Statička nelinearnost za štap u ravnini (1)
|
|
- Frida Mogensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statička nelinearnost za štap u ravnini (1) K. F. 1. Geometrija pomakâ i deformacija Kaoiobično, uzet ćemo da osštapa leži uravnini xz; kako turavnini razapinjujedinični vektori Øı i Ø k, pripadni je dvodimenzionalni vektorski prostor span Øı, Ø k. Konfiguraciju ravninskoga štapa u ravnotežnom stanju možemo opisati dvjema vektorskim funkcijama skalarne varijable (slika 1.a.): s È Ö0,l ØrÔsÕ, Øe 3 ÔsÕ È V 2 span Øı, Ø k. Funkcija Ør opisuje položaj i oblik osi štapa, a funkcija Øe 3 nagibe ravnina poprečnih presjeka: jedinični vektor Øe 3 ÔsÕ leži na pravcu u kojem se sijeku ravnina osi štapa i ravnina poprečnoga presjeka kroz točku rôsõ odredenu vektorom ØrÔsÕ. Budući da su ravnine poprečnih presjeka okomite na ravninu osi, drugi vektor lokalne ortonormirane baze prostora V 3 s ishodištem u točki rôsõ, koji leži u ravnini poprečnog presjeka, Øe 2 ÔsÕ, bit će okomit na ravninu osi i, stoga, usporedan s vektorom Øj; možemo pisati i Øe 2 ÔsÕ Øj. Napokon, treći je vektor te baze normalni vektor ravnine poprečnoga presjeka, a leži, kao i Øe 3 ÔsÕ, u ravnini osi štapa: Øe 1 ÔsÕ Øe 2 ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ Øj Øe 3 ÔsÕ. Ako je ϑôsõ kut izmedu vektorâ Øı i Øe 1 ÔsÕ, bit će Øe 1 ÔsÕ cosϑôsõøı sinϑôsõ Ø k i Øe 3 ÔsÕ sinϑôsõøı cosϑôsõ Ø k, (1) što znači da je ravnotežna konfiguracija ravninskoga štapa odredena trima skalarnim funkcijama: (skalarnim) komponentama x i z funkcije Ør i funkcijom ϑ. Vektori Øe 1 ÔsÕ i Øe 3 ÔsÕ čine lokalnu bazu ravninskoga vektorskog prostora V 2, pa se vektori u ravnini osi štapa, vezani za točku rôsõ, mogu u komponente rastaviti i u toj bazi: slika 1.b. prikazuje rastav vektora Ør ½ ÔsÕ. Ør ½ ÔsÕ νôsõ Øe 1 ÔsÕ βôsõ Øe 3 ÔsÕ, (2) ØQÔsÕ N ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ T ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ; (3) Kinematičko značenje funkcija ν i β objasnit ćemo analizom nekoliko posebnih slučajeva. Ako jeβôsõ 0, onda je Ør ½ ÔsÕ νôsõ Øe 1 ÔsÕ. To geometrijski znači da jevektor Ør ½ ÔsÕ, kojim je odredena tangenta na deformiranu os u točki rôsõ, kolinearan s normalom Øe 1 ÔsÕ ravnine poprečnog presjeka u toj točki; drugim riječima, ravnina poprečnoga presjeka okomita je na deformiranu os. Ako je još i νôsõ 1, Ør ½ ÔsÕ je jedinični vektor: ÐØr ½ ÔsÕÐ ÐØe 1 ÔsÕÐ 1. U predavanju Jednadžbe ravnoteže štapa (1), na stranicama 5. i 6., pokazali smo da je 1
2 ν ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ Øı x ϑôsõ Øe 1 ÔsÕ Ør ½ ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ Øk ØrÔsÕ Ør ½ ÔsÕ z Øe 3 ÔsÕ β ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ a. b. Øe 3 ÔsÕ Slika 1. razlika duljina infinitezimalnoga lučnog odsječka ÙrÔs,dsÕ i diferencijala dørôs,dsõ Ør ½ ÔsÕds zanemariva, tako da možemo uzeti Ð ÙrÔs,dsÕÐ ÐØr ½ ÔsÕÐds. Uz ÐØr ½ ÔsÕÐ 1 je Ð ÙrÔs,dsÕÐ ds. Kako je i Ð Ùr 0 Ôs,dsÕÐ ds, slijedi da se deformiranjem duljina infinitezimalnoga odsječka osi nije promijenila. Ako je pak νôsõ 1, onda je ÐØr ½ ÔsÕÐ νôsõ, tako da je Ð ÙrÔs,dsÕÐ νôsõds. Omjer λôsõ duljina lučnoga odsječka ÙrÔs,dsÕ u ravnotežnoj konfiguraciji i izvornog odsječka Ùr 0 Ôs,dsÕ neopterećenog štapa, λôsõ Ð ÙrÔs,dsÕÐ Ð Ùr 0 Ôs,dsÕÐ ÐØr ½ ÔsÕÐ, (4) nazivamo koeficijentom rastezanja, pa je λôsõ νôsõ. Za λôsõ 1 je Ð ÙrÔs,dsÕÐ Ð Ùr 0 Ôs,dsÕÐ, što znači da se os štapa u (infinitezimalnom) okolišu točke rôsõ rasteže, a ako je λôsõ 1, os se steže. Koeficijent rastezanja mora biti veći od nule: naime, λôsõ 0 ako je Ð ÙrÔs,dsÕÐ 0 i Ð Ùr 0 Ôs,dsÕÐ 0, a to bi značilo da je odsječak iščeznuo. Vrijednost funkcije ν u materijalnoj točki s možemo poistovjetiti s koeficijentom rastezanja λôsõ samo ako je βôsõ 0. Prema (2) je, za βôsõ 0, ÐØr ½ ÔsÕÐ ν 2 ÔsÕ β 2 ÔsÕ, što znači da duljina