Hjernens glukoseomsætning
|
|
- Jesper Klausen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hjernens glukoseomsætning Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Indhold 1. Introduktion 2. Teori 3. Matematisk model 4. Teoretiske overvejelser 5. Behandling af måledata 6. Bestemmelse af modelparametrene 7. Bilag 1 Introduktion Studiet af hjernens metabolisme (omdannelse eller omsætning) af glukose (sukker) er vigtig i forbindelse med diagnosticering af en cancertumor i hjernen. 2 Teori I projektet studeres FDG, fluordeoxyglukose, som er et stof, der ligner det almindelige glukose tilstrækkeligt godt til, at det kan anvendes som tracer (sporstof) for glukosemetabolisme i hjernen. Stoffet FDG kan mærkes med det radioaktive flour-18 isotop 1, således at koncentrationen af FDG kan spores og følges i hjernen med en PET-scanner (Positron Emission Tomografi) som funktion af tiden. Ved samtidigt at bestemme koncentrationen af FDG i blodplasmaet kan man ud fra målingerne fra PET-scanneren bestemme glukosemetabolismen i hjernen. FDG, såvel som glukose, transporteres ind og ud af cellerne med en vis begrænset hastighed. Inde i cellerne metaboliseres stofferne ved hjælp af et enzym, hecokinase, til henholdsvis FDG-6-fosfat og glukose-6-fosfat. Forskellen imellem FDG og glukosen er, at glukosen igen ved hjælp af et enzym nedbrydes videre (gennem en citronsyrecyklus) og ender med at blive til vand og kuldioxid, der forlader cellerne igen. I hjernen findes der ikke (eller kun i meget begrænset omfang) et tilsvarende enzym for FDG-6-fosfat, og da dette ikke kan transporteres tilbage over cellemembranen ophobes det i cellerne. Der opnås derved et mål for den mængde glukose, der omsættes det pågældende sted. 1 Fluor-18 omdannes til den stabile ilt-18 isotop ved udsendelse af en positron (positiv elektron). Halveringstiden er 110 min.. Mat1 04/05 side 1
2 3 Matematisk model kompartment model Figur 1: Simpel 2-kompartment model I en simpel 2-kompartment model 2 kan den menneskelige krop opfattes som bestående af 2 beholdere (kompartments): en blodplasma-beholder og en vævs-beholder, se fig. 1. Indsprøjter vi det radioaktive sporstof FDG i blodet, vil sporstoffet i løbet af meget kort tid fordeles rundt i blodplasmaet. Ved at bestemme radioaktiviteten af fluor-18 i en blodprøve, kan man få et mål for koncentrationen C P (t) af sporstoffet i blodet Bq/ml Radioaktivitet af fluor min Figur 2: Radioaktiviteten i blodplasmaet: 0-1 min. Radioaktiviten måles i Bq/ml (bequerel pr. milliliter) 3. I fig. 2 er vist en måling af radioaktiviteten af fluor-18 i blodplasmaet inden for det første minut efter indsprøjtningen i blodbanen. Efter ca. 1/2 min. er det radioaktive stof jævnt fordelt rundt i blodbanen, hvorefter 2 Figuren er hentet fra webstedet [3], der er varmt kan anbefales 3 Måleenheden 1 bequerel er lig med ét radioaktivt henfald pr. sekund Mat1 04/05 side 2
3 koncentrationen C P (t) af sporstoffet i plasmaet begynder at falde langsomt, efterhånden som stoffet trænger ind i det omliggende væv gennem cellemembranen Bq/ml Radioaktivitet af fluor min Figur 3: Måling af C P (t) for blodplasmaet i tiden 0-95 min. I fig. 3 er vist målingen af koncentrationen C P (t) over et samlet tidsinterval på 95 min. I samme tidsinterval vil den samlede koncentrationen C S (t) af radiokativt stof i vævet forøges tilsvarende. Ved hjælp af en PET-scanner, kan man følge ophobningen af radioaktivt stof på et lokalt sted i vævet Bq/ml Radioaktivitet af fluor min Figur 4: PET-måling af C S (t) for den grå hjernemasse i tiden 0-90 min. I fig. 4 er vist den til fig. 3 svarende PET-måling af den samlede koncentrationen C S (t) af radioaktivt stof i den grå hjernemasse. Mat1 04/05 side 3
