Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Transkript

1 Kursusgang 3 Repetition - [email protected] froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september /19

2 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix En matrix har en invers hvis og kun hvis den er kvadratisk og har lineært uafhængige rækker/søjler. Rækkerne i en matrix kan opfattes som rækkevektorer a 11 a 1n v 1 A =..... =. a m1 a mn Disse rækkevektorer er lineært uafhængige hvis ligningen: kun har en løsning for alle k i = 0 v m k 1 v 1 + k 2v k mv m = 0 2/19

3 Bestemmelse af lineær uafhængighed For en generel m n matrix defineres rangen af matricen, som det maksimale antal lineært uafhængige rækker. Rangen af en matrix kan bestemmes ved at transformere en matrix om til dens echelon form. Transformationen til echelon form, udføres ved hjælp af tre elementære rækkeoperationer, som ikke ændrer på rangen af matricen: 1. Ombytning af to rækker i matricen. 2. Multiplikation af en række med en skalar k Addition af k gange en række til en anden række. 3/19

4 Echelonform af matrix Echelonformen af en matrix er karakteriseret ved tre egenskaber 1. Rækker med ene nuller skal være nederst. 2. Den første indgang læst fra venstre i en række, som er forskellig fra nul, skal være et et-tal. 3. Den første indgang i en række (et-tallet), skal stå til højre for den første indgang i rækken ovenover. Når echelonformen af en matrix er fundet, kan rangen aflæses som antallet af rækker som ikke består af ene nuller. 4/19

5 Ex: Reducer matricen til echelonform for at få den ledende indgang i række 1, til at være et 1-tal, divideres der med Da de ledende indgange i rækkerne under første række skal stå til højre for den ledende indgang i første række, trækkes der hhv. 4 og 2 gange række 1 fra række 2 og /19

6 For at få den ledende indgang i 3. række til at stå til højre for den ledende indgang i 2. række trækkes 3 gange anden række fra 3. række For at få den ledende indgang i række 3 til at være et et-tal ganges der igennem med Matricen er nu på echelonform og rangen kan aflæses som antallet af rækker, som ikke er rene nuller, dvs. 3. 6/19

7 Bestemmelse af nonsingularitet vha. determinanter En determinant er et entydig bestemt tal, som siger noget om en matrices egenskaber. Determinanten for en matrix A skrives A. Determinanten er kun defineret for kvadratiske matricer. For en 1 1 matrix A = [a 11 ] er A = a 11. Dette må ikke forveksles med den nummeriske værdi af et tal 5 = 5, da fortegnet her bevares så hvis A = [ 5], så er A = 5. [ ] a11 a For en 2 2 matrix A = 12 defineres determinanten som a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 Ex: A = [ ] A = = = 51 7/19

8 bestemmelse af en 3. ordens determinant For en 3 3 matrix A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 defineres determinanten a 31 a 32 a 33 som a A = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 De tre 2. ordens determinanter kaldes underdeterminanter og er bestemt ud fra den originale 3 3 matrix. Den første underdeterminant a 22 a 23 a 32 a 33, som ganges med a 11 fås ved at fjerne den første række og første søjle. Underdeterminanten kaldes en minor til elementet a 11, og benævnes M 11. Generelt kan man få en minor til elementet a ij ved at fjerne den i te række og j te søjle. Denne minor benævnes så M ij. 8/19

9 For hver minor defineres også en kofaktor. En kofaktor er en minor med et fortegn, og defineres som C ij = ( 1) i+j M ij Kofaktoren skifter altså fortegn afhængig af hvilken position i matricen elementet til minoren har. Det ses nu at determinanten for en 3 3 matrix kan skrives som A = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = 3 a 1j C 1j Denne måde at skrive en determinant på kaldes for en Laplace-udvikling og kan udvides til at gælde for en vilkårlig n n matrix A, så n A = a 1j C ij j=1 j=1 9/19

10 Hver af kofaktorerne i ovenstående udtryk svarer til en determinant for en (n 1) (n 1) matrix, og for at beregne determinanten fortsætter man med at Laplace udvide indtil vi kun skal beregne 2 2 determinanter, som vi har en formel for. Laplace-udvikling kan ske efter en vilkårlig række eller søjle. Det kan altså være en fordel at vælge den række eller søjle som har flest nuller. Ex: Beregning af determinant A = Der er mange nuller i 3. søjle så vi udvikler determinanten efter den og får 10/19

