Læseforståelse i matematikundervisningen

Transkript

1 MARIANE HORNSTRUP TEGNER STUDIENR.: Læseforståelse i matematikundervisningen Et projekt om lærerens opgave ved særligt tilrettelagt undervisning for elever med dansk som andetsprog i matematik Bachelorprojekt i læreruddannelsen ved Institut for Skole og Læring ved Professionshøjskolen Metropol i faget dansk som andetsprog Med vejledere: Marianne Hørup Bendtsen og Tina Duedahl Sørensen Antal anslag: svarende til 26,5 antal sider

2 2 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Motivation:... 3 Problemfelt... 3 Problemformulering... 5 Metode... 6 Teoretikere anvendt i opgaven... 6 Empiriindsamling hvad og hvordan... 7 Præsentation af teori... 8 Præsentation af empiri Undervisning, tilrettelæggelse og analyse Målene, rammefaktorerne og vurdering Indholdet Elevernes læringsforudsætninger Delkonklusion på analyse af elevernes læringsforudsætninger Læreprocessen Delkonklusion på analyse af elevernes læreproces Konklusion Perspektivering Litteraturliste: Bilagsliste Bilag Bilag Bilag Bilag

3 3 Indledning Motivation: Motivationen til denne opgave stammer fra interessen for matematik og elever med dansk som andetsprog. Som lærerstuderende med dansk som andetsprog og matematik som linjefag har jeg i mødet med fagene fået en interesse for hvordan tosprogede elever bedst muligt lærer matematik. Jeg har undret mig over om tosprogede elever skulle have en tilpasset undervisning for at de havde lettere ved at forstå matematikken. Jeg fandt ud fra undersøgelser og artikler at der var en problematik for eleverne med dansk som andetsprog til afgangsprøven i matematik i det læseforståelsesmæssige element. Jeg interesserer mig derfor i denne opgave for tosprogede elevers læseforståelse i matematiktekster og elevernes matematiskleksikalske kompetencer. Problemfelt Folkeskolens ældste elever prøves hvert tredje år i en international test af deres faglige kompetencer i PISA 1 undersøgelserne. I tillæg til disse PISA undersøgelser er der udarbejdet såkaldt PISA Etnisk undersøgelser fordi der i de ordinære PISA undersøgelser var et for beskedent antal tosprogede elever til repræsentation. PISA Etnisk 2005 viser at elever med dansk som andetsprog klarer sig testresultatmæssigt dårligere end elever med dansk som modersmål (Egelund og Tranæs, s. 2). Det gælder i alle de fagområder som PISA testen undersøger; dansk, naturfag og matematik. Der ligger et problem i, at forskellen i testresultaterne, mellem elever med dansk som andetsprog og dansk som modersmål er så stor og det er folkeskolens opgave at alle elever, uanset sproglig baggrund, klarer sig bedst muligt. PISA Etnisk fra 2009 viser resultater som tyder på, at der er sket en fremgang for elever med dansk som andetsprog i forhold til dansk og læseforståelse, men resultaterne er stadig for elever med dansk som andetsprog markant lavere end resultaterne for elever med dansk som modersmål (PISA Etnisk, 2009, s. 7). Resultaterne fra PISA Etnisk 2009 viser at 13 % af eleverne med dansk som modersmål ligger under den grænse for hvor godt man skal kunne læse for at kunne gennemføre en ungdomsuddannelse (PISA Etnisk, 2009, s. 9). Sammenlignes ovenstående resultat med, at 32 % af eleverne med dansk som andetsprog ligger under den grænse, tyder det på at undervisningen ikke imødekommer de læringsbehov som de tosprogede elever har (Ibid s. 9). På trods af at der siden PISA Etnisk 2000 har været fokus på dansk som andetsprog i folkeskolen er de tosprogede elevers testresultater dårligere end etsprogede elevers, hvilket må betyde at 1 Programme for International Student Assessment

4 4 der skal gøres en yderligere indsats i at undervise elever med dansk som andetsprog, så de klarer sig bedre i alle folkeskolens fag i forhold til kravene i Fælles mål 2 (Ibid., s. 8). I forhold til matematiktilegnelsen for tosprogede elever er der også et problem. En undersøgelse af Eva Rønn og Ruth Mulvad, lavet på basis af to 9. klasser i Hvidovre viser, at karakteren ved den skriftlige afgangsprøve i matematik taget af de elever som har dansk som andetsprog er under karakteren for landsgennemsnittet (Jess m.fl., 2009, s. 45). Lærer på Strandgårdsskolen i Ishøj Niels Olesen og lektor i matematikdidaktik Lisser Ejersbo, beskriver i en kronik i Politiken den 29. nov problematikken i, at sproget i problemløsningsdelen af folkeskolens afgangsprøve i matematik er unødvendigt svær. Eleverne skal arbejde sig gennem en vanskelig og forvirrende tekst for at nå frem til et matematikniveau, der kan klares af elever i 5. klasse (Ejersbo og Olesen, Politiken, 2011). Dette understøttes af den svenske PRIM 3 -gruppe der har lavet en undersøgelse, der viser at der er en sammenhæng mellem elevernes resultater ved afgangsprøven i matematik og elevernes læseforståelse (Ibid., s. 48). PRIM- gruppens undersøgelse viser, at den problematik som fandtes i Rønn og Mulvads undersøgelse, og senest påpeget af Niels Olesen og Lisser Ejersbo, er relevant og kan have den forklaring at problemer med forståelsen i matematikken kan skyldes manglende læseforståelse. Ovenstående resultater stemmer overens med en undersøgelse Diana Kringelbach har lavet ang. elevers ordkendskab i en skriftlig afgangsprøve i matematik. Undersøgelsen viser, at elever med dansk som andetsprog har mindre kendskab til ord der optræder i afgangsprøven, end elever med dansk som modersmål og at de tosprogede elever bl.a. har problemer med de førfaglige ord i opgavesættet ved afgangsprøven i matematik (Kringelbach, 2005, s. 1, 3). Førfaglige ord er et udtryk opfundet af Jørgen Gimbel ud fra en frekvensundersøgelse af ordforråd i fagbøger. Gimbel udarbejdede i 1995 en undersøgelse der lignede Kringelbachs, der omhandlede kendskab til en række ord som var frekvente i lærebøger i biologi, geografi og historie (Gimbel 1998, s. 95). Bøgernes ordforråd blev delt i tre kategorier: kendte ord, som er de ord som bliver brugt flest gange og som formodes kendt af alle elever; fagord, som er de ord som en faglærer vil forklare, da det er nye ord/begreber for alle elever og førfaglige ord, som er resten af ordene i lærebøgerne (Møller mfl., 1998, s. 2 Fælles mål 2009 omfatter nye mål og reviderede fagmål, slutmål (centrale kundskabs- og færdighedsområder), trinmål og læseplaner for skolens fag og emner. De er ifølge folkeskoleloven nationale mål for, hvad undervisningen skal lede frem mod at eleverne har tilegnet sig af kundskaber og færdigheder ved afslutningen af undervisningen og ved afslutningen af bestemte klassetrin (Undervisningsministeriet) 3 PRIM-gruppen er en forskningsgruppe, der udvikler materialer til evaluering og bidrager til kompetenceudvikling inden for evalueringsområdet (Jess, m.fl., 2009, s. 48).

5 5 97). Førfaglige ord er ord som faglæreren opfatter som ord der er kendt af alle elever og som hun ikke behøver lave en uddybende forklaring af, men som for tosprogede elever kan skabe forståelsesproblemer (Gimbel 1995). Gimbels undersøgelse viste ligesom Kringelbachs undersøgelse, at elever med dansk som andetsprog manglede førfaglige ord i deres ordforråd hvilket medfører vanskeligheder i læseforståelsen (Ibid., s. 103). Ovenstående undersøgelser viser, at elever med dansk som andetsprog mangler førfaglige ord. Dette har ført til en hypotese om at læreren ud fra den skriftlige afgangsprøve i matematik kan vurdere hvilke danskkundskaber eleverne med dansk som andetsprog har og hvor bred en forståelse af førfaglige ord de besidder (Jess m.fl., 2009, s. 52). Det er den skriftlige matematik som skaber problemer for de tosprogede elever og dette kan tyde på at de mangler faglig læsekompetence. Ifølge folkeskoleloven 18 skal: Undervisningens tilrettelæggelse, herunder valg af undervisnings- og arbejdsformer, metoder, undervisningsmidler og stofudvælgelse, skal i alle fag leve op til folkeskolens formål, mål for fag samt emner og varieres, så den svarer til den enkelte elevs behov og forudsætninger (Folkeskoleloven). For at tilgodese elever med dansk som andetsprog i matematikundervisningen, må der tilrettelægges en undervisning som hjælper de tosprogede elever med at øge sprogforståelsen og ordforrådet af førfaglige ord i forhold til matematik (Fælles mål matematik). Problemformulering Jeg ved ud fra mine egne erfaringer og som argumenteret for ved hjælp af ovenfor præsenterede forskningsartiklers resultater om tosprogede elevers sprogforståelse, at elever med dansk som andetsprog ikke har en tilstrækkelig mængde førfaglige ord til at forstå matematiktekster. Dette er en hindring for de tosprogede elevers læring af matematik og der er noget der tyder på at der skal undervises eksplicit i førfaglige ord der relaterer sig til matematik og læseforståelse af matematiktekster. Hvis de tosprogede elever i fremtiden skal klare sig godt i forhold til de ministerielt stillede mål og have et fagligt udbytte af undervisningen der svarer til det som elever med dansk som modersmål får, samt klare sig gennemsnitligt ved folkeskolens afgangsprøve i matematik, skal matematikundervisningen tilrettelægges således, at der sættes fokus på elevernes tilegnelse af førfaglige ord. Dette leder mig frem til følgende problemformulering:

