Interviews til praktikprojekt

Transkript

1 Interviews til praktikprojekt Magnus Fundal 7. januar 2016 Forord De interviewede lærere er anonymiseret. Hvor navne på de anonymiserede nævnes, er de erstattet med f.eks. [Lærer 1]. Læreren er den lærer jeg fulgte til daglig på Næstved Gymnasium. Rækkefølgen er den de er interviewet i. Interview med Lærer Magnus: Nå, som sagt har eg seterpurgt dig om det meste af det jeg ville spørge dig om allerede. Mit fokus for projektet er, hvordan er balancen mellem hvad der er dit valg og hvad der er valgt på forhånd når du skal forberede undervisningen. Så sammensætter du selv undervisningen? Lærer 1: Øhm. Magnus: Eller er det noget med nogle officielle retningslinjer der ikke er til at slippe udenom? Og derfor skal du skrive det på en bestemt måde, i en bestemt rækkefølge, og gennemgå dé og de ting? Lærer 1: Nej, altå jeg har nogle emner der skal behandles, jo. Det hedder - på hvert niveau, der står jo en bekendtg bekendtgørelsestekst om at de og de emner skal være dækket. Magnus: Mm Lærer 1: Og det er så et kernestof og noget supplerende. Men det der så er afgørende, det er jo dybest set, at man har en skriftlig eller mundtlig eksamen, og der skal man kunne sige et eller andet fornuftigt. Eleven. Forventning om hvad der kan siges, og det betyder jo noget om hvad det er for nogen - hvad for nogen formler og hvilke emner der præcis skal være med, men hvordan jeg selv, hvordan jeg kommer frem til de der ting, det kan jeg, sådan, i stor stil faktisk selv afgøre. Der er ikke nogen der siger at jeg skal have... starte med lineære sammenhænge, jeg kunne i princippet godt starte med noget andet. Det er en meget god idé at starte med lineære sammenhænge, det er så noget andet. 1

2 Magnus: Rimeligt nok, at man skal kravle før man kan gå. Lærer 1: Ja. Der er ingen grund til... Magnus: Man skal kende lineære før man kender eksponentielle. Lærer 1: Det plejer at være en meget god ting. Også fordi lineære, det er et meget godt kravlegårdseksempel, hvor man meget hurtigt kan få lavet nogle, nogle forskellige repræsentationer, og så kørt det igennem, ikke. Og så fordi at, netop at vi, de... Ligesåsnart vi kommer derudover, så bliver det mere avanceret, der er flere formler, der er flere ting de skal kunne huske. Men der er jo simpelthen nogle krav om at de skal kunne forskellige ting, og dem må man så dække i bedste beskub, men altså, hvordan man så selv underviser i lineære sammenhænge, det må man jo så selv om. Magnus: Øhm... Vælger du selv lærebogen? Lærer 1: Nej, det gør jeg ikke, og det gør jeg ikke fordi at vi har én lærebog som vi har rigtig rigtig mange eksemplarer af, og så har vi sådan set ikke andre. Den her lærebog, den har vi stadigvæk fordi den er fuldstændig uforgængelig. Det er sådan en hardcover-udgave af en bog, og den går ikke i stykker. Så derfor, så er det den vi bruger. Den er røvhamrende elendig, og eleverne kan ikke læse den, men vi kan ikke slippe af med den, - Magnus: (Latter) Lærer 1: hvilket faktisk også betyder, at langt henad vejen, så er der ingen der rigtig bruger den. Så jeg bruger faktisk meget sjældent lærebøger. Jeg bruger det en gang imellem, og så bruger jeg, øhm, hvad jeg måske kan, kan finde på nettet, hvis jeg - så nogle gange, så skriver jeg noget selv, og ellers så, så opfordrer jeg dem til at bruge sådan noget som Restudy og Frividen og hvad der ellers findes af netressourser hvor det er at de kan få tingene forklaret. Magnus: Så I har ikke noget egentligt kursusmateriale? Lærer 1: Øh, nej. Altså, vi kører de samme bøger på B- og C-niveau, og de der, de er rædsomme, de der forfærdelige bøger. Og så kører vi en lidt bedre bog på A-niveau, og den er - bliver brugt mere. Magnus: Jeg mener ellers vi havde en meget sjov matematik-bog da jeg var på C-niveau. Det var noget med en glad lille fyr som hed d dx som rendte rundt og fandt hældninger. Til gengæld, så tror jeg ikke vi havde særligt meget lektie i den. Så måske har det alligevel været samme stil. Lærer 1: Ja. Det er den. Det er simpelthen - Magnus: Det er den? Lærer 1: Ja. Der hvor der er sådan en, øh, blå forside med bjerglandskab eller svensk bjergsø. Magnus: Det kan jeg så ikke huske, for jeg har altid bundet mine bøger ind. Lærer 1: Ja, men jeg siger ikke til eleverne at de skal binde den ind, fordi så kan der måske håbe den går i stykker, så vi... Vi har på det sidste faggruppe- 2

3 møde besluttet, at hvis vi løber tør for den, hvis der ikke er nok af den, så bliver der simpelthen ikke købt flere. Fordi vi er simpelthen så utilfredse med den. Vi har den, og vi har den i rigelige mænger, og sådan noget dér. Og der er ikke rigtig andre der bruger den efterhånden. Magnus: [Læreren] fortalte at han har en klasse som har én lærebog og en anden klasse med en anden lærebog. Og nu prøver han så denne her gang at gå nogenlunde frem i den rækefølge det stær i bogen, og det er ellers ikke det han plejer. Men det kan være det er fordi han har fået fingre i en bedre bog, så. Og så har han et enkelt hold som kan have det. Lærer 1: Men han har et, øh, A-niveau, og A-niveauerne, de kører ét bogsalgssystem. Og så har vi B-niveauerne, de kører det dér andet, forfærdelige bogsystem. Øhm. Og A-niveauerne, det er lidt bedre. Der er nogle problematikker stadigvæk, i at, øh, blandt andet at det var, øh... Den er lavet lige efter reformen, og den er lavet i, æh, i stor hast, hvilket betyder, at for eksempel, så er der ikke - opgavebog og bog stemmer ikke overens, for eksempel har opgavebog til bog 1, den har logaritmeopgaver, men logaritmer optræder først i bog 2. Magnus: (Frustreret udbrud.) Så den er lavet i stor hast, men den er til gengæld fuldstændig uforgængelig, og det er den I har. Lærer 1: Nej, det er ikke den, det er A-niveauerne. Den anden, den er sådan set lavet stille og rolig, men den er røv-dårlig. Den er sådan med farvelade, og rød tekst og blå tekst, og mærkelig tekst, og mærkelig computerkode som ikke giver ret meget god mening. Magnus: Jeg havde en bog hvor der var lilla tekst nogle steder. Den var sammensat af rød og blå, og nogle steder var de så forskudt en lille smule i forhold til hinanden. Det så rigtig, rigtig sjovt ud. Heldigvisvar det kun overskrifterne. Lærer 1: Ja. Så vi- vi er faktisk lidt... Vi har lavet en undersøgelse om hvad vi ville have af bøger. Jeg tror man er gået væk fra at ville bruge bøger på C-niveau, så bruger man bare hvad man kan finde på nettet. Magnus: Okay. Lærer 1: Og på B-niveau ved jeg ikke rigtig hvad man gør endnu, men de dér bøger, de er ikke særligt gode, og i det hele taget, så har elever også i forvejen store problemer med at de skal læse en matematisk tekst. Så det bliver ikke lettere af at bogen er umulig at læse. Magnus: Hm. Lærer 1: Så der er nogle problematikker me de dér bøger. Så jeg giver generelt set ikke flere læselektier for. Fordi at eleverne får ikke lavet dem. De får ikke læst det. Og for det andet, så - den måde det står på er ikke nødvendigvis særligt brugbar. Magnus: Hm. Det bliver et chok for dem hvis de skal på universitet, så. 3

