Analyse af bivariate data: korrelation og regression. korrelation. Korrelation og regression: Co-varians:

Transkript

1 ,,,,,,,,,, Stattk for bologer -, modul og : Korrelato og regreo: Aale af bvarate data: korrelato og regreo Korrelato: llutrerer v.h.a. e koeffcet hvlke grad to varable er dbrde afhægge: - (perfekt egatv ammehæg) tl + (perfekt potv ammehæg) Kaual åragammehæg kke ødvedg Iterval/ratokala eller ordalkala Regreo: Bekrver de forvetede værder af é varabel () om fukto af e ade varabel () Kaual åragammehæg ( påvrker ) Iterval/ratokala M-, lde korrelato ˆ µ σˆ SS SS M-, lde ( ) ( ) ( ) X Co-vara: ( )( ) Cov(, ) d( ) ( - ) d( ) ( - ) Hvorda vægter v ammehæge mellem to varable X og Y?,,,,,,,,,, X M-, lde M-, lde

2 Co-vara: ( )( ) Cov(, ) Produktumme, SP : SP ( )( ) + + +d() +d() +d() -d() -d() +d() -d() -d() Hv og er potvt korreleret er Cov(,) potv, er og egatvt korreleret er Cov(,) egatv. Jo tærkere korrelato, jo højere umerk værd af Cov(,) Tre mål for varabltet et bvarat dataæt: Co-varae: ( )( ) var SP Co, ( )( ) SP +d() +d() +d() -d() -d() +d() -d() -d() Varae af : Varae af : ( ) ( ) SS SS ( ) ( ) ( ) SS SS ( ) M-, lde M-, lde M-, lde Co-varae: ( )( ) Cov(, ) r ( ) ( ) var SP Co, ( )( ) SP Pearo Produkt-momet korrelatokoeffcet, r : SP SS SS SP SS SS +d() +d() +d() -d() -d() +d() -d() -d() M-, lde Cov(, ) r ( ) ( ) r Pearo r SP SS SS SP SS SS ( ) ( ) Egekaber ved Pearo r Atager værder mellem (perfekt egatv ammehæg) og + (perfekt potv ammehæg) r (determatokoeffcete) agver hvor meget af varatoe, om ka forklare af varatoe (og omvedt) M-, lde Cov(, ) r ( ) ( ) SP SS SS SP SS SS Forudætger for Pearo r M-, lde Cov(, ) r ( ) ( ) SP SS SS SP SS SS og kal være på terval eller ratokala Både og kal være (tlærmelevt) ormalfordelte Sammehæge mellem og kal være leær

3 Tet for om r er forkellg fra H : r Oplag apped [df -]. M-, lde -eller omreget tl t-fordelge (apped ): t r r M-, lde Beregg af Pearo r : ) Plot og og e om ammehæge er omtretlg leær og om og er omtretlg ormalfordelte -Hv de forudætgere er opfldt: ) Bereg SS, SS og SP. ) Bereg r SP /(SS SS ) ½ ) Tet om r ) Bereg de forklarede varato (r ) M-, lde Ekempel: Vgelægde (VL) og kroplægde (KL) ho atugle- H : KL og VL er kke potvt korrelerede (r ) H : KL og VL er potvt korrelerede (r>) (NB! Oe-taled hpotee dette tlfælde) α. huer Vgelægde (mm) KL VL.... Beregg af Pearo r : ) Plot og og e om ammehæge er. omtretlg leær og om og er omtretlg ormalfordelte -Hv. de forudætgere er opfldt:. ) Bereg SS, SS og SP. ) Bereg. r SP /(SS SS ) ½ ) Tet om r ) Bereg de forklarede varato (r ) M-, lde f() Vgelægde (mm) -OK! f() Kroplægde (mm) Kroplægde (mm) huer ( ) KL VL. SS ( ) SS. SP ( )( ).. Beregg af Pearo r : ) Plot og og e om ammehæge er omtretlg. leær og om og er omtretlg ormalfordelte -Hv. de forudætgere er opfldt:. ) Bereg SS, SS og SP. ) Bereg. r SP /(SS SS ) ½ ) Tet om r ) Bereg de forklarede varato (r ) M-, lde r SP r SSSS ( ) ( ) huer KL VL KL VL KL*VL Σ M-, lde SS SS ( ) ( ) ( )( SP ) r SP SS SS r [ ( ) ][ ( ) ] Σ( ) (Σ ) Σ( ) (Σ ) Σ( ) Σ Σ