6 6 Hvorfor er det vigtigt at undervise i førfaglige ord i matematikundervisningen for elever med dansk som andetsprog i folkeskolen? Og hvilke didaktiske overvejelser skal man som lærer gøre sig når man tilrettelægger en undervisning som opfylder de behov tosprogede elever har for sprogundervisning med særlig fokus på førfaglige ord i matematikundervisningen. Metode Denne opgaven er et litteraturstudie af udvalgte teorier der belyser hvordan tosprogede elevers læseforståelse kan forstå. Mine erfaringer fra 4. års praktikken, undervisningen i matematik i en 8. klasse og arbejdet med dansk som andetsprog med samme 8. klasse, er opgavens empiriske grundlag. Der er tale om teoretisk analyse af empiriske data, indhentet gennem min egen undervisning i praktikken. Hilde Hiim og Else Hippes didaktiske relationsmodel 4 vil blive benyttet som didaktisk metode til at analysere problemstillingen i opgaven. Relationsmodellen er en model til analyse og planlægning af undervisning og læring (Krogh-Jespersen, 2006, s. 84). Trods vanskeligheder med at adskille modellens kategorier, har jeg anvendt den til at vise hvilke didaktiske overvejelser man som lærer må gøre sig når en særlig tilrettelagt undervisning skal planlægges, analyseres og evalueres. Jeg har valgt at koble kategorierne mål, vurdering og rammefaktorer sammen, da disse kategorier er mindre essentielle i forhold til denne opgaves problemstilling, men dog på ingen måde uvæsentlige. Teoretikere anvendt i opgaven De teoretikere jeg har valgt har ikke haft specifik fokus på elever med dansk som andetsprog, men der er centrale elementer fra deres teorier og modeller som kan overføres til denne opgave og til analyse af opgavens problemformulering. Jeg har valgt at benytte Lev Vygotskys som almen teoretiker. Hans læringsteori om zonen for nærmeste udvikling vil være opgavens gennemgående teori, da elementer af teorien kobler elevens sprog og læring sammen. Vygotsky er også valgt på grund af hans tanker om at læring sker i social interaktion. Min undervisning har i høj grad været inspireret af disse elementer. Jeg har valgt at benytte Merete Brudholms udlægning af Kirsten Haastrups interaktive læsemodel. Denne læsemodel kan læreren benytte til at finde elevens aktuelle og potentielle udviklingsniveau i forhold til læseforståelse. Ydermere vil jeg bruge Brudholms teori om læsefaser, fordi de viser og hvordan man som 4 Relationsmodellens kategorier består af: eleverne læringsforudsætninger, læreprocessen, indholdet, målene, vurdering og rammefaktorer. Disse kategorier er alle dele af en lærers planlægningsværktøj og kan derfor ikke skilles ad. Alle kategorierne må være repræsenteret i en undervisning og tilrettelæggelsen af den.

7 7 lærer kan styrke elevernes læseforståelse. Brudholms teori om kognitive skemaer vil blive benyttet til at analysere hvordan eleverne opnår forståelse og på hvilken måde man som lærer kan bidrage til, at eleverne udvikler kognitive skemaer til forståelse af tekster og matematiske opgaver. Jeg har valgt at benytte Birgit Henriksens model over hvilke komponenter der indgår når eleven opnår leksikalsk kompetence. Denne model er valgt til at vurdere elevernes ordforrådskendskab. Empiriindsamling hvad og hvordan Opgaven tager udgangspunkt i 4. års praktikken på Strandgårdsskolen i Ishøj. I praktikken underviste jeg i samarbejde med en medstuderende skolens 8. klasser med 94 % repræsentation af tosprogede elever i matematik. Ydermere underviste jeg årgangen i dansk som andetsprog, som var en undervisning de tosprogede elever fik når der var obligatorisk lektiecafe for årgangen. Da Strandgårdsskolen er en heldagsskole er der i udskolingen indlagt lektiecafe til årgangens elever. Her er der lærere til stede til at give kvalificeret lektiehjælp, og der er derfor mulighed for at lave særlig tilrettelagt undervisning for eksempelvis tosprogede elever. Dansk som andetsprogsundervisningen foregik i små grupper elever, som jeg fik lov at udvælge ud fra de kriterier jeg havde tilrettelagt min undervisning ud fra. Som nævnt vil undervisningen i matematik og dansk som andetsprog på Strandgårdsskolen i Ishøj være opgavens empiriske grundlag. Jeg har gennem nøje planlagt undervisning med udgangspunkt i min teoretiske forståelse af elever med dansk som andetsprogs særlige læringsforudsætninger forsøgt at tilrettelægge en undervisning der initierer læring af førfaglige begreber og sprogets funktion i matematikken. Undervejs i praktikken har jeg forsøgt at forholde mig kritisk og reflekteret til min undervisningspraksis. I min undervisningstilrettelæggelse af den daglige undervisning har jeg gjort mig klart, hvilke mål jeg havde for eleverne og har efter hver undervisning forsøgt at vurdere om målene blev nået. Da det er min egen undervisning jeg vurderede, har det ikke været muligt at være fuldstændig objektiv i vurderingen af om målene blev nået. Nogle gange har undervisningens mål været at arbejde med elevernes forståelse af førfaglige begreber i matematik, andre gange har målet været at styrke elevernes sproglige dimension i matematikundervisningen. I forsøg på at forholde mig objektiv og reflekterende til min undervisningspraksis har jeg benyttet mig af et observationsskema til registrering af de observationer jeg gjorde mig undervejs i undervisningen, se bilag 1. Efter endt undervisning har jeg lavet korte stikord omkring undervisningen og det mål jeg havde for mine observationer og refleksioner.

8 8 Præsentation af teori Som indledningsvis nævnt skal undervisningen tilrettelægges således, at elevernes behov og forudsætninger bliver tilgodeset j.fr. 18 i folkeskoleloven. Man skal i planlægningen af undervisningen af tosprogede elever tage udgangspunkt i deres læringsforudsætninger. I Vygotskys teori om læring er teorien om zonen for nærmeste udvikling et værktøj som læreren kan benytte til at forstå, hvor eleven befinder sig udviklingsmæssigt. På den baggrund kan læreren støtte eleven til yderligere udfordringer. Zonen for nærmeste udvikling er afstanden mellem det aktuelle udviklingsniveau, bestemt ved elevens kompetencer til selvstændig problemløsning af f.eks. matematikopgaver, og det potentielle udviklingsniveau, bestemt ved problemløsningskompetence under voksen vejledning eller i samarbejde med mere erfarne jævnaldrende (Lindén, 1997, s. 40). På det aktuelle udviklingsniveau findes de færdigheder som eleven mestrer altså elevens aktuelle kompetencer til at forstå undervisningen. I brugen af Vygotskys zone for nærmeste udvikling kan man som lærer benytte det didaktiske redskab scaffolding det støttende stillads (Alrøe og Skovsmose, 1999, s. 1). Det er lærerens opgave at støtte elevens udvikling med et stillads, således at eleven udvikler sine kompetencer. Dette stillads støttes op om eleven i samtaler med læreren som sparrer med eleven i dennes læringsproces. Lærerens støtte tilpasses eleven, så eleven selv kan løse opgaven (Alrøe og Skovsmose, 1999, s. 1-2). For at kunne hjælpe eleverne i læreprocessen må læreren have indblik i elevens potentialer, dvs. at have kendskab til elevens viden om verden, sprogfærdigheder, holdninger og måde at opleve verden på, hvilket udgør elevernes læringsforudsætninger. Ifølge Vygotsky er sproget grundlag for al læring, dvs. uden sprog kan eleven ikke lære noget. Det betyder at læreren kan ved at lytte til elevernes sprog afdække deres kompetenceniveau (Lindén, 1997, s. 32). Al undervisning må derfor tage udgangspunkt i at der skal arbejdes med sproget, fordi elevens kognitive udvikling Iflg. Vygotsky er afhængig af elevens sprogbeherskelse. Læring gennem sproget er iflg. Vygotsky central for elevens kompetenceudvikling (Lindén, 1997, s. 23). Ifølge Vygotsky lærer mennesket i social interaktion med andre mennesker. Dette er også tilfældet når der er tale om læring af faglige kompetencer og fagligt sprog. Gennem denne sociale interaktion bliver eleven fortrolig med anvendelsen af det faglige sprog og kompetencer og kan anvende sproget og kompetencerne uafhængigt af interaktionen (Lindén, 1997, s. 49). I den sociale interaktion eleverne er i med læreren og andre elever udvider de deres kognitive processer (Lindén, 1997, s. 47). Ifølge Vygotsky er et begreb tomt første gang eleven møder det (Johansen, 2007, s. 11). Men med hjælp af gentagelser og adskillig møder

9 9 med ordet bliver det mere indholdsfyldt. Når eleven har forstået ordet fuldstændig, er ordet et funktionelt, anvendeligt og forståeligt begreb for eleven (Ibid., s. 11). Til at understøtte Vygotskys teori om zonen for nærmeste udvikling benyttes Kirsten Haastrups interaktive læsemodel, som kan hjælpe læreren til at vurdere hvor den tosprogede elev befinder sig læseforståelsesmæssigt (Hansen, 2003, s. 34). Haastrup har lavet et hierarki over de afkodningsmæssige, syntaktiske, semantiske og forståelsesmæssige aspekter eleven skal besidde for at have optimal læseforståelse (Brudholm, 2002, s. 48). Det syntaktiske og semantiske samspil har betydning for elevens tolkning af teksten. Her kan læreren ud fra sin vurdering af elevens aktuelle niveau støtte eleven til et højere niveau, altså udvidelse af udviklingszonen, og de kompetencer eleven besidder. Haastrup kalder niveauerne for nøgler til forståelse. Den bedste måde at læse en tekst på er, når nøglerne i de forskellige niveauer interagerer (Ibid., s. 47). Nederst i hierarkiet findes afkodningen. Afkodningen er det første som sker og den første kompetence der opnås, når elever skal forstå en tekst. En del af denne model for hierarkiet over læseforståelse består af, at elever skal have et leksikalsk fagligt register som indeholder fagord såvel som førfaglige ord. Disse ord skal eleven besidde for at have opnået god læseforståelse. Øverst i hierarkiet findes forståelsen, viden om verden og evnen til at kunne aktivere huskesystemets indre skemaer. Det er i samspillet mellem modellens nøgler at eleverne opnår læseforståelse. For at have god læseforståelse skal man besidde en god leksikalsk kompetence. I følge Birgit Henriksen har eleven opnået leksikalsk kompetence når eleven: - Kender mange ord. Kvantitet. - Ved meget om det enkelte ord. Kvalitet. - Kan bruge dem i kommunikation. Kontrol. (Henriksen, 2001, s. 78)