4 Men... Lærer 1: Men hvid du har matematik på B-niveau, jamen så er det ikke nødvendigvis sådan at du skal på universitetet, og hvis du skal, så tager du en opgradering fra B til A. Og så kan du lære det der. Magnus: Det er klart. Lærer 1: Og så giver det god mening, ikke. Og dem der går fra B til A, det er som regel nogle elever der har rimelig meget at komme med. Så er der også nogle der er - bare tvunget til at vælge det fordi de skal bruge et A-niveau i matematik, eller fordi at - de kunne ikke få det valghold de gerne ville have haft, og så derfor var der kun matematik A tilbage. Og så... Jeg har været ude for elever der havde valgt matematik A eller tysk A. Uha, tysk, det er farligt. Mere farligt end matematik. Så det er - det er de overvejelser. Men den dér opgradering fra B til A, de er som regel så stærke at det ikke bliver et problem for dem. A-niveauerne, der har du selvfølgelig ret, men der har vi heldigvis en bedre bog, som vi bruger i et eller andet omfang. Og så har jeg - har jeg kunnet køre ét A-niveau igennem 1. og så 3.g, og der lavede jeg simpelthen nogle øvelser i - de fik en tekst med 2 2-matricer, som de så selv skulle arbejde med, og løse nogle opgaver og sådan. Magnus: Det var hvis det var hvad, sagde du? Lærer 1: A-niveau. Magnus: A-niveau... Det lyder bare som om det er over Aniveau. Lærer 1: Jamen det er så supplerende. Magnus: Supplerende? Lærer 1: Ja. Du har jo kernestoffet, som dækker de her forskellige ting, og så kan man - vektorregning hører jo med, så gange en vektor på en matrice, det er jo ikke så meget bøvlet, og så har de jo et computerprogram der kan gøre det for dem. Så de kan bruge det som en facitliste, og sådan arbejde, sådan, frem og tilbage med det. Magnus: Så det er i virkeligheden - Det er mere sådan en intuitiv forståelse af hvad matricer overhovedet er. Lærer 1: Ja, ja. Men de skal selvfølgelig også kunne regne lidt på det, ikke. Og gange en vektor på en matrix og sådan lidt. Men den tekst, den handler jo så også om at finde eigenværdier, og der kan man måske sige, at der er det meget praktisk at have et computerprogram der kan beregne eigenværdier. Fordi, godt nok er det kun 2 2, og du ender med andengradspolnomier, men det kan være ret bøvlet at få skrevet det op og få gjort det rigtigt. Så det var ikke det der var øvelse, øvelsen var at få læst den tekst der handlede om matricer, og så få noget fornuftigt ud af det. At simpelthen lære dem at sætte sig ned og Hvad vil det sige? Prøv at følg (lærebogen, der hvor det står) Magnus: Jeg skal have differentialregning som case. Jeg går ud fra du har haft nogle hold efterhånden. Hvor længe har du egentlig været gymnasielærer? 4

5 Lærer 1: Siden Jeg startede på Albertslund VUC. Så skiftede jeg hertil i Og jeg har haft rigtig mange B-niveauer og nogle C-niveauer, og HF og sådan lidt af hvert. Magnus: Så du har prøvet det nogle gange? Lærer 1: Ja. Differentialregning har jeg vel kørt igennem Fem-seks gange efterhånden. Magnus: Hvordan plejer du at gøre det? Hvad plejer du at starte med? Lærer 1: Det er meget forskelligt hvad jeg plejer at starte med. Jeg har... Oprindelig startede jeg bare med at sige: Her er nogle regler, nu skal vi bruge de her mystiske regler for de her funktioner. Så sætte os ned og regne. Magnus: Så black-box differentiering? Lærer 1: Black-box-differentiering, papir og blyant. Det var måske ikke den bedste måde at gøre det på. Og så har jeg prøvet med at de selv skulle komme frem til - til hvad reglerne er. Dybest set, jamen Tag de her formler, prøv at sætte dem ind i Nspire og se hvad de giver, og så prøv at se om du kan se et system i det. Og så gå videre med det, og så begynde at prøve at tegne tangenter til grafer, og så se om du kan se en sammenhæng mellem - det er sådan en f (4) spytter ud, den tangentlinje som Nspire til at være f når x er 4. Magnus: Se om de selv kan regne ud at hældningen er det samme som differentiale i punktet. Lærer 1: Ja. Men det kræver, har jeg fundet ud af, at eleverne rent faktisk er interesserede i, eller accepterer den form for undervisning. Så derfor, for eksempel på det valghold du mødte tidligere her i dag. Det er jo nogle dygtige elever, men der sidder også nogle som virkelig, jeg ved faktisk ikke hvorfor de har B-niveau, men de har åbenbart en aversion mod det. Der har jeg ikke gjort det dér, fordi de ville bare sidde og kigge på det, og så sige Hvad fanden har du gang i? Og så kommer vi ikke - Magnus: Fordi det kræver initiativ af dem, så gider de ikke? Lærer 1: Nej, ikke meget det, fordi de har... Det er det dér med teorien om den didaktiske kontrakt, ikke? Det siger dig måske ikke noget? Magnus: Hvad er dén teori? Lærer 1: Det er bedst forklaret med et eksempel. I Frankrig, for mange år siden, der havde man et eksperiment, hvor man underviste nogle 2. klasseselever i addition, altså plusstykker. Og så gav man dem følgende opgave: På et skib, der er der 8 får og 26 geder. Hvor gammel er kaptegnen? Magnus: (Latter) Lærer 1: Og det er jo en nonsens opgave, men hvad gjorde eleverne? Magnus: Ja, de lagde jo 28 plus - hvad var det du sagde? 10? Lærer 1: Ja, hvad det nu var, ikke. Magnus: Og nåede frem til at han var 38. 5