4 huer SS SS. SS. SS SP. SP ) - eller: r. SP r. SS SS.. - r ( - )( ). r ( ) ( ) ( )( [ ( ) ][ ( ) ] Σ( ) (Σ ) Σ( ) (Σ ) huer H : KL og VL er kke potvt korrelerede H : KL og VL er potvt korrelerede (NB! Oe-taled hpotee dette tlfælde) α. r. Oplag apped (df-): %<p (two-taled) <% H forkate, H acceptere: Krop- og vgelægde er potvt korrelerede ho atugle- P (oe-taled) : t r t... r M-, lde Σ( ) Σ Σ M-, lde Apped :.% < p (oe-taled) <% huer Determatokoeffcete: Oplag apped H : KL og VL er kke potvt korrelerede H (df-): : KL og VL er potvt korrelerede (NB! Oe-taled hpotee dette tlfælde) r.. α. %<p (two-taled) <% -dv. % af varatoe H forkate, H vgelægde ka forklare ud fra acceptere: r. * * varatoe kroplægde Krop- og vgelægde er (og omvedt) potvt korrelerede ho atugle- Vgelægde (mm) M-, lde Kroplægde (mm) Beregg P (oe-taled) af Pearo : r :.. ) Plot og og e om ammehæge er omtretlg leær og om og er t omtretlg ormalfordelte -Hv de forudætgere er opfldt: ) Bereg SS, SS og SP. ) Bereg r SP /(SS SS ) ½ ) Tet om r ) Bereg de forklarede varato (r ) Apped :.% < p (oe-taled) <%. Hvad ker der, hv eller kke er ormalfordelte? M-, lde,,,, r. P. r. P <. Hvad ker der, hv eller kke er ormalfordelte? M-, lde Fordelger af X og Y kæve pga. ogle få meget høje værder r., P<. Hvorda ka v tole på at ammehæge mellem og er reel? (rkerer e Tpe-I fejl) M-, lde Hvorfor og hvorår traformerer ma data: For at opå (ogelude) ormalfordelte data (udgå ektremt afvgede ekeltobervatoer) For at opå varahomogetet For at opå leær ammehæg mellem og

5 M-, lde Almdelge traformatoer Stærkt klumpede data: Log() ; Log(+) ; - (hv omfatter -værder) Moderat klumpede data/tælledata: () ½ ; ( ) (+½) ½ ; ( ) -½ (hv omfatter -værder) Proportoer: - (p) ½ ; p (( )) Z l(p/[-p]); p e z /(+ e z ) * * logt traformato: kke peum Afvgele fra ormalfordelg af og Fordelg af X og Y kæve: Få meget høje værder ( outler ) M-, lde r., P<. Ekempel på traformato af data ( dobbelt-logartmk ): X log(x+), Y log(y+) ' ' r., P. Ikke-leær ammehæg ml og : Krum ammehæg ml. X og Y M-, lde r., P<. Ekempel på learerg af ammehæg ved traformato af : X (X+½) ½ ' r., P<. M-, lde Stablerg af varaer for tælledata: Y Atal ektarter, X atal platerater Y ( + ½) ½ X ( + ½) ½ M-, lde Ikke-parametrke korrelatokoeffceter Atager værder mellem (perfekt egatv ammehæg) og + (perfekt potv ammehæg) Baeret på ragtal Kræver data på mdt ordalkala Forudætter ku at ammehæge mellem og er mooto M-, lde Spearma rak correlato coeffcet, r Alle - og -værder ertatte af ragtal (eparat rakg for - og - værder!) d r ( ) - Hvor d er dfferece mellem og ragtal for de te obervato

6 Tet af om r Ekempel: ammehæg mellem ocal rag og alder ho egeder: For N< oplag apped Alteratvt (eller hv N>) approkmere t (df.-): t r r M-, lde M-, lde M-, lde Ekempel: ammehæg mellem ocal rag og alder ho egeder: H : der er ge ammehæg mellem alder og ocal rag H : der er e ammehæg mellem alder og ocal rag α. ocal rag flokk e alder (år Ged alder (år) ocal rag Spearma rak correlato coeffcet: ) Ertat de oberverede værder med ragtal og bereg dfferece mellem parree af ragtal. M-, lde d d Ged alder (år) ocal rag ragtal -,,,, -,, - - Σd. Spearma rak correlato coeffcet: ) Ertat de oberverede værder med ragtal og bereg dfferece mellem parree af ragtal. ) Bereg korrelatokoeffcete: d r ( ) M-, lde r. ( ). Σd. M-, lde Spearma rak correlato coeffcet: d r ( ) alder (år). r. ( ) Apped : p<. H forkate, H acceptere: Der er e potv ammehæg mellem egeder alder og dere ocale rag. ocal rag flokke