10 10 Denne tilgang understøtter Haastrups model. Når man som lærer har vurderet hvilke kompetencer den tosprogede elev besidder, kan den stilladserende samtale hjælpe eleven udviklingsmæssigt videre og hjælpe til at få nøglerne til forståelsen til at interagere. Lærerens undervisning skal hjælpe eleven med at arbejde videre med udviklingen af den leksikalske kompetence. For at opnå forståelse når man læser, skal forståelsen af ordene og det læste iflg. Merete Brudholm kunne sættes i skemaer (Brudholm, 2002, s. 46). Skemateorien handler om hvordan eleverne opbevarer sin viden, hvordan eleverne lærer og husker hvad de har lært (Ibid., s. 46). Al viden opbevares ifølge Brudholm i skemaer, som er et huskesystem af forståelse (Ibid., s. 46). Huskesystemet udbygges med nye skemaer og de gamle skemaer ændres når man tilegner sig ny erfaring. Eleven har skemaer for ting, personer, handlingstyper og sammensatte skemaer for situationer (Ibid., s. 46). Elevens viden om verden består af et utal af skemaer. Jo større overensstemmelse der er mellem teksten der læses, undervisningens indhold og elevens skemaer, jo lettere er teksten at forstå for eleven (Ibid., s. 47). Hvis elevens skemaer er ufuldstændigt udviklede i relation til det område teksten omhandler, kan det skabe problemer med forståelsen (Ibid., s. 47). Den forståelse af et stofområde eleven kommer med når læsningen påbegyndes, er elevens aktuelle udviklingsniveau. Et skema kan ses som en tilegnelse af erfaringer, der kan udbygges, forbedres og rekonstrueres, altså udvikles til en ny aktuel udviklingszone. Når læsning betragtes som en aktiv, skabende, konstruktiv proces er forståelsen ikke udelukkende knyttet til teksten, men i lige så høj grad til elevens kompetencer (Ibid., 2002., s. 46). Læsning af tekster består i følge Merete Brudholm af tre faser. Før, under og efter læsnings faser (Brudholm, 2002, s.72). I førlæsnings fasen arbejdes der med relevante ord som kan være forståelsesforstyrrende for eleverne i læsningen af teksten. En måde at gøre dette på kan være at lade eleverne skrive ordene på ordkort, hvor elevernes forståelse og associationer omkring ordet bliver skrevet ud fra. Arbejdet med ordforrådet kan også hjælpe til at give eleverne en forståelse af tekstens indhold, så læsningen bliver så forståelig som muligt. I arbejdet med ordforrådet er det vigtigt at ordenes betydning bliver drøftet dialogisk i klassen. Det er i samtalen med læreren og andre elever at eleverne bliver fortrolige med ordets forståelse. Termen learning by talking understreger dialogens betydning i læreprocessen (Eriksen, 2000, s. 48). Learning by talking er en videreudvikling af John Deweys læringsteori om learning by doing, hvis væsentligste pointe er, at elever lærer gennem aktivitet (Krogh-Jespersen, 2006, s. 38). Det er i samtalen mellem eleverne eller læreren og eleverne imellem, at læring opstår. Samtalerne knytter kendt til ukendt og udvider ydermere elevernes udviklingszone. Det er ligeledes i samtalerne, at elevernes leksikalske kompetence bliver styrket og afprøvningen af ordenes kvalitet. Undervisningen skal tilrettelægges så

11 11 eleverne bevidst og gentagne gange bliver konfronteret med og aktiveret i forhold til anvendelse af førfaglige og fagfaglige begreber (Johansen, 2007, s. 22). Teorien som vil blive anvendt i opgaven er dermed Vygotskys teori om zonen for nærmeste udvikling og sprog som redskab for kompetenceudvikling. Det er i afsøgningen af elevernes aktuelle udviklingsniveau at Haastrups interaktive læsemodel kan benyttes, samt Birgit Henriksens kriterier for opnåelse af leksikalsk kompetence. For at hjælpe eleven til det potentielle udviklingsniveau kan læreren benytte det didaktiske redskab samtalen som støttende stillads. Det er denne samtale og interaktion elever og lærer imellem der kan flytte eleven fra sit aktuelle til sit potentielle udviklingsniveau. Learning by talking er en metode hvorpå denne afstand mellem aktuelt og potentielt udviklingsniveau kan mindskes. Brudholms skemateori kan give mening for forståelsen af hvordan indholdstomme ord bliver indholdsfyldte. Ordene kan også blive indholdsfyldte ved at benytte ordkort som redskab til forståelse af ord i førlæsningsfasen. Præsentation af empiri I empiriafsnittet har jeg valgt ikke at præsentere de læseplaner og mål jeg havde opstillet for min undervisning i matematik, da opgavens fokus er dansk som andetsprog. Præsentationen af min empiri tager udgangspunkt i mine refleksioner over min undervisningstilrettelæggelse. Først kommer der et afsnit hvor jeg præsenterer mine refleksioner over tilrettelæggelsen af matematikundervisningen. Dernæst kommer der et afsnit hvor jeg præsenterer dansk som andetsprogsundervisningen. I matematikundervisningen underviste jeg ud fra, at eleverne skulle have større faglig leksikalsk kompetence, dvs. at jeg arbejdede med elevernes matematiske ordforråd. Undervisningen blev tilrettelagt så eleverne havde mulighed for at bruge sproget i undervisningen enten ved samtaler med hinanden eller til at give forklaringer på deres forståelse af førfaglige og faglige begreber. Jeg havde valgt at arbejde med begrebshæfte. Begrebshæftet er tænkt ud fra Merete Brudholms ideer til ordkort i førlæsningsfasen. Hver gang eleverne skulle møde et nyt ord, blev de bedt om at skrive det i et hæfte de havde fået til dette ene formål. Derefter skulle de med sidemakkeren tale om ordet og forsøge at nå frem til en fælles forståelse af ordets betydning. Når alle elever havde fået talt om ordet og kunne udtrykke en forståelse af det, så forsøgte jeg at sikre mig at alle havde en forståelse af ordet ved at lave en diskussion af ordet i klassen i fællesskab. Det gjorde jeg for at sikre mig at elevernes forståelse af ordet var matematikfagligt korrekt og blev skrevet i deres begrebshæfte, se bilag 2.

12 12 Det var min hensigt at dette begrebshæfte skulle benyttes som redskab til forståelsen af matematikopgaver, sådan at de til enhver tid kunne slå ordet op og se dets betydning. Ved at lade eleverne have et hæfte hvori de skrev de relevante ord og deres forståelse af ordet i, ville de med sproget udvikle deres matematiske viden og kompetence til at løse matematikopgaver. Ud over begrebshæftet havde jeg valgt at eleverne skulle arbejde med den ungarske matematiker George Polyas model. Han har lavet fire punkter man skal igennem når man løser en matematikopgave, som søger at hjælpe eleven til forstå opgaven og til at finde en metode til at løse opgaven med: 1. Understanding the problem 2. Devise a plan 3. Carry out the plan 4. Look back (Long, m.fl., 2009, s. 9-10) Jeg valgte at eleverne skulle arbejde helt konkret med Polyas model fordi den skulle hjælpe eleverne til at blive bedre til at forstå matematikopgaver. Modellens første punkt går ud på at eleverne skal forstå opgaven. De skal enten i samtale med andre eller individuelt forstå hvad opgaven handler om. Når opgaven er forstået skal eleven finde en metode hvormed opgaven kan løses. Når denne metode er afprøvet, skal eleverne se tilbage på den forståelse de havde af opgaven fra start og se om resultatet og opgavens spørgsmål stemmer overens. Hensigten er at eleverne via deres tale med hinanden i social interaktion, udvikler deres matematikkompetencer. I lektiecafetimerne kunne jeg lave dansk som andetsprogsundervisning med en gruppe elever jeg selv udvalgte. Jeg udvalgte en gruppe elever jeg mente kunne have brug for undervisning i dansk som andetsprog med fokus på sprogforståelsen i matematik med særlig fokus på samtalen om matematik med matematik 5. I undervisningen skulle eleverne bruge deres sprog til at arbejde med, forstå og formidle matematik. Jeg konstruerede et spil som havde til hensigt at øve den sproglige dimension i matematikken Spillets hensigt var, at eleverne skulle tale om matematik, sætte faglige begreber på hverdagsspørgsmål og eleverne skulle oversætte matematiktekster til hverdagssprog. Ved hjælp af spillets spørgsmål var eleverne tvunget til at bruge sproget og på den måde kunne deres forståelse af matematikken og matematikkens sprog øges. I praktikken er elevernes leksikalske kompetence forsøgt udviklet. Min undervisning var tilrettelagt så eleverne har skullet arbejde med faglige og førfaglige begreber i matematik ved at skrive ordene i et 5 Fælles mål matematik. De matematiske kompetencer skal give eleven kompetencer til at tale om matematik med matematik

13 13 begrebshæfte. På den måde skulle eleverne kunne øge deres kompetence, ved samtalerne om ordsom relaterer sig til matematik. Det var min hensigt at samtalerne i undervisningen skulle bidrage til at eleverne fik et øget ordforråd. Det matematiske spil jeg havde udviklet til undervisningen havde også til hensigt at øve elevernes sprog og sprogforståelse af matematikken og Polyas model er benyttet som redskab til at elevens forståelse for matematikproblemer skulle forbedres. Min undervisning var således tilrettelagt med et særligt fokus på den sproglige dimension fordi jeg vurderer ud fra min teori at det er centralt for al læring, herunder matematik. Undervisning, tilrettelæggelse og analyse Relationsmodellen er en didaktisk model lavet af Hilda Hiim og Else Hippe, som kan benyttes til planlægning, analyse og evaluering af undervisning og elevernes læring (Krogh-Jespersen, 2006, s. 84). Folkeskolens mål i form af Fælles mål er den overordnede ramme for undervisningen, da det er hele grundlaget for folkeskolens undervisning og må tilrettelægges så den opfylder alle elevers behov. Fælles mål er udarbejdet til alle folkeskolens fag og er en vejledning til læreren i undervisningstilrettelæggelsen. Fælles mål giver nogle retningslinjer for hvordan undervisningens indhold, mål og vurdering af elevernes læringsudbytte skal blive en del af den didaktiske tilrettelægge. De kriterier der ligger til grund for lærerens valg af indhold, hvordan eleverne skal vurderes og hvilket mål undervisningen skal have er alle dele af de didaktiske overvejelser i tilrettelæggelsen af undervisningen man som lærer må have. Som lærer skal man tage stilling til hvilken metode man ønsker eleverne skal tilegne sig undervisningens indhold på og leve op til undervisningens mål. Disse metoder er det som i relationsmodellen kaldes læreprocessen. Alle relationsmodellens kategorier spiller sammen og overvejelserne om de enkelte kan ikke skilles ad. Målene, rammefaktorerne og vurdering Enhver undervisning har overordnede mål stillet i Fælles mål fra Undervisningsministeriet, som danner ramme for de undervisningsplaner læreren udarbejder for den konkrete undervisning. Målene skal hænge sammen med fagindholdet og de forudsætninger eleverne møder til undervisningen med. Læreren skal vurdere elevernes læring for at kunne tilrettelægge en undervisning der kan videreudvikle elevernes kompetencer på en udbytterig måde, så de kan begå sig i samfundet uden for skolen. Faget dansk som andetsprog har i Fælles mål fokus på de tosprogede elevers kompetencetilegnelse af det danske sprog. Formålet for faget dansk som andetsprog lyder at:

