RIKKE TEGLSKOV BIRGITTE WESTFALL MULTI GYLDENDAL

Transkript

1 PETER MOGENSEN RIKKE TEGLSKOV BIRGITTE WESTFALL MULTI 6 GYLDENDAL

2 MULTI 6 1. udgave, 1. oplag Gyldendal A/S, København Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Forlagsredaktion: Stine Kock, Marianne Nordlunde, Mie Skaarup, Louise Slotsbo Ekstern redaktion: Thomas Kaas Grafisk design: Kontur Design/Karin Friis Hansen Grafisk tilrettelæggelse: Søstrene Sandhed/Janne Rose og Susan Meling Tang Omslagsillustration: Line Rom Lange Tegninger: Line Rom Lange Tekniske tegninger: Søstrene Sandhed/Janne Rose og Susan Meling Tang Fotos: s. 22 Scanpix/Science Source s. 23 Colourbox s. 156 Wikipedia Øvrige Søren Lundberg Prepress: Narayana Press, Gylling Tryk: Ednas Print, Slovenien ISBN Til 6. klasse hører: MULTI 6 - grundbog MULTI 6 - opgavebog MULTI 6 - kopimappe MULTI 6 - i-bog MULTI 6 - lærervejledning

3 Du skal lære om: 1. Faglig læsning og skrivning side 4 2. Regning med tal side Brøker og decimaltal side Areal side Procent side Statistik side Rumlige figurer side Ligninger og formler side Geometrisk tegning side Sandsynlighed og kombinatorik side Sammenhænge og funktioner side Matematik i hverdagen side Matematiske undersøgelser side 164

4 FAGLIG LÆSNING OG SKRIVNING MÅL BEGREBER OG ORD At du lærer: at forklare, hvordan et kapitel i bogen er opbygget at bruge en model for faglig læsning og faglig skrivning at skrive beregninger og forklaringer, som viser, hvordan du har løst en matematikopgave hvad de signalord, der bliver brugt i matematikopgaver, betyder, og hvad de kræver af dine besvarelser af opgaverne. beregn undersøg vurder begrund sammenlign signalord OM MULTI 6 De fleste kapitler i MULTI 6 er bygget op på samme måde som i MULTI 4 og MULTI 5. Her er en oversigt over de dele, som du kan møde i kapitlerne. Mål, begreber og ord står på første side i hvert kapitel. Målene fortæller, hvad du skal lære i løbet af kapitlet. Begreberne og ordene skal du lære at kende i kapitlet. Nogle af ordene og begreberne har du arbejdet med tidligere, men de er vigtige for dit arbejde med opgaver og aktiviteter i kapitlet, og derfor er de gentaget. De nye ord står med fed skrift, og det gør de også første gang, du møder dem i teksten. Forhåndsviden står på første side i hvert kapitel. I opgaven skal du i klassen eller sammen med en makker bruge din viden om emnet til at svare på nogle spørgsmål. FORHÅNDSVIDEN Aktiviteter er altid beskrevet i en blå boks. I en aktivitet arbejder du med matematik gennem fx spil eller bevægelse og ved at bruge materialer, fx måleredskaber, kort fra kopiark eller digitale værktøjer. 4 Faglig læsning og skrivning

5 Teori er altid i en lilla boks. I en teoriboks får du forklaret eller vist begreber, ord og matematiske regler. OPGAVE 5 Opgaverne i kapitlet er meget forskellige. Nogle opgaver skal du løse selv, andre skal du løse med en makker. Evalueringssiden har opgaver, der passer til de mål, som står på første side. Du skal løse opgaverne med en makker. Når I løser opgaverne, kan I finde ud af, hvordan I hver især har udviklet jer i forhold til målene. TRÆN 1 TRÆN 2 Træn 1 og 2 er på siderne efter evalueringssiden. På siderne arbejder du med kapitlets emne. Opgaverne i Træn 1 ligner opgaver, du tidligere har mødt i kapitlet. Opgaverne i Træn 2 er lidt sværere. BLANDEDE OPGAVER Blandede opgaver. Efter nogle af kapitlerne er der to sider med blandede opgaver. Opgaverne ligner de opgaver, du tidligere har mødt i MULTI-bøgerne. Tema/projekt. Nogle kapitler slutter med et tema/ projekt. I skal arbejde undersøgende, når I arbejder med disse sider. betyder, at du skal arbejde sammen med en makker. F betyder, at du skal arbejde med faglig læsning og faglig skrivning, hvor du skal bruge en særlig arbejdsmåde, se side 6 eller aktivitetsark A1. A betyder, at du skal bruge et aktivitetsark. Aktivitetsark er kopiark, du får af din lærer. O betyder, at der er sider i opgavebogen, der passer til denne side. E betyder, at du skal bruge et skriftligt evalueringsark. Det skriftlige evalueringsark er et kopiark, du får af din lærer. Faglig læsning og skrivning 5

6 MODEL FOR FAGLIG LÆSNING OG FAGLIG SKRIVNING A 1 Brug de tre rammer i modellen, når du skal Find ud af, hvilke punkter der kan være en løse en matematikopgave. Ikke alle punkter i hjælp for dig, når du skal løse opgaven. hver ramme skal bruges til alle opgaver. LÆS, OG FORSTÅ TEKSTEN Læs og fortæl teksten med dine egne ord. Tegn et billede, der viser teksten, eller forestil dig en tegning, som kan vise teksten. Hvilket spørgsmål skal du besvare? Sig det højt, eller skriv det med dine egne ord. Hvor står der noget om det, du skal finde svar på eller undersøge? Kig i tabeller, diagrammer, illustrationer og tekst. Skriv de oplysninger, som du skal bruge. Hvilken matematik skal du bruge? LØS OG FORKLAR OPGAVEN Skriv en indledning, hvor du kort forklarer, hvad du skal svare på. Vis, hvordan du vil løse opgaven, fx med et regneudtryk eller en tegning. Overvej, hvilke hjælpemidler du vil bruge, fx lommeregner, geometriprogram eller regneark. Lav et overslag, eller tegn en skitse. Lav en beregning. Indsæt tegninger, diagrammer, grafer eller andet, som du skal bruge for at løse opgaven. Skriv resultatet tydeligt og sådan, at du nemt kan finde det. VURDER DIT SVAR Læs teksten igen. Kan dit resultat besvare spørgsmålet? Passer resultatet med dit overslag? Har du valgt den rigtige metode til at løse opgaven? Har du brugt de rigtige oplysninger? Har du forklaret grundigt, hvordan du har løst opgaven? Er dine beregninger tydelige? Overvej, om du skal have bestemte enheder på dit svar. Er der overskrifter og forklaringer på dine diagrammer, tegninger eller grafer? Hvad fortæller resultatet? OPGAVE 1 F Cille og hendes to veninder har været på danselejr 5 dage i sommerferien. På lejren dansede de 120 minutter hver formiddag, 150 minutter hver eftermiddag og 90 minutter hver aften. Når Cille ikke er på danselejr, danser hun normalt 2 timer om ugen. 1. Hvor mange timer har Cille danset i alt på danselejren? 2. Hvor mange ugers normal dansetræning svarer danselejren til? OPGAVE 2 F I sommerferien var Oliver 14 dage i Italien og købte en is hver dag. Isene kostede mellem 1 euro og 4 euro, og han spiste mange forskellige is. 1. Giv et forslag til, hvor mange euro Oliver kan have brugt på is. Du skal selv beslutte prisen for hver is. 2. Undersøg, hvad det kan have kostet i danske kroner. Du kan fx finde dagens valutakurs på internettet. 6 Faglig læsning og skrivning

7 A SAMMENLIGN ELEVBESVARELSER A 3 AKTIVITET FOR 2 TIL 4 PERSONER. I skal bruge: post-its, elevbesvarelser (A3) og modellen på side 6. I skal i grupper på 2-4 personer se grundigt på de tre forskellige elevbesvarelser, som I får af jeres lærer, og lægge særligt mærke til, hvordan hver elev har regnet og forklaret sin løsning af matematikopgaven. Kan I se, hvad eleven har tænkt? Kan I forstå, hvordan eleven har regnet? Hvad er særligt godt? Er der noget, I synes, der mangler? Har eleven regnet rigtigt? 1. Sammenlign de tre elevbesvarelser, og bliv enige om, hvilken rækkefølge I vil lægge elevbesvarelserne i fra bedst til dårligst. Kald dem nummer 1, 2 og 3 den bedste er nummer Nu skal I på post-its skrive, hvorfor I synes, at besvarelse nummer 2 er bedre end besvarelse nummer 3. Skriv fx: Denne besvarelse er bedre end den anden fordi Find mindst tre begrundelser. Bagefter skriver I, hvad der gør besvarelse nummer 1 bedre end besvarelse nummer Find sammen med en anden gruppe, og præsenter jeres elevbesvarelser, den rækkefølge, I har valgt og de begrundelser, I har skrevet, for hinanden. 4. Nu skal I blive enige om en rækkefølge for alle seks elevbesvarelser. I skal også skrive begrundelser for, hvorfor den ene er bedre end den anden. 5. Afslut fælles i klassen med at skrive en liste over ting, som gør en besvarelse god, og som derfor er gode at huske, når I skal lave en skriftlig besvarelse af en matematikopgave. Brug jeres liste over ting, som gør en besvarelse god, når I løser opgaven herunder. OPGAVE 3 F Nikolaj vil spille badminton i sin fritid. Der er to sæsoner på et år, og det koster 545 kr. pr. sæson i kontingent. 1. Beregn, hvad Nikolaj skal betale i kontingent for to sæsoner. 2. Hvad vil Nikolajs udgifter til kontingent cirka være om måneden, når man betaler for 10 måneder om året? Nikolaj mangler en ketsjer, en taske og et par badmintonsko. Han har 1500 kr. at købe udstyr for. 3. Undersøg, hvilket badmintonudstyr Nikolaj kan købe. I kan bruge priserne til højre eller evt. finde priser på internettet. Nikolaj kan også vælge at leje en badmintonketsjer. Det koster 75 kr. om måneden at leje en ketsjer i Nikolajs badmintonklub. Man betaler kun for 10 måneder på et år. 4. Undersøg, om det kan betale sig for Nikolaj at leje en ketsjer i stedet for at købe en. Hvad vil du råde Nikolaj til? Begrund dit svar ved at vise dine beregninger. O 1 Faglig læsning og skrivning 7

8 T AT SVARE PÅ OPGAVER I MATEMATIK Når du skal løse opgaver i matematik, er det vigtigt at finde ud af, hvad opgaven egentlig går ud på. I nogle opgaver er det ikke nok blot at skrive et tal som resultat. Hvis du er i tvivl om, hvordan opgaven skal besvares, kan du kigge efter forskellige signalord i opgaven. Signalordene kan hjælpe dig lidt på vej. Herunder kan du se forskellige signalord. Beregn Hvad er Hvor stort Hvor mange Find Vis Undersøg Vurder Forklar Begrund Sammenlign osv. Signalordene kræver noget forskelligt af din besvarelse. Beregn betyder, at du skal skrive et regneudtryk, som viser, hvordan du finder et resultat. Du skal også skrive resultatet. Hvad er Hvor stort Hvor mange Find betyder, at du skal finde et resultat som regel et tal men resultatet kan måske findes på flere måder, fx ved at tegne, måle eller beregne. Undersøg Vurder betyder, at du skal prøve dig frem måske på forskellige måder for at finde resultatet og overveje, om resultatet kan passe, eller hvad resultatet cirka kan være. Det kan nogle gange være en fordel at bruge et digitalt værktøj til undersøgelsen. Du må forklare, hvad du har fundet frem til og vise de beregninger eller tegninger, som du har brugt undervejs. Forklar Begrund betyder, at du fx skal forklare, hvorfor noget har en bestemt størrelse, eller at du skal forklare dit resultat, og hvordan du fandt det. Ofte skal du begrunde dit svar ved at beskrive eller vise, hvordan du fandt frem til det. Sammenlign betyder, at du fx skal finde forskelle og ligheder mellem forskellige resultater, diagrammer, tabeller, figurer eller regne udtryk. Jeg har fundet ud af, at arealet er 90 cm 2 ved at måle og beregne Vis betyder, at du skal vise, at et bestemt resultat er rigtigt, fx ved at bruge et regneudtryk eller en tegning. OPGAVE 4 F Løs opgaverne. Brug din viden om de forskellige signalord til at lave den slags besvarelser, som opgaverne kræver. I flere af opgaverne kan det være en fordel at bruge et digitalt værktøj. 1. Beregn, hvor mange danske kroner 50 euro koster, hvis kursen er 746, Hvor stort er arealet af en trekant med sidelængderne 5, 12 og 13? 3. Forklar, hvorfor den ene spidse vinkel i trekanten til højre er Sammenlign antallet af matematiktimer i klasse, klasse og klasse. 5. Vis, at chancen for at slå en 6 er med en almindelig terning er Undersøg, hvor stort arealet af et rektangel kan blive, hvis omkredsen er O 2 8 Faglig læsning og skrivning

9 A LAV JERES EGNE MATEMATIKOPGAVER A 4 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: kort til opgaver (A4), terning, computer eller tablet, saks og lim. I skal lave en matematikopgave ud fra de tegninger og oplysninger, I finder på aktivitets ark A4. I må også gerne bruge computer og fx finde flere oplysninger på internettet, som I kan sætte ind i opgaven. I skal desuden bruge et af signalordene fra den hvide boks i denne ramme i jeres opgave. Øjentallet fra et slag med en almindelig terning svarer til nummeret på det ord, I skal bruge. Klip de tegninger og oplysninger ud, som I vil bruge, og lim dem fast på et stykke A4-papir eller i jeres hæfte. Skriv en opgave med jeres signalord, som passer til de tegninger og oplysninger, I har valgt at sætte på jeres ark. Byt opgave med en anden gruppe, og løs hinandens opgaver. Brug jeres huske liste over de ting, der gør en besvarelse god. Undersøg, hvor mange procent 1. Beregn 2. Undersøg 3. Forklar 4. Sammenlign 5. Hvad er 6. Vis Opgaverne herunder er ikke færdige. Skriv forslag til, hvilke spørgsmål man kan stille. Brug de oplysninger, du finder på siden, og find evt. selv flere oplysninger. OPGAVE 5 Williams familie har et svømmebassin i deres have. OPGAVE 6 Pindediagrammet viser den gennemsnitlige nedbørsmængde over et år i Danmark. 100 mm Nedbør Beregn, hvor stort Svømmebassinet er ikke fyldt helt op med vand. Vandet stopper 10 cm fra kanten af bassinet. 2. Beregn, hvor mange procent William tænker på, hvor lang tid det mon vil tage at fylde bassinet op med vand. Vandhanen kan Januar Februar Marts April Maj juni Juli August September 1. Hvad er 2. sammenlign 3. Vis, at 4. Forklar Oktober November December Måned levere 6 liter vand pr. minut. 3. Undersøg E 1 Faglig læsning og skrivning 9

10 REGNING MED TAL MÅL At du lærer: mere om at bruge de fire regningsarter til at løse problemer at gange og dividere med negative tal om kvadrattal og kubiktal om kvadratrod og kubikrod mere om talfølger. BEGREBER OG ORD talfølge overslag regningsarternes hierarki kvadrattal kubiktal kvadratrod kubikrod FORHÅNDSVIDEN 1. Skriv mindst tre matematikopgaver, som passer til tegningerne. 2. Byt med en makker og løs hinandens opgaver. 3. Diskuter, hvilken regningsart der er mest hensigtsmæssig at bruge til hver af jeres opgaver. Jeg skal bruge 170 m² Vi tjener i alt kr. om måneden Vi bruger kr. på alle vores udgifter hver måned Jeg har 1350 kr. og kan spare 150 kr. op hver måned 10 Regning med tal

11 A Når man har trukket et opgavekort, løber man tilbage til sit hold og svarer på spørgsmålet DYREVÆDDELØB A 5+6 AKTIVITET FOR HELE KLASSEN. I skal bruge: opgavekort (A5), væddeløbsbane (A6), kegler, saks og spillebrikker (dyr). Regler: I skal spille dyrevæddeløb. I skal være opdelt i hold med 2-5 personer. Hvert hold klipper opgavekort ud og lægger dem i en bunke på bordet med væddeløbsbanen. Her efter vælger hvert hold en spillebrik og placerer den på startfeltet på væddeløbsbanen. Hvert hold sætter sig ved deres kegle, som står på gulvet. Spillerne på hvert hold skal skiftes til at løbe fra keglen og hen til bordet med væddeløbsbanen. Når jeres lærer siger start, løber første elev fra hvert hold hen til bordet, trækker et opgavekort, og løber tilbage til sit hold, hvor holdet løser opgaven i fællesskab. Næste elev fra hvert hold løber hen til læreren, som tjekker svaret på opgaven. Er svaret rigtigt, må eleven rykke gruppens brik et felt fremad. Er svaret forkert, bliver brikken på sin plads. Herefter trækker hver elev et nyt opgavekort og løber tilbage til holdet. Spillet slutter, når et eller flere hold er i mål, eller når jeres lærer siger "stop". OPGAVE 1 Regn stykkerne , , ,38 52, , , ,24 263,71 OPGAVE 3 1. Brug overslagsregning, og find ud af, hvor meget varerne koster tilsammen på hver af bonerne. 2. Regn efter på lommeregner. 3. Vurder, om dit overslag er brugbart. OPGAVE 2 Regn stykkerne : : , : , : ,1 20 MULTI-X-tra 20. januar 7 Bananer 17,50 kr. 5 Æbler 12,50 kr. Kylling 47,00 kr. Hk. Oksekød 33,00 kr. Mælk 7,95 kr. Mælk 7,95 kr. Mælk 7,95 kr. Yoghurt 15,95 kr. Yoghurt 15,95 kr. Ost 56,95 kr. MULTI-Alpha 20. januar Ris 22,95 kr. Kartofler 14,25 kr. Pasta 8,95 kr. Rugbrød 19,50 kr. Boller 14,00 kr. Knækbrød 16,00 kr. Kaffe 21,50 kr. Te 11,25 kr. Espresso kapsler 47,95 kr. Opgaver 11

12 Gad vide, hvilke regningsarter jeg skal bruge? A REGNEROBOTTER A 7 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: scorekort (A7), fem terninger og lommeregner. Regler: I skal slå med fem terninger. I skal udvælge fire af terningerne, som I begge skal bruge til at fremstille hver jeres regnerobot. I må bruge regnetegnene + :. Regnerobotterne må kun regne med hele tal og skal indeholde mindst to forskellige regnetegn. Det gælder om at få et resultat så tæt på 30 som muligt. I skal omskrive regnerobotten til et regnestykke, der giver samme resultat. Rækkefølgen på tal og regnetegn i regnestykket skal være den samme som i regnerobotten. I skal evt. tilføje parenteser for at få det rigtige resultat. Når I begge har lavet en regnerobot og et regnestykke, viser I dem til hinanden. I skal forklare, hvorfor I har lavet regnerobotten, som I har. Bagefter skriver I jeres point på hver jeres scorekort. I finder point for regnerobotten ved at finde forskellen på resultatet og 30. I får det antal point, som svarer til forskellen. Regnestykket kontrollerer I på lommeregner. Hvis I har skrevet det rigtigt, får I 1 point. Den spiller, som har færrest point i alt, vinder spillet. Eksempel: Terningerne viser 1, 1, 3, 4 og 4. Regnerobot: = 29 Resultatet er 1 fra 30, det giver 1 point. Regnestykke: (3 + 4) Regnestykket er rigtigt, det giver 1 point. I alt 1 1 = 0 point. OPGAVE 4 Mikkel, Frederik og William tager med bussen frem og tilbage til fodbold. Der er to zoner. Mikkel betaler enkeltbilletter til dem alle den ene vej. Frederik betaler for dem alle den anden vej. 1. Hvilke regneudtryk viser, hvad hver af de to drenge skal betale? a : 2. b : 2 c. (3 12 kr kr.) : 2 d. ( ) : 2 Kamille, Ida, Julie, Yun og Marmona skal i biografen og tager toget. Der er tre zoner. 2. Alle regneudtryk passer til historien. Forklar, hvad hvert af regneudtrykkene viser. a kr. b. 5 (2 18 kr.). c kr kr kr kr kr. d. 75 kr kr. 3. Undersøg, om det er billigst for pigerne at købe billetter eller klippekort. OPGAVE 5 Skriv regnehistorier, der passer til mindst to af stykkerne : : : O 3 12 Regning med tal

13 OPGAVE 6 F A 8 6.x skal på lejrskole til Skødshoved, hvor de skal bo på kommunens koloni. I klassen er de 25 elever og to lærere. Kommunen har vedtaget, at forældrene højest må betale 100 kr. pr. elev pr. dag. Eleverne skal tilsammen betale for de to lærere. Derudover må hver elev højest have 200 kr. med til lommepenge og oplevelsesture. Klassen kan få fri-rejse med DSB, hvis de mindst 10 uger før afrejse søger om det. Fri-rejse hos DSB betyder, at eleverne kan køre gratis med tog. Skolebestyrelsen har valgt, at rejsen højest må vare 5 dage, og at rejsen ikke må være i en weekend. Skolen giver tilskud til rejsen. Tilskuddet er 120 kr. pr. elev pr. dag. 6.x skal overveje følgende, når de skal lave et budget: Hvor mange dage de skal på lejrtur. Om de selv skal lave mad. Hvilken mad de skal have, hvis de selv skal lave den. Hvilke ture de skal på. 1. Hjælp 6.x med at lave et budget for hele turen i et regneark. Brug aktivitetsark A8 for at få informationer om priser for ophold, rejse, mad og ture. 2. Beregn prisen pr. elev. 3. Lav den bedst mulige værelsesfordeling med drenge- og pigeværelser. Hver elev skal som minimum have opfyldt et af sine tre ønsker. På aktivitetsark A8 kan I se, hvad eleverne har ønsket og en grundplan for kolonien. 4. For at komme til kolonien skal 6.x rejse fra Høje Taastrup station til Hornslet station, hvor kolonibussen henter dem. Busturen tager 45 min. Beskriv en rejseplan for turen frem og tilbage til kolonien. På aktivitetsark A8 kan I se en togplan for rejsen. 5. Skriv et forældrebrev med praktisk information om priser, rejseplan og program for turen. Opgaver 13

14 A GANGE OG DIVISION MED NEGATIVE TAL AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: computer eller tablet, videokamera, lommeregner og tallinjer. 1. Undersøg med lommeregneren, hvilke regler der gælder, når man: a. ganger et positivt tal med et positivt tal. b. ganger et negativt tal med et negativt tal. c. ganger et positivt tal med et negativt tal. d. ganger et negativt tal med et positivt tal. e. dividerer et positivt tal med et positivt tal. f. dividerer et negativt tal med et negativt tal. g. dividerer et positivt tal med et negativt tal. h. dividerer et negativt tal med et positivt tal. 2. Nu skal I lave en film, der forklarer de regler, I har fundet frem til. I jeres film kan I forklare reglerne ved at bruge taleksempler, tallinjer og eksempler fra hverdagen. Slut aktiviteten af med at mødes med et andet makkerpar. Vis og se hinandens film. OPGAVE Regn opgaverne. 1. ( 4) ( 225) : ( 3) 4. ( 618) : ( 3) : ( 9). ( 12) : 6 9. ( 64) ( 50) OPGAVE 8 Sandt eller falsk? 1. Hvis man ganger to negative tal med hinanden, giver det et positivt resultat : ( 3) giver det samme som ( 24) : To positive tal divideret med hinanden kan give et negativt resultat. 4. ( 11) ( 11) giver det samme som Hvis det ene tal i et gange- eller divisionsstykke er negativt, og det andet tal er positivt, så bliver resultatet altid negativt : ( 3) giver det samme som 18 : 3.. ( 42) : ( 3) giver det samme som 7 2. OPGAVE 9 Skriv et gangestykke og et divisionsstykke, som giver samme resultat som hvert af regnestykkerne ( 36) : ( 4) 3. ( 5) ( 6) : ( 4) ( 1 2 ) 6. ( 48) : 4. ( 8) 2, : ( 2,5) OPGAVE 10 ( 8) + ( 8) + ( 8) + ( 8) + ( 8) 6 ( 6) 6 ( 6) ( 240) : ( 4) Hvilke regnestykker giver det samme resultat? Begrund dit svar. O 4 5 (-8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) 480 : Regning med tal

15 A TÆNK OG TERNINGER A 9 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: scorekort (A9) og fire terninger. Regler: I skal slå med fire terninger og udvælge tre af dem. Det antal øjne de tre valgte terninger viser, skal I bruge til at fremstille hver jeres regnestykke. I må bruge regnetegnene + :. Det gælder om at lave regnestykket, så I kan svare ja til flest mulige spørgsmål på scorekortet. I får 1 point for hvert spørgsmål, I kan svare ja til. Den spiller, som har flest point i alt, vinder spillet. Øjne på terningerne Regnestykket Har du brugt negative fortegn? Har du brugt gange eller division? Jeg vidste ikke, at man får et positivt resultat, når man ganger et negativt tal med et negativt tal Er resultatet et helt tal? Er resultatet et lige tal? Point for runden 1, 3, 3, = 36 ja ja ja ja 4 OPGAVE 11 Nuuk, 14. januar Tid Tirsdag kl. 9 Tirsdag kl. 12 Tirsdag kl. 15 Tirsdag kl. 18 Tirsdag kl. 21 Onsdag kl. 0 Onsdag kl. 3 Varsel Temp Tabellen viser temperaturerne i Nuuk i løbet af en dag. Hvilket regnestykke beskriver gennemsnittet af temperaturerne? a. (2 ( 4) + 4 ( 5) + ( 6)) : 7 b : 7 c. 2 ( 4) + 4 ( 5) + ( 6) : 7 2. Kortet viser temperaturerne i Grønland. Hvad er gennemsnittet af temperaturerne i Grønland? Opgaver 15

16 T KVADRATTAL OG KUBIKTAL Kvadrattal er tal, der kan skrives som en potens, hvor et naturligt tal opløftes i anden. Kubiktal er tal, der kan skrives som en potens, hvor et naturligt tal opløftes i tredje. Eksempel: 4 er et kvadrattal fordi 2 2 = 4 Eksempel: 8 er et kubiktal fordi 2 3 = 8 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 4 cm 2 8 cm 3 2 cm OPGAVE Skriv alle kvadrattal op til Find forskellen mellem hvert af kvadrattallene. 3. Forklar, hvordan talfølgen ændrer sig for hvert tal. 4. Find de næste 10 kvadrattal efter 100. OPGAVE 13 Tegn et skema magen til og udfyld det. Find de 10 første kubiktal. OPGAVE Beskriv hvert areal med et kvadrattal. Skriv kvadrattallet som et naturligt tal og som en potens. 2. Beskriv hvert rumfang med et kubiktal. Skriv kubiktallet som et naturligt tal og som potens. a b c Kubiktal Forskel Forskel Forskel 1 3 = = = d e f 16 Regning med tal

17 T KVADRATROD OG KUBIKROD Kvadratroden af et tal er det positive tal, der ganget med sig selv, giver tallet. Du skriver kvadratrod som Kubikroden af et tal er det positive tal, som ganget med sig selv tre gange, giver tallet. Du skriver kubikrod som Eksempel: 3 cm Eksempel: 3 cm 3 cm Kvadratroden af 9 skrives som = 3, 3 cm 9 cm 2 Kubikroden af 27 skrives som = 3, 27 cm 3 3 cm fordi 3 3 = 9. fordi = 27. OPGAVE 15 Skriv sætningerne færdige. Fx Da = 8, så er = 2 1. Da = 512, så er 2. Da = 64, så er 3. Da = 1000, så er 4. Da = 1331, så er OPGAVE 16 Regn stykkerne ved at prøve dig frem OPGAVE 1 Regn stykkerne ved at prøve dig frem OPGAVE Et kvadrat har arealet 49 cm 2. a. Find sidelængden af kvadratet. b. Forklar, hvordan du finder sidelængden. 2. Et kvadrat har arealet 144 m 2. a. Find sidelængden af kvadratet. b. Forklar, hvordan du finder sidelængden. 3. En kube har rumfanget 125 cm 3. a. Find sidelængden af kuben. b. Forklar, hvordan du finder sidelængden. 4. En kube har rumfanget 343 m 3. a. Find sidelængden af kuben. b. Forklar, hvordan du finder sidelængden. O 5 Opgaver 17

18 A FIGURFØLGER A 10 Giv jeres figurfølge et navn og skriv, hvor AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: skema (A10), tændstikker, centicubes og kamera. I skal bygge figurfølger af centicubes, tændstikker eller andre ens brikker. I kan bygge tårne, trekantede figurer, firkantede figurer eller andre figurer. Først skal I bygge de fire første figurer i en valgfri figurfølge. Herefter skal I udfylde skemaet. mange brikker der er i figur nr. 1, 2, 3 og 4. Tag et billede af figur nr. 1, 2, 3 og 4 til det videre arbejde med figurfølgerne. Nu skal I undersøge, hvordan figurfølgen vokser og skrive, hvor mange brikker der er i figur nummer 5, 6, 10 og 15. Til sidst beskriver I, hvordan figurfølgen vokser. Brug samme fremgangsmåde til at bygge og undersøge andre figurfølger. Aktiviteten slutter, når jeres lærer siger "stop". Sådan begge sider vokser med 1 hver gang OPGAVE 19 Sammenlign 4-tabellen og 8-tabellen. Beskriv forskelle og ligheder. OPGAVE 20 Sammenlign 3-tabellen og 9-tabellen. Beskriv forskelle og ligheder. 1. Tegn de tre næste figurer, og skriv antallet af brikker i hver figur. Tallene kaldes for trekanttal Når man lægger to trekanttal, der står ved siden af hinanden i talfølgen sammen, giver det et kvadrattal OPGAVE 21 Her er en figurfølge. Du kan se figur 1, figur 2, figur 3 og figur 4 i figurfølgen. 2. Undersøg, om Julie har ret. Begrund dit svar. 1 tern 3 tern 6 tern 10 tern O 6 18 Regning med tal

