Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
|
|
- Nicklas Thorsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1
2 To-kammer modeller. Blodet bliver tilført et medikament ved intravenøs injektion. I en model tænker vi at tre ting sker samtidig: Noget af stoffet udskilles med urinen (ekskretion). Noget af stoffet fordeler sig i vævet (distribution). Noget af stoffet vandrer fra vævet tilbage til blodbanen (redistribution). Lad x(t) (mg) og y(t) (mg) være mængden af medikamentet i blod og væv. Denne figur v 3 x(t) v 1 v 2 y(t) 2
3 viser stoffets vandring hvis v 1, v 2, v 3 (mg/h) er hastigheden af distribution, redistribution og ekskretion. For hver af de to kasser gælder ændring = det som løber ind det som løber ud Dette princip leder til ligningerne x (t) = v 2 v 1 v 3 (1) y (t) = v 1 v 2 (2) I denne model antager vi at der findes positive konstanter k 1, k 2 og k 3 så v 1 = k 1 x, v 2 = k 2 y og v 3 = k 3 x. (Hastighederne antages altså at være proportionale med medikamentmængden i den kasse medikamentet udskilles fra.) Ligningerne (1) (2) giver nu et system af to differentialligninger x (t) = (k 1 + k 3 )x + k 2 y (3) y (t) = k 1 x k 2 y (4) Dette er et homogent lineært differentialligningssystem. Ved en løsning forstår vi et par af funktioner (x(t), y(t)) som opfylder begge ligninger. 3
4 Løsning af differentialligningssystemer A. Homogene tilfælde Vi løser et lineært homogent differentialligningssystem ved at omskrive det til en homogen 2.ordens differentialligning. Det næste eksempel viser hvordan. Eksempel 1 Løs differentialligningssystemet dx = x + 2y (5) dt = 2x 2y (6) dt Find den løsning der opfylder begyndelsesbetingelserne x(0) = 14 og y(0) = 2. Løsning: Vi får en 2. ordens ligning sådan her: x = (x + 2y) fra (5) = x + 2y = x + 4x 4y fra (6) = x + 4x 2 2y = x + 4x 2(x x) fra (5) = x + 6x 4
5 Nu løser vi 2. ordens differentialligningen og får x + x 6x = 0 x = Ae 2t + Be 3t da r 2 + r 6 = (r 2)(r + 3) har de to rødder r = 2 og r = 3. Nu har vi x og dermed også y = 1 2 (x x) fra (5) = 1 2 ( 2Ae 2t 3Be 3t Ae 2t Be 3t ) = 1 2 Ae2t 2Be 3t Dette er den generelle løsning. Den specielle løsning, vi søger, er bestemt ved A + B = A 2B = 2 som giver A = 12 og B = 2, så x(t) = 12e 2t + 2e 3t y(t) = 6e 2t 4e 3t y x 5
6 Eksempel 2 Find den løsning til differentialligningssystemet x = 3x + 2y (7) y = 4x + y (8) som opfylder de to begyndelsesbetingelser x(0) = 0 og y(0) = 1. Løsning: Vi finder at x = 3x + 2y fra (7) = 3x 8x + 2y fra (8) = 3x 8x + (x + 3x) fra (7) = 2x 5x eller x + 2x + 5x = 0. Da D = b 2 4ac = = 16 k = b 2a = 2 2 = 1 D ω = 2a = 4 2 = 2 er løsningen til denne 2.ordens ligning x = e t( A sin(2t) + B cos(2t) ) 6
7 og dermed x = e t( ( A 2B) sin(2t) + (2A B) cos(2t) ) y = 1 ( ) x + 3x 2 = e t( (A B) sin(2t) + (A + B) cos(2t) ) Vi har nu den fuldstændige løsning til de to ligninger (7) (8). Begyndelsesbetingelserne 0 = x(0) = B 1 = y(0) = A + B giver A = 1 og B = 0, så x = e t sin(2t) y = e t( sin(2t) + cos(2t) ) er den søgte løsning y 0.4 Flyd med strømmen! x 0.2 7
8 Omskrivning fra ligningssystem til 2. ordens ligning Hard-core matematikere gør det én gang for alle. Hvis så er eller x = ax + by (9) y = cx + (10) x = (x ) = (ax + by) fra (9) = ax + by = ax + bcx + b fra (10) = ax + bcx + d(x ax) fra (9) = (a + d)x (ad bc)x x (a + d)x + (ad bc)x = 0 (11) Hvix x og y løser systemet (9) (10), så vil x løse 2. orden ligningen (11). 8