deformiranoga odsječka ovisi i o βôsõ, te je opći izraz za koeficijent rastezanja λôsõ ν 2 ÔsÕ β 2 ÔsÕ. (5) Neka je sada βôsõ 0. Ako je vrijednost νôsõ takva da je ÐØr ½ ÔsÕÐ 1, može se reći (slika 2.) da je vektor Øe 1 ÔsÕ nastao zaokretanjem vektora Ør ½ ÔsÕ oko osi odredene vektorom Øe 2 ÔsÕ za kut γôsõ za koji je sinγôsõ βôsõ, pa je γôsõ arcsinβôsõ. Prema tome, γôsõ je posmični kut za koji se promijenio pravi kut izmedu ravnine poprečnog presjeka i tangente na os štapa. Medutim, posmični kut ne ovisi samo o βôsõ nego i o νôsõ, pa je opći izraz, primjenjiv i kada je ÐØr ½ ÔsÕÐ 1, malo složeniji: γôsõ arcsin βôsõ ÐØr ½ ÔsÕÐ Kut izmedu vektorâ Øı i Ør ½ ÔsÕ označit ćemo sa ϕôsõ: arcsin βôsõ λôsõ. (6) ϕôsõ ϑôsõ γôsõ, odnosno, ϑôsõ ϕôsõ γôsõ. 2
3 Øe 1 ÔsÕ γ ÔsÕ ϑôsõ Ør ½ ÔsÕ Ør ½ ÔsÕ β ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ γ ÔsÕ ϑôsõ Øe 1 ÔsÕ β ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ a. γ ÔsÕ b. Øe 3 ÔsÕ γ ÔsÕ Slika Skalarne diferencijalne jednadžbe ravnoteže U rastavu unutarnje sile prema izrazu(3) u komponentu okomitu na ravninu poprečnoga presjeka i komponentu u njoj obje su komponente umnošci dviju funkcija parametra s: vrijednosti komponente i jediničnoga vektora. Derivacija rastava sadrži stoga četiri pribrojnika: ØQ ½ ÔsÕ N ½ ÔsÕ Øe 1ÔsÕ N ÔsÕ Øe ½ 1 ÔsÕ T ½ ÔsÕ Øe 3ÔsÕ T ÔsÕ Øe ½ 3 ÔsÕ. Vektori Øe 1 ÔsÕ i Øe 3 ÔsÕ definirani su izrazima (1) kao kompozicije funkcija (sinus i kosinus funkcije su kuta ϑ koji je funkcija parametra s), pa su njihove derivacije Øe 1 ½ ÔsÕ Ö sinϑôsõ ϑ½ ÔsÕ Øı ÖcosϑÔsÕ ϑ ½ ÔsÕ Ø k ϑ ½ ÔsÕ sinϑôsõøı cosϑôsõ Ø k ϑ ½ ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ κôsõ Øe 3 ÔsÕ, Øe 3 ½ ÔsÕ ÖcosϑÔsÕ ϑ½ ÔsÕ Øı Ö sinϑôsõ ϑ ½ ÔsÕ Ø k ϑôsõ cosϑôsõøı ½ sinϑôsõ Ø k ϑ ½ ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ κôsõ Øe 1 ÔsÕ. Uvrštavanje u prethodni izraz za Q Ø ½ ÔsÕ i, potom, razvrstavanje po komponentama daju ØQ ½ ÔsÕ N ½ ÔsÕ κôsõt ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ T ½ ÔsÕ κôsõn ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ. (7) Skalarnekomponenterastavazadanogaopterećenja Øq 0 ÔsÕuravninskojbazi Øe 1 ÔsÕ, Øe 3 ÔsÕ možemo izračunati i kao njegove projekcije na osi odredene vektorima baze, pa je Øq 0 ÔsÕ Øq 0 ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ Øq0 ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ. (8) Uvedemo li rastave (7) i (8) u vektorsku diferencijalnu jednadžbu ravnoteže sila ØQ ½ ÔsÕ Øq 0 ÔsÕ Ø0, 3
4 dobit ćemo, nakon sredivanja, N ½ ÔsÕ κôsõt ÔsÕ Øq 0 ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ T ½ ÔsÕ κôsõn ÔsÕ Øq 0 ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ Ø0. Budući da su vektori Øe 1 ÔsÕ i Øe 3 ÔsÕ linearno nezavisni, ta će vektorska jednadžba biti zadovoljena samo ako obje njezine skalarne komponente iščeznu, pa su skalarne diferencijalne jednadžbe ravnoteže sila iskazane u lokalnom koordinatnom sustavu N ½ ÔsÕ κôsõt ÔsÕ Øq 0 ÔsÕ Øe 1 ÔsÕ 0, (9) T ½ ÔsÕ κôsõn ÔsÕ Øq 0 ÔsÕ Øe 3 ÔsÕ 0. (10) Vektorska je diferencijalna jednadžba ravnoteže momenata M ½ ÔsÕ Ør ½ ÔsÕ Ø QÔsÕ Øm 0 ÔsÕ Ø0. U ravninskim su problemima vektori svih momenata okomiti na ravninu osi štapa, te su stoga MÔsÕ MÔsÕ Øj i Øm 0 ÔsÕ m 0 ÔsÕ Øj. (11) Kako u izrazu za MÔsÕ vektor Øj ima ulogu konstante, derivacija je M ½ ÔsÕ M ½ ÔsÕ Øj. (12) Lako je pokazati da je i drugi pribrojnik u jednadžbi ravnoteže momenata usporedan s vektorom Øj: Øe 1 ÔsÕ Øj Øe 3 ÔsÕ Ør ½ ÔsÕ QÔsÕ Ø νôsõ 0 βôsõ βôsõn ÔsÕ νôsõt ÔsÕ Øj. N ÔsÕ 0 T ÔsÕ Uvrštavanjem prethodnih izraza u vektorsku jednadžbu dobivamo skalarnu diferencijalnu jednadžbu ravnoteže momenata iskazanu u lokalnom koordinatnom sustavu M ½ ÔsÕ βôsõn ÔsÕ νôsõt ÔsÕ m 0 ÔsÕ 0. (13) Vektore u ravnini osi možemo rastaviti i u komponente usporedne s globalnim osima x i z: Ør ½ ÔsÕ x ½ ÔsÕ Øı z ½ ÔsÕ Ø k, (14) ØQÔsÕ HÔsÕ Øı V ÔsÕ Ø k, (15) Øq 0 ÔsÕ q 0,x ÔsÕ Øı q 0,z ÔsÕ Ø k. (16) 4
