En martingalversion af CLT
|
|
- Edith Lund
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapitel 9 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske variable, der er uafhængige, men ikke identisk fordelte. Moralen i de mere raffinerede varianter af CLT er groft sagt at en sum af mange uafhængige variable altid vil være approksimativt normalfordelt, blot de indgående variable er små. Lyapounovs og Lindebergs versioner af CLT giver forskellige tekniske præciseringer af hvad man skulle mene med at variablene er små, men grundliggende går det ud på at man kan udelade enkeltled, uden at det får nævneværdig indflydelse på summen. Princippet om at summer af uafhængige variable stort set er normalfordelt, er sundt. Men det undervurderer rækkevidden af de centrale grænseværdisætninger: Summer af afhængige variable er meget ofte også approksimativt normalfordelte. Mange gængse afhængighedsstrukturer er svage, forstået på den måde at summanderne hver især nok kan være kraftigt afhængige af nogle få af de andre summander, men de er næsten uafhængige af broderparten af summanderne. Derfor vil summen af sådanne variable have en sandsynlighedsteoretisk struktur, der ligner summen af uafhængige variable. Et markant tema i det 20. århundredes sandsynlighedsregning har været at præcisere dette løse ræsonement. Hvad skal man egentlig forstå ved svag afhængighed, og hvordan bærer man sig ad med at kontrollere forskellen mellem den sum man er interesseret i, og en tilsvarende sum af uafhængige variable. Man har typisk arbejdet meget konkret med små modelklasser, fordi den teoretiske indsigt, der kunne givet det generelle schwung, har manglet. Der findes store mængder artikler med fokus på 165
2 166 Kapitel 9. En martingalversion af CLT 1) U-statistics (en type summer med høj grad af symmetri) 2) Stationære processer 3) Markov processer Det store gennembrud kom omkring 1970, hvor det lykkedes for en række matematikere, mere eller mindre uafhængigt af hinanden, at formulere og bevise centrale grænseværdisætninger i en martingalramme. Senere arbejder har næsten uden undtagelse taget udgangspunkt i martingalresultaterne. Martingalbegrebet er en af sandsynlighedsregningens største gaver til menneskeheden. Det er ikke indlysende at martingaler skulle være særligt nyttige: det er ikke klart at der findes særlig mange interessante martingaler, og det er slet ikke klart at martingalegenskaben tillader at der kan drages interessante konklusioner. Men et par generationer senere, kan vi konstatere at Doob, med sin introduktion af martingaler i 1940, virkelig ramte en guldåre: den moderne tilgang til at studere et hvilket som helst stokastisk fænomen er at lede efter en associeret martingal, som man derefter studerer ved hjælp af martingalmetoder. Pointen er selvfølgelig at martingalerne findes overalt i naturen og at martingalegenskaben viser sig at tillade meget stærke strukturelle konklusioner. Det er så at sige en del af martingalers natur, at disse strukturelle sætninger er nemme at anvende, men vanskelige at bevise. Den eneste oplagte martingalsætning er sætningen om optional sampling - martingalerne er simpelthen skabt til at kunne tages på stokastiske tidspunkter, det er deres raisson d etre. Men i andre sammenhænge er det slet ikke klart hvordan man skal gå frem, og de nødvendige beviser bliver fulde af tricks. Selv efter mange års beskæftigelse med martingaldynamik, er det kun de færreste, der når frem til at betragte f.eks. opkrydsningslemmaet som en naturlig ide. 9.1 Martingaldifferenser Vi husker at en filtrering (F n ) n N er en voksende følge af del-σ-algebraer af et målbart rum (Ω,F). Ofte udvider vi filtreringen med en tid 0 algebra F 0. I mangel af bedre kan man altid bruge den trivielleσ-algebra F 0 ={,Ω}. En følge af stokastiske variable (X n ) n N på (Ω,F, P) siges at være tilpasset filtreringen (F n ) n N hvis X n erf n -målelig for hvert n.
