Nanostatistik: Middelværdi og varians

Transkript

1 Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28

2 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer, X(ω) = antallet af blade på træet ω Sandsynlighedsfunktion (tæthed) og fordelingsfunktion: f X (x) = P(X = x), F X (x) = P(X x) To stokastiske variable: simultan sandsynlighed og betinget sandsynlighed P(X = i Y = j) = P(X=i,Y =j) P(Y =j) Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 2/28

3 Kaste to mønter P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p P(Y = 1) = q, P(Y = 0) = 1 q, P(X = 1 X + Y = 1) = P(X=1,Y =0) P(X=1,Y =0)+P(X=0,Y =1) = p = q : 1 2 q = 1 2 p : uafhængige P(X=1,X+Y =1) P(X+Y =1) = p(1 q) p(1 q)+(1 p)q 1 1 p p+1(1 p) = 1 1p 2 3 p, p = 1 2 : θ = p 1 p, λ = q θ 1 q, P(X = 1 X + Y = 1) = θ+λ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 3/28

4 Gevinst i mange spil Spil: Taber 1 kr ved plat, vinder 1 kr ved krone Ét spil: Enten gevinst eller tab Mange spil?: Er der tab i det lange løb? n spil: vinder i k n og taber i n k n gennemsnitlige gevinst: jvf "fysiske" definition af ss [1 k n 1 (n k n )]/n = 1 kn n 1 (1 k n n ) 1 P(plat) 1 P(krone) Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 4/28

5 Middelværdi af diskret sv Definition på middelværdi af diskret stokastisk variabel E(X) = i i P(X = i) Middelværdien er en egenskab ved ss-fordelingen Fortolkning: gennemsnitlige værdi ved mange uafhængige gentagelser Hvis Ω=population og P er tilfældig udvælgelse omtales E(X) som populationsgennemsnittet. Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 5/28

6 Chevalier de Meré Spil: 24 kast med 2 terninger { 1 mindst én dobbelt sekser X = gevinst = 1 ingen dobbelt sekser Hvad er den gennemsnitlige gevinst i det lange løb? E(X) = 1 P(..) 1 (1 P(..)) Chevalier de Meré ( 1650) fandt empirisk (!) at E(X) < 0 eller P(..) < 1 2 Han havde ellers beregnet at P(..) > 1 2 Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 6/28

7 Chevalier de Meré P(ingen dobbelt 6-er) = ( ) = E(X) = P(mindst én) = 1 ( ) = Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 7/28

8 Bernoulli variabel P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p X 2 = X, E(X 2 ) = E(X) = p V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = p p 2 = p(1 p) Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 8/28

9 Middelværdi=ligevægt Vægtstangprincip: 1 kg placeret i afstand r fra omdrejningspunkt har samme effekt som 2 kg placeret i den halve afstand Den samlede effekt af masserne m 1,...,m k placeret i afstandene r 1,...,r k er m 1 r 1 + m 2 r m k r k Placer massen P(X = i) i punktet i: hvor skal vi placere omdrejningspunkt o for at få ligevægt: P(X = i)(i o) = 0 i i ip(x = i) o i P(X = i) = 0 E(X) = o 1 = o Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 9/28

10 Middelværdi af en funktion af X Lad Y = h(x) med h : N N P(Y = j) = i:h(i)=j P(X = i) E(Y ) = j = j = i j P(Y = j) = j i:h(i)=j 1(h(i) = j)jp(x = i) i 1(h(i) = j)jp(x = i) = h(i)p(x = i) j P(X = i) E(h(X)) = i h(i)p(x = i) Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 10/28

11 Regneregler Lad a og b være konstanter: E(a + bx) = i (a + bi)p(x = i) = a i P(X = i) + b i ip(x = i) = a + be(x) Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 11/28

12 Regneregler Lad h : N N R E(h(X,Y )) = i,j h(i,j)p(x = i,y = j) E(X + Y ) = i,j (i + j)p(x = i,y = j) = i i j P(X = i,y = j) + j j i P(X = i,y = j = i ip(x = i) + j jp(y = j) = E(X) + E(Y ) Middelværdi af sum er sum af middelværdier Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 12/28

13 Geometriske fordeling P(X = k) = p k (1 p), k = 0, 1, 2,..., 0 < p < 1 X = første gang vi får plat (1 θ) n k=0 θk = (1 + θ + θ θ n ) (θ + θ θ n+1 ) = 1 θ n+1 n k=0 θk = 1 θn+1 1 θ, k=0 θk = 1 1 θ n k=0 kθk 1 = (n+1)θn 1 θ + 1 θn+1 (1 θ) 2, k=0 kθk 1 = 1 (1 θ) 2 E(X) = k=0 kpk (1 p) = p(1 p) k=0 kpk 1 = p(1 p) (1 p) 2 = p 1 p Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 13/28

14 Geometriske fordeling E(X 2 ) = k=0 k2 p k (1 p) = k=0 k(k 1 + 1)pk (1 p) = p 2 (1 p) = 2p2 (1 p) (1 p) 3 k=0 k(k 1)pk 2 + E(X) + p 1 p = 2p2 (1 p) + p 2 1 p V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 2p2 (1 p) + p 2 1 p p2 (1 p) = 2 p (1 p) 2 Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 14/28

15 Kontinuert sv Husk P(X [x ɛ 2,x + ɛ 2 ]) f X(x) ɛ E(X) = xf X (x)dx værdi P(værdi) Regneregler som før Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 15/28