7 Afluttede bemærkger om korrelatoaaler E korrelato mellem to varable betder kke at der ødvedgv er e drekte kaual ammehæg mellem og Hv formålet med aale alee er at adlggøre om der er e potv eller egatv ammehæg mellem og, er r ofte et mere robut alteratv tl r. Leær regreo M-, lde Korrelato og regreo: Korrelato: llutrerer v.h.a. e koeffcet hvlke grad to varable er dbrde afhægge: - (perfekt egatv ammehæg) tl + (perfekt potv ammehæg) Kaual åragammehæg kke ødvedg Iterval/ratokala eller ordalkala Regreo: Bekrver de forvetede værder af é varabel () om fukto af e ade varabel () Kaual åragammehæg ( påvrker ) Data kal være på Iterval/ratokala M-, lde Leær regreo bekrvele af e varabel () om e leær fukto af e ade varabel () Oberveret værd af uderlggede relato etmeret relato (^Y) α + β + ε ˆ a + b a kærg med -ake (kotate) b hældgkoeffcete M-, lde M-, lde Model og model leær regreo Model (tadard): kal være betemt ude (væetlg) ukkerhed kal være tematk fatlagt (ek.,,,..) De metode I kal kue tl dette kuru Model : Betemmele af er forbudet med måleukkerhed kke tematk fatlagt Flere tper afhægg af data bekaffehed Etmerg af de rette le parametre Le kærg med -ake (): De rette le hældgkoeffcet ( lope ): M-, lde a SP b SS b ˆ a + b ( )

8 Ekempel: effekt af trogetlførel for bomaeprodukto ho græ. M-, lde N Tlvækt (g/m ) (g/m ) g bomae høtet g N tlført Betemmele af de rette lje parametre: ˆ a + b SP N M-, lde Tlvækt b SS * ( ) Σ( ) (Σ ) Σ( ) (Σ ) Σ( ) Σ Σ Betemmele af de rette lje parametre: ˆ a + b ( SP )( ) SS SP b SS SP SS M-, lde ( ) b. ( ) Σ( ) (Σ ) Σ( ) (Σ ) Σ( ) Σ Σ Betemmele af de rette lje parametre: M-, lde ˆ a + b a a b ( ). ( ). b. Σ( ) (Σ ) Σ( ) (Σ ) Σ( ) Σ Σ Betemmele af de rette lje parametre: M-, lde ˆ a + b ^ g bomae høtet ˆ. +. g N tlført Varatokompoeter Y Var(Y) varatoe de rette le + de varato, der er tlbage. SS ( ) ( ˆ ) + ( ˆ ) M-, lde

9 Redualvarae, de vara, der er kke forklare af de rette le. M-, lde ( ˆ ) SP SS SS Reduale ( error ) afvgele fra de prædkterede værd M-, lde ε ˆ Reduale ( error ) Skal være ormalfordelt omkrg de rette le redual,, -, ε ˆ Skkerhedgræer omkrg le ade hældg (β) Stadardafvgele på b: b) SS M-, lde - -, M-, lde Skkerhedgræer omkrg le ade hældg (β) Tet for om le ade hældg er forkellg fra Stadardafvgele på b: H : β b) SS t b SE (b) SP b SS SE ( b) SS M-, lde Skkerhedtervallet omkrg β: P( b t ( ) b) < β < b + t b)) α M-, lde Alteratvt tete H : r : SP r SS SS t r r

10 Tet for om hældgkoeffcete er forkellg fra. ˆ. +. M-, lde ^ g bomae høtet g N tlført Tet for om hældgkoeffcete er forkellg fra. b. H : β t t SE (b). t. SP b b. SS M-, lde SP SS SS SE ( b) SS -. - b).. V har tdlgere (lde ) bereget: SS SS Y SP Tet for om hældgkoeffcete er forkellg fra. b. H : β t t SE (b). t. M-, lde Apped (krtk værd for α.:.) P <<. H forkate, H acceptere: N-tlførel har e potv dfldele på bomaeprodukto af græ Tet for om to forkellge ler har de amme hældg H : β β β β - β b b t SE ( b b ) ( ) + ( ) + -hvor SE af dfferece er: ( b b ) b ) b) SE + M-, lde B: Ektra!? Ekempel: le : b., b )., le : b., b )., H : β β β β - β b b.. t t. SE. ( b b ) ( ) + ( ) + -hvor SE af dfferece er: SE ( b b ) b ) + b) b )... b + M-, lde C: Ektra!? Apped : krtk værd (t, α. ).. H o acceptere: de to ler hældg er kke gfkat forkellge fra hade Ukkerhed omkrg betemmele af de ade lje M-, lde α + β + ε ˆ a + b Ukkerhede omkrg le ade forløb, klde både ukkerhede omkrg de hældg (β) og de kærg med - ake (α)

