6.1 Reelle Indre Produkter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "6.1 Reelle Indre Produkter"

Transkript

1 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II x, y = y, x, III αx + βy, z = α x, z + β y, z. Associeret til det indre produkt er en længde (eller norm) v = v, v for v V. Aksiom I fortæller, at v =0 v = 0. Læg mærke til, at av = a v for alle a R og v V. Eksempel 6.1., 1: skalarproduktet i R n x, y = x T y er et indre produkt på R n. Eksempel 6.1., : indre produkt induceret med hjælp af en basis Hvis det reelle vektorrum V har ordnet basis V = {v 1,..., v n }, så er, V, givet ved x, y V = ([x] V ) T [y] V, et indre produkt. Aksiomerne I, II, og III følger nemt af de tilsvarende egenskaber for skalarprodukt, fordi koordinatiseringsafbildningen θ V er en lineær isomorfi. Det viser sig, at alle indre produkter på endelig dimensionale reelle vektorrum er af denne form. Eksempel 6.1., 3: et indre produkt på C[a, b] Et indre produkt på C[a, b] er givet ved f, g = b a f(x)g(x)dx. Lineariteten af integralet viser II, III umiddelbart. For I, vi bemærker, at f, f = b a (f(x)) dx er integralet af en kontinuert reel og ikke-negativ funktion, så f, f 0. Hvis f(x 0 ) 0, så er (f(x)) 1 (f(x 0)) > 0 for x i et (måske lille) interval I, lad os sige af længde l(i), omkring x 0 så så hvis f 0, f, f > 0. b a (f(x)) dx 1 (f(x 0)) l(i) > 0; 9

2 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Definition Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. u, v V er ortogonale (i kort form u v) hvis u, v =0. Sætning (Pythagoras) Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,, og lad u, v V være ortogonale. Der gælder u + v = u + v. u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u, u v, v = u + v. Definition Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. Hvis u, v V, v 0, så er skalarprojektionen af u på v α = ( ) 1 mens vektorprojektionen er p = α v v u, v v, = u,v v,v v. Lemma Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,, lad u, v V med v 0, og lad p være vektorprojektionen af af u på v. 1. u p, p er ortogonale.. u = p hvis, og kun hvis, u er et skalarmultiplum af v. 1. u p, p = u, p p, p = u,v v,v α =0.. Hvis u = βv, så er p = βv,v v,v v = βv = u. Hvis u = p så er u = p = α v v. 93

3 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Sætning (Cauchy Schwarz) Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. Lad u, v V. Der gælder u, v u v, og ligheden gælder hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. Hvis v = 0, så har vi lighed, u, v =0= u v. Hvis v 0 lad p være vektorprojektionen af u på v. Da p, u p er ortogonale ifølge Lemma 6.1.6, 1, gælder u = p + u p, så så Vi har derfor u, v u v. u, v v = α = p = u u p, u, v = u v u p v u v. Ligheden holder i ( ) hvis, og kun hvis, u = p. Det følger nu af Lemma 6.1.6,, at ligheden i Cauchy-Schwarz-uligheden gælder hvis, og kun hvis, v = 0 eller u er et skalarmultiplum af v, dvs. hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. ( ) Sætning (Trekantsuligheden) Lad V være et R-vektorrum med indre produkt,. 1. Lad u, v V. Der gælder, at u + v u + v. ( ). Ligheden gælder i ( ) u = av eller v = au med a 0. 94

4 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 1. u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v u + u v + v (Cauchy Schwarz) =( u + v ), så u + v u + v.. Det er klart, at udsagnet gælder, når v = 0. Så vi antager v 0. Det fremgår af udregningen ovenfor, at u + v = u + v u + v =( u + v ) u, v = u v u, v = u v : Cauchy Schwarz ligheden gælder, så u, v er lineært afhængige. Da v 0, må dette betyde, at u = av, a R. Vi har derfor u, v = av, v = a v, v = a v og u v = av v = a v. Så u, v = u v a = a, dvs. a 0. : Hvis u = av med a 0, så er u, v = a v og u v = a v. Da a = a er u, v = u v, så u + v = u + v. Korollar Lad V være et R-vektorrum med indre produkt,. lad v 1,..., v k V. Der gælder v v k v v k, med lighed hvis, og kun hvis, der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i =1 med v j = a j v i for j =1,..., k. 95

