Matematiklærerdag 11. marts 2005

Transkript

1 Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen [email protected] Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.1/18

2 GPS og Galileo matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.2/18

3 Baggrund Som en del af den kolde krigs våbenkapløb besluttede US Department of Defense at udvikle et positionssystem, der gjorde det muligt for en ubåd hurtigt og præcist at bestemme sin position og affyre sine våben. Raketter var allerede så præsice, at de kunne ramme, hvad som helst blot de kendte affyringspositionen. Det kostede 12 milliarder US dollars og er nu tilgængeligt for alle. USSR har et tilsvarende militært system. Galileo er et nyt europæisk system under udvikling, der forventes at være i fuld drift i Systemet vil kunne arbejde sammen med og supplere GPS. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.3/18

4 Galileo: Europe shows the way The deployment phase for GALILEO, the European programme of civil radio-navigation by satellite is imminent. It will begin in GALILEO is compatible and interoperable with the American GPS, but will furnish a more precise, continuous and guaranteed signal. It will allow a multitude of applications for the general public and professionals on a worldwide scale as from it becoming operational in The recently operational EGNOS system is the precursor of GALILEO. The economic benefits expected from GALILEO are staggering and explain the commercial attraction of the programme and the commitment of the private sector. Precision, reliability, the multiple applications of GALILEO and its global coverage explain why many third countries wish to participate in the programme. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.4/18

5 Galileo Galileo vil, når det i 2008 er i endelig drift, bestå af 30 satellitter i 3 planer - i nøjagtigt bestemte baner km oppe. Satelitterne er udstyret med præcise atomure, som angiver tiden med stor nøjagtighed - afvigelse højst 10 8 sekund pr. døgn, hvilket giver en meters unøjagtighed i positionsbestemmelsen. et antal jordstationer, der nøje korrigerer for unøjagtigheder i baner og synkroniserer tiden i satelliturene. Personlige modtagere, der kan købes til en pris af 1000 kr. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.5/18

6 Virkemåde - rumlig triangulering Den personlige modtager bestemmer afstanden til 3 af satelitterne, ved at bestemme tiden det tager for et signal at komme frem. Det giver 3 ligninger til at bestemme de 3 koordinater til positionen (x, y, z). Geometrisk udtrykker ligningerne, at positionen er på fællesmængden af 3 kugleflader - altså forventeligt 2 løsninger, hvoraf den ene kan forkastes udfra en rimelighedsbetragtning. Princippet er enkelt, men forudsætter at den personlige modtager har et MEGET nøjagtigt ur, der går synkront med urene i satellitterne. En fejl på 10 3 sekund resulterer i en positionsfejl på 300 km. at der er en effektiv og nøjagtig metode til afstandsbestemmelse under forudsætning af synkrone ure. Hvordan disse 2 forudsætgninger sikres ved hjælp af matematik er foredragets temaer. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.6/18

7 Virkemåde - synkronisering af det lokale ur Det meget præsice ur haves selvsagt ikke på den lokale modtager til en pris af 1000 kr.; men kan laves på en elegant matematisk måde. Betragt fejlen på uret i din lokale modtager som en variabel. Mål ikke til 3 men til 4 satelitter for at opstille 4 ligninger til bestemmelse af de 4 variable x, y, z,. En lokal modtager bestemmer altså ikke blot positionen; men er også et meget nøjagtigt ur, fordi det ved hjælp af matematik synkroniserer til satellit-urene. Nu skal vi se hvordan. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.7/18

8 Matematisk synkronisering Lad (x, y, z) være koordinaterne til den ukendte position og (x k, y k, z k ), i = 1,2, 3,4 de kendte koordinater til 4 satelitter. Fejlen i uret på den lokale modtager, betegner vi, så vi måler med en fejl på d = c, hvor c er lysets hastighed. Den målte afstand er derfor d k = q (x x k ) 2 + (y y k ) 2 + (z z k ) 2 + d som medfører, at (x 2 k + y2 k + z2 k d2 k ) 2(x kx + y k y + z k z d k d) + (x 2 + y 2 + z 2 d 2 ) = 0 Disse 4 sammenhørende ligninger kan med fordel løses ved skift matrix notation. Bemærk, at vi vil bestemme de med rødt angivne variable. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.8/18

9 Matematisk synkronisering Definer et skalarprodukt på R 4 ved a,b := a t Mb, M = C A og lad r = 0 1 x y, r zc k = A d 0 x k y k z k d k 1 C A I denne notation kan ligningerne skrives 1 2 r k,r k r k,r r,r = 0 matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.9/18

