Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast

Transkript

1 Det krå kat

2 Data Forøg 1: = 38 V 0 = 4, 94 K vidde = 2, 058 H = 0, 406 t = 0, 53 Forøg 2 (60 ): = 60 V 0 = 4, 48 K vidde = 1, 724 H = 0, 788 t = 0, 77

3 Fyik del Udførel af forøg Kat på 38 : Forøgoptilling: 1 eter toetok, 1 Katekanon, at en jernkugle, og en kruetvinge. Optillingen er o vit på billedet, ed en katekanon vi har fatgjort til bordet i højre ide, ed en kruetvinge. Den 1 eter toetok har vi ed i optillingen, da den kal bruge til åletokforhold i logger pro. Ført indtillede vi kate kanonen til at kyde i en 38 vinkel ed bordet. Derefter ladte vi den ed jernkuglen, og optog videoen. Vi valgte at optille forøget op af den hvide ur, for neere at kunne e kuglen på videoen i logger pro, efterfølgende. Kat på 60 : Katet på de 60 blev udført identik til det på 38, bortet fra kudvinklen på katekanonen der elvfølgelig var indtillet til 60.

4 Udregninger V 0 beregninger: Kat på 38 : x (t) = v 0 c o( ) t K vidde = v 0 c o( ) t 2, 058 = v 0 c o(38 ) 0, 58 2,058 co(38 ) 0,53 = v 0 2,058 = 4, 9 4 0,417 4, 94 = v 0 Kat på 60 : x (t) = v 0 c o( ) t K vidde = v 0 c o( ) t 1, 724 = v 0 c o(60 ) 0, 77 1,724 co(60 ) 0,77 = v 0 1,724 = 4, 4 8 0,385 4, 48 = v 0

5 Gør rede for at bevægelerne i det krå kat lodret og vandret kan e hhv. o bevægeler ed kontant acceleration og kontant hatighed:

6 Mateatik del: Teori: En lille introduktion til vore projekt, vi arbejder ed det krå kat, og har fået til opgave at analyere, og regne på det krå kat. Til dette tarter vi ed at forklarer hvad en paraeter funktion er. Paraeter funktion En paraeter funktion, i forhold til en noral funktion, er at den er variable. I vore paraeter funktion o vi fik udleveret, kan vi finde betete punkter baeret på hvor lang tid der er gået. Ifølge vore paraeter funktion, kan vi ud fra t. Det vil ige at vore variable t, er den vi kan betee vore x, og y værdier ud fra. So vit kan en paraeter funktion ogå ætte op o en vektor, og derfor betee det punkt, hvor vore variable t paer til. Ekepel: Hvi vore linje går fra punktet (0;0), og den har en paraeter funktion. Det vil ige at vi kan ud fra tiden, betee hvor på linjen er punkt befinder ig. F.ek. Kan vi ætte tiden til at der er gået 2 ekunder, og vi indætter det i vore ekepel forel, Nu kan vi udregne den værdi vore punkt har ved den givne tid. Så ved at finde vore x værdi til at være 2*2, o giver 4, og vore y værdi, o giver o reultatet, 5*(2*2), o giver reultatet 20. Så vore førte vektor, vil gå fra punktet (0;0) til punktet (4;20). Det vil ige at vi har fået en vektor der hedder hvilke giver o et punkt, og ved at gøre dette flere gange, kan vi kontruere 3 punkter, og 3 vektorer, og derfra kan vi anvende vore forel, 3 ligninger og 3 ubekendte, og ud fra dette kan vi finde en graf, o paer til vore værdier, og ud fra dette kan vi finde toppunkt(er), og rødder, og andre ting o kal bruge.