14 14 eleverne tilegner sig færdigheder i at forstå og anvende talt og skrevet dansk. Undervisningen skal udvikle deres bevidsthed om sprog og sprogtilegnelse og om dansk kultur. Undervisningen skal knyttes tæt til skolens øvrige fag. (Formålet for faget dansk som andetsprog) Det betyder at enhver undervisning med tosprogede elever kræver at dansk som andetsprog er en medtænkt dimension i undervisningen. Dansk som andetsprog skal være en del af matematikundervisningen, hvis nogle af eleverne er tosprogede, og derfor må matematiklæreren have disse overvejelser med i sin tilrettelæggelse af undervisningen. Formålet for faget matematik lyder: Undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng (Formålet for faget matematik, stk.3). Målene for matematikken stiller krav til eleverne om, at de skal beherske sproglig kompetence for at kunne sætte ord på matematikkens begreber og for at kunne forstå og begå sig i samfundet hvor meget bygger på matematisk tankegang. Dette stemmer overens med Vygotskys tanker om at sproget er centralt og bliver brugt i tilegnelsen af kompetencer. I Fælles mål for matematik stilles der krav om at eleverne skal opnå otte kompetencer 6 inden for matematik (Fælles mål matematik, 2009, s.4). De fleste af kompetencerne kræver et vist sprogligt niveau. Eksempelvis skal eleverne kunne erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne i problemløsningskompetencen (Ibid., s. 4). Problemløsningskompetencen kræver, at eleven kan forstå matematikken og kan formulere og kommunikere denne forståelse videre til klassens andre elever og læreren. Kompetencerne skal træne eleverne til at kommunikere om matematik med matematik. For at opnå sproglige og matematiske kompetencer kan den sociale interaktion i arbejdet hjælpe til, at eleverne bliver fortrolige med sprogets betydning og fagets kompetencer. Det er nemlig ifølge Vygotsky i den sociale interaktion at eleverne kompetenceudvikler sig. Ovenstående mål formuleret i Fælles mål er lærerens overordnede mål for matematikundervisningen og skal medtænkes i lærerens undervisningstilrettelæggelse. Strandgårdsskolen har ligeledes mål og visioner for skolen og den undervisning eleverne skal modtage. Skolens mål lyder: - At være faglig og pædagogisk spydspids fagligheden i top uddannelse til alle elever. - At være kendt for at gøre en forskel synlige resultater og et godt image. 6 Kompetencerne er: tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen, modelleringskompetencen, ræsonnementskompetencen, repræsentationskompetencen, symbolbehandlingskompetencen, kommunikationskompetencen og hjælpemiddelkompetencen (Fælles mål matematik, 2009, s.4).

15 15 - At udvikle forudsætninger, lyst og engagement til at få og indgå i et rigt fritidsliv. (Strandgårdsskolen). Skolens mål lægger således op til at der skal være differentieret undervisning til alle elever uanset sproglige barrierer. Undervisningen skal tage udgangspunkt i elevernes forudsætninger for at kunne støtte eleverne til udvikling af deres faglige og personlige kompetencer. Hensigten med dette er, at undervisningens til den enkelte elev på Strandgårdsskolen lever op til Fælles mål og er rettet mod at eleverne får synligt gode resultater i de forskellige fags afgangsprøver. Skolens vision om at eleverne skal indgå i et rigt fritidsliv kræver at man i undervisningen giver eleverne sproglige kompetencer til at begå sig i livet i samfundet uden for skolen, og dette på en måde som er tilpasset skolens elever med stor procentdel tosprogede elever. Som lærer må de ministerielt satte mål og den pågældende skoles mål og vision have betydning for den didaktiske tilrettelæggelse af undervisningen. Undervisningen skal tilrettelægges, så eleverne får den bedst mulige uddannelse fra folkeskolen. En måde at leve op til ovenstående mål, kan være at man som lærer tilrettelægger en differentieret undervisning. Den differentierede undervisning kræver at man som lærer bl.a. i matematikundervisningen gør sig nogle særlige didaktiske overvejelser i forhold til metode i forbindelse med tosprogede elevers læring af fagligt sprog og deres forståelse af matematikopgaver. Der skal undervises med henblik på ordforrådets forøgelse af matematisk førfaglige ord, så elevernes kompetencer i matematik kan udvikles og deres fagsprog forbedres. For at skabe de bedste læringsforudsætninger for elever med dansk som andetsprog må man kende elevernes aktuelle udviklingsniveau som kan afsøges gennem dialog med eleverne. Ud fra dialogerne kan videre undervisning tilrettelægges med henblik på, at læreprocessen udvikler eleverne fra deres aktuelle til deres potentielle udviklingsniveau. En vigtig rammefaktor for undervisningen er den tid der er til rådighed til undervisning og i undervisningen til den enkelte elev. Tid er en vigtig faktor i al undervisningstilrettelæggelse og tosprogede elever som har færre sprogkompetencer kræver mere tid fra læreren. Ved at vælge metoder hvor eleverne arbejder indbyrdes, i social interaktion, kan man udnytte deres forskellige kompetencer så de kan hjælpe hinanden ind i et andet udviklingsniveau. På den måde bliver tiden udnyttet bedst muligt. Vurdering af undervisningen og elevernes udvikling er en vigtig opgave for læreren, da denne vurdering kan forbedre grundlaget for undervisningen og hjælpe eleverne fra deres aktuelle til deres potentielle udviklingsniveau. Elevernes udvikling bliver vurderet af læreren i de samtaler lærer og elever har. Det kan være på klassen når der afsøges forståelse for et ord, eller i individuel samtale, hvor læreren forsøger at

16 16 afdække om førfaglige eller faglige ord er blevet funktionelle ord i elevens ordforråd. Når eleverne anvender sproget til at udtrykke matematik, kan man som lærer vurdere om de matematiske kompetencer er opnået. Det er ligeledes igennem elevernes arbejde med matematiske opgaver at elevernes udvikling kan vurderes, da der her er mulighed for at følge elevens valg af metode til opgaveløsningen, som kan give et billede af hvor eleven befinder sig udviklingsmæssigt matematikfagligt. I den stilladserende samtale med eleven under opgaveløsning, kan læreren vurdere elevens behov for hjælp til videre kompetenceudvikling og dermed sørge for at eleven får den vejledning der er brug for. I undervisningen i praktikken, vurderede jeg hvorvidt eleverne havde kontrol over de faglige og førfaglige begreber som der var særlig opmærksomhed på i undervisningen. Denne vurdering lavede jeg gennem samtaler individuelt eller på klassen ved at afdække elevernes leksikalske kompetencer. Målene sat for de forskellige fag i folkeskolen i Fælles mål og målene sat af den skole man underviser på, sætter nogle overordnede rammer for undervisningens indhold. For at imødekomme disse mål kan en differentieret undervisning gøre, at eleverne udvikler deres kompetencer i forhold til målene. Både som udviklings- og vurderingsværktøj kan samtalen som det støttende stillads benyttes. Læreren kan i samtalen hjælpe eleven til videre udvikling og dermed vurdere hvor der er behov for støtte fra læreren. For at kunne overføre didaktiske overvejelser til en differentieret undervisning, skal elevernes læringsforudsætninger være en del af undervisningens indhold og tilrettelæggelse. Indholdet Indholdet i undervisningen er overordnet set de krav som er sat i Fælles mål til det pågældende fag. Undervisningens indhold skal udvælges med faglig progression i tankerne for at eleverne skal få mest muligt ud af undervisningen. Den faglige progression er både beskrevet i fagets trin- og slutmål, men læreren må også selv indtænke en faglig progression som passer til de elever som skal modtage undervisningen. Undervisningens indhold skaber rammen for hvilke didaktiske overvejelser man skal gøre sig i forhold til elevernes læringsforudsætninger og hvilken metode som bedst udvikler elevernes kompetencer indenfor indholdets rammer. Matematikundervisningens primære hensigt er, at de tosprogede elever skal lære matematik i forhold til kravene fra Fælles mål og udvikle deres matematiske kompetencer. Det sekundære mål med undervisningen er at øge elevernes matematiske ordforråd. Undervisningens indhold skal således tilpasses til de elever som undervisningen henvender sig til. Når man underviser tosprogede elever er det vigtigt som matematiklærer at være opmærksom på den sproglige barriere der kan forekomme. Læreren må forsøge at afdække den enkelte elevs niveau gennem