11 Ukkerhed omkrg betemmele af de ade lje Ekempel (Ukkerhed på β og α): ^ +. M-, lde α + β + ε ˆ a + b Ukkerhede omkrg le ade forløb, klde både ukkerhede omkrg de hældg (β) og de kærg med - ake (α) Ukkerhede omkrg le placerg, om klde ukkerhed omkrg de ade hældg, øger proportoalt med aftade fra de emprke fordelg tgdepukt M-, lde ^+. ^m+. ma+. Ekempel (Ukkerhed på β): b) t,α. P(.<β<.) -α Ukkerhede omkrg le placerg, om klde ukkerhed omkrg de ade mddelværd af * er kotat for alle værder af Ukkerhed omkrg betemmele af de ade lje ^+. edre græe øvre græe Ekempel (Ukkerhed på α: a) t,α. P(.<α<.) -α SE omkrg de prædkterede lje ˆ) + ^+. edre græe øvre græe ( ) SS ^+. ^m+. ma+. * Da er tematk betemt, er der ge ukkerhed forbudet med betemmele af de ade mddelværd af M-, lde M-, lde A Ukkerhed omkrg betemmele af de ade lje M-, lde B SE omkrg de prædkterede lje ˆ) + ( ) SS SE omkrg e prædkteret ekeltobervato: ˆ) + + ( ) ( ) SS + + SS Ukkerhed omkrg betemmele af de ade lje M-, lde c SE omkrg de prædkterede lje ( ) ˆ) + SS SE omkrg e prædkteret ekeltobervato: ˆ) + + ( ) SS SE dætte kkerhedtervallet: P( ˆ t ˆ) < < ˆ + t ˆ)) α

12 Idtat værder af og : Σ E+ mea lje: ekeltobervato ^ (-^) ^) ^) NG(l) ØG(l) NG(e) ØG(e) * VALUE! VALUE! VALUE! VALUE! VALUE! Fuktoe: Y +, Stor tkprøve, Llle tkprøve, og høj redualvarato og lav redualvarato redual r, r, redualplot redual r, r, - redualplot M-, lde M-, lde M-, lde Forudætger for (model ) leær regreo X og på mdt tervalkala Y kal være afhægg af X kal være betemt ude ukkerhed eller med meget mdre ukkerhed ed De oberverede værder (,) kal fordele g omkrg e ret lje Redualere afvgelere fra de oberverede værder af fra de rette le, kal være ormalfordelt med de amme σ uafhæggt af værde af. Leær regreo: forlag tl fremgagmåde ) Plot og et koordattem og vurdér om betgelere for LR er opfldt eller om traformato af data er ødvedg - Hv/år betgelere for regreo er opfldt: ) Bereg SS, SS og SP. ) Bereg (SS SP /SS )/(-) ) Etmér le hældg β: b SP /SS ) Etmér afkærge med -ake, α: a -b ) Bereg b) ( /SS ) ½ M-, lde Leær regreo: forlag tl fremgagmåde ) Tet om β o/e bereg kkerhedterval omkrg β ) Bereg kkerhedtervallet omkrg de rette le o/e omkrg e ekeltobervato ) I fald regreoe er udført på traformerede værder af, tlbagetraformere de afledte - værder tl de oprdelge kala ( ) Ekempel (fortat): Hvor tor e bomaeprodukto vl der være ved e N-tlførel på g m -? ˆ a + b ˆ ˆ. +. ( ). +. ehed: b(g bomae/g N) (g N) g bomae. M-, lde M-, lde

13 Skkerhedgræer omkrg de predkterede le ^ () : ˆ Hvor meget bomae vl blve produceret geemt ved e N-tlførel på g/m? SS ( ). ˆ) + SS / / ˆ. P( ˆ t ˆ) < < ˆ + t ˆ)) α ( ) -d.v. ˆ at ved [ ] ). e N-tlførel + på g/m, vl. de geemtlge bomaeproduktoe per m med % kkerhed lgge på mellem og g P(... < <.+..). P(. < <.). Skkerhedgræer omkrg e ekeltobervato; ^ () : - Hvor meget bomae vl blve produceret et gvet kvadrat ved e N-tlførel på g/m? SS ( ). ˆ) + + SS ˆ. ˆ [ ] ). + + ( ). P( ˆ t ˆ) < < ˆ + t ˆ)) α P(... < <.+..). P(. < <.). M-, lde M-, lde Skkerhedgræer omkrg e prædkteret værd: ˆ) + P( ˆ t ˆ) < < ˆ + t ˆ)) α ( ) SS P(. < <.). - d.v. at ved e N-tlførel på g/m, vl de geemtlge bomaeproduktoe per m med % kkerhed lgge på mellem og g. ( ) ˆ) + + P(. < <.). SS - d.v. at ved e N-tlførel på g/m, vl bomaeproduktoe per m et gvet kvadrat med % kkerhed lgge mellem og g. M-, lde M-, lde