ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER

Transkript

1 EE Basis, foråret 2009 ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 1

2 Emner for idag Komplekse tal sådan helt fra bunden DefiniHoner og regneregler Lidt flere definihoner og lidt flere regneregler RepræsentaHon af komplekse tal rektangulær / polær Komponentligning kompleks beskrivelse af sammenhæng mellem spænding og strøm for en given komponent Formelsamling Lidt Hl opgaverne Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 2

3 Hvorfor komplekse tal? På et Hdligt Hdspunkt løb matemahkere ind i et problem De fandt nemlig en masse ligninger der ikke havde løsninger, når de kun så på de reelle tal For at kunne håndtere disse ligninger, opfandt man de komplekse tal Brugen af komplekse tal daterer helt Hlbage Hl 1500 tallet Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 3

4 DefiniHonen på et komplekst tal Et komplekst tal defineres som et ordnet par (x, y), bestående af reelle tal, x og y, og det skrives som Vi definerer x Hl at være den reelle del af z, og y Hl at være den imaginære del. DeWe skriver vi som Som eksempel kan vi tage tallet z=(4, 3), hvor vi vil få Re(z)=4 og Im(z)= 3 Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 4

5 Regneregler Et tal er ikke meget værd, hvis ikke vi kan udføre beregninger på og med det Så for at kridte banen af, så definerer vi to komplekse tal, z 1 =(x 1, y 1 ) og z 2 =(x 2, y 2 ), Hl at være ens, hvis og kun hvis, deres individuelle reelle dele er ens og hvis deres imaginære dele samhdig også er ens z 1 = ( 4, 3) z 2 = ( 3,4 ) z 3 = ( 4, 3) z 4 = ( 4,3) z 1 = z 3 Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 5

6 Regneregler addihon I forbindelse med addihon of to, eller flere, komplekse tal gælder følgende Når to komplekse tal adderes skal vi altså addere tallenes reelle dele og Hlsvarende skal vi addere tallenes imaginære dele Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 6

7 Regneregler mulhplikahon I forbindelse med mulhplikahon of to, eller flere, komplekse tal gælder følgende Når to komplekse tal bliver mulhpliceret, så bliver den reelle og den imaginære del for det resulterende komplekse tal altså en skøn blanding Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 7

8 RepræsentaHoner Komplekse tal hvor den imaginære del er lig nul, tager formen (x, 0) Baseret på vore regnereglerne får vi følgende ( ) z 2 = ( x 2,0) z 1 = x 1,0 z 3 = z 1 + z 2 = ( x 1, y 1 ) + ( x 2, y 2 ) = ( x 1 + x 2,0) z 3 = z 1 z 2 = ( x 1, y 1 ) ( x 2, y 2 ) = ( x 1 x 2,0) Altså nøjaghg det samme resultat som vi ville få ved at addere eller mulhplicere to reelle tal Komplekse tal er altså blot en udvidelse af det reelle talsystem Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 8

9 RepræsentaHoner Det komplekse tal (0, 1) betegnes med et i eller et j. Ingeniører benywer j da i jo betegner strøm Begge betegnelser benywes dog hist og pist Begge er reserverede tal i MATLAB! ( ) Tallet j betegnes som den imaginære enhed Prøver vi at regne lidt på tallet j, så finder vi en karakterishske egenskab Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 9

10 RepræsentaHoner For et vilkårligt reelt tal, y, vil følgende gælde Tilsvarende kan et vilkårligt reelt tal skrives som Bruger vi vores regneregler igen får vi Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 10

11 Tavleopgave 1 Omskriv Hl/fra j notahon eller udregn følgende?????? Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 11

12 RepræsentaHoner det komplekse plan Med de definihoner vi nu har fået indført, så er det nærliggende at prøve med en grafisk fortolkning af disse komplekse tal Grundidéen er ganske simpel men den har store anvendelsesmæssige aspekter Vi indfører en reel akse og en imaginær akse DeWe kaldes for et Cartesisk koordinatsystem Et vilkårligt komplekst tal kan repræsenteres ved et punkt i dewe koordinatsystem Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 12

13 RepræsentaHoner det komplekse plan Med denne grafiske repræsentahon fremgår det næsten direkte, at et komplekst tal beskriver en vektor i det komplekse plan, og at denne vektor har en bestemt længde og retning Rektangulær rep. Polær rep. Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 13

14 RepræsentaHoner rekt./pol. Omregning mellem rektangulær og polær repræsentahon er baseret på følgende subshtuhon Med den i lommen finder vi følgende Euler Absolut værdi (modulus) Argument Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 14

15 Regneregler igen AddiHon SubtrakHon Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 15

16 Regneregler igen MulHplikaHon (følger alm. regneregler nu) z 1 z 2 = ( x 1 + jy 1 )( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) + j( x 1 y 2 + y 1 x 2 ) ( 5 + j) ( 1+ j3) = 5 + j15 + j + j 2 3 = 2 + j16 Division er (sjovt nok) defineret som den omvendte mulhplikahonsfunkhon. z = z 1 z = z z = x + jy 1 2 z 2 = x x 2 y y 2 ( )( x 2 + jy 2 ) ( ) + j( x y 2 + y x 2 ) x 1 = x x 2 y y 2 y 1 = x y 2 + y x 2 2 ligninger med 2 ubekendte Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 16