9 Eksempel 3 (Januar 2000 Opg 3) Find den løsning til x = 1 4 y y = 1 3 x y som opfylder x(0) = 30, y(0) = 19. Løsning: Differentialligningssystemet giver en 2.ordens differentialligning hvis karakteristisk polynomium har rødderne 1 6 og 1 2. Derfor er x = Ae t/6 + Be t/2 y = 4x = 2 3 Ae t/6 + 2Be t/2 Begyndelsesbetingelserne giver ligningerne 30 = A + B 19 = 2 3 B 2B med løsningen A = 237 8, B = 3 8. Altså er x = e t/ et/2 y = 79 4 e t/ et/2 9
10 B. Inhomogene ligningssystemer Systemet x = 3x 2y 3 y = 3x 4y + 9 er et inhomogent lineært differentialligningssystem med konstante koefficienter. Ligevægtstilstanden, bestemt ved 0 = 3x 2y 3 0 = 3x 4y + 9 giver én konstant løsning til systemet, nemlig x = 5, y = 6. Den fuldstændige løsning får vi ved til ligevægtstilstanden at addere alle løsninger til det tilsvarende homogene system Det giver x = 3x 2y y = 3x 4y x = 2Ae 2t + Be 3t + 5 y = Ae 2t + 3Be 3t
11 Eksempel 4 Jordbunden består af to forskellige jordlag. Vi antager at regn falder på jordoverfladen med konstant hastighed p (mm/h), siver ned i det første jordlag, derfra ned i det andet, og derfra videre ned i undergrunden. Vi opstiller en matematisk model. Lad x(t) (mm) og y(t) (mm) være vandhøjden i det øverste og det nederste lag. Vi bruger en 2-kammer model til at beskrive situation p x(t) k 1x y(t) k 2y Her står p (mm/h) for den konstante regnintensitet. Vi antager, at den hastighed hvormed vandet flyder væk fra et jordlag er proportional med vandhøjden (i mm) i det jordlag. Det giver ligningerne x = p k 1 x y = k 1 x k 2 y som er et inhomogent system. 11
12 Ligevægtstilstandens konstante løsninger fås af 0 = p k 1 x 0 = k 1 x k 2 y som giver x = p k, y = p 1 k. Det tilsvarende 2 homogene system x = k 1 x y = k 1 x k 2 y har løsningen (Overvej!) x = Ae k 1t y = k 1 k 2 k 1 Ae k 1t + Be k 2 t Den fuldstændige løsning er derfor x = p k 1 + Ae k 1t y = p k 2 + k 1 k 2 k 1 Ae k 1t + Be k 2t 12
13 Lad os nu også antage at jordlagene er tørre til tiden t = 0, altså at vi har begyndelsesbetingelserne x(0) = 0 og y(0) = 0. Det giver eller 0 = p k 1 + A 0 = p k 2 + k 1 k 2 k 1 A + B A = p k 1 B = p k 2 + k 1 k 2 k 1 p k 1 = Vi konkluderer altså at x = p ( 1 e k 1 t ) k 1 y = p p k 2 k 2 k 1 = p e k p 1t k 2 k 1 p k 2 (k 2 k 1 ) ( e k 1 t k 1 e k 2t k 2 ) ( 1 k 1 k 2 e (k 1 k 2 )t k 2 k 1 giver udviklingen af vandhøjden i de to jordlag. ) 13
14 Lotka Volterra modeller Betragt (det ikke-lineære) differentialligningssystem dx = x(p ay) (12) dt = y( q + bx) (13) dt med positive konstanter a, b, p, q. Dette system bruges i økologi til at modellere vekselvirkningen mellem en population, x(t), af bytter (sneharer) og en population, y(t), af rovr (polarræve). Hvis konstanten a var lig med 0, ville (12) reducere til ligningen dx/dt = px for eksponentiel vækst, og bestanden af bytter ville vokse over alle grænser for t. Tilsvarende, hvis konstanten b var lig med 0, ville (13) reducere til ligningen /dt = qy for eksponentiel henfald, og bestanden af rovr ville uddø for t. Det negative led ay i (12) nedsætter per capita vækstraten for bytterene med et bidrag der er proportionalt med antallet af rovr. Det positive led bx i (13) øger per capita vækstraten for rovrene med et bidrag der er proportionalt med antallet af bytter. Vito Volterra udviklede modellen ca 1920 for at analysere de cykliske variationer i spisefisk/haj-bestandene i Adriaterhavet. 14