17 17 samtaler med eleverne individuelt eller på klassen og undervisningen skal tilrettelægges således, så den sproglige dimension styrkes, så alle elever bliver tilgodeset. For at give de tosprogede elever mulighed for at deltage aktivt i undervisningen, er det vigtigt at have en sproglig dimension medtænkt ved at lægge op til samtaler om undervisningens indhold eleverne imellem (Andersen B, 2008, s. 74). En måde at lave differentierede opgaver i matematik er at stille åbne opgaver der ikke lægger op til en bestemt matematisk metode til at løse opgaven på. Ved at der ikke er en bestemt metode til problemløsning, kan man som lærer vurdere elevernes aktuelle udviklingsniveau og gennem stilladserende samtaler hjælpe eleven videre til elevens potentielle udviklingsniveau. Det er lærerens stilladserende samtale med eleven, der hjælper eleven til at komme ind i sin potentielle udviklingszone og det er i lærerens tilrettelæggelse af undervisningens indholdsmæssige progression, at den sproglige dimension må tænkes ind i forhold til elevernes aktuelle sproglige niveau. Hensigten er, at de tosprogede elever får gavn af deres sproglige kompetencer i forhold til læring af matematik. Indholdet skal derfor tilpasses elevernes læringsforudsætninger. Elevernes læringsforudsætninger Jeg vil i dette afsnit ved hjælp af teorien analysere de observationer jeg har lavet i praktikken med henblik på at identificere hvilke læringsforudsætninger de tosprogede elever, både i matematik- og i dansk som andetsprogsundervisningen, havde i mødet med matematikken. Det er elevernes forudsætninger til at læse og forstå matematiktekster der er det centrale i undervisningen. Og som vist i indledningen må undervisningen have fokus på de tosprogede elevers forståelse af førfaglige ord og læseforståelse i matematik. I samtale med eleverne skal man som lærer tage udgangspunkt i deres forudsætninger for på den baggrund at hjælpe eleverne til udvikling af deres matematiske kompetencer. Jeg har valgt følgende ligning til at forstå fænomenet læsning: = Afkodning * Forståelse = Læsning (Brudholm, 2002, s. 18). For at kunne læse skal eleven kunne afkode ordene. Afkodning er ligningens første led og det som opnås først i læseforståelsen. Bogstavernes lyde sættes sammen og danner ord. Derefter skal eleven kunne forstå ordet og den sammenhæng ordet bliver sat i, ligningens andet led. Forståelse er viden om verden, sprog, tekster, at kunne danne inferenser og indre forestillingsbilleder, at have et genrekendskab og være metakognitiv (Elbro A, 2007, s. 30). Der er således ikke tale om læsning hvis et af ledende i ligningen er nul (Brudholm, 2002, s.18). Ligningen for læsning stemmer overens med Kirsten Haastrups model over nøgler til læseforståelse. Ordafkodning og forståelse af det læste interagerer på en sådan måde, at de ikke kan skilles ad, hvis eleven skal have en god

18 18 læseforståelse. Det er vigtigt at eleven har en god læseforståelse, hvis eleven skal kunne læse matematiske opgaver. Hvis ikke eleven forstår teksten eller ordene i teksten kan opgaven ikke løses. I sådanne situationer må læreren have elevens forudsætninger for øje og den stilladserende samtale kan initieres. Læreren og elevernes sproglige arbejde med forståelsen af ordforrådet kan hjælpe eleverne til at udvikle læseforståelse i matematik. Haastrups nøgler til forståelse skal interagere både mundtligt og skriftligt for at eleven udvikler læseforståelse. I Fælles mål 2009 i faghæftet for matematik er det i undervisningsvejledningen under punktet med dansk som andetsprog i matematikundervisningen tydeliggjort, at de førfaglige udtryk i matematik kan være vanskelige at forstå for elever med dansk som andetsprog (Fælles mål matematik, s ). Derfor skal man som lærer være opmærksom på at tilrettelægge undervisningen således, at de førfaglige begreber bliver gjort forståelige for de tosprogede elever (Ibid., s ). Dette kan gøres ved at tilrettelægge eksplicit undervisning i ordforråd. I arbejdet med elevernes ordforråd forsøgte jeg i matematikundervisningen at lave en fast rutine for eleverne som skulle optimere deres forståelse af førfaglige og faglige ord. Hver gang vi i undervisningen havde talt om et førfagligt eller fagligt ord, skulle ordets betydning skrives i elevernes begrebshæfte. Jeg havde valgt at benytte begrebshæfte som arbejdsredskab til ordforrådsforøgelse for, at eleverne skulle kunne slå op i begrebshæftet og finde ordet, hvis de i en opgavesituation var i tvivl om betydningen og forståelsen af et ord. Denne måde at arbejde med ord i førlæsningsfasen kommer med inspiration fra Brudholms ideer til ordkort. Jeg mener at ved at bede eleverne skrive ordene i deres hæfte, hjælper man eleverne til at aktivere deres forståelse af ordet, så ordets betydning bliver funktionelt for eleven og så det senere kan aktiveres i en opgavesituation. I praktikken oplevede jeg ofte, at eleverne ikke ønskede at skrive begrebernes betydning i deres hæfte. Eleverne syntes selv, at de havde kontrol over ordet og at det var overflødigt arbejde at skrive betydning og forståelsen af ordet ned i begrebshæftet. Deres holdning til arbejdet med begrebshæftet forhindrede den læringsmulighed der er i dette arbejde. Jeg oplevede at eleverne forsøgte at undgå det skriftlige element i arbejdet, hvilket kan skyldes, at de ikke følte at have tilstrækkelig kompetence til at skrive ordenes betydning i hæftet. Dette er et element man som lærer kan overveje konsekvenserne af i forhold til at eleverne udvikler kompetence til at skrive om matematik med matematik, og det er centralt da undersøgelser viser at tosprogede elever ikke har tilstrækkelige kompetencer i skriftlig matematik. Eleverne benyttede begrebet i mundtlig matematik, men hvis jeg i en samtale spurgte til begrebets matematiske funktionen, manglede eleverne forståelse af begrebet dvs. kontrol og kvalitet i deres leksikalske kompetence.

19 19 Begrebshæftet skulle hjælpe eleverne til et øget ordforråd og en bedre kvalitativ forståelse af ordene da ordforrådets størrelse spiller en stor rolle for elevernes sprogforståelse i læsning (Elbro B, 2007, s. 246). Det er vigtigt at have kendskab til ordenes betydning, ikke blot ordenes udseende eller lyd (Ibid., 247). Som lærer er det dermed vigtigt, at man gør sig nogle didaktiske overvejelser om tilrettelæggelse af undervisningen så eleverne møder adskillige muligheder for at tilegne sig ordets betydnings og høre ordet blive brugt i sammenhænge som giver mening for elevens forståelse af verden. Det er i samtalen elever og lærer imellem at eleverne udvikler deres forståelse af faglige og førfaglige ord. Med følgende eksempel ved jeg vise hvor svært matematik kan være at undervise i og lære hvis ikke eleven har den tilstrækkelige førfaglige forståelse af matematiske ord. En af eleverne havde ikke kendskab til betydningen af det matematiske udtryk volumen. Han forstod ikke sammenhæng mellem volumen og rumfang, da volumen for denne elev er den lyd der kommer ud af højtalerne (se bilag 3.1). At dette ord havde en anden betydning i en matematisk sammenhæng var for eleven svært at forstå. Eleven havde en anden førfaglig forståelse af ordet. Og selv efter eleven havde fået forklaret ordets matematiske betydning blev han ved med at tale om volumen som lyd. Måske var det for at vise sin forståelse af ordet selvom han brugte det i en anden kvalitativ betydning end hensigten. Jeg lod eleven tale om ordet med de andre elever fordi det iflg. Vygotsky er i sproglig interaktion med andre at læring foregår. På den måde lærte eleven forståelse af ordet volumen i matematisk sammenhæng. Som lærer må man forklare at ord kan have flere betydninger i forskellige kontekster, og dette skal gøres i stilladserende samtaler som tager udgangspunkt i elevens sprogfærdigheder og i elevens verdensforståelse. Eksemplet med volumen giver et godt billede af betydningen af førfaglige ord, og den forvirring ordene kan skabe for eleverne i mødet med dem i matematisk kontekst. Det er således lærerens opgave at udvikle en didaktisk gennemtænkt undervisning i sprogforståelse i matematik for på den måde at møde de tosprogede elevers behov for sådan undervisning. Et andet eksempel på elevernes leksikalske kompetence opstod da fire elever med dansk som andetsprog i praktikken spillede et spil, jeg havde konstrueret til undervisningen, som havde til formål at øve eleverne i, at tale om matematik med matematik. Den ene gruppe trak en kategori, som gik ud på at omformulere et matematikspørgsmål til hverdagssprog. Spørgsmålet lød: Find to tal som har differencen 7 og produktet 78. Den ene elev havde i sit leksikalske register kun en forståelse af ordet produkt. Produkt er en ting eller en vare (elev, 8. klasse). Det er tydeligt, at eleven ikke, trods den matematiske sammenhæng, har den korrekte matematiske forståelse af ordet produkt (se bilag 3.4). Havde ovenstående spørgsmål været en del af en afgangsprøve, havde elevens kendskab til ordet, resulteret i et uforståeligt

20 20 svar, men i denne undervisning kunne jeg som lærer hjælpe eleven til at forstå den korrekte betydning af ordet. Eleven manglede iflg. Birgit Henriksen kvalitet og kontrol over ordet. I samtalen med eleven kunne man fornemme, at hun genkendte ordet, men forståelsen af ordets korrekte betydning ikke var en del af hendes leksikalske kompetence selvom hun uden tvivl havde hørt ordet brugt i matematisk sammenhæng før. Eleverne brugte hinanden til ved samtale at finde frem til den korrekte betydning af ordet, men da eleverne var på samme udviklingsniveau formåede de ikke at støtte hinanden til at finde betydningen af ordet produkt. Jeg kunne som lærer være en stilladserende støtte i samtalen med eleverne til udvikling af deres leksikalske kompetencer. For at opnå bedst mulig kontrol af ord, skal ordet mødes i flere sammenhænge og gennem en længere periode. Ved gentagelser og forskellige associationer styrker man elevernes kvalitetsforståelse af ordene, da al ny læring bygger på tidligere erfaringer. Men det er ved brug af sprog at tænkningen sker og kan formidles (Lunde, 2001, s. 5). Ovenstående viser at undervisning hvor samtaler om matematiske faglige og førfaglige ords betydning er central for elevernes udvikling af sprog i matematik og hjælper dem til at forstå ikke kun matematik i samtaler med også i matematiktekster. Lærerens overordnede mål med undervisningen er at eleverne udvikler kompetencer til at gennemføre folkeskolens afgangsprøve med et tilfredsstillende resultat. I matematik er afgangsprøven skriftlig og tager udgangspunkt i problemløsningsopgaver med matematiktekst, og derfor skal eleverne have læseforståelseskompetence i matematik for at gennemføre afgangsprøven. Matematikopgavernes vanskelige sprog er ikke let for tosprogede elever. Det kom til udtryk i den dansk som andetsprogs undervisning jeg havde med tre elever om svære ord og forvirrende sætninger i afgangsprøven i matematik. Eleverne fik hver udleveret et prøvesæt fra afgangsprøven i matematik maj De skiftedes til at læse et stykke af opgaveteksten op, hvorefter vi talte om hvad teksten betød, hvad man skulle og hvilke ord der gjorde teksten svært at forstå. Denne undervisning bekræftede mig som lærer i hvor svært eleverne har ved at forstå matematikken og løse afgangsprøvens opgaver pga. manglen på forståelse af førfaglige ord, ligesom Kringelbach og Gimbels undersøgelser viste. Et eksempel på et førfagligt ord som skabte problemer for eleverne er indtegn. De kunne ikke begribe hvad de skulle. Det at ordet er sammensat, besværliggjorde for eleverne forståelsen. Opdelte vi ordet, tegn ind, gav det mening for dem. Elevernes strategi i forhold til læsning af matematikteksterne var at springe de ord over, som de mente ikke havde betydning for forståelsen af opgavens problem. Dette tyder på læsemæssig overskud hos de tosprogede elever (Bråten, 2007, s. 5) 7. Jørgen Gimbel antager at vanskelighederne i matematikken kan skyldes at andetsprogstilegnelsen ikke er tilstrækkelig (Møller m.fl., 1998, s. 97). De tosprogede elever i dansk som andetsprogsundervisningen kan også kategoriseres som elever hvor andetsprogstilegnelsen 7 Det falder uden for denne opgaves rammer at gå mere i dybden med læseforståelsesstrategier.

