Integration m.h.t. mål med tæthed
|
|
- Viggo Marcussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner. Punkt 3) følger af 2) ved monoton konvergens. Slide 1/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
2 Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.9) Lad ν = f µ på (X, E). For en funktion g M(X, E) gælder at g er ν-integrabel netop hvis g f dµ <, og i så fald er gdν = g f dµ Bevis: Først tjekker vi integrabilitet ved M + -integration af g m.h.t. f µ. Dernæst anvender vi M + -formulen til g + - og g -integration. Slide 2/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
3 Momenter Definition Sandsynlighedsmålet ν på (R, B) har k te moment x k dν(x) under forudsætningen at x k dν(x) <. Hvis ν = f m kan k te moment beregnes som xf (x) dx hvis x k f (x) dx <. Første moment for exponentialfordelingen er Slide 3/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, xe x dx = 1.
4 Successive tætheder Sætning (Eksempel 11.8) Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad f, g M + (X ). Så gælder g (f µ) = (f g) µ. Bevis: For A E har vi ( ) g (f µ) (A) = 1 A gd(f µ) = (1 A g) f dµ = (f g)dµ. A Slide 4/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
5 Γ-integralet Lad ν = e x m (0, ) være exponentialfordelingen og lad g(x) = x λ 1 for λ, x > 0 (g M + ). (g ν)(r) = g dν Ex = 0 = Γ(λ). Integralet er kendt som Euler s Γ-funktion. x λ 1 e x dx Målet g ν har total masse Γ(λ) og tæthed x λ 1 e x m.h.t. lebesguemålet på (0, ). Slide 5/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
6 Entydighed Sætning (EH 11.6) Lad (X, E, µ) være et σ-endeligt målrum, og lad f, g M +. Hvis f µ = g µ så er f = g µ-næsten overalt. Bevis: Definer A = { x f (x) < g(x) < }, B = { x g(x) < f (x) < }, C = { x f (x) < g(x) = }, D = { x g(x) < f (x) = }. og vis at alle mængderne har µ-mål 0. Slide 6/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
7 Tæthedstransformationer Lad (X, E, µ) og (Y, K, ξ) være to målrum. Vi tænker på µ og ξ som naturlige grundmål. Lad t : X Y være E-K-målelig. Det centrale problem: Hvis ν = f µ er et mål med tæthed f på (X, E) 1) vil t(ν) have tæthed m.h.t. ξ? 2) I så fald, hvordan beregner vi denne tæthed? Slide 7/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
8 Transformation af tætheder Sætning (EH 12.6) Lad ν = f m og h : R R være en borelmålelig funktion, der opfylder 1) h er bijektiv fra I til J 2) h 1 er en C 1 -funktion på J 3) ν(i c ) = 0 så gælder at h(ν) = g m J hvor g er g(y) = f h 1 (y) (h 1 ) (y), y J. Slide 8/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
9 Substitution Sætning (EH 12.7) Hvis φ M + og h : R R er borelmålelige funktioner, og h opfylder at 1) h er bijektiv fra I til J, 2) h er en C 1 -funktion på I så gælder for alle borelmængder A I at φ(h(x)) h (x) dx = A h(a) φ(y)dy Bevis: Sæt ν = φ m J og se på transformationen h 1 (ν). For A I har vi φ(h(x)) h (x) dx = h 1 (ν)(a) = ν(h(a)) = φ(y)dy. A h(a) Slide 9/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
10 Specialtilfælde Sætning (EH 12.4) Hvis ν = (g t) µ on (X, E), og hvis t : (X, E) (Y, K) er målelig, så gælder t(ν) = g t(µ). Korollar Hvis t : (X, E) (Y, K) er bijektiv og bi-målelig, og hvis ν = f µ er et mål på (X, E), så gælder t(ν) = f t 1 t(µ). Slide 10/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
11 Pæne transformationer Nice transformations Betragt afbildninger h : R R og åbne intervaller I og J således at Consider a map h : R R and open intervals I and J with 1) h maps I bijectively on J, 1) h maps I bijectively on J, 2) h 1 is a C 1 -map on J. 2) h 1 is a C 1 -map on J. I h h 1 J. p.1/40 Slide 11/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
12 Transformationer af lebesguemålet De generelle transformations- og substitutionsresultater følger ved først at se, hvordan pæne funktioner transformerer lebesguemålet. Sætning For h : R R en borelmålelig funktion, der opfylder 1) h er bijektiv fra I til J gælder at h(m I ) = g m J, hvor 2) h 1 er en C 1 -funktion på J g(y) = (h 1 ) (y), y J Slide 12/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