15 Eksempel 5 Differentialligningssystemet dx = 0, 08x 0, 0003xy dt = 0.07y + 0, 0002xy dt x(0) = 800, y(0) = 75 modellerer samspillet mellem en bestand kaniner, oprindeligt på 800, og en bestand ulve, oprindeligt på Graferne for x(t) og y(t) Antal Tid LotkaVolterraCyklus 600 Kurven (x(t), y(t)) y x Løsningskurverne er ikke stabile - biologisk set ikke så godt! 15
16 To konkurrerende arter Differentialligningssystemet dx 1 dt = α 1x 1 (K 1 x 1 α 12 x 2 ) (14) dx 2 dt = α 2x 2 (K 2 x 2 α 21 x 1 ) (15) med positive konstanter α 1, α 2, α 12, α 21, bruges i økologi til at modellere vekselvirkningen mellem en to populationer af to re- eller plantearter, der konkurrerer om de samme ressourcer. Funktionerne x 1 (t) og x 2 (t) står for antallet af individer af art 1 og 2 til tiden t. K 1 og K 2 er miljøets bærekapacitet for de to arter. Hvis konstanterne α 12 og α 21 begge var lig med 0 ville ligningerne reducere til de logistiske ligninger og antallet af begge arter ville vokse logistisk uden indflydelse på hinanden. Når konstanten α 12 ikke er 0 udtrykker det at x 2 individer af art 2 har lige så stor negativ indvirking på art 1 som α 12 x 2 individer dens egen slags. Helt tilsvarende har x 1 individer af art 1 lige så stor negativ indvirkning på art 2 som α 21 x 1 individer af den egen art. 16
17 Opgaver til Lektion Løs differentialligningssystemet dx dt = 2x y dt = x 2. Løs differentialligningssystemet dx dt = x + y dt = x y + t 3. To rearter, hvis antal betegnes med x og y, konkurrerer om de samme ressourcer. Deres interaktion modelleres ved dx = x y e t dt dt = 2x y Find x(t) og y(t) når x(0) = 50 og y(0) = 65. Vil en af arterne udkonkurrere den anden? 4. (Januar 2001) a) Find den generelle løsning til differentialligningssystemet dx dt = 3x y = 4x 2y dt Medtag mellemregninger. b) Find den partikulære løsning, (x(t), y(t)), der opfylder, x(0) = 3 og y(0) = (April 1999) Lad x(t) og y(t) betegne antallet af to slags r, henholdsvis X og Y, der konkurrerer om samme føde. Antag endvidere at renes antal udvikler sig efter ifølge differentialligningssystemet dx dt = 3x y dt = 2x + 2y + 12k 17
18 hvor sidste led i sidste ligning angiver at der udsættes et konstant antal 12k af reart Y pr. tidenhed. a. Find den fuldstændige løsning til dette system af differentialligninger. b. Antag at der til tiden t = 0 er 500 af arten X og 400 af arten Y, og antag desuden at der ikke udsættes nogen r af art Y (k = 0 i ligningerne ovenfor). Vis at en af arterne uddør, og bestem den værdi af t hvor det sker. c. Antag, som i spørgsmål b, at der til t = 0 er 500 af arten X og 400 af arten Y, man lad nu k være forskellig fra 0. Undersøg om det er muligt at redde begge arter fra at uddø ved at udsætte r af arten Y med konstant hastighed, dvs. ved at vælge k passende. 6. (Januar 1997) Et r er blevet angrebet af en skadelig parasit. Til tiden t = 0 er der 25 parasitter, og rets vægt er (i passende enheder) 10. Idet antal parasitter til tiden t betegnes y(t), og rets vægt til tiden t betegnes x(t), gælder dx dt = 1 2 y + 10 = 8x 80 dt Find et udtryk for rets vægt til et vilkårligt tidspunkt t. 7. (Ligning for løsningskurven til Lotka-Volterra modellen) Lad (x(t), y(t)) være løsningskurven for Lotka-Volterra modellen (12, 13), se Eksempel 5. Antag at kurven er graf for en funktion y = y(x). Så er y(t) = y(x(t)) og dt = dx dx dt eller dx = /dt dx/dt Det giver den separable differentialligning dx = px axy qy + bxy = q + bx x y p ay Vis at den generelle løsning er givet implicit på formen x q y p = Ce bx e ay hvor C er en konstant (som kan bestemmes hvis man kender ét punkt, som kurven løber igennem).