5 Za razliku odrastava (3) vektora Ø QÔsÕ ukojem su jedinični vektori funkcije, u (15)vektori Øı i Ø k ne ovise o s, pa je derivacija ØQ ½ ÔsÕ H ½ ÔsÕ Øı V ½ ÔsÕ Ø k. (17) Uvrštavanje u vektorsku diferencijalnu jednadžbu ravnoteže sila daje, uz zahtjev za iščezavanjem obiju skalarnih komponenata, skalarne diferencijalne jednadžbe ravnoteže sila iskazane u globalnom koordinatnom sustavu: H ½ ÔsÕ q 0,x ÔsÕ 0, (18) V ½ ÔsÕ q 0,z ÔsÕ 0. (19) Izrazimo li drugi pribrojnik u vektorskoj jednadžbi ravnoteže momenata pomoću komponenata usporednih s globalnim osima, Øı Øj Ø k Ør ½ ÔsÕ QÔsÕ Ø x ½ ÔsÕ 0 z ½ ÔsÕ z ½ ÔsÕHÔsÕ x ½ ÔsÕV ÔsÕ Øj, HÔsÕ 0 V ÔsÕ dobit ćemo skalarnu diferencijalnu jednadžbu ravnoteže momenata iskazanu u globalnom koordinatnom sustavu: M ½ ÔsÕ z ½ ÔsÕHÔsÕ x ½ ÔsÕV ÔsÕ m 0 ÔsÕ 0. (20) Prikažemo li vektor ØrÔsÕ pomoću pomaka iz početnoga položaja, ØrÔsÕ Ør 0 ÔsÕ ØpÔsÕ x 0 ÔsÕØı z 0 ÔsÕ Ø k uôsõøı wôsõ Ø k x 0 ÔsÕ uôsõ Øı z0 ÔsÕ wôsõ Ø k, prethodna jednadžba uz prelazi u Ør ½ ÔsÕ Ør ½ 0 ÔsÕ Øp ½ ÔsÕ x ½ 0 ÔsÕ u½ ÔsÕ Øı z ½ 0 ÔsÕ w ½ ÔsÕ Ø k, M ½ ÔsÕ z ½ 0 ÔsÕ w ½ ÔsÕ HÔsÕ x ½ 0 ÔsÕ u½ ÔsÕ V ÔsÕ m 0 ÔsÕ 0. (21) Ravni štap možemo smjestiti tako da njegova os leži na osi x, s lijevim krajem u ishodištu, i umjesto parametra s uvesti apscisu x. Tada su Ør 0 ÔxÕ xøı, ØrÔxÕ x uôxõ Øı wôxõ Ø k, Ør ½ ÔxÕ 1 u ½ ÔxÕ Øı w ½ ÔxÕ Ø k, (22) tako da je diferencijalna jednadžba ravnoteže momenata za ravni štap M ½ ÔxÕ w ½ ÔxÕHÔxÕ 1 u ½ ÔxÕ V ÔxÕ m 0 ÔxÕ 0. (23) 5
6 3. Rješenje za ravnu nerastezljivu Bernoulli Eulerovu gredu Prema Bernoulli Eulerovoj pretpostavci pri deformiranju grede poprečni presjeci ostaju okomiti na deformiranu os. To, kao što smo u prvom odjeljku pokazali, uvodi ograničenje βôsõ 0 u rastav (2) vektora Ør ½ ÔsÕ. Tada je koeficijent rastezanja λôsõ νôsõ, pa se nerastezljivost izražava ograničenjem νôsõ 1. Pri rastavu (22) vektora Ør ½ ÔsÕ koeficijent rastezanja izračunavamo prema izrazu λôsõ 1 u½ ÔxÕ 2 w½ ÔxÕ 2. Ako su pomaci wôxõ mali, tada su i zaokreti osi ϕôxõ w ½ ÔxÕ mali, pa je doprinos pribrojnika w ½ ÔxÕ 2 zanemariv. Izzahtjeva λôsõ 1 slijedi zahtjev1 u ½ ÔxÕ 1, odnosno, u ½ ÔxÕ 0. (Usput, to znači da sve točke osi putuju po okomicama na os nedeformiranoga štapa.) Jednadžba (23) pojednostavljuje se tada u M ½ ÔxÕ w ½ ÔxÕHÔxÕ V ÔxÕ m 0 ÔxÕ 0. (24) Ako je m 0 0, tu jednadžbu možemo derivirati: Na temelju jednadžbi (18) i (19) su M ¾ ÔxÕ w ¾ ÔxÕHÔxÕ w ½ ÔxÕH ½ ÔxÕ V ½ ÔxÕ 0. H ½ ÔxÕ q 0,x ÔxÕ i V ½ ÔxÕ q 0,z ÔxÕ, te je M ¾ ÔxÕ w ¾ ÔxÕHÔxÕ w ½ ÔxÕq 0,x ÔxÕ q 0,z ÔxÕ 0. Iz konstitucijske jednadžbe za moment savijanja za Bernoulli Eulerovu gredu, MÔxÕ EÔxÕIÔxÕϑ ½ ÔxÕ EÔxÕIÔxÕw ¾ ÔxÕ, dobivamo M ¾ ÔxÕ EÔxÕIÔxÕw ¾ ÔxÕ ¾. Uzmemo li još da je EÔxÕIÔxÕ EI, bit će M ¾ ÔxÕ EIw IV ÔxÕ, tako da je EIw IV ÔxÕ HÔxÕw ¾ ÔxÕ q 0,x ÔxÕw ½ ÔxÕ q 0,z ÔxÕ 0 (25) 6
7 skalarna diferencijalna jednadžba ravnoteže momenata izražena pomoću komponente pomaka w. Iz jednadžbe ravnoteže sila (18) uz zadnju pojednostavljujuću pretpostavku q 0,x 0 slijedi HÔxÕ H. Dobivena jednadžba ravnoteže EIw IV ÔxÕ Hw ¾ ÔxÕ q 0,z ÔxÕ (26) je nehomogena linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima; pisat ćemo je u obliku w IV ÔxÕ H EI w¾ ÔxÕ q 0,zÔxÕ. (27) EI Silu H ćemo, iako djeluje po osi štapa samo u njegovu početnom, nedeformiranom stanju, zvati uzdužnom silom. Kao što ćemo u nastavku pokazati, rješenja jednadžbe (26) za tlačnu silu bitno se po karakteru razlikuju od rješenjâ za vlačnu silu Utjecaj tlačne sile Uzet ćemo prvo da na štap djeluje tlačna sila intenziteta P t 0. Uvrstimo li H P t u jednadžbu (27), bit će P w IV t ÔxÕ EI w¾ ÔxÕ q 0,zÔxÕ. (28) EI Uvedemo li bezdimenzionalni [provjerite!] koeficijent h l H EI l Pt EI (29) tako da su h 2 P tl 2 EI i P t EI h2 l2, ta jednadžba prelazi u w IV ÔxÕ h 2 l 2 w¾ ÔxÕ q 0,zÔxÕ. (30) EI Teorija diferencijalnih jednadžbi 1 kaže da je opće rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe LÖy f zbroj jednoga njezina posebnog rješenja y p i općeg rješenja y h pripadne homogene diferencijalne jednadžbe LÖy 0. Naime, neka je y r y h y p ; tada je LÖy r LÖy h y p LÖy h LÖy p, 1 Ž. Marković: Uvod u višu analizu. II. dio, Školska knjiga, Zagreb,