5 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Hvis der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i = 1 med v j = a j v i for j =1,..., k, så er v v k = (a a k )v i så ligheden gælder i dette tilfælde. =(a a k ) v i ( fordi a a k er reelt og ikke-negativt) = a 1 v i a k v i ( fordi a 1,..., a k er reelle og ikke-negative) = v v k, Resten af argumentet er induktivt over antallet k af elementer. Resultatet gælder umiddelbart når k =1. Antag så, at det gælder for k elementer; vi må vise, at det gælder for k +1elementer. Lad så v 1,..., v k+1 V. Vi har v v k+1 v v k + v k+1 (pga. trekantsuligheden) v v k + v k+1 (pga. induktionshypotesen) ( ) som ønsket. Antag nu, at Så er begge uligheder i ( ) ligheder, så v v k+1 = v v k + v k+1. enten er v v k = 0 eller findes der reel α 0 så v k+1 = α(v v k ) (pga. trekantsligheden), og der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i = 1 med v j = a j v i for j =1,..., k (pga. induktionshypotesen). Hvis v v k = 0, så er (a a k )v i = 0. Da a a k > 0, fordi a j 0 for j =1,..., k og a i =1, må v i =0. Men så er v j = a j v i = 0 for j =1,..., k, og v j = b j v k+1 med b j =0for j =1,..., k og b k+1 =1. Hvis v k+1 = α(v v k ), så er v k+1 = α(a a k )v i. Lad a k+1 = α(a a k ); så er v j = a j v i for j =1,..., k +1med a j 0 for j =1,..., k +1og a i =1. Induktionsskridtet er taget, og resultatet derved bevist. 96

6 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER 6. Komplekse Indre Produkter Definition 6..1 Lad V være et C vektorrum. Et (komplekst) indre produkt er en afbildning, : V V C, som tilfredsstiller: I v, v er reel og ikke negativ for alle v V ; og er 0 hvis, og kun hvis, v = 0. II v, w = w, v for alle v, w V III αv + βw, z = α v, z + β w, z for alle α, β C, v, w, z V. Det følger af II og III at: IV u,αv + βw =ᾱ u, v + β u, w for alle α, β C, u, v, w V. Associeret til det indre produkt er en længde (eller norm) Aksiom I fortæller, at v =0 v = 0. v = v, v for v V. Læg mærke til, at av = a v for alle a C og v V. Eksempel 6.., 1: skalarproduktet i C n (se [L], s. 345) Det komplekse skalarprodukt i C n u, v af vektorer u =[u 1,..., u n ] T, v =[v 1,..., v n ] T fra C n defineres ved u, v = v H u = v 1 u 1 + v u + + v n u n ; her v = gælder. v 1. v n, og v H =( v) T = [ v 1,..., v n ]. Direkte udregninger viser at aksiomerne II og III For aksiom I beregner vi v, v = v 1 v v n v n. Hvis v j = a j + ib j, med a j,b j reelle, så er v j v j = a j + b j og v, v = n (a j + b j), j=1 som er en sum af kvadrater af de reelle tal a j,b j,j=1,..., n, derved reel og ikke-negativ, og 0 hvis og kun hvis a j =0,b j =0for j =1,..., n, dvs. hvis og kun hvis v = 0. Normen eller længden af en kompleks vektor v C n er da givet ved v = v, v = v 1 v v n v n. 97

7 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER Eksempel 6.., : indre produkt induceret med hjælp af en basis Lad V være et C vektorrum med ordnet basis V =[v 1,..., v n ]. Et indre produkt, V er givet ved skalarproduktet af koordinatiseringer mht. V: u, v V = [u] V, [v] V for u, v V. Aksiomerne I, II, III følger nemt fra de tilsvarende egenskaber ved skalarproduktet, fordi koordinatiseringsafbildningen θ V er en lineær isomorfi. Det viser sig, at alle indre produkter på endelig dimensionale komplekse vektorrum er af denne form. Eksempel 6.., 3: rummet C([a, b], C) af komplekse funktioner [a, b] C Lad f :[a, b] C være en funktion. Der defineres funktioner Re(f), Im(f) : [a, b] R ved Re(f)(x) = Re(f(x)), Im(f)(x) = Im(f(x)) for alle x [a, b]; f er kontinuert hvis og kun hvis Re(f), Im(f) er kontinuerte. Vi definerer b a f(x)dx = b a Re(f)(x)dx + i Vi definerer et indre produkt i C([a, b], C) ved f, g = b a b a Im(f)(x)dx for f C([a, b], C). f(x)g(x)dx. Lineariteten af integralet viser aksiomerne II og III umiddelbart. For aksiom I, vi bemærker, at f, f = b a (Re(f)(x)) + (Im(f)(x)) dx er integralet af en kontinuert reel og ikke negativ funktion, og er derfor (med et lignende argument til det i Eksempel 6.1., 3) 0 hvis, og kun hvis, (Re(f)(x)) + (Im(f)(x)) =0for alle x [a, b], altså hvis, og kun hvis, Re(f) =0og Im(f) =0, altså hvis, og kun hvis, f =0. Definition 6..3 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. u, v V er ortogonale hvis u, v =0. Proposition 6..4 ( Pythagoras) Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,, og lad u, v V være ortogonale. Der gælder u + v = u + v. 98