11 1 2 3 A = 0C C C C 34 = 9( 1) Det ses her at der er et nul i anden søjle, så vi udvikler efter den og får = 9 (2C C C 23 ) ( ) = 9 2( 1) ( 1) = 9( 2( ) 12( )) = 9( 2( 88) 12( 4)) = /19

12 Determinant kriterium for nonsingularitet Vi ved nu at A 0 Rækkerne/søjlerne i A er lineært uafhængige A er nonsingulær A 1 eksisterer Der findes en entydig løsning x = A 1 d 12/19

13 Den inverse matrix Antag at vi har en n n matrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Ud fra denne kan man danne en matrix af kofaktorer, ved at erstatte hvert element i A med dens kofaktor. Vi benævner denne matrix C = [ C ij ], og ser på dens transponerede C. En sådan matrix kaldes en adjungeret matrix, og er på følgende form: C 11 C 21 C n1 C C 12 C 22 C n2 = adj(a) = C 1n C 2n C nn Der gælder at A 1 = 1 A C = 1 A adj(a) 13/19

14 Cramers regel Vi ved at matrixligningen Ax = d har en løsning givet ved x = A 1 d. Da vi nu kan bestemme den inverse får vi at x1 C 11 C 21 C n1 d 1 x2.. = 1 C 12 C 22 C n2 d 2.. A xn C 1n C 2n C nn d n n i=1 = 1 d A 1 i C i1 A n i=1 d i C i2 A A. = 2 A. n i=1 d i C in Her er A j, den matrix hvor vi har udskiftet den j te søjle i A med søjlevektoren d. A n A 14/19

15 Leontief Input-output modeller Hvor meget skal hver virksomhed i en økonomi producere for at det præcist er nok til at dække efterspørgslen? Vi laver følgende antagelser 1. Hver industri producerer kun et produkt. 2. Hver industri bruger en fast kombination af input fra andre industrier. 3. Produktionen fra hver industri bliver k gange større hvis inputtet gøres k gange større. Vi laver en generel model med n industrier. For at industri j kan producere en enhed af deres vare bruger de altså et fastlagt input fra industri i. Hvis vi lader a ij være den mængde input der skal bruges fra virksomhed i for at producere output j, og der er n industrier, så kan disse koefficienter arrangeres i en kvadratisk matrix A = [a ij ]. Antager vi fastlagte priser på varene i f.eks. kroner så vil a 35 = 0.10 betyde at der skal input til en værdi af 0.10 kroner af vare 3, til at producere varer for 1 krone fra industri 5. 15/19

16 Den åbne model Hvis de n industrier udgør hele økonomien, så producerer de kun varer for at dække inputbehovet for andre industrier. For at tage højde for output til f.eks. husholdninger, og input i form af lønnet arbejde inkluderer vi en åben sektor i modellen. Hvis summen over en søjle er større end 1kr koster det mere at producere produktet end man kan tjene på det. For at undgå dette og få at få råd til lønninger må der skulle gælde at n i=1 a ij < 1 for j = 1,...,n, hvor det så må gælde at værdien af arbejdet svarer til 1 n i=1 a ij. Hvis hver industri skal producere nok output til at dække andre industriers inputbehov og behovet fra den åbne sektor må dens ouput x j skulle opfylde x j = a j1 x 1 + a j2 x a jn x n + dj hvor d j er outputtet til den åbne sektor og x i a ij er inputtet til den i te industri. 16/19

17 Dette kan opskrives som et system af n lineære ligninger med n ubekendte (1 a 11 )x 1 a 12 x 2... a 1n x n = d n.. a n1 x 1 a n2 x 2... (1 a nn )x n = d n Dette kan som bekendt opskrives på matrixform (1 a 11 ) a 1n x a n1 (1 a nn ) x n (A I)x = d = d 1. d n 17/19

18 Eksisten af ikke-negative løsninger For en matrix kvadratisk matrix B definerer vi principal minors af orden m ved b 11 b 1m B m =..... b m1 b mm dvs. B 1 = b 11 B 2 = b 11 b 12 b 11 b 1n b 21 b 22 B n =..... b n1 b nn 18/19

19 Hawkins and Simmons Theorem Givet en n n matrix B, hvor b ij 0 for i j, og en 1 n vektor d 0 findes der en 1 n vektor x 0 så Bx = d hvis og kun hvis B m > 0 for alle m = 1,...,n. Dvs. hvis vi har en matrix hvor alle koefficienter uden for diagonalen er negative så findes der en positiv løsning til ligningen hvis og kun hvis alle principal minors er positive. 19/19