10 Matematisk synkronisering Med notationen 0 1 x 1 y 1 z 1 d 1 x 2 y 2 z 2 d 2 B :=, α = x 3 y 3 z 3 d 3 C A x 4 y 4 z 4 d r 1,r 1 r 2,r 2, e = r 3,r 3 C A r 4,r , Λ := 1 1C 2 r,r A 1 kan ligningerne skrives og løsningen bliver α BMr + Λe = 0 r = MB 1 (Λe + α). Sætter vi ovenstående udtryk for r ind i Λ := 1 r,r får vi, idet vi udnytter at 2 M(a), M(b) = a,b, en andengradsligning til bestemmelse af Λ B 1 e, B 1 e Λ B 1 e, B 1 α Λ + B 1 α, B 1 α = 0 matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.10/18

11 Afstandsbestemmelse Måler den tid et radiosignal er undervejs fra satelit til modtager. Dertil bruges en generator af tilfældige tal. Satellitten udsender følgende: et tal for hvert klokkeslag. GPS-modtageren har samme generator. GPS-modtageren sammenligner egen følge med den modtagne. En forskydning her er udtryk for en tidsforsinkelse. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.11/18

12 Lineære skifte registre Generatoren af tilfældige tal, der bruges i GPS-systemet er et Lineært skifte register af bloklængde 10. Faktisk bruges der 2 registre og militæret bruger et af længde 12. Det virker sådan her: Registret har en starttilstand Første tal udlæses, de øvrige flyttes en plads til venstre. Sidste plads gives en vædi svarende til en bestemt lineær sum af de 10 foregående tal, hele tiden beregnet modulo 2. Det kunne for eksempel være summen af 3. og 10. tal. Det ville give sekvensen hvilket faktisk er den ene af de to, der bruges i GPS. Efter 1023 klokkeslag, står vi med det register vi startede med. Vi siger, at perioden er 1023 matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.12/18

13 Registre og maksimal periode De værdier, som registret af bloklængde r udlæser udgør en følge af binære tal a 0, a 1, a 2,... og der er en rekursionsligning: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r mod 2, hvor c i er konstanter lig med 0 eller 1. Startværdierne benævnes a r,..., a 1. For et register af længde r er der 2 r mulige tilstande, idet der på hver af de r pladser kan stå enten 0 eller 1. Specialtilfældet, hvor alle pladserne er 0, har periode 1. For andre er det maksimale antal tilstande 2 r 1, som dermed er den maksimale periode for et register. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.13/18

14 Generende funktion Den genererende funktion er Vi har G(x) := X n=0 a n x n. G(x) = X rx c i a n i x n = n=0 i=1 rx X c i x i a n i x n i = i=1 n=0 rx c i x i (a i x i + +a 1 x 1 +G(x)) i=1 Vi får, at Polynomiet G(x) = P r i=1 c ix i (a i x i + + a 1 x 1 ) f(x) = 1 1 P r i=1 c ix i rx c i x i i=1 i nævneren kaldes det karakteristiske polynomium for registret. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.14/18

15 De karakteristiske polynomier i GPS De to registre, der bruges i GPS-systemets civile del, har de karakteristiske polynomier : 1 + x 3 + x 10, 1 + x 2 + x 3 + x 8 + x 9 + x 10 Ved en kombination af de to registre sender satellitten et periodisk signal med en periode på ca. 1,5 sek., svarende til ca km. (Militærets signal har en periode på ca. en uge). matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.15/18

16 Perioden Sætning. Antag a 1 = a 2 = = a r+1 = 0, a r = 1. Perioden er lig med det mindste hele tal p, så det karakteristiske polynomium f(x) er en divisor i 1 x p. Bevis: Med de givne startværdier og periode p har vi, at G(x) = 1 f(x) = a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 + x p (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) + x 2p (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) +... = (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) 1 1 x p Så f(x)(a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) = 1 x p og f(x) er en divisor i 1 x p. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.16/18

17 Perioden Antag omvendt, at f(x) er en divisor i 1 x q. Altså, at f(x)(b 0 + a 1 x +... b p 1 x p 1 ) = 1 x q. Så er G(x) = 1 f(x) = b 0 + a 1 x +... b p 1 x p 1 1 x q = (b 0 +a 1 x+... b p 1 x p 1 )(1+x q +x 2q +x 3q +... ) Da G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x har vi, at q = p, at a i = b i for alle i og at perioden er lig med p. matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.17/18

18 Perioden Hvis registret har maksimal periode, så er det karakteristiske polynomium irreducibelt. Vises ved brug af ovenstående sætning. Det omvendte gælder ikke: 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 er irreducibelt; men registret har kun periode 5. Hvis det karakteristiske polynomium er irreducibelt, så er perioden en divisor i 2 r 1. Hvis 2 r 1 er et primtal, så giver ethvert irreducibelt polynomium anledning til et register af maksimal længde 2 r 1. Primtal på formen 2 r 1 kaldes Mersenne primtal. Det største man kender er matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan P. Hansen 14/3/ :18 p.18/18