8 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u + v, fordi u, v =0og v, u = u, v = 0 =0. Definition 6..5 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. Hvis u, v V, v 0, så er skalarprojektionen af u på v tallet α = u, v v ; mens vektorprojektionen er ( ) 1 p = α v v u, v = v, v v. Lemma 6..6 Lad V være et komplekst vektorrum med indre produkt,, lad u, v V med v 0, og lad p være vektorprojektionen af u på v. 1. u p, p er ortogonale.. u = p hvis, og kun hvis, u er et skalarmultiplum af v. 1. Vi har og så p, p = u, p = αᾱ v, v = αᾱ v ᾱ u, v =ᾱα, v u p, p = u, p p, p =ᾱα αᾱ =0.. Hvis u = βv, så er p = βv,v v,v v = βv = u. Hvis u = p så er u = p = α v v. 99

9 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER Sætning 6..7 (Cauchy Schwarz Uligheden) Lad V være et C vektorrum med indre produkt,. Lad u, v V. Der gælder u, v u v. Ligheden gælder hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. Hvis v = 0 så har vi lighed, u, v =0= u v. Hvis v 0 lad p være vektorprojektionen af u på v. Da p, u p er ortogonale ifølge Lemma 6..6, 1, gælder p + u p = u, så så u, v v = α = αᾱ = p = u u p, u, v = u v u p v u v. Vi har derfor u, v u v. Ligheden holder i ( ) hvis, og kun hvis, u = p. Det følger nu af Lemma 6..6,, at ligheden i Cauchy Schwarz uligheden gælder hvis, og kun hvis, v = 0 eller u er et skalarmultiplum af v, dvs. hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. ( ) Korollar 6..8 (Trekantsuligheden) Lad V være et C vektorrum med indre produkt,. Lad v, w V. Der gælder 1. v + w v + w. Ligheden gælder hvis, og kun hvis, v = aw eller w = av med a R, a

10 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER 1. En udregning viser Så v + w v + w, som ønsket. v + w = v + v, w + w, v + w ; = v + Re( v, w )+ w (fordi w, v = v, w ) v + v, w + w v + v w + w (Cauchy Schwarz) =( v + w ).. Det er klart, at udsagnet gælder, når w = 0. Så vi antager w 0. Det fremgår af beregningerne ovenfor, at v + w = v + w ( v + w ) =( v + w ) v w = v, w = Re( v, w ) v w = v, w = Re( v, w ). Vi har altså Cauchy Schwarz ligheden, så v, w er lineært afhængige. Da v 0, må dette betyde, at v = aw, a C. Vi har derfor v, w = aw, w = a w, w = a w, v w = aw w = a w. Så v, w = v w a = a a R, a 0. Korollar 6..9 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. lad v 1,..., v k V. Der gælder v v k v v k, med lighed hvis, og kun hvis, der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i =1 med v j = a j v i for j =1,..., k. et er ordret det samme som beviset for den reelle version