17 Regneregler igen Under antagelse af at x 2 og y 2 ikke begge er lig nul (z 2 0) finder vi en entydig løsning Hl ligningssæwet som Med andre ord kan vi udregne en division som BØVL! Der er en nemmere måde hvorpå en division kan beregnes, nemlig vha. den kompleks konjugerede Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 17

18 Kompleks kunjugerede Hvis vi har et vilkårligt komplekst tal, z=x+jy, så er den kompleks konjugerede værdi for dewe tal givet som Som eksempel z = x + jy z * = z = x jy z = 5 + j2 z = 5 j2 Der er således tale om en spejling omkring den reelle akse Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 18

19 Kompleks konjugerede Den kompleks konjugerede er ganske vighg i mange sammenhænge, bla. fordi z z = ( x + jy) ( x jy) = x 2 + y 2 Altid reel værdi Vender vi Hlbage Hl vores division kan vi benywe dewe Hl at få følgende z = z 1 = x 1 + jy 1 = x 1 + jy 1 z 2 x 2 + jy 2 x 2 + jy 2 ( )( x 2 jy 2 ) ( )( x 2 jy 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + j y 1 x 2 x 1 y 2 x y 2 x y 2 z = z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 19

20 Hvad kan vi så bruge det Hl? Ja I husker måske vores formeltur fra KRT5? For et så simpelt kredsløb er forskellen ikke så stor, men for større kredsløb vinder vi en hel masse ved at regne på komplekse størrelser Vi bestemmer en komponentligning som det første Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 20

21 Komponentligning modstand Ohms lov gælder også for komplekse strømme og spændinger v(t) = R i(t) i(t) = I M cos(ωt + θ) v(t) = R I M cos(ωt + θ) = Re{ I M e jωt e jθ } I = I M e jθ = Re{ R I M e jθ e jωt } V = V M e jθ V = R I Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 21

22 Komponentligning modstand Grafiskt Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 22

23 Komponentligning kondensator v(t) = 1 C i(t)dt + v 0 v 0 = 0 i(t) = I M cos(ωt + θ) = Re{ I M e jωt e jθ } I = I M e jθ v(t) = 1 ωc I cos(ωt + θ π M 2 ) 1 = Re ωc I e jωt M e jθ e jπ / 2 1 = Re jωc I e jθ M e jωt = Re 1 jωc I e jωt Svarer Hl Ohms lov Fase: spænding π/2 erer strøm jωt = Re{ Ve } Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 23

24 Komponentligning kondensator Grafiskt Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 24

25 Tavleopgave 2 1. OpsHl et udtryk for den komplekse spænding 2. OpsHl et udtryk for den komplekse strøm 3. Beregn amplitude og fase af strømmen (talværdier) når følgende er givet: v(t) = V M cos(ωt+θ), C = 100 µf, frekvens = 50 Hz, θ = π/4, V M = 10 V Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 25

26 Komponentligning spole i(t) = I M cos(ωt + θ) = Re{ I M e jωt e jθ } I = I M e jθ v(t) = ωl I M cos(ωt + θ + π 2 ) { } { } { } = Re{ Ve jωt } = Re ωl I M e jωt e jθ e jπ / 2 = Re jωl I M e jθ e jωt = Re jωl I e jωt Svarer Hl Ohms lov Fase: Spænding π/2 foran strøm Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 26

27 Komponentligning spole Grafiskt Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 27

28 Beregningseksempel Indgangssignal: v(t) = V M cos(ωt) ~ V = V M e j 0 Komponentligninger: KVL: MatemaHk: I = I M e jθ 1 I M = R 2 + (ωl) V 2 M θ = arctan ωl R i(t) = Re Ie jωt { } = I M cos ωt + θ ( ) Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 28

29 Formelsamling z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) + j( y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = ( x 1 x 2 ) + j( y 1 y 2 ) z 1 z 2 = ( x 1 + jy 1 )( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) + j( x 1 y 2 + y 1 x 2 ) z = z 1 = x 1 + jy 1 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + j y 1 x 2 x 1 y 2 z 2 x 2 + jy 2 x y 2 x y 2 z = x + jy = r e jφ z = r = x 2 + y 2 φ = arg z ( ) = argtan y x z 1 z 2 = r 1 e jφ 1 r e jφ 2 = r r e jφ 1 e jφ 2 = r r e j ( φ 1 +φ 2 ) z 1 z 2 = r 1 e jφ1 r 2 e jφ 2 = r 1 e jφ 1 e j ( φ ) 2 = r 1 e j ( φ 1 φ 2 ) r 2 r 2 Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 29

30 Lidt Hl opgaverne Syv opgaver der, naturligt nok, alle omhandler komplekse tal og deres brug Opgave 1 4, ren matemahk Opgave 5 7, kredsløbsteorehske Meget har været introduceret Hdligere (matemahk og basal elektronik) Lad være med at bruge lommeregnere og andet (Maple f.eks.) det er simple beregninger og i får en bedre forståelse ved at regne Hngene igennem selv Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 30