21 21 endnu ikke er tilstrækkelig. Undervisningen må således tilrettelægges så elevernes sprogfærdigheder i matematik bliver styrket med henblik på forståelse af den matematiske kontekst og opbygning af elevernes leksikalske kompetence. Delkonklusion på analyse af elevernes læringsforudsætninger Jeg har i dette afsnit vist at læreren skal tage udgangspunkt i elevernes sproglige forudsætninger og arbejde med elevernes forståelse af førfaglige ord fordi eleverne med dansk som andetsprog ikke har de nødvendige og tilstrækkelige forudsætninger for at forstå undervisningen i matematik. Det betyder at undervisning i dansk som andetsprog har en central betydning i alle skolens fag, herunder også matematik. Læreprocessen Denne kategori bliver benyttet til at bestemme hvilke undervisningsmetoder der vil være hensigtsmæssige at benytte for, at eleverne udvikler deres kompetencer på bedst mulig måde i forhold til det matematiske indhold i undervisningen. Læreprocessen er de didaktiske overvejelser læreren skal gøre sig omkring hvilke kompetencer eleverne møder til undervisningen med og hvordan de kompetencer bedst kan udvikles. I undervisningstilrettelæggelsen i matematik udvalgte jeg nogle faglige og førfaglige ord som jeg mente ville kræve en forklaring til forståelse af matematikken. De udvalgte ord blev i undervisningen gentaget adskillige gange, og forsøgt brugt i forskellige sammenhænge undervejs. Udviklingen af faglige og førfaglige begreber sker i en vekselvirkning, så mødet med faglige matematiske ord i tekster og lærerens forklaringer af disse. Denne metode kan være med til at udvikle og bevidstgøre betydningen af de førfaglige ord hos de tosprogede elever, altså initiere læring (Johansen, 2007, s. 12). Hvis det eller de ord som blev valgt fremhævet var nye for eleverne var jeg opmærksom på, at flere måder at repræsentere betydningen af ordet blev anvendt. Tegninger, billeder og lign. kan benyttes til at styrke forståelsen, da det er gennem tilknytningen af forskellige repræsentationer af de matematiske begreber, at det bliver muligt at håndtere problemer i matematik. I mødet med de forskellige repræsentationer af begreberne lærer eleverne dem og opnår kompetence i begrebernes anvendelse (Andersen A, 2008, s. 15). I faghæftet for dansk som andetsprog beskrives det hvordan elever kan tilegne sig ord. Eleverne skal møde ordet i mange sammenhænge gennem temaarbejde, ekstensiv læsning, kreative og kommunikative problemløsningsopgaver og ordforrådsøvelser (Fælles mål dansk som andetsprog, 2009, s. 51). Gentagelser spiller en rolle for ordenes lagring i elevernes kognitive skemaer. Gentagelser af ord og indhold giver større sandsynlighed for, at indholdet bliver forstået, så de bliver en del af elevernes aktuelle udviklingsniveau. Jo flere sammenhænge et fagligt eller førfagligt ord præsenteres i, jo bedre forstås det og fæstner sig i hukommelsen, og jo flere associationer, der knytter sig til ordene, des lettere aktiveres de i den rette

22 22 sammenhæng (Hansen, s. 38). Jeg havde valgt at arbejde med dette via begrebshæftet, hvor eleverne mundtligt og skriftligt arbejdede med deres forståelse af de udvalgte faglige og førfaglige ord. Det er min vurdering at elevernes arbejde med netop dette begrebshæftet, har hjulpet dem til et udvidet betydningsfelt omkring matematisk førfaglige begreber. Eleverne har arbejdet med at få kontrol over ordene på en eksplicit måde i undervisningen hvilket betyder at de har modtaget sprogundervisning i matematikundervisningen. Arbejdet med begrebshæftet har hjulpet eleverne til at få forståelsestomme udtryk til at få betydning i deres leksikalske register, og i samtalerne om ordene har de fået øget kontrol over brug af ordene. Den sociale interaktion har hjulpet dem til at udvikle deres leksikalske kompetence. Sprogundervisning i matematikken hjælper således de tosprogede elever til at kunne danne en større forståelsesramme omkring det læste i opgaveteksterne og øger kvaliteten og kontrollen af de faglige og førfaglige ord både skriftligt og mundtligt. Begrebshæftet er valgt for at udvide elevernes leksikalske kompetencer og faglige ordforråd. Samtalerne forud for nedskrivningen af ordene skaber kundskaber og giver eleverne mulighed for at hypoteseafprøve 8 de førfaglige og faglige begreber. Det er både samtalerne med deres jævnaldrende kammerater og den efterfølgende fælles samtale lærer og elever imellem, at elevernes kompetenceudvikling og forståelse af ordene kan opnås. Herudover valgte jeg at eleverne skulle arbejde helt konkret med Polyas model i matematikundervisningen fordi den skulle hjælpe eleverne til at blive bedre til at forstå opgaverne. Modellens første punkt tilstræber at eleverne skal forstå opgaven og dens faglige og førfaglige begreber. De skal i samtale med andre eller individuelt forstå opgavens problem. Når opgaven er forstået, skal eleven finde en metode hvormed problemet kan løses og afprøve denne. Når metode er afprøvet, skal eleverne se tilbage på deres forståelse af opgaven og se om resultatet og opgavens problem stemmer overens. Polyas model til opgaveløsning giver en støttende effekt for eleven ved, at opgavens indhold skal forstås inden eleven kan arbejde videre. Det er vigtigt, at der undervises eksplicit i Polyas model for, at eleverne adopterer de anvendelsesmuligheder der er i modellen, så læseforståelsen i matematikopgaverne bliver fremmet. Hvis eleven ikke har tilstrækkelige kompetencer til at finde en løsningsmetode, skal lærerens stilladserende samtale hjælpe eleven videre. Modellen er en metode til at afdække elevens aktuelle udviklingsniveau, sådan at den støtte eleven modtager, bliver rettet mod et potentielt udviklingsniveau i den videre løsning af matematikopgaver. Endelig vil jeg nævne idéen om learning by talking. Denne idé bliver brugt i det matematiske spil som jeg havde konstrueret til undervisningen i dansk som andetsprog. Eleverne skulle samtale om matematik med 8 Hypoteseafprøvning er de forestillinger indlæreren på baggrund af sine erfaringer og det sproglige input, han eller hun hører eller læser, danner sig om hvordan sproget er skruet sammen (Holm og Laursen, 2010, s. 33).

23 23 matematik og det er i de samtaler, konstrueret af spørgsmålene i spillet, at det er hensigten at der sker læring, se bilag 4. Eleverne fandt det udfordrende at oversætte fra matematiksprog til hverdagssprog og omvendt. I dansk som andetsprogsundervisningen hvor eleverne spillede dette spil, havde vi efterfølgende en samtale om hvorfor spillet udfordrede og krævede matematisk tankegang. Dertil svarede de tosprogede elever, at det var svært at oversætte fra dansk til dansk, se bilag 3.5. Det er den udfordring der ligger i at benytte sproget med matematik at der kan være behov for at de tosprogede elever at afprøver ord og begreber som de ikke kender den matematikfaglige betydning af. Eleven som i spillet ikke anvendte den matematiske betydning af ordet produkt, er et eksempel på dette, se bilag 3.4. Det er kommunikationen eleverne indbyrdes og elever og lærer imellem at elevernes afprøvninger af ordenes betydning kan foregå og som dermed bidrager til nye forståelser og læring. Sprogfærdigheden hos eleven er den vigtigste forudsætning for at lære matematik og for eleven at forstå og bruge matematik som et redskab både i dagliglivet og i skolen (Lunde, 2001, s. 5). Hvis eleven ikke har tilstrækkelige leksikalske kompetencer til at tænke og tale om verden kan det være vanskeligt at læse aktivt 9 og dermed have tilstrækkelig læseforståelse til at forstå matematiktekster (Reichenberg, 2011, s. 53). De tosprogede elever der tilhører den gruppe af elever med begrænset leksikalsk kompetence og omverdensforståelse, kan dermed have vanskeligheder ved læseforståelse af matematikopgaver. Eleverne får en dobbelt læringsbyrde når de skal læse matematiske fagtekster, da de både skal forholde sig til indhold i teksten, men også til tekstens skrevne sprog (Ibid., s. 53). Delkonklusion på analyse af elevernes læreproces Jeg har i dette afsnit vist, at elevernes læreprocesser med sproget i undervisningen støtter dem i udviklingen af deres leksikalske kompetence. Jeg har vist at man kan initiere læreprocesser ved at lave ordforrådsøvelser, mundtligt og skriftligt, i form af f.eks. begrebshæfter, Polyas model og learning by talking med eleverne. Konklusion Jeg har i denne opgave analyseret hvorfor det er vigtigt, at undervise i førfaglige ord i matematikundervisningen for elever med dansk som andetsprog. Jeg har vist, at det er vigtigt at tage udgangspunkt i elevernes læringsforudsætninger for, at man som lærer kan tilrettelægge en undervisning hvor læreprocesserne opfylder de tosprogede elevers behov for sprogundervisning i matematik. De tosprogede elever har ikke tilstrækkelige sproglige kompetencer til fuldt ud at forstå matematikken i 9 En aktiv læser er en læser som bruger sin baggrundsviden, forholder sig metakognitivt til teksten, er aktive i læringsprocessen og mestre fleksible læsestrategier