13 Eksponentialfordelingen Lad X være eksponentialfordelt, hvad er fordelingen af Y = X 2? Fordelingen af X har tæthed e x m.h.t. m (0, ). Transformationen af X s fordeling ved h(x) = x 2 er et sandsynlighedsmål med tæthed for y > 0 m.h.t. m (0, ). g(y) = 1 2 y y e Slide 13/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
14 En integralidentitet Vi kan nu beregne middelværdien af Y = X 2 på to forskellige måder. 0 x 2 e x dx = EX 2 = EY = = y 1 2 y e y dy ye y dy. Den resulterede integralidentitet fås også direkte ved substitutionen x = y i det sidste integral. Slide 14/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
15 Nyttige regneregler f µ + g µ = (f + g) µ µ A + µ B = µ A B if A B = h(µ) + h(ν) = h(µ + ν) Bevis: f µ(c)+g µ(c) = For A B = er 1 A + 1 B = 1 A B, dvs. C f dµ+ gdµ = f +gdµ = (f +g) µ(c). C C µ A + µ B = 1 A µ + 1 B µ = (1 A + 1 B ) µ = 1 A B µ = µ A B. h(µ)(c) + h(ν)(c) = µ(h 1 (C)) + ν(h 1 (C)) = (µ + ν)(h 1 (C)) = h(µ + ν)(c). Slide 15/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
16 Transformation af tætheder Sætning Lad ν = f m og h : R R være en borelmålelig funktion. Lad I 1,..., I n være disjunkte åbne intervaller, J 1,..., J n åbne intervaller og antag at h i = h Ii opfylder 1) h i er bijektiv fra I i til J i 2) h 1 i så gælder h(ν) = g m med er en C 1 -funktion på J i 3) ν ( ( n i=1 I i) c) = 0 g(y) = n i=1 1 Ji (y)f h 1 i (y) (h 1 i ) (y). Slide 16/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
17 Positions- og skalatransformationer Se på transformationen h(x) = βx + α for α R en positionsparameter og β > 0 en skalaparameter. Hvis ν = f m er et mål med tæthed f m.h.t. lebesguemålet m på R hvad er så h(ν)? h 1 (y) = y α β og (h 1 ) = 1 β. Det transformerede mål t(ν) har tæthed f h 1 (y) (h 1 ) (y) = 1 ( ) y α β f β m.h.t. m. Slide 17/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
18 Tætheder på R m.h.t. m Tætheder for sandsynlighedsmål har generelt formen f (x) = 1 c(θ) f θ(x), x R med f θ M + og θ en såkaldt formparameter. En udvidet form er f θ,α,β (x) = 1 ( ) x α c(θ) β f θ, x R β hvor α R og β > 0 er positions- og skalaparametre. c(θ) = f θ (x)dx (0, ) kaldes (normeringskonstanten). Slide 18/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
19 Normalfordelingen Vi viser først at c := e x2 2 dx <. Observer at x 1 + x 2, hvoraf e x2 2 e 1 2 e x 2 og e x 2 dx Øvelse = 2 0 e x 2 dx = 4 < Det følger at f = 1 c e x2 2 er en tæthed for et sandsynlighedsmål. Slide 19/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
20 Normalfordelingen Sandsynlighedsmålet ν = f m på R med f (x) = 1 c e x2 2 kaldes normalfordelingen. Målet h(ν) hvor h(x) = x 2 /2 har tæthed g(y) = 1 (0, ) (y) 1 ( 2y) 2 c (e 2 + e ( 2y) 2 = 1 (0, ) (y) 2 c y 1 2 e y 2 ) m.h.t. m. Observer at h(ν) er et sandsynlighedsmål ( 2 1 = c y 1 2Γ 1 2 e y dy = 2) c eller Γ ( 1 2) = c 2. Slide 20/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, y
21 Normalfordelingen hvad er c? Man kan bruge spejlingsformlen for Eulers Γ-funktion Γ(z)Γ(1 z) = π sin(πz) (Ikke-trivielt!) til at vise at Γ(1/2) = π. Vi kan også bruge Beta-integral identiteten Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) = = 2 1 t x 1 (1 t) y 1 dt (Example 12.16) 0 π/2 0 (sin θ) 2x 1 (cos θ) 2y 1 dθ for x = y = 1/2 til at vise at Γ(1/2) = π. Vi kan vise direkte at c = 2π, og dermed at Γ(1/2) = π (Eksempel 12.18). Slide 21/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
22 Normalfordelingen Normalfordelingen med positionsparameter ξ og skalaparameter σ > 0 har tæthed f (x) = 1 (x ξ)2 e 2σ 2 for x R, 2π σ 2 Vi siger at X er N (ξ, σ 2 )-fordelt og skriver X N (ξ, σ 2 ), hvis tætheden for fordelingen af X er f. Slide 22/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
23 Ventetider og overlevelse Tid til en begivenhed en ventetide modelleres ved en fordeling på (0, ). Hvis X er eksponentialfordelt har fordelingen af X /λ for λ > 0 tæthed f (x) = λe λx. Hvis λ > 1 bliver ventetiden mindre, og hvis λ < 1 bliver ventetiden større. Modeller for tid til død eller overlevelsestid bruges indenfor medicin, demografi og livsforsikring. Er eksponentialfordelingen en god model? Slide 23/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