4 3.2 3-kompartment model Vi skal nu opstille en matematisk model til bestemmelse af koncentrationen C E (t) af FDG i vævet. I forrige afsnit indførte vi en 2-kompartment model for henholdsvis blodplasmaet og vævet. Vi antager nu, at noget af stoffet FDG metaboliseres inde i vævet til FDG-6.Vi indfører derfor en tredie kompartment i vores model, som vi forestiller os, at det metaboliserede stof FDG-6 bliver ophobet i. Koncentrationen af FDG-6 kaldes for C M (t). Figur 5: 3-kompartment model. Den samlede model er vist skematisk i 5. Reaktionskonstanterne for udveksling af FDG imellem blodplasma og hjernevæv er i modellen kaldt K 1 og K 2. Reaktionskonstanten for omdannelsen af FDG-6 i vævet er kaldt K 3. Man kunne i princippet forestille sig, at processen også kunne gå den modsatte vej, således at noget af det oprindelige sporstof FDG kunne gendannes ud fra FDG-6. Reaktionskonstanten for en sådan gendannelse er i modellen kaldt K 4, se fig. 5. K 4 må dog i praksis anses for at være meget lille. Ud fra modellen i fig. 5 kan følgende grundlæggende ligninger for sammenhængen imellem C P (t), C E (t) og C M (t) og de 4 reaktionskonstanter K 1, K 2, K 3 og K 4 opskrives dc E (t) dt dc M (t) dt = ( )C E (t) + K 4 C M (t) + K 1 C P (t) = K 3 C E (t) K 4 C M (t) (1) PET-scanneren kan ikke skelne imellem radioaktiviteten hidrørende fra sporstoffet FDG, det metaboliserede stof FDG-6 eller blodplasmaet. Scanneren måler derfor den samlede koncentration C S (t) af radioaktivt stof bestemt ved C S (t) = C E (t) + C M (t) + V B C P (t), (2) hvor V B er den relative volumenkoncentration af blod i hjernevævet og er af størrelsesorden fra 2% til 4%. For nemheds skyld tillader vi os at sætte V B = 0 i denne opgave. Opgaven går i det følgende ud på at forsøge at bestemme modellens parametre K 1, K 2, K 3 og K 4 på grundlag af målinger af koncentrationerne C P (t) og C S (t). Mat1 04/05 side 4
5 4 Teoretiske overvejelser 4.1 Koncentrationen C P (t) i blodplasmaet Ved indsprøjtning af radioaktivt FDG i blodet er der givet følgende forenklede måledata for koncentrationen C P (t) af radioaktiviteten i blodplasmaet min FDG (3) I første omgang antages det, at koncentrationen C P (t) kan skrives på formen 1. Bestem et skøn for konstanterne a og b givet i (4). C P (t) = ae bt, (4) I de følgende spørgsmål vil vi arbejde med den matematiske model givet ved ligningerne (1) under forudsætninger af, at der er givet følgende værdier K 1 = K 2 = K 3 = (5) 4.2 Koncentrationen C E (t) og C M (t) i hjernen 2. Løs differentialligningerne givet i (1) for hver af værdierne K 4 = 1 10, K 4 = 1 100, K 4 = og K 4 = 0, (6) når det antages, at begyndelsesbetingelserne er C E (0) = og C M (0) = 0, (7) og C P (t) er givet ved udtrykket fundet i opgave 1. Afbild også C E (t), C M (t) og C S (t) = C E (t) +C M (t) som funktioner af tiden t. Kan du ud fra differentialligningssystemet (1) og figurerne 2 og 4 begrunde antagelsen om begyndelsesbetingelserne? Hvilken indflydelse på forløbet af løsningerne har det, hvis det antages, at K 4 er lille? 4.3 Gjedde-Patlak analyse Som tidligere omtalt nedbrydes stoffet FDG-6 ikke, men ophobes i hjernevævet. Det betyder, at man i praksis kan sætte konstanten K4 = 0. Under denne antagelse kan man benytte et Gjedde-Patlak plot, se litteraturen [1, 2], der er en grafisk metode til bestemmelse af Mat1 04/05 side 5
