Matematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO
|
|
- Hans Olesen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 GPS - GLONASS - GALILEO Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematik, Aarhus Universitet
2 Disposition 1 Retningsbestemt navigation 2 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN 3 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Matematikken centralt i spil Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure 4 Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre
3 Pejling Tag pejling af 2 kendte punkter Bestem skæringspunktet mellem de 2 tilsvarende rette linier på et passende kort
4 Mercator projektion: Verdenskort 1569 Samme kurs svarer til en ret linie på kortet En pejlet vinkel svarer til den samme vinkel på kortet
5 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN Hyperbler Konstante afstandsforskelle til 2 givne punkter Kendt afstandsforskel bestemmer, hvilken hyperbelgren i nettet man er på Bestemmelse i forhold til mindst 2 hyperbelnet bestemmer positionen I praksis (DECCA) bruges 3 hyperbelnet
6 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN DECCA og LORAN hyperbelnavigation DECCA Landgangen Normandiet 1944 Night Passage to Normandy, Lieutenant-Commander Oliver Dawkins, R.N.V.R, Decca, 1969 The Decca Navigator System on D-Day, 6 June 1944, An Acid Test, Commander Hugh St. A. Malleson, R.N. (Ret.) DECCA-net i drift i Danmark masteren var på Samsø og slaverne ved Møn, Tønder og Hjørring LORAN. USA, Japan, Norge og Rusland har LORAN stationer i drift. Norge har en station på Jan Mayen. De lang-bølgede radiosignaler kan modtages under vand, og er derfor nyttige til ubåde.
7 USA/USSR/EU forskellige motiver Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Som en del af den kolde krigs våbenkapløb besluttede US Department of Defense at udvikle et positionssystem (GPS), der gjorde det muligt for en ubåd hurtigt og præcist at bestemme sin position og affyre sine våben. Raketter var allerede så præsice, at de kunne ramme, hvad som helst blot de kendte affyringspositionen. Det kostede 12 milliarder US dollars og er nu tilgængeligt for alle. USSR har et tilsvarende militært system (GLONASS). GALILEO er et nyt europæisk system under udvikling med et kommercielt sigte. Systemet vil kunne arbejde sammen med og supplere GPS og GLONASS.
8 Galileo - mål Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Galileo er et satelitte navigationssystem som bygges af European Union (EU) og European Space Agency (ESA). Budget på 20 milliader EURO. Brugen vil være gratis for brugeren. Præcisionen bedre end 1 meter - såvel vandret som lodret. Bedre dækning på den nordligste del af den nordlige halvkugle end de øvrige systemer. Et af målene er at få et europæisk system uafhængigt af GLONASS (russisk), GPS (amerikansk) og Compass (kinesisk).
9 Galileo - status Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure 21 oktober 2011 blev de første 2 af 4 satelliter opsendt med henblik på at validere systemet de 2 næste følger i Begyndende drift forventes i midten af dette årti. Fuld drift med 30 satelitter (27 aktive og 3 i reserve) forventes i 2019.
10 Rumlig triangulering Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure I GPS 1 bestemmer modtageren afstandene til 3 af satelitterne ved at bestemme tiden, det tager for et signal at komme frem. Det giver 3 ligninger til at bestemme de 3 koordinater til positionen (x, y, z). Geometrisk udtrykker ligningerne, at positionen er på fællesmængden af 3 kugleflader - altså forventeligt 2 løsninger, hvoraf den ene kan forkastes udfra en rimelighedsbetragtning. 1 I Galileo regnes der ikke med atstande til satelitter; men med forskelle på afstande
11 Rumlig triangulering - nøjagtige ure! Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Princippet er enkelt, men forudsætter at den personlige modtager har et MEGET nøjagtigt ur, der går fuldstændigt synkront med urene i satellitterne. En fejl på 10 3 sekund resulterer i en positionsfejl på 300 km. at der er en effektiv og nøjagtig metode til afstandsbestemmelse under forudsætning af synkrone ure.
12 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Virkemåde - synkronisering af det lokale ur Det meget præsice ur haves selvsagt ikke på den lokale modtager til en pris af 1000 kr.; men kan laves på en elegant matematisk måde. Betragt fejlen på uret i din lokale modtager som en variabel. Mål ikke til 3 men til 4 satelitter for at opstille 4 ligninger til bestemmelse af de 4 variable x, y, z,. En lokal modtager bestemmer altså ikke blot positionen; men er også et meget nøjagtigt ur, fordi det ved hjælp af matematik synkroniserer til satellit-urene. Nu skal vi se hvordan.
13 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Ligningerne til bestemmelse af position og fejlen på det lokale ur Lad (x, y, z) være koordinaterne til den ukendte position og (x k, y k, z k ), i = 1, 2, 3, 4 de kendte koordinater til 4 satelitter. Fejlen i uret på den lokale modtager, betegner vi, så vi måler med en fejl på d = c, hvor c er lysets hastighed. Den målte afstand er derfor d k = (x x k ) 2 + (y y k ) 2 + (z z k ) 2 + d som medfører, at (x 2 k +y 2 k +z 2 k d 2 k ) 2(x k x +y k y +z k z d k d)+(x 2 +y 2 +z 2 d 2 ) = 0 Disse 4 sammenhørende ligninger kan med fordel løses ved skift til matrix notation. Bemærk, at vi vil bestemme de med rødt angivne variable.