24 Rater og intensiteter Ud af brøkdelen P(X > x) af individer, der overlever til tid x, hvad er brøkdelen af individer, der dør i intervallet (x, x + δ]? p x (δ) := P(X (x, x + δ]) P(X > x) = x+δ x f (y) dy P(X > x). Observer at p x (0) = 0 og (antag at f er kontinuert) Dvs. for δ > 0 lille er λ(x) := p x(0) = p x (δ) δλ(x). f (x) P(X > x). Denne argumentation er baseret på frekvensfortolkningen. Slide 24/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
25 Rater og intensiteter Raten eller intensiteten for en begivenhed umiddelbart efter x defineres som λ(x) = f (x) P(X > x). For eksponentialfordelingen er Dvs. P(X > x) = x λe λy dy = e λx. λ(x) = λe λx e λx = λ. For eksponentialfordelingen er raten konstant: Det faktum at vi er blevet gamle ændrer ikke vores risiko for at dø? Slide 25/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
26 Alternative overlevelsesfordelinger Weibullfordelingen med formparameter c > 0 har tæthed intensitet f (x) = cx c 1 e xc, x > 0 λ(x) = cx c 1. Gompertzfordelingen med formparametre a > 0 og c > 1 har tæthed f (x) = a log c e a c x e acx, x > 0 og intensitet λ(x) = a log c c x. Begge fordelinger kan også udstyres med en skalaparameter. Slide 26/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
27 Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 (tjek) målet µ er kendt som standard normalfordelingen på R 2. Slide 27/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
28 Differentiation i R k Lad U R k være åben og h : U R m differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m(x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x h m(x) x 2... h 1 (x) x k h 2 (x) x k.... h m(x) x k Intuition: Hvis h er differentiabel i x, så er h approksimativt affin h(y) h(x) + Dh(x)(y x) Vi siger at h er en C 1 -funktion hvis alle partielle afledte er kontinuerte.. Slide 28/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
29 Kædereglen Antag at 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f (x), Så er sammensætningen g f : R k R p differentiabel i x og D(g f )(x) = Dg ( f (x) ) Df (x) matrixprodukt bemærk rækkefølgen! Slide 29/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
30 Pæne transformationer Vi ser på h : R k R k og åbne mænder U og V således at 1) h er bijektiv fra U til V, 2) h er en C 1 -afbildning på U, 3) og h 1 er C 1 på V. Bemærk: Kædereglen medfører at for x U og y = h(x) er Dh 1 (y) = ( Dh(x)) 1. Slide 30/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
31 Bijektive transformationer af tætheder Hvis ν = f m k og ν(u c ) = 0 så følger af den abstrakte integraltransformationssætning at h(ν) = 1 V f h 1 h(m k ) for alle borelmålelige afbildninger h : R k R k der er bijektive fra U til V. Slide 31/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
32 Transformation af lebesguemålet Sætning (EH 12.13) Lad h : R k R k være en borelmålelig afbildning, som opfylder 1) h er bijektive fra U til V, 2) h er C 1 på U. 3) h 1 er C 1 på V. Så er h(m U ) = g m k hvor g er givet ved g(y) = 1 V (y) det Dh 1 (y) { det Dh 1 (y) for y V, = 0 for y / V. Slide 32/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
33 Transformation af lebesguemålet Bevis: Målet 1 C h(m U ) for en lille omegn C af y 0 er approksimativt lig 1 C h(m U ), hvor og h(x 0 ) = y 0. h(x) = y 0 + Dh(x 0 )(x x 0 ) 1 C h(m U ) = 1 C det Dh 1 (y 0 ) m U Men det er ikke-trivielt at få argumentet helt stringent i særdeleshed at få kontrol over approksimationen. EH giver et fuldstændigt bevis i afsnit Slide 33/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
34 Pæne transformationer af tætheder Sætning (EH 12.14) Lad h : R k R k være en borelmålelig afbildning, som opfylder 1) h er bijektiv fra U til V, 2) h er C 1 på U, 3) og h 1 er C 1 på V. Hvis ν = f m k er et mål på (R k, B k ) med tæthed f m.h.t. lebesguemålet m k og ν(u c ) = 0, så er h(ν) = f m k hvor f (y) = 1 V (y)f (h 1 (y)) det Dh 1 (y) = { f (h 1 (y)) det Dh 1 (y) for y V, 0 for y / V. Slide 34/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