19 EVALUERING OPGAVE 1 1. Lav syv kort. Skriv et af følgende begreber på hvert kort: overslag, regningsarternes hierarki, kvadrattal, kubiktal, kvadratrod, kubikrod og talfølge. 2. Læg kortene på bordet, så I kan se dem. 3. Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle har forstået begrebet, lægger I kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter, indtil alle kortene er forklaret og forstået. 4. Hvis der er nogle begreber, I ikke kan forklare eller forstå, så skal I hænge kortene med disse begreber op på tavlen. 5. Kig på tavlen, om der er begreber, I kan forklare en anden gruppe. OPGAVE 2 Undersøg, om der er regnet rigtigt eller forkert. Forklar hinanden, hvordan I regner stykkerne ,32 36,4 = 29, , ,77 = 5967, ,93 7 = 398, : 4 = 177,75 OPGAVE 3 Tal om, hvilke metoder I bruger til overslagsregning. Brug fx disse regnestykker. 1. 8, , ,5 + 7,5 +7,5 + 7, OPGAVE 4 Mikkel, Victor og Jakub har været på Shawarmabar og i biografen. De vil gerne vide, hvad de hver især skal betale for mad og biograf. De skal dele regningen lige. Skriv mindst to regneudtryk, der passer til historien. OPGAVE 5 Vis hinanden, hvordan I ganger og dividerer med negative tal. Brug fx disse regnestykker. 1. ( 15) ( 23) : ( 4) 3. 7 ( 16) + ( 13) 8 4. ( 56) : : ( 6) OPGAVE 6 1. Forklar hinanden sammenhængen mellem: a. et kvadrat og kvadrattallene. b. en kube og kubiktallene. 2. Vis og forklar hinanden, hvordan I finder: a. kvadratroden af et tal. b. kubikroden af et tal. OPGAVE Vis eksempler på talfølger og figurfølger, og forklar hinanden, hvordan de fortsætter. E 2 Evaluering 19

20 TRÆN 1 OPGAVE 1 Regn stykkerne , , ,81 49, , ,3 + 50, : , : 5 OPGAVE 5 Regn stykkerne. 1. ( 7) : ( 4) 3. ( 536) : 8 4. ( 23) ( 58) ( 46) 6. ( 330) : ( 6) OPGAVE 6 OPGAVE 2 Sandt eller falsk? 1. Et negativt tal ganget med et positivt tal giver et negativt tal er det samme som To negative tal ganget med hinanden giver et negativt tal. 4. Man kan godt bytte rundt på to tal i et gangestykke og få det samme resultat. OPGAVE 3 Brug overslagsregning og find varernes samlede pris. MULTI-X-tra 15. februar OPGAVE m D A Akrylgarn 27,50 Strømpegarn 16,50 Hårfarve 56,95 Hårpynt 20,00 Termostøvler 125,00 Strømpebukser 54,50 Cardigan 79,00 Tegningen viser en skoles motionsrute, der er 1,8 km lang. 650 m Hvilke regneudtryk viser afstanden fra C til D? 1. 1,8 0,65 0,325 0, ( ) C B 325 m Louise sælger is i en is-café, der sælger bornholmsk is. Pigerne i klassen har aftalt, at de en dag besøger hende for at købe is. Pigerne køber fire is med to kugler, tre is med to kugler og guf og fire is med tre kugler og flødebolle. Hvad koster de 11 is tilsammen? OPGAVE 1. Et kvadrat har arealet 169 cm 2. Find sidelængden i kvadratet. 2. En kube har rumfanget 1331 cm 3. Find sidelængden i kuben. OPGAVE 8 Skriv de fem næste tal i hver talfølge Regning med tal

21 TRÆN 2 OPGAVE 1 Sandt eller falsk? 1. Et helt tal gange et decimaltal giver altid et decimaltal er det samme som (8 2 ) = Et negativt tal, som er ulige, ganget med et positivt tal, som er lige, giver altid et negativt tal, der er ulige. 5. To negative tal divideret med hinanden giver altid et positivt tal. OPGAVE 4 Regn stykkerne. 1. ( 7) : ( 3) 2. ( 4) ( 6) (56 : 8) : 7 + ( 864 : ( 6)) 4. ( 13) ( 12) ( 12) ( 11) OPGAVE 5 OPGAVE 2 Brug overslagsregning og find varernes samlede pris. OPGAVE 3 0,225 km B C MULTI-BYG 15. februar Maling 349,00 Maling 699,00 Maling 699,00 Grunder 449,00 Glasvæv 178,00 Pensel 60,00 Penselsæt 95,00 Rulle 79,50 Rulle 79,50 Tegningen viser et udeareal ved 6.x s skole. A 0,75 km 450 m Udearealets omkreds er 2135 m. 1. Hvilke regneudtryk viser afstanden fra A til B? a. 2,135 0,225 0,45 0,375 0,75 b ( ) c d ( ) 2. Beregn arealet af skolens udeareal. E D 375 m Louise sælger is i en is-café, der sælger bornholmsk is. Pigerne i klassen har aftalt, at de en dag besøger hende for at købe is. Pigerne køber to is med to kugler, guf og flødebolle, en is med to kugler og guf, tre is med to kugler, flødeskum og syltetøj, tre is med tre kugler og flødebolle, to is med tre kugler og alt tilbehør. Louise må give 10 % i rabat til hendes familie og veninder. 1. Hvad koster isene i alt, hvis pigerne fra klassen får 10 % rabat? 2. Hvor mange kroner sparer pigerne, hvis de får 10 % rabat? 3. Hvad koster pigernes is i gennemsnit, efter rabatten er fratrukket? OPGAVE 6 1. Et kvadrat har arealet 1156 cm 2. Find sidelængden i kvadratet. 2. En kube har rumfanget 9261 cm 3. Find sidelængden i kuben. OPGAVE Skriv de fem næste tal i hver talfølge Træning 21

22 TEMA/PROJEKT FIBONACCIS TALFØLGE PROJEKT FOR 2 PERSONER. I skal bruge: papir med tern, lineal, passer, farveblyanter og et geometriprogram. FIBONACCI I 1202 beskrev den italienske matematiker Fibonacci en talfølge, som nu er kendt som Fibonacci-tal. Talfølgen lyder: Ud fra talfølgen kan man tegne et spiralmønster, som vist på illustration 1 og 2. Illustration 1 Illustration OPGAVE 1 1. Forklar, hvordan talfølgen vokser. 2. Skriv de næste 10 Fibonacci-tal. OPGAVE 2 1. Tegn et kvadratmønster som illustration 1, og fortsæt mønsteret. 2. Tegn en cirkelbue på 90 i hvert kvadrat som illustration 2, så cirkelbuerne danner en spiral. 3. Farv de kvarte cirkelbuer i hver sin farve. 22 Regning med tal

23 OPGAVE 3 1. Tegn den samme spiral, som i opgave 2 i et geometriprogram. 2. I skal nu lave jeres eget kunstværk med spiralen ved at bruge en eller flere flytninger. I kan fx: dreje spiralen om et punkt. spejle spiralen i en linje. parallelforskyde. 3. Fjern gitteret, og print jeres tegning. 4. Udstil jeres mønstre. 5. Gæt, hvilke flytninger der er brugt i hvert af klassens mønstre. OPGAVE 4 Fibonacci mente, at flere ting i naturen kan beskrives ved hjælp af Fibonacci-tallene. Tegningen viser, hvordan en nyse-røllike vokser. Tegningen viser, hvordan en kaninbestand vokser måned for måned. Beskriv, hvordan Fibonaccis talfølge hænger sammen med eksemplet med blomsten og kaninerne. OPGAVE 5 I skal undersøge, hvor man ellers kan finde eksempler på Fibonacci-tal i naturen. Søg informationer på internettet. 1. Lav jeres egen præsentation om Fibonacci-tal i naturen. I kan fx lave et billedeshow. 2. Tror I, Fibonacci havde ret i, at flere ting fra naturen kan beskrives ved hjælp af Fibonacci-tallene? 3. Når alle er færdige, kan I lave en fernisering hvor I går rundt og kigger på hinandens præsentationer. Tema/projekt 23

24 BRØKER OG DECIMALTAL MÅL At du lærer: at dividere et decimaltal med et helt tal at gange to decimaltal med hinanden at gange en brøk med et helt tal om division med en brøk og et helt tal mere om sammenhængen mellem brøk, decimaltal og procent. BEGREBER OG ORD brøk decimaltal division gange procent FORHÅNDSVIDEN 1. Skriv mindst to regnehistorier, der handler om decimaltal og passer til tegningen. 2. Læs regnehistorierne højt for hinanden. 3. Skriv regnestykker, der passer til regnehistorierne, og find resultaterne. OPGAVE 1 1. Hvor mange liter kan der være i tre af de blå flasker? 2. Hvilke flasker kan I fylde, hvis der skal være 2 liter? Skriv tre forskellige forslag. 3. Hvor mange liter er der i alt, hvis I fylder en af hver farve flaske? Brøker og decimaltal

25 A MUSIK OG BRØKER A 11 AKTIVITET FOR 3 TIL 4 PERSONER. I skal bruge: nodelinjer (A11) og claves. Brøker i noder viser, hvilken taktart musikken skal spilles i. I eksemplet herover står der brøken 4 4. Det betyder, at en takt skal have en samlet nodeværdi, der svarer til 4. Nodeværdien fortæller, hvor længe man skal spille 4 noden. I skemaet herunder kan I se, hvilken værdi hver node har. Node Værdi Brøk En takt med taktarten 4 4 taktart takt taktstreg 1 16 Noderne kan vise forskellige rytmer. Nogle rytmer kan man skrive i takter med den samlede nodeværdi 4 4, andre kan man skrive i takter, hvor den samlede nodeværdi fx er 3 4 eller 7. 8 Man kan vise rytmen med noder og brøkbrikker således: = I grupper skal I skrive og tegne fire forskellige rytmer, der passer til brøken 4 4. I skal vise rytmerne med både noder og brøkbrikker. Hæng rytmerne op i klassen. Herefter skal I øve jer i at slå rytmerne med claves. Hver takt skal vare 4 sekunder, så hvis I fx har en nodeværdi på 1 2, skal den vare i 2 sekunder. Det kan hjælpe at tælle til fire for hver takt, når I skal holde rytmen. Til sidst skal I på skift i grupperne spille jeres rytmer for hinanden. Hvis I bliver rigtig dygtige, kan det være, at I kan spille klassens rytmer i forlængelse af hinanden, så det bliver til sammenhængende musik. OPGAVE 2 A Skriv to forskellige takter, der passer til taktarten Skriv to forskellige takter, der passer til taktarten Skriv to forskellige takter, der passer til taktarten 2 4. OPGAVE 3 Regn stykkerne. Skriv uægte brøker som blandede tal OPGAVE 4 Regn stykkerne. Forkort resultaterne mest mulig O Opgaver 25

26 T DIVISION MED DECIMALTAL Når du skal dividere et decimaltal med et helt tal, kan du gøre det på flere måder. Eksempel: 45,6 : 4 1 Brug skema 4 5, 6 : ener veksles til 10 tiendedele Regn uden komma og lav overslag Du regner først uden kommaet. 456 : 4 = 114 Du laver et overslag. 45,6 : 4 11 Ud fra dit overslag sætter du kommaet. 45,6 : 4 = 11,4 3 Sæt kommaet når du regner 1 4 5, 6 : 4 = 1 1, , 4 OPGAVE 5 1. Regn mindst tre af stykkerne ved at bruge hver metode fra teoriboksen. a. 35,5 : 5 b. 56,7 : 6 c. 42,8 : 4 d. 4,83 : 3 e. 28,42 : 7 f. 72,08 : 4 2. Regn efter på lommeregner. 3. Forklar hinanden, hvilke ligheder og forskelle der er mellem metoderne. OPGAVE 6 1. Regn stykkerne uden at bruge lommeregner. a. 417 : 3 b. 41,7 : 3 c. 4,17 : 3 d. 765 : 5 e. 76,5 : 5 f. 7,65 : 5 2. Regn efter på lommeregner. 3. Forklar, hvad sammenhængen er mellem opgave a, b og c samt d, e og f. OPGAVE A 12 MULTI-sport er til atletikstævne i Tyskland. I hver disciplin stiller hvert land med et hold på fire børn. Til stævnet gælder følgende regler: I længde- og højdespring vinder det hold, som i gennemsnit springer længst/højest. Gennemsnittet beregnes ud fra de tre bedste spring. I 80 meter løb og 800 meter løb vinder det hold, som har den hurtigste tid, når man finder summen af holdets hurtigste og langsomste tid. I spydkast og kuglestød vinder det hold, som i gennemsnit kaster længst. Gennemsnittet beregnes ud fra holdets to længste kast. 1. Se holdenes resultater på aktivitetsark A12. Fordel guld, sølv og bronze for hver disciplin. 2. Hvilket land har fået flest point, og er den samlede vinder af atletikstævnet? 26 Brøker og decimaltal

27 A FIND AREALET A 13 AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: rektangler (A13) og lineal. Længden er 5,5 cm og bredden er 2,3 cm Arealet er altså 5,6 gange 3,8. Men hvordan finder vi ud af, hvor meget det er? 1. I skal finde ud af, hvor mange cm 2 hvert rektangel er. I kan fx opdele rektanglerne og tælle cm 2. I kan beregne arealet i mm 2 og derefter omregne til cm I ved, at man kan finde arealet af et rektangel med formlen Areal = længde bredde. Til hvert rektangel skal I nu bruge formlen til at skrive et gangestykke, der er lig med arealet. 3. Skriv regler for, hvordan I ganger med decimaltal. OPGAVE 8 1. Regn stykkerne uden at bruge lommeregner. a b. 1,5 45 c. 1,5 4,5 d e. 60,8 36 f. 60,8 3,6 2. Regn efter på lommeregner. 3. Forklar, hvad sammenhængen er mellem opgave a, b og c samt d, e og f. OPGAVE 10 7,2 m F 3,2 m 3,1 m 3,6 m OPGAVE 9 For hvert regnestykke i boksen skal du: 1. Først regne uden komma. 2. Lave et overslag. 3. Bruge dit overslag til at indsætte kommaer i din første udregning. 4. Tjekke resultatet på lommeregner. a. 2,3 8,1 b. 1,07 9,32 c. 27,3 2,25 d. 0,47 1,6 e. 9,84 6,3 f. 0,03 0,8 6,8 m 4,1 m Yessers familie skal give deres trægulv i stuen olie. En dunk olie koster 369,95 kr. I en dunk er der 2 liter olie. 0,8 liter olie dækker 3 m Se på skitsen af stuen. Hvad er arealet? 2. Hvor mange liter olie skal familien bruge? 3. Hvor mange dunke skal familien købe? 4. Hvor meget skal familien betale for olien? O 8 Opgaver 27

28 T GANGE MED BRØKER Du kan gange en brøk med et helt tal på flere måder: Eksempel: Tegn + + = 2 Brug tallinjen Du lander på 6, hvis du går frem 3 gange. Derfor er 2 3 = 6 = Beregn Du ganger det hele tal med tælleren. Nævneren ændres ikke. 2 3 = = 6 = OPGAVE 11 Skriv gangestykker, der passer til figurerne, og find resultatet OPGAVE 12 A 14 Regn stykkerne ved at anvende metoderne fra teoriboksen OPGAVE Undersøg, om der er regnet rigtigt. a. 2 4 = 8 b. 3 4 = 3 c. 5 4 = Ret fejlene og forklar hinanden, hvordan I vil regne stykkerne. OPGAVE 14 Skriv gangestykker, der passer til teksten og find resultaterne. 1. Fem drenge køber 1 2 liter sodavand hver. Hvor mange liter har de købt tilsammen? 2. I en lille kakaomælk er der 1 5 liter. Hvor mange liter kakao er der i en pakke med seks små kakaomælk? 3. Marmona og hendes mor køber tre bøtter is. I hver bøtte er der 3 4 L is. Hvor mange liter is køber de? 1 4. Malte drikker 4 L mælk i skolen hver dag. I løbet af en måned var der 21 skoledage. Hvor mange liter mælk drak Malte i skolen i den måned? O 9 28 Brøker og decimaltal

29 OPGAVE 15 F OPGAVE 1 F En gruppe af pigerne vil lave hjemmelavet is til dessert til hele klassen. Pigerne bruger en opskrift til 4 personer. I hjemkundskab skal 6.x bage pizzaer til fællesspisning i klassen. De er 24 elever i skole den dag, så læreren inddeler dem i otte grupper med tre elever i hver. Hver gruppe skal bage en pizza. PIZZA 3 personer 1 pk. gær 4 3 dl vand (lunken) 4 3 spsk. olie 1 1 tsk. salt dl hvedemel dl grahamsmel 2 Fyld 150 g hakket oksekød 1 1 løg (lille) 2 1,5 spsk. tomatpuré 1 spsk. oregano eller timian 2 salt peber 3 tomater 120 g revet ost 1. For hver ingrediens, skal I finde ud af, hvor meget hele klassen skal bruge tilsammen. 2. Brug internettet til at undersøge, hvor meget det vil koste at købe ind til pizzaerne. OPGAVE 16 F Til fællesspisningen køber læreren en pakke med 28 juice. 1. Hvor mange liter juice køber læreren i alt? 2. Hvis 19 af eleverne drikker deres juice, hvor mange liter drikker de så tilsammen? 3. Hvor mange liter er der tilbage, hvis 19 elever har drukket deres juice? Pigerne får 10 kartoner med 1 4 L piskefløde. 1. Undersøg, om pigerne har nok piskefløde. 2. Undersøg, hvor meget piskefløde pigerne har tilbage eller mangler. 3. Hvor mange kilogram mælkechokolade skal pigerne købe? 4. Hvor mange kilogram mørk chokolade skal pigerne købe? 5. Hvor mange spsk. sukker skal pigerne bruge? Opgaver 29

30 T DIVISION MED BRØKER Du kan dividere en brøk med et helt tal på flere måder. Eksempel: 1 : 2 4 Du kan dividere et helt tal med en brøk på flere måder. Eksempel: 2 : Tegn 1 : 2 betyder, at du skal dele i 2 lige store stykker. Du kan tegne en 1 4 sådan: 1 Brug tallinjen Du tæller, hvor mange 1 4 der går på to hele. Svaret er 8. Du skal nu dele rektanglet vandret i to lige store stykker og skravere den ene halvdel af den kvarte. 2 Tegn Du kan tegne to hele sådan: Du skal inddele hver af de to hele i fjerdedele. Resultatet svarer til dobbeltskraveringen. Derfor er 1 : 2 = Beregn Du ganger det hele tal med nævneren. Tælleren ændres ikke. 1 : 2 = 1 = Der er 8 fjerdedele i alt. Derfor er 2 : 1 4 = 8 3 Beregn Du dividerer et helt tal med en brøk ved at gange det hele tal med den omvendte brøk. 2 : 1 = 2 4 = 4 2 = OPGAVE 18 A 15 Regn stykkerne ved at anvende metoderne fra teoriboksen : : : : 4 12 OPGAVE Undersøg, om der er regnet rigtigt. a. 3 : 4 = 3 b. 5 : 3 = c. : 3 = 15 d. 6 : 2 = Ret fejlene, og forklar hinanden, hvordan I vil regne opgaven. OPGAVE 20 Sandt eller falsk? 1. 3 : 1 < 1 : : 1 > : 3 > : 4 < 4 : : 4 < : 2 > Brøker og decimaltal

31 A EROBRINGEN A AKTIVITET FOR 2 TIL 4 PERSONER. I skal bruge: brøkkort (A16), papir, blyant, saks, spilleplade (A17) og centicubes. Regler: Først skal I klippe brøkkortene ud og lægge dem i en bunke midt på bordet med bagsiden opad. Derefter lægger I spillepladen på bordet, og tager hver centicubes i hver jeres farve. Det gælder om at erobre så mange af brøkerne på spillepladen som muligt. I erobrer en brøk ved at trække et brøkkort og herefter skrive et regnestykke, hvor brøken indgår. I regnestykkerne må I bruge plus, minus, gange og division. Fx trækker en spiller brøken 1 2 og skriver regnestykket: = = 5 4 = Når stykket er skrevet, og regnestykket og resultatet er godkendt af de andre deltagere, er brøken erobret. Spilleren må sætte en centicube på spillepladen, hvor der står 1. 2 Hvis resultatet af regnestykket også står på spillepladen, og der endnu ikke er placeret en centicube på brøken, så er denne brøk også erobret. Hvis spilleren trækker en brøk, der er erobret, så er eneste chance for at erobre en brøk, at lave et regnestykke, hvor resultatet endnu er ledigt. Spillet slutter, når der ikke er flere brøker på spillepladen, brøkkort i bunken, eller når jeres lærer siger "stop". Vinderen er den spiller, der har erobret flest brøker. Jeg trækker 2 10 fra 4 5 ved at finde en fællesnævner og trække tællerne fra hinanden, og det giver 6, 10 der kan forkortes til 3, som ikke 5 er erobret endnu OPGAVE 21 Tegn en tegning og skriv et regneudtryk, der passer til hver regnehistorie, og find resultatet. 1. Tre elever deler 1 4 pizza. Hvor stort et stykke af hele pizzaen får hver elev? 2. Seks elever skal dele 1 2 kage. Hvor stort et stykke af hele kagen får hver elev? 3. Lukas har fire pizzaer. Han deler hver pizza i sjettedele. Hvor mange stykker pizza er der i alt? 4. Ida skal hælde 4 liter vand i en gryde. I hendes målebæger kan der være 1 2 liter. Hvor mange gange skal Ida fylde sit målebæger op? OPGAVE Skriv regnehistorier, der passer til hvert af stykkerne. 4 a. : 5 b. 2 : Byt regnehistorier, og find resultatet. O 10 Opgaver 31

32 A BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: blyant, papir, lommeregner, video optager/mobiltelefon, karton og computer eller tablet. I skal lave en præsentation, hvor I viser og forklarer forskellige metoder til at omskrive mellem brøk, decimaltal og procent. Ok, jeg starter med metoden, hvor jeg forlænger brøken til hundrededele Skal vi ikke vise, hvordan brøken 3 4 kan skrives som decimaltal og procent? Jo, men jeg synes, vi skal vise flere metoder Super, så laver jeg metoden, hvor brøken divideres og herefter ganges med 100 I kan fx bruge procentdiagrammer eller tal linjen, når I skal forklare jeres metoder. Jeres præsentation kan være en planche, video eller tegneserie. I skal slutte af med at vise jeres præsentation for resten af klassen. OPGAVE 23 Skriv som brøk og decimaltal % % % % OPGAVE 24 Regn opgaverne ved at omskrive decimaltallet til en brøk eller brøken til et decimaltal. 1. 0, , : 0, : 3 8 OPGAVE 25 Skriv med brøk og decimaltal, hvor mange liter der kan være i hver juice. OPGAVE 26 Sandt eller falsk? 1. At gange et tal med 0,5 er det samme som at finde 50 % af tallet. 2. At gange et tal med 0,04 er det samme som at finde 40 % af tallet. 3. At gange et tal med 1 3 er det samme som at finde 30 % af tallet. 4. At lægge 1 4 til et tal er det samme som at lægge 0,25 til tallet. 5. At lægge 0,5 til et tal er det samme som at lægge 50 % af tallet til tallet. O Brøker og decimaltal

33 EVALUERING OPGAVE 1 Skriv tre ting, du har lært om brøker og decimaltal i kapitlet. Når du er færdig, skal du række hånden op for at vise, at du er klar til at mødes med en makker. Find en makker. Du skal forklare makkeren om de tre ting, du har skrevet. Hvis din makker forklarer noget andet end dig, skal du også skrive det. Ræk derefter hånden op, for at vise, at du er klar til at mødes med en ny makker. OPGAVE 5 Vis og forklar hinanden forskellige metoder til, hvordan I dividerer med brøker. I kan fx bruge disse stykker: 1. 1 : : OPGAVE 6 Fortsæt til din lærer siger "stop". OPGAVE 2 Vis og forklar hinanden forskellige metoder til, hvordan I ganger med decimaltal. I kan fx bruge disse stykker: 1. 4,63 19, ,51 7,3 3. 0,81 8, ,45 123,6 OPGAVE 3 Vis og forklar hinanden forskellige metoder til, hvordan I dividerer et decimaltal med et helt tal. I kan fx bruge disse stykker: 1. 17,4 : ,7 : ,35 : 4 OPGAVE 4 Vis og forklar hinanden forskellige metoder til, hvordan I ganger med brøker. I kan fx bruge disse stykker: Find regnestykker med brøker, der passer til teksterne, og find resultaterne elever har hver især 1 2 liter vand med til idræt. Hvor mange liter har de med tilsammen? 2. Fire venner skal dele 3 4 pizza. Hvor stor en del af en hel pizza får de hver? 3. Til en tur bliver der købt 6 liter juice i alt, hver juice indeholder 1 4 liter. Hvor mange juice er der købt? OPGAVE Forklar hinanden, hvorfor dette er rigtigt: = 0,6 = 60 % = 0,375 = 37,5 % E 3 Evaluering 33

34 TRÆN 1 OPGAVE 1 Regn stykkerne OPGAVE 2 Regn stykkerne. 1. 2,65 + 7, ,08 + 4,1 3. 3,2 + 9, , ,85 3, ,29 4,16. 8,06 5, ,4 OPGAVE 5 Regn stykkerne : : 3 OPGAVE 6 Sandt eller falsk? 1. 1 : 1 > : 1 < 1 : : 2 > : 2 > 2 : : 3 < : 9 > 9 : > 9 : = OPGAVE OPGAVE 3 Regn stykkerne. 1. 4, ,51 3, ,3 14, ,73 6, ,2 : ,96 : 4. 43,8 : ,79 : 3 OPGAVE 4 1. Lav opskriften til smoothie om til 18 personer. 2. Lav opskriften til smoothie om til 2 personer. OPGAVE 8 Sæt tallene i rækkefølge efter størrelse. Start med det mindste tal % 0, % 0, ,87 86% Hvad koster 4 æbler? 2. Hvad koster 1 banan? 3. Hvad koster 4 vandmeloner? 4. Hvad koster 1 kg kartofler? 5. Hvad koster 1 kg blåbær? 34 Brøker og decimaltal

35 TRÆN 2 OPGAVE 1 Regn stykkerne ,2 14,5 2. 9,41 4,2 3. 0,74 4, ,402 0, ,78 : ,88 : 9. 1,704 : ,686 : 4 OPGAVE 2 Skriv som gangestykke, og find resultatet. Eksempel : = OPGAVE 5 Pandekager 10 stk. 125 gram Hvedemel 2 Æg 1 tsk. 4 Salt tsk. Sukker dl Sødmælk 1 spsk. Olie OPGAVE 3 Regn stykkerne : : : 10 6 OPGAVE 4 Skriv regnestykker, der passer til teksterne og find resultaterne. 1. Sofie skal købe juice til sin fødselsdag. Hun køber 25 juice, der hver indeholder 1 liter. 4 Hvor mange liter juice køber Sofie? 2. Nikolaj skal fylde vanddunkene til fodboldholdet. I flaskerne kan der være 3 4 liter vand. Han fylder i alt 9 liter vand i dunkene. Hvor mange dunke fylder Nikolaj? 3. Yun, Julie og William skal dele 1 2 pizza. Hvor stor en del af hele pizzaen får de hver? 1. Lav opskriften så den passer til 25 pandekager. 2. Hvis man laver pandekager af 1 liter sødmælk, hvor meget skal man så bruge af hver af de andre ingredienser? OPGAVE 6 1. Skriv tre brøker, som kan skrives som et tal med to decimaler. 2. Skriv tre brøker, som svarer til et decimaltal med uendeligt mange decimaler. OPGAVE Anna cykler 3,6 km til skole. Hun cykler gennem villakvarter, skov og ad stisystemer. 3 8 af vejen er gennem skov. 1. Hvor mange kilometer cykler Anna gennem skoven? 2. Hvor stor en procentdel af vejen er der ikke skov? Træning 35