11 SEKTION 6.3 NORMER 6.3 Normer Trekantsuligheden er et meget naturligt krav til en afstandsfunktion: afstanden fra x til z må da være mindre end afstanden fra x til y plus afstanden fra y til z... En afstandsfunktion behøver ikke at være tilknyttet et indre produkt, ej heller til en lineær struktur. Jeg holder mig dog til den lineære situation: Definition ([L], s. 50) Et R- eller C-vektorrum V er et normeret vektorrum, hvis der er en funktion : V R således, at I v 0 med lighed v = 0. II αv = α v for alle α R (eller C). III v + w v + w for alle v, w V. Det følger nemt af definitionen, at defineret ud fra et indre produkt på et R- eller C-vektorrum tilfredsstiller I og II, og vi har vist III i (R-tilfælde) og 6..8 (C-tilfælde). Der er andre vigtige eksempler, som ikke nødvendigvis er udledt af et indre produkt. Eksempler 6.3. Lad x = x 1. x n K n (hvor K er R eller C). p, p 1, defineret ved x p =( n i=1 x i p ) 1 p, defineret ved x = max 1 i n x i, er alle normer på K n. Når n =1er disse ens; x p = x for alle x K, for alle p, 1 p. Når n>1 er de ret forskellige. Det er nemt at se, at aksiomerne I og II gælder for disse normer. Aksiom III, trekantsuligheden, er sværere at påvise, specielt for generel p. 1, og er ret ofte benyttet. De andre bruges sjældent i praktisk sammenhæng. er normen udledt af skalarproduktet på K n, mens de andre kan ikke udledes af et indre produkt når n>1. 10

12 SEKTION 6.3 NORMER En norm udledt af et indre produkt har specielle egenskaber: Proposition (parallellogram identitet) Lad V være et reelt eller komplekst indre produkt rum. Skriv, for det indre produkt, for den udledte norm. Der gælder, for u, v V, at u + v + u v = u + v. u + v + u v = u + v, u + v + u v, u v = u, u + u, v + v, u + v, v + u, u v, u u, v + v, v = ( u + v ). Eksempel Vi viser, at normerne p på K n, K = R eller C, n>1, kan ikke udledes af et indre produkt for 1 p,p ; vi gør det ved at vise, at parallellogram-identiteten ikke gælder for dem. Lad 1 0 e 1 = 0, e = 1.. være de to første standard-basis vektorer i K n. Vi beregner og Så, for 1 p<, mens e 1 p = e p =1for alle p, 1 p e 1 + e p = e 1 e p = { 1 p 1 p<. 1 p = e 1 + e p + e 1 e p ( e 1 p + e p)= p 4 = 4( p 1 1), e 1 + e + e 1 e ( e 1 + e )= 4=. Parallellogram-identiteten gælder således ikke for 1 p,p ; så p kan ikke udledes af et indre produkt for disse p. 103

13 SEKTION 6.3 NORMER Eksempel 6.3.5: et forkert argument i [L] I bunden af s. 51 ser [L] på på R. Lad [ [ ] 1 4 x 1 =, x ] = R, så x 1 + x = [L] beregner og [ ] 3. 4 x 1 =, x =4, så x 1 + x = 0, x 1 + x =4, så x 1 + x = 16. [L] påstår, med henvisning til Pythagoras, at x 1 + x, x 1 + x ville være ens hvis kom fra et indre produkt, fordi x T 1 x =0. Argumentet er forkert! Der er faktisk mange indre produkter, V på R med x 1 + x V x 1 V + x V. For eksempel, lad {[ [ 1 0 V =,, ] 1]} en ordnet basis i R. Vi har så og [x 1 ] V = x 1 = v 1, x = 4v v, [ 1 0], [x ] V = [ ] 4, [x x ] V = [ ] 3, 10 x 1 + x V = 109, x 1 V + x V = = 117. Dette er ikke så overraskende, fordi x 1, x ikke er ortogonale mht., V, idet x 1, x V = ([x 1 ] V ) T [x 1 ] V = 4. [L] s observation at x T 1 x =0er egentlig irrelevant! 104

14 SEKTION 6.3 NORMER Det er faktisk sådan, at indre produktet kan gendannes fra normen, den inducerer: Proposition (polariserings identitet) Lad V være et reelt eller komplekst indre produkt rum; skriv, for det indre produkt, for den udledte norm. Lad u, v V. R-tilfælde: C-tilfælde: u, v = 1 4 ( u + v u v ), u, v = 1 4 ( u + v u v + i( u + iv u iv )). Man regner højresiderne ud: R-tilfælde: u + v u v = u, u + u, v + v, u + v, v ( u, u u, v v, u + v, v ) = ( u, v + v, u ) =4 u, v C-tilfælde: u + v u v + i( u + iv u iv ) = u, u + u, v + v, u + v, v u, u + u, v + v, u v, v + i( u, u + u,iv + iv, u + iv,iv u, u + u,iv + iv, u iv,iv ) = u, v + v, u +i( u,iv + iv, u ) = u, v + v, u +i( i u, v + i v, u ) = u, v + v, u + u, v v, u =4 u, v. 105