35 Substitution Sætning (EH 12.15) Lad h : R k R k være en borelmålelig afbildning, som opfylder 1) h er bijektiv fra U til V, 2) h er C 1 på U, 3) og h 1 er C 1 på V. For φ M + (R k, B k ) og enhver borelmålelig delmængde A U gælder at φ(h(x)) det Dh(x) dm k (x) = φ(y)dm k (y). A h(a) Bevis: Sæt ν = 1 V φ m k og se på det transformerede mål h 1 (ν). For A U har vi at φ(h(x)) det Dh(x) dm k (x) = h 1 (ν)(a) = ν(h(a)) = φ(y)dm k (y). A Slide 35/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013 h(a)
36 Polær integration Betragt afbildningen h : (0, 2π) (0, ) R 2 defineret ved h(θ, r) = (r cos θ, r sin θ). Observer at h er bijektive på den åbne mængde (0, 2π) (0, ) og ( ) V = h (0, 2π) (0, ) = R 2 \ {(x, y) x 0, y = 0}. er åben og lige hele R 2 pånær en m 2 -nulmængde. Desuden er ( r sin θ ) cos θ det Dh(θ, r) = det r cos θ sin θ = r. Og for en M + (R 2, B 2 )-funktion f har vi integrationsformlen 2π f (x, y)dm 2 (x, y) = f (r cos θ, r sin θ) rdrdθ. 0 0 Slide 36/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
37 Normaliseringen af normalfordelingen Polær integration og Tonellis sætning giver at og derfor er ( 2 e dx) x2 /2 = = e (x2 +y 2 )/2 dm 2 (x, y) 2π 0 = 2π = 2π. 0 0 e x2 /2 dx = 2 π. e r 2 /2 rdrdθ e r 2 /2 rdr Polær integration viser også, at sandsynlighedsmålet fra den første obligatoriske opgave er standard normalfordelingen på R 2. Slide 37/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
38 Betaintegraler Vi viser identiteten B(λ 1, λ 2 ) = Γ(λ 1) Γ(λ 2 ) Γ(λ 1 + λ 2 ) for λ 1, λ 2 > 0. Betragt afbildningen h : (0, ) (0, 1) (0, ) (0, ) defineret ved ( ) h(x, y) = (xy, x(1 y)) with h 1 u (u, v) = u + v,. u + v Ved brug af Tonellis sætning og substitution følger at Γ(λ 1 ) Γ(λ 2 ) = 0 0 u λ 1 1 e u v λ 2 1 e v dvdu =... = Γ(λ 1 + λ 2 )B(λ 1, λ 2 ). Slide 38/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
39 Sfæriske koordinater Der er en bijektiv afbildning h : U V = (0, ) (0, π) ( π, π) hvor U R 3 er åben med m 3 (U c ) = 0, med inverse h 1 (r, θ, φ) = (r cos(φ) sin(θ), r sin(φ) sin(θ), r cos(θ)) T og med det Dh 1 = r 2 sin(θ). Heraf følger at h(m 3 ) = f m 3 V med f (r, θ, φ) = r 2 sin(θ). Bemærk at resultatet igen er et produktmål. Slide 39/39 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 4. December, 2013
Integration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereTransformation: tætheder pår k
Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k I dette kapitel vil vi angribe følgende version af transformationsproblemet: Lad X 1,, X k være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P), sådan at den
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereEt eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. alle mulige resultater af eksperimentet
Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (X, E, ν). Udfaldsrummet X indeholder alle mulige resultater af eksperimentet men ofte også yderligere elementer
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereSandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument
Sandsynlighedsteori Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (, E, ν). Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål,
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereBorel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)
Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereDeskriptiv teori: den karakteristiske funktion
Kapitel 15 Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Når man forsøger at karakterisere et sandsynlighedsmål ν på R ved hjælp af dets momenter, fortæller man essentielt hvordan man skal integrere polynomier
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereMasterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson
ELEMENTÆR MÅLTEORI SØREN NAUNDRUP Masterprojekt udarbejdet af Vejleder Steen Andersson Dato 19. december 2014. Indholdsfortegnelse 1. Indledning 3 2. σ-algebraer og deres egenskaber 3 2.1. Om σ-algebraer.