6 Lærer 1: Ja. Fordi at når de så et eller andet med to tal, jamen så havde de jo opfattet, at det man så skulle gøre, det var at man skulle addere dem. Det er det samme der nogle gange gør sig gældende når vi skal have - hvis man nu skal have de her ting hvor man ikke gør det - prøver at gøre det her med tavle og så videre, det er, at eleverne de, har en forventning om, at nu skal du fortælle dem hvad det er. Og hvis den modstand, den er så - meget stor, som jeg kan fornemme oppe på det dér valghold hos nogle, ikke dem der var der i dag, de ville nok godt finde sig i det. Måske ikke de to af pigerne, men, men de fleste af dem ville godt finde sig i det; men mange af dem på det - dem der ikke var tilstede i dag, de ville blive meget meget... Der ville komme meget meget stor modstand. Og når der kommer meget meget stor modstand, så kan jeg stille mig selv spørgsmålet: hvor meget læring sker der så? Magnus: Ja, nok ikke så meget. Lærer 1: Ja, i hvert fald så ville det kræve at jeg har bedre tid. Og jeg ville nok gøre det mere på en stamklasse. Altså en klasse som jeg har haft et stykke tid. For eksempel de dér 1.y er, dem forventer jeg, at dem skal jeg have indtil de går ud af 3.g. Så jeg har et helt år til at lære dem andre didaktiske kontrakter end dem hvor jeg bare står og gennemgår dem. At jeg så... At ligeså snart man skal lave noget andet end bare at gennemgå, regne opgaver og gennemgå, så skal man jo til at forberede sig. Og det tager tid. Og det er ikke nødvendigvis tid jeg har. Det er så ulempen. Magnus: Jeg mener [læreren] snakkede om noget lignende, med en indledning til differentialregning, hvor man så prøvede at sige, hvad spytter lommeregneren, eller TI Nspire ud, og hvad kan vi så sige om det? Lærer 1: Ja. Det tror jeg er nogenlunde det samme. Jeg tror faktisk jeg har stjålet det fra Martin Sonnenborg oprindelig. Magnus: Rimeligt nok. Jeg kan ikke huske hvad han gjorde med os. Hvad er så - så har vi nævnt to alternativer nu. Man kan enten give dem formlerne uden at have givet dem beviser eller noget, og så bede dem om at bruge formlerne - Lærer 1: Ja. Den her gang har jeg prøvet - Magnus: eller bede dem om at sætte ind i et program? Lærer 1: Ja, og så er det jeg har prøvet med valgholdet denne her gang, det er så at snakke om gennemsnitlig væksthastighed. Altså at - at have en... Altså, jeg brugte Usain Bolt som eksempel. Så har man datapunkterne fra et eller andet 100-meter-løb, ikke. Så for hver 10 meter, så ved man hvor lang tid der er gået, så man kan tegne sådan en fin kurve. Og så kan vi selvfølgelig godt regne gennemnitshastigheden ud, det er jo bare sidste punk, divideret, x- og y-koordinat divideret, ikke. Så får vi hastigheden i gennemsnit. Men så kan man se, at hvis man tegner den, jamen så går den jo sådan her [S-formet]. Så det må jo faktisk betyde, at på et eller andet tidspunkt, så har 6

7 han jo faktisk været hurtigere end sin gennemsnitshastighed. Hvad kan vi egentlig sige om sådan en kurve? Så kan man jo prøve at fitte et tredje- eller fjerdegradspolynomium til de dér punkter, og så sige, jamen... Magnus: Det så jeg godt. Det var i den første klasse vi var i. Lærer 1: Ja. Men så kan man sige, jamen hvad kan vi så? Så bliver tricket jo at, at så... Og det er jo så det rigtigt svære for dem, det her: At gå fra grafisk repræsentation af et eller andet emne til en algebraisk repræsentation af det. Og det har mange, mange elever svært ved. Det dér med at gennemskue at grafer og udtryk egentlig er ens, altså at en funktion har en graf, og en graf - i citationstegn - har en funktion, ikke, der kan jo være mange funktioner der har den samme graf. Magnus: Så det med at man har fittet et fjerdegradspolynomium, det er abstrakt, fordi det så er at man har en ligning for den her ting som man bare fyrer ud af grafen, eller hvad? Lærer 1: Ja. Magnus: Nå. Lærer 1: Men jeg synes lidt at man er nødt til at gå den dér vej over, fordi at - de skal jo vide at, vi har jo den her virkelighed, vi kan godt regne gennemsnittet, men så skal du være parat, for hvert eneste mellemrum kan du sige noget om gennemsnitshastigheden, ikke. Fra 10 til 20 meter, fra 20 til 30 meter og så fremdeles, ikke. Magnus: Det kunne jo være en, en intro til det dér med differentialkvotienten. Lærer 1: Lige præcis. Magnus: Så starter man med en differnskvotient, og så en mindre differenskvotient, og så en mindre? Lærer 1: Ja. Men det er lidt det jeg har prøvet at lægge op til. Og jeg har også fået sagt til dem at vi skal gøre det dér. Så det næste trin, det bliver at vise nogle meget meget simple funktioner. For eksempel at konstante funktioner har kontstant hældning. Ja, lineære funktioner har også konstant hældning, bare på en anden måde. (latter) Magnus: Mm. Lærer 1: Og så bliver kronen på regnestykket nok x 2, have vist den. Magnus: Vist? Det vil sige bevist? Lærer 1: Bevist differentialkvotienten for x 2. Og så, alt afhængig af hvor gode de er, så kan vi altid tage x med, og så stopper vi der, fordi så har man nok til mundtlig eksamen. Magnus: Ja, hvis det bare er på B-niveau. Lærer 1: Hvis det bare er på B-niveau, og de har je ikke andet end sum-regler og skalar gange funktion regel. Det er sådan cirka de to regneregler der er de skal kunne. Der er ikke nogle produktregneregler eller brøkregneregler eller sammensatte funktioner eller... 7

8 269 Magnus: Når man har haft matematik i længere tid, så er det jo det virkelig 270 det nemmeste, det dér. 271 Lærer 1: Ja, men jeg har det sådan, med brøkregneregler, den bruger jeg ikke, 272 jeg bruger sammensat funktion, jeg kan ikke huske den dér brøkregneregel. 273 Magnus: Jeg plejer at bruge produktreglen, og så tage den ene som invers. 274 Lærer 1: Det kan man også. Magnus: f 1. Det giver det samme. g 276 der bruger du faktisk også kædereglen. 277 Magnus: Ja. Lærer 1: 1, det er en sammensat funktion. g 279 Magnus: Ja, det kan du have ret i. 280 Lærer 1: Jeg har ret. 281 Magnus: Ja, ja. 282 Lærer 1: Men det er jo også måden at gøre det på, fordi der er jo ikke den 283 dér... Problemet med den dér brøkregneregel, det er jo en af de dér formler 284 vi har i matematik, hvor formlen i virkeligheden snørrer - nok er en større 285 snublesten end bare at lære sig en fornuftig teknik, fordi formlen, den, den 286 har et minus i sig, så derfor, hvis du ikke husker rækkefølgen med de dér ting, 287 så vil du automatisk komme til at lave en fejl. 288 Magnus: Mmm. Og så får man det omvendte af det man skulle have fået. 289 Lærer 1: Ja, så får man man i hvert fald en eller anden fortegnsfejl, og så 290 giver det en regnefejl, og så får du noget andet end det du egentlig skulle 291 have fået. 292 Magnus: Mm. Ja, som sagt, jeg har aldrig brudt mig om den. 293 Lærer 1: Nej, jeg kan ikke - som sagt, jeg kan ikke rigtig huske den. Jeg 294 kunne sikkert sætte mig ned og udlede den, men det er ikke sikkert jeg kan 295 huske den. Men det er en af de dér steder hvor vi har en formel der faktisk ikke 296 hjælper nogen. En anden type af de dér formler der heller ikke hjælpen nogen, 297 det er formlen for toppunktet i et andengradspolynomium. Fordi x-værdien, 298 OK, den kan måske gå an. Men y-værdien, den har et d, og d, den har et 299 minus et eller andet sted derinde. 300 Magnus: b 2 4ac. 301 Lærer 1: Ja, ikke. Lige præcis, ikke. Det eneste den gør, det er at folk kommer 302 til at regne forkert. Og det er faktisk det der er problemet med den. Altså, det 303 er jo ikke... Altså, y-koordinaten for sådan en dér i et andengradspolynomium 304 er fuldstændig håbløs, fordi, hvad skal du bruge den til? Du har en funktion. 305 Sæt x ind og regn ud. Det er da en smartere løsning. Du har den dér f, de 306 spytter y-værdier ud. Hvorfor opfinde en formel? Hvorfor huske en formel når 307 du har fået den opgivet, den der skal gøre det for dig? 308 Magnus: Ja. Du kunne også bare finde x ved at sætter f (x) lig med nul. 309 Lærer 1: Ja. Men det kræver at du så kan differentialregning. 8