36 BLANDEDE OPGAVER OPGAVE 1 Sandt eller falsk? 1. To negative tal ganget med hinanden giver altid et negativt tal som resultat. 2. ( 13) 13 giver det samme som 13 ( 13). 3. ( 63) : ( 9) giver det samme som 63 : Et negativt tal divideret med et positivt tal giver altid et positiv tal som resultat. OPGAVE 2 Her er en figurfølge. Du kan se figur 1, figur 2 og figur 3 i figurfølgen. Tegn de tre næste figurer, og skriv antallet af brikker i hver figur. 1 2 OPGAVE 3 I skemaet kan du se, hvor langt 10 af eleverne fra 6.x har til skole. Anna Yesser Jasmin Frederik Emma 4,2 km 1,8 km 3,9 km 8,1 km 7,5 km 3 OPGAVE 5 Beskriv hver figurer ved hjælp af følgende begreber: linjestykke parallelle linjer vinkelret på rette vinkler diagonaler OPGAVE 6 A centicubes svarer til 100 %. 43 % af centicubsne er blå, 12 % er røde, 20 % er gule, 16 % er grønne og resten er sorte. 1. Tegn et procentdiagram, der viser, hvor stor en procentdel hver farve udgør af de 300 centicubes. 2. Hvor mange centicubes svarer 1 % til? 3. Hvor mange centicubes er der af hver farve? Mikkel Kamille Jakub Cille Lucas 5,6 km 10,3 km 6,6 km 2,7 km 9,4 km 1. Hvor stor er forskellen på skolevejens længde for den elev, der har længst til skole og den elev, der har kortest til skole? 2. Hvor stor er forskellen mellem Lucas og Annas længde til skole? 3. Hvor langt har de 10 elever i gennemsnit til skole? OPGAVE 4 Tegn tre kasser i perspektiv, hvor: 1. horisontlinjen ligger over kassen. 2. horisontlinjen ligger under kassen. 3. horisontlinjen går igennem kassen. OPGAVE Frederik har lavet en undersøgelse af 25 slag med en tisidet terning. Herunder kan du se resultaterne: 8, 6, 4, 8, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 1, 6, 7, 0, 7, 2, 8, 7, 0, 5, 4, 8, 1, 9, Lav en hyppighedstabel, som viser hyppigheden af hvert tal. 2. Beregn frekvensen af hvert tal. 3. Vis frekvenserne i et procentdiagram. 4. Er frekvensen af hvert tal, som du ville forvente? Forklar hvorfor eller hvorfor ikke. 36 Brøker og decimaltal

37 OPGAVE 8 1. Omregn til cm 3. a. 3 dm 3 b. 1,5 m 3 c. 0,75 dm 3 d. 0,5 m 3 2. Omregn til dm 3. a cm 3 b. 20,5 m 3 c cm 3 d. 0,75 m 3 OPGAVE 9 Ida skal flytte, derfor vil hun bruge flyttekassen med det største rumfang, så hun kan have mest muligt i kasserne. Hvilken flyttekasse skal hun vælge? OPGAVE 10 Løs mindst fem af ligningerne ved at gætte og afprøve eller ved at tænke på modsatte regningsarter. Skriv regnehistorier, som kan passe til ligningerne. Lav mindst to regnehistorier. 1. x 20 = x = x = x = x + 5 = x 6 = x + 7 = x 2 x = 30 OPGAVE 11 Tegn billedet i længdeforholdet 3:1. OPGAVE 12 I en bunke kort er der en sort og en rød dame, en sort og en rød 10 er og en sort og en rød 2 er. Du trækker tre tilfældige kort fra bunken et ad gangen uden at lægge hvert udtrukket kort tilbage. 1. Tegn et tælletræ, der viser udfaldsrummet. 2. Hvor mange flere udfald ville der være, hvis du trak de tre kort et ad gangen og lagde hvert kort tilbage i bunken før næste udtrækning? OPGAVE Hvilke forskelle og ligheder er der på funktionsmaskinernes koder? 2. Lav koordinatsæt ved hjælp af den gule funk tionsmaskine ved at finde den y-koordinat, der passer til: a. x = 2 b. x = 0 c. x = 2 d. x = 4 3. Lav koordinatsæt ved hjælp af hver af de tre andre funktionsmaskiner ved at finde den y-koordinat, der passer til: a. x = 2 b. x = 0 c. x = 2 d. x = 4 4. Afsæt koordinatsættene som punkter i et koordinatsystem, og forbind punkterne for hver funktionsmaskine. Skriv koden for funktionsmaskinen ved hver graf. 5. Sammenlign graferne. Hvilke forskelle og ligheder er der? 6. Sammenlign forskellene og lighederne med funktionsmaskinernes koder. Blandede opgaver 37

38 AREAL MÅL At du lærer: at anvende triangulering til at finde arealet af polygoner at bestemme areal i situationer fra hverdagen at bestemme arealet af en rombe og et parallelogram ved hjælp af formler at forklare sammenhængen mellem radius og arealet af en cirkel at omregne mellem forskellige flademål. BEGREBER OG ORD areal dm 2 parallelogram m 2 rombe km 2 grundlinje triangulering højde diagonal cirkel radius cm 2 FORHÅNDSVIDEN Cirkel Bestem hver figurs areal. I kan beregne eller tælle tern. Polygon Trekant Parallelogram Rombe OPGAVE 1 1. Lav et mindmap over hverdagssituationer, hvor man har brug for at finde et areal. 2. Tag udgangspunkt i et konkret eksempel fra en hverdagssituation. Tegn en skitse af det område, som man skal finde arealet af. Find arealet af området. 38 Areal

39 A HVEM HAR DET STØRSTE AREAL? A 18 AKTIVITET FOR HELE KLASSEN. I skal bruge: figurkort (A18), centicubes, papir og blyant og evt. et geometriprogram. Regler: Alle skal have tre figurkort. Spillet starter, når alle har fundet en modspiller. Nu vender I begge et figurkort fra jeres bunke. Vinderen er den med det største areal. Mit areal fylder mindst 6 3 kvadratcentimeter. Det er mere end trekanten Mit areal er og det giver 12 Vinderen får en centicube. Er figurernes areal lige store, er der ingen, der vinder. Hvis I ikke kan finde ud af, hvem der har det største areal, kan I bruge papir og blyant til at regne efter eller et geometriprogram, til at undersøge, hvem der vinder. Jeg har det største areal. Jeg vinder dit kort Når I har sammenlignet arealerne, skal I bytte kort. I rækker nu en hånd i vejret for at vise, at I er klar til at møde en ny modspiller. Vinderen af spillet er den, som har flest centicubes, når læreren siger "stop". OPGAVE 2 1. Tegn fire forskellige trekanter med arealet 28 cm Tegn tre forskellige trekanter med et areal, der er halvt så stort. OPGAVE 4 Tegn hver figur i længdeforholdet 3:1. 1 OPGAVE 3 1. Omregn til cm. a. 45 mm b. 3,81 dm c. 1,2 m 2. Omregn til m. a. 57 cm b. 48,7 dm c. 1,45 km 3. Omregn til km. a m b m c. 500 dm 2 O 12 Opgaver 39

40 T TRIANGULERING Når du skal finde arealet af en polygon, kan du opdele den i trekanter. Herefter kan du finde arealet af hver af trekanterne. Arealet af polygonen er lig med det samlede areal af alle trekanterne. Det kaldes triangulering. Man kan bruge triangulering til at finde arealet af landområder. Herunder kan du se, hvordan man fx kan finde arealet af Bornholm ved brug af triangulering. A = 10 cm 2 A = 9 cm 2 A = 15 cm 2 A = 24 cm 2 OPGAVE 5 1. Tegn figurerne i de rigtige størrelser. 2. Brug triangulering til at finde arealet af de tegnede figurer. a 8 cm c 16 cm 10 cm 18 cm 12 cm 6 cm 8 cm b 14 cm 10 cm 18 cm 8 cm 12 cm OPGAVE 6 Brug et geometriprogram. 1. Lav en regulær firkant, femkant, sekskant, syvkant, ottekant, nikant og tikant. 2. Opdel de regulære polygoner i så få trekanter som muligt. 3. Lav en tabel, der viser, hvor mange trekanter hver af polygonerne er opdelt i. 4. Undersøg, hvilken sammenhæng der er mellem antal kanter for en polygon, og hvor mange trekanter polygonen kan opdeles i. 5. Find ud af, hvor mange trekanter en regulær 15-kant kan opdeles i. 6. Undersøg, om sammenhængen mellem antal kanter for en polygon og antal trekanter, som polygonen kan opdeles i, også gælder for ikke regulære polygoner. 8 cm 40 Areal

41 OPGAVE F A 19 Ja I får indflydelse på hvilket af de tre områder, der bliver det nye naturcenter Alle områder har en god beliggenhed Ja, og der er et rigt dyreliv og planteliv alle steder 1. Find arealet af hvert af landområderne ved at triangulere, så du kan hjælpe naturvejlederen med at anbefale det størst mulige areal. Brug aktivitetsark A19. Det første, der skal bygges på området, er det nye naturcenter med tilhørende lade. Naturcenteret skal have et areal på mellem 220 m 2 og 250 m 2. Laden skal være halv så stor som naturcenteret. 2. Indtegn naturcenteret og laden på det landområde, der har det største areal. Brug aktivitetsark A19. Så må vi finde det område, der har det største areal Naturvejlederen vil gerne have lavet nye folde til sine husdyr. Han vil starte med at lave en til sine syv shetlandsponyer. I hesteloven står der: For ethvert hestehold skal der være adgang til en fold. Folden skal have et areal på mindst 800 m 2, hvoraf den korteste side skal være mindst 20 m. Benyttes folden af mere end fire heste på samme tid, forøges det angivne arealkrav med 200 m 2 pr. hest. Kilde: Trafikministeriet har besluttet at udvide det danske jernbanenet med en godsbane. Godsbanen skal køre igennem kommunens naturcenter. Derfor skal der bygges et nyt naturcenter. Naturvejleder Flemming Hansen har fået tre mulige områder i kommunen, hvor det nye naturcenter kan ligge. Alle områderne ligger tæt op ad skoven, og har derved en god beliggenhed. 3. Hvor stor skal hestefolden minimum være for at leve op til hesteloven? 4. Indtegn hestefolden på aktivitetsark A19, så den overholder hesteloven. Folden skal indhegnes. Pælene til hegnet skal stå med 3 meters afstand. På pælene skal der monteres to rækker med vandrette brædder. Der skal altså bruges dobbelt så mange meter brædder som foldens omkreds. 5. Hvor mange pæle skal naturvejlederen bruge til indhegningen? 6. Hvor mange meter brædder skal naturvej lederen bruge til indhegningen? O 13 Opgaver 41

42 T AREAL AF ROMBE OG PARALLELOGRAM Du ved, at formlen for arealet af et rektangel er Areal = længde bredde. Du kan også finde arealet af et parallelogram og en rombe med en formel. Parallelogram Du kan klippe et parallelogram i to stykker og lægge de to stykker, så de danner et rektangel. På den måde kan du finde formlen for arealet af et parallelogram. Trekanten flyttes. Klip h h Rombe En rombe er et parallelogram, hvor alle fire sider har samme længde. Derfor kan du finde arealet af en rombe med formlen Areal = højde grundlinje. Men du kan også finde arealet af en rombe med en anden formel, hvor du bruger længden af de to diagonaler. Du kan klippe en rombe i fire stykker og lægge dem, så de danner et rektangel. På den måde kan du finde formlen for arealet af en rombe. g g d2 d1 d1 d1 d2 d2 h g Du kan bestemme arealet af en rombe med formlen Areal = diagonal2 diagonal1 : 2 Du kan bestemme arealet af et parallelogram med formlen Areal = højde grundlinje OPGAVE 8 Formlen for arealet af et rektangel er: Areal = længde bredde Formlen for arealet af et parallelogram er: Areal = højde grundlinje Se på formlerne for areal af et parallelogram og et rektangel. Forklar, hvordan de to formler hænger sammen. Brug tegningerne herunder til at begrunde jeres svar. OPGAVE 9 Formlen for arealet af en trekant er: Areal = højde grundlinje : 2 Formlen for arealet af en rombe er: Areal = d1 d2 : 2 Se på formlerne for areal af en rombe og en trekant. Forklar, hvordan de to formler hænger sammen. Brug tegningerne herunder til at begrunde jeres svar. 42 Areal

43 A TEGN OG UNDERSØG FIGURER A AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: geometriprogram, skærmvideoprogram, opgavekort (A20) og undersøgelseskort (A21). 1. I skal klippe opgavekortene og undersøgelseskortene ud og lægge dem i hver sin bunke. På opgavekortene er der nogle oplysninger om en figur. I skal tegne figuren i et geometriprogram. På undersøgelseskortene er der også nogle oplysninger om en figur. I skal undersøge, om det kan lade sig gøre at tegne figuren. I skal skiftevis trække et opgavekort og et undersøgelseskort. 2. I skal vælge et af de opgavekort eller undersøgelseskort, som I har løst, og lave en skærmvideo, der viser, hvordan I løste opgaven trin for trin. 3. Afslut aktiviteten med at se hinandens skærmvideoer i klassen. OPGAVE 10 Find arealet af parallelogrammerne og romberne. OPGAVE 11 Find arealet af den blå og den røde figur cm 4 cm 6 m 3 m dm 4,5 dm 4 km 5,5 km 5 5,5 mm 5,5 mm O 14 Opgaver 43

44 A CIRKELAREALER OG POLYGONAREALER AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: et geometriprogram. 1. Lav en tabel magen til den viste. 2. Tegn tre ens cirkler med radius 4 cm. 3. Tegn en regulær polygon med seks sider. Tilpas polygonen, så hjørnerne er på cirkelperiferien på en af cirklerne. 4. Gør det samme med de to andre cirkler men med polygoner med otte og ti kanter. 5. Find polygonernes omkreds. 6. Find cirklens omkreds.. Find forskellen på omkredsen af cirklen og hvert polygons omkreds. 8. Hvad opdager I? 9. Find polygonernes areal. 10. Find cirklens areal. 11. Find forskellen på arealet af cirklen og hvert polygons areal. 12. Hvad opdager I? OPGAVE Tegn tre cirkler med radius 5 cm, 6 cm og 7 cm. 2. Find omkredsen for hver cirkel. 3. Bestem arealet af hver cirkel ved at finde arealet af polygoner, der cirka har samme areal som cirklerne. OPGAVE 14 OPGAVE 13 Cirkel 2 Cirkel 1 2,5 cm 3,5 cm 1. Tegn de to cirkler, som er vist herover. 2. Tegn to nye cirkler, hvor radius er tre gange så stor, som cirkel 1 og cirkel Bestem arealet af hver af de fire cirkler ved at finde arealet af polygoner, der cirka har samme areal som cirklerne. 4. Sammenlign arealet af cirkel 1 og 2 med de to nye cirkler. Hvor mange gange større er arealet? Hedda skal lave et kunstværk på sin væg derhjemme. Hun vil lave et cirkelmønster magen til det på tegningen. Hver cirkel har en radius på 8 cm. Hun vil bruge farverne: rød, blå, grøn og gul. 1. Hvor stort er arealet af en cirkel cirka? 2. Hvor stort er arealet af alle cirklerne i cirkelmønsteret cirka? 3. Hvor mange bøtter maling skal Hedda bruge? 4. Hvor mange af hver af de fire bøtter maling skal Hedda bruge, hvis hun skal have nok maling? 5. Hvor mange penge skal Hedda bruge på maling? 44 Areal

45 A CIRKLER OG KVADRATER AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: et geometriprogram og regneark. 1. Tegn en cirkel med en bestemt radius. 2. Tegn et kvadrat ved siden af cirklen med samme sidelængde som cirklens radius. 3. Find arealet af både cirklen og kvadratet. 4. Lav et regneark ved siden af tegningen, som vist herunder og udfyld regnearket. 6. Tegn flere cirkler og kvadrater på samme måde som i punkt 1 og 2.. Hvilken sammenhæng er der mellem cirklens og kvadratets areal? OPGAVE 15 I Ørestaden ligger Tietgenkollegiet. Arkitekterne har tegnet et kollegium, hvor de studerende bor i en cirkelformet bygning. Den indre og grønne cirkel er et udendørs fællesareal med græs og beplantning. Den lysegrå cirkel er et fællesareal med fliser. Den yderste brune cirkel er arealet med selve bygningen Tietgenkollegiet. 1. Tegn Tietgenkollegiet uden karnapper i et geometriprogram set ovenfra. 2. Find arealet af hele kollegiets område. 3. Find arealet af græsarealet. 4. Find arealet af området med fliser. 5. Find arealet af selve bygningen Tietgenkollegiet. Tietgenkollegiet. Fællesareal Grønt fællesareal O 15 Længdeforhold 1:1200 (Karnapperne er fjernet på denne tegning.) Opgaver 45

46 T FLADEMÅL Når du bestemmer et areal, kan du bruge forskellige enheder. På tegningen kan du se, at der er 100 dm 2 på 1 m 2, så hvis du skal omregne fra m 2 til dm 2, skal du gange med 100. Hvis du skal omregne fra dm 2 til m 2 skal du dividere med 100. I skemaet herunder kan du se sammenhængen mellem enhederne cm 2, dm 2, m 2 og km 2. Navn kvadratkilometer kvadratmeter kvadratdecimeter kvadratcentimeter Forkortelse km 2 m 2 dm 2 cm 2 1 cm 2 svarer til 0, km 2 0,0001 m 2 0,01 dm 2 1 cm 2 1 dm 2 svarer til 0, km 2 0,01 m 2 1 dm 100 cm 2 1 m 2 svarer til 0, km 2 1 m dm cm 2 1 km 2 svarer til 1 km m dm cm 2 OPGAVE 16 Hvordan omregner man fra: 1. cm 2 til m 2? 2. cm 2 til km 2? 3. m 2 til km 2? 4. dm 2 til m 2? OPGAVE 18 OPGAVE m 500 m m 400 m Eleverne i 6.x løber hvert år rundt om en park, når der afholdes skolernes motionsdag. Du kan se en skitse af parken herover. 1. Hvor lang er ruten rundt om parken angivet i km? 2. Hvor stort er parkens areal i km 2? Areal 860 m 500 m 500 m 500 m 400 m 500 m 707 m 640 m 6.x skal dekorere en væg med cirkelmønstre. Cirkelmønstrene skal laves på kvadrater med sidelængden 1 dm. Kvadraterne med cirkelmønstre skal fylde en væg, der er 1,5 m 3 m. 1. Hvor mange kvadrater med cirkelmønstre skal eleverne i 6.x lave i alt? 2. Hvor mange cirkelmønstre skal hver elev lave i gennemsnit? 3. Hvor stort er arealet cirka af den størst mulige cirkel i et af kvadraterne? O 16

47 EVALUERING OPGAVE 1 Skriv tre ting, du har lært om areal i kapitlet. Når du er færdig, skal du række hånden op for at vise, at du er klar til at mødes med en makker. Find en makker. Du skal forklare makkeren om de tre ting, du har skrevet. Hvis din makker forklarer noget andet end dig, skal du også skrive det. Ræk derefter hånden op, for at vise, at du er klar til at mødes med en ny makker. Fortsæt til din lærer siger "stop". OPGAVE 2 OPGAVE 4 1. Forklar, hvorfor arealet af trekanten og romben er lige store. 4 cm 3 cm 3 cm 4 cm 2. Forklar, hvorfor arealet af rektanglet og parallelogrammet er lige store. 4 cm 4 cm 5 cm 5 cm længdeforhold 1: Vis og forklar, hvordan man kan bruge triangulering til at finde arealet af polygonen. 2. Hvor få trekanter kan I opdele polygonen i? OPGAVE 5 Brug cirklen og kvadratet til at forklare sammenhængen mellem en cirkels radius og areal. OPGAVE 3 1. Vis og forklar, hvordan man kan arbejde med areal i den viste situation. 2. Giv selv mindst to andre eksempler på, hvornår man bruger beregning af areal i hverdagen. Gad vide, hvor meget gulvtæppe jeg skal bruge? OPGAVE 6 Vis med tal og tegning, hvordan man omregner måleenheder: 1. Fra km 2 til m Fra cm 2 til m 2. E 4 Evaluering 47

48 TRÆN 1 OPGAVE 1 4 cm 8 cm 6 cm 4 cm 8 cm OPGAVE 4 Tegn: 1. et parallelogram med en værdi for arealet, der er større end værdien for omkredsen. 2. en retvinklet rombe med et areal mellem 28 cm 2 og 32 cm en figur, der er en rombe, og som har et areal mellem 25 cm 2 og 27 cm cm 1. Tegn polygonen. 2. Brug triangulering til at finde arealet af polygonen. OPGAVE 5 OPGAVE 2 Capella er en institution for børn og unge. Det lysegrå areal viser Capellas udendørsareal. Hvor stort er Capellas udendørsareal? Tegn for hver polygon en cirkel, der har cirka det samme areal. OPGAVE 3 OPGAVE 6 Mønstrene er rektangulære og er 1 dm i længden og 50 mm i bredden. De skal sættes op på hegnet. 1. Hvor mange mønstre kan der være på det viste hegn? 2. Hvis mønstrene ændres, så arealet halveres og formen bliver kvadratisk, hvor mange mønstre vil der så kunne være på hegnet? ,5 cm 9 cm 18 m 12 m mm 7 km 20 mm 14 km Beregn arealet af hver firkant. 48 Areal

49 TRÆN 2 OPGAVE 1 16 m 32 m 64 m 24 m 16 m 32 m 1. Tegn polygonen i længdeforholdet 1: Brug triangulering til at finde arealet af den tegnede polygon. 3. Find arealet af polygonen i virkelig størrelse. OPGAVE 4 1. Tegn et parallelogram, hvor følgende gælder: a. Ingen rette vinkler. b. Værdien for arealet skal være større end værdien for omkredsen. c. Arealet må højest have en værdi, der er 2 større end omkredsen. 2. Tegn en retvinklet rombe med samme værdi for omkreds og areal. OPGAVE 5 Hvad er arealet af det blå område? 10 cm OPGAVE 2 I Oman bygges et fyrtårn, som skal være et samlingssted for befolkningen. Tårnet skal have et grundareal på ca m 2. Hvilken af tegningerne viser et areal, der passer til det ønskede grundareal? c r = 2 cm 6 cm OPGAVE 3 Beregn arealet af hver firkant. OPGAVE 6 I billedkunst laver alle skolens elever mønstre i perler. Mønstrene har form som romber. Diagonalerne i hvert mønster er d1 = 6 cm og d2 = 100 mm. Perlemønstrene skal sættes på de to hegn ved skolens indgang. 1. Hvor mange perlemønstre kan der højest være på de viste hegn? Skolen vil gerne have, at alle 462 elever skal lave ét perlemønster, så alle mønstrene tilsammen udfylder de to hegn. Derfor har de valgt at lave formen om til et kvadrat. 2. Hvilken sidelængde skal kvadratet have, hvis arealet af de to hegn skal dækkes af perlemønstrene fra alle skolens elever? ,5 cm 7,5 m 6,25 m 7 cm Træning 49

50 TEMA/PROJEKT AREALER PÅ SØMBRÆT PROJEKT FOR 2 PERSONER. A 65 I skal bruge: sømbræt, elastikker, sømbrætpapir (A65) eller et digitalt sømbræt og regneark. I skal arbejde med areal af figurer på sømbræt. I skal bl.a. undersøge sammenhængen mellem arealet og punkter inde i figuren og punkter på figurens kant. Figur 1: Denne figur har seks punkter på figurens kant(p) og fem punkter inde i figuren (i). Figur 2: Denne figur har fire punkter på figurens kant(p) og fem punkter inde i figuren (i). OPGAVE 1 1. Lav tre forskellige figurer på sømbræt med præcis fire punkter inde i figuren. 2. Find figurernes areal. 3. Undersøg, hvad der sker med figurens areal, hvis I ændrer på antallet af punkter inde i figuren, men ikke ændrer på antallet af punkter på figurens kant. I kan fx tegne et skema, så I kan få overblik over jeres resultater. OPGAVE 2 1. Lav tre forskellige figurer med præcis fire punkter på figurens kant. 2. Find figurernes areal. 3. Undersøg, hvad der sker med figurens areal, hvis I ændrer på antallet af punkter på figurens kant, men ikke ændrer på antallet af punkter inde i figuren. I kan fx tegne et skema, så I kan få overblik over jeres resultater. 50 Areal

51 OPGAVE 3 1. Lav otte forskellige figurer med præcist seks punkter på kanten af figuren (p) og to punkter inde i figuren (i). 2. Find arealet af hver af figurerne. OPGAVE 4 1. Lav et skema som vist i et regneark. 2. Lav forskellige figurer og udfyld tabellen. 3. Skriv en formel eller en forklaring, der beskriver, hvordan man finder arealet af en figur, hvis man kender p og i. OPGAVE 5 Eleverne i 6.x har også arbejdet med at finde sammenhængen mellem arealet af en figur og p og i. Her er tre forskellige bud på forklaring af sammenhængen. Vi tager antallet af punkter inde i figuren og lægger til antallet af punkter på figurens kant. Herefter trækker vi 3 fra dette resultat Vi tager antallet af punkter inde i figuren og ganger med 2. Herefter trækker vi antallet af punkter på figurens kant fra resultatet. Til sidst lægger vi 2 til Vi deler antallet af punkter på figurens kant med 2. Herefter lægger vi antallet af punkter inde i figuren til resultatet. Til sidst trækker vi 1 fra dette tal 1. Er der nogle af eleverne i 6.x, der har lavet en forklaring, som minder om jeres formel eller forklaring? 2. Er der nogle af eleverne i 6.x, der har lavet en forklaring, der kan bruges til at finde arealet af en figur, hvis man kender p og i? Tema/projekt 51

52 PROCENT MÅL At du lærer: mere om at finde procentdele at lægge en procentdel til en helhed at trække en procentdel fra en helhed at finde 100 %, når procentdelen er kendt hvor du bruger procent i hverdagen. BEGREBER OG ORD procent procentdiagram procentdel helhed stigning i procent fald i procent FORHÅNDSVIDEN 1. Billederne viser eksempler på, hvor I kan møde procent i hverdagen. Forklar, hvad procenterne på billederne fortæller. 2. Skriv mindst tre regnehistorier, der passer til billederne. 3. Byt historier med din makker, og find resultaterne. a c b d 7% 60% Fedt Kulhydrat Protiner 33% OPGAVE 1 1. Hvor stor en del udgør hver farve i procent- diagrammet? Skriv som brøk, decimaltal og procent. 2. Procentdiagrammet viser den procentvise fordeling af nogle svar i en undersøgelser. Hvad kan undersøgelsen handle om? 52 Procent

53 A HØJERE ELLER LAVERE A 22 Jeg har slået en 2 er, så jeg skal lægge et kort med en lavere værdi. 2 % af 500 giver 10, så jeg lægger 3 % af 200, der giver 6 AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: procentkort (A22), en terning, papir og blyant. Regler: I skal først klippe kortene ud, blande dem og give hver spiller fem kort. Resten af kortene skal I lægge i en bunke med bagsiden opad midt på bordet. Øverste kort vendes. Som udgangspunkt skal hver spiller hele tiden lægge et kort, der har samme værdi eller højere værdi end kortet på bordet. Hver tur starter med, at man slår med terningen. Øjnene på terningen kan ændre spillet. Slår man en 1 er eller 2 er, skal man i stedet for at spille et kort med højere værdi spille et kort med lavere værdi. Næste gang, der igen bliver slået en 1 er eller 2 er, vender det igen, så man skal spille et kort med en højere værdi. Slår man en 3 er, skifter spillet spilleretning. Slår man en 4 er, mister man sin tur. Slår man 5 eller 6, ændrer det ikke noget. Den yngste af jer starter, slår med terningen, og skal herefter lægge et kort. Hvis en spiller ikke har et kort, han kan bruge, må han trække et kort fra bunken. Hvis spilleren kan bruge kortet, må han lægge det ned med det samme, ellers går turen videre til næste spiller. Hvis en spiller lægger et kort, der har samme værdi, som kortet på bordet, skal næste spiller trække to kort fra bunken, inden han starter sin tur. Vinderen er den spiller, som først kommer af med alle sine kort. OPGAVE 2 1. Løs opgaverne uden at bruge lommeregner eller regneark. Du skal finde: a. 30 % af 500 b. 4 % af 1000 c. 16 % af 250 d. 5 % af 50 e. 1 % af 10 f. 23 % af Løs opgaverne igen ved at bruge lommeregner eller regneark. 3. Vis og forklar hinanden, hvilke regnemetoder I har brugt. OPGAVE 3 F På skolen på MULTI-vej svarede 150 elever på, hvilken af seks retter de bedst kunne lide. Eleverne svarede således: Spaghetti: 20 % Pizza: 32 % Brændende kærlighed: 14 % Pitabrød: 22 % Boller i karry: 8 % Wokret: 4 % 1. Hvor mange elever har valgt hver ret? 2. Vis fordelingen af elevernes svar i to forskellige diagrammer. 3. Lav samme undersøgelse i jeres klasse. 4. Sammenlign jeres resultater med resultaterne fra skolen på MULTI-vej. O 1 Opgaver 53

54 T AT LÆGGE EN PROCENTDEL TIL EN HELHED Når du skal lægge en procentdel til en helhed, skal du først finde procentdelen og herefter lægge den til helheden. Eksempel: I eksemplet til højre er ændringen af antal springgymnaster beskrevet med stigning i procent. For at finde ud af, hvor mange der i år går til springgymnastik, skal du lægge 20 % af 80 til 80. Du kan gøre det på flere måder: 1 Brug et procentdiagram Du fordeler 80 lige i de 100 felter i et diagram. Det bliver 0,8 i hvert felt. 20 % svarer til 20 felter. Du finder herefter det tal, som de 20 felter svarer til. 20 % af 80 er 16, da 20 0,8 er 16. Du lægger procentdelen til helheden = 96 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 2 Beregn Du finder 1 %. 80 : 100 = 0,8 Du finder 20 %. 20 0,8 = 16 Du lægger procentdelen til helheden = 96 3 Brug lommeregner På lommeregner trykker du: % 80 4 Brug regneark I regneark skriver du: 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 OPGAVE 4 A 66 Regn mindst fem af stykkerne, brug alle metoderne fra teoriboksen. 1. Læg 17 % af 100 til Læg 28 % af 225 til Læg 4 % af 50 til Læg 15 % af 300 til Læg 8 % af 150 til Læg 35 % af 420 til 420. Læg 42 % af 550 til Læg 60 % af 20 til 20 OPGAVE 5 Hvor mange elever går i fritidsklub, hvis der sidste år var: elever? elever? elever? 54 Procent