8 pri čemu je druga jednakost u stvari odredbeno svojstvo linearnoga operatora L. Budući da y h zadovoljava homogenu jednadžbu, LÖy h 0, i da y p zadovoljava nehomogenu jednadžbu, LÖy p f, slijedi LÖy r 0 f f, dakle, y r je rješenje diferencijalne jednadžbe LÖy f. Nehomogenoj diferencijalnoj jednadžbi (30) pripada homogena jednadžba Napišemo li je u obliku w IV ÔxÕ h 2 l 2 w¾ ÔxÕ 0. (31) w IV ÔxÕ h2 l 2 w¾ ÔxÕ, vidjet ćemo da tražimo funkciju kojoj je četvrta derivacija jednaka drugoj derivaciji pomnoženoj stanovitom konstantom. Funkcija w h ÔxÕ e µx, uz pogodan izbor konstante µ, upravo je takva funkcija: w ¾ h ÔxÕ µ2 e µx i w IV h ÔxÕ µ4 e µx. Po uvrštavanju dobivenih izraza za wh IV ÔxÕ i w¾ hôxõ u (31) dobivamo Å µ 2 h 2 µ 2 e µx 0. l 2 Kako je e µx 0 za svaki x, mora biti Å µ 2 h 2 µ 2 0; (32) l 2 ta se jednadžba naziva karakterističnom jednadžbom homogene diferencijalne jednadžbe(31). Karakteristična će jednadžba biti zadovoljena ako je µ 2 0 ili ako je µ 2 h2 l2, pa su njezini korijeni µ 1 µ 2 0, µ 3 i h i µ 4 i h l l, gdje je i 1. (Sada je jasno zašto smo h definirali pomalo neobično pomoću drugog korijena u protivnom bi se kvadratni korijeni pojavili u µ 3 i µ 4, pa bismo ih morali vući u nastavku.) Za različite korijene µ 3 i µ 4 rješenja su jednadžbe (31) w h,4 ÔxÕ e µ 4x e xihßl i w h,3 ÔxÕ e µ 3x e xihßl. 8
9 Euler je pokazao (1748.) da su e ix cosx i sinx i e ix cosx i sinx, tako da su w h,3 ÔxÕ cos i sin i w h,4 ÔxÕ cos i sin. Za jednake su pak korijene µ 1 µ 2 rješenja jednadžbe (31) w h,1 ÔxÕ e µ 1x e 0 1 i w h,2 ÔxÕ xe µ 1x xe 0 x. Budući da je jednadžba (31) linearna, zadovoljava je i svaka linearna kombinacija dobivenih rješenja: w h ÔxÕ b 1 w h,1 ÔxÕ b 2 w h,2 ÔxÕ b 3 w h,3 ÔxÕ b 4 w h,4 ÔxÕ h h h b 1 b 2 x b 3 cos i sin b 4 cos h h b 1 b 2 x Ô ib 3 ib 4 Õ sin Ôb 3 b 4 Õ cos, h i sin gdjesub 1, b 2, b 3 ib 4 povoljiodabranekonstante. Uvedemolinovekonstante a 3 ib 3 ib 4 i a 4 b 3 b 4, opće je rješenje homogene diferencijalne jednadžbe (31) h w h ÔxÕ b 1 b 2 x a 3 sin a 4 cos. (33) Ako je desna strana nehomogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima polinom, i njezino je posebno rješenje polinom; stupanj polinoma u rješenju jednak je zbroju stupnja polinoma na desnoj strani i reda najniže derivacije na lijevoj strani jednadžbe 2. U jednadžbi (30) najniža je derivacija druga derivacija. Uzet ćemo da je q 0,z ÔxÕ q 0, tako da je jednadžba koju rješavamo w IV ÔxÕ h 2 l 2 w¾ ÔxÕ q 0 EI ; (34) slobodni je član, dakle, polinom nultoga stupnja. Rješenje ćemo stoga tražiti u obliku Uzastopnim deriviranjem dobivamo w p ÔxÕ c 0 c 1 x c 2 x 2. w ½ p ÔxÕ c 1 2c 2 x, w ¾ p ÔxÕ 2c 2 i w p ÔxÕ wiv ÔxÕ 0. 2 Ž. Marković: Uvod u višu analizu. II. dio. 9
10 Uvrštavanje u jednadžbu (34) daje 2 h2 l c 2 2 q 0 EI, pa je c 2 q 0l 2 2EIh2. Posebno je rješenje te jednadžbe, prema tome, w p ÔxÕ c 0 konstante c 0 i c 1 naizgled ostaju neodredene. c 1 x q 0 l 2 2EIh 2 x2 ; (35) Opće rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe (34) dobit ćemo pribrajanjem njezina posebnog rješenja (35) općem rješenju (33) pripadne homogene jednadžbe (31): wôxõ w h ÔxÕ w p ÔxÕ Ôb 1 c 0 Õ Ôb 2 c 1 Õx a 3 sin a 4 cos q 0 l 2 2EIh 2 x2 ; naravno, konstante b 1 c 0 i b 2 c 1 možemo zamijeniti konstantama a 1 i a 2, te je, na kraju, h wôxõ a 1 a 2 x a 3 sin a 4 cos q 0 l 2 2EIh 2 x2. (36) Dobiveno opće rješenje sadrži četiri zasad neodredene konstante a 