9 Magnus: Ja, det er rigtig nok. Og så ville man ikke engang have brug for x-formlen. Lærer 1: Nej, det er det. Altså, det er også det jeg prøver at lære dem. Men der er nogen, de, de er meget glad for formler. Og så må jeg sige, så er det også fair nok, hvis du er god til formler, og det er det du - fungerer for dig, så ville det jo være dumt at sige til eleven, at det skal de lade være med. Og der er nogle, de hænger meget fast i, at jamen der er en formel, så bruger vi den, i stedet for at lære en teknik. De accepterer ikke at en metode nogle gange er lettere at huske end en formel. Magnus: Hvor længe varer sådan et forløb om differentialregning? Lærer 1: Et sted mellem 20 og 25 moduler, af halvanden time. Magnus: Så det er omkring 10 uger? Lærer 1: Omkring 10 uger. Det er en tredjedel. Det er... Jeg har cirka 75 moduler, på sådan et, et B-niveau, så det er sådan et sted mellem - næsten en tredjedel, jeg bruger på det. Og det er simpelthen fordi det kræver så meget øvelse. For - det, det er et kompliceret emne. Magnus: Ja. Hvis jeg skal være gymnasielærer, tror jeg jeg skal vænne mig til at de ting som er enormt nemt nu, det skal ligesom være noget der forklares meget grundig fordi det absolut ikke er nemt for dem. Det føles virkelig underligt at sådan noget som plusreglen for differentiallign- nej, for differentialregning. Det er jo noget af det nemmeste overhovedet. Du tager den ene differentialkvotient plus den anden differentialkvotient. Lærer 1: Ja. Men det er jo fordi at, du... Vi er jo der hvor vi er utrolig trænet til at læse symboler, så - Magnus: Ja. Lærer 1: Og det gør vi jo utrolig hurtigt, og vi har en utrolig hurtig forståelse af det, og det er jo mange, mange års træning. Magnus: Ja. Lærer 1: Og det har de ikke. Altså, at læse sådan et symboludtryk, det kan være en hindring for mange af dem. Fordi, det er jo ikke tal. Så... Jeg synes det er nemt, altså jeg... Men det er ikke det samme som at de synes det er nemt. Magnus: Hvad - hvad gør he - hvis du kan mærke at de ikke er med, når du står og er i gang med at fort- fortælle et eller andet? Hvis du stiller dem et eller andet spørgsmål, og der bare er stilhed i salen, for eksempel? Lærer 1: Uha, ja. Det er - det er den værste, for så ved man s gu ikke rigtig hvad der er problemet. Så gør jeg typisk det, at jeg gør mig færdig, og så stiller jeg nogle opgaver, og så går jeg rundt, og så hører jeg, ud fra hvor de har problemer med opgaven går jeg ned og ser om de er med på hvad de skal og så videre. Så kan jeg høre hvad det er der går galt. Hvor den er hoppet af, som regel. Og det kan gøre at jeg nogle gange, så er det noget helt andet end 9

10 jeg lige havde gættet på det ville være. Det kan simpelthen være at jeg havde skrevet et syvtal der ligner et ettal. Magnus: (Fnisen.) Ja det var en god grund. Lærer 1: Jamen det kan være nok. Så... Men det kan nogle gange bare være nok til at stoppe nogen i tankegangen. Så det - det kan være - det... Jeg har det sådan lidt, at hvis de ikke siger noget, altså så kan jeg ikke tvinge dem. Altså, jeg kan ikke tvinge dem til at hive - at komme frem til noget. Så må vi jo, så må vi gøre noget andet, så må det være at de får lov til at sidde nede og kikke på det, og så går man rundt og så... Magnus: Jeg havde selv den oplevelse for nylig, da jeg lige fik lov at... Ja, det var måske faktisk med det dér, med plusreglen. At så beviste jeg plusreglen, og så gav jeg dem et eksempel på plusreglen, og så spurgte jeg: Hvad giver det her så?, og de havde lige set begge to eksempler før som vi plussede sammen, så det var sådan set bare at anvende det de lige havde fået at vide. Og så var der dyb tavshed. Lærer 1: Jamen det er meget normalt. Så må man sådan presse dem lidt: Fint, så sætter vi jer parvis, og så prøver vi at finde ud af det hér, og så går jeg lige rundt og hjælper jer. Magnus: [Læreren] var inde på at beviset i virkeligheden gjorde det sværere at huske reglen. At når man først har bevist eglen, så har man mindre... Hvad hedder det - Så er man mindre sikker på at reglen gælder. Lærer 1: Heh, ja. Det kan der være noget om. Fordi der er bleven stillet spørgsmålstegn ved dem. Magnus: (Latter.) Ja, måske er det det. Bare at man har overvejet om den nu også var rigtig. Og så er nået frem til at det var den. Lærer 1: Jamen, altså dybest set, ikke, altså... De kan jo hurtigt indse at den er rigtig. Du er på et tog, toget kører 200 kilometer i timen. Du bevæger dig fremad i toget med 6 kilometer i timen. Udenfor, hvad for en hastighed bevæger du dig så med? Magnus: 206, vel? Lærer 1: Ja. Det er plusreglen. Magnus: Ja... Ja. Lærer 1: Det er så ikke helt rigtigt fordi der er noget relativistisk bla-bla-bla, som du så ikke rigtig kan måle alligevel, altså. Magnus: Fedt, sådan har jeg ikke tænkt på det før. Lærer 1: Nej, det havde jeg heller ikke før for en måned siden. (Latter.) Magnus: Var det noget du selv fandt på? Lærer 1: Nej, jeg kikkede i en bog, og så var der sådan et eller andet hvor de skulle gange nogle tal, og så kom de så med det dér eksempel til en. Det var jo et godt eksempel! Tænk på dét. Magnus: Ja. Fedt eksempel. 10