14 Matematisk reformulering af ligningerne I Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Definer et skalarprodukt på R 4 ved a, b := a t Mb, M = x r = y z, r k = d x k y k z k d k
15 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure I denne notation kan ligningerne skrives 1 2 r k, r k r k, r + 1 r, r = 0 2
16 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Matematisk reformulering af ligningerne II Med notationen x 1 y 1 z 1 d 1 r 1, r 1 1 B := x 2 y 2 z 2 d 2 x 3 y 3 z 3 d 3, α = r 2, r 2 r 3, r 3, e = r1 1, Λ := 1 r, r 2 x 4 y 4 z 4 d 4 r 4, r 4 1 kan ligningerne skrives α BMr + Λe = 0 og løsningen bliver r = MB 1 (Λe + α).
17 Løsning Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Sætter vi ovenstående udtryk for r ind i Λ := 1 2 r, r får vi, idet vi udnytter at M(a), M(b) = a, b, en andengradsligning til bestemmelse af Λ B 1 e, B 1 e Λ B 1 e, B 1 α Λ + B 1 α, B 1 α = 0
18 Bestemmelse af tidsforskel Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Måler den tid et radiosignal er undervejs fra satelit til modtager. Dertil bruges en generator af tilfældige tal. Satellitten udsender følgende: et tal for hvert klokkeslag GPS-modtageren har samme generator. GPS-modtageren sammenligner egen følge med den modtagne. En forskydning her er udtryk for en tidsforsinkelse.
19 Lineære skifte registre Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Generatoren af tilfældige tal er et Lineært skifte register af bloklængde 10. Faktisk bruges der 2 registre og militæret bruger et af længde 12. Det virker sådan her: Registret har en starttilstand Første tal udlæses, de øvrige flyttes en plads til venstre. Sidste plads gives en værdi svarende til en bestemt lineær sum af de 10 foregående tal, hele tiden beregnet modulo 2. Det kunne for eksempel være summen af 3. og 10. tal hvilket faktisk er den ene af de to, der bruges i GPS. Efter 1023 klokkeslag, står vi med det register vi startede med.
20 Registre og maksimal periode Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre De værdier, som registret af bloklængde r udlæser udgør en følge af binære tal a 0, a 1, a 2,... og der er en rekursionsligning: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r mod 2, hvor c i er konstanter lig med 0 eller 1. Startværdierne benævnes a r,..., a 1. For et register af længde r er der 2 r mulige tilstande, idet der på hver af de r pladser kan stå enten 0 eller 1. Specialtilfældet, hvor alle pladserne er 0, har periode 1. For andre er det maksimale antal tilstande 2 r 1, som dermed er den maksimale periode for et register.
21 Genererende funktion Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Den genererende funktion er G(x) := a nx n. n=0 Vi har r r G(x) = c i a n i x n = c i x i r a n i x n i = c i x i (a i x i + + a 1 x 1 + G(x)) n=0 i=1 i=1 n=0 i=1 Vi får, at ri=1 c i x i (a i x i + + a 1 x 1 ) G(x) = 1 r i=1 c i x i Polynomiet r f (x) = 1 c i x i i=1 i nævneren kaldes det karakteristiske polynomium for registret.
22 Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre De karakteristiske polynomier i GPS De to registre, der bruges i GPS-systemets civile del, har de karakteristiske polynomier : 1 + x 3 + x x 2 + x 3 + x 8 + x 9 + x 10 Ved en kombination af de to registre sender satellitten et periodisk signal med en periode på ca. 1,5 sek., svarende til ca km. (Militærets signal har en periode på ca. en uge).
23 Perioden I Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Sætning. Antag a 1 = a 2 = = a r+1 = 0, a r = 1. Perioden er lig med det mindste hele tal p, så det karakteristiske polynomium f (x) er en divisor i 1 x p. Bevis: Med de givne startværdier og periode p har vi, at G(x) = 1 f (x) = a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 + x p (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) + x 2p (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) +... = (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) 1 1 x p Så f (x)(a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) = 1 x p og f (x) er en divisor i 1 x p.
24 Perioden II Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Antag omvendt, at f (x) er en divisor i 1 x q. Altså, at f (x)(b 0 + a 1 x +... b p 1 x p 1 ) = 1 x q. Så er G(x) = 1 f (x) = b p a 1 x +... b p 1 x 1 x q = (b 0 + a 1 x +... b p 1 x p 1 )(1 + x q + x 2q + x 3q +... ) Da G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x har vi, at q = p, at a i = b i for alle i og at perioden er lig med p.