1, a 2, a 3 i a 4. Njihove vrijednosti odreduju rubni uvjeti potrebna su stoga četiri rubna uvjeta. Za obostrano upetu gredu (s oslobodenim uzdužnim pomakom na jednom kraju, kako bi se mogla unijeti sila P t ) rubni su uvjeti wô0õ 0, w ½ Ô0Õ 0, wôlõ 0 i w ½ ÔlÕ 0. Za drugi i četvrti uvjet treba nam derivacija izraza (36): h h w ½ ÔxÕ a 2 a 3 l cos h h a 4 l sin q 0 l 2 EI h 2 x. Rubni uvjeti daju sustav koji sadrži četiri jednadžbe sa četiri nepoznanice a 1, a 2, a 3 i a 4 : wô0õ 0 a 1 a 4 0, w ½ Ô0Õ 0 a 2 a 3 h l 0, wôlõ 0 a 1 a 2 l a 3 sinh a 4 cosh q 0 l 4 2EIh 2 0, h w ½ ÔlÕ 0 a 2 a 3 l cosh a h 4 l sinh q 0 l 3 EI h 0. 2 Njegovo je rješenje: a 1 q 0l 4 2EIh 3 1 cosh sinh, a 2 q 0l 3 2EIh 2, a 3 q 0l 4 2EIh 3, a 4 q 0l 4 2EIh 3 1 cosh sinh. 10
11 Uvrštavanjem u izraz za drugu derivaciju h 2 h w ¾ ÔxÕ a 3 l sin 2 h 2 h a 4 l cos 2 ql 2 EIh 2 (37) konačno dobivamo sredeni izraz za moment savijanja MÔxÕ EIw ¾ ÔxÕ q 0l 2 h h sin 2h 2 h 1 cosh sinh cos 2 ; (38) primjenom jednakosti ctg α 2 1 cosα sinα MÔxÕ q 0l 2 h h sin 2h 2 taj se izraz možda može malo pojednostavniti: h ctg h h 2 cos Utjecaj vlačne sile Za vlačnu je silu H P v, P v 0, postupak rješavanja diferencijalne jednadžbe u osnovnim koracima analogan. Nehomogena diferencijalna jednadžba, dobivena uvrštavanjem H P v u jednadžbu (27), sada je odnosno, gdje je w IV ÔxÕ P v EI w¾ ÔxÕ q 0,zÔxÕ, (39) EI w IV ÔxÕ h2 l 2 w¾ ÔxÕ q 0,zÔxÕ, (40) EI h l dok je pripadna homogena jednadžba H EI l Pv EI, (41) w IV ÔxÕ h2 l 2 w¾ ÔxÕ 0. (42) Rješenje homogene jednadžbe ponovo ćemo tražiti u obliku w h ÔxÕ e µx, pa je karakteristična jednadžba µ 2 h2 µ 2 0; l 2 Njezinim korijenima µ 1 µ 2 0, µ 3 h l i µ 4 h l 11
12 odgovaraju rješenja homogene jednadžbe w h,1 ÔxÕ e µ 1x 1, w h,2 ÔxÕ xe µ 1x x, w h,3 ÔxÕ e µ 3x e xhßl, w h,4 ÔxÕ e µ 4x e xhßl. Opće je rješenje homogene jednadžbe linearna kombinacija tih rješenja: Kako su w h ÔxÕ b 1 b 2 x b 3 e xhßl b 4 e xhßl. shx ex e x 2 i chx ex e x, 2 opće rješenje homogene jednadžbe (42) možemo pisati u obliku w h ÔxÕ b 1 b 2 x a 3 sh a 4 ch. (43) Uzet ćemo da je opet q 0,z ÔxÕ q 0, pa je nehomogena diferencijalna jednadžba koju rješavamo w IV ÔxÕ h2 l 2 w¾ ÔxÕ q 0 EI. (44) Potražimo li, kao i ranije, njezino posebno rješenja u obliku w p ÔxÕ c 0 c 1 x c 2 x 2, bit će 2 h2 l c 2 2 q 0 EI i, odatle, c 2 q 0l 2 2EIh2, tako da je traženo posebno rješenje w p ÔxÕ c 0 c 1 x q 0l 2 2EIh 2 x2. (45) Opće je rješenje jednadžbe (44), prema tome, wôxõ a 1 a 2 x a 3 sh a 4 ch q 0l 2 2EIh 2 x2, (46) a njegova su prva i druga derivacija h h w ½ ÔxÕ a 2 a 3 l ch h 2 h w ¾ ÔxÕ a 3 l sh 2 h h a 4 l sh h 2 h a 4 l ch 2 12 Å q 0l 2 EI h 2 x, q 0l 2 EI h2. (47)
13 Rubni uvjeti daju sustav jednadžbi za odredivanje vrijednosti konstanata a 1, a 2, a 3 i a 4. Primjerice, za našu je obostrano upetu gredu (s mogućnošću unošenja uzdužne sile) Rješenje je tog sustava: wô0õ 0 a 1 a 4 0, w ½ Ô0Õ 0 a 2 a 3 h l 0, wôlõ 0 a 1 a 2 l a 3 shh a 4 chh q 0l 4 2EIh 0, 2 h w ½ ÔlÕ 0 a 2 a 3 l chh a h 4 l shh q 0l 3 EIh 0. 2 a 1 q 0l 4 2EIh 3 1 chh shh, a 2 q 0l 3 2EIh 2, a 3 q 0l 4 2EIh 3, a 4 q 0l 4 2EIh 3 1 chh shh. I na kraju, izraz je za moment savijanja MÔxÕ q 0l 2 h h sh 2h 2 h 1 chh shh ch 2, (48) ili, uz cth α 2 1 chα shα, MÔxÕ q 0l 2 2h 2 h sh h cth h 2 ch h Å 2. 13
14 14
+ E vdw. + E b. + E t. + E cross. + E es
MOLEKULARNA MEHANIKA Molekularna mehanka je matematčka procedura za računanje energje molekularnh sustava Elektron u račun nsu uključen eksplctno, već ndrektno, putem parametrzacje. Atom se promatraju
Læs mereAtomske orbite vodoniku slicnih atoma Dusan Stosic, Serbia Zemun, Starca Vujadina 11
Atomske orbite vodoniku slicnih atoma Dusan Stosic, Serbia 080 Zemun, Starca Vujadina stosicdusan@yahoo.com > restart : with(plots) : fonte := titlefont=[times,roman,] : read `R.txt` : # parties radiales.