55 OPGAVE 6 F På 6. klassetrin på skolen på MULTI-vej udvides antallet af elever med 45 %. Dette skyldes, at elever fra to mindre skoler flytter til skolen. Antal elever før sammenlægningen i 6.klasse Stigning i procent ved sammenlægningen % 1. Hvor mange nye elever starter i 6. klasse? 2. Hvor mange elever er der på 6. klassetrin efter sammenlægningen? 3. Efter sammenlægningen er ca. 46 % af årgangen piger. a. Hvor mange af eleverne er piger? (afrund til et helt tal) b. Hvor stor en procentdel er drenge? c. Hvor mange af eleverne er drenge? (afrund til et helt tal) OPGAVE F I forbindelse med skolesammenlægningen har skolens fritidsklub fået flere medlemmer. Før sammenlægningen var der 120 medlemmer. Efter sammenlægningen er tallet steget med 15 %. Ca. 56 % af de nye medlemmer er piger, og resten er drenge. 1. Hvor mange nye medlemmer har klubben fået? 2. Hvor mange medlemmer er der i klubben nu? 3. Hvor mange af de nye medlemmer er piger? (afrund til et helt tal) 4. Hvor mange af de nye medlemmer er drenge? (afrund til et helt tal) OPGAVE 8 F For at tjene penge til den årlige hyttetur med klubben sælger nogle af børnene sandwich, frugt og juice til et forældrearrangement. 1. Det koster børnene 12 kr. at lave en sandwich. De beslutter, at prisen for en sandwich til forældrearrangementet skal være 75 % højere, end det de har betalt for at lave den. a. Hvor mange kroner vil de tjene pr. sandwich? b. Hvad skal en sandwich koste? 2. Børnene har købt frugt til 3 kr. pr. stk. De beslutter, at prisen for et stk. frugt skal være 50 % højere, end det de har betalt. a. Hvor mange kroner tjener de på et stk. frugt? b. Hvad skal et stk. frugt koste? 3. Børnene har købt juice til 2,50 kr. pr. stk. De beslutter, at prisen for juice skal være 80 % højere, end det de har betalt. a. Hvor mange kroner tjener de pr. juice? b. Hvad skal en juice koste? 4. Lav to forslag til, hvad børnene har solgt, hvis de sælger for 400 kr. 5. Lav et forslag til, hvad de har solgt, hvis de tjener 250 kr. 6. Børnene har købt ind til 100 sandwich, 50 stk. frugt og 100 juice. a. Hvor mange kroner har de tjent, hvis de sælger det hele? b. Hvis børnene kun sælger 50 sandwich, 30 stykker frugt og 30 juice, hvor mange kroner har de så tjent? c. Undersøg fx i regneark, hvor mange sandwich eleverne skal sælge, for at de tjener på dem. O 18 Opgaver 55

56 T AT TRÆKKE EN PROCENTDEL FRA EN HELHED Når du skal trække en procentdel fra en helhed, skal du først finde procentdelen og herefter trække den fra helheden. Eksempel: I eksemplet til højre er ændringen af antal personskader beskrevet med fald i procent. For at finde ud af, hvor mange personskader, der har været i februar, skal du trække 32 % af 450 fra 450. Du kan gøre det på flere måder: 1 Brug et procentdiagram Du fordeler 450 lige i de 100 felter i et diagram. Det bliver 4,5 i hvert felt. 32 % svarer til 32 felter. Du finder herefter det tal, som de 32 felter svarer til. 32 % af 450 = 144, da 32 4,5 er 144. Du trækker procentdelen fra helheden = 306 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 2 Beregn Du finder 1 %. 450 : 100 = 4,5 Du finder 32 %. 32 4,5 = 144 Du trækker procentdelen fra helheden: = Brug lommeregner På lommeregner trykker du: % Brug regneark I regneark skriver du: 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 OPGAVE 9 A 66 Regn mindst fem af stykkerne, brug alle metoderne fra teoriboksen. 1. Træk 23 % af 100 fra Træk 36 % af 300 fra Træk 8 % af 50 fra Træk 12 % af 400 fra Træk 31 % af 176 fra Træk 74 % af 567 fra 567. Træk 55 % af 80 fra Træk 42 % af 250 fra 250 OPGAVE 10 Hvad koster abonnementerne, hvis førprisen var: kr kr kr. 56 Procent

57 A FIND PRISEN A AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: priskort (A23) og evt. procentdiagrammer (A66), regneark og lommeregner. Regler: I skal klippe priskortene ud og lægge dem i en bunke med bagsiden opad midt på bordet. På skift trækker I et priskort. I fællesskab skal I nu undersøge den nye pris. OPGAVE 11 Jonas og Malte skal købe nye computerspil. De ser følgende reklame fra MULTIgames. OPGAVE 12 F 1. Hvor meget koster et sportsspil på udsalg? 2. Hvor mange penge kan de spare ved at købe to af disse spil: MULTIcars, MULTIwar, MULTIshow eller MULTIdraw? 3. Hvad koster brugte spil på udsalg? 4. Jonas køber to sportsspil og spillene MULTIcars og MULTIshow på udsalg. Hvor meget Sofie skal have nye løbesko. Inden hun køber skoene, undersøger hun, om hun kan finde de samme sko billigere på nettet. 1. Hvor kan Sofie købe skoene billigst? 2. Hvor mange kroner får Sofie i rabat, hvis hun køber skoene i butikken? 3. Hvad skal Sofie betale for skoene, hvis hun køber dem på nettet, og får 15 % rabat, men skal betale fragt? 4. Undersøg ved at gætte og prøve efter, hvor mange procent rabat butikken skal give, hvis prisen skal være 600 kr. Brug regneark. skal Jonas betale? 5. Hvor mange penge sparer Jonas? 6. Hvor mange procent sparer Jonas? a. ca. 25 % b. ca. 33 % c. ca. 40 %. Skriv to regnehistorier, der passer til reklamen. Byt med din makker, og løs hinandens regnehistorier. O 19 Opgaver 57

58 T FIND 100 % NÅR PROCENTDELEN ER KENDT Når du ved, hvor meget procentdelen svarer til og vil finde 100 %, så finder du først 1 % og herefter 100 %. Du fordeler 24 lige i 6 felter. Det bliver 4 i hvert felt Eksempel: Du ved, at 24 svarer til 6 %. Du skal finde ud af, hvad 100 % er. Du kan finde 100 % på flere måder: 1 Beregn Du finder 1 %. 24 : 6 = 4 Du finder 100 % = Brug et procentdiagram I 6 felter er der 24. I 100 felter er der % svarer til OPGAVE 13 A 66 Find 100 % når: svarer til 50 % svarer til 5 % svarer til 30 % 4. 6 svarer til 60 % svarer til 80 % svarer til 2 % OPGAVE 15 Tegningen viser, hvor stor en procentdel af hver figur du kan se. Tegn for hver figur mindst to eksempler på, hvordan hele figuren kan se ud. Brug et geometriprogram. 1 2 OPGAVE Du ved, at 5 % af arealet af en figur svarer til 10 cm 2. Hvor stort er arealet af hele figuren? 2. Du ved, at 20 % af arealet af en figur svarer til 3 cm 2. Hvor stort er arealet af hele figuren? 3. Du ved, at 60 % af arealet af en figur svarer til 45 cm2. Hvor stort er arealet af hele figuren? 3 25% 75 % 4 50 % 40 % 58 Procent

59 A SNEBOLDKAMP AKTIVITET FOR HELE KLASSEN. I skal bruge: papir og blyant. Aktiviteten består af tre runder. 1. Runde Først skal I skrive et regnestykke på en seddel. Regnestykket skal ligne dette eksempel: 10 % er 30 Hvad er 100 %? Svar: Derefter krøller I sedlen sammen som en snebold. Når alle er klar, tæller I ned fra tre og på nu, kaster I alle sneboldene ud i klassen. Derefter samler I alle en seddel op, og finder svaret på det stykke, der står på papiret. Svaret skriver I på sedlen. 2. Runde Når alle har fundet svaret, skal I gå rundt mellem hinanden og finde sammen med en makker. På skift læser i regnestykket på kortet op, makkeren løser opgaven, og svaret kontrolleres. Når I begge har svaret, bytter I kort og finder sammen med en anden makker. Runden slutter, når jeres lærer siger "stop". 3. Runde I skal nu skrive en regnehistorie, der passer til det stykke, der er på det kort, I endte med i runde to. Regnehistorierne kan derefter læses højt for klassen eller i mindre grupper. OPGAVE 16 A 66 F Skolen på MULTI-vej har lavet en undersøgelse om deres elever og lærere elever på skolen har halvsøskende. Det svarer til 40 % af eleverne. Hvor mange elever går der på skolen? af eleverne på mellemtrinnet spiller fodbold. Det svarer til 32 % af afdelingen. Hvor mange elever går der på mellemtrinnet? 3. I udskolingen har 198 af eleverne deres egen computer. Det svarer til 90 % af afdelingen. Hvor mange elever er der i udskolingen? af pigerne i indskolingen elsker at danse. Det svarer til 40 % af pigerne indskolingen. Hvor mange piger er der i indskolingen? 5. Der er ansat 12 mandlige lærere. Det svarer til 30 % af alle lærerne. Hvor mange lærere er der ansat på skolen? 6. I 7.x bruger fem elever briller. Det svarer til 20 % af klassen. Hvor mange elever går i 7.x?. I 7.x har tre piger lyst hår. Det svarer til 25 % af pigerne. Hvor mange piger går der i 7.x? OPGAVE 1 1. Sammen skal I lave tre opgaver, der handler om at finde helheden, når man kender en procentdel. Opgaverne kan fx handle om sport, mad eller tv. 2. Byt opgaver, og løs hinandens opgaver. O 20 Opgaver 59

60 Varer fra MULTI-engros Antal Pris uden moms pr. antal Pris i alt uden moms Suppe (karry og tomat) (1 liter.) 6 20,62 kr. 123,72 kr. Pølsehorn (30 stk. pr. pose) 8 220,50 kr. 1764,00 kr. Kyllingespyd (210 spyd pr. pose) 3 180,22 kr. 540,66 kr. Grov flutes (20 stk. pr. pose) 4 43,60 kr. 174,40 kr. Æblejuice (pakker med 4) 21 16,68 kr. 350,28 kr. Appelsinjuice (pakker med 4) 14 15,16 kr. 212,24 kr. Yoghurt 12 5,50 kr. 66,00 kr. OPGAVE 18 F 6.x skal samle penge ind til deres lejrskole, derfor arbejder de i skolens kantine en uge om måneden. De skal selv købe ind, bestemme priser osv. Da de skal købe stort ind, handler de gennem et kæmpe indkøbsfirma, hvor priserne er oplyst uden det, der kaldes moms. Når du køber en vare i en butik i Danmark, er prisen med moms. Moms er en afgift til staten, der lægges oven i en vares pris. I Danmark er momsen 25 %. Hvad koster varerne med moms? Brug evt. regneark. OPGAVE 19 F 6.x køber otte poser med pølsehorn. 6.x skal betale moms. 1. Hvor meget koster et pølsehorn? 2. Hvor meget skal et pølsehorn koste, hvis eleverne vil sælge dem til en pris, der er a. 40 % højere end prisen i MULTI-engros? b. 12 % højere end prisen i MULTI-engros? c. 25 % højere end prisen i MULTI-engros? OPGAVE 20 F Mandag sælger eleverne 50 pølsehorn. I skemaet herunder kan I se, hvordan salget med pølsehorn er gået i løbet af ugen i forhold til dagen før. Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag 10 % færre 60 % flere 25 % færre 50 % flere 1. Hvor mange pølsehorn sælger de hver dag? 2. Hvilken dag solgte de flest? 3. Hvilken dag solgte de færrest? OPGAVE 21 F Mandag sælger eleverne 34 brikker æblejuice, hvilket svarer til 40 % af det samlende antal solgte brikker juice den dag. Hvor mange brikker appelsinjuice solgte de mandag? OPGAVE Lav opgaver til hinanden omkring kantineprojektet i 6.x. Der skal være fokus på procent. 2. Byt opgaver med hinanden og find resultaterne. 60 Procent

61 EVALUERING OPGAVE 4 Vis og forklar hinanden forskellige metoder til, hvordan I trækker en procentdel fra. I kan fx bruge disse stykker: 1. Træk 24 % af 200 fra Træk 40 % af 320 fra Træk 10 % af 80 fra Træk 75 % af 60 fra 60 OPGAVE 1 Skriv tre ting, du har lært om procent i kapitlet. Når du er færdig, skal du række hånden op for at vise, at du er klar til at mødes med en makker. Find en makker. Du skal forklare makkeren om de tre ting, du har skrevet. Hvis din makker forklarer noget andet end dig, skal du også skrive det. Ræk derefter hånden op, for at vise, at du er klar til at mødes med en ny makker. Fortsæt til din lærer siger "stop". OPGAVE 5 Vis og forklar hinanden forskellige metoder til, hvordan I kan finde 100 %, når I kender en procentdel. I kan fx bruge disse stykker: svarer til 50 % svarer til 20 % svarer til 80 % svarer til 34 % OPGAVE 6 Vis og forklar hinanden, hvor meget varerne koster med moms. a OPGAVE 2 Forklar hinanden, hvordan I kan finde: % af % af % af % af 15 OPGAVE 3 Vis og forklar hinanden forskellige metoder til, hvordan I lægger procentdele til. I kan fx bruge disse stykker: 1. Læg 25 % af 600 til Læg 14 % af 350 til Læg 8 % af 50 til Læg 63 % af 20 til 20 b c E 5 Evaluering 61

62 TRÆN 1 OPGAVE 1 Sandt eller falsk? % af 200 er % af 300 er % af 450 er % af 50 er 3 OPGAVE 2 På skolen på MULTI-vej har de haft temauge om dyr. I den forbindelse har 650 elever deltaget i en undersøgelse. 20 % af eleverne har hund. 12 % af eleverne har kat. 46 % af eleverne har et kæledyr. 36 % af eleverne ønsker at få et kæledyr, når de bliver voksne. 10 % af eleverne ønsker at få et kæledyr mere. 24 % af eleverne er bange for dyr. 26 % af eleverne går eller vil gerne gå til ridning. 40 % af eleverne har været i zoologisk have inden for de sidste 2 år. OPGAVE 3 Regn stykkerne. 1. Læg 36 % af 300 til Læg 12 % af 60 til Læg 8 % af 150 til Læg 73 % af 400 til 400 OPGAVE 4 Regn stykkerne. 1. Træk 60 % af 30 fra Træk 72 % af 700 fra Træk 2 % af 150 fra Træk 35 % af 1000 fra 1000 OPGAVE 5 I MULTIsport er der i en sæson 140 børn, der spiller håndbold og 220 børn, der spiller fodbold. Ved begyndelsen af en ny sæson er antallet af børn, der spiller håndbold, steget med 15 % og antallet af børn, der spiller fodbold, er faldet med 5 %. 1. Hvor mange børn spiller håndbold i den nye sæson? 2. Hvor mange børn spiller fodbold i den nye sæson? OPGAVE 6 Find 100 % når: svarer til 50 % svarer til 15 % svarer til 90 % svarer til 75 % OPGAVE Hvor mange af eleverne: 1. har hund? 2. har kat? 3. har kæledyr? 4. ønsker et kæledyr, når de bliver voksne? 5. ønsker at få et kæledyr mere? 6. er bange for dyr?. går eller vil gerne gå til ridning? 8. har været i zoologiske have inden for de sidste 2 år? Jonas samler på modelfly og modelbiler. Han har fire krigsfly. Det svarer til 40 % af hans modelfly. Han har 15 amerikanske biler. Det svarer til 75 % af hans modelbiler. 1. Hvor mange modelfly har han? 2. Hvor mange modelbiler har han? 62 Procent

63 TRÆN 2 OPGAVE 1 Yesser tømmer sin sparegris. Han har 1500 kr. 2 % af de 1500 kr. er 1-kroner. 2 % af de 1500 kr. er 2-kroner. 8 % af de 1500 kr. er 10-kroner. 28 % af de 1500 kr. er 20-kroner. 20 % af de 1500 kr. er 50-kronesedler. 40 % af de 1500 kr. er 100-kronesedler. 1. Hvor mange af de 1500 kr. er: a. 1-kroner? b. 2-kroner? c. 10-kroner? d. 20-kroner? e. 50-kronesedler? f. 100-kronesedler? 2. Hvor mange mønter eller sedler har han af: a. 1-kroner? b. 2-kroner? c. 10-kroner? d. 20-kroner? e. 50-kronesedler? f. 100-kronesedler? OPGAVE 2 Regn stykkerne. 1. Læg 17 % af 1000 til Læg 23 % af 150 til Læg 54 % af 350 til Læg 11 % af 40 til Læg 0,5 % af 500 til Læg 115 % af 200 til 200 OPGAVE 3 Regn stykkerne. 1. Træk 12 % af 1000 fra Træk 17 % af 550 fra Træk 16 % af 725 fra Træk 5,5 % af 250 fra Træk 22 % af 64 fra Træk 3,5 % af 950 fra 950 OPGAVE 4 I idrætsforeningen MULTIsport er der ved sæsonstart 1200 medlemmer. I skemaet herunder kan du se fordelingen af medlemmerne på hver idrætsgren. Sportsgren Procentdel Floorball 13 % Håndbold 25 % Basketball 16 % Volleyball 12 % Fodbold 20 % Badminton 14 % 1. Hvor mange medlemmer dyrker hver idrætsgren? Fra sæsonstart til 2. halvår ændrer antallet af medlemmer sig. I skemaet herunder kan du se antallet af medlemmer for hver idrætsgren i starten af 2. halvår. Sportsgren Antal medlemmer 2. halvår Floorball 140 Håndbold 294 Basket 201 Volley 135 Fodbold 261 Badminton Hvor meget er medlemstallet steget eller faldet i procent for hver sportsgren fra sæsonstart til 2. halvår? OPGAVE 5 Find 100 % når: svarer til 5 % svarer til 20 % 3. 3 svarer til 1 % svarer til 250 % OPGAVE 6 På Annas gymnastikhold kan 12 af pigerne lave flik-flak. Det svarer til 30 % af holdet. 1. Hvor mange går der på gymnastikholdet? af pigerne kan lave en salto. Hvor stor en del af holdet kan lave salto? Træning 63

64 BLANDEDE OPGAVER OPGAVE 1 Regn opgaverne. 1. ( 7) ( 324) : ( 6) 4. ( 532) : ( 7) : ( 9). ( 24) : 8 9. ( 73) ( 45) OPGAVE 2 Skriv arealet af hver figur både med og uden brug af potens cm OPGAVE 3 Hvilke brøker, decimaltal og procenter har samme værdi? 7,5 cm 4 40 % 1 0, , % 17 0, % 0, % 80 % 14 cm 0,04 75 % 0,4 4 5 OPGAVE 6 Find: % af % af % af % af % af % af 280 OPGAVE Skriv en ligning, der passer til hver regnehistorie, og løs ligningen. 1. Simon har 50 kr. Han køber et stykke pizza og får 25 kr. tilbage. Hvad koster pizza-stykket? 2. Oliver har nogle penge i sin pung. Han får 50 kr. og har så 92 kr. i pungen. Hvor mange penge havde han til at starte med? 3. Julie og Victor vejer tilsammen 82 kg. Julie vejer 38 kg. Hvad vejer Victor? OPGAVE 4 4. Jasmin køber tre pizzaer til 195 kr. Hvad koster en pizza? 1. Mål trekantens højder og grundlinjer. 2. Beregn trekantens areal. OPGAVE 5 Undersøg, om du kan tegne: 1. en ligebenet trekant, hvor den ene side står vinkelret på den anden. 2. en trekant, hvor to af siderne er parallelle. 3. en firkant med præcis to rette vinkler og hvor siderne to og to er parallelle. 4. en femkant, hvor siderne er parallelle to og to. 5. Louises kusine er dobbelt så gammel som Louise. Kusinen er 24 år. Hvor gammel er Louise? 6. Arealet af et kvadrat er 100 m 2. Hvad er sidelængden i kvadratet? 64 Procent

65 OPGAVE 8 Du må bruge et digitalt værktøj. Eleverne i 6.x har undersøgt, hvor mange fjernsyn de har hjemme. Herunder kan du se resultaterne: 3, 3, 4, 2, 3, 2, 5, 1, 4, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 5, 1, 2, 4, 3, 2, 2, 1, 4, Lav en hyppighedstabel, som viser hyppigheden af hvert antal. 2. Tegn et pindediagram, som viser hyppighederne. 3. Find mindsteværdien, størsteværdien, typetallet, variationsbredden og middeltallet. 4. Beregn frekvensen af hvert antal. 5. Vis frekvenserne i et procentdiagram. 6. Hvad fortæller deskriptorerne og frekvenserne om undersøgelsen? OPGAVE 9 1 cm 3 = 1 ml og 1 dm 3 = 1L Hvor meget vand kan der være i hver beholder? Angiv svaret i enten ml eller L. OPGAVE Hvad er sandsynligheden for, at lykkehjulet lander på et blåt felt? 2. Vurder, om det bedst kan betale sig at spille på en farve eller et tal. OPGAVE 12 Grafen herunder viser sammenhængen mellem en længde i centimeter og længden i den engelske måleenhed foot (feet) feet mm 0,45 dm 8 cm 25 cm 0,2 m 3 dm 1,2 m 85 cm 85 cm 7,5 dm OPGAVE cm Længdeforhold 2:1 1. Hvor mange feet svarer cirka til: a. 100 cm? b. 150 cm? c. 180 cm? 2. Hvor mange centimeter svarer cirka til: a. 1 feet? b. 4 feet? c. 7 feet? 3. Mikkel er 160 cm høj. Hvor mange feet svarer det cirka til? 4. Hvor mange feet svarer din egen højde cirka til? Tegn frimærket i længdeforholdet 1:1. Blandede opgaver 65

66 STATISTIK MÅL At du lærer: at aflæse, forstå og forklare indholdet i tabeller og diagrammer at finde medianen i et datasæt at bruge statistiske deskriptorer til at sammenligne data og forklare, hvad data fra en undersøgelse viser at bruge digitale værktøjer til at finde sta - tis tiske deskriptorer og tegne diagrammer at ordne data fra undersøgelser i grupper. BEGREBER OG ORD data datasæt mindsteværdi median størsteværdi intervaller variationsbredde intervalhyppighed hyppighed typeinterval typetal middeltal gennemsnit 66 FORHÅNDSVIDEN Tabeller og diagrammer kan vise, hvordan data eller observationer fra undersøgelser fordeler sig. Alle dataene eller observationerne i en undersøgelse kalder vi for et datasæt eller et observationssæt, og de kan beskrives med forskellige statistiske deskriptorer. 1. Hvilke diagrammer og deskriptorer kender I? 2. Diskuter og forklar, hvad diagrammerne på siden viser. 3. Diskuter, hvilke af dataene fra diagrammerne og tabellerne, man kan finde deskriptorer til. Procent Procent Andelen af årige drenge der spiser morgenmad, inden de går i skole drenge var med i undersøgelsen. 11 år 12 år 13 år 14 år 15 år år Andelen af årige piger der spiser morgenmad, inden de går i skole piger var med i undersøgelsen. 11 år 12 år 13 år 14 år 15 år år Kilde: Sundhedsstyrelsen Statistik åriges frugt- og grøntvaner Spiser frugt eller grønt dagligt 27% Spiser ingen frugt eller grønt dagligt 37% Spiser frugt og grønt dagligt 36% Hvor tit spiser årige fastfood (fx chips, pizza, pomfritter eller burger)? I alt Hver dag 1% 5-6 dage om ugen 1% 2-4 dage om ugen 17% 1 dag om ugen 57% Aldrig 24% Antal dage eleverne i 6.x spiste fastfood i sidste uge OPGAVE 1 1. Tegn et diagram, som passer til hver af tabellerne. 2. Forklar, hvad diagrammerne viser om åriges forbrug af fastfood. 3. Sammenlign eleverne i 6.x forbrug af fastfood med andre åriges forbrug.

67 A HVAD VISER DIAGRAMMERNE? A 24 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. Cirkeldiagrammet viser resultaterne fra en undersøgelse om fritidsinteresser I skal bruge: kort med diagrammer (A24) og saks. I skal klippe diagrammerne ud og lægge dem i en bunke med bagsiden opad. Herefter skiftes I til at trække et kort og forklare, hvad diagrammet viser. Undersøg herefter, om I kan finde deskriptorer, fx størsteværdi, mindsteværdi, variationsbredde, typetal eller middeltal, og om I kan lave en hyppighedstabel. Hjælp hinanden med at finde deskriptorerne. OPGAVE 2 Diagrammet viser data fra en undersøgelse om englehop. Antal elever Antal englehop på 1 minut OPGAVE 4 Kamille og Malte har beskrevet, hvad to undersøgelser handler om. Lav et diagram, som passer til hver beskrivelse. Brug evt. et digitalt værktøj. 1. Skriv undersøgelsens datasæt, og beregn middeltallet. 2. Hvad er variationsbredden og typetallet? 3. Forklar, hvad diagrammet viser. OPGAVE årige der er kommet til skade i trafikken i børn var med i undersøgelsen. bil lastbil bus motorcykel knallert cykel fodgængere andre Forklar, hvad cirkeldiagrammet viser. Opgaver 67

68 T STATISTISKE DESKRIPTORER For at få et overblik over undersøgelser med store mængder data eller mange observationer, kan man aflæse eller beregne statistiske deskriptorer. Du kender allerede disse statistiske deskriptorer: mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde, typetal og middeltal. Du har også lært om, at alle data eller observationer i en undersøgelse kaldes for et datasæt eller et observationssæt. Hvis man ordner et datasæt, så dataene står i rækkefølge efter størrelse, kan man finde en anden deskriptor, nemlig medianen. Du kan kun finde medianen, hvis dataene er tal. En median er det midterste tal i et datasæt, der er ordnet, så tallene står i rækkefølge efter størrelse. Her kan du se data fra en undersøgelse om, hvor mange dage på en uge drengene og pigerne i 6.x cykler til skole. Drengene og pigerne har ordnet deres data, så de står i rækkefølge fra mindst til størst. Når der er et ulige antal data, er det nemt at finde medianen, for så er medianen det midterste tal. Drengene Der er 13 drenge. Medianen for drengene er 4, fordi 4 er det midterste tal i den ordnede række følge. Medianen fortæller, at halvdelen af drengene cyklede 4 dage eller færre den uge, 6.x lavede undersøgelsen, og at den anden halvdel af drengene cyklede 4 dage eller mere. Pigerne Der er 12 piger. Når der er et lige antal data, er der ikke helt klare regler for, hvordan man finder medianen. 1 Man kan finde gennemsnittet af de to midterste tal. De to midterste tal i den ordnede rækkefølge er 3 og 4. Gennemsnittet af 3 og 4 er: (3 + 4) : 2 = 3,5. Medianen er 3,5 dage. 2 Man kan finde enten det mindste eller det største af de to midterste tal. Så er medianen for pigerne 3 eller 4. OPGAVE 5 Eleverne i 6.x har undersøgt, hvor mange sange de har downloadet til deres mobiltelefoner den seneste uge. Her kan du se undersøgelsens data: 1, 0, 0, 3, 5, 8, 4, 2, 1, 6, 5, 5, 4, 7, 2, 6, 3, 1, 4, 5, 2, 7, 0, 4, Find størsteværdien, mindsteværdien og variationsbredden. 2. Find typetallet, middeltallet og medianen. 3. Beskriv, hvad deskriptorerne fortæller om, hvor mange sange eleverne i 6.x downloader til deres mobiltelefoner. OPGAVE 6 Eleverne i 6.y har også undersøgt, hvor mange sange de har downloadet til deres mobiltelefoner i den seneste uge. Her kan du se undersøgelsens data: 0, 4, 5, 6, 8, 2, 3, 7, 7, 9, 2, 2, 3, 0, 1, 4, 4, 5, 5, 4, 2, 3, 0, Find størsteværdien, mindsteværdien og variationsbredden. 2. Find typetallet, middeltallet og medianen. 3. Sammenlign deskriptorerne for 6.x og 6.y. Hvilke forskelle og ligheder er der på de to klasser? 68 Statistik O 21