6 Figur 6: Gjedde-Patlak plot. forholdet (K 1 K 3 )/( ). I Gjedde-Patlak plottet afbilder man y = C S (t)/c P (t) som funktion af x = R t 0 C P (τ)dτ/c P (t), se figur 6. Af figuren aflæses hældningen α for asymptoten, asymptotens afskæring q på y-aksen, samt funktionens værdi g og tangentens hældning β for t = 0. Hældningskoefficienten α for asymptoten angives i litteraturen til at være lig med forholdet (K 1 K 3 )/( ). Dette gælder kun, hvis det antages, at C E (0) = C M (0) = 0, som vi skal se i det følgende. Vi har nu, at α er givet ved C S (t) α = lim R t t0 C P (τ)dτ, (8) hvor C S (t) = C E (t) +C M (t). Afskæringen q på y aksen kan findes af ( CS (t) q = lim t C P (t) α R t0 ) C P (τ)dτ C P (t). (9) For g haves g = C S(0) C P (0), (10) og endelig bestemmes tangentens hældning β for t = 0 ud fra Mat1 04/05 side 6
7 β = lim t 0 ( CS (t) C P (t) g ) R t0 C P (τ)dτ C P (t) ( ) CS (t) gc P (t) = lim R t t 0 0 C P(τ)dτ. (11) For at udlede udtrykkene for størrelserne α, q, g og β omskrives differentialligningssystemet (1) på formen C E (t) = 1 dc E (t) + K 1 C P (t) dt dc M (t) dt = K 3 C E (t) (12) idet vi har sat K4 = 0 og isoleret C E (t) i første ligning. Substitueres C E (t) i anden ligning med udtrykket fra første ligningen fås dc M (t) dt = K 3 dc E (t) + K 1 K 3 C P (t). (13) dt 3. Vis ud fra ligning (13), at når begyndelsesbetingelserne er og C P (t) er givet ved C E (0) = C 0 og C M (0) = 0, (14) gælder der udtrykkene C P (t) = ae bt, α = K 1 K 3 + K 3 b a C 0, (15) q = K 2 K 1 b + K 3 1 a C 0 (16) g = 1 a C 0 (17) β = K 1 + (b K 2 ) 1 a C 0. (18) hvor vi ved udledelse af udtrykket for q har antaget, at b <. 4. Lav et Gjedde-Patlak plot for løsningen fundet i opgave 2 for K 4 = 0, og bestem derved et skøn for størrelserne α, q, g og β. Sammenlign de skønnede værdier med værdierne beregnet ud fra udtrykkene givet i ligningerne (15), (16), (17) og (18). Mat1 04/05 side 7
8 5 Behandling af måledata 5.1 Måledata for koncentration C P (t) i blodplasmaet Måledataene for koncentrationen C P (t) i blodplasmaet, der er vist i figur 3, er angivet i bilag 1. Grafen i figur 3 antyder, at der skal to tidskonstanter til at beskrive variationen af koncentrationen C P (t). Denne modelleres derfor ved hjælp af to eksponentialfunktioner C P (t) = ae bt + ce d t, (19) 5. Benyt mindste kvadraters metode til at bestemme et skøn for konstanterne a,b,c og d. Vink: Som startværdi for en numerisk beregning i MAPLE kan benyttes a = c = og b = 0,1 og d = 0,01. Plot de målte data og det fundne udtryk for C P (t) i samme graf. 5.2 Måledata for koncentration C S (t) i hjernevævet Måledataene for den samlede koncentration C S (t) = C E (t) +C M (t) i den grå substans i hjernens højre halvdel er vist i figur 4. Måledata for henholdsvis den grå og den hvide substans i højre og venstre hjernehalvdel er angivet i bilag 2. Opgaven er nu at bestemme et skøn for konstanterne K 1, K 2 og K 3 for hvert sæt måledata, idet vi sætter K4 = Lav et Gjedde-Patlak plot i MAPLE for måledata for C S (t) og bestem derved et skøn for de tilhørende størrelser for α, q, g og β. 6 Bestemmelse af modelparametrene 7. Benyt MAPLE til at bestemme analytiske udtryk for løsningerne C E (t) og C M (t) udtrykt ved konstanterne K1, K2 og K3, når der benyttes udtrykket for C P (t), som er fundet i opgave 5, og når begyndelsesbetingelserne sættes til C E (0) = og C M (0) = 0. (20) 8. Benyt dernæst mindste kvadraters metode til at bestemme et skøn for konstanterne K1,K2 og K3. Vink: Som startværdi for en numerisk beregning i MAPLE kan benyttes K1 = 0,06 og K2 = K3 = 0,02. Indsæt de fundne værdier i den analytiske løsning for C S (t), og plot de målte data og C S (t) i samme graf. 9. Vis, at med udtrykket for C P (t) givet i ligning (19) og begyndelsesbetingelserne givet ved C E (0) = C 0 og C M (0) = 0, (21) Mat1 04/05 side 8