11 Lærer 1: Ja. Men det er jo plusreglen. Du har én hastighed, det er jo f, og du har en anden hastighed, det er jo g, og hvad siger den? Jamen den siger du kan lægge dem sammen hvis funktionerne er lagt sammen. Magnus: (Latter) Jeg har set noget hvor man så tog en ekstrem version af den, hvor man var - havde noget med - en ting, som bevæger sig på en ting, som bevæger sig på en anden ting, og så et eller andet med et rumskib i et rumskib i et rumskib på et tog, eller et eller andet åndssvagt, og så kan man bevæge sig hurtigere end lynets fart. Lysets fart. Lærer 1: (Latter.) Ja. Okay. Magnus: Det kan man nok ikke. Lærer 1: (Latter) Nej. Det lyder rimelig fjollet. Magnus: Meget. Det er en hjemmeside dedikeret til åndssvag logik som ikke giver mening. Sidste ting som jeg gerne ville spørge dig om... Jeg har selv haft positive oplevelser med Martin som gav mig et eller andet avanceret. Jeg nævnte det dér med Weierstrass-definitionen. Har du nogen erfaringer med at det er godt eller skidt at give dem noget som ligger udover pensum? Simpethen som en smagsprøve? Lærer 1: Øhm... Jeg tror at grunden til at du har fået noget der ligger udover pensum, det er at du har vist interesse for det. Magnus: I det tilfælde var det faktisk fordi at han skrev det op på tavlen og ikke rigtig brugte det alligevel. Bare s- skrev det op som sådan en Hey, se her noget fjollet jeg har skrevet!. Lærer 1: Men, men det er meget forskelligt. Der er nogle, de - Altså når man har... Det er meget forskelligt. For eksempel, hvis jeg har et A-niveau, så vil jeg have større tilbøjelighed til at gøre det end hvis jeg har et B-niveau. På B-niveauet, der er der jo nogle elever der sidder der, som dybest set er panisk angst overfor matematik og alt hvad der har med matematik at gøre. Magnus: Ahh... Så skal man nok ikke virke alt for skræmmende. Lærer 1: Nej, så prøver man at være venlig. Men der kan så også sidde nogen rigtig dygtige nogen. Og så er det at jeg måske en gang imellem gør det at jeg stille flere opgaver end jeg forventer at regne, og så de sidste opgaver, de er lidt sjovere. Eller lidt mere udfordrende. De svage når aldrig hen til dem, og de dygtige, de kører igennem de hurtige, og så kan de nå frem til dem. Og så kan de jo selv overveje om de orker at bruge tid på det eller ej. Magnus: Og det var dem som var - hvis man gerne vil have tolv? Lærer 1: Ja. Så jeg har det sådan lidt, at der er nogle opgaver dér, altså jeg er jo meget ærlig om, at der er nogle opgaver... Jeg forventer ikke at I kan løse alle opgaverne. Jeg forventer at I prøver at løse så mange I kan, og så bruge de dér elevtider de har til det, og når de så har gjort det, så afleverer I det, og så må det være det. Det er kun... Det er også til tolvtalseleverne. Jeg havde nogle meget meget ambitiøse piger sidste år. Og det blev et problem 11

12 for dem, at de brugte syv, otte timer på en fem-timers aflevering. Fordi, det havde de jo ikke til eksamen. Så, og så fik de jo stress over at de brugte så lang td på det, og de havde også alle mulige andre afleveringer de skulle lave også. Magnus: Så det var fordi de var for grundige? Lærer 1: De var meget grundige, og de havde store ambitioner. Magnus: Det kender jeg godt. Lærer 1: Og så er man lige pludselig i den dér situation, når man så sidder til eksamen, så er der fem timer, punktum. Magnus: Mm. Så kan man være grundig i starten, og så, når man frem til, at når man er nået den første tredjedel, så har man brugt halvdelen af tiden. Det har jeg prøvet et par gange. Lærer 1: Ja, og det er også derfor at jeg en gang imellem underviser i besvarelsesteknik. Det ved jeg godt, det har ikke en skid med matematik at gøre, men grunden til at jeg gør det, det er simpelthen, at svage elever kan have meget godt af at vide, at hvis jeg gør det her, så går det nogenlunde godt. Og så kan de hurtigt få løst nogle opgaver, hurtigt få nogle point, og så kan det være at de kan komme til at løse nogle af de opgaver der er mere bøvlede. (En kikker ind ad døren, for tredje gang.) Hej! Åbenbart et populært lokale. Magnus: Åbenbart. Det er ikke nogen af dem som skulle have undervisning her, vel? Lærer 1: Næh. Magnus: Hm. Mærkeligt. Lærer 1: Jeg tror bare det er fordi at der er nogler der tænker: Gad vide om - jeg skal lige sidde et eller andet sted, eller et eller andet. Magnus: Ja. Lærer 1: Og det ser ud til at være frit. Magnus: Vi kunne også godt have valgt et mindre lokale, hvis de overhovedet findes. Lærer 1: Det gør de, men det bliver sikkert brugt. Magnus: Det er nok også ligemeget nu, for jeg tror ikke jeg har mere at spørge dig om. Lærer 1: Nej. Magnus: Så... Jeg stopper den. 12

13 Interview med Lærer Magnus: Hvor længe siger du du har været matematiker? Matematiklærer? Lærer 2: Matematiklærer, det har jeg været i hvad, 5-6 år nu. Jeg kan ikke huske det helt præcist. Magnus: Okay. Har du undervist mange B-niveau-hold? Jeg skal have differentialregning som et case. Lærer 2: Årh, hvor mange B-niveau-hold? Jeg startede med et B-niveauhold. Jeg tror jeg har haft... Jeg har haft et B-niveau-hold, jeg har fået et B-niveau-hold næsten hvert år. Så... Sådan 4-5 B-niveau-hold. Magnus: Øhh... Hvordan plejer du at starte? Med differentialregning? Lærer 2: Differentialregning? Nu skal jeg lige huske tilbage. Det er forskelligt, men differentialregning, jeg tror jeg plejer generelt at starte med egentlig at bare intro- Jeg har prøvet, faktisk, på den måde, nu skal jeg se om jeg kan huske tilbage, det er et stykke tid siden jeg har været her sidst. Øhmm... Hvordan gjorde jeg sidst? Det er lidt forskelligt. Nogle gange, så starter sådan set med at... Jeg har prøvet begge dele - Jeg har prøvet blandet - Jeg starter med bare at præsentere det som formler, ikke. Altså, man har den her, og så flytter man den dér ned. Magnus: Bare præsentere formlerne... Lærer 2: Ja, formlerne, bare altså, når der står f [ f mærke ], betyder det bare at man skal skal gøre det her, ved f.eks. potens, ikke, altså, gå ned foran, trække 1 fra deroppe. Magnus: Så uden at forklare hvad f så er? Lærer 2: Ja, uden at forklare hvad det er, og så kommer jeg så senere til hvad det er. Bare for at se, kunne de bedre håndtere det, ikke. Men altså, jeg tror, det jeg har gjort mest, det har nok været hvor jeg netop starter med... Jeg plejer at tegne en kurve der er gået op og ned. Og så tager jeg og siger, nu har vi jo to punkter her, Dung dung [Tegner i luften], og så kan vi tegne en lige linje mellem dem. Magnus: Mm. Differenskvotient. Lærer 2: Ja. Eller sekant, ikke. En tydelig sekant, hvor man tydeligt kan se, at den... Og jeg siger, vi kunne i teorien også godt tegne en enkelt linje, der lå i punktet her, ikke. Problemet er, man kan ikke tegne en linje i punktet og snakke lidt om, ikke, fordi, så ville den bare dreje rundt. Men nu har vi den hér pæne graf, og siger, vi lige en linje, noget der bare lige går ind og akkurat rører, og ikke andet. En der går ind og rører, og ikke andet. Netop derfor, som egentlig er hældning i punktet, ikke, og siger, okay, men vi kan jo godt se, at de dér to linjer, de minder jo ikke om hinanden. Men nu vil vi så prøve at flytte den ene linje lidt nærmere på, ikke. Sekanthældningen dér. Og så kan vi godt se efterhånden kommer tættere og tættere på, så kommer de til 13