69 T STATISTISKE DESKRIPTORER I DIGITALE VÆRKTØJER Du kan bruge et digitalt værktøj, når du skal finde statistiske deskriptorer. Du kan fx bruge et regneark eller nogle geometriprogrammer. De fleste digitale værktøjer kan finde disse deskriptorer: Mindsteværdi Størsteværdi Middeltal Median Typetal I regneark kan du finde statistiske deskriptorer ved at vælge eller bruge en formel. Når du har valgt den rigtige formel, skal du markere de celler, som dine data står i. Du kan fx finde medianen: Når du bruger et digitalt værktøj til at finde median, behøver du ikke at ordne dine data, så de står i rækkefølge fra mindst til størst. I skal bruge et digitalt værktøj til at løse opgaverne på denne side. OPGAVE 1. Undersøg, hvordan I finder disse deskriptorer i jeres regneark: mindsteværdi, størsteværdi, middeltal, median og typetal. 2. Beskriv, hvordan I kan finde variationsbredden i regnearket ved at lave jeres egen formel. OPGAVE 8 Hver af eleverne i 6.x har tænkt på et tilfældigt tal mellem 1 og 10. De har skrevet deres tal på et stykke papir. Herunder kan du se deres tal Find størsteværdien og mindsteværdien. 2. Vis, hvordan du finder variationsbredden og typetallet. 3. Find middeltallet og medianen. 4. Lav et diagram, som viser fordelingen af de tal, eleverne tænkte på. 5. Beskriv, hvad diagrammet og deskriptorerne viser om, hvilke tal eleverne i 6.x tænkte på. OPGAVE 9 I 6.y undersøgte de ni drenge en dag, hvilket tal mellem 1 og 10 hver af dem tænkte på. De fandt disse deskriptorer: Mindsteværdi 1 Størsteværdi 10 Middeltal 5 Median 6 Typetal 2 1. Hvad er summen af drengenes data, når middeltallet er 5? 2. Skriv, hvilke ni data der kunne være resultaterne af drengenes undersøgelse. 3. Tegn et diagram, som viser fordelingen af dataene. O 22 Opgaver 69

70 A MIX OG MATCH DATA A 25 AKTIVITET FOR HELE KLASSEN. I skal bruge: kort med data, diagrammer eller deskriptorer (A25) og saks. I skal klippe kortene fra aktivitetsark A25 ud og lægge dem med bagsiden opad på et bord midt i klassen. Herefter skal I trække et kort hver. Kortene kan vise enten et diagram, et datasæt eller nogle statistiske deskriptorer. I skal nu gå rundt mellem hinanden og finde dem, der har kort, som matcher jeres eget. Når I har fundet tre kort med et diagram, et datasæt og nogle deskriptorer, der passer sammen, stiller I jer på række og holder kortene op foran jer. Gentag aktiviteten, indtil jeres lærer siger "stop". OPGAVE 10 Forestil jer en undersøgelse af, hvor mange skraldeposer ni forskellige familier fylder på en uge. Familierne kan svare 1-10 poser skrald. Her er nogle deskriptorer fra sådan en undersøgelse: Antal data 9 Mindsteværdi 3 Størsteværdi 10 Median 7 1. Giv mindst tre forskellige forslag til, hvilke data der kan have været i undersøgelsen. 2. Tegn et diagram til hvert forslag. 3. Find middeltallet og typetallet for hvert forslag. OPGAVE 11 Cille har undersøgt, hvor gamle pigerne er på hendes dansehold. Herunder kan du se nogle statistiske deskriptorer fra Cilles undersøgelse. Datasættets størrelse 7 Størsteværdi 15 Variationsbredde 5 Middeltal 13 Typetal 15 Median Find mindsteværdien i Cilles undersøgelse. 2. Undersøg, hvilken alder de forskellige piger på Cilles dansehold kan have. 3. Tegn et diagram, som viser aldersfordelingen på Cilles dansehold. OPGAVE 12 F Herunder kan du se et diagram fra en undersøgelse. Diagrammet viser, hvor mange kilo- gram (kg) aviser hver af de 13 drenge i 6.x cirka har samlet ind til en avisindsamling. Kilo (kg) aviser Diagrammet har ingen y-akse. Prøv, om du kan finde ud af, hvor mange drenge der har samlet 2, 3, 4, 5, 6, 7 og 8 kilogram aviser. 2. Hvor mange kilogram aviser har drengene samlet ind i gennemsnit? 3. Jonas påstår, at den halvdel af drengene, som har samlet flest kilogram aviser ind, alle har samlet mindst 5 kg. Undersøg, om han har ret. O Statistik

71 OPGAVE 13 6.x har undersøgt, hvor mange biler der kører forbi skolen mellem kl og kl hver morgen på en uge. Diagrammet viser resultaterne. Antal biler mandag tirsdag onsdag torsdag fredag 1. Beregn, hvor mange biler der i gennemsnit kørte forbi skolen de 5 dage. 2. Forklar, hvad elevernes undersøgelse viste. OPGAVE 14 Tabellen viser resultaterne fra en stor undersøgelse om, hvor mange børn der cykler til skole børn var med i undersøgelsen, som blev gennemført i 1988 og igen i årige 13-årige 15-årige Piger Drenge Piger Drenge Piger Drenge % 50 % 57 % 53 % 54 % 55 % % 45 % 43 % 46 % 43 % 47 % Kilde: Statens Institut for Folkesundhed, Lav to forskellige diagrammer, som viser resultater fra undersøgelserne. 2. Forklar, hvad diagrammerne viser. OPGAVE 15 Find medianen og middeltallet til disse datasæt: 1. 2, 1, 0, 2, 2, 3, 1, 4, 1, 0, , 34, 35, 32, 33, 33, 31, 35, 36, 37 OPGAVE 16 I 6.x og 6.y har de undersøgt, hvor meget de får i lommepenge om måneden. I begge klasser er middeltallet 100 kr. Medianen i 6.x er 125 kr., og medianen i 6.y er 75 kr. 1. Hvad fortæller det om fordelingen af lommepenge i hver klasse? Mindsteværdien i begge klasser er 50 kr. 2. Giv et bud på, hvad størsteværdien kunne være i de to klasser. OPGAVE 1 F Eleverne i 6.x har undersøgt, hvor mange hele timer de sover hver nat. Tabellen viser deres data. Antal timers nattesøvn Find datasættets størsteværdi, mindsteværdi og variationsbredde. 2. Find datasættets middeltal, typetal og median. 3. Lav et diagram, som viser dataenes fordeling. 4. Beskriv, hvad diagrammet og deskriptorerne viser om 6.x søvnvaner. En søvnforsker anbefaler, at årige skal sove 9 timer hvert døgn. 5. Forklar, hvordan du synes, 6.x søvnvaner er i forhold til søvnforskerens anbefaling. 6. Hvordan er dine egne søvnvaner, hvis du sammenligner med 6.x søvnvaner og det, søvnforskeren anbefaler. OPGAVE 18 Emma og William har kastet en sekssidet terning 15 gange. De har fundet ud af, at middeltallet for deres datasæt er 4, medianen er 5 og typetallet er Find ud af, hvilke 15 data Emma og William kunne have. 2. Find variationsbredden for datasættet. Du kan simulere terningeslag i et regneark. 3. Lav en simulering af 15 kast med en sekssidet terning i et regneark. 4. Brug regnearket til at finde middeltallet, medianen og typetallet af dataene. 5. Undersøg, om du kan ramme Emmas og Williams datasæt. 6. Kan du få et datasæt med typetallet 6? Hvad er middeltallet og medianen? Opgaver 71

72 T DATA I INTERVALLER Hvis du har mange forskellige data i en undersøgelse, kan det være en god idé at inddele dataene i grupper. Grupperne kaldes intervaller. Der er ikke nogen bestemt regel for, hvor store intervallerne skal være. Det er vigtigt, at intervallerne gør dine data mere overskuelige, men samtidig skal du passe på, at de vigtige informationer, du kan læse af dine data, ikke forsvinder. Herunder kan du se data fra en undersøgelse af, hvor mange hele minutter eleverne i 6.x brugte på at komme i skole en morgen Dataene er meget forskellige. Det er derfor en god idé at inddele dem i intervaller. Du kan fx lave intervaller for undersøgelsen om transporttid til skole sådan her: Transporttid i hele minutter Antal Tabellen er en hyppighedstabel, fordi den viser, hvor mange data der er i hvert interval. Det kaldes intervalhyppigheden. I hyppighedstabellen kan du altså ikke længere se de enkelte data. Du kan også lave et pindediagram, som viser dine data. Pindediagrammet bliver også kaldt et søjlediagram. Antal Transporttid i minutter Typeinterval Du kan finde et typeinterval på samme måde, som du kan finde et typetal. Typeintervallet er det interval, der har størst hyppighed, eller det interval, hvor der er flest data. Der kan godt være flere typeintervaller i et datasæt. OPGAVE Find typeintervallet fra undersøgelsen om transporttid til skole i 6.x. 2. Inddel dataene fra elevernes undersøgelse i intervaller på 2 minutter og derefter på 10 minutter, og lav to hyppighedstabeller, som viser intervalhyppighederne for de to forskellige størrelser intervaller. 3. Lav to diagrammer, som viser intervalhyppighederne for de to forskellige størrelser intervaller. 4. Forklar, hvilke fordele og ulemper der er ved de to forskellige størrelser intervaller. OPGAVE Inddel disse data i intervaller af to forskellige størrelser, og lav en hyppighedstabel for hver inddeling Lav to diagrammer, som viser intervalhyppighederne. 72 Statistik

73 A HVEM ER HURTIGST? A 26 AKTIVITET FOR HELE KLASSEN. I skal bruge: centicubes, kort med centicubefigurer og regnestykker (A26), en stol, computer eller tablet, stopur/mobiltelefon. I skal tage tid på, hvor lang tid I er om at gennemføre forskellige øvelser. I kan fx undersøge, hvor lang tid det tager at: bygge en bestemt centicubefigur regne 10 plusstykker lave 10 englehop skrive første vers af I østen stiger solen op på computer eller tablet. I skal dyste pigerne mod drengene. Alle pigerne og drengene skal tage tid på de samme øvelser. Skriv jeres resultater ned, og brug fx regneark til at lave hyppighedstabeller, tegne diagrammer og finde deskriptorer. Husk først at finde en god størrelse på intervallerne. Brug jeres resultater til at sige, hvem der er hurtigst. Pigerne eller drengene? OPGAVE 21 F Brug evt. et digitalt værktøj til denne opgave. Eleverne i 6.x og 6.z vil undersøge, om drengene eller pigerne er hurtigst til hovedregning. Hver elev har regnet 15 gangestykker på tid. Her kan du se drengenes og pigernes tider. Drengenes tider i sekunder: 21,5 36,2 22,6 38,4 42,1 24,8 38,5 27,6 33,9 41,8 37,9 37,4 22,7 37,1 22,5 29,6 24,1 34,9 38,2 21,1 42,9 37,1 26,9 41,7 39,2 29,9 Pigernes tider i sekunder: 27,9 34,1 41,8 34,6 28,5 26,9 31,8 22,4 37,4 36,2 31,5 41,7 33,5 41,3 26,3 31,7 27,6 33,8 37,9 28,4 31,8 32,9 27,7 22,8 36,3 23,6 1. Inddel de to datasæt i intervaller på 5 sekunder fx sek., sek. osv., og lav en hyppighedstabel for hvert af datasættene. 2. Find typeintervallet for hvert datasæt. 3. Lav et diagram, som viser drengenes data og et diagram, som viser pigernes data. 4. Sammenlign de to datasæt. Hvilke forskelle og ligheder er der mellem drengenes og pigernes tider? Hvem er hurtigst til hovedregning? OPGAVE 22 Tabellerne viser resultaterne fra en undersøgelse af, hvor mange minutter eleverne i 6.x har dyrket motion en uge i efteråret. Drengenes tider i minutter: Pigernes tider i minutter: Inddel drengenes og pigernes datasæt i intervaller, og lav en hyppighedstabel for hvert af datasættene. 2. Lav to diagrammer, som viser drengenes og pigernes data. 3. Hvad er typeintervallet for drengene og for pigerne? 4. Brug diagrammerne og typeintervallerne til at sammenligne drengenes og pigernes motionsvaner. O Opgaver 73

74 A DRENGEHØJDER OG PIGEHØJDER AKTIVITET FOR HELE KLASSEN. I skal bruge: målebånd og evt. regneark. I skal måle jeres højde og sammenligne drenge nes og pigernes højde. 1. Mål hinandens højder to og to. 2. Find størsteværdien, mindsteværdien, variationsbredden, typetallet og medianen af alle drengenes højder og af alle pigernes højder. 3. Beregn gennemsnitshøjden af drengene i klassen og gennemsnitshøjden af pigerne i klassen. 4. Inddel drengenes og pigernes højde i intervaller, og lav en hyppighedstabel for drengene og en hyppighedstabel for pigerne, som viser intervalhyppigheden. 5. Lav to diagrammer, som viser højdefor delingen af drengene og af pigerne i klassen ud fra hyppighedstabellerne. I kan evt. bruge regneark. 6. Find typeintervallet for drengenes højde og for pigernes højde.. Sammenlign højden af drengene og pigerne i klassen. Hvilke forskelle og ligheder er der? OPGAVE 23 A 27 Brug højdekurverne for drenge og piger på aktivitetsark A Find jeres egen højde på højdekurverne for drenge eller piger. Sammenlign jeres højde med gennemsnitshøjden for alle børn i jeres alder. Hvordan er jeres egen højde, hvis man sammenligner med gennemsnitshøjden? 2. Find gennemsnitshøjden for klassens drenge og klassens piger på højdekurverne for drenge og piger. Sammenlign drengenes og pigernes gennemsnitshøjder med gennemsnitshøjden for alle børn på jeres alder. Hvilke forskelle og ligheder er der? OPGAVE 24 Her kan du se højden af drengene og pigerne fra en klasse i Kina. Eleverne er 12 år. Drengenes højde i centimeter: 128, 148, 132, 140, 139, 147, 130, 134, 145, 130, 148, 137, 139, 141, 136, 135, 145, 134, 141, 140, 139, 137, 143, 142, 139. Pigernes højde i centimeter: 130, 140, 136, 142, 144, 150, 141, 138, 149, 134, 145, 132, 135, 141, 140, 139, 151, 156, 145, 141, 147, 136, 143, 149, 133. Sammenlign de kinesiske drenges og pigers højde med højden af drengene og pigerne i din egen klasse. Du kan fx bruge størsteværdi, mindsteværdi, typetal, median, gennemsnit, intervalhyppigheder og diagrammer. Hvilke forskelle og ligheder er der? O Statistik

75 EVALUERING OPGAVE 1 Skriv tre ting, du har lært om statistik i kapitlet. Når du er færdig, skal du række hånden op for at vise, at du er klar til at mødes med en makker. Find en makker. Du skal forklare makkeren om de tre ting, du har skrevet. Hvis din makker forklarer noget andet end dig, skal du også skrive det. Ræk derefter hånden op, for at vise, at du er klar til at mødes med en ny makker. Fortsæt til din lærer siger "stop". OPGAVE 2 1. Vis og forklar hinanden, hvordan man kan finde en median i et datasæt. I kan fx bruge disse data: a. 13, 15, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 23 b. 5, 2, 8, 1, 6, 3, 4, 4, 6, 9, 3, 5, 4, 3 2. Forklar, hvad en median kan fortælle om et datasæt. 3. Vis og forklar hinanden, hvordan man kan bruge et digitalt værktøj til at finde statistiske deskriptorer. OPGAVE 3 De 12 piger i 6.x har undersøgt, hvor mange mobiltelefoner de har i deres hjem. De har fundet disse deskriptorer til deres datasæt. Mindsteværdi 2, middeltal 3, median 3, variationsbredde Giv et forslag til, hvilke 12 data pigerne kunne have. 2. Forklar, hvad deskriptorerne fortæller om pigernes undersøgelse. OPGAVE 4 Eleverne i 6.x har undersøgt, hvor lang tid de bruger på et brusebad. Herunder kan I se drengenes og pigernes tider. Drengenes tider i minutter: Pigernes tider i minutter: Forklar, og vis hinanden, hvordan I vil inddele drengenes og pigernes tider i intervaller. 2. Lav to diagrammer, som viser fordelingen af drengenes og pigernes tider. 3. Find typeintervallet for a. drengene b. pigerne 4. Sammenlign diagrammerne og typeintervallerne for drengene og pigerne. Forklar, hvilke forskelle og ligheder der er mellem deres datasæt. OPGAVE 5 1. Vis og forklar hinanden, hvordan man kan gruppere data. I kan fx bruge disse data: Inddel datasættet i intervaller på tre forskellige måder, så intervallerne har forskellige størrelser. 3. Lav tre diagrammer, som viser jeres tre måder at inddele i intervaller på. 4. Forklar fordele eller ulemper ved de forskellige størrelser på intervallerne. E 6 Evaluering 75

76 TRÆN 1 OPGAVE 1 Eleverne i 6.x har undersøgt, hvor mange deciliter vand de drikker på en dag. Herunder kan du se et diagram, som viser undersøgelsens data. Antal elever Deciliter vand 1. Hvor mange elever deltog i undersøgelsen? 2. Lav en hyppighedstabel, der viser dataene fra undersøgelsen. 3. Find størsteværdien, mindsteværdien og variationsbredden. 4. Find typetallet, middeltallet og medianen. 5. Forklar, hvad de statistiske deskriptorer og diagrammet viser. En skolesundhedsplejerske anbefaler, at skolebørn drikker mindst 1,5 L vand om dagen. 6. Hvor mange af eleverne i 6.x drikker nok vand ifølge skolesundhedsplejersken? OPGAVE 2 Julie og Jonas har undersøgt, hvilken minimumsa lder der var anbefalet for de film, der blev vist en bestemt uge i deres biograf. Her kan du se undersøgelsens data. Minimumsalder i antal år: 7, 11, 7, 11, 7, 11, 0, 15, 0, 11, 11, 7, 11, 11, 15, 11, 7 1. Lav en hyppighedstabel, som viser datasættet. 2. Find størsteværdien, mindsteværdien og variationsbredden. 3. Find typetallet, middeltallet og medianen. 4. Lav et diagram, som viser datasættet. 5. Forklar, hvad de statistiske deskriptorer og diagrammet viser om filmenes anbefalede minimumsalder. OPGAVE 3 Find medianen og middeltallet til disse datasæt: 1. 4, 3, 0, 1, 3, 3, 2, 2, 4, 0, , 5, 8, 5, 9, 11, 8, 12, 7, 9, 12, , 40, 41, 45, 42, 41, 44, 41, 42 OPGAVE 4 Tabellen viser intervalhyppighederne af pigernes og drengenes fodlængder i 6.x. Fodlængde i cm Drenge Piger Lav et diagram, som viser: a. pigernes fodlængder i centimeter b. drengenes fodlængder i centimeter. 2. Hvad er typeintervallet for a. pigerne? b. drengene? 3. Sammenlign pigernes og drengenes fodlængder. Skriv om ligheder og forskelle mellem deres fodlængder. OPGAVE 5 Eleverne i 6.x har undersøgt, hvor mange minutter de brugte på computer dagen før. Drengenes computertid i antal minutter: 95, 69, 105, 87, 188, 135, 77, 104, 154, 145, 197, 116, 110. Pigernes computertid i antal minutter: 73, 42, 101, 68, 155, 95, 86, 132, 79, 105, 35, Inddel dataene for drengene i intervaller på 30 minutter, fx 0-30 minutter, minutter osv., og lav en hyppighedstabel, som viser, hvor mange data der er i hvert interval. 2. Lav et diagram, som viser drengenes data, og find typeintervallet. 3. Inddel også dataene for pigerne i intervaller. Lav en hyppighedstabel og et diagram, og find typeintervallet. 4. Sammenlign de to datasæt. Hvilke forskelle og ligheder er der mellem drengenes og pigernes computertid? 76 Statistik

77 TRÆN 2 OPGAVE 1 Julie og Malte lavede en uge en undersøgelse af, hvilken minimumsalder der var anbefalet for de 15 film, der blev vist i deres biograf. Tabellen viser de deskriptorer, de fandt for undersøgelsens datasæt. Mindsteværdi 0 Variationsbredde 15 Middeltal 10 Median 11 Typetal Find størsteværdien for Julies og Maltes datasæt. 2. Hvilke 15 data kunne Julie og Malte have? 3. Lav et diagram, som viser undersøgelsens datasæt. 4. Forklar, hvad de statistiske deskriptorer og diagrammet viser om den anbefalede minimumsalder for filmene i den uge Julie og Malte lavede undersøgelsen. OPGAVE 2 På en motionsdag løb eleverne i 6.x 10 km. Tabellen viser deres tider i minutter: Inddel dataene i intervaller på 5 minutter, fx minutter, minutter osv., og lav en hyppighedstabel. 2. Find typeintervallet for datasættet, og tegn et diagram, som viser intervalhyppig hederne. 3. Inddel nu dataene i intervaller på 10 minutter, og lav en hyppighedstabel. 4. Find typeintervallet for datasættet med de nye intervaller, og tegn et diagram, som viser intervalhyppighederne. 5. Sammenlign de to hyppighedstabeller, diagrammer og typeintervaller. Hvilke forskelle er der mellem de to inddelinger af dataene og det, de viser om datasættet? OPGAVE 3 Find medianen og middeltallet til disse datasæt: 1. 37, 38, 36, 40, 44, 43, 35, 38, 39, 41, , 7, 4, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 6, , 141, 140, 138, 139, 142, 144, ,8-17,3-19,2-18,9-20, , 999, 980, 990, 809, 1001, 899, 890 OPGAVE 4 Herunder kan du se to hyppighedstabeller, der viser aldersfordelingen i København og Thisted. Tabellerne viser intervalhyppigheder. Folketal København 0-9 år år år år år år år år år år år 102 Danmarks Statistik, Folketal Thisted 0-9 år år år år år år år år år år år Lav et diagram, som viser befolkningens aldersfordeling i: a. København b. Thisted. 2. Hvad er typeintervallet i: a. København? b. Thisted? 3. Find ligheder og forskelle mellem aldersfordelingen i København og Thisted. 4. Prøv, om du kan finde en tabel, der viser aldersfordelingen i din egen by eller en by, du selv vælger, lav et diagram, og sammenlign diagrammet med diagrammerne for København og Thisted. I hvilken af de to byer ligner aldersfordelingen din egen by mest? Træning 77

78 TEMA/PROJEKT REAKTIONSTID A Når fx verdens bedste 100-meter-løbere konkurrerer, kan det have stor betydning, hvem der kommer først ud af startblokken. Løberne venter på et startskud, og når det lyder, skal de reagere hurtigst muligt. Det er altså en fordel at have en hurtig reaktionstid. Reaktionstiden er den tid, der går, fra jeres sanser bliver påvirket af noget, I hører, ser eller mærker, til I reagerer på det. PROJEKT FOR HELE KLASSEN. I skal måle jeres reaktionstider på to forskellige måder og sammenligne pigernes og drengenes reaktionstider. OPGAVE 1 I skal bruge: stopur (fx på en mobiltelefon) og skemaer til resultater (A29). Alle pigerne og alle drengene skal stille sig i hver deres rundkreds med hinanden i hænderne og lukkede øjne. En i hver rundkreds skal være testleder. Sådan laver I reaktionstids-testen: Testlederen starter testen ved at give et håndtryk med sin venstre hånd og samtidig starte stopuret med sin højre hånd. Testlederen flytter derefter stopuret til sin venstre hånd og tager personen til højre i hånden i stedet. Hver person i rundkredsen giver et håndtryk med venstre hånd, så snart han eller hun mærker et håndtryk i højre hånd. Når testlederen mærker et håndtryk i sin højre hånd, stopper han eller hun tiden. Gentag testen 8-10 gange med en ny testleder i hver test. Skriv alle pigernes resultater eller alle drengenes resultater på et fælles aktivitetsark (A29) eller i en fælles regnearksfil. OPGAVE 2 1. Beregn den gennemsnitlige reaktionstid i hver test: a. for hver dreng b. for hver pige. 2. Sammenlign reaktionstiden for den første test og den sidste test for både pigerne og drengene. Kan I forklare resultaterne? 3. Sammenlign drengens og pigernes gennemsnitlige reaktionstider. 4. Undersøg evt., hvad der sker, hvis I gentager testen, uden at I på forhånd ved, om I får håndtrykket i jeres venstre eller højre hånd. Er der forskel på resultaterne? 78 Statistik

79 OPGAVE 3 I skal bruge: lineal (mellem 30 cm og 100 cm), tabel med reaktionstider (A28) og skemaer til resultater (A29). I skal arbejde to og to sammen. En af jer skal være testperson, og den anden skal være måleperson. Sådan laver I reaktionstids-testen: Tegn et vandret linjestykke, fx på en tavle, et iwb eller på et stykke papir, som I hænger op på væggen. Målepersonen skal holde linealen, som I kan se på tegning 1, og testpersonen skal holde sig klar. Målepersonen skal pludseligt, og uden at sige til, slippe linealen, så den falder nedad. Testpersonen skal standse linealen så hurtigt som muligt, som I kan se på tegning 2. Aflæs, hvor mange centimeter line alen er faldet ned. Brug tabellen på aktivitetsark A28 til at finde ud af, hvilken reaktionstid antallet af centimeter svarer til. Skriv alle pigernes resultater eller alle drengenes resultater på et fælles aktivitetsark (A29) eller i en fælles regnearksfil. Byt roller, og lav testen igen. 1 2 OPGAVE 4 1. Sammenlign drengenes og pigernes reaktionstider: I kan se på størsteværdien, mindsteværdien, variationsbredden, typetallet, middeltallet og medianen. I kan inddele drengenes og pigernes datasæt i intervaller (fx 0,10-0,14; 0,15-0,19 osv.), lave hyppighedstabeller, som viser intervalhyppigheder, lave diagrammer og finde typeintervaller. 2. Sammenlign resultaterne med Håndtryk-testen. 3. Diskuter, hvornår I kan have brug for at have en hurtig reaktionstid. Tema/projekt 79

80 RUMLIGE FIGURER MÅL BEGREBER OG ORD At du lærer: at beregne overfladearealet af polyeder at genkende prismer og cylindere at beregne rumfanget af et prisme og en cylinder ud fra en formel at omregne mellem rumfangsenheder at forklare sammenhængen mellem flader, hjørner og kanter i et polyeder. overfladeareal prisme cylinder grundflade rumfang kongruente sideflade polyeder regulær polyeder endeflade FORHÅNDSVIDEN Tegningerne viser forskellige situationer, der handler om rumfang. Tal om hver situation, og find ud af, hvordan hver af de fire personer kan få svar på deres spørgsmål. Gad vide, hvor meget vand der kan være i badekarret? Mon jeg kan finde ud af, hvor meget min søster fylder? Gad vide, hvilken bil der har det største rum? Er der en sammenhæng mellem trekantens areal og prismens rumfang? Hvis 1 spsk. fylder 15 cm 3, hvor mange spiseskeer er der mon så på 1 dl, hvis 1 dl fylder 100 cm 3? 80 Rumlige figurer

81 A HVEM HAR MEST VAND? A AKTIVITET FOR HELE KLASSEN. I skal bruge: tre rumfangskort hver (A30), måleenheder for rumfang (A31), lommeregner, papir, blyant og centicubes. Regler: I spiller alle mod alle. Spillet starter, når alle har en makker. Nu vender I begge et rumfangskort fra jeres bunke. Vinderen er den af jer, der har en tegning, der viser mest vand. Vinderen får en centicube. Viser tegningerne lige meget vand, er der ingen, der vinder. I kan evt. bruge aktivitetsark A31 samt papir og blyant, når I skal finde mængden af vand. Når I har sammenlignet mængder af vand, skal I bytte kort. I rækker nu en hånd i vejret for at vise, at I er klar til at spille mod en ny makker. Find hver især en ny makker at spille mod. Vinderen er den, som har flest centicubes, når læreren siger "stop". Jeg har mere vand i mine målebægre, end du har i din kube, da du kun har 1 L vand i din kube og jeg har 1,5 L vand i mine målebægre OPGAVE 1 1. Find rumfanget af hver af de tre kasser. 2. Find rumfanget af de tre kasser tilsammen. OPGAVE 2 A 64 Tegn kasser på isometrisk papir. Kasserne skal have følgende rumfang: cm dl 3. 3 tsk ml mm knivspidser. 2,5 dm ,5 cl 9. 4 spsk. OPGAVE 3 Hvilken sandkasse har det største rumfang? O 27 Opgaver 81

82 T POLYEDER OG OVERFLADEAREALER Et polyeder er en lukket rumlig figur, der er sammensat af polygoner. Ordet polyeder kommer af poly, som betyder mange og hedra, som betyder flade. Et polyeder består af mange sideflader. Sidefladerne i et polyeder er altid plane flader. Det betyder, at sidefladerne ikke er buede, men at de er jævne og flade. Det mindste antal sideflader, et polyeder kan have, er fire. Du kan finde overfladearealet af et polyeder ved først at finde arealet af hver sideflade og derefter lægge arealerne sammen. Et regulært polyeder er en lukket rumlig figur, der er sammensat af kongruente re- gulære polygoner. Der findes fem forskellige regulære polyedre. Tetraeder: Består af fire ligesidede trekanter Heksaeder: Består af seks kvadrater Oktaeder: Består af otte ligesidede trekanter Dodekaeder: Består af 12 regulære femkanter Ikosaeder: Består af 20 ligesidede trekanter OPGAVE 4 1. Hvilke figurer er polyedre, og hvilke figurer er ikke polyedre? 2. Hvilke af polyedrene er regulære polyedre? 3. Tegn de flader, som hvert polyeder består af. d e a b c f g h i O Rumlige figurer