15 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER 6.4 Ortogonale og ortonormale mængder Notation Lad K = R eller C. Et K-vektorrum med et indre produkt angivet kaldes et indre-produkt rum. Definition 6.4. Lad V være et indre-produkt rum. Lad v 1,..., v n V \{0}. Hvis v i, v j =0for i j, er {v 1,..., v n } en ortogonal mængde. Sætning ([L], 5.5.1) Lad V være et indre-produkt rum. Hvis {v 1,..., v n } V er en ortogonal mængde, så er v 1,..., v n lineært uafhængige. Skriv, for V s indre produkt. Antag, at c 1 v c n v n = 0, med c 1,..., c n K. Vi har da, for i =1,..., n 0= 0, v i = c 1 v c n v n, v i = c 1 v 1, v i + + c n v n, v i = c i v i, v i, idet v j, v i =0for j i, = c i v i Da v i 0, v i 0; så c i =0. Dette gælder for i =1,..., n, så der er ingen ikke-trivielle lineære relationer blandt v 1,..., v n ; dvs. de er uafhængige. Definition En ortonormal mængde er en ortogonal mængde af enhedsvektorer (dvs. vektorer af længde 1). Så {u 1,..., u n } er ortonormal u i, u j = δ ij, hvor { 1 i = j δ ij = 0 i j (det såkaldte Kronecker-delta ). En ortonormal mængde kan altid nemt findes ud fra en ortogonal mængde: hvis {v 1,..., v n } er ortogonal, så er { 1 v v 1 1 1,..., v v n n} ortonormal. 106

16 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel ([L], s. 56, Example 3) Betragt C([, π]) med indre produkt givet ved Da er en ortogonal mængde, idet f, g = 1 π f(x)g(x)dx. {1, cos x, sin x, cos x, sin x, cos 3x, sin 3x,... } 1, cos nx = 1 π 1, sin nx = 1 π cos nx dx = 1 π sin nx dx = 1 π [ 1 n sin nx] π =0, [ 1 n cos nx] π =0, og, for m n, cos mx, cos nx = 1 π sin mx, sin nx = 1 π sin mx, cos nx = 1 π = 1 π = 1 π = 1 π cos mx cos nx dx 1 (cos(m + n)x + cos(m n)x) dx =0, sin mx sin nx dx 1 (cos(m n)x cos(m + n)x) dx =0, sin mx cos nx dx 1 (sin(m + n)x + sin(m n)x) dx =0. (Vi har brugt sumformlerne for sin, cos i en anden udformning: cos a cos b = 1 (cos(a + b) + cos(a b)), sin a sin b = 1 (cos(a b) cos(a + b)), sin a cos b = 1 (sin(a + b) + sin(a b)).) { 1, cos x, sin x, cos x, sin x,... } er ortonormal, idet 1 1, = π dx =1, og cos nx, cos nx = 1 π sin mx, sin mx = 1 π cos nx dx = 1 π sin mx dx = 1 π 1 (1 + cos nx) dx =1, 1 (1 cos mx) dx =1. 107

17 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel For b R defineres Læg mærke til, at e ib = cos b + i sin b C. e ib = e ib. Der følger umiddelbart af sumformlerne for cos og sin, at Vi bruger disse egenskaber til at vise, at e i(b+d) = e ib e id for b, d R. {1,e ix,e ix,e ix,e ix,... } er en ortonormal mængde i C([, π], C) mht. indre produktet f, g = 1 π π f(x)g(x)dx, idet, for n Z, e inx,e inx = 1 π e inx e inx dx = 1 π 1dx =1, og, for m, n Z, m n, e imx,e inx = 1 π = 1 π = 1 π =0. e imx e inx dx e i(m n)x dx cos(m n)x dx + i 1 π sin(m n)x dx Definition Lad U = {u 1,..., u n } være en ortonormal mængde i et indre-produkt rum, og lad S = Span{u 1,..., u n }. Så er U en basis for S, en ortonormalbasis. Det er ofte meget nemmere at arbejde med ortonormale mængder og ortonormale baser end med uafhængige mængder og baser. I de efterfølgende 6.4.8, og , lad V være et indre-produkt rum, med indre produkt,, og lad {u 1,..., u n } være en ortonormal mængde i V. Sætning ([L], 5.5.) Hvis v = c 1 u c n u n, så er c i = v, u i. v, u i = n j=1 c ju j, u i = n j=1 c j u j, u i = c i. 108