9 kan de karakteristiske konstanter i Gjedde-Patlak plottet, α, q,g og β udtrykkes som α = K 1 K 3 + K 3 q = K 2 C 0 a b + c d K 1 d + K 3 C 0 a b + c d 1 d (22) (23) g = C 0 a + c β = K 1 + ( ab + cd a + c ) K 2 C 0 a + c (24). (25) hvor vi ved udledelse af udtrykket for q har antaget, at d < b og d <. 10. Udregn størrelserne α, q, g og β givet ved ligningerne (22), (23), (24) og (25) ud fra værdierne af konstanterne K1, K2 og K3 fundet i opgave 8. Sammenlign de fundne værdier med de skønnede værdier fundet i opgave Er der forskel på metabolismen af FDG i højre og venstre hjernehalvdel og i den hvide og grå substans? 12. Løs differentialligningssystemet (1) i MAPLE med de fundne værdier for K1, K2 og K3 fra opgave 8 for forskellige værdier af K4. Hvor stor kan K4 højest antages at være, for at man kan se bort fra den? Litteratur [1] C.S.PATLAK AND R.G.BLASBERG: Graphical Evaluation of Blood-to-Brain Transfer Constants from Multiple-Time Uptake Data. Generalizations. J.CEREB.BLOOD FLOW METAB. 5 (1985), [2] J.LOGAN: Graphical analysis of PRT data applied to reversible and irreversible tracers. NUCL.MED.BIOL. 27 (2000), [3] UCLA SCHOOL OF MEDICINE. CRUMP INSTITUTE FOR MOLECULAR IMAGING:Let s Play PET 4 Tryk på linket Visit the Static WWW Version eller Visit the Shockwave WWW Version, og hør skriget når man bliver stukket af kanylen! 4 Let s Play PET! is an award-winning educational CD-ROM illustrating positron emission tomography. It lets the user explore all aspects of PET, from the principles of cyclotron operation to the clinical application of PET in cardiology, neurology and oncology. To view the Shockwave WWW version of LPP (LPP - Shocked) you need a browser that supports Macromedia s Shockwave plug-in. Mat1 04/05 side 9
10 7 Bilag: Måledata Bilag 1. Målt aktivitet C P (t) i blodplasmaet min Bq/ml Bilag 2. Målt aktivitet C S (t) i den grå og hvide substans i højre og venstre hjernehalvdel **** grå grå hvid hvid **** højre venstre højre venstre min Bq/ml Bq/ml Bq/ml Bq/ml Mat1 04/05 side 10
Dosering af anæstesistoffer
Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person
Læs mereTemaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger
Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Rev. 12. november 2009 I denne temaøvelse studerer vi en simpel model for gærglykolyse. Vi starter i Del 1 med at beskrive modellen. Denne model
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereOpholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer
Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Introduktion Strømningsmønsteret i kemiske reaktorer modelleres ofte gennem to ydertilfælde, Ideal stempelstrømning, hvor
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereEksempler på differentialligningsmodeller
1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b
Læs mereDifferentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereFra spild til penge brug enzymer
Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereSalt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet
Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereIntern dosimeteri. Eval Rud Møller Bioanalytikeruddannelsen VIA University College September 2008
Intern dosimeteri Eval Rud Møller Bioanalytikeruddannelsen VIA University Indhold Forskelle på intern og ekstern dosimetri. Enkel beregning Nem beregning ved brug af S-tabel Bedre beregning ved hjælp af
Læs mereØvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i
1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende
Læs mereMini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted
Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereBaggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 A + B C + D
Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 Indhold Kernestof... 1 Supplerende stof... 1 1. Differentialligninger (Baggrundsmateriale til Minigame 3)... 1 2. Reaktionsorden (Nulte-, første- og andenordensreaktioner)...