16 Uniform fordeling Vi betragter den uniforme fordeling på intervallet [0, 1]. Denne har tæthed 1 på [0, 1] og 0 ellers. E(X) = 1 0 x 1 dx = [1 2 x2 ] 1 0 = = 1 2 E(X 2 ) = 1 0 x2 1 dx = [ 1 3 x3 ] 1 0 = = 1 3 V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 1 3 (1 2 )2 = 1 12 Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 16/28

17 Varians En statistisk undersøgelse går ud på at vurdere om noget er typisk eller atypisk. Til dette skal vi udover midddelværdi også bruge et udtryk for spredningen omkring middelværdien Definition: Varians V (X) Ex: Kast med en terning. V (X) = E([X E(X)] 2 ) X= antal øjne E(X) = = 21 6 = 3.5 V (X) = (1 3.5) (2 3.5) (3 3.5) (4 3.5) (5 3.5) (6 3.5)2 1 6 = = 2.92 Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 17/28

18 Varians V (X) har ikke samme måleenhed som X. Istedet: Definition: Spredning eller standardafvigelse σ(x) = V (X) Ex: terningekast. Spredning = 35/ Hvordan kan vi forstå spredningen: Grov regel: cirka 30% af observationer afviger mere end 1 spredning fra middelværdien cirka 5% af observationer afviger mere end 2 spredning fra middelværdien Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 18/28

19 Varians Regneregel: Lad µ = E(X): V (X) = E([X µ] 2 ) = E(X 2 2µX + µ 2 ) = E(X 2 ) 2µE(X) + µ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 19/28

20 Regneregler Lad a og b være konstanter V (a + bx) = V ([a + bx {a + be(x)}] 2 ) = E([b{X E(X)}] 2 ) = b 2 E([X E(X)] 2 ) = b 2 V (X) σ(a + bx) = b σ(x) V (konstant) = 0 Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 20/28

21 Regneregler Hvis X og Y er uafhængige så er E[g(X)h(Y )] = i,j g(i)h(j)p(x = i,y = j) = i,j g(i)h(j)p(x = i)p(y = j) = i g(i)p(x = i) j h(j)p(y = j) = i g(i)p(x = i) [E(h(Y ))] = [E(g(X))] [E(h(Y ))] Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 21/28

22 Regneregler Hvis X og Y er uafhængige så er V (X + Y ) = E([X + Y {E(X) + E(Y )}] 2 ) = E([X E(X)] 2 + [Y E(Y )] 2 +2[X E(X)][Y E(Y )]) = V (X) + V (Y ) + 2[E(X E(X))][E(Y E(Y ))] = V (X) + V (Y ) + 2[E(X) E(X)][E(Y ) E(Y )] = V (X) + V (Y ) Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 22/28

23 Regneregler For n uafhængige og identisk fordelte variable: V ( 1 n n X i ) = 1 n 2V (X 1 + [X X n ]) i=1 = 1 n 2[V (X 1) + V (X X n )] =... = 1 n 2[V (X 1) + V (X 2 ) + + V (X n )] = 1 n 2nV (X 1) = 1 n V (X 1) σ( X) = 1 n σ(x 1 ) X = 1 n 4-dobling af n giver halvering af spredning n i=1 X i Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 23/28

24 Kovarians Når X og Y ikke er uafhængige er V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X,Y ) hvor Cov(X,Y ) = E([X E(X)][Y E(Y )]) kaldes kovariansen Korrelationskoefficienten: ρ(x,y ) = Cov(X,Y ) V (X)V (Y ) 1 ρ(x,y ) 1, (ρ(x,y ) = ±1) (Y = a + bx) Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 24/28

25 Kovarians Ex: Kast med to terninger, X = max, Y = sum. Vis R-beregninger E(X) = 4.4, V (X) = 1.97, σ(x) = 1.40 E(Y ) = 7, V (Y ) = 5.83, σ(y ) = 2.42 Cov(X,Y ) = 2.92, ρ(x,y ) = 0.86 Ex: Y = βx + Z, X og Z er uafhængige, β er en parameter E(Y X = x) = E(Z) + βx, V (Y X = x) = V (Z) Cov(X,Y ) = βv (X), ρ(x,y ) = β β 2 + V (Z)/V (X) Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 25/28

26 Fraktil p-fraktilen x p for en fordelingsfunktion F er den værdi af x som opfylder F(x p ) = p og F(x) < p for x < x p I ord betyder dette at x p er det første punkt hvor den kumulerede ss når op på p For en standard normalfordeling (som I ikke kender endnu) er der 97.5% ss for at ligge under 1.96 og 2.5% ss for at ligge over. 97.5%-fraktilen er altså 1.96 Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 26/28

27 Fraktil Ex: Møntkast: X = 1 hvis krone og X = 0 hvis plat 0 x < 0 F X (x) = x < 1 1 x 1 Her kan vi kun finde en 0.5-fraktil (x 0.5 = 0) og en 1-fraktil (x 1 = 1) For en diskret stokastisk variabel er der kun en tilhørende p-fraktil for visse værdier af p. Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 27/28

28 Resume Middelværdi = sum af værdi ss for denne værdi E(h(X) = i h(i)p(x = i) Middelværdi af sum = sum af middelværdier Varians: E[E E(X)] 2, spredning = varians V (bx) = b 2 V (X) Varians af sum af uafhængige = sum af varianser Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 28/28