Læs mereDISKRETNE STRUKTURE 1. Жarko Mijajlovi Zoran Petrovi Maja Roslavcev
DISKRETNE STRUKTURE 1 Жarko Mijajlovi Zoran Petrovi Maja Roslavcev S a d r ж a j 1 Uvod 1 1.1 Prirodni brojevi........................... 1 1.2 Celi brojevi.............................. 2 1.3 Racionalni
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereIndoor wireless headphones
Register your product and get support at www.philips.com/welcome Indoor wireless headphones SHC8535 SHC8575 HR Korisnički priručnik SHC8535 SHC8535 A a b B a c d b e f c C D E F a G b H I 1 Što se nalazi
Læs mereDANSKI ZDRAVSTVENI SEKTOR Det danske sundhedsvæsen
DANSKI ZDRAVSTVENI SEKTOR Det danske sundhedsvæsen Bosnisk/Kroatisk/Serbisk Det danske sundhedsvæsen Denne pjece fortæller kort om det danske sundhedsvæsen, og om de forskellige steder, man kan blive undersøgt
Læs mere10, a 3 4 = < a 10 < 15
REXE A ZAATAKA: 4. RAZRE 1. Ima ih 15. To su: AG, GC, CGF, AGF, AF E, EF, CF, CE, AE, ACF, AC, AF, CF, ACE i AC. (za svaki navedeni trougao po 1 bod plus 5 bodova ako su svi navedeni) 2. (ML 2, god. 2004/5,
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereBILINGUAL APHASIA TEST
Oznaka pacijenta: Datum testiranja: Vrijeme testiranja: od do Ispitivač: Michel Paradis McGill University BILINGUAL APHASIA TEST PART C Dansk-Bosnisk Bilingvalisme Bosansko-Danska dvojezičnost Dio C bilingvalnog
Læs mereÓ³ Ÿ , º 2(193).. 505Ä ²,.. Ìμ ²Ö μ, Œ.. ʲ,.. μ μ,.. ŠÊ²,.. ŠÊ² ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê
Ó³ Ÿ. 2015.. 12, º 2(193).. 505Ä516 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ Š ˆ œ Š œ Œ Š Š º 3 Š ˆ -2.. ²,.. Ìμ ²Ö μ, Œ.. ʲ,.. μ μ,.. ŠÊ²,.. ŠÊ² ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μé ² ÕÉ Ö ³ Éμ ± ʲÓÉ ÉÒ ³ Ö ËË Í ²Ó μ ²μÉ μ É μ- Éμ±
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mere2013. ²Ö Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ É ² μ μ³ μ μ² Ö μ μ - μ μ Ô± Éμ ÊÉ ² Í C ³ ² É μ- ³³Ò É Ö Ò² ÒÐ Î ³Ò³ μ Ò- É Ö³ μ Ì Ë Ì ÖÉ ²Ó μ É Ï μ ³ Ê- μ μ μ ÊÎ μ μ Í É. Î É μ É, μ É ÊÉ ÊÏ É ²Ó Ò μ É Ï Ì - μ ÒÌ Ê É μ
Læs mereDataprogrammerne i HELP Start. HELP Spell Start: SS
HELP Spell Start: SS Øvelse Indhold L M S A.1.1: A.1.2: A.1.3: A.1.4: A.1.5: A.1.6: A.1.7: A.1.8: A.1.9: A.1.10: A.1.11: A.1.12: A.1.13: A.1.14: A.1.15: A.1.16: A.1.17: A.1.18: A.1.19: A.1.20: A.2.1: A.2.2:
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs merePrvi banjalučki portal
#BOKBMVLB DPN www.banjaluka.com Prvi banjalučki portal Najposjećeniji informativni portal u banjalučkoj regiji Marketing služba Email: marketing@banjaluka.com Mob: +387 66 99 66 00 Tel: +387 51 962 405
Læs mereOutline. Chapter 6: (cont d) Qijin Chen. November 21, 2013 NH = =6 CH = 15 4
Chapter 6: Qjn Chen Department of Physcs, Zhejang Unversty November 1, 013 Copyrght c 013 by Qjn Chen; all rghts reserved. ω 3 4 1. (cont d) 1 3 n3n3n 3n (x 1, y 1, z 1 )(x, y, z ) (x 1 x ) + (y 1 y )
Læs mereIndhold. 4 Beretning Markedsføring i Kina 7 Lokalt samarbejde 8 1 ud af 3 gæster på 2 hjul 9 Møder og events 10 Fri adgang til natur
Å I f f I f - f f f f f f f f f I f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f I f f f f f f f f f f f f f f f f f f I f f V f f f f f f f f f f V f f C f f C V f f Ø f C I f C V f f f f f f - % f V V
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs merePreben Alsholm. 13. marts 2008
Arcus, I 13. marts 2008 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) Arcus, I I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : Arcus,
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereTKF 7231. Sušilica Tørrer Dryer
TKF 7231 Sušilica Tørrer Dryer Prije rada s uređajem, molimo pročitajte ovaj korisnički priručnik! Poštovani kupci, Nadamo se da će Vam Vaš proizvod, proizveden u suvremenim postrojenjima i koji je prošao
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereT. 8 GEOSTATIČNA ANALIZA 97G/2017
Geogaia d.o.o. Dimičeva ulica 14, 1 Ljubljana Tel: 51-612-99 e-mail: milan.zerjal@geogaia.si www.geogaia.si T. 8 GEOSTATIČNA ANALIZA 97G/217 Kontrolo geostatične analize smo naredili v profilu P2. Račun
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereEn besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1
En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 Ole G. Mouritsen og Hans Jørgen Munkholm 21. oktober 2003 1 Hængebroen Et stykke af kablet af den omtalte form har i vort koordinatsystem endepunkter med koordinater
Læs mereMatthias Beck Gerald Marchesi Dennis Pixton Lucas Sabalka
Matthias Beck Gerald Marchesi Dennis Pixton Lucas Sabalka Version.53 z 7! z 2 0 + i i x 2 + = 0. i i 2 + = 0 i 2 = i x 3 + px + q q q 2 4 + p3 27 p q C := {(x, y) : x, y 2 R}, (x, y)+(a, b) := (x
Læs mereLYD OG MUSIK. Forskellige typer lyd i film, og hvad de bruges til.
K APITEL 2 FILMISKE VIRKEMIDLER LYD OG MUSIK I il l I læ : Flli y ly i fil, h bu il. Effly, lly, fly-ly, buly, il, ic- ulæiui, h bu il i fil. F: ui 26 Ly ui På å øj, å i fil, ly ø. Oå h øj ll, h i hø.
Læs mereo pušenju i prestanku pušenja
B O S A N S K I / H R VAT S K I / S R P S K I / B K S Č I N J E N I C E I S AVJ E T I o pušenju i prestanku pušenja O PA S A N D I M Kad god udahneš dim cigarete ili lule, zajedno sa dimom udahneš i 200
Læs mereVIGTIG TRAFIKINFORMATION
f ø pf I pø ø ø é I I É é I ø ø I p I y W ø w p y Æ f y ü ø ø ø pp p f f f p W y II p É c I É ü C ø ff f f f Æ p ø É y Y ø Y f y f IX C É I yø Y y ø p ø Y I ø I Æø Æ p p ø C p f I y y ø ø f f ø f y ø y
Læs mereBod lji ka vo pra se
Džu li jan Barns Bod lji ka vo pra se The Porcu pi ne 1992. obra da : Lena www.balkandownlo ad.org 2 3 Za Di mitri nu 1 Sta rac je sta jao bli zu pro zo ra na šestom spra tu ono li ko ko li ko mu je to
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereGuds Søn har gjort mig fri. f. bœ
Allegretto 1 ( = a 100) Sor/Alt Tenor/Bass 5 5 1 Sa q Guds Guds Søn har gort mig ri (Hans Adolh Brorson) Søn tans Ty-ran - ni har gort mig ri ra ra Sa - tans har molto rit Oddvar S Kvam, o 1 har gort mig
Læs merefor export of petfood (non-canned) to Croatia/ for eksport af petfood (ikke-dåse) til Kroatien (vedr. veterinærcertifikat La 23,0-2281)
INTERIORVETERINARY CERTIFICATE / INDENRIGSVETERINÆRTCERTIFIKAT for export of petfood (non-canned) to Croatia/ for eksport af petfood (ikke-dåse) til Kroatien (vedr. veterinærcertifikat La 23,0-2281) Denne
Læs mere1 JENS PORSBORG Jela HENRIK DAHL
1 JENS PORSBORG Jela HENRIK DAHL Kære elev! Vi lærer at læse ved at læse. Og for at blive en god og sikker læser, skal vi læse meget rigtig meget. Når du skal læse ord, skal du bruge bogstavernes lyde
Læs mereLineær beamoptik 1. Vi starter med en meget kort repetition fra sidste gang. Derefter: Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.