83 A OVERFLADEAREALER A AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: opgavekort (A32), beregningsark (A33), papir og blyant. Gad vide, hvor stort alle sidefladernes areal er tilsammen? Vi skal starte med at finde ud af, hvilke sideflader kassen består af I skal skiftes til at gøre følgende. 1. Træk et opgavekort og gæt på figurens overfladeareal. 2. Skriv navnet på de polygoner, som udgør siderne på den rumlige figur. 3. Find arealet af hver side. 4. Find figurens overfladeareal. 5. Beregn forskellen på jeres gæt af overfladearealet og det beregnede overfladeareal. Det er vigtigt, at I hele tiden forklarer jeres makker, hvad I tænker, når I løser opgaven. Brug beregningsarket til at notere jeres resultater. OPGAVE 5 F På Kannikegården ved Ribe domkirke skal man 28 m lave et tag af teglskaller. Arkitekterne skal beregne det samlede areal af taget for at have en 11,51 m idé om, hvad prisen vil blive. Figurerne til højre viser hver sideflade af taget. 28 m 11,51 m 11,51 m Hvor stort er overfladearealet af taget? 2,7 m 2,7 m h = 12,2 m 2,7 m 13 m 28 m 7,61 m 11,51 m 16,66 m 11,8 m 11,51 m 7,61 m 5,92 m 16,66 m 2,7 m 5,92 m 2,7 m h = 12,2 m 6,5 m 4,3 m 11,8 m 16,35 m 2,7 m O 29 Opgaver 83

84 T PRISME OG CYLINDER Prisme Et prisme er en rumlig figur, hvor top og bund er kongruente polygoner, der er parallelle. Prismets top og bund kaldes for figurens endeflader. Bunden kaldes også for grundfladen. Sidefladerne, der forbinder endefladerne, er parallelogrammer. Cylinder En cylinder er en rumlig figur, hvor endefladerne er kongruente cirkler, der er parallelle. En krum sideflade forbinder endefladerne. h h h Grundflade h h Grundflade A RUMFANG AF PRISME OG CYLINDER AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: et digitalt værktøj, hvor I kan tegne rumlige figurer. 1. Diskuter, hvem af børnene der har ret. Brug et digitalt værktøj. 2. Tegn tre forskellige prismer, med samme højde og ens endeflader. 3. Sammenlign rumfanget af prismerne. 4. Beskriv, hvad I opdager. 5. Tegn fire forskellige cylindere, der har en højde på 1 cm, 2 cm, 3 cm og 4 cm. Alle fire cylindre skal have ens endeflader. 6. Sammenlign rumfanget af cylindrene.. Beskriv, hvad I opdager. 8. Formlen for rumfanget af et prisme og en cylinder er Rumfang = Grundflade højde. Brug formlen til at beregne rumfanget af hvert prisme og hver cylinder, I har tegnet. Jo skævere prismet er, jo mindre er rumfanget Rumfanget er lige stort i de tre prismer Jo skævere prismet er, jo større er rumfanget 84 Rumlige figurer

85 OPGAVE 6 1. Tegn to forskellige prismer, hvor grundfladen er 16 cm 2, og højden er 8 cm. Beregn rumfanget. 2. Tegn to forskellige prismer, hvor grundfladen er 7 cm 2, og højden er 7 cm. Beregn rumfanget. 1. Hvor stort er arealet af en etage i den bygning, der skal bruges til kontor- og studielokaler? 15,8 m 90 26,8 m 18,7 m Trappe og depot 4,3 m 100,03 13,1 m OPGAVE Hvad er rumfanget af en cylinder, hvis: 1. grundfladen er 14 cm 2,og højden er 34 cm? 2. grundfladen er 24 cm 2,og højden er 13 cm? 3. grundfladen er 300 mm 2,og højden er 400 mm? 10,41 m 131, Toiletter 5,2 m 7,3 m 23,4 m 104,65 OPGAVE 8 F I Malmø skal man bygge en ny højskole med navnet Niagara. Niagara består af bygninger, der har form som prismer, der sammensvejses til en stor bygning. Den højeste del af bygningen har 11 etager. Bygningen skal bruges til kontor- og studielokaler. En etage i denne bygning består af et stort rum til kontor- og studielokaler med to mindre rum i midten til henholdsvis trappe, depot, toiletter m.m. 2. Hvor stort et areal skal bruges til kontor- og studielokaler på den viste etage? 3. Hvor mange kvadratmeter vil der være til kontor- og studielokaler på alle etagerne i bygningen, hvis alle etagerne bliver indrettet ens? 4. Arkitekterne skal beregne, hvor stort klimaanlægget skal være. For at finde den rigtige størrelse af klimaanlægget skal de vide, hvor stort rumfanget af lokalet er. En etages frihøjde (fra gulv til loft) er 271,5 cm. Hvad er rumfanget af det store rum på etagen, hvor der skal være kontor- og studielokaler? 5. 51,5 % af hele bygningens facade, dvs. ikke tag og bund, skal laves af glas. Ingeniørerne skal beregne, hvor stor en mængde CO 2 bygningen kommer til at udlede. For at beregne dette, skal de vide, hvor mange kvadratmeter glas, facaden kommer til at bestå af. Hele facaden har et overfladeareal, der er m 2. Hvor mange kvadratmeter glas skal der bruges til hele bygningens facade? O 30 Opgaver 85

86 T MÅLEENHEDER TIL RUMFANG Du kan beskrive rumfang i både liter(l) og kubikmeter(m 3 ). I skemaerne kan du se, hvor meget 1 m 3 og 1 L svarer til, fx at 1 L svarer til 0,001 m 3. Du kan bruge skemaerne, når du skal omregne mellem de forskellige enheder. Navn Kubikkilometer Kubikhektometer Kubikdekameter Kubikmeter Kubikdecimeter Kubikcentimeter Kubikmillimeter Forkortelse km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 1 m 3 svarer til 0, km 3 0, hm 3 0,001 dam 3 1 m dm cm mm 3 1 L svarer til 0, km 3 0, hm 3 0, dam 3 0,001 m 3 1 dm cm mm 3 Navn kiloliter hektoliter Dekaliter liter deciliter centiliter milliliter Forkortelse kl hl dal L dl cl ml 1 L svarer til 0,001 kl 0,01 hl 0,1 dal 1 L 10 dl 100 cl 1000 ml "Kilo", "hekto" og "deka" stammer fra det græske sprog. "Kilo" betyder 1000, "hekto" betyder 100 og "deka" betyder 10. "Deci", "centi" og "milli" stammer fra det latinske sprog. "Deci" betyder 10, 1 1 "centi" betyder 100 og 1 "milli" betyder OPGAVE 9 OPGAVE 11 a b 250 L h = 27 cm G = 110 dm 2 c d 2700 dl 1. Se på tegningen. "Deci" betyder Hvordan hænger det sammen med, at 1 m 3 svarer til 1000 dm 3? 2. Kilo betyder Hvordan hænger det sammen med, at 1 m 3 svarer til 0, km 3? OPGAVE Omregn til L. a. 35 dl b ml c. 15 kl 2. Omregn til dl. a. 73 L b. 635 cl c ml 1. Beregn rumfanget af prisme a og c. 2. Skriv de fire prismer i rækkefølge efter størrelsen af deres rumfang. O 31 h = 36 m h = 0,7 m g = 1,2 m 86 Rumlige figurer

87 A RUMFANG PÅ FORSKELLIGE MÅDER AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: en cylinderformet dåse, karton og et målebæger der kan indeholde 1 L og måle ml. Tag et billede af dåsen og de prismer I har lavet. I skal fylde målebægeret halvt med vand. Herefter skal I nedsænke den cylinderformede dåse i vandet og beregne cylinderens rumfang. I skal dernæst lave mindst tre prismer i karton med samme rumfang, som dåsen. OPGAVE 12 F Hedda, hendes mand Peter og børnene Joshua, Victoria og Asta skal have en swimmingpool i baghaven. De kigger på tre forskellige prismeformede swimmingpools. Børnene vil gerne have den swimmingpool, hvor vandoverfladen har det største areal. Hedda og Peter vil gerne have den swimmingpool, der kræver mindst vand. 1. Hvilken swimmingpool passer til børnenes ønske? 2. Hvilken swimmingpool passer til Hedda og Peters ønske? 3. Hvilken swimmingpool skal familien vælge? Begrund dit svar m 3 vand koster ca. 60,29 kr. Hvor meget vil det koste at fylde hver af de tre swimmingpools, hvis vandet skal være 10 cm fra kanten af bassinet? 5. Peter har kigget på muligheden for at bygge en swimmingpool selv. Han ønsker ikke at bruge mere end 1500 kr. på at fylde bassinet op. Kom med mindst to forslag til form og mål på en swimmingpool, der passer til Peters ønske. Opgaver 87

88 A POLYEDER A AKTIVITET FOR 2 PERSONER. Denne kube har 6 flader Den har 12 kanter. Gad vide hvor mange hjørner den har? I skal bruge: figurkort (A34) og udfyldningstabel (A35). I skal klippe polyedrene ud og lægge dem ud på et bord. I skal skiftevis trække et figurkort. Den af jer der har trukket kortet, skal finde antallet af sideflader (f), antallet af hjørner (h) og antallet af kanter (k) på figuren. Den anden skal udfylde tabellen med svarene og regne stykket i den sidste kolonne. Når I har udfyldt skemaet, skal I beskrive, hvilken sammenhæng der er mellem antal sideflader, hjørner og kanter i et polyeder. OPGAVE 13 Løs opgaverne. Et polyeder har: sideflader og 10 hjørner. Hvor mange kanter har det? 2. 8 sideflader og 18 kanter. Hvor mange hjørner har det? hjørner og 20 kanter. Hvor mange sideflader har det? 4. lige mange sideflader og hjørner og 22 kanter. Hvor mange sideflader og hjørner har det? OPGAVE Et polyeder har 7 sideflader, 7 hjørner og 12 kanter. Hvilket polyeder kan der være tale om? 2. Et polyeder har 24 kanter, 16 hjørner og 10 sideflader. Hvilket polyeder kan der være tale om? 3. Et polyeder har 16 kanter, 9 hjørner og 9 sideflader. Hvilket polyeder kan der være tale om? OPGAVE 15 Simon og Jonas sætter tre centicubes sammen. De tæller herefter antallet af sideflader, hjørner og kanter. 1. Hvilket resultat får Jonas og Simon? 2. Jonas og Simon er overraskede over, at antallet af sideflader, hjørner og kanter på en centicube er det samme som på de tre centicubes, der er sat sammen. Forklar, hvorfor det er det samme. O Rumlige figurer

89 EVALUERING OPGAVE 1 Skriv tre ting, du har lært om rumlige figurer i kapitlet. Når du er færdig, skal du række hånden op for at vise, at du er klar til at mødes med en makker. OPGAVE 4 Find en makker. Du skal forklare makkeren om de tre ting, du har skrevet. Hvis din makker forklarer noget andet end dig, skal du også skrive det. Ræk derefter hånden op, for at vise, at du er klar til at mødes med en ny makker. Vis og forklar, hvordan man kan finde en rumlig figurs overfladeareal med udgangspunkt i en af de viste figurer. Fortsæt til din lærer siger "stop". OPGAVE 5 OPGAVE 2 h h Grundflade Forklar med udgangspunkt i de viste rumlige figurer, hvad der: 1. er et polyeder. 2. ikke er et polyeder. 3. er et regulært polyeder. 1. Forklar med udgangspunkt i tegningen, hvilken sammenhæng der er mellem arealet af grundfladen i cylinderen og dens rumfang. 2. Forklar med udgangspunkt i tegningen, hvilken sammenhæng der er mellem arealet af grundfladen i prismet og dets rumfang. OPGAVE 3 1. De grønne figurer er sideflader i en rumlig figur. Hvilken rumlig figur er det? 2. De orange figurer er sideflader i en rumlig figur. Hvilken rumlig figur er det? OPGAVE 6 Forklar, hvordan I omregner mellem: 1. kubikdecimeter og kubikcentimeter. 2. kubikmeter og liter. 3. kubikdecimeter og deciliter. OPGAVE 1. Vis med eksempler, hvilken sammenhæng der er mellem antallet af sideflader, hjørner og kanter i et polyeder. 2. Giv eksempler på rumlige figurer, hvor man ikke kan bruge denne sammenhæng mellem antallet af sideflader, hjørner og kanter. E 7 Evaluering 89

90 TRÆN 1 OPGAVE 4 OPGAVE h = 6 cm h = 6 cm 4 cm 4 cm G = 12,5 cm 2 Maltes far Jesper skal male siderne på familiens pyramideformede hundehus. 1. Hvor stort et overfladeareal skal han male, hvis halvdelen af den ene side er ind- gangen til hundehuset? 2. Hvor stort er arealet af bunden i hundehuset? Kamille skal støbe stearinlys. Hun kan vælge mellem de to former, som er vist. Hun vil gerne bruge den form, som kan indeholde mest stearin, så lyset brænder længe. Hvilken form skal hun vælge? OPGAVE h = 1,7 dm h = 13 cm OPGAVE 2 G = 43 cm 2 G = 58 cm 2. Find rumfanget af hvert prisme. 1. Hvilken rumlig figur kan man danne af de orange polygoner? 2. Hvilken rumlig figur kan man danne af de røde polygoner? OPGAVE 3 1 Beskriv de to figurer, så en anden vil kunne tegne dem uden at have set figurerne. 2 OPGAVE 6 1. Hvor mange m 3 kan der være i 1 km 3? 2. Hvor mange dm 3 kan der være i 1 dam 3? OPGAVE Omregn til L dl cl 3. 4,3 m 3 OPGAVE 8 Sandt eller falsk? 1. Et polyeder kan godt være en rumlig figur, der ikke er lukket i toppen. 2. Et regulært polyeder med 12 sider kan kun bestå af femkantede regulære polygoner. 3. Et regulært polyeder kan godt være lavet af flere slags polygoner. 4. Et polyeder kan godt have 8 hjørner, 8 flader og 15 kanter. 5. En kube er et prisme. 90 Rumlige figurer

91 TRÆN 2 OPGAVE 3 OPGAVE 1 a b h = 1,9 dm h = 567 mm G = 36,8 cm 2 1. Find rumfanget af prismet og cylinderen. 2. Hvor mange liter kan der være i cylinderen og prismet? OPGAVE 2 G = 81 cm Hvilken rumlig figur kan man danne af de røde polygoner? 2. Hvilken rumlig figur kan man danne af de blå polygoner? OPGAVE Beskriv de to figurer, så en anden vil kunne tegne dem uden at have set figurerne. OPGAVE h = 5,2 cm 3 3 h = 8 cm Maltes far Jesper skal pudse vinduerne i deres drivhus. 1. Hvor stort et areal skal han cirka pudse? 2. Maltes mor vil forlænge drivhuset, så grundarealet bliver dobbelt så stort. Hvor mange af ruderne med målene 90 cm 180 cm vil Jesper skulle bruge for at forlænge drivhuset? 3. Hvis drivhuset forlænges, hvor stort et areal skal Jesper så pudse? 3 1. Kamille skal støbe stearinlys. Hun vil lave tre lys med den form, som er vist. Hvor meget stearin er der plads til i formen? 2. 1 cm 3 stearin vejer ca. 0,86 g. Hvor mange gram stearin skal Kamille cirka bruge? OPGAVE 6 1. Hvor mange dam 3 kan der være i 1 km 3? 2. Hvor mange mm 3 kan der være i 2 dm 3? OPGAVE Omregn til L. 1. 1,7 m cl 3. 0,175 dal Træning 91

92 BLANDEDE OPGAVER OPGAVE 1 Her er en figurfølge. Du kan se figur 1, figur 2 og figur 3 i figurfølgen. Tegn de tre næste figurer, og skriv antallet af OPGAVE 4 65,2 m 70,89 m 10,1 m brikker i hver figur. 39,24 m ,2 m 85,27 m 1 OPGAVE 2 Regn stykkerne : : : : 2 OPGAVE 3 6.x skal købe trøjer til årgangen, da de skal deltage i et årligt fodboldstævne for kommunes 6.klasser. De har fået fire forskellige tilbud. På Frederiksberg har arkitekterne stået bag bygningen, Kilen, som har et firkantet grundareal. Find grundarealet af bygningen ved at triangulere. OPGAVE 5 Find 100 % når: svarer til 20 % svarer til 10 % svarer til 24 % svarer til 80 % svarer til 77 % svarer til 6 % OPGAVE 6 Tabellen viser, hvor mange der er lyshårede, mørkhårede og rødhårede i 6.x. Hårfarve Hyppighed (antal elever) Frekvens Lyst 6 Mørkt 16 Rødt 3 1. Lav en tabel magen til, og beregn frekvensen af hver hårfarve. 2. Vis frekvenserne i et procentdiagram. OPGAVE Hvor mange liter vand kan der være i hver beholder? 1. Hvad koster det klassen at købe 15 trøjer ved hvert af de fire tilbud? 2. Hvilket tilbud er billigst, hvis klassen skal købe: a. 5 trøjer? b. 30 trøjer? c. 45 trøjer? 92 Rumlige figurer

93 OPGAVE 8 Pyramiden har et kvadrat som grundflade og fire kongruente trekanter som sideflader. Beregn pyramidens overfladeareal. OPGAVE 11 OPGAVE 9 Skriv en ligning, der passer til hver vægt. Løs ligningerne h = 18,5 m g = 12 m I en bunke kort er der en sort knægt, en rød dame, en rød konge, en sort 4 er, 5 er og 8 er. Du skal trække et kort fra bunken. Hvad er sandsynligheden for tilfældigt at trække: 1. et rødt kort? 2. et billedkort? 3. et kort der ikke er et billedkort? 4. en knægt? OPGAVE 12 Williams far kører meget i bil i forbindelse med sit arbejde og drikker tit kaffe i bilen. Han køber kaffen på tankstationer. En kop kaffe koster 20 kr., men hvis Williams far køber en termokop til 49 kr., kan han få fyldt kaffe i for 12 kr., hver gang han køber kaffe. 1. Lav en tabel for hver af de to måder, Williams far kan købe kaffe på, som viser, hvad det koster ham at købe: a. 2 kopper kaffe b. 4 kopper kaffe c. 7 kopper kaffe d. 10 kopper kaffe OPGAVE 10 Køb af kaffe uden termokop Antal kopper kaffe Pris 2 40 kr Køb af kaffe med termokop Antal kopper kaffe Pris 2 73 kr. 4 Hvor høje er girafferne i virkeligheden? 2. Afsæt koordinatsættene fra hver tabel som punkter i et koordinatsystem, så du får: - en graf, der viser sammenhængen mellem antal kopper kaffe og pris uden termokop - en graf, der viser sammenhængen mellem antal kopper kaffe og pris med termokop. 3. Brug graferne til at finde ud af, hvor mange kopper kaffe Williams far skal købe, før det bedst kan betale sig at købe termokoppen. Blandede opgaver 93

94 LIGNINGER OG FORMLER MÅL At du lærer: at oversætte matematikproblemer til ligninger at løse ligninger ved at gætte og afprøve eller ved at bruge modsatte regningsarter at løse ligninger med digitale værktøjer at bruge formler til at løse problemer i matematik og problemer fra hverdagen at lave formler med variable, der beskriver sammenhænge. BEGREBER OG ORD ligning pladsholder regneark sammenhænge modsatte regningsarter formel variabel CAS-værktøj ubekendt FORHÅNDSVIDEN 1. Hvad husker I om ligninger? 2. Hvad vil det sige, at to regningsarter er modsatte regningsarter? Giv eksempler på modsatte regningsarter. 3. Giv mindst to eksempler på problemer fra hverdagen, som I kan beskrive og løse med ligninger. Jeg er 4 gange så gammel som dig Til sammen er vi 50 år OPGAVE 1 Hvilke ligninger og regnehistorier eller tegninger passer sammen? Hvor gammel er pigen? x 4 = x = 50 2 x + 4 = 50 4 x + x = 50 Hvad er rektanglets længde og bredde? Hvad vejer en kasse? x 2 x = 50 Jeg er 50 år Hvor gammel er Simon? For 4 år siden var jeg en femtedel af din alder i dag Hvad koster en slikpose? 94 Ligninger og formler

95 A HVILKEN LIGNING? A 36 AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: kort med regnehistorier eller tegninger (A36) og saks. To kager koster til sammen 45 kroner. Den dyreste kage koster 17 kroner mere end den billigste kage. Hvad koster kagerne? I skal klippe kortene fra aktivitetsark A36 ud og lægge dem i en bunke med bagsiden op. Nu skiftes I til at vende et kort. På kortet står der en regnehistorie, eller der er vist en tegning. I skal finde ud af, hvilken ligning der passer til regnehistorien eller tegningen. Prøv bagefter, om I kan løse ligningen. Vi sætter den billigste kage til x! x + x + 17 = 45 OPGAVE 2 Malte og William sammenligner, hvor mange apps de har på deres mobiltelefoner. Tilsammen har de 66 apps. Malte har dobbelt så mange apps som William. Hvor mange apps har William, og hvor mange har Malte? 1. Skriv opgaven som en ligning. Du kan fx kalde antallet af apps, som William har, for x. 2. Løs ligningen. OPGAVE 4 Løs mindst fem af ligningerne ved at gætte og afprøve eller ved at tænke på modsatte regningsarter. Skriv regnehistorier, som kan passe til ligningerne. Lav mindst to regnehistorier x = x 125 = x 6 = x = x = x + 3 = x 7 = x + 6 x = 40 OPGAVE 3 1. Hvad er længden af de sider, der er kaldt x i hver figur, hvis omkredsen af hver figur er 100? Find længden af x for mindst tre af figurerne. 2. Skriv en ligning, som beskriver omkredsen af hver figur. e x x 20 a 25 f x x b x x c x x 4 x 30 x x x d 35 x x O 33 Opgaver 95

96 T FORMLER En formel minder om en ligning. En formel beskriver en sammenhæng mellem forskellige tal eller størrelser på en kort og præcis måde. I formler er der altid skrevet bogstaver, som kaldes variable, fordi de kan variere. Du kan altså sætte forskellige tal ind på de variables pladser i en formel og på den måde bruge formlen til at beregne et resultat. Fx beskriver formlen A = l b sammenhængen mellem et rektangels areal, A, og arealets længde, l, og bredde, b. Du kan bruge formlen til at beregne et rektangels areal, hvis du kender rektanglets længde og bredde. l = længde b = bredde Længden og bredden af rektanglet kan variere. Derfor er l og b variable. Hvis længden eller bredden bliver et større eller mindre tal, betyder det, at rektanglets areal ændrer sig. Hvis et rektangel har længden 12 m og bredden 9 m, kan du beregne arealet ved at indsætte størrelserne i stedet for l og b i formlen. A = l b = 12 9 = 108. Længde = 12 m Bredde = 9 m Arealet er altså 108 m 2. Et andet rektangel har arealet 125 m 2 og længden 25 m. Du kan bruge formlen til at beregne bredden. Hvis du indsætter størrelserne i formlen, får du: 125 = 25 b. Længde = 25 m b Areal = Det er en ligning, som du kan løse. Bredden, b, er da 5 m. OPGAVE 5 I kan bruge formlen herunder til at beregne arealet af denne figur. A = a b a b b 1. Forklar formlen med jeres egne ord. 2. Brug formlen til at beregne arealet, hvis: a. a = 2 og b = 4 b. a = 4 og b = 7 c. a = 5 og b = 10 d. a = 25 og b = 75 a a OPGAVE 6 1. Lav en formel, der kan bruges til at finde omkredsen af et rektangel, hvis du kender længden og bredden. 2. Beregn omkredsen, længden eller bredden af rektanglerne herunder. Indsæt de størrelser, du kender, i din formel. a Længde = 50 m Omkreds = 150 m c O 34 Bredde = 4 m b Omkreds = 48 m Længde = 15 m Bredde = 5 m 96 Ligninger og formler

97 A SAMMENHÆNGE OG FORMLER I REGULÆRE POLYGONER AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: et geometriprogram. 1. Tegn et kvadrat i et geometriprogram. I skal kunne ændre sidelængden i kvadratet. I kan fx bruge en skyder i GeoGebra. 2. I skal undersøge, hvilken sammenhæng der er mellem kvadratets sidelængde, s, og omkreds, O, og hvilken sammenhæng der er mellem kvadratets sidelængde, s, og areal, A. 3. Lav en tabel som den, der er vist herunder, hvor I skriver målene på de kvadrater, I undersøger. Sidelængde Omkreds Areal Forklar sammenhængen mellem sidelængden og omkredsen og sammenhængen mellem sidelængden og arealet. 5. Lav en formel, som beskriver: - sammenhængen mellem sidelængden og omkredsen. - sammenhængen mellem sidelængden og arealet. 6. Undersøg sammenhængen mellem sidelængden og omkredsen i andre regulære figurer. Fx en regulær trekant, hvor sidelængden kan ændres. En regulær femkant En regulær sekskant En regulær. Prøv, om I kan lave formler, der beskriver sammenhængen mellem sidelængden og omkredsen i de figurer, I har undersøgt. OPGAVE F Der skal være skolefest, og Marmona under- søger, hvor mange elever der kan sidde i alt ved de kvadratiske borde i festsalen. Der er plads til fire elever omkring hvert bord. 1. Hvor mange elever kan der sidde omkring 2 borde, 3 borde, 4 borde osv.? Lav en tabel som den, der er vist herunder, og udfyld den. Antal borde, b Antal elever, e Hvis Marmona ved, hvor mange borde der er i festsalen, hvordan kan hun så beregne antallet af elever, der er plads til i alt? 3. Lav en formel, som beskriver sammenhængen mellem antallet af borde, b, og antal elever, e. 4. Er der plads til 100 elever, hvis der er 20 borde i festsalen? Marmona foreslår, at bordene stilles på række, i stedet for at de står enkeltvis, for så er der plads til flere borde. 5. Hvor mange elever kan der sidde omkring 2 borde, 3 borde osv., hvis bordene står på række? Lav en tabel, og udfyld den. 6. Lav en formel, som beskriver sammenhængen mellem antallet af borde, der står på række, b, og antal elever, e.. Hvor mange borde skal der bruges, for at der er plads til 100 elever? O 35 Opgaver 97

98 T LIGNINGER OG FORMLER I DIGITALE VÆRKTØJER Du kan bruge forskellige digitale værktøjer, når du arbejder med formler og ligninger. Beregn en værdi med et CAS-værktøj Du kan bruge et CAS-værktøj, når du skal løse ligninger eller beregne en værdi ved hjælp af en formel. CAS-værktøjer kan regne med bogstaver, og kan derfor bruges til at løse ligninger helt automatisk. Figuren her viser et spisebord set oppefra. x x Sidelængden på det kvadratiske stykke af bordet er ukendt, så den kan du kalde x. Det er altså en variabel. Hvis størrelsen af x ændres, så ændres fx omkredsen af spisebordet også. Du kan finde omkredsen af spisebordet ved at bruge denne formel: O = π x + 2 x Hvis x fx er 2 meter, bliver omkredsen: O = π = 10,28 m Med CAS-værktøjet kan du også beregne, hvad x skal være, hvis bordets omkreds skal være 12 meter. Undersøg sammenhænge med regneark Du kan skrive formler i regneark og bruge regnearkets celler som pladsholdere for de variable. Når du indsætter forskellige tal på de variables pladser, beregner regnearket resultaterne. Du kan også bruge et regneark til at undersøge en sammenhæng i en formel. Hvis du fx skal undersøge, hvor mange danske kroner et antal euro svarer til, kan du skrive en formel i regnearket. Du kan kopiere formlen til cellerne nedenunder, så du kan se, hvad forskellige antal euro svarer til. CAS-værktøjet beregner altså en værdi for den ubekendte, som tit kaldes x, men også kan kaldes andre bogstaver. OPGAVE 8 Brug et CAS-værktøj til at beregne en værdi for den ubekendte i disse ligninger: 1. π + 3 x = x + 95 = a + 24 = 46, b + 7,5 = π d = 16 OPGAVE 9 Brug et digitalt værktøj til at undersøge, hvilke forskellige hele tal der kan være længde og bredde i et rektangel med omkredsen 24. I kan bruge formlen: O = 2 l + 2 b b l 98 Ligninger og formler

99 A LAV LIGNINGER A 37 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. 2 x + 4 = 3 x 6 x er 10 I skal bruge: fire sæt talkort 1-9 (A37), regneark eller CAS-værktøj. I skal placere tallene 1-9 på de tomme streger i ligningen, som står nederst i rammen. I må gerne bruge det samme tal flere gange. I skal lave forskellige ligninger, hvor x bliver et helt tal mellem 1 og 20, når I løser ligningen. Brug et digitalt værktøj til at tjekke og løse jeres ligninger. x + = x OPGAVE 10 Undersøg, hvilke tal mellem 1 og 9 I kan indsætte på de tomme streger i ligningerne, hvis x skal blive et helt tal mellem 1 og 20, når I løser ligningerne. Brug et digitalt værktøj. Find løsninger til mindst tre opgaver. 1. x + 25 = = x x + = = x 5. x + 4 = 6. = x 11 OPGAVE 12 Skriv en ligning, der passer til hver vægt. Løs ligningerne. a c b d OPGAVE 11 Skriv to ligninger med x er på begge sider af lighedstegnet, som har: 1. løsningen x = 3 2. løsningen x = 8 3. en løsning, som I selv vælger. I kan bruge et digitalt værktøj. e f Opgaver 99

