juliamængden er iterationsfølgen i almindelighed kaotisk, men for numerabelt mange z ender den i en endelig cykel. Undtagelsessituationen for et Fatouområde er at den endelige cykel ikke er tiltrækkende men neutral, og dette betyder at iterationsfølgerne blot ender med at kredse i cirkelagtige bevægelser om dens punkter. Ethvert Fatou-område indeholder en løsning til ligningen f'(z) = 0, en sådan kaldes et kritisk punkt for iterationen. På et tiltrækkende Fatou-område kan vi definere en potentialfunktion φ(z). Vi lader z* være et af cyklens punkter og betegner den n-te iteration af z ved z n. Hvis cyklens orden er r, er z* fikspunkt for f (r) (z) og vi har f (r) (z) = (z z*) p h(z) + z*, hvor p er et naturligt tal og h(z*) 0. For p = 1 er tallet α = 1/ (f (r) )'(z*) (= produktet af tallene 1/ f'(z i ) over cyklens punkter = 1/ h(z*) ) et mål for cyklens tiltrækning, og hvis m er et nummer således at z m er tilstrækkelig nær z*, kan vi sætte φ(z) = lim k 1/( z m+rk z* α k ). p > 1 betyder at α = og at f'(z i ) = 0 for et af cyklens punkter, og i dette tilfælde kaldes cyklen supertiltrækkende. Vi kan nu sætte φ(z) = lim k log z m+rk - z* /α k, hvor α = p - eller, hvis cyklen er det supertiltrækkende fikspunkt, hvilket betyder at i f(z) er graden af tælleren mindst 2 større end graden af nævneren: φ(z) = lim k log z k /α k, hvor α nu skal være forskellen imellem de to grader. Hvis ε er et (meget) lille positivt tal og n er det første iterations-nummer således at z n+r - z* < ε, er φ(z) tilnærmelsesvist givet ved: 1/( z n z* α k ) henh. log z n z* /α k,

8 8 hvor k = [n/r] (+ en konstant som er uden betydning), og dette tal er 1/(εα k' ) henh. logε/α k', hvor k' = k - κ og κ opfylder 0 κ < 1 og er givet ved: log(ε/ z n z* )/log( z n-r z* / z n z* ) henh. log(log( z n z* /logε))/logα (i første formel er α erstattet med z n-r z* / z n z* ). For fikspunktet har vi at hvis N er et (meget) stort tal og k er det første iterations-nummer således at z k N, er φ(z) tilnærmelsesvist givet ved log z k /α k, og dette tal er logn/α k', hvor k' = k κ og κ = log(log z k /log N)/logα. Det er det reelle tal k' der giver den mest naturlige farvelægning, idet farvevariationen følger fraktalens form - men metoden bruges ikke, for som der står skrevet et sted: "Most fractal artists do not care about potential, but they are very interested in continuous values" (underforstået: enklere metoder). Hvis vi dividerer potentialfunktionen φ(z) med normen af dens gradient φ'(z), får vi en funktion δ(z) = φ(z)/ φ'(z) som må være et mål for en afstand, nemlig fra Julia-mængden: ved tilnærmelse til denne bliver δ(z) proportional med den sædvanlige afstand. Hvis vi lader z' k være den afledede af z k (mht. z), har vi henh. δ(z) = lim k z k z* / z' k og δ(z) = lim k z k log z k / z' k, hvor z' k succesivt udregnes ved z' k+1 = f'(z k ) z' k, idet der startes med z' 0 = 1. Ved hjælp af afstandsfunktionen kan man få et klart billede af Julia-mængden, idet denne "er" de z således at δ(z) er mindre end et givet lille positiv tal. Og i modsætning til potentialfunktionen giver den anledning til et behageligt bakkelandskab over planen som kan tegnes i perspektiv. En Julia-mængde kan have forskellige grader af "sammenhænghed": den ene yderlighed er at den er helt sammenhængende, den anden er at den er totalt usammenhængende (en Cantor-mængde). Dette giver anledning til begrebet Mandelbrot-mængde. Vi lader z 1 og z 2 være to kritiske punkter for f(z), og indfører en parameter c således at vi betragter iterationsfamilien z f(z) + c. Da er Mandelbrot-mængden hørende til z 1 og z 2, mængden af de punkter c således at z 1 og z 2 ikke tilhører samme Fatou-område ved iterationen z f(z) + c.