18 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Sætning ([L], 5.5.3) Hvis u = n i=1 a iu i og v = n j=1 b ju j, så er { n i=1 u, v = a ib i R-tilfælde n i=1 a i b i C-tilfælde n n R-tilfælde: u, v = a i u i, b j u j i=1 i=1 j=1 j=1 n n = a i b j u i, u j = = n a i b i u i, u i i=1 n a i b i. n n C-tilfælde: u, v = a i u i, b j u j i=1 i=1 i=1 j=1 j=1 n n = a i bj u i, u j = = n a i bi u i, u i i=1 n a i bi. i=1 Korollar (Parsevals formel, [L], 5.5.4) Hvis v = c 1 u c n u n, så er v = { c c n R-tilfælde c c n C-tilfælde Dette følger umiddelbart af Sætning 6.4.9, idet v = v, v ; i det komplekse tilfælde anvendes også, at z z = z for z C. 109

19 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel (Ex. 5, s. 58 i [L]) Vi beregner sin4 x dx. Dobbeltvinkelformlen for cos giver cos x = cos x sin x =1 sin x, så sin x = 1 1 (1 cos x) = 1 1 cos x. { 1, cos x} er en ortonormal mængde i C[, π] mht. f, g = 1 π π f(x)g(x) dx. Så Parsevals formel giver, at Men sin x = 1 π sin x =( 1 ) +( 1 ) = = 3 4. sin4 x dx, så sin 4 x dx = 3 4 π. Definition Lad V være et indre produkt rum med indre produkt,, og lad S være et underrum af V. Det ortogonale komplement til S i V er S = {v V v, s =0}. Lemma S er et underrum af V. Lad u, v S, α, β K. For alle s S gælder αu + βv, s = α u, s + β v, s =0, så αu + βv S. Hvis V er af endelig dimension, vil vi se, at der er lignende relationer mellem S, S,V og projektioner, som der er mellem T, T, R n og projektioner, når T er et underrum af R n. Men vi vil argumentere anderledes, med hjælp af ortonormale mængder og baser. 110

20 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Sætning ([L], 5.5.7) Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,. Lad {s 1,..., s k } være en ortonormalbasis for S, og lad v V, p S. Der gælder, at k p v S p = v, s i s i. i=1 Da p S, vi kan skrive p = c 1 s c k s k med c 1,..., c k K. ffaktisk har vi, ifølge Sætning 6.4.8, at c i = p, s i for i =1,..., k. Så p = k i=1 p, s i s i. Der gælder p v S s, p v =0for alle s S a 1 s a k s k, p v =0for alle a 1,..., a k K a 1 s 1, p v + + a k s k, p v =0for alle a 1,..., a k K s i, p v =0for i =1,..., k s i, p = s i, v for i =1,..., k p, s i = v, s i for i =1,..., k k p = v, s i s i. i=1 Notation Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,, lad {s 1,..., s k } være en ortonormalbasis for S, og lad v V. p = k i=1 v, s i s i kaldes projektionen (eller ortogonalprojektionen) af v på S. Sætning ([L], 5.5.8) Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,, lad v V, og lad p S være projektionen af v på S. Så er p det nærmeste punkt i S til v, dvs. s v > p v for s S \{p}. Lad s S \{p}. Da p v S, er p v s p, så s v = s p + p v, ifølge eller 6..4 (Pythagoras). Da s p > 0, fordi s p, så er s v > p v, og s v > p v. 111