14 at minde mere om hinanden, de dér to. Det er næsten nemmest at se det selv på et stykke papir. Magnus: Det kommer bare ikke med i interviewet. Lærer 2: Nej, men det er fint nok. [Tager et stykke papir] Nå, det er der ikke nogen der skal bruge til noget, det hér... Ikke, for hvis vi har et punkt her, se, vi kan gå ind og tegne en linje der akkurat rører, og ikke andet. Det kan de godt følge med. Den rører kun lige grafen, og ikke andet. Og så har man en herovre, en sekant... [Tegner en parabel med toppunkt, tangent før toppunktet, sekant der rører begge sider af toppunktet.] Sekant og tangent, jeg kalder dem hvad de i er, ikke. Magnus: Og så i første omgang, så ligner de overhovedet ikke hinanden? Lærer 2: Så ligner de ikke hinanden. Så siger du, nu prøver vi, det her punkt her, det flytter vi lidt nærmere, herover [Tegner ny linje]. Man kan både gøre det ved hjælp af Nspire og GoeGrebra, hvor man har lavet den, og så kan man så flytte den dér, ikke. Så tegner vi endnu en linje, og kan sige, jamen den hér minder lidt mere om den anden, det kan de godt gå generelt gå med på. De minder meget om hinanden. Så siger vi, nu prøver vi at flytter den lidt nærmere, og så ser vi, nu minder den endnu mere om, og vi siger, hvis vi nu flytter den helt ultra-tæt på... Jeg plejer altid at tage det som eksempel i Nspire, at uanset hvor meget vi zoomede ind, så ville vi ikke kunne se forskel på de to punkter. Der er stadig to punkter, de ligger bare så tæt på hinanden vi kan zoome ind i en uendelighed, og de vil stadigvæk ikke [kunne kendes fra hinanden]. Så kan du godt- Så ville det rent faktisk være den samme linje. Magnus: Har man lært dem om grænseværdier på det tidspunkt? Lærer 2: Jeg plejer at springe grænseværdier over. Der er for få der kan forstå grænseværdier. Magnus: Mm. Jeg må også indrømme at jeg ikke forstod det første gang jeg havde om det. Lærer 2: Det er også fair nok, der er for- Men jeg springer hele grænseværdier over, jeg siger bare, de ligger så tæt på hinanden at vi ikke kan kende forskel. Magnus: Og det er en anden måde at sige vilkårligt tæt? Lærer 2: Ja, det er en anden måde at tale om grænseværdier, uden at nævne grænseværdier. Magnus: Jamen det er smart nok. Lærer 2: Ja, altså hvor de bare ligger uendeligt tæt. Jeg kan sige, okay, det er ikke til at se forskel. Jeg plejer også at sammenligne med hvis jeg tog de to elever I ser, og skubbede jer sammen, ikke. [Latter] Så hvis den ene hed Emma, for eksempel, og den anden hedder Freja, så blev det tid Fremma, eller Emja. Ikke, altså, og det er mest fordi, så kan vi godt blive enige om, så ligger de uendeligt tæt på hinanden, men jeg har stadig to punkter. Og det er sådan set sådan jeg egentlig starter med netop differentialregning, ikke. 14

15 Og så netop med at præsentere, hvad er det egentlig vi forstår, og så sige, det vi egentlig er interesseret i, det er netop hvor de ligger uendelig tæt på hinanden; og det er netop den vi, så at sige, kikker lidt på. Netop som f (x). Magnus: Og det er efter du har vist dem de dér formler til beregning af f (x)? Lærer 2: Nej, jeg har gjort det begge veje. Magnus: Okay. Lærer 2: Med A-niveauerne... Det er selvfølgelig B-niveau vi skulle snakke om, men med A-niveau, der tog jeg netop og startede med bare at vise formlerne, der er nogle regnemetoder vi har her. Med B-niveauerne plejer jeg faktisk at starte med bare at vise den hér tegning. Og så gå ud fra den. Magnus: Er det ud fra en formodning om at A-niveauerne har nemmere ved at læse formler? Lærer 2: Ja, nu kan man sige - Det eneste A-niveau jeg har været ude for- Jeg har haft opgraderingshold fra B til A. Der skal man jo ikke, ved du nok, fortælle dem om (?) - man kan relatere det, men det er dét. De A-niveauer jeg har i øjeblikket, det var... Det er svært at sige om det er kendetegnende for en A-niveau-klasse, men de har været rimelig skarpe. De er generelt sjovere end... Når man normalt plejer at vise eksempel, så plejer man altid at vise eksempel med tal først. Men de har næsten siden 1.g, når de har - De vil helst se eksemplet med bogstaver først, og så vil de have eksemplet med tal. Magnus: Nå? Det lyder som om det er gode tegn. Lærer 2: Ja, det er gode tegn. Så derfor har jeg generelt vist også se, nu har jeg bare regnemetoderne, og så kommer vi ind på forklaringen på, hvorfor opstår de her regnemetoder, ikke. Magnus: Og så måske til sidst beviset? Lærer 2: Ja. Fordi, så kan man lettere hoppe den dér lidt baglænse vej ind, men hvor du egentlig har, Okay, her har du metoden, dum, og så har du beviserne, og så kan vi sige, hvad er det egentlig helt præcis den fortæller. Magnus: Så lyder det som om du har nogenlunde frie tøjler til at bestemme hvad der skal ske i hvilken rækkefølge. Lærer 2: Mere eller mindre, ja. Jeg vil sige, med B-niveau giver det mest mening lige at forklare lidt: jamen hvad er det i virkeligheden vi kikker på? Og det er jo sådan set hvor jeg siger, vi har bare en eller anden hældning i et punkt. Det er ikke et punkt vi kan måle hældningen i et punkt. Der plejer jeg altid at tage en kæmpe lineal og sige: Hvis vi har et punkt her, så kan I godt se, så kan jeg snurre den her lineal, så der er masser af hældninger. Uendelig mange hældninger. Så derfor, så er jeg nødt til at have de her to punkter. Det gør så også, når man så skal til at vise formlen for netop, hvad er det nu det hedder f (x) lig med differential- differenskvotienten, ikke? Magnus: Ja - taget i grænseværdien. 15