24 24 undervisningen. Ved at betragte matematik som et sprogfag fra starten af skoleforløbet, vil man kunne udstyre de tosprogede elever med de forudsætninger der skal til for at leve op til folkeskolens mål for faget matematik efter 9. klasse, samt gennemføre den skriftlige afgangsprøve i matematik. Jeg har vist at dette gøres ved, at læreren underviser med bevidst opmærksomhed på førfaglige ord og at eleverne via forskellige undervisningsmetoder arbejder med ordenes betydning i social interaktion, eleverne indbyrdes og med læreren. Lærerens samtale med eleverne om førfaglige ord skal tage udgangspunkt i elevernes forudsætninger til ordet. Gennem stilladserende samtaler kan læreren støtte eleven i sprogtilegnelse så der kan ske en udvikling fra den aktuelle til den potentielle udviklingszone. Jeg har vist at læreren skal tage udgangspunkt i elevernes sproglige forudsætninger og arbejde med elevernes forståelse af førfaglige ord i undervisningen. Jeg har i min praktik med inspiration fra Merete Brudholm ladet eleverne arbejde med begrebshæfter. Med denne metode arbejdede eleverne med både deres skriftlige og mundtlige sprogkompetence i forhold til matematik og dette forbedrede deres matematiske kompetencer. Jeg har vist at man kan initiere læreprocesser ved at lave ordforrådsøvelser, mundtligt og skriftligt, i form af f.eks. begrebshæfter, Polyas model og learning by talking med eleverne. Jeg har i mit teorivalg valgt at benytte mig af Vygotsky, da hans måde at tænke læring i en social interaktion er en læringsteori jeg støtter mig op af. Jeg kunne have valgt at benytte mig af Piaget og hans teori om læring. Han siger at læring starter hos eleven og først derefter kan denne læring benyttes i en social sammenhæng. Piaget mener, at elevers udvikling går igennem nogle grundlæggende udviklingstrin som er bestemmende for sprogudviklingen. Han tildeler sproget en underordnet rolle. Et argument for at vælge Vygotskys læringsteori er at han beskriver sproget som det centrale element i kompetenceudvikling og han siger at uden noget sprog sker der ingen læring. Når man arbejder med elever som har dansk som andetsprog har de i udgangspunktet måske begrænsede sproglige kompetencer og dermed har de begrænsede muligheder for at lære. Derfor skal der satses på sprogundervisning hvorved eleverne får optimale læringsmuligheder og får muligheder for at flytte sig ind i deres potentielle udviklingszone. Jeg har i denne opgave vist at de didaktiske metoder, begrebshæfte, Polyas model, stilladserende samtaler og learning by talking, kan anbefales til elever med dansk som andetsprog fordi netop disse metoder kan anvendes i social interaktion med anvendelse af faglige og førfaglige ord i matematikundervisningen. Perspektivering Opgavens empiriske grundlag kunne være blevet optimeret ved at jeg havde lavet en egentlig empirisk undersøgelse af tosprogede elevers læseforståelse i matematik. Dette kunne gøres ved at lave undervisninger i to forskellige klasser, hvor den ene klasses elever får eksplicit undervisning i ordforråd og

25 25 førfaglige ord og den anden klasse ikke får denne eksplicitte undervisning. Dermed kunne jeg undersøge og vurdere elevernes afgangsprøver og sammenligne deres resultater af matematikken med fokus på elevernes sprogforståelse. Derudfra ville jeg kunne se virkningen af eksplicit undervisning i førfaglige ord i matematikken og om denne ville have en betydning for de tosprogede elevers karakter ved folkeskolens afgangsprøve i matematik. Alle elever skal have særligt tilrettelagt undervisning for at undervisningen kan leve op til de læringsbehov den enkelte elev har. Disse læringsbehov er ikke kun vigtige at have for øje for elever med dansk som andetsprog, men alle folkeskolens elever. Ydermere er det ikke udelukkende i matematikundervisningen, at der skal være fokus på elevernes særlige behov for særligt tilrettelagt undervisning. Alle skolens fag skal have differentieret undervisning som medtænker behovet hos de tosprogede elever for at modtage eksplicit sprogundervisning i det pågældende fags faglige leksikalske register. En måde at lave en undervisning som tilgodeser alle elevers behov kunne være ved at have et tæt samarbejde med elevernes øvrige lærere. Et tværfagligt samarbejde vil støtte lærerne i deres undervisning og give eleverne mulighed for at udvikle deres kompetencer i forhold til alle folkeskolens fag. Undervisningen skal således i alle fag have en sproglig dimension for at imødekomme de tosprogede elever. Alle folkeskolens lærere skal være opmærksom på denne sproglige dimension og det ville derfor gavne alle lærere hvis de havde mulighed for at få uddannelse i varetagelse af sprogundervisning i deres fag. Litteraturliste: Alrøe, Helle og Skovsmose, Ole: Samtalen som et støttende stillads. Center for forskning i matematiklæring, s Andersen A, Michael Whal (2008): Matematiske billeder, sprog og læring. Dafolo Forlag, Andersen B, Michael Wahl (2008): sprog er afgørende for matematikforståelse i MONA side Birkler, Jacob: Videnskabsteori en grundbog Munksgaard Danmark, København Bjørndal, Cato R. P.: Det vurderende øje. Forlaget klim, Brudholm, Merete: Læseforståelse hvorfor og hvordan?; Alinea A/S, København, Bråten, Ivar, Vygotsky i pædagogikken. Frydenlund, 2006.

26 26 Bråten, Ivar, 2007: leseforståelse om betydningen av forkunnskaper, forståelsesstrategier og lesemotivasjon i Nationalt videncenter for læsning: viden om læsning nr. 2. s Denstoredanske.dk Den store danske Gyldendals åbne encyklopædi. Education at a glance 2011: OECD indicators. Indicator A5: does student background affect student performance? Og Indicator A6: are students who enjoy reading better readers? Egelund, Niels og Tranæs, Torben (2007): Resumé, PISA etnisk Rådet for evaluering og kvalitetsudvikling af folkeskolen. S Internet: sprogede%20%20%20faktaark%20om%20undersoegelser/undersoegelser%20om%20tosprogede/resume% 20af%20pisa%20etnisk%2005.ashx (30. nov. 2011) Ejersbo, Lisser Rye og Olesen, Niels: Tal og bogstaver slås i regnetimen i Kroniken i Politiken, 29. nov Elbro A, Carsten: Læsning og læseundervisning. Gyldendals boghandel, Nordisk forlag A/S, København, Elbro B, Carsten: Læsevanskeligheder. Gyldendals boghandel, Nordisk forlag A/S, København, Eriksen, Dan B: Den sproglige dimension i Undervisning i matematik. Kroghs forlag A/S s Folkeskoleloven. Internet: (14. dec. 2011) Fælles mål dansk som andetsprog (2009): faghæfte 19. Undervisningsministeriet. Fælles mål matematik (2009): faghæfte 12. Undervisningsministeriet. Gimbel, Jørgen (1995): Bakker og udale. Sprogforum. Tidsskrift for sprog- og kulturpædagogik 3. København: Danmarks pædagogiske bibliotek. S Gimbel, Jørgen (1998): Tyrkiske børns fagrelevante danske ordforråd i femte klasse, i Tosproget udvikling Studier i Køge-projekt; Københavnerstudier i tosprogethed side Hansen, Kirsten: Tosprogede elever med læsevanskeligheder. Landsforeningen af læsepædagoger Henriksen, Birgit: Ordforråd og ordforrådsindlæring i Studier i dansk som andetsprog. Holmen, Anne og Lund, Karen. Akademisk Forlag A/S, 1. udgave, 2. opslag Side Holm, Lars og Laursen, Helle Pia: Dansk som andetsprog. Dansklærerforeningens forlag 2010.

27 27 Hvistendahl, Rita: unge læsere fra sproglige minoriteter i: Læseforståelse. Bråten, Ivar (red), forlaget Klim s Jess, Kristine; Skott, Jeppe; Hansen, Hans Christian: Matematik for lærerstuderende, My, Elever med særlige behov; 2009; samfundslitteratur. S Johansen, Lene Østergård (2007): sproglig bevidsthed som inkluderende faktor i matematikundervisningen i MONA , side Kringelbach, Diana: Den sproglige faktor om tosprogedes vilkår ved FSA i matematik i Ufe-nyt nr. 4, Krogh-Jespersen, Kirsten: Om undervisning en bog til almen didaktik. Forlaget Klim, Lindén, Nora: Vygotskys teori stilladser om børns læring Side Long, Calvin T.; DeTemple, Duane W and MIllman, Richard S.: Mathematical Reasoning for elementary teachers. Pearson Lunde, Olav (2001): Lære matte på to språk. S Internet: (1. dec. 2011) Pisa etnisk: Pisa etnisk Anvendt kommunal forskning. Reichenberg, Monica: veje til læseforståelse teksten, læseren og samtalen. 2008, dansk udgave: Klim Læsevejlederen. Strandgårdsskolen. www. Strandgaardsskolen.skoleintra.dk Stödmaterial: Mer än matematik om språkliga dimensioner i matematikuppgifter, 2008, Stockholm, Mndigheten för skolutveckling. Undervisningsministeriet. Quist, Pia: ind i gruppen ind i sproget, Danmarks Lærerhøjskoles reproafdeling, Bilagsliste Bilag 1 Observationsskema til observationer i praktikken.

28 28 Bilag 2 Eksempel på formen af begrebshæftet og elevernes forståelser. Bilag 3 De relevante observationer fra praktikken. Bilag 4 Matematikspillets spørgsmål.

29 29 Bilag 1 Tabel 2.1 observationsskema, eksempel A (Bjørndal, 2007, s. 60) Dato: Tidspunkt: Situation: Person: Beskrivelse: Hvad bliver der sagt? Hvad sker der?