9 9 Det indre af denne mængde må bestå af de c således at z 1 og z 2 itereres imod tiltrækkende men forskellige cykler. Når c passerer denne mængdes rand, må der ske en karaktermæssig ændring af Julia-mængden for f(z) + c, og disse Julia-mængder er derfor mest interessante. Julia-mængderne er altid (helt) selvsimilære, en Mandelbrot-mængde er lokalt selvsimilær, og på dens rand er denne struktur identisk med Julia-mængdens struktur. Vi får Mandelbrot-mængden frem ved at farvelægge dens ydre: For næsten ethvert c bestemmer z 2 en tiltrækkende cykel, og det at c er udenfor Mandelbrot-mængden betyder at z 1 itereres imod denne cykel, men dette betyder at potentialfunktion φ(z) (for funktionen f(z) + c og denne cykel) er defineret i punktet z 1, og vi har således en potentialfunktion på området udenfor Mandelbrot-mængden (i formlen for afstandsfunktionen δ(z) skal dog nu differentieres med hensyn til c, så derfor foregår den succesive udregning af z' k nu ved z' k+1 = f'(z k ) z' k + 1, hvor der startes med z' 0 = 0). Programmet skal indrettes på denne måde: Først vælges to kritiske punkter (de vælges grafisk og udregnes ved iteration), så kommer Mandelbrotmængden frem, i denne kan man zoome og ændre farvelægning, og herefter kan man, ved at flytte et variabelt punkt, gå over til Julia-mængderne. Ved udregningen af z k+1 og z' k+1 i programmet, skal z' k+1 udregnes før z k+1, da z' k+1 beror på z k og ikke z k+1. I bogen "The Science of Fractal Images" fra 1988 tales om at "save the orbit {z 0, z 1,..., z k }", og dette betyder udover denne overflødighed, at z' k kan give anledning til overflow, og (åbenbart også) at "the images depend very sensitively on the various choices" (5 stk.). Denne "fejl" i denne kendte bog er måske hovedårsagen til at randen kun findes på få billeder og kun i det simpleste tilfælde f(z) = z 2, og at der aldrig er tegnet detaljerede snit i 3-dimensionale fraktaler. Men i virkeligheden er denne operation helt uproblematisk, og den virker for alle iterationsudtryk og billedet tager ikke længere tid. Matematikeren var en smule stolt af sine billeder - kunstneren ville ikke kunne gøre store indvendinger, men han måtte høres. Og matematikeren ville også gerne have flere farvemuligheder, og dem kunne kunstneren få lov til at fumle sig frem til - han havde godt af at snuse lidt til de moderne kunstneres arbejdsredskab. Han sendte kunstneren sit kunstværk og et program som kunne farvelægge motivet ved at man indtaster de parametre som bestemmer en ellipse i dobbeltkeglen, samt en tegning af denne med tal og farveangivelser på. Der gik påfaldede mange dage førend kunstneren ringede: "Sig mig, har du selv kigget på den tegning?" "Nej", svarede matematikeren, "det er jo det du skal gøre". "Jamen den hjælper ikke! og otte parametre skal man

10 10 indtaste, det blir' man idiot af! - og dine ellipser er ikke den rigtige form". "Jamen så ændrer vi dem, det er jo det du skulle undersøge". "Ja, så der kan blive endnu flere parametre! Du ka' tro nej! Det her er ikke noget jeg står model til! Jeg er kunstner! Det er farver der er mit fag, ikke tal!" "Javel, men er der slet ikke noget der virker? - du sagde at man bare skal lægge ellipsen i overensstemmelse med farvelæren - komplementærfarver overfor hinanden". "Jo, der er lidt der er til at holde ud at se på - og det er uendelig langt fra dit... dit kitsch". Matematikeren bad om at få nogle af de tålelige billeder tilsendt, måske de kunne give ham en idé. Han sagde selvfølgelig ikke hvad han tænkte, nemlig at kunstnerens farvekunnen højst gælder hans egne billeder, og at kunstnere i det hele taget er på skideren når de kommer lidt udenfor deres daglige rutine. Og han undlod at sige, at hvis alt virkelig skal være så mikroskopisk nøjagtigt, hvordan kan kunstneren så tillade, at farverne i de billeder han viser på sin hjemmeside afviger ganske pænt fra originalernes. Denne tanke gav matematikeren en lys idé: der er altid et eller andet galt med de billeder man får frem på skærmen, de må efterbehandles, men de muligheder man har med de almindelige billedbehandlingsprogrammer er for begrænsede, fordi de ikke må forudsætte mere matematik end det der skal til for at kunne trække i et håndtag. Men man kan sikkert opnå underværker, hvis man anvender farvetransformationer som forudsætter en lille bitte smule tænkning i geometri og tal. Matematikeren gættede at det ville være nok med en lineær afbildning. Han lavede et sådant program og prøvede det på kunstnerens billeder, såvel fraktalerne som fotografierne af hans værker, og han var forbløffet over programmets muligheder (det kan hentes på denne adresse: Billedbehandling). Han bad kunstneren om at antyde hvilke forandringer i fraktalerne der skulle foretages, og efter nogle billeder frem og tilbage, erklærede kunstneren at "kunst og matematik strider imod hinanden", og da matematikeren jo havde erkendt det samme og da han nu endegyldigt havde fået bevis for at i hvert fald kunstnere og matematikere strider imod hinanden, opdagede ingen af dem at de var blevet skånet for et dilemma: at skulle sætte to signaturer på et og samme skaberværk.

11 11

12 12

13 13

14 14

15 15