21 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Korollar Lad S være et underrum af R m, S {0}. Hvis {u 1,..., u k } er en ortonormalbasis for S og b R m, så er (ortogonal)projektionen p af b på S givet ved p = UU T b, hvor U =[u 1,..., u k ] i søjleform. Vi bruger skalarproduktet, x, y = x T y. p S er den ortogonale projektion af b på S b p S. Ifølge Sætning har vi p = b, u 1 u b, u k u k b, u 1 u T 1 b = U = U = UU T b.. b, u k. u T k b For alle b R n, P b er projektionen af b på S. I notationen fra tidligere, P er SMR for den ortogonale projektion P S af R n på S, betragtet som afbildning R m R m. Vi har tidligere set, i Korollar 5..10, at hvis {a 1,..., a k } er en basis for et underrum S i R n, så er P = A(A T A) 1 A T, hvor A =[a 1,..., a k ] i søjleform. Derfor i situationen fra Korollar er P = U(U T U) 1 U T. Vi får simplificeringen P = UU T fordi: Lemma Lad U Mat m,n (R) være således, at dens søjler udgør en ortonormal mængde. Så er U T U = n. Lad 1 i, j n. Vi finder den (i, j) te indgang i U T U: (U T U) ij = {i te række i U T } {j te søjle i U} =(u i ) T u j = u i, u j = { 1 i = j 0 i j. Så U T U = I n. 11

22 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Definition En matrix Q Mat n,n (R) er ortogonal hvis søjlerne i Q udgør en ortonormal basis for R n. Eksempler Matricen for en rotation i R gennem θ, [ ] cos θ sin θ er ortogonal. sin θ cos θ. Lad σ være en permutation af {1,..., n}, dvs. en invertibel afbildning fra {1,..., n} til sig selv. Definer Q σ =[e σ(1),..., e σ(n) ], en n n-matrix i søjleform. Q σ er en permutationsmatrix. Dens søjler er σ permutationen af søjlerne i n, og dens rækker er σ 1 permutationen af rækkerne i n. Q σ er ortogonal. Sætning ([L], s.59) Lad Q Mat n,n (R). Følgende er ækvivalente udsagn: (a) Q er ortogonal, (b) Q T Q =, (c) Q T = Q 1, (d) (Qx) T (Qy) =x T y for alle x, y R n, (e) Qx = x for alle x R n. (a) (b): Dette er et specielt tilfælde af Lemma (b) (d): (Qx) T (Qy) =x T Q T Qy = x T y for alle x, y R n. (d) (a): Skriv Q =[q 1,..., q n ] i søjleform. Der gælder q T i q j =(Qe i ) T Qe j = e T i e j = δ ij ; så {q 1,..., q n } er en ortonormal mængde, så en ortonormal basis for R n. (b) (c): Lemma (c) (b): Følger fra definitionen af invers. 113

23 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER, fortsat (d) (e): Qx =(Qx) T Qx = x T x = x for alle x R n. (e) (d): Lad x, y R n. Den reelle polariseringsidentitet giver og x T y = 1 4 ( x + y x y ) (Qx) T (Qy) = 1 4 ( Qx + Qy Qx Qy ) = 1 4 ( Q(x + y) Q(x y) ). (e) foretæller, at højresiderne ovenfor er ens, så venstresiderne er ens: (Qx) T (Qy) =x T y. Endnu to vigtige egenskaber ved ortogonale matricer er: Korollar 6.4. Lad Q Mat n,n (R) være ortogonal. Så er Q T ortogonal. Ifølge Sætning 6.4.1, (a) (c), er Q T = Q 1, så (Q T ) T Q T = QQ T =. Så Q T er ortogonal ifølge Sætning 6.4.1, (b) (a). Korollar Lad A, B Mat n,n (R) være ortogonale. Så er AB ortogonal. Da A, B er ortogonale er A T A = I, B T B = I, ifølge Sætning 6.4.1, (a) (b). Så (AB) T (AB) = (B T A T )(AB) =B T (A T A)B = B T B = B T B =, og AB er ortogonal ifølge Sætning 6.4.1, (b) (a). 114

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1 1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som

Læs mere

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen

12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 6

ANALYSE 1, 2014, Uge 6 ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus Matematik 2 AN Hilbert rum med anvendelser Bergfinnur Durhuus 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Sammen med hæftet Metriske rum ved Christian

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

3. Operatorer i Hilbert rum

3. Operatorer i Hilbert rum 3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger

Læs mere

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1 Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2

Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2 Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Lineær Algebra Dispositioner

Lineær Algebra Dispositioner Lineær Algebra Dispositioner Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 12. august 2008 Indhold 1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer 4 1.1 Disposition............................

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Den lineære normale model

Den lineære normale model Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere