Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009

Transkript

1 Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni

2 Indhold 1 Kompleks variabel teori Komplekse funktioner Powerserier af komplekse variabler Forgreningspunkter og opskæringslinier Singulariteter og nulpunkter Konform transformation Taylor og Laurentserier samt residuum Komplekse integraler Fourier transformation 7 3 La Place transformation 8 4 Specielle funktioner Legendre funktioner Bessel funktioner

3 1 Kompleks variabel teori 1.1 Komplekse funktioner Analytisk: En funktion der er single-valued og differentiabel i alle punkter i et område R kaldes analytisk i R. Singulariteter: En funktion kan være analytisk i em område bortset fra i et endeligt antal punkter. Disse punkter kaldes singulariteter. Cauchy-Riemann relationer: Funktionen f(z) = u + iv er analytisk, hvis de fire partielt afledte eksisterer, er kontinuerte og opfylder CR-relationen: u x = v y u = v y x Kompleks konjugeret: En analytisk funktion f(z) kan ikke afhænge af den kompleks konjugerede z. 1.2 Powerserier af komplekse variabler Konvergensradius: For en serie f(z) = n=0 a nz n er radius af konvergenscirklen givet ved Cauchy s rodtest: Alternativt vha. ratiotesten: 1 R = lim n a n 1/n 1 R = lim a n+1 n a n 1.3 Forgreningspunkter og opskæringslinier Hvis z varieres så vejen i Arganddiagrammet indeslutter et forgreningspunkt, vil funktionen f(z) generelt ikke vende tilbage til sin originale værdi. For at kunne behandle f(z) som singlevalued og dermed analytisk laves opskæringslinier, der forhindrer os i at vælge en vej, der omslutter et forgreningspunkt. Multivalued funktioner er f.eks: f(z) = z 1/n f(z) = ln z 3

4 1.4 Singulariteter og nulpunkter Poler: En pol er en isoleret singularitet (i modsætning til et branchcut). Hvis f(z) har formen: f(z) = g(z) (z z 0 ) n hvor n er et positivt heltal, g(z) er analytisk i alle punkter i omegnen af z = z 0 og g(z 0 ) 0, så har f(z) en pol af orden n i z = z 0. En alternativ men ækvivalent definition er: hvor a er et endeligt og ikke-komplekst tal. Der gælder at: lim [(z z 0 ) n f(z)] = a (1) z z 0 Hvis grænseværdien er 0, er z = z 0 en pol af orden lavere end n eller f(z) er analytisk i z 0. Hvis grænseværdien er uendelig, er polen af en orden højere end n. Essentiel singularietet: Hvis ingen endelig værdi af n eksisterer så ligning (1) opfyldes, er z = z 0 en essentiel singularitet. Hævelig singularietet: Hvis ligning (1) f.eks. tager formen 0/0, men grænseværdien lim z z0 f(z) eksisterer og er uafhængig af hvilken vej vi går mod z 0, er singulariteten hævelig. Et godt eksempel er f(z) = sin z z. Definition af z : Opførslen af f(z) i uendelig er givet ved opførslen af f(1/ζ) i ζ = 0 hvor ζ = 1/z. 1.5 Konform transformation Konform transformation: En konform transformation har formen: Egenskaber: w = r(x, y) + is(x, y) 1. Kontinuerne linier i z-planen transformeres til kontinuerte linier i w-planen. 2. Vinklen mellem to krydsende kurver i z-planen er lig vinklen mellem tilsvarende kurver i w-planen. 3. Forstørrelsen mellem z-planen og w-planen af et lille liniesegment i et område af et punkt er uafhængig af orienteringen af linieelementet. 4. Enhver analytisk funktion af z transformerer til en analytisk funktion af w og vice versa. Almindelige transformationer: w = z + b w = e iφ z w = az w = 1 z Translation med b Rotation gennem vinkel φ Ud/sammentrækning i radial retning for a R Mapper interiør af enh.cirkel på eksteriør 4

5 1.6 Taylor og Laurentserier samt residuum Taylor række: Hvis f(z) er analytisk på og indenfor en cirkel C med radius R centreret i z = z 0, og z ligger indenfor C, så er: f(z) = n=0 a n (z z 0 ) n hvor a n = f (n) (z 0 ) n! Laurent række: Hvis f(z) har singulariteter i området C kan vi ikke ekspandere f(z) i en taylorrække, der er gyldig indenfor C. Hvis f(z) har poler af orden p i z = z 0, så er g(z) = (z z 0 ) p f(z) analytisk i C, og kan ekspanderes som taylorrække. Laurentrækken af f(z) kan skrives vha. taylorækken for g(z). g(z) = Så for alle z indenfor C, vil vi have: b n (z z 0 ) n n=0 f(z) = a p (z z 0 ) p a 1 z z 0 + a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) Hvis f(z) ikke er analytisk i z = z 0 er der to muligheder. (Vi har at p er positiv): 1. Det er muligt at finde et heltal p, så a p 0 men a p k = 0 for alle heltal k > 0. Medfører at f(z) har en pol af orden p i z = z 0 samt: f(z) = n= p a n (z z 0 ) n 2. Det er ikke muligt at finde en laveste værdi af p. Medfører at f(z) har en essentiel singularitet i z = z 0. Residuum: Residuet for pol af orden p i z = z 0 kan findes som: R(z 0 ) = a 1 i laurentrækken udviklet omkring z 0 [ 1 d p 1 ] R(z 0 ) = lim z z 0 (p 1)! dz p 1 [(z z 0) p f(z)] For poler af første orden bliver dette: R(z 0 ) = a 1 i laurentrækken udviklet omkring z 0 R(z 0 ) = lim z z 0 [(z z 0 )f(z)] R(z 0 ) = g(z0) h (z 0) hvis g(z 0) 0 og analytisk samt h(z 0 ) = 0 5