100 A FORMLER I REGNEARK A 38 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: aktivitetsark (A38), saks, regneark. Hvilken formel kan beskrive sammenhængen mellem, hvor mange timer et antal dage svarer til? Vi kan gange den her celle med 24 I skal klippe kortene fra aktivitetsark A38 ud og lægge dem i en bunke med bagsiden opad. I trækker nu et kort. På kortet står der en sammenhæng fra hverdagen. I skal lave en eller flere formler i et regneark, som kan bruges til at beskrive sammenhængen på kortet. Når I har lavet en formel, prøver I efter, om formlen virker, ved at indsætte tal i stedet for de variable. Sammenlign resultatet, som I har beregnet ved hjælp af formlen, med et overslag. Træk herefter et nyt kort. Åbn en ny fane i regnearket til hver formel, så I gemmer alle formlerne i samme regneark. Når I har lavet alle de formler, I kan, skal I lave en film, hvor I forklarer, hvilken sammehæng en af jeres formler beskriver. Forklar, hvilke variable der er i formlen, og vis, hvordan den kan bruges til at beregne en sammenhæng. 100 OPGAVE 13 Ida er 5 år ældre end sin lillesøster. Denne formel beskriver sammenhængen mellem Idas alder og hendes lillesøsters alder: Lillesøsters alder = Idas alder - 5 Lav en formel, som beskriver sammenhængen mellem: 1. din alder og alderen på en elev i 1. klasse. 2. din alder og en af dine søskendes eller en af dine forældres alder. 3. din alder og en af dine bedsteforældre eller en anden fra din families alder. OPGAVE 14 Lav en formel, som kan bruges til at: 1. beregne omkredsen af en regulær 10-kant. 2. beregne antallet af piger i din klasse, når du ved, hvor mange I er i alt. 3. beregne, hvad en pris i amerikanske dollar cirka svarer til i danske kroner, hvis valuta- kursen er cirka beregne, hvad et antal æbler koster, hvis stykprisen er 4,50 kr. Ligninger og formler OPGAVE 15 Formlerne herunder mangler en variabel, som skal stå i den grønne firkant. Find ud af, hvilken variabel der mangler i hver formel. Forklar også, hvilke sammenhænge formlerne beskriver, og hvad de kan beregne. Løs mindst fem opgaver. 1. antal timer 60 = 2. antal timer 24 = 3. antal år 52 = 4. antal km = 5. antal m = 6. antal sekunder 60 =. 10 = antal mm = antal ml O 36

101 A KONDITAL A AKTIVITET FOR 3 TIL 4 PERSONER. I skal bruge: et stopur, en bænk (35 cm høj), en løbebane, regneark eller CAS-værktøj. I skal måle jeres kondital. Et kondital fortæller noget om, hvor god form man er i. I kan enten måle jeres kondital ved at gennemføre en steptest eller en løbetest. På aktivitetsark A39 og A40 kan I se, hvordan I gennemfører de to test. Når I har gennemført steptesten eller løbetesten, kan I bruge disse formler til at beregne jeres kondital. Op! Steptesten 240 Kondital = 2 (Puls 1 + Puls 2 + Puls 3 ) 100 I tabellen herunder kan I se, hvilke kondital der svarer til at være i god eller dårlig form ifølge steptesten. Løbetesten Kondital = Længde du har løbet I tabellen herunder kan I se, hvilke kondital der svarer til at være i god eller dårlig form ifølge løbetesten. Form Kondital Super >96 God Middel Under middel Dårlig <54 Form Drenge 5-14 år Piger 5-14 år Super >57 >52 God Middel Under middel Lav <38 <34 I skal bruge et digitalt værktøj til at løse opgaverne på denne side. OPGAVE 16 Jakub og Ida har gennemført steptesten. Ida målte sin puls, som I kan se herunder. Puls 1 64 Puls 2 53 Puls Beregn Idas kondital. 2. Hvilken form svarer Idas kondital til? Jakub beregnede sit kondital til 75. Hans Puls 1 var højere end hans Puls 2, og hans Puls 2 var højere end hans Puls Giv to forskellige bud på, hvad Jakubs tre pulsmålinger kan have været, for at det passer med et kondital på 75. OPGAVE 1 Mikkel og Julie har gennemført løbetesten. Mikkel løb 2890 meter på de 12 minutter. 1. Beregn Mikkels kondital. Julie beregnede sit kondital til Hvilken form svarer Julies kondital til? 3. Hvor langt løb hun på de 12 minutter? 4. Hvor langt skulle hun have løbet for at få et kondital på 48? Opgaver 101

102 I skal bruge et digitalt værktøj til at løse opgaverne på denne side. OPGAVE 18 F Jasmin har lavet steptesten med sin familie. Både hendes mor, far og storebror har gennemført testen. Jasmin har tastet deres resultater ind i et regneark og skrevet denne formel, så hun kan få regnearket til at beregne konditallet. Jasmin har beregnet disse kondital for sin familie: Hun er kommet til at slette alle Puls 3 -målingerne i regnearkets kolonne D. Undersøg, hvilke Puls 3 -målinger der kan have stået i kolonne D. OPGAVE 20 Denne formel kan bruges, når man vil beregne en gennemsnitsfart. fart i km/t = afstand i kilometer, km tid i timer, t Brug formlen til at løse opgaverne herunder. 1. Victors far har kørt 100 km på 1,5 timer. Hvilken gennemsnitsfart har Victors far kørt med? 2. Malte har cyklet 40 km på 2,25 timer. Hvilken gennemsnitsfart har Malte kørt med? 3. Anna ved, at hun går med en gennemsnitsfart på 5 km/t. Hun går i 1 2 time. Hvor langt går Anna? 4. Julies mor skal køre 120 km. Hun må køre med en gennemsnitsfart på 80 km/t. Hvor lang tid går der, før Julies mor kommer frem? 5. Yesser cykler med en gennemsnitsfart på 18 km/t. Han cykler 2,5 timer en eftermiddag. Hvor langt har Yesser cyklet? OPGAVE 19 F Lucas har fundet denne formel på internettet. Max-puls = 208 0,7 alder i år Formlen beskriver sammenhængen mellem en persons alder i år, og den højeste puls (max-puls) en person kan have. Formlen kan bedst bruges til at beregne max-pulsen for personer, som ikke dyrker meget idræt. 1. Noah er 14 år. Beregn Noahs max-puls. 2. Beregn jeres egen max-puls. 3. Noah har beregnet sin lillesøsters max-puls til 201,7. Hvor gammel er Noahs lillesøster? 4. Hvilken alder skal en person have, for at max-pulsen er under: a. 200? b. 175? c. 150? OPGAVE 21 Undersøg, hvilke hele tal længden og bredden af et rektangel kan have, hvis arealet skal være 24. Du kan fx vise dine resultater i et skema. Længde Bredde Areal 24 O Ligninger og formler

103 //ikon for model 2// EVALUERING OPGAVE 1 1. Lav seks kort. Skriv et af følgende begreber på hvert kort: ligning, pladsholder, formel, variabel, CAS-værktøj, ubekendt. 2. Læg kortene på bordet, så I kan se dem. 3. Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle har forstået begrebet, lægger I kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter, indtil alle kortene er forklaret og forstået. 4. Hvis der er nogle begreber, I ikke kan forklare eller forstå, så skal I hænge kortene med disse begreber op på tavlen. 5. Kig på tavlen, om der er begreber, I kan forklare en anden gruppe. OPGAVE 2 Løs mindst fire af ligningerne, og forklar, hvordan I løser dem. I skal bruge et digitalt værktøj til at løse to af ligningerne. 1. x + 5 = x 13 = x 5 = x + 5 = x = x 4 = 4 x x + 1 = 2 x x + 3 = 5 x π r = h 13 = 923 OPGAVE 3 Tre kager koster tilsammen 53 kr. Den dyreste kage koster 12 kr. mere end den billigste. Den næstdyreste kage koster 5 kr. mere end den billigste. Hvad koster hver af kagerne? Skriv en ligning, der passer til regnehistorien, og løs den. OPGAVE 4 I kan bruge formlen herunder til at beregne omkredsen af figuren, hvis I kender a. O = 2 a 3 + a π 2 a 2 a 1. Forklar, hvad de forskellige tal og variable i formlen viser. 2. Beregn omkredsen, når: a. a = 3 b. a = 5 3. Hvis omkredsen er cirka 30, hvad kan a så være? Brug et digitalt værktøj. OPGAVE 5 Lav en formel, som kan bruges til at: 1. beregne omkredsen af en regulær 12-kant. 2. beregne et familiemedlems alder, hvis man kender jeres alder. 3. beregne, hvad en pris i svenske kroner svarer til i danske kroner. Brug valutakurs 82,80 eller find dagens kurs på internettet. OPGAVE 6 Lav jeres egen formel, og forklar, hvilken sammenhæng den beskriver. Vis med et eksempel, hvad jeres formel kan beregne. E 8 Evaluering 103

104 TRÆN 1 OPGAVE 1 Løs mindst fem ligninger x = 2 2. x + 9 = x 5 = x 3 = x 2 = x = x + 6 x 1 = x + x = x 2 x + 5 = 21 OPGAVE 2 1. Skriv mindst to ligninger, som hver har løsningen x = Skriv mindst to ligninger, som hver har løsningen x = Skriv mindst to ligninger, som hver har løsningen x = Skriv en regnehistorie, som kan passe til en af ligningerne. OPGAVE 4 Skriv en formel, som viser sammenhængen mellem: 1. antallet af skoleborde og antallet af bordben. 2. antallet af børn og antallet af fingre. 3. antallet af cykler og antallet af hjul. 4. antallet af is til 9 kr. og den samlede pris. OPGAVE 5 Du kan bruge denne formel, når du skal beregne, hvad en pris i euro svarer til i danske kroner. pris i danske kroner = pris i euro kurs 100 Malte vil købe nye rulleskøjter. Han har fundet dem, han gerne vil have, i en tysk webshop. Her koster rulleskøjterne 249,90 euro. I en dansk butik koster rulleskøjterne 2199 kr. Beregn, om det kan betale sig for Malte at købe rulleskøjterne i den tyske webshop. Brug valutakurs 746,40 eller find dagens kurs på internettet. OPGAVE 3 Brug formlerne for areal eller rumfang til at finde arealet eller rumfanget af figurerne herunder. Løs mindst tre opgaver. s = 25 m a d s = 25 m A = s s A = 1 2 h g b = 4 cm b h = 3 cm A = 1 2 h (a + b) h = 75 cm g = 9 cm f c a = 7 cm e s = 8 cm h = 5 cm l = 10 cm V = l b h b = 6 cm h = 5 cm A = h g s = 8 cm A = 3 4 s s g = 10 cm 104 Ligninger og formler

105 TRÆN 2 OPGAVE 1 Løs mindst fem ligninger x 2 = x = x + 6 x 2 = x x = = 3 x + 6 x x + 5 = 7 x x = 6 x x = 4 x x + 2 = x OPGAVE 2 1. Skriv mindst tre ligninger, som hver har løsningen x = Skriv mindst tre ligninger, som hver har løsningen x = Skriv mindst tre ligninger, som hver har løsningen x = Skriv en regnehistorie, som kan passe til en af ligningerne. OPGAVE 3 Brug formlerne for areal eller rumfang til at finde de længder, der mangler på figurerne herunder. OPGAVE 4 Lav en formel, som kan bruges til at beregne: 1. omkredsen af denne figur. s s 2. den samlede pris for sodavand, når en sodavand koster 9,95 kr. inkl. pant. 3. antallet af minutter, der er tilbage af en matematiktime. OPGAVE 5 Når man skal finde ud af, hvor mange procent man har sparet ved at købe en vare på tilbud, kan man bruge denne formel. besparelse i % = normalpris tilbudspris normalpris 100 Cille har købt en bluse på tilbud. Hun betalte 149 kr. for den. Blusens normalpris var 229 kr. 1. Beregn Cilles besparelse i procent. Emma har sparet 40 % på et par bukser. Hun betalte 177 kr. for bukserne. 2. Beregn, hvad buksernes normalpris var. a d A = 144 cm 2 A = s s b = 6 cm A = 1 2 h g b A = 72 cm 2 A = 1 2 h (a + b) A = 20 cm 2 g = 8 cm f a = 10 cm h = 10 cm V = 1000 m 3 V = l b h c e b = 5 cm A = 45 cm 2 A = 75 m 2 A = h g h = 9 cm A = 3 4 s s Træning 105

106 TEMA/PROJEKT PROGRAMMÉR FORMLER Når man programmerer, skriver man koder, som er en slags ordrer, der får com- puteren til at gøre bestemte ting. Man bruger tit formler eller variable i koderne. Det er nødvendigt at programmere, når man fx vil lave computerspil, hjemme- sider og apps. PROJEKT FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: geometriprogrammer, regneark eller særlige programmer til programmering. I dette tema skal I programmere ved at bruge formler og variable i digitale værktøjer. I skal arbejde med opgave 1 og 5 og må selv vælge, hvilke af opgaverne 2, 3 og 4 I også vil arbejde med. 1. PROGRAMMÉR HINANDEN I skal programmere hinanden til at gå en regulær polygon efter en kode, dvs. nogle bestemte ordrer, som I giver til jeres makker. Hvilken kode skal man give til en, som skal gå en regulær trekant? En regulær sekskant? Overvej, om der er nogle ordrer, som I kan gentage. Skriv hele koden ned. Gå 5 skridt lige frem. Drej 120 grader mod uret Hvorfor 120 grader og ikke 60 grader? Vinklen er da 60 grader Min figur går 20 lige frem og drejer så 120 grader. Det vil jeg have, at den skal gentage tre gange i alt 2. PROGRAMMÉR FIGURER I ET DIGITALT VÆRKTØJ I skal lave et program, der kan tegne en figur i et digitalt værktøj. Det kan fx være i et geometriprogram eller i et programmeringsprogram. I kan fx programmere, at der bliver tegnet en regulær polygon, et parallelogram, et hjerte, en stjerne, en trappe, en zigzag-stribe osv. Hvilke koder skal I skrive i et programmeringsprogram? Hvordan kan I bruge et geometriprogram? 106 Ligninger og formler

107 Det her tal plus det her, så har vi en additionsmaskine Jeg får regnearket til at lave et tilfældigt tal 3. PROGRAMMÉR REGNEMASKINER I skal programmere regnemaskiner. Det kan fx være en maskine, som laver en masse regnestykker, I kan øve jer på at løse. Det kan være gangestykker, plusstykker osv. Måske kan I få jeres regnemaskine til at kontrollere jeres svar? Hvilke formler laver I? Få en anden gruppe til at prøve jeres regnemaskine. Jeg skal have to variable i min formel Mit program kan beregne den tredje vinkel i en trekant 4. PROGRAMMÉR FORMLER I skal lave et program, som bruger en formel til at beregne noget. Lav fx et program, som kan beregne omkredsen af en cirkel, når I skriver diameter eller et program, som kan beregne omkredsen af et rektangel, når I skriver længde og bredde. I kan også lave et program, som kan beregne areal eller rumfang af andre figurer. I kan programmere en formel, som kan beregne størrelsen af den sidste vinkel i en trekant, hvis I kender størrelsen af de to andre vinkler. I kan også programmere formler, som kan omregne mellem danske kroner og euro, svenske kroner eller en anden valuta. Forklar, hvilke formler og hvilke variable I har brugt. 5. LAV JERES EGET PROGRAM I skal lave jeres eget program. Det kan være et program, som tegner eller beregner noget bestemt eller måske et program, som kan vise eller gøre noget helt andet. Præsenter jeres program for de andre grupper, og lad dem prøve jeres program. Forklar, hvilke formler og hvilke variable I har brugt. Jeg har programmeret et spil Tema/projekt 107

108 GEOMETRISK TEGNING MÅL At du lærer: at tegne midtnormaler, vinkelhalveringslinjer og medianer at tegne den indskrevne og omskrevne cirkel i en trekant at tegne arbejdstegning og isometrisk tegning med brug af længdeforhold at tegne i krydsperspektiv at bruge et geometriprogram til at undersøge, midtnormaler, vinkelhalveringslinjer og medianer i forskellige typer trekanter. BEGREBER OG ORD vinkelret diagonal centrum cirkelperiferi længdeforhold arbejdstegning isometrisk tegning midtnormal vinkelhalveringslinje median indskrevne cirkel omskrevne cirkel frontperspektiv krydsperspektiv FORHÅNDSVIDEN Hvilke begreber og billeder hører sammen? Forfra Fra siden Oppefra 2 cm 2 cm 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm Begreber arbejdstegning isometrisk tegning perspektivtegning længdeforhold 1:3 længdeforhold 2:1 OPGAVE 1 1. Forklar hvad disse længdeforhold betyder. a. 1:100 b. 200:1 c. 1:500 d. 50:1 2. Skriv for hvert længdeforhold, om virkeligheden er større eller mindre end tegningen. 108 Geometrisk tegning

109 A STYR PÅ BEGREBERNE A 41 AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: geometriprogram og begrebskort (A41). Klip begrebskortene ud og læg dem på bordet, så I kan se, hvad der står på dem. På hvert kort står der et begreb samt en opgave. Træk på skift et kort med et begreb, som I kan huske, hvad betyder. Løs opgaven på kortet i fællesskab ved hjælp af et geometriprogram. Når alle i gruppen er enige om, at opgaven på kortet er løst, og alle forstår begrebet, skal I trække en ny opgave. Hvis der er kort med opgaver, som I ikke kan løse, skal I aflevere dem til jeres lærer. Afslutningsvis kan I fælles i klassen gennemgå disse kort, enten ved at en anden gruppe viser, hvordan de har løst opgaven, eller ved at I løser opgaven sammen i klassen. OPGAVE 2 A Byg hver en figur med 5-10 centicubes. 2. Tegn en arbejdstegning, isometrisk tegning og perspektivtegning af figuren. 3. Byt figur og tegn arbejdstegning, isometrisk tegning og perspektivtegning af hinandens 2,1 m a 2,7 m b figurer. 4. Tjek hinandens tegninger ved at sammenligne jeres tegninger af hver figur. 1,5 m 2,3 m 1,9 m OPGAVE 3 F 0,3 m 1,3 m Viktors forældre vil have lavet en åbning mellem c to stuer, så de kontakter MULTItegn og byg for at få nogle forslag til, hvordan det kan gøres. De får fire forslag til, hvordan åbningen kan se ud. 1. Tegn de fire åbninger i længdeforhold 1:20 på papir og i et geometriprogram. 2. Lav mindst to andre forslag til, hvordan åbningen kan se ud. Åbningen skal være mindst 2,3 m 2 m 0,3 m d 2 meter høj og 1 meter bred. 0,5 m 2,1 m 0,6 m 1 m O ,2 m Opgaver 109

110 T VINKELHALVERINGSLINJE, MIDTNORMAL OG MEDIAN Vinkelhalveringslinje En linje, der deler en vinkel i to lige store vinkler, kaldes en vinkelhalveringslinje. Du kan tegne en vinkelhalveringslinje med blyant, vinkelmåler og lineal. Eksempel: 1. Mål vinklen. Den er Halvdelen er 80 er 40, derfor skal vinklen mellem et vinkelben og vinkelhalveringslinjen være 40. Midtnormal 3. Begge vinkler er 40. En midtnormal er en linje, der går vinkelret gennem midtpunktet af et linjestykke. Du kan tegne en midtnormal med blyant, lineal og vinkelmåler. Eksempel: 1. Mål linjestykket og afsæt et punkt midt på linjestykket. Linjestykket er 6 cm, halvdelen af 6 cm er 3 cm. 2. Mål en vinkel på 90 med en vinkelmåler og tegn midtnormalen. 3. Vinklen mellem linjestykket og midtnormalen er ret. Median I trekanter kan du tegne en median. En median er et linjestykke, der går fra en vinkelspids til midten af den modstående side. Du kan tegne en median med blyant og en lineal. Eksempel: 1. Mål en side i trekanten og afsæt et punkt midt på siden. Siden er 8 cm, halvdelen af 8 cm er 4 cm. 2. Tegn en linje fra midten af siden til modstående vinkelspids. 3. Du kan tegne tre medianer i en trekant. 110 OPGAVE 4 1. Brug vinkelmåler og lineal. Tegn fem vinkler med gradtallene: a. 40 b. 78 c. 90 d. 110 e Tegn vinkelhalveringslinjen til hver af vinklerne. 3. Løs derefter opgaven i et geometriprogram. Geometrisk tegning OPGAVE 5 1. Brug vinkelmåler og lineal. Tegn fire linjestykker med længderne: a. 5 cm b. 8 cm c. 11 cm d. 14 cm 2. Tegn midtnormalerne til hvert af linjestykkerne. 3. Løs derefter opgaven i et geometriprogram. O 40

111 OPGAVE 6 Brug et geometriprogram. 1. Tegn en trekant. 2. Tegn vinkelhalveringslinjerne for hver af vinklerne i trekanten. 3. Træk i vinkelspidserne på trekanten. Læg mærke til vinkelhalveringslinjerne. Beskriv, hvad I opdager. Prøv fx at gøre trekanten: retvinklet spidsvinklet ligesidet stumpvinklet ligebenet OPGAVE 8 Brug et geometriprogram 1. Tegn en trekant. 2. Tegn de tre medianer i trekanten. 3. Træk i vinkelspiserne på trekanten. Læg mærke til medianerne. Beskriv, hvad I opdager. Prøv fx at gøre trekanten: retvinklet spidsvinklet ligesidet stumpvinklet ligebenet OPGAVE Brug et geometriprogram. 1. Tegn en trekant. 2. Tegn midtnormalerne for hver af siderne i trekanten. 3. Træk i vinkelspidserne på trekanten. Læg mærke til midtnormalerne. Beskriv, hvad I opdager. Prøv fx at gøre trekanten: retvinklet spidsvinklet ligesidet stumpvinklet ligebenet A BALANCETREKANTEN AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: lineal, vinkelmåler, saks, karton og nål/søm. I skal klippe mindst seks forskellige trekanter ud i karton. I skal undersøge, om I kan få trekanterne til at balancere på en nål eller et søm. 1. Undersøg, om trekanterne kan balancere på skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjerne. 2. Undersøg, om trekanterne kan balancere på skæringspunktet mellem midtnormalerne. 3. Undersøg, om trekanterne kan balancere på skæringspunktet mellem medianerne. Opgaver 111

112 T INDSKREVNE OG OMSKREVNE CIRKEL Indskrevne cirkel Skæringspunktet for vinkelhalveringslinjerne i en trekant er centrum for den indskrevne cirkel. Den indskrevne cirkel rører trekantens sider, og radius (r) er lig med afstanden fra centrum til trekantens sider. Omskrevne cirkel Skæringspunktet for midtnormalerne i en trekant er centrum for den omskrevne cirkel. Den omskrevne cirkel går gennem alle tre vinkelspidser på trekanten. r c r OPGAVE 9 Brug lineal, vinkelmåler og passer. 1. Tegn en spidsvinklet, en stumpvinklet og en retvinklet trekant. 2. Tegn vinkelhalveringslinjerne for hver af vinklerne i trekanterne. 3. Tegn den indskrevne cirkel for hver trekant. OPGAVE 10 Brug lineal, vinkelmåler og passer. 1. Tegn en spidsvinklet, en stumpvinklet og en retvinklet trekant. 2. Tegn de tre midtnormaler i hver af trekanterne. 3. Tegn den omskrevne cirkel for hver trekant. OPGAVE I hvilken trekant er der tegnet den indskrevne cirkel? 2. I hvilken trekant er der tegnet den omskrevne cirkel? a c d b O Geometrisk tegning

113 A CENTRUM AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: geometriprogram. 1. Brug et geometriprogram til at undersøge, om I kan tegne en trekant, hvor centrum for den omskrevne cirkel ligger: inden i trekanten uden for trekanten på en af siderne i trekanten. Hvis I finder trekanter, hvor ovenstående kan tegnes, skal I skrive, hvilke(n) type(r) trekant(er) I har tegnet. 3. Undersøg, i hvilken type trekant centrum for den indskrevne cirkel og den omskrevne cirkel ligger det samme sted. 2. Brug et geometriprogram til at undersøge, om I kan tegne en trekant, hvor centrum for den indskrevne cirkel ligger: inden i trekanten uden for trekanten på en af siderne i trekanten. Hvis I finder trekanter, hvor ovenstående kan tegnes, skal I skrive, hvilke(n) type(r) trekant(er) I har tegnet. OPGAVE 12 Tegn mønsteret i længdeforhold 2:1. OPGAVE 13 Brug et geometriprogram. 1. Tegn en trekant, hvor diameteren i den omskrevne cirkel er 8 cm. 2. Tegn en stumpvinklet trekant, hvor skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjerne ligger på en af midtnormalerne i trekanten. 3. Tegn en trekant, hvor skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjerne ligger samme sted som skæringspunktet mellem midtnormalerne. 4. Tegn en trekant, hvor medianerne deler trekanten i seks trekanter, der er kongruente. Opgaver 113

114 T ARBEJDSTEGNING, ISOMETRISK TEGNING OG LÆNGDEFORHOLD Du kan tegne arbejdstegning og isometrisk tegning i et bestemt længdeforhold. På en arbejdstegning kan du måle alle længder. På en isometrisk tegning kan du kun måle længder i tre retninger. Eksempel: Her er den samme centicubefigur tegnet som arbejdstegning og isometrisk tegning i længdeforholdet 1:1. Den ene sideflades diagonaler er tegnet. På arbejdstegningen er længden af siderne og diagonalerne den samme som i virkeligheden. På den isometriske tegning er længden af siderne den samme som i virkeligheden, men diagonalerne har ikke samme længde som i virkeligheden. For begge tegninger gælder det, at skæringspunktet mellem diagonalerne svarer til midtpunktet af sidefladen på centicubefiguren. Forfra Fra siden Oppefra OPGAVE Byg centicubefiguren fra teoriboksen. 2. Mål forskellige afstande (fx højde, diagonaler, bredde og længden) på både centicubefiguren, arbejdstegningen og den isometriske tegning i teoriboksen. 3. Sammenlign afstandene på tegningerne og centicubefiguren. Hvilke afstande er ens? OPGAVE 16 F A 64 Eleverne fra 6.x skal bygge en opbevaringskasse. De kan vælge mellem to forskellige designs: OPGAVE 15 A Byg en centicubefigur af 5-10 centicubes. 2. Tegn arbejdstegning og isometrisk tegning i længdeforhold 3:1. 3. Marker midtpunktet på hver af centicubefigurens sideflader på tegningerne. Vælg et design og tegn en arbejdstegning og en isometrisk tegning af opbevaringskassen i længdeforhold 1: Geometrisk tegning

115 A DESIGN AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: geometriprogram, vinkelmåler, lineal, passer, blyant og evt. materialer til at bygge en model. I skal i grupper designe en reol eller et sengebord. I skal tegne arbejdstegning og isometrisk tegning i længdeforhold. I skal selv vurdere, hvilket længdeforhold der er passende. I kan også tegne en perspektivtegning af jeres design, bygge en model eller lave en præsentationsvideo. Lav en udstilling, hvor I præsenterer jeres design. OPGAVE 1 Når man ser figuren oppefra, har den form som et kvadrat. Sidelængden er 5 cm. Når man ser den forfra og fra siden, har den form som et rektangel. Højden er 10 cm, og bredden er 5 cm. 1. Hvilken figur er det? 2. Tegn en arbejdstegning og en isometrisk tegning af figuren. OPGAVE 18 F Når man ser figuren oppefra, har den form som en cirkel. Diameteren er 10 cm. Når man ser den forfra og fra siden, har den form som et rektangel. Højden er 20 cm, og bredden er 10 cm. 1. Hvilken figur er det? 2. Tegn en arbejdstegning af figuren i længdeforhold 1:2. OPGAVE 19 F A Tegn en kasse på isometrisk papir, der er 4 cm x 4 cm x 4 cm. Brug en blå farve. 2. Tegn en pyramide inden i kassen med samme grundflade som kassen. Pyramidespidsen skal netop ramme midten af kassens øverste sideflade. Brug en rød farve. OPGAVE 20 F A 63 Tegn et tårn med fire kuber på isometrisk papir 0,5 cm. De fire kuber har forskellig størrelse. Den nederste kube er den største, oven på den står den næstestørste kube osv. Den øverste kube har sidelængden 1 cm. Den står midt på en kube, som har en sidelængde, der er dobbelt så stor. Den kube står på midten af en kube, som har en sidelængde, der er dobbelt så stor. Og denne kube står på midten af den nederste kube, som har en sidelængde, der er otte gange så stor som den øverste kube. O 42 Opgaver 115

116 T KRYDSPERSPEKTIV En perspektivtegning med ét forsvindingspunkt kaldes et frontperspektiv. I et krydsperspektiv er der to forsvindingspunkter på horisontlinjen. I perspektivtegning gælder det også, at skæringspunktet mellem diagonalerne på en rektangulær figur svarer til midtpunktet af figuren. Placeringen af horisontlinjen bestemmer, fra hvilket perspektiv figuren ses. Frøperspektiv Normalperspektiv Krydsperspektiv Fugleperspektiv OPGAVE Tegn en kasse i frontperspektiv, hvor a. horisontlinjen ligger over kassen (fugleperspektiv) b. horisontlinjen ligger under kassen (frøperspektiv) c. horisontlinjen går igennem kassen (normalperspektiv). 2. Find midtpunktet af siderne. 3. Løs opgaven i et geometriprogram. OPGAVE Tegn en kasse i krydsperspektiv således: a. Tegn horisontlinjen og tegn et lodret linjestykke under horisontlinjen. Det er den forreste kant af kassen. b. Afsæt to forsvindingspunkter på horisontlinjen. c. Tegn derefter dybdelinjerne fra de forreste hjørner af kassen til hvert forsvindingspunkt. d. Afsæt et lodret linjestykke på hver side af kassen. De bestemmer, hvor lang og bred din kasse skal være. e. Tegn kassens bagerste hjørne ved at tegne de to dybdelinjer, der mangler fra de to øverste hjørner til forsvindingspunkterne. f. Farv kanterne på kassen røde. g. Find midtpunktet af mindst to af sidefladerne. 2. Gentag opgaven, hvor placeringen af horisontlinjen ændres, så du har tegnet kassen i fugleperspektiv, frøperspektiv og normalperspektiv. 3. Løs opgave 1 og 2 i et geometriprogram. O Geometrisk tegning