3 9.1. Martingaldifferenser 167 I de fleste sammenhænge kommer en filtrering til verden ud fra en initial stokastisk variabel Z og en stokastiske proces Y 1, Y 2,..., på den måde at F n =F(Z, Y 1,...,Y n ). Hvis alle de indgående variable er reelle, så er processen (X n ) n N tilpasset denne filtrering, hvis og kun hvis der findes funktionerφ n :R n+1 Rså X n =φ n (Z, Y 1,...,Y n ). Tilpassethed er altså blot en fancy, målteoretisk måde at sige, at X-værdierne er givet ved Z- og Y-værdierne, på en sådan måde at kender man de første n Y er, så kender man også de første n X er. Det kan være at X erne er lig med Y erne, eller det kan være at X erne repræsenterer informationen i Y erne i en eller anden reduceret form. Pointen er blot at kender man Y erne, så kender man også X erne. I dette billede svarer Z til den viden man har, når uret går i gang. Definition 9.1 En reel stokastisk proces (X n ) n N er en martingaldifferens, relativt til filtreringen (F n ) n N, hvis 1) (X n ) n N er tilpasset (F n ) n N, 2) E X n < for alle n N, 3) E(X n F n 1 )=0 n.s. for alle n N. Bemærk at en martingaldifferens (X n ) n N opfylder at E(X n )=E(E(X n F n 1 ))=E(0)=0 for alle n N. Hvis (X n ) n N er en martingaldifferens, så vil S n = i=1 X i for n N, være en martingal, relativt til den samme filtrering, og alle variablene i denne martingal vil have middelværdi 0. Omvendt, hvis (S n ) n N er en martingal, hvor alle variablene har middelværdi 0, så vil X 1 = S 1, X n = S n S n 1 for n=2, 3,...
4 168 Kapitel 9. En martingalversion af CLT være en martingaldifferens. Så en martingaldifferens repræsenterer så at sige samme stokastiske fænomen som en martingal, blot er synsvinklen forskubbet en anelse. Eksempel 9.2 Hvis variablene (X n ) n N er uafhængige og alle har middelværdi 0, så udgør følgen en martingaldifferens med hensyn til den naturlige filtrering Det gælder nemlig at F n =F(X 1,..., X n ). E(X n F n 1 )=E(X n X 1,..., X n 1 ) n.s. = E(X n )=0 for alle n N. Martingalen, hørende til denne martingaldifferens, er hvad vi normalt kalder en random walk. Vi vil typisk interessere os for kvadratisk integrable martingaldifferenser, altså martingaldifferenser (X n ) n N så E X n 2 < for alle n N. Det giver det anledning til at indføre de betingede varianser V n = V(X n F n 1 )=E(X n 2 F n 1 ) n.s. for alle n N. Man kan også have fornøjelse af variablene W n = V m. I martingalterminologi kaldes processen (W n ) n N for kompensatoren for martingalen (S n ) n N. Man viser let at S n 2 W n er en martingal. Man kan bemærke at i random walk tilfældet, hvor X erne er uafhængige, er kompensatoren ikke-stokastisk, nemlig W n = E X 2 n.
5 9.2. CLT for martingale difference arrays 169 Vi kommer til at arbejde med såkaldte martingale difference arrays eller blot MDA er. Det er trekantsskemaer (X n m ) af reelle stokastiske variable, X 1 1 X 2 1 X 2 2 X 3 1 X 3 2 X sådan at hver række i skemaet udgør en martingaldifferens. For at undgå notationsmæssigt besvær, forestiller vi os at den n te række i skemaet indeholder præcis n variable X n 1, X n 2,..., X n n. Ligeledes for at undgå notationsmæssigt besvær, forestiller vi os en fast filtrering (F n ) n N der bruges i alle rækker. I princippet kunne man godt arbejde med et trekantsskema afσ-algebraer (F n m ), for vi har intetsteds brug for atσ-algebraerne i de forskellige rækker skulle være relaterede, men i praksis ville vi ikke have noget at bruge den vundne generalitet til. Under disse notationsmæssige bekvemmeligheder, er antagelserne om et MDA at 1) X n m er F m -målelig for alle n N,,...,n, 2) E X n m < for alle n N,,...,n, 3) E(X n m F m 1 )=0 n.s. for alle n N,,...,n. Normalt vil vi antage at alle indgående variable har 2. moment. Udfra et sådan trekantsskema, er det naturligt at indføre de kumulerede summer indenfor rækkerne, S n m = m X n k for n N,,...,n. En central grænseværdisætning vil i denne sammenhæng være et udsagn om at de fulde rækkesummer S n n konvergerer i fordeling mod en normalfordeling for n. 9.2 CLT for martingale difference arrays Under en antagelse om rækkevis uafhængighed, kommer en central grænseværdisætning for et trekantsskema til verden hvis man kan garantere at variansen af rækkesummerne konvergerer mod en fast værdi og at leddene er små (Lyapounovs betingelse eller Lindebergs betingelse).