6 1.7 Komplekse integraler Cauchy s teorem: Hvis f(z) er analytisk indenfor og på konturen C, samt den afledete f (z) er kontinuert indenfor og på C, så gælder: f(z)dz = 0 Cauchy s integral formel: f(z 0 ) = f(z) z z 0 dz Cauchy s integral formel for n te afledte: f (n) (z 0 ) = n! f(z) 2πi z z 0 n+1 dz Residuum teoremet: c f(z)dz = 2πi j R j Bemærk at residuum teoremet generelt er I = ia 1 (θ 2 θ 1 ), hvorfor at integrationsvejen ved lukkede kurveintegraler afgør, om det skal være plus eller minus 2πi. Positiv omløbsretning medfører +2πi, mens negativ omløbsretning medfører 2πi Integraler af sinusoidale funktioner: Udregn som konturintegral over enhedscirklen i den komplekse plan vha. omskrivninger. I = 2π 0 F (cos θ, sin θ)dθ = 2πi summen af residuer indenfor enh. cirklen cos θ = 1 2 (z + z 1 ) sin θ = 1 2i (z z 1 ) dθ = i z dz Infinit integraler: Hvis f(z) har følgende egenskaber: f(z) er analytisk i den øvre halvplan, Im(z) 0 bortset fra i et endeligt antal af poler, hvoraf ingen af polerne er på den reelle akse. På en semicirkel Γ med radius R, går R f max på Γ mod nul, når R går mod uendelig. (Tilstrækkeligt at zf(z) 0 for z ) 0 f(z)dz og f(z)dz begge eksisterer. Så gælder at: I = 0 f(z)dz = 2πi summen af residuer af poler med Im(z) > 0. 6

7 2 Fourier transformation Fourier transformation f(ω) = F[f(t)] = 1 2π f(t) = 1 2π f(t)e iωt dt f(ω)e iωt dω Convolution h(z) = f(x)g(z x)dx h(k) = 2π f(k) g(k) Parsevals teorem f(x) 2 dx = f(k) 2 dk 7

8 3 La Place transformation La Place transformation f(s) = L[f(t)] = f(t) = L 1 [f(s)] 0 f(t)e st dt Standard La Place transformationer [ ] df L = f(0) + sf(s) for s > 0 dt [ d 2 ] f L dt 2 = df (0) + s[sf(s) f(0)] for s > 0 dt [ ] L t d2 f dt 2 = s 2 df 2sf + f(0) ds L [ d n f dt n [ t L f(u)du o ] ] = s n f s n 1 n 2 df f(0) s dt (0)... dn 1 f (0) for s > 0 dtn 1 = 1 s L[f(t)] L [ e at f(t) ] = f(s a) L [f(at)] = 1 ( s ) a f a L [t n f(t)] = ( 1) n dn f(s) ds n for n = 1, 2, 3... [ ] f(t) L = f(u)du t Se desuden RHB 3. edition side 455. s Convolution L 1 [ f(s)g(s) ] = t 0 f(u)g(t u)du = f g Bromwich integralet Vi vælger λ så alle poler ligger til venstre for den uendelige linie L gående fra s = λ i til s = λ + i. Så gælder at: f(t) = 1 2πi λ+ i λi e st f(s)ds Typisk lukkes integrationsvejen med en halvcirkel til venstre eller højre for linien L. Denne halvcirkel Γ vælges så, ds 0 for s. Dermed kan residuum-teoremet anvendes til Γ at udregne integralet. 8

9 4 Specielle funktioner 4.1 Legendre funktioner Legendres differential ligning: Typisk for fysiske situationer, der involverer kuglekoordinater. (1 x 2 )y 2xy + l(ll + 1)y = 0 Generel løsning for z < 1: y(x) = c 1 y 1 + c 2 y 2 Rodrigues formel: For de første 5 Legendre polynomier se RHB side 578. Gensidig ortogonalitet: d l P l = 1 2 l l! dx l (x2 1) l 1 1 P l (x)p k (x)dx = 0 for l k Udvikling af f(x) i Legendre polynomier: For en funktion f(x), der opfylder Dirichlet betingelserne, gælder for intervallet x < 1 at: Genererende funktion: f(x) = a l P l (x) l=0 a l = 2l G(x, h) = (1 2xh + h 2 ) = f(x)p l (x)dx P n (x)h n n=0 9

10 4.2 Bessel funktioner Bessels differential ligning: Typisk for fysiske situationer, der involverer cylinderkoordinater. x 2 y + xy + (x 2 + y 2 ) = 0 Generel løsning: y(x) = c 1 J ν + c 2 J ν Bessel funktion: Gensidig ortogonalitet: J ν = n=0 ( 1) n ( x ) ν+2n n!γ(ν + n + 1) 2 b a xj ν (αx)j ν (βx)dx = 0 for α β Genererende funktion: G(x, h) = exp [ ( x h 1 )] = 2 h n= J n (x)h n 10