7 Eliinering En lille introduktion til eliinering i ateatik, vi kal fjerne, eller oforulere et udtryk eller lign, i vore ekepel, tager vi udgangpunkt i vore paraeter funktion fra tidligere. Vi vælger at eliinere t, da det er den vi har været ved at finde eller. Dette gøre ved at vi tager vore udtryk x(t)=v 0 *co(α)*t, og prøver at iolere t, dette gør vi ved at dividere vore v 0 og co(α) over på x iden. Dette giver o x v0* co(α) = t, ud fra dette kan vi indætte dette i vore y(t) funktion. Efter den er indat får vi funktionen y (t) = v 0 * in(α) * ( x ) 1 2 * g * ( x ) 2, nu v0* co(α) v0* co(α) har vi en funktion o vi kan indætte i f.ek. Graph. Men for at få et rieligt reultat ud fra den, kal vi bruge et ekepel. Hvi vi f.ek. Siger at vore vinkel er på 60, og at vore v 0 er på 5 /. Så for vi en forel der er ålede ud y = 5 * in(60) * ( x ) 1 2 * 9.82 * ( x ), hvilket ogå giver o grafen o er vit på billedet. 5* co(60) 2 5* co(60)

8 Katevidde y (t) = v 0 * in(α) * t 1 2 * g * t 2 K atevidde, eller i vore tilfælde x(t), o nævnt tidligere å er t en variable, o kan hjælpe o ed at finde x, og y på betete tidpunkter. Dette betyder at hvi vi kender vinklen på katet, og tart farten, altå v 0, og at vore y(t)=0, å kan vi betee katevidden. Dette gøre ved at ætte y(t)=0, og derfra finde t værdien. Så ført krive forlen op, Herefter indætte y(t)=0, og vi kal nu finde t værdien, og derfor kal t iolere. Dette gøre ved at addere det idte led af ligningen over til den ide hvor der tår 0, her anvende nulreglen altå. Herefter dividere en halv gange g, over på den anden ide, o vit på billedet til højre. Nu tår vi tilbage ed t 2 o vi kan udregne ved at dividere t et på højre ide over på den anden ide å vi for forlen vit på billedet. Nu da vi har fundet et udtryk for t, kan den indætte i vore x(t nedlag ), og ed den kan vi fretille et punkt der vier hvor langt vore katekanon kunne kyde kuglen. Så ved at indætte t udtrykket, får vi et tykke der hedder v 0 ganget ed hinanden, in(α) ganget ed co(α), en vi angler tadig den halve g, og vi kan forkorte den ved at gange ed 2, over brøktregen. Dette giver o å 2in(α) gange ed co(α), o giver o et reultat på in(2α), og vi har nu forkortet på den kortete, og et henigtæige åde.

9 Stighøjde F or at betee tighøjden på en parabel, kan vi ige at tighøjden er det ae o et toppunkt, og derfor har vi en tigning på 0, der hvor toppunktet befinder ig. Ud fra dette kan vi ogå ige at det er y værdien der ikke å tige eller falde. Så ved at anvende vore paraeterfunktion, og teori fra differentialregning ved vi at vi kan differentiere vore paraeter funktion. Så ved at differentiere y(t), og konvertere den til y (t), og indætte den t værdi i vore paraeter funktion, har vi fundet vore koordinater til vore toppunkt/tighøjde. Vi tarter ed at at differentiere vore y(t) funktion, dette gøre ved at anvende forlen f (x)=n*x n-1, å ved at anvende den forel kan vi differentiere vore funktion. So vit på billedet, å differentiere vi ift. Til t, dette giver o reultatet y (t)=v 0 *in(α)- 1 2 *g*t. Nu kal nulreglen anvende, og dette gøre ved at ætte y (t)=0, å når det er indat, kan vi addere det idte led, over på den anden ide. Vi vil gerne iolerer t, å vi dividere en g, over på den anden ide, og fretiller en brøk, o vit på billedet til ventre. Nu har vi fundet vore t værdi til y (t)=0, å vi har fundet t. Herefter indætte vore t udtryk ind i vore y(t) funktion o vit på billedet. Nu kal vore udtryk forkorte, og det kan gøre ved at dele leddene op, vi tarter ed det bagerte led, og tager udgangpunkt i det. Ved tarter ed at gøre parenteen neere at gennekue, dette gøre ved at ætte alt inden for parenteen i anden. Dette gør at vi kan eliinere, i anden uden for parenteen. Derefter tager vil vi forkorte parenteen, dette gøre ved at vi ved alt der ikke tår under brøktregen, tår over den. Dette gør at vi kan eliinere nogle faktorer. Vi tarter ed at trække g ned fra brøktregen, å vi ender ed g, i tedet for g 2, og vi ganger ed 1 foroven, og gange ed to forneden, fordi vi har vore halve, o vit på billedet. Nu har vi udtrykket for den bagerte led, nu angler vi bare udtrykket for det førte. Vi tart ed at forkorte det førte led, huk, o nævnt tidligere, hvad der ikke tår under brøktregen tår over den. Ud fra dette kan vi betee at vi kal gange