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereFunktioner - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereMedicinsk fysik. Side 1 af 11 sider
Side 1 af 11 sider Vejledende eksempler på opgaver til den skriftlige prøve i fysik (stx) Fysik i det 21. århundrede Skoleåret 2018-19 Medicinsk fysik Opgaverne Opgave 1 Cyklotron til produktion af tallium
Læs mereProjekt 8.6 Linearisering af data fra radioaktivt henfald
Projekt 8.6 Linearisering af data fra radioaktivt henfald Bemærk, at i det følgende er værktøjet TINspire anvendt. Det kan lige så godt laves i et andet værktøj. En vigtig metode til at få overblik over
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereLøsninger til matematik B-niveau HF maj 2016 April 2017
Løsninger til matematik B-niveau HF maj 2016 April 2017 www.matematikhfsvar.page.tl Cristina Sissee Jensen Side 1 af 4 Løsninger til matematik B-niveau HF maj 2016 April 2017 www.matematikhfsvar.page.tl
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Indhold... 1 Måling af stråling med Datastudio... 2 Måling af baggrundsstrålingens variation... 3 Måling af halveringstid... 4 Nuklidkort. (teoriopgave)... 5 Fyldning af beholdere... 6 Sådan fungerer
Læs mereNuklearmedicin PET og nye sporstoffer
Nuklearmedicin PET og nye sporstoffer Af Thomas Levin Klausen og Søren Holm, Klinik for klinisk fysiologi, nuklearmedicin & PET, Rigshospitalet I nuklearmedicin anvendes radioaktivt mærkede sporstoffer
Læs mereKonstruktion af Splines
Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning
Læs mereProjekt 4.10. Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald
Projekt 4.10. Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald Der findes mange situationer, hvor en bestemt størrelse ændres som følge af vekselvirkninger med
Læs mereMATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk
Læs mereOpgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven
2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx171-matn/a-305017 Tirsdag den 3. maj 017 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs merePeter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9.
Opgave 6 Arealet under grafen udregnes. b) Arealet er givet ved M = 4 0 2x x 2 + 9 dx Arealet udregnes ved at integrere funktionen. M = 25 9 t dt Der er foretaget substitution t = x 2 + 9. [ ] 25 M = Stamfunktionen
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereKulstof-14 datering. Første del: Metoden. Isotoper af kulstof
Kulstof-14 datering Første del: Metoden I slutningen af 1940'erne finder et team på University of Chicago under ledelse af Willard Libby ud af, at man kan bruge det radioaktive stof kulstof 14 ( 14 C),
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 3 FØRSTE MATEMATIKMODULER... 3 KOM I GANG MED MAPLE...
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereLaboratorieøvelse Kvantefysik
Formålet med øvelsen er at studere nogle aspekter af kvantefysik. Øvelse A: Heisenbergs ubestemthedsrelationer En af Heisenbergs ubestemthedsrelationer handler om sted og impuls, nemlig at (1) Der gælder
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx122-mat/a-15082012 Onsdag den 15. august 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereRadioaktivitet og alders bestemmelse af skelletter med Kulstof-14 metoden
Radioaktivitet og alders bestemmelse af skelletter med Kulstof-14 metoden Science Camp for folkeskole elever Skeletter sladrer Folkeskoler Forud for forløbet med folkeskoleeleverne Gynmasieeleverne har
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereMatBio. = r K xy, dx dt. = r xy. (2)
.1 Epidemier. En population (Storkøbenhavns befolkning, fiskene i et dambrug, en bakteriekultur,... ) rammes af en epidemi. Antag, at populationens størrelse er konstant individer. Heraf er individer inficerede
Læs mereDansk Fysikolympiade 2009 Landsfinale fredag den 21. november Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer
Dansk Fysikolympiade 2009 Landsfinale fredag den 21. november 2008 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med i alt 17 spørgsmål. Bemærk at de enkelte spørgsmål ikke tæller
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Indhold... 1 Måling af stråling med Capstone... 2 Måling af baggrundsstrålingens variation... 3 Måling af halveringstid... 4 Nuklidkort. (teoriopgave)... 5 Sådan fungerer et atomkraftværk.... 6
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011
Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 OM DETTE HÆFTE... 3 KOM I GANG MED MAPLE... 4 Et par
Læs mere6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen
6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6. Udledning af prisfunktionen ud fra forskellige oplysninger I sidste kapitel gennemgik vi, hvad du forståelsesmæssigt skal vide om omsætningsfunktioner.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium November 2018 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 OM DETTE
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereOplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A.
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-KEMI OM OSCILLERENDE REAKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Indledning De fleste kemiske reaktioner forløber uproblematisk inil der opnås kemisk ligevægt, eksempelvis
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl stx141-MAT/B
Matematik B Studentereksamen 1stx141-MAT/B-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereFaldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG
Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereDiffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.
Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereNumeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method
Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereSPEKTRUM HALSE WÜRTZ FYSIK C. Fysiks optakt til et AST-forløb om kroppen af Niels Henrik Würtz. Energiomsætninger i kroppen
HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Fysiks optakt til et AST-forløb om kroppen af Niels Henrik Würtz Energiomsætninger i kroppen Kondital Glukoseforbrænding Fedtforbrænding Artiklen her knytter sig til kapitel
Læs mere