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereIntegration og desintegration af mål
Kapitel 20 Integration og desintegration af mål Lad som i kapitel 8 (X,E) og (Y,K) være to målbare rum. Vi vil i dette kapitel gå i detaljer med forholdet mellem mål på (X Y, E K) og mål på de to faktorrum
Læs mereDeskriptiv teori i flere dimensioner
Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner I kapitel 13 og 14 udviklede vi en række deskriptive værktøjer til at beskrive sandsynlighedsmål på (R, B). Vi vil i dette kapitel forsøge at udvikle varianter
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereFlerdimensionale transformationer
Kapitel 18 Flerdimensionale transformationer Når man i praksis skal opstille en sandsynlighedsmodel for et eksperiment, vil man altid tage udgangspunkt i uafhængighed. Ofte kan man tænke på det udførte
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereaf om en given kombination af binomialkoefficienter svarer til en stor eller en lille sandsynlighed.
Kapitel 22 Svag konvergens I første halvdel af 1700-tallet var stort set al sandsynlighedsregning af kombinatorisk natur. Hovedværker fra perioden er Abraham de Moivres The octrine of Chances; or, a Method
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mere[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 31. januar 2012 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereSandsynlighedsteori
Fordelingskatalog til Sandsynlighedsteori 1.1 + 1.2 Svend Erik Graversen August 2005 1 Dette katalog indeholder de vigtigste egenskaber ved de 6 mest almindelige diskrete fordelinger samt de 11 mest almindelige
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der
Læs mereIndledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mere[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 2. februar 2009 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereså siges modellen at være! domineret af µ. Hvis modellen er parametriseret P =
Kapitel 3 Likelihoodfunktionen Lad P være en statistisk model på (X, E). Hvis der findes et σ-endeligt mål µ på (X, E), således at ν µ for alle ν P, så siges modellen at være! domineret af µ. Hvis modellen
Læs mereOversigt nr. 1. n+2. n(n + 2) n=1. konvergerer ikke uniformt på [0, 1], så teknikkerne fra
INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2019 Oversigt nr. 1 Lærebog. I dette kursus følger vi i store træk mine noter, som I kan finde på moodle-siden. Det vil løbende blive opdateret, så nøjes venligst med at printe
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereBetingede fordelinger
Kapitel 21 Betingede fordelinger Hvis man i et eksperiment observerer to stokastiske variable, X og Y, er det ofte hensigtsmæssigt at skrue sin sandsynlighedsteoretiske model sammen på en sådan måde at
Læs merePunktgrupper. Klaus Thomsen
Punktgrupper Klaus Thomsen 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken
Læs mereTrykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave
3. februar 2012 Stat 1TS / EH Trykfejlsliste - alle fejl Introduktion til Matematisk Statistik 2. udgave Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2. udgave af
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereDeskriptiv teori i flere dimensioner
Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner I kapitel 13 og 14 udviklede vi en række deskriptive værktøjer til at beskrive sandsynlighedsmål på (R, B) Vi vil i dette kapitel forsøge at udvikle varianter
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mere