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereLektion 9 Vækstmodeller
Lektion 9 Vækstmodeller Eksponentiel vækst 1. Eksponentielt voksende funktioner 2. Eksponentielt aftagende funktioner 3. Halverings- og fordoblingstider Vækst mod asymptotisk grænse Logistisk vækst 1.
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereMatBio. = r K xy, dx dt. = r xy. (2)
.1 Epidemier. En population (Storkøbenhavns befolkning, fiskene i et dambrug, en bakteriekultur,... ) rammes af en epidemi. Antag, at populationens størrelse er konstant individer. Heraf er individer inficerede
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereo < x < 1. In x In 2 KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG EMBEDSEKSAMEN. MATEMATIK FOR BIOLOGER. Vinteren 1985/86.
KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG EMBEDSEKSAMEN. MATEMATIK FOR BIOLOGER. Vinteren 1985/86. Opgaver til besvarelse i 4 t i me r. Alle sædvanlige hjælpemidler er tillae. Ved bedømmelsen vægtes alle
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereOplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A.
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-KEMI OM OSCILLERENDE REAKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Indledning De fleste kemiske reaktioner forløber uproblematisk inil der opnås kemisk ligevægt, eksempelvis
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereDiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU 2g
NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK NOVEMBER 008 MATEMATIK A-NIVEAU g Prøve november 008 1. delprøve: 1 time med formelsamling samt. delprøve: timer med alle hjælpemidler Alle delspørgsmål indenfor hver af
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereStudieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion
Læs mereDosering af anæstesistoffer
Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereLotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereProjekt 3.5 Når en population kollapser
Projekt 3.5 Når en population kollapser Logistisk vækst beskrives af en langstrakt S-formet graf, der blødt bevæger sig op mod en øvre grænse, som vi kalder for bæreevnen. Virkeligheden er ofte betydeligt
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereDOK DOK-facitliste 1. DOK-facitliste
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereProjekt: Logistisk vækst med/uden høst
Projekt: Logistisk vækst med/uden høst I dette projekt skal vi arbejde med differentialligninger, specielt med logistisk vækst og med en udvidelse, hvor der indgår høst. Den eksponentielle vækst (type:
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereDifferentialligninger nogle beviser og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Differentialligninger nogle eviser og modeller Vi skal i dette lille tillæg give elegante eviser for de fuldstændige løsninger til følgende typer af differentialligninger:
Læs mereKontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B
1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereDOK-Eksempler DOK DOK EXPL 1. Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på
EXPL 1 -Eksempler Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på normalform. Den splitter i to: ẋ = 1 x 2 og ẋ = 1 x 2. Vi løser den første: Ligningen er separabel. Klart, at de konstante funktioner
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereDifferensligninger og populationsstørrelser
Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Onsdag den 7. december 2016 kl stx163-mat/b
Matematik B Studentereksamen stx163-mat/b-07122016 Onsdag den 7. december 2016 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDOK-Eksempler DOK DOK-EXPL 1. Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på
DOK-EXPL 1 DOK-Eksempler Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på normalform. Den splitter i to: ẋ = 1 x 2 og ẋ = 1 x 2. Vi løser den første: Ligningen er separabel. Klart, at de konstante
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mere