16 Lærer 2: Ja, taget i grænseværdien. Så kan du nemlig præsentere dem som at være lig med, og sige: Jamen, okay, vi kender jo, vi ved jo... Vi ved jo fra, da vi havde om linearitet, der havde vi den dér standardformel for a lig med y 2 minus... - og så siger vi, så i stedet for at kalde det her for y 2, ikke, så ændrer vi det til dét her, x ændrer vi til dét her. Og så kan vi se, så lige pludselig har vi jo så, i stedet for at have a lig med - Nu kan jeg lige skrive den op a = y 2 y 1. Jamen, i stedet for, hvis vi nu siger: jamen okay. Så i x 2 x 1 stedet for, så får vi så bare, hvad er det nu det hedder... f(x) f(x 0 ) Det er mest fordi, trips, som er den bog vi bruger til B-niveau, den bruger så ikke h eller x 0, den bruger x og x 0, hvor vi siger: Jeg har et eller andet vilkårligt punkt, som jeg flytter tættere og tættere på det andet. Magnus: Ja. Jamen jeg har set begge notationer. Jeg var lidt overrasket over den med h. Det var først da jeg kom til GSK-faget. Så brugte de h i stedet for x x 0. Lærer 2: Ja. Ja, det forvirrer også nogle elever. Det sjove er at jeg ved, inde på restudy, som jeg også bruger til mange ting, der bruger de x. Magnus: Ja. Jeg har godt set... Lærer 2: Carstensen & Frandsen, som er den bog vi bruger til at undervise i på A-niveau, der bruger de h. Magnus: Jeg kan godt lide den dér [x x 0 ], fordi det ligner x. Lærer 2: Ja, det er også det der er det gode ved den, fordi den bare kan refereres direkte fra den anden. Hvor man kan sige, jeg kalder bare punkt 1 for x 0, det er et eller andet specifikt punkt jeg gerne vil være interesseret i. Og så har jeg et eller andet vilkårligt punkt, der ligger til højre for det, som vi bare kalder x og f(x). Og jo tættere jeg kommer på den, ikke. Så kan du se, jo tættere jeg kommer på den... Magnus: Jo tættere kommer y x så på f (x). Lærer 2: Ja. Magnus: f (x 0 ), sådan set. Lærer 2: Ja, f (x 0 ). Og det, den fatter de lidt bedre. Om ikke andet kan de godt se den grafiske. Der vil selvfølgelig være nogle af de svage, stadigvæk, som - puff [Mimer en uforstående person] Men de ville også til at starte med have haft problemer med dén formel, ikke. Der er nogle elever, der kan man se, der har de svært ved bare at aflæse koordinater. De er altid overbeviste om at x-erne helt, at når man ser to punkter, så er der x 1 og x 2, og så y 1 og y 2. Magnus: Det kunne det da også have været. Så kunne man lade x 1 gå mod x 2. Så er det bare det dér med om x så betyder en værdi af x, eller x taget i et eller andet punkt. 16

17 161 Lærer 2: Ja, men netop at det er meget nemt at komme fra den hér [formel 162 for a] til den hér [formel for differenskvotient], hvor jeg siger: jeg kalder bare 163 mine punkter noget andet. Og så, ud fra den her, så kan vi sådan set også 164 udlede formlen for tangentlinjen, for så ganger vi jo bare over med nævneren 165 på den anden side, flytter f(x 0 ) over, og så har vi en formel. Så man betragter 166 det i virkeligheden bare som en lige linje. 167 Magnus: Hm... Den bog som du sagde at I bruger på B-niveau? 168 Lærer 2: Trips 2. Eller Trips. 169 Magnus: Er det den med bjerglandskab på forsiden? 170 Lærer 2: Ja. 171 Magnus: Okay, det var den som [Lærer 1] snakkede om. 172 Lærer 2: Toeren er suverænt den svageste, så jeg er nødt til at - det er, 173 sådan, meget løsrevet. Men notationen er den samme. En til en. Det er meget 174 vigtigt at følge notationen, for om ikke andet til at eleverne skal slå det op, 175 og man lige pludselig har brugt en anden notation end den de ser i bogen, så 176 ville det forvirre dem totalt, altså. Forestil dig hvis bogen for eksempel netop 177 havde brugt x i stedet for, ikke, som de gør på Restudy. Så er der mange 178 der ikke nødvendigvis kan se, at det her bare i virkeligheden er en forskel. At 179 x beskriver en forskel. 180 Magnus: Det skulle da ellers være nogenlunde til at finde ud af. [Læreren] kalder det for y y. Det kunne så være. Og så skal man bare være enige h x 182 er en forskel. 183 Lærer 2: Ja. Forskel, ja. Fra fysik. Jeg tror det er fordi [læreren], han tænker 184 mere som fysiker, i forhold til, jeg tager - fordi i fysik er altid en forskel. 185 Magnus: Ja. 186 Lærer 2: Men jeg tager bare og griber det an sædan her, fordi, det ved jeg 187 ikke, det er bare fordi, at til at starte med, da jeg stod og fandt på det, der 188 skrev vi det på den hér måde i Trips. Og så valgte jeg så at fortsætte den 189 notation for at fastholde notationen de har fra bogen. 190 Magnus: Hvor meget bruger du bogen? 191 Lærer 2: [pause] Altså, jeg giver lektier for i bogen, men jeg vil sige bog 1, 192 som de bruger på B-niveau - det er så også før differentialregning, ikke - den 193 følger jeg nogenlunde. Jeg tager så det, efterhånden som jeg har undervist et 194 par år, så ved jeg også hvor hullerne er i bogen. Det tror jeg, det er næsten 195 den største udfording de første par år, at finde ud af hvor hullerne er. Jeg kan 196 huske, første gang jeg brugte, også A-bogen, den fandt jeg så ud af, at den 197 var meget rodet. 198 Magnus: Ja. 199 Lærer 2: Grunden til at jeg siger den er rodet, det er for eksempel at lineari- 200 tet står beskrevet tre forskellige steder. Fordi noget af det kobler de sammen 17

18 med vektorer, og det er også fint nok de kobler det sammen med vektorer, men problemet er bare, at du skal dække det alt sammen under linearitet. Så vi plejer altid at have det som grundforløb. Så hænger det sammen med linearitet som en funktion, og ikke som en vektor. Magnus: Så - Det skal man så grave ud af tre forskellige afsnit, eller hvad? Når man skal give dem lektier for? Lærer 2: Ja. Det er derfor jeg synes også, den opfylder også en af de dér dødssynder man kan i matematik, det er en rodet bog. (latter) Så derfor så er der lidt rod dér, plus at lige pludselig, så har det - det er også A-niveaubogen, ikke - lige pludselig, så har de lineære funktioner, så har de vigtige funktioner, og så har de eksponentielle funktioner. Magnus: Vigtige funktioner? Lærer 2: Ja. Det er blandt andet potensfunktionen. Men det er så bare - Betyder det så, at eksponentielfunktionen ikke er en vigtig funktion, eller at den er meget vigtig? Magnus: Ja, det må det nødvendigvis... Måske. Så kunne man sige andre vigtige funktioner, i det mindste. Lærer 2: Ja. Men nej, som sagt med B-niveau, B-niveau, der vil jeg sige, især i 2.g, det er dér hvor jeg afviger meget fra bogen. Fordi, den er sådan lidt... Især hele hans afsnit omkring... Jeg vil sige, han har nogle - beviserne er sådan sen okay skrevet op, men det kræver bare lige at man har forudforståelsen, ikke. Hvis du ikke har forudforståelsen, så er beviserne sådan lidt... Men bog 2 er - Okay, jeg kan godt forestille mig Lærer 1har sagt nogle rigtig grimme ting om bog 2. Magnus: Han er ikke specielt glad for bogen. Lærer 2: Nej. Bog 1 er sådan set okay. Bog 3 er til gengæld glimrende. Fordi den - Især ved - Den gennemgår især differentialligninger på en genial måde, hvor han starter med at sige, jamen okay, vi ved, at den eneste løsning til y = 0, det er en konstant. Og så, derefter, så tager de, så udnytter de så den viden til at sige, jamen okay, så nu har vi, i stedet for y = k, og så kan vi flytte k-et over på den anden side, så der står y k = 0, og så siger vi, nå, men det her er jo sådan set bare, opdager vi, en ny funktion, som består af y og k. Det er nemmere hvis jeg illustrerer det. [skriver ned] Nu her, til at starte med, har jeg flyttet k-et over på den anden side, ikke. Lig nul. Og så siger jeg, det her, det kan jo også, fordi, netop med definitionen på integralregning, det er jo den funktion, der differentieret, når man differentierer den, så får man den oprindelige funktion. Så der siger du, jamen så tager jeg bare og siger, det her, det er jo det samme som (y k) = 0 [y minus k differentieret lig nul] 1 Og så siger jeg, men hov, den her funktionstype kender jeg jo allerede 1 Må vel være (y kx) = 0 18