25 Perioden Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Hvis registret har maksimal periode, så er det karakteristiske polynomium irreducibelt. Vises ved brug af ovenstående sætning. Det omvendte gælder ikke: 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 er irreducibelt; men registret har kun periode 5. Hvis det karakteristiske polynomium er irreducibelt, så er perioden en divisor i 2 r 1. Hvis 2 r 1 er et primtal, så giver ethvert irreducibelt polynomium anledning til et register af maksimal længde 2 r 1. Primtal på formen 2 r 1 kaldes Mersenne primtal. Det største man kender er og det er ogsaa det største kendte primtal (det vil kræve 3461 sider at skrive dette tal med 75 cifre pr. linie og 50 linier pr. side).
26 Ved at betragte fejlen på dit lokale ur som en variable, er det muligt af bestemme såvel fejlen som positionen på en og samme gang ved at løse 4 ligninger med 4 ubekendte Lineære skifte registre giver et matematisk værktøj til af måle tidsforskelle og dermed afstande.
Matematikken navigation Kronometer - Mercator - Hyperbel GPS/Galileo
Matematikken navigation Kronometer - Mercator - Hyperbel GPS/Galileo Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematik, Aarhus Universitet Disposition 1 Kuglen - koordinater 2 3 Hyperbel navigation - DECCA og
Læs mereMatematiklærerdag 11. marts 2005
Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan
Læs mereMikkel Gundersen Esben Milling
Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,
Læs mereEn studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende:
Geodæsi Lars Stenseng stenseng@space.dtu.dk Læringsål En studerende der har genneført Geodæsi eleentet af kurset vil kunne følgende: Beskrive den grundlæggende virkeåde for GNSS systeer Beskrive de tre
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs merehimlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen
Nye GNSS satellitter på himlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen DdL Fagligt Møde, 31. januar 2014 Hvem er foredragsholderen? Uddannet: Landinspektør i 1994 Ph.d. i geodæsi fra Københavns Universitet Ansat:
Læs mereGPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007
GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,
Læs mereSecret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik, Aarhus universitet 24. marts 2017 Resumé Secret sharing henviser til metoder til fordeling af en hemmelighed blandt en gruppe af deltagere, som hver især
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereIntroduktion til GPS. Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk
Introduktion til GPS Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk Hvad bruges en håndholdt GPS til? Måle tilbagelagt distance og fart Optage spor og markere punkter Navigere til et punkt efter et spor efter en rute
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereAutonavigatør til mindre Fartøjer
Fra det historiske hjørne. af Carl-Ove Thor (bragt i DFÆL-Bladet nr. 111 i forkortet udgave her i fuld version) Denne gang handler det om Decca systemet og en artikel i Sejl og Motor fra januar 1946. Artiklen
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Projektopgaven 2007
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing Projektopgaven 2007 Om selve opgaven Formålet med denne opgave er at give kursusdeltagerne
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester LCG-2 Introduktion til GPS 1. Observationsteknikker og GPS-koncepter 2. Absolut positionering baseret på
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mere4. Funktioner lineære & hyperbel
4. 4.1 Tegn følgende lineære funktioner: a. y = 2 +1 b. y = 3 c. y = 3 d. y = ½ + 2 e. y = 2 + 350 f. y = -25 + 4200 g. y = 125-375 4.2 Tegn følgende lineære funktioner. Det er en stor fordel at isolere
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereKryptering kan vinde over kvante-computere
Regional kursus i matematik i Aabenraa Institut for Matematik Aarhus Universitet matjph@math.au.dk 15. februar 2016 Oversigt 1 Offentlig-privat nøgle kryptering 2 3 4 Offentlig-privat nøgle kryptering
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx111-MAT/B-18052011 Onsdag den 18. maj 2011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen stx13-mat/b-1408013 Onsdag den 14. august 013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereGalileo et europæisk GNSS med potentiale
Galileo et europæisk GNSS med potentiale Styrelsen for Dataforsyning og Effektivisering 29. juni 2018 Side 1 Lad os starte med lidt at slå mave på: https://www.youtube.com/watch?v=6oecc58teia Galileo Europæisk
Læs mereNyt fra satellitternes fagre verden
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY Nyt fra satellitternes fagre verden Anna B.O. Jensen, Afdelingen for Geodæsi og Satellitpositionering, KTH Hvem er foredragsholderen? Siden 2014 professor i geodæsi og
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs merePositionering Nokia N76-1
Nokia N76-1 2007 Nokia. Alle rettigheder forbeholdes. Nokia, Nokia Connecting People, Nseries og N76 er varemærker eller registrerede varemærker tilhørende Nokia Corporation. Andre produkter og firmanavne,
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen stx103-mat/b-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereLøsning til aflevering uge 11
Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU 2g
NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK NOVEMBER 008 MATEMATIK A-NIVEAU g Prøve november 008 1. delprøve: 1 time med formelsamling samt. delprøve: timer med alle hjælpemidler Alle delspørgsmål indenfor hver af
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereLineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereLiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang
LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereHøjere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007 07-0-1 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige
Læs mereIteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber
Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereFUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13
En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereHØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU. Tirsdag den 18. december 2007. Kl. 09.00 13.00 HFE073-MAB
HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU Tirsdag den 18. december 2007 Kl. 09.00 13.00 HFE073-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med
Læs mere