Lineær beamoptik 1 1 Vi starter med en meget kort repetition fra sidste gang Derefter: Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3) Indledning / overblik Koordinatsystem Rækkeudvikling af feltet Bevægelsesligningen
Læs mereˆ Š ˆ ˆ É ÉÊ, ± Ö, ²μ Ö.. ƒ μ ±μ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2009.. 40.. 5 ˆ Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ É ÉÊ, ± Ö, ²μ Ö.. ƒ μ ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 1273 ˆ ˆŸ ˆ Œ Ÿ ˆ 1279 Œ ƒˆ ˆ Šˆ ƒ Œ ˆŠ 1286 Š -Œ ˆ Š Ÿ Œ œ ˆ Š ˆ ˆ 1290 Œμ ²Ó ÉμÎ ±μ³. 1291 ² Ò Î Ò Ê ²μ
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereUsing OWL ontologies for making decisions in knowledge-based systems
Using OWL ontologies for making decisions in knowledge-based systems Poreč, 17.10.2008. Marin Prcela, LIS - IRB Uvod Tko je ekspert? Što je ekspertni sustav? U čemu se ekspertni sustav razlikuje od klasičnog
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereŽENE I ZDRAVLJE. - znanje o prevenciji i abortusu
ŽENE I ZDRAVLJE - znanje o prevenciji i abortusu Željeno dijete 3 Moramo da pričamo o tome 4 Razgovor sa ljekarom 6 Trudnoća i ciklus 8 Željeno dijete Koju vrstu prevencije (kontracepcije) izabrati? 10
Læs mereDialog om tidlig indsats Udveksling af oplysninger i det tværfaglige SSD-samarbejde og fagpersoners underretningspligt
Dialog om tidlig indsats Udveksling af oplysninger i det tværfaglige SSD-samarbejde og fagpersoners underretningspligt Servicestyrelsen Edisonsvej 18 5000 Odense C Tlf.: +45 72 42 37 00 Fax: +45 72 42
Læs mere(AUTO)EGZOTIZACIJA BALKANA I ETNOGRAFIJA NOSITELJA ZNA ENJA U TRI PRIMJERA SEDME UMJETNOSTI
Izvorni znanstveni lanak Primljeno: 08. 07. 2011. Prihva eno: 20. 09. 2011. UDK 791.44(497.5) ANDREA MATOŠEVI Odjel za studij na talijanskom jeziku, Sveu ilište Jurja Dobrile u Puli, Pula (AUTO)EGZOTIZACIJA
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereSide 1 af 9. Hvordan er resultatrapporten bygget op? Hvordan følger vi op på vores undersøgelse? 1. Simple tabeller. Besvarelser i alt.
! "! # $ % & ' & ( & ) * + ), ( & -. / & - 0 1 ) 2.. & ' 3 4 5 2 6 6 & ( 2 * & ( ' & 0 7 ' - & (. 8 9 ( 4. 6 : ) * + ) 5 ) 2.. & ' 3 4 5 2 6 6 & ( 2 * & ( ' & ; 3 6 ( & 4 ) & ( 0 < 3 = ' + ' 4 0 1 ) 2..
Læs merePropædeutik: Grammatik, tekster, gloser
1 Madsen, Martin Schou: "Grammatik" 1 Kilde: eget manuskript Upubliceret, 1999 ISBN: INTET 2 Zivanic, Lj.; Selimovic-Momcilovic, M.: "Prva lekcija - Tekst A - Aerodrom Beograd" 105 3 Zivanic, Lj.; Selimovic-Momcilovic,
Læs mere6. Forenkling af bedømmelse af ansøgere til videnskabelige stillinger
D E T H U M A N I S T I S K E F A K U L T E T A K A D E M I S K R Å D K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T ET Indkaldelse til Akademisk Råds møde tirsdag den 3. marts 2015 2015 Tidspunkt: kl. 10.00-12.00
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ
ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ú Ö Ò Ò ÐÝ ÇÔ º½ Ð Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ò º º Ð Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÒÔÙØ ÖÓÙÔ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ú º¼¼ Ø Ú º ¼ Ø Ú º Ø Ú ½¼º¼¼ Ø Ú ½ º¼¼ Ø Ú º ¼ Ô Ú ½½º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½½º Ô Ú ½¼º ¼ Ô Ú ½ º¼¼ Ò Ò
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ÓÖ Ð Ò Ö Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mere! " # !" # $ % & ' ( ) * +, -. /
!"#!# $%!"#$%&' ()*+,-./0' # ; >? FGHI J'# KLH MN KL!"#$%#&'()*+,-./ 0+ + 2 3456789:6;
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mere8GYLNOLQJHQ L WLOVNXGGHQH WLO (8' Sn ILQDQVORYHQ RJ IUHPWLGHQV Y
b Z V W / * 4/ 1 Sagsnr. 6-1 Ref. les Den. juni 7 Beregningerne bag notatet: 8GYLNOLQJHQ L WLOVNXGGHQH WLO (8' Sn ILQDQVORYHQ RJ IUHPWLGHQV NUDYWLO(8' 6 7 8 9 : ; < = >? @ : A 7 B > 7 > 8 B C 7 D B E 9?