6 170 Kapitel 9. En martingalversion af CLT Når man generaliserer til martingaldifferens skemaer, skal man stadig sikre sig at leddene er små. Men betingelsen om at variansen af rækkesummerne skal konvergere, ændres fundamentalt. Den nye betingelse bliver om de rækkevise kompensatorer, E(X 2 n m F m 1 ), (9.1) (der jo er stokastiske variable) konvergerer i sandsynlighed mod en konstant, forskellig fra nul. Det er denne konstant, der kommer til at optræde som variansen i grænsenormalfordelingen. Uden tab af generalitet, vil vi antage at konstanten er 1. For at gøre notationen lidt lettere, indfører vi de betingede varianser af variablene i trekantsskemaet, V n m = E(X n m 2 F m 1 ) for n N,,...,n, og de tilsvarende kumulerede størrelser, W n m = m V n k for n N,,...,n, der repræsenterer kompensatorerne indenfor rækkerne. Bemærk at V n m erne alle er ikke-negative, og at W n m derfor vokser med m. Bemærk også at W n m erf m 1 -målelig. I første omgang vil vi yderligere antage at W n n 2, eller ækvivalent dermed, at W n m 2 n.s. for alle n N,,...,n. Bemærk at en begrænset følge af stokastiske variable er en uniformt integrabel følge. Dermed kan vi uden videre slutte at hvis de konvergerer i sandsynlighed, så konvergerer de også konvergerer i L 1. Lemma 9.3 Lad (X n m ) være et trekantsskema af reelle stokastiske variable med 3. moment. Antag at der findes en filtrering (F n ) n N, der gør hver række i skemaet til en martingaldifferens. Antag endvidere at Hvis E(X 2 n m F m 1 ) P 1 for n. E(X 2 n m F m 1 ) 2 n.s. for alle n N, (9.2)
7 9.2. CLT for martingale difference arrays 171 og hvis skemaet opfylder Lyapounovs betingelse, E X n m 3 0 for n, (9.3) så vil rækkesummerne S n n = n X n m opfylde at S n n D Z for n hvor grænsevariablen Z er N(0, 1)-fordelt. Bemærk: Det er uvæsentligt hvilken øvre grænse man bruger i (9.2) - vi kan erstatte 2 med et hvilket som helst c > 1 uden at ændre på beviset og uden at ændre på lemmaets anvendelighed. Bevis: Målet er at bevise følgende påstand: e i S n n t+w n n t 2 /2 dp 1 for n, (9.4) for hvert t R. Hvisφ n (t) er den karakteristiske funktion for S n n har vi nemlig at φ n (t) e t2 /2 = e i S n n t+t 2 /2 dp= e i S n n t+w n n t 2 /2 dp+ e i S n n t (e t2 /2 e W n n t 2 /2 ) dp P Da W n n 1 vil integranden i sidste integral konvergerer mod 0 i sandsynlighed, begrænset af e t2. Derfor konvergerer integralet mod nul. Konklusionen er at (9.4) medfører at φ n (t) e t2 /2 1 for n, eller om man vil at φ n (t) e t2 /2 for n. Vi genkender grænsen som den karakteristiske funktion for standard normalfordelingen. Så en henvisning til kontinuitetssætningen, viser nu at S n n konvergerer i fordeling mod en standard normalfordeling. For at vise (9.4), holder vi t fast, og indfører de stokastiske variable Q n m = e i S n m t+w n m t 2 /2, Q n m = e i S n (m 1) t+w n m t 2 /2.