10 v 0 er og vore in(α) er. Dette giver o en brøk o ligner den i bagerte led. Men der en forkel i nævneren. Derfor kal vi finde en fællenævner, o i vore tilfælde kan gøre ved at gange den ene ide ed 2. Så har vi en fællenævner, og vi kan derfor forkorte, og eliinere endnu ere. Dette gøre ved at vi trækker de to brøker fra hinanden, hvilket giver o den et koprierede brøk ulig. Og nu da vi har fundet et udtryk til at betee hvorpå t, og y (t)=0, har vi fundet vore toppunkt, eller vore tighøjde.

11 Udregninger: Katevidde beregning: Kat på 38 Forel for katevidde: V 0 2 in(2 α) g Indættele af værdier: 2 4,94 in(2 38 ) 9,82 = 2, 41 Afvigele fra ålt katevidde: 2, , = 14, 6 % Konkluion: Vore katevidde er lidt tørre end vore ålte katevidde fra forøget. Det kan dog forklare ed at vore udregning ikke tag højde for luftodtanden, en det rigtig forøg elvfølig blev påvirket af luftodtanden.

12 Kat på 60 Forel for katevidde: V 0 2 in(2 a) g Indættele af værdier: 2 4,48 in(2 60) 9,82 = 1, 77 Afvigele fra ålt katevidde: 1, , = 2, 6 % Konkluion: Her har vi fået en noget indre afvigele, en dog tadig lidt. Det kan igen forklare ed at beregningerne ikke tager højde for vindodtand. Grunden til der er en indre afvigele er fordi kuglen ikke fløj å langt o i kat ved 38, å derfor når vindodtanden ikke at lige å tor effekt.

13 V 0 beregning: Kat på 38 x (t) = v 0 c o( ) t K vidde = v 0 c o( ) t 2, 058 = v 0 c o(38 ) 0, 58 2,058 co(38 ) 0,53 = v 0 2,058 = 4, 9 4 0,417 v 0 = 4, 94 Kat på 60 : x (t) = v 0 c o( ) t K vidde = v 0 c o( ) t 1, 724 = v 0 c o(60 ) 0, 77 1,724 co(60 ) 0,77 = v 0

14 1,724 = 4, 4 8 0,385 v 0 = 4, 48 IT del: Vi har til vore forøg ogå kulle lave en web-applikation i Javacript og htl, o kan iulere vore forøg. Applikation kulle være poitiv og lærerigt inden for ateatik. Det kulle ogå være uligt at ændre på katevinklen. Dog havde vi et eget begrænet tidru til at løe opgaven, å vi kulle bare prøve at løe å eget vi kunne nå. Vi endte ed at lave en aniation ved hjælp htl, Javacript og et library til Javacript o heder JQuery. JQuery ipleentere nogle flere og tildel neere koandoer til Javacript. Det lykke o at lave en aniation af en kanon, der laver et kråt kat ed en rød bold. Aniation er baeret på den ateatike forel vi har brugt til at lave vore paraeterfunktion: Mateatik forel for paraeterfunktion. Vore kode der definerer projektilet bane. Vi kunne dog ikke nå at lave en funktion der lader brugeren ændre på vinklen. Men ed lidt ere tid er det funktioner vi kan få ipleenteret.