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereBIBELEN OG VERDEN. Et barn (eller to) er født i Betlehem GIV BØRNENE JULE- EVANGELIET. 12 sangere hjælper hiv-ramte børn. Levende debat om Bibelen
IELE OG VEDE 4 2014 E ( ) GIV ØEE JULE- EVGELIET L T 12 j - L IELE OG VEDE IDHOLD S 6-9 M j 6 4 2014 IELSELSKET F 50 1360 K K T: 33 12 78 35 @ www SV UDGIVE M T Hj E DEG I E KIKE J D - j Gz I FOTO: Scx
Læs mereNykredit Marathon 19. MAJ 2013
yi Cph h 19 AJ 2013 RU CPEAE l f f i h å 12000 lø fyl Køh il 34 f yi Cph h F ålå hf på Il By lø på fl i I By ifl yh, fi i Ali Tili i y pl f FLKEFET I IDRE KBEA yi Cph h y i h f Køh i, h p plipi i il flili
Læs mereBosnisk/kroatisk/serbisk børnelitteratur. Bosanske/hrvatske/srpske knjige za dijecu
Bosnisk/kroatisk/serbisk børnelitteratur Bosanske/hrvatske/srpske knjige za dijecu 2008-2009 Za korisnike: Katalog je izrađen u saradnji sa BiblioteksCenter for Integration i sadrži materijale na bosanskom/hrvatskom/srpskom
Læs mereUge
Nyhedsbrev Michael Skolen Uge 3 2018 www.michaelskolen.dk/nyhedsbreve/nyhedsbreve/ ! " # $ % & ' ( ) ' * +, - '. #, # ' ( / 0 ) ' % ( 1 / +,.! " " 2 " 3 4 5 6 7 (, * (. * #, 8 9 0 # : ' ; ( ' $ / 9 < =
Læs merePOVEZNICA IZME U TRADICIONALNE I SUVREMENE INDIJE
Stru ni rad Primljeno: 28. 07. 2011. Prihva eno: 15. 10. 2011. UDK 393.98(540) MLADEN MRVELJ Zagreb SAT : POVEZNICA IZME U TRADICIONALNE I SUVREMENE INDIJE Rad je donekle skra ena verzija diplomskoga rada
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSTATIONS MODERNI- SERINGER
T- 2015-16 TRU. 372 Offi STTIOS MOERI- SERIER PLER FOR 2017-2019 I EOL TIL KOTRKT MELLEM TRSPORT- O BYISMIISTERIET O SB OM TRFIK UFRT SOM OFFETLI SERICE I PERIOE 2015-2024 1 Rih: R i hi SB h f i i i i
Læs mereŽIVOTINJA, PJESNIK, UDOVIŠTE, BOG: BESTIJARIJ I BIBLIJSKI IZVORI POEZIJE NICKA CAVEA
Izvorni znanstveni lanak Primljeno: 22. 02. 2011. Prihva eno: 10. 10. 2011. UDK 821.111(94)-31=163.42 22:78.036ROCK 78.071CAVE, N. BORIS BECK Zagreb ŽIVOTINJA, PJESNIK, UDOVIŠTE, BOG: BESTIJARIJ I BIBLIJSKI
Læs merePRIOR inženjering d.o.o. 01/ AutoCAD II. Stupanj Napredne tehnike rada. Autor: Zdenko Kožar
PRIOR inženjering d.o.o. 01/3011-602 AutoCAD 2011 II. Stupanj Napredne tehnike rada Autor: Zdenko Kožar Zagreb, 03. rujan 2010 Naredba Revcloud Kartica Home Panel Draw REVCLOUD Draw Revision Cloud Nakon
Læs mere¾
Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ñ Ø Ñ Ø Ã Ò Ú Ò Í Ò Ú Ö Ø Ø ½½º ÙÒ ¾¼½¼ Ù Ð Ó ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö Ø Ò ËÐ ØÓÖÒ ÐÓÖÔÖÓ Ø Ñ Ø Ñ Ø Î Ð Ö Æ Ø Ð Ï Ð ¾ ÁÒ ÓÐ Ê ÙÑ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö ½ ¾ Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ
Læs mereAutoCAD D vizualizacija
PRIOR inženjering d.o.o. 01/3011-602 AutoCAD 2011 3D vizualizacija Napisao: Zdenko Kožar 03. rujan 2010 Primjena materijala Korištenjem materijala u modelima značajno se poboljšava jasnoća prvobitne ideje
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereSTATIONS MODERNI- SERINGER
T-, - 2018-19 TRU. - 87 Offi STTIOS MOERI- SERIER PLER FOR 2019-2021 I EOL TIL KOTRKT MELLEM TRSPORT-, BYIS- O BOLIMIISTERIET O SB OM TRFIK UFRT SOM OFFETLI SERICE I PERIOE 2015-2024 1 Rih: R i hi SB h
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Læs mereReskontrakoder vid kundfakturering Reskontra -posttyp Kodbenämning Inst. Nr. A1 SVENSKA 100 A2 MYNDIGH 100 A3 UTLÄNDSKA 100
Reskontrakoder vid kundfakturering 2017-05-04 Reskontra -posttyp Kodbenämning Inst. Nr. A1 SVENSKA 100 A2 MYNDIGH 100 A3 UTLÄNDSKA 100 C1 SVENSKA 102 C2 MYNDIGH 102 C3 UTLÄNDSKA 102 M1 SVENSKA 103 10310
Læs mereMEDICINSKA TERAPIJA U LIJEČENJU RAKA
Patientinformation/Informacije za pacijente MEDICINSKA TERAPIJA U LIJEČENJU RAKA Patientinformation MEDICINSK KRÆFTBEHANDLING Dansk/Bosnisk/Kroatisk/Serbisk Informacije za pacijente MEDICINSKA TERAPIJA
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÁÒ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ò Ö Ô µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù
Læs mere8ä S& 4$ ;9<R! 4$ :" )$#" 4$ :<<R! 9$ c+ f =Nwx!Y üf ( S n«! Od ò - S ] n!u s S c + ó Ï' :$ c+ f =Nwx! Z<]n i
- / 1 U = # # : 9 - +@ + +1$- > 5 B B $ 3 /- +; @-!> +; @#-! $ 1# #$ +? / $ / / $ 1 : 6 $ - $ : 6 3 1 2 +, 6 1 +,$ a F - +@ + +1$ A> BP T 4 SRT 1 @T E 5 T > 5? SR; > 5FG +, E > F? BP MN D 5>! BP I5? 4
Læs mereDET PERIODISKE SYSTEM
DET PERIODISKE SYSTEM Tilpasset efter Chemistry It s Elemental! Præsentation fra the American Chemical Society, Aug. 2009 http://portal.acs.org/portal/publicwebsite/education/outreach/ncw/studentseducators/cnbp_023211
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
Læs mereSymptomer på kræft Kræftens Bekæmpelse. Simptomi raka. Bosnisk/Kroatisk/Serbisk
Symptomer på kræft Kræftens Bekæmpelse Simptomi raka Bosnisk/Kroatisk/Serbisk Rak je va zno otkriti u ranom stadiju. Sto se rak ranije otkrije, to su i sanse za pozitivan rezultat lije cenja veće. Zato
Læs mere