8 172 Kapitel 9. En martingalversion af CLT Ideen med Q erne er sådan set klar nok: vi ønsker at vise at Q n n 1 dp 0, og det er næppe helt urimeligt at prøve at nedbryde dette problem ved at observere at Q n n 1= Q n m Q n (m 1), hvor vi underforstår de trivielle definitioner S n 0 = 0 og Q n 0 = 1. Det er mere uklart hvad vi skal med Q erne. Men observer at Dermed er Q n m = e i X n m t Q n m, Q n (m 1) = e V n m t 2 /2 Q n m. Q n n 1= (e i X n m t e V n m t 2 /2 ) Q n m. Den første pointe er nu at Q n m erf m 1 -målelig. Dermed er E(Q n n 1)= = = ) E (e i X n m t e V n m t 2 /2 ) Q n m ( )) E E ((e i X n m t e V n m t 2 /2 ) Q n m F m 1 E (E ( e i X n m t e V n m t 2 /2 ) ) F m 1 Q n m Den anden pointe er at Q n m er begrænset af e t2, og dermed er EQ n n 1 E E ( e i X n m t e V n m t 2 /2 ) F m 1 e t2 Taylors formel brugt på real- og imaginærdel af den komplekse eksponentialfunktion, giver at e i y = 1+i y y2 2 + r 1(y), r 1 (y) y 3 (9.5) 3 for y R. Tilsvarende fås at e y/2 = 1 y 2 + r 2(y), r 2 (y) y2 8,
9 9.2. CLT for martingale difference arrays 173 for y>0. Dermed er E ( e i X n m t e V n m t 2 /2 ) F m 1 = E ((1+i X n m t X2 n m t2 2 = E ( r 1 (X n m t) F m 1 ) r2 (V n m t 2 ) ) + r 1 (X n m t) (1 V n,m t 2 ) ) + r 2 (V n m t 2 ) F m 1 2 idet vi udnytter at den betingede middelværdi af X n m er nul, og at det betingede 2. moment per definition er lig V n m. Med begrænsningerne på restleddene, får vi E ( e i X n m t e V n m t 2 /2 F m 1 ) E ( r1 (X n m t) F m 1 )+ r 2 (V n m t 2 ) E ( X n m 3 ) t 3 F m V n m 2 t 4. 8 Den samlede konklusion på alle disse vurderinger bliver at E (Q n n 1) e t2 t 3 E X n m 3 + t4 E Vn 2 m 3 8 og tilbage står kun at vise at begge disse summer går mod nul. Den første sum gør det ifølge Lyapounov-antagelsen. Den anden sum gør det, hvis vi kan vise at for i så fald har vi at begrænset af 4, og derfor vil max V P n m 0, (9.6),...,n V n m 2 max,...,n V n k E V 2 n m 0 P V n m 0 1=0 for n. Så lad os vise (9.6). For hvert c>0 findes et d>0 så Derfor er x 2 c+d x 3. V n m = E (X n m 2 F m 1 ) c+de ( X n m 3 F m 1 ) c+d E ( X n m 3 F m 1 ).
10 174 Kapitel 9. En martingalversion af CLT Denne øvre grænse afhænger ikke af m, så Og integrerer vi, ser vi at max V n m c+d,...,n Lyapounov-betingelsen sikrer at E ( X n m 3 F m 1 ). E max,...,n V n m c+d E X n m 3. lim sup n E max,...,n V n m c, og eftersom argumentet kan gennemføres for ethvert c, ser vi at max,...,n V n m må konvergere mod nul i L 1 -forstand. Og desmere i sandsynlighed. Sætning 9.4 (Brown) Lad (X n m ) være et trekantsskema af reelle stokastiske variable med 3. moment. Antag at der findes en filtrering (F n ) n N, der gør hver række i skemaet til en martingaldifferens. Antag endvidere at E(X 2 n m F m 1 ) P 1 for n. (9.7) Hvis skemaet opfylder den betingede Lyapounov betingelse, E ( X n m 3 ) P F m 1 0 for n, (9.8) så vil rækkesummerne S n n = n X n m opfylde at S n n D Z for n hvor grænsevariablen Z er N(0, 1)-fordelt. Bevis: I det store og hele er arbejdet gjort i lemma vi skal bare bruge lidt martingal-teknologi til at reducere den generelle situation til situationen fra lemmaet.