30 30 Bilag 2 Bilag 2.1

31 31 Bilag 2.2

32 32 Bilag 3 Tabel 2.1 observationsskema, eksempel A (Bjørndal, 2007, s. 60) Bilag 3.1 Dato: 2. nov Person: Elev 1 Elev 2 Elev 1 Tidspunkt: Matematik Beskrivelse: Hvad bliver der sagt? Hvad sker der? Det der volumen er den der lyd i højtalerne Situation: eleverne har fået til opgave at beskrive hvad begrebet rumfang/volumen betyder Det tror jeg ikke at det er her. Når der er den der streg. Det er det samme som rumfang Det er den der knap man drejer på Der står volumen De to elever sidder og taler sammen, mens de kigger på tavlen hvor ordet står. De bruger meget tid på denne samtale, og elev 1 er så overbevisende at elev 2 bliver overbevist om at det ikke er noget med rumfang. Bilag 3.2 Dato: 14. nov Person: Lærer(mig) Elev 1 Elev 2 Lærer(mig) Elev 1 Tidspunkt: Matematikundervisningen Beskrivelse: Hvad bliver der sagt? Hvad sker der Hvad betyder det at isolere? at være i fængsel man er alene Hvad kunne det så betyde i matematik sammenhæng? at gøre noget for sig selv Situation: Der er en fælles samtale i klassen om hvad isolation betyder (i matematik sammenhæng) Denne definition bliver godtaget, taget situationen i betragtning. Bilag 3.3 Dato: 15. nov Person Lærer(mig) Elev 1 Lærer(mig) Elev 1 Lærer(mig) Tidspunkt: Matematikundervisningen. Midt i arbejdet med ligninger Situation: Ordet isolation fremkommer i en situation og læreren (mig) ser at der er en grund til at tale om ordets betydning igen. Eleverne stoppes i deres arbejde, så vi kan lave en fælles gennemgang. Beskrivelse: Hvad bliver der sagt? Hvad sker der? Kan I huske vi snakkede om ordet isolation i går? Hvad var det nu det var? Har det ikke noget med varme på huse at gøre? Jo, det er rigtigt at man isolerer huse, men er det også den sammenhæng vi får ud af ordet i matematikopgaver? Nej det ved jeg ikke Kan I huske, når man skal løse en ligning? Man skal isolere x.. Hvad betyder det at man

33 33 Elev 2 Lærer(mig) Elev 3 Lærer(mig) isolerer x? Er det 48? x kunne blive 48, det er rigtigt, men hvad vil det sige at isolere x? Når man sætter x alene Ligesom i isolationsfængsel. Der er man også alene Lige præcis. Når x står alene på den ene side af lighedstegnet. Det er det man skal når man løser en ligning. Man sætter x i isolationsfængsel. På tavlen vises der hvordan det ser ud når x er alene på den ene side af lighedstegnet. Der forekommer en accept af ordet og den betydning det har i den matematiske sammenhæng vi har med at gøre. Bilag 3.4 Dato: 24. nov Tidspunkt: Eleverne har temaundervisning, og vi har 4 elever i en DSA undervisning med fokus på matematik. Situation: Vi har spillet et spil hvor eleverne skulle snakke matematik. Ord skulle forklares, der skulle omformuleres fra akademisk sprog til hverdagssprog og omvendt. Der skulle tænkes kreativt i form af at lave historier til matematiske udtryk. En elev skal lave denne sætning om fra matematiksprog til hverdagssprog: Find to tal, som har differencen 7 og produktet 78 De to elever skal tale sammen inden kommer med et forslag. Person: Elev 1: Elev 2 Elev 1 Elev 3 Lærer(mig) Elev 2 Lærer(mig) Elev 2 Lærer(mig) Elev 2 Lærer(mig) Elev 3 Bilag 3.5 Dato: 24. nov Person: Lærer(mig) Elev 3 Elev 4 Beskrivelse: Hvad bliver der sagt? Hvad sker der? kunne det være 71? Produkt vi kender godt det ord Produkt, det er en ting eller en vare. Det er det de har nede i supermarkedet. Så de har 78 varer må jeg gerne hjælpe? En elev fra den anden gruppe kan tydeligvis huske hvad begrebet betyder og vil gerne sige det. Nej, det er deres spørgsmål, de skal lige have lov til at tænke sig om Det er ikke en vare differencen er det ikke når man dividerer? Kan I kuske at vi havde den der opgave hvor man skulle finde to tal fra en linje som når man fandt produktet gav et eller andet nååhh er det ikke resultatet? jo.. resultatet når man gør hvad? når man plusser? Henvendt til elev 3 Kan du hjælpe dem? Det er resultatet når man ganger to tal. Tidspunkt: DSA undervisning med 4 elever Situation: Vi er færdige med at spille og taler om hvad der gjorde det her spil svært, let, sjovt. Beskrivelse: Hvad bliver der sagt? Hvad sker der? Er det her svært? At skulle tale matematik? I var ellers rigtig gode til det. ja, det er svært at oversætte. Selv dansk til dansk er svært ja, matematiksprog til almindeligt sprog Bilag 3.6 Dato: Tidspunkt: Situation: En elev går over for at hjælpe en anden elev med at

34 34 7. okt Person: Elev 1 Bilag 3.7 Dato: Person: Matematik undervisning udregne arealet af et parallelogram. Eleven ved ikke at samtalen bliver overhørt. Samtalen foregår ved den ene elevs plads. Beskrivelse: Hvad bliver der sagt? Hvad sker der? Skal jeg ikke lige hjælpe dig? Jeg har lavet det før, jeg ved godt hvad det er man gør. Du skal lave målinger af figurens sider og højden ned.. Eleven måler figurens sider og skriver det ved siden af. Eleverne taler sammen om andre ting. så er der den der formel. Den står på papiret. A=h*g så skal du gange højden med grundlinjen.. Det er den der, den er 7.. Du skal også skrive cm 2 ved resultatet. Tidspunkt: Matematik Situation: En elev forklarer om hvordan man reducerer og om undervisningen hvordan fortegnene ændrer sig ved en minusparentes. Beskrivelse: Hvad bliver der sagt? Hvad sker der? Eleven forklarer hvordan man skal fjerne parenteserne når der stå minus foran. Eleven går endda op til tavlen og viser ved det eksempel der lige er blevet gennemgået. Eleven taler primært dansk, men nogle af ordene siges på tyrkisk, for at give hans klassekammerat en bedre forståelse af metoden til reduktion.

35 35 Bilag 4 1. Sætninger fra matematiksprog til hverdagssprog: Matematiksprog (11 stk): Hvor mange cifre vil der være i alt, hvis man skriver alle tal ned fra ? Indsæt tallene således at alle vandrette rækker, alle lodrette rækker og de to diagonaler giver den samme sum. De to diagonaler giver både den samme sum og det samme produkt. Find to tal, som har differencen 7 og produktet 78 Reducer det følgende udtryk Forholdet mellem Jordens radius og Månens radius er 32:9 Forholdet mellem de to trekanters sider er 1:3. En cirkel er skåret midt over med er ret linje gennem centrum, således at vi har en halvcirkel.

36 36 En papkasse konstrueres således, at den består af en kvadratisk bund og fire sider opad. Beregn cylinderens rumfang. Højde: 13 cm, radius: 0.02 m Hvor mange liter rummer cylinderen? Tegn en skitse i rigtigt målestok Hverdagssprog (7 stk): I skal finde ud af hvor stor mælkekartonen er. Vi skal have lagt nogle firkantede fliser der dækker det hele. Jeg skal hen og købe ind, og jeg har kun 50 kr. tilbage i lommen. Hvor mange ting kan jeg købe for dem? En trapez er ligesom bare en ting som har fire kanter. To ligger samme vej. Mælken fylder 1000cm 3, og siderne er forskellige. Når du cykler i skole, hvor langt er der så? Cykler du ligeud hele vejen? Pizzaen er ikke rund, men firkantet, og den er virkelig stor, måske en halv meter på hver led.

37 37 2. Lav sætninger til regnestykker (12 opg.): Eks: (3b+6a)-6b Der er 3 elever fra b-klassen og 6 elever fra a-klassen i det ene lokale. I det andet lokale mangler der 6 elever fra b-klassen, for de er gået ud. (3b+6a)-6b 5m*5m*9m x-7y+17x 40cm*40cm*70cm *π (2a + 5) + (a - 4) (a+b)+(3a+7b) 1: appelsiner 3 bananer 7 vandmeloner 1:2 75% (8+10)*2 20*1/4 7*5 Forklar et matematik-ord (24 stk): At ophæve Led Cylinder At afrunde Cirkelperiferi Regulær Sum Produkt Udtryk Grundflade-areal Skitse At indtegne Isolere Kubikmeter Rumlig figur Volumen Diameter Difference At reducere Minus-parentes Diagonal Regneregel Centrum At gange

38 38 3. Ord fjernet fra opgave/sætning.. Gæt et ord. (20 opg.) Forkort disse mest muligt Løs 2x+4 = y -1 = 7y En vinkel på 90 er Følgende tal: 7,5 8,2 4,5 Er tal mellem en modelbil og bilen er 1:46. Hvor lang er bilen hvis den på modellen er 6 cm? En mælkekarton med målene 7cm*7cm*20cm indeholder 1. Hvor mange cm 3 er det? ulighederne X 2 +3x-6 < 3(x-2) -4x+4 > 2x-5 Bestem mellem A og B, når A(3,5) og B(12,10) A(3,4) og B(-5,0) En kasse har målene 30cm*20cm*17cm Dens rumfang er på En vinkel er spids når den har en vinkel på end 90 Hele vejen rundt om en kasse er kassens f.x har en kasse med målene 2cm + 4cm + 2cm + 4cm en på 12 cm (samme ord) Et værelse har målene 4m * 7m Hvor mange er værelset på? En figur hvis sider er lige lange og vinkler er lige store kaldes en figur En vinkel som er på mere end 90 er en cirkel med radius på 4 cm π*r 2 er en formel til at finde cirklens følgende udtryk (a+6b)-(-3a+4b) + 6a 4(3x+5y) -3(x-2y) En trekants tre skal tilsammen give 180 er det stykke der går fra centrum af cirklen ud til cirkelperiferien. 3, er et decimaltal, dette specielle tal bliver også kaldt