19 en løsning til. Det var bare en konstant! (latter) Magnus: Lærer 2havde sådan en vittighed med en matematiker som skal lave te. Så han tager og koger noget vand. Og så næste gang han skal lave te, så er der allerede noget vand i kedlen. Lærer 2: Ja, og så hælder han det ud. Magnus: Så hælder han det ud, og så har han samme situation han havde løst én gang. Lærer 2: Ja. Netop, det er den måde den er bygget op, og så bygger den hele tiden tilbage til en situation som du allerede kender. Men det endnu smartere ved det - Det er som sagt den der opgraderede fra B til A-niveau, ikke - det endnu smartere er jo det, at når man laver eksamensspørgsmål, så kan du bare sige selvvalgt bevis, og så kan de så hoppe ind på et eller andet tidspunkt og sige, jeg vil gerne bevise netop hvordan man håndterer logistisk vækst. Formlen for den. Og så kan de bare tage de forrige som forudsætninger, noget man ved. Eller også - fori der skal du nemlig rode lidt mere rundt med den når du skal bevise den. Magnus: Øhh... Grunden til jeg ser forvirret ud er, at jeg ikke helt ved hvad alternativet er. Lærer 2: Ja, nej, der er også nogle alternativer man kan gøre, men de er lidt mere komplicerede, og der er sådan et specielt tilfælde for dem alle sammen. De tager hele tiden, og, i det her tilfælde bygger de hele tiden på det forrige, og så kan man hele tiden sige: Jeg går ud fra, at det her er sandt, og så vil jeg gerne bevise det her. Og hvis man ikke er så dygtig, så kan man bare sige, jamen jeg vil gerne for eksempel bevise netop y = k, ikke, at den netop har løsningen som er en lige linje, og ingen andre løsninger. Magnus: Virker det også hvis man er elev, eller virker det kun hvis man er matematiker? Lærer 2: Det virker faktisk også for eleverne. Fordi der - Jeg havde et hold jeg kørte med, men som sagt et B til A, så vi er lidt udenfor hvad du egentlig spurgte om oprindelig. Og der virkede det faktisk, for der var to af dem der trak spørgsmålet. Den ene af dem to så lidt mere svære, og så tog hun bare og forudsatte at alle de forrige ting var sande. Men altså, der er jo ikke nogen grund til at gå helt i bund. I virkeligheden, hvis man skulle bevise det helt ud, skulle man så sige Jeg viser også, at det her er sandt, og så er det her sandt, ikke. Når man har gjort det, så kunne man gå helt tilbage til Euklids elementer, ikke. Og det er jo lidt fjollet. Så så meget skal man heller ikke dykke ned. Magnus: Vi antager at der findes et tal 0, og at for ethvert tal findes der et tal som er større. Piagets første to, så vidt jeg husker. [Peanos første to aksiomer.] Lærer 2: Ja. Men man kan også gå for langt ned. Men det er ikke - Hvis 19

20 man så har en svag elev, ikke, så kan du bare tage - grunden til at jeg tager det, det er også mere med henblik på eksamen. Mundtlig eksamen. Fordi, der skal de - Der er meget... Problemet er meget, der er nogle spørgsmål, hvis du bare stiller det samme spørgslmål, og du valgte beviset for dem, ikke. Der er nogle der har nemt ved nogle ting, og andre har svært ved det. Og så prisgiver du lidt de lidt svagere elever, ikke. Magnus: Så nu har du givet dem valgmuligheden om at de selv kan vælge hvilket bevis? Lærer 2: Ja. Med udgangspunkt i et selvvalgt bevis. Magnus: Så de vælger selv hvilket bevis fra bogen, eller hvilket bevis i det hele taget indenfor det her emne? Lærer 2: Ja, indenfor det emne. Og jeg har selvfølgelig givet dem et hint om, altså, det her, det er talsbeviser, 4-7-tals og så videre. Og hvis de bare er glade for at bestå, så siger jeg også til dem, prøv at være realistiske i jeres forventninger, ikke. De fleste elever er faktisk realistiske i deres forventninger, ikke. Af og til støder man så på nogen som ikke er realistiske. Men så ved de godt, hvor skal man hen, ikke. Så det er bare sådan, også for at sige, jamen, det her, så forventer man det dér. Magnus: Hvilken slags lektier giver du dem for? Lærer 2: Jeg plejer hovedsageligt at bare give dem læs et par sider i bøgerne, og nogle gange også se en Restudy-video. Og det er sådan set det. Magnus: Så du bruger Restudy aktivt? Lærer 2: Ja. Magnus: Er det ikke et problem at de så har en lidt anden notation end du bruger? Lærer 2: Jo. Jeg vil sige, på B-niveau, der bruger de som sagt x x 0, ikke. Og det er bare så at gøre dem opmærksom på, at når han siger x, jamen så mener han x x 0. Det er en forskel, og så referere til fysik. Netop som du siger, [læreren], ikke. Og på A-niveau, der er det bare at sige, i stedet for h, så bruger han x. (latter) Magnus: Det er alt sammen det samme. Lærer 2: Det er alt sammen det samme. Magnus: I princippet er det ikke noget problem, men alligevel. Lærer 2: Nej, men alligevel, der er mange elever, der... Der er også nogle elever, ikke, hvis du bare erstatter x-et med et t... Jeg kan huske en screening vi plejede at køre for et par år tilbage - vi har så en anden en nu - hvor man skulle opstille en... Det er en eller anden der ringer til en - mand der ringer til en læge, og så skal man så opstille en formel for, hvad er det nu det hedder, hvor meget skal man betale for at ringe til lægen, hvor man får at vide hvor meget det koster per time. Og så siger den, du skal kalde antallet af timer han taler for t. Og det er der mange elever, der overhovedet - ja, nu kan man 20