11 9.2. CLT for martingale difference arrays 175 Analogt med W n m -størrelserne indfører vi de rækkevist kumulerede betingede absolutte 3. momenter, m Z n m = E ( X n k 3 ) F k 1. Indfør nu variablene X n m=x n m 1 (Wn m 2, Z n m 1). Det er uvæsentligt hvad man præcis vælger som øvre grænse for Z erne - enhver strengt positiv øvre grænse vil virke lige så godt som 1. Fordi indikatorfunktionen erf m 1 -målelig, ser vi let at disse stjernede variable udgør et martingale difference array med hensyn til den oprindelige filtrering. Man viser endvidere let at den nye kompensator bliver m Wn m = V n k 1 (Wn k 2, Z n m 1). Heraf ser vi at W n m 2. Da W n m vokser med m, ser vi også at W n m = W n m for,...,n på (W n n 2, Z n m 1). Det følger af (9.7) at P(W n n 2) 1 og det følger af (9.8) at P(Z n n 1) 1. Dermed ser vi at W n n Wn P n 0, og derfor vil W n n P 1. For at kunne anvende lemma 9.3 på det stjernede trekantsskema mangler vi at vise at det stjernede skema opfylder den ubetingede Lyapounov-betingelse (9.3). Men hvis vi indfører m Zn m = E ( Xn ) m k 3 F k 1 = E ( X n k 3 ) F k 1 1(Wn m 2, Z n m 1), ser vi ved samme type argumentation som ovenfor at Z n m Z n m, Z n m 1 for alle,...,n. P Da Z n n 0 vil også Z P n n 0, og da Z n n 1 kan vi faktisk styrke konklusionen til at Zn n 0 i L 1 -forstand. Men E ( Zn n) = E E ( Xn ) k 3 F k 1 = E ( E ( )) Xn k 3 F k 1 = E Xn k 3,
12 176 Kapitel 9. En martingalversion af CLT og da alle variable i denne udregning er ikke-negative, kan vi faktisk konkludere at den ubetingede Lyapounov-betingelse (9.3) er opfyldt for det stjernede trekantsskema. Vi ser således at lemma 9.3 kan bruges på det stjernede trekantsskema, og derfor vil X n m D N(0, 1). Men på (W n n 2, Z n n 1) er n X n m = n X n m, og da vi allerede ved at P(W n n 2, Z n n 1) 1, ser vi at Xn m P X n m 0. Det følger derfor af Slutskys sætning at X n m = Xn m+ ( X n m Xn m) N(0, D 1). Med et vist arbejde kan man erstatte 3. moment betingelsen i Browns sætning med nogle Lindeberg-agtige betingelser. Det er tilstrækkeligt at X erne har 2. moment, opfylder (9.7) og opfylder at E ( ) P Xn 2 m 1 ( Xn m >c) F m 1 0 for n, (9.9) for alle c>0 for at konklusionen i Browns sætning kan opretholdes.
En martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereSvag konvergens. Kapitel Historisk indledning
Kapitel 4 Svag konvergens 4.1 Historisk indledning I første halvdel af 1700-tallet var stort set al sandsynlighedsregning af kombinatorisk natur. Hovedværker fra perioden er Abraham de Moivres The Doctrine
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereFoldningsintegraler og Doobs martingale ulighed
Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereIndledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereSupplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable
IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereSandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.
Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereNormale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Læs mere1 Beviser for fornyelsessætningen
Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mere1 Palm teori. Palm teori 1
Palm teori 1 1 Palm teori Lad X = {X(t)} t 0 være en stokastisk proces defineret på et måleligt rum (Ω, F), og lad T = {T n } n N0 være en voksende følge af ikke-negative stokastiske variable herpå. Vi
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereLøsninger til kapitel 6
Opgave 6.1 a) 180 200 P ( X < 180) = Φ = Φ( = 0, 1587 b) 220 200 P ( X > 220) = Φ = Φ(1) = 0, 8413 c) 200 200 P ( X > 200) = 1 X < 200) = 1 Φ = ) = 1 0,5 = 0, 5 d) P ( X = 230) = 0 e) 180 200 P ( X 180)
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereDen Brownske Bevægelse
Den Brownske Bevægelse N.J. Nielsen 1 Notation I dette notesæt vil vi generelt benytte samme notation som i det øvrige undervisningsmateriale i MM23. For ethvert n N betegner B n Borelalgebraen på R, og
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 5.3 og 5.4 Simultane kontinuerte
Læs mere