117 EVALUERING OPGAVE 1 1. Lav syv kort. Skriv et af følgende begreber på hvert kort: midtnormal, vinkelhalveringslinje, median, indskrevne cirkel, omskrevne cirkel, frontperspektiv og krydsperspektiv. 2. Læg kortene på bordet, så I kan se dem. 3. Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle har forstået begrebet, lægger I kortet til side. I skiftes til at trække et kort, og fortsætter indtil alle kortene er forklaret og forstået. 4. Hvis der er nogle begreber, I ikke kan forklare eller forstå, så skal I hænge kortene med disse begreber op på tavlen. 5. Kig på tavlen, om der er begreber, I kan forklare en anden gruppe. OPGAVE 5 1. Tegn en ligesidet trekant og en ligebenet trekant. 2. Vis, hvordan den indskrevne og omskrevne cirkel tegnes i hver af trekanterne. OPGAVE 6 Forfra Fra siden Oppefra OPGAVE 2 Vis og forklar hinanden, hvordan vinkelhalveringslinjerne tegnes. I kan fx bruge følgende vinkler: OPGAVE 3 Vis og forklar hinanden, hvordan midtnormalerne tegnes. I kan fx bruge linjestykker med følgende længder: 1. 5 cm 2. 9 cm cm OPGAVE 4 Vis og forklar hinanden, hvordan medianerne tegnes i hver af følgende trekanter: 1. retvinklet trekant 2. Spidsvinklet trekant 3. Stumpvinklet trekant Længdeforhold 1:3 1. Forklar hinanden, hvilke afstande på tegningerne der kan bruges til at bestemme afstande i virkeligheden. 2. Beregn virkelighedens mål for disse afstande. OPGAVE Tegn en tegning med krydsperspektiv og forklar hinanden, hvordan I har gjort E 9 Evaluering 117

118 TRÆN 1 OPGAVE 1 Hvor høje er træerne i virkeligheden? OPGAVE 5 A Tegn arbejdstegning og isometrisk tegning, der passer til centicubefiguren. 2. Indtegn midtpunktet af siderne på tegningerne. OPGAVE 6 Hvilket længdeforhold er tegningerne tegnet i? 75 cm OPGAVE 2 1. Tegn fire vinkler med gradtallene: a. 30 b. 86 c. 98 d Tegn vinkelhalveringslinjen for hver af vinklerne. 3. Løs derefter opgaven i et geometriprogram. OPGAVE 3 1. Tegn tre linjestykker med længderne: a. 4 cm b. 9 cm c. 16 cm 2. Tegn midtnormalerne for hver af linjestykkerne. 3. Løs derefter opgaven i et geometriprogram. 60 cm Forfra 15 cm Fra siden 90 cm 75 cm 75 cm 15 cm 90 cm 60 cm OPGAVE 4 1. Tegn tre forskellige trekanter. 2. I første trekant skal du tegne medianerne, i anden trekant skal du tegne midtnormalerne, og i tredje trekant skal du tegne vinkelhalveringslinjerne. 3. Hvilket skæringspunkt ligger i centrum af den indskrevne cirkel? 4. Hvilket skæringspunkt ligger i centrum af den omskrevne cirkel? Oppefra OPGAVE Tegn et skab i frontperspektiv. Du bestemmer selv placeringen af horisontlinjen. OPGAVE 8 1. Tegn en kasse i krydsperspektiv. 2. Marker midtpunktet af sidefladerne. 118 Geometrisk tegning

119 TRÆN 2 OPGAVE 1 Hvilke linjer er tegnet i hver af trekanterne? a b c OPGAVE 2 1. Tegn en firkant. Tegn vinkelhalveringslinjerne og midtnormalerne. 2. Tegn en femkant. Tegn vinkelhalveringslinjerne og midtnormalerne. OPGAVE 3 Tegn mønsteret i længdeforhold 3:1 OPGAVE 5 Brug et geometriprogram. 1. Tegn en trekant. 2. Tegn vinkelhalveringslinjerne i trekanten. 3. Bestem størrelsen af de seks vinkler ved skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjerne. 4. Undersøg, i hvilken type trekant at alle vinklerne ved skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjerne er ens. 5. Undersøg, i hvilken type trekant at netop fire af vinklerne ved skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjerne er ens. OPGAVE 6 A 64 Tegn en arbejdstegning og en isometrisk tegning af trappen i et længdeforhold, du selv bestemmer. OPGAVE 4 Brug et geometriprogram. 1. Tegn en trekant, hvor radius af den omskrevne cirkel er 4,5 cm. 2. Tegn en trekant, hvor diameteren af den indskrevne cirkel er 5 cm. 3. Tegn en firkant, hvor der kun er ét skæringspunkt mellem vinkelhalveringslinjerne. OPGAVE Tegn et hus i krydsperspektiv. Huset skal have en trekantet gavl. Tegn også dør og vinduer. Træning 119

120 TEMA/PROJEKT HØJDER DU IKKE KAN NÅ PROJEKT FOR 3 PERSONER. I skal bruge jeres viden om længdeforhold og ligedannede figurer til at finde højden af ting, som I ikke kan måle. I kan bruge to forskellige metoder. Metode I I skal bruge: kamera, geometriprogram og en meterlineal. I skal finde en genstand, som er så høj, at I ikke kan måle højden af den med et målebånd. Det kan fx være et træ, en lygtepæl, en flagstang eller en bygning. I skal tage et billede af den genstand, I vælger, så I får hele højden med. Når I tager billedet, skal en af jer stå med meterlinealen ved siden af genstanden. Hvis I ikke har en meterlineal, kan I bruge en anden genstand, som I kender højden af, fx jer selv. Sørg for at tage fire til fem billeder, gerne fra forskellige steder, så I kan undersøge højden fra forskellige vinkler. Nu skal I lægge billederne ind i et geometriprogram, sådan at I kan arbejde med dem. I kan finde højden af jeres genstand, fordi I kender længden af meterlinealen eller jer selv. I kan fx tegne linjestykker oven på billedet og ved hjælp af linjestykkerne bestemme, hvor høj jeres genstand er. Lav en video, som forklarer, hvordan I har fundet ud af, hvor høj jeres genstand er. 120 Geometrisk tegning

121 Metode II I skal bruge: clinometer, målebånd og et geometriprogram. Jeg måler vinklen til 38 Der er 16 m til træet Det gør jeg også I skal finde en genstand, som er så høj, at I ikke kan måle højden af den med et målebånd. Det kan fx være et træ, en lygtepæl, en flagstang eller en bygning. Stil jer et sted, hvor I kan se toppen af genstanden. Brug clinometret til at måle vinklen mellem jorden og genstandens top. I skal også måle, hvor langt der er fra det sted, I måler vinklen fra og til jeres genstand. Denne afstand og højden af jeres genstand, er to sider i en stor retvinklet trekant. I skal nu tegne den store trekant i et geometriprogram. I kan måle, hvor høj jeres genstand er ved hjælp af geometriprogrammet. Lav en video, som forklarer, hvordan I har fundet ud af, hvor høj jeres genstand er. Tema/projekt 121

122 SANDSYNLIGHED OG KOMBINATORIK MÅL At du lærer: at beskrive sandsynligheder med brøker, decimaltal og procent om kombinatorik at bruge kombinatorik til at bestemme sandsynlighed at bruge statistik til at bestemme sandsynlighed at simulere eksperimenter med to eller flere terninger i regneark. BEGREBER OG ORD udfald udfaldsrum sandsynlighed statistik frekvens simulering kombinatorik FORHÅNDSVIDEN Hvert billede viser noget om sandsynlighed eller kombinatorik. Kig på billederne, og svar på spørgsmålene. Simulering I love it Måned 1. Hvilken måned vil I helst rejse til Filippinerne, hvis I vil holde ferie uden regn? Begrund jeres svar ved at beskrive sandsynligheden for godt vejr med brøk, decimaltal og procent. Max. temperatur Min. temperatur Vandtemperatur Solskinstimer Nedbørsdage Januar Februar Marts April Maj Juni Juli August September Oktober November December Hvad er simulering? Hvornår kan det være en fordel at bruge simulering, når man arbejder med sandsynlighed? Eksperiment 1 Yun trækker en mønt fra posen. Efter hvert forsøg lægger hun mønten tilbage i posen. I 1. forsøg trækker Yun en 10-krone. I 2.forsøg trækker hun en 1-krone. Eksperiment 2 Yun trækker en mønt fra posen. Efter hvert forsøg lægger hun ikke mønten tilbage i posen. I 1. forsøg trækker Yun en 10-krone. I 2. forsøg trækker hun en 1-krone 2. Forklar sammenhængen mellem ordene og tegningen på tavlen. 4. Beskriv forskellen på de to eksperimenter. Giv andre eksempler på eksperimenter med og uden tilbagelægning. 122 Sandsynlighed og kombinatorik

123 A MULTI-SPILLET OM SANDSYNLIGHEDER A AKTIVITET FOR 2 TIL 4 PERSONER. I skal bruge: spørgsmålskort (A42), chancekort (A43), MULTI-spillepladen (A44), papir, blyant, to sekssidede terninger, et sæt spillekort og centicubes. Regler: Det gælder om at komme først i mål. I sætter hver en centicube på start på spillepladen. Når det er en spillers tur, trækker en af de andre et spørgsmålskort, og læser det højt. Spilleren skal løse opgaven. Man må gerne bruge papir, men man må ikke bruge lommeregner. Hvis svaret er rigtigt, kaster spilleren terningen. Øjentallet fortæller, hvor mange felter spilleren skal rykke frem på pladen. Hvis en spiller lander på et felt med C, skal spilleren trække et chancekort og læse kortet op. På kortet er der beskrevet et eksperiment. I skal gætte på et bestemt udfald. Skriv hver især jeres gæt på jeres eget papir, inden eksperimentet udføres. Hold svaret hemmeligt, indtil eksperimentet er udført. Den eller dem, der er tættest på det udfald, eksperimentet giver, må rykke det antal felter frem, som kortet viser. Herefter går turen videre til næste spiller. Spillet slutter, når en af jer er kommet i mål. OPGAVE 1 OPGAVE 2 På Bornholm bliver der lavet mange lækkerier til den søde tand bl.a. karameller. Karamellerne ligger blandet i en pose. De sorte er lakridskarameller, de mørkebrune er mokkakarameller, de hvide med røde prikker er chilikarameller, og de lysebrune er flødekarameller. Beskriv sandsynlighederne med brøk, decimaltal og procent. Hvad er sandsynligheden for tilfældigt at trække: 1. en lysebrun karamel? 2. en brun karamel? 3. en karamel der ikke er brun? 4. en lakridskaramel? 5. den type karamel der er færrest af? 6. en ting fra posen, der ikke er en karamel? Du trækker et kort fra bunken med knægte, derefter fra bunken med damer for til sidst at trække et kort fra bunken med konger. 1. Tegn et tælletræ, der viser de mulige udfald. 2. Hvor mange udfald er der i alt? 3. Hvor mange udfald indeholder tre røde billedkort? 4. Hvor mange udfald indeholder tre af samme kulør? O 44 Opgaver 123

124 T KOMBINATORIK Kombinatorik handler om metoder til at finde antal. Det kan fx være antal udfald i et udfaldsrum. Eksempel: I et spil skal du slå med en sekssidet terning og derefter med en firesidet terning. Du kan finde antallet af mulige udfald på flere måder: 1 Tegn et tælletræ Du kan bruge et tælletræ og tælle antallet af mulige udfald. Der er 24 forskellige terningeslag Beregn Du kan beregne antallet af mulige udfald ved at gange antallet af mulige slag med den sekssidet terning med antallet af mulige slag med den firesidet terning: 6 4 = 24 3 Udfyld en tabel I eksemplet er der to terninger, derfor kan du bruge en tabel til at finde antallet af mulige udfald. Du skriver hvert udfald og tæller derefter, hvor mange mulige udfald der er. Firesidet Sekssidet 1 1,1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,2 2,3 2,4 3 3,1 3,2 3,3 3,4 4 4,1 4,2 4,3 4,4 5 5,1 5,2 5,3 5,4 6 6,1 6,2 6,3 6,4 OPGAVE 3 1. Hvor mange låsekombinationer er der? 2. Mathias skal morse. Når man morser, kan man signalere prikker og streger med en lommelygte. Hvis man skal vise en prik, lyser man i kort tid med lommelygten.for at vise en streg skal man lyse tre gange så lang tid som ved en prik. Hvor mange kombinationer kan Mathias lave med prikker og streger, hvis han kun må bruge tre tegn? 3. De fleste nummerplader i Danmark starter altid med to bogstaver efterfulgt af fem tal. I Danmark bruger man ikke I, Q, Æ, Ø og Å i nummerpladerne. De to bogstaver må gerne være ens. Hvor mange bogstavskombinationer kan man lave ud fra de danske regler? 4. For at bruge et dankort skal man have en kode, der består af fire cifre fra 0-9. Hvor mange mulige koder er der til et dankort? 5. I hvilke af ovenstående opgaver kan man bruge metoden med at tegne en tabel til at finde antallet af kombinationer? 124 Sandsynlighed og kombinatorik

125 A KOMBITÅRNE A 45 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: farveblyanter, centicubes og skema (A45). I skal bygge tårne med centicubes i forskellige farver. Hvert tårn skal bestå af to centicubes. I skal undersøge, hvordan antallet af tårne, I kan bygge, ændrer sig afhængigt af, om I må bruge den samme farve flere gange i et tårn. I skal først vise mulighederne med tælletræ, hvor I bruger farveblyanterne. Derefter skal I tegne og udfylde en tabel, der viser kombinationerne. Skriv jeres resultater på aktivitetsarket. OPGAVE 4 OPGAVE 5 F 1. Du trækker en tilfældig kugle fra posen. Efter hvert træk lægger du kuglen tilbage. Hvor mange mulige udfald er der, hvis du trækker en kugle to gange? 2. Du trækker en tilfældig kugle fra posen. Efter hvert træk lægger du ikke kuglen tilbage. Hvor mange mulige udfald er der, hvis du trækker en kugle to gange? 3. Du trækker en tilfældig kugle fra posen. Efter hvert træk lægger du kuglen tilbage. Hvor mange mulige udfald er der, hvis du trækker en kugle tre gange? 4. Du trækker en tilfældig kugle fra posen. Efter hvert træk lægger du ikke kuglen tilbage. Hvor mange mulige udfald er der, hvis du trækker en kugle tre gange? I 6.x skal otte elever trække lod om, hvilken bane de skal svømme på. 1. Hvor mange mulige kombinationer er der for de otte elever? Emilie skal kaste med en basketball fire gange. Ved hvert kast vælger hun selv, hvilken kurv hun vil forsøge at ramme. Hun kan fx forsøge at ramme kurvene i rækkefølgen: kurv 1, kurv 2, kurv 1 og kurv Hvor mange forskellige rækkefølger er der? O 45 Opgaver 125

126 T KOMBINATORIK OG SANDSYNLIGHED Du kan bestemme sandsynligheden for et udfald i et eksperiment ved hjælp af kombinatorik. Du kan omskrive brøken til decimaltal og procent. 1 = 0,25 = 25 % 4 Eksempel: Victor skal kaste med en mønt to gange. Du kan skrive sandsynligheden for at få krone i begge kast med en brøk. I nævneren skriver du antallet af mulige udfald i eksperimentet. I eksemplet er det 4. I tælleren skriver du antallet af udfald, du vil kigge på, altså krone i begge kast. I eksemplet er det Udfald du kigger på antal mulige udfald i alt Sandsynligheden for, at jeg får krone i begge kast, må være 1 ud af 1 4, som hedder 4 eller 0,25 eller 25 % OPGAVE 6 Beskriv sandsynlighederne med brøk, decimaltal og procent. 1. Kig på et terningekast med to terninger. Hvad er sandsynligheden for at få: a. to forskellige øjental? b. en 6 er og en 3 er? c. summen ni? d. en lige sum? 2. Kig på udfaldene ved kast med tre mønter. Hvad er sandsynligheden for, at: a. alle mønterne viser plat? b. alle mønterne ikke viser plat? c. præcist to af mønterne viser krone? d. mindst en af mønterne viser krone? 3. Du trækker to bolde uden tilbagelægning fra posen. Hvad er sandsynligheden for, at du trækker: a. først en blå bold og så en blå igen. b. først en blå bold og så en der ikke er blå. c. først en bold, der ikke er blå og så en bold, der ikke er rød. 4. I en bunke kort er der to røde knægte, to røde damer og to røde konger. Du trækker to kort fra bunken. Efter hvert træk lægger du ikke kortet tilbage. Hvad er sandsynligheden for at trække: a. først en dame og så en dame mere? b. først et kort med en mand og så et kort med en dame? c. først et kort med en dame og så et kort med en mand? d. først en knægt og så en konge? 126 Sandsynlighed og kombinatorik

127 A CHANCESPIL A 46 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: to spillebrikker, en terning og spilleplade (A46). Regler: Sæt jeres spillebrikker på start. Jeres spillebrik skal fra start til et af de farvede felter. I skal først gætte på, hvilket af de farvede felter jeres egen spillebrik vil ende på. Første spiller slår med terningen. Terningens øjne bestemmer, om du skal følge den pil, der går op ad eller den pil der går ned ad. Herefter er det den anden spillers tur. I skal fortsætte til I begge er nået til et farvet felt. Hvis en spiller lander på det felt, han gættede på, får han point. Den spiller, der har flest point efter fem runder, vinder. Herunder er der beskrevet to måder, I skal spille på. Først spiller i fem runder af 1. spil og dernæst fem runder af 2. spil. 1. spil: Hvis terningen viser et lige antal øjne, skal man rykke brikken til det felt, som pilen, der går op ad, peger på. Hvis terningen viser et ulige antal øjne, skal man rykke brikken til det felt, som pilen, der går ned ad, peger på. Man får 1 point, hvis man lander på det felt, man har gættet på. 2. spil: Hvis terningen viser 5 eller 6, skal man rykke brikken til det felt, som pilen, der går op ad, peger på. Hvis terningen viser 1, 2, 3 eller 4, skal man rykke brikken til det felt, som pilen, der går ned ad, peger på. Inden spillet starter, skal I blive enige om, hvor mange point hvert af de farvede felter skal give. Her skal I overveje, hvilke felter der er størst og mindst sandsynlighed for at lande på. OPGAVE OPGAVE 8 Yesser kaster med fire sekssidede terninger. Gæt, hvilket af følgende slag der er størst sandsynlighed for at han slår, og hvilket der er mindst sandsynlighed for at han slår. Begrund jeres svar. 1. Fire ens 2. To par 3. 1,2,3,4 (straight) Yun trækker to tilfældige kort fra et kortspil med 52 kort. Gæt, hvilke af følgende kort der er størst sandsynlighed for, at hun trækker, og hvilke kort der er mindst sandsynlighed for, at hun trækker. Begrund jeres svar. 1. to damer 2. to sorte kort 3. et es og en konge O 46 Opgaver 127

128 T STATISTIK OG SANDSYNLIGHED Vi tæller 100 i alt Jeg har talt 58 elever på cykel og 10, der går Jeg har talt 32 elever, der blev kørt til skole På baggrund af statistik kan vi beskrive sandsynligheden for, at noget bestemt sker igen. Eksempel: Hyppighedstabellen viser frekvensen for, hvordan eleverne kommer til skole. Du kan bruge frekvensen til at beskrive sandsynlig- heden for om den næste elev, der ankommer til skolen, cykler, bliver kørt i bil eller går. Der er størst sandsynlighed for, at den næste elev, der ankommer til skolen, er på cykel. Der er mindst sandsynlighed for, at den næste elev, der ankommer tilskolen, er til fods. OPGAVE 9 I 6.x bytter drengene fodboldkort. De har lavet en statistik over deres fodboldkort. Tabellen viser fordelingen af drengenes fodboldkort, når de tilsammen har 1000 fodboldkort. Korttype Antal Basis spiller 842 Stjernespiller 39 Fans favorit 33 Ungdomsspiller 25 Målmand 23 Forsvars klippe 17 Spilstyrer 13 Målmaskine 5 Verdensklasse 3 Yesser står på mål i sin fritid, og samler derfor på målmænd. 1. Hvad er sandsynligheden for, at det næste kort Yesser får, er en målmand, hvis man bruger drengenes statistik? 2. Hvad er sandsynligheden for, at det næste kort Yesser får, ikke er en målmand, hvis man bruger drengenes statistik? 3. Der er seks fodboldkort i en pakke. Diskuter, hvor mange pakker Yesser skal købe for at være sikker på, at han får en målmand, hvis man bruger drengenes statistik. 128 Sandsynlighed og kombinatorik O 47

129 A KASTE SKOLEMÆLK A 47 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: en tom skolemælk og hyppighedstabel (A47). I skal skiftevis kaste med en skolemælk og sammen notere på et ark, om mælken lander på siden, på proppen (nedad) eller på bunden (opad). Når I har kastet med mælken 100 gange, skal I beskrive sandsynligheden for de forskellige udfald med brøk, decimaltal og procent. Sammenlign jeres statistik med andre grupper i klassen. Viser de det samme? Beskriv på baggrund af klassens samlede data sandsynligheden for hvert af de tre udfald. OPGAVE 10 Antal elever i 6.x Antal søskende i 6.x Antal søskende Pindediagrammet viser, hvor mange søskende eleverne i 6.x har. 1. Lav en hyppighedstabel, der viser data, hyppighed og frekvens. 2. Hvor stor er sandsynligheden for, at en tilfældig elev i 6.x er enebarn? 3. Hvor stor er sandsynligheden for, at en tilfældig elev i 6.x har en eller flere søskende? 4. Hvor stor er sandsynligheden for, at en tilfældig elev i 6.x har mere end to søskende? OPGAVE 11 F A 48 Tabellen på aktivitetsark A48 viser personskader i færdselsuheld med cyklister i Statistikken er inddelt i forskellige typer af læsioner. Læsion betyder skade eller kvæstelse. Brug statistikken til at svare på spørgsmålene herunder. 1. Hvem har registreret skaderne? 2. Hvilke typer af skader er der registreret? 3. Hvor stor er sandsynligheden for, at et barn mellem 7 og 14 år der kommer til skade på cykel, får en hoved- eller halslæsion? 4. Hvor stor er sandsynligheden for, at en person over 65 år der kommer til skade på cykel, får en læsion i hofte, ben eller fod? 5. Hvilke typer af skader er der over 25 % sandsynlighed for, at et barn mellem 0 og 6 år får, hvis det kommer til skade på cykel? 6. Hvilken aldersgruppe har størst sandsynlighed for at få en læsion i skulder, arm eller hånd, hvis de kommer til skade på cykel?. Skriv mindst to opgaver om sandsynlighed, som man kan bestemme på baggrund af statistikken. 8. Byt opgaver med et andet makkerpar og løs hinandens opgave. O 48 Opgaver 129

130 A SIMULERING MED TO TERNINGER AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: regneark. I skal to og to simulere et eksperiment, hvor I kaster med to sekssidede terninger og finder summen. I skal undersøge sandsynligheden for at slå forskellige summer. 1. Overvej følgende, inden I simulerer eksperimentet. a. Hvor mange kast skal der til for, at jeres statistik bliver præcis nok? b. Hvilke summer er mulige med to sekssidede terninger? c. Hvilken sum er der størst sandsynlighed for at slå? d. Hvilke summer er der mindst sandsynlighed for at slå? 2. Simuler eksperimentet i regneark. a. Skriv en formel, så regnearket finder summen af to tilfældige tal mellem 1 og 6. b. Kopier formlen, så I simulerer eksperimentet det antal gange, I blev enige om i 1a. c. Skriv en formel, så regnearket tæller, hvor mange af de simulerede terningeslag der har udfaldet 2. d. Kopier formlen og tilpas den, så regnearket tæller, hvor mange af de simulerede terningeslag der har udfaldet 3. Fortsæt, til I har fundet antallet af hvert af de mulige udfald. 3. Lav en hyppighedstabel, der viser resultatet fra jeres eksperiment. 4. Vurder jeres resultater. a. Hvilken sum eller hvilke summer er der størst sandsynlighed for at slå? b. Hvilken sum eller hvilke summer er der mindst sandsynlighed for at slå? c. Passer resultaterne af jeres simulering, med jeres overvejelser før I simulerede eksperimentet? 5. Nu skal I lave jeres eget eksperiment. I kan fx vælge at slå med tre firesidede terninger og gange de tre slag. Simuler eksperimentet i regneark og lav et diagram eller en tabel, så man kan se resultatet af jeres simulering. Svar på spørgsmålene: a. Hvilket udfald eller hvilke udfald er der størst sandsynlighed for at få? b. Hvilket udfald eller hvilke udfald er der mindst sandsynlighed for at få? 130 Sandsynlighed og kombinatorik

131 EVALUERING OPGAVE 1 1. Lav syv kort. Skriv et af følgende begreber på hvert kort: udfald, udfaldsrum, sandsynlighed, statistik, frekvens, simulering og kombinatorik. 2. Læg kortene på bordet, så I kan se dem. 3. Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle har forstået begrebet, lægger I kortet til side. I skiftes til at trække et kort, og fortsætter indtil alle kortene er forklaret og forstået. 4. Hvis der er nogle begreber, I ikke kan forklare eller forstå, så skal I hænge kortene med disse begreber op på tavlen. 5. Kig på tavlen, om der er begreber, I kan forklare en anden gruppe. Opgave 2 OPGAVE 4 Skriv tre udsagn, som beskriver sandsynligheden for at trække en eller flere tilfældige karameller fra posen. OPGAVE 5 I kaster fire mønter. Brug kombinatorik til at bestemme sandsynligheden for følgende udfald: 1. Alle mønterne viser plat. 2. Præcis to mønter viser plat. 3. Præcis to mønter viser krone. Eksperiment 1: Du trækker en tilfældig bamse. Efter hvert træk lægger du bamsen tilbage. Hvor mange mulige udfald er der, hvis du trækker tre gange? Eksperiment 2: Du trækker en tilfældig bamse. Efter hvert træk lægger du ikke bamsen tilbage. Hvor mange mulige udfald er der, hvis du trækker tre gange? Opgave 3 Når man skal finde antallet af mulige udfald i et eksperiment, kan man bl.a. bruge et tælletræ og en tabel. Giv eksempler på: 1. hvornår det kan være en fordel eller en ulempe at bruge et tælletræ. 2. hvornår det kan være en fordel eller en ulempe at bruge en tabel. OPGAVE 6 Forklar hinanden, hvordan man kan bruge statistik til at beskrive sandsynligheder. I kan fx bruge tabellen herunder. Drenge i 6.x Piger i 6.x Bor i lejlighed 3 5 Bor i hus 10 7 OPGAVE 1. Tal om, hvad man kan bruge simulering til. 2. Beskriv et eksperiment, som I kan udføre med simulering i regneark. 3. Hvilke formler kan I bruge i et regneark, når I skal simulere jeres eksperiment? E 10 Evaluering 131

132 TRÆN 1 OPGAVE 4 OPGAVE 1 1. Hvor mange mulige udfald er der ved kast med to firesidede terninger? 2. Hvad er sandsynligheden for at få summen fem? Beskriv med brøk, decimaltal og procent. 3. Hvad er sandsynligheden for at få en sum, der er mindre end fire? Beskriv med brøk, decimaltal og procent. OPGAVE 2 Vis med tælletræ og udregning, hvor mange forskellige tårne man kan bygge med tre centicubes, hvis man har fire centicubes med farverne gul, orange, grøn og blå. I en bunke kort er der to sorte knægte, to røde damer og to sorte konger. Du skal trække to kort på samme tid. Hvad er sandsynligheden for at trække: 1. to kort, hvor det ene er sort og det andet er rødt? 2. først et sort kort og så et sort kort mere? OPGAVE 5 Sandsynlighed fodboldkort Panini Korttype Antal ud af 100 Basis kort 83 Specielle kort 17 Tabellen viser sandsynligheden for at få fodboldkort, der enten er basis kort eller specielle kort. Der er seks fodboldkort i en pakke. Kan man være sikker på, at der er mindst ét specialkort i en pakke? Begrund dit svar. OPGAVE 6 OPGAVE Kig på udfaldene ved kast med to mønter og en sekssidet terning. 1. Hvor mange mulige udfald er der? 2. Hvad er sandsynligheden for, at: a. begge mønter viser krone, og terningen viser et lige tal? b. at netop en mønt viser krone, og terningen viser et tal større end fire? William og Ida laver et eksperiment med to sekssidede terninger. De laver en simulering i et regneark. Først simulerer de 10 gange og derefter 30 gange. 1. Hvad er typetallet i den 1. simulering? 2. Hvad er typetallet i den 2. simulering? 3. Hvilke mulige udfald er ikke med i den 1. simulering? 132 Sandsynlighed og kombinatorik

133 TRÆN 2 OPGAVE 1 Vis, hvor mange forskellige tårne der kan bygges med tre centicubes, når man kun må bruge den samme centicube en gang, og man har fem centicubes med farverne gul, orange, brun, sort og grå. OPGAVE 2 Kig på udfaldene ved kast med to firesidede terninger. 1. Hvad er sandsynligheden for ikke at få summen fem? 2. Hvilke summer er der lige stor sandsynlighed for at slå? 3. Hvad er der størst sandsynlighed for at få en lige eller en ulige sum? OPGAVE 5 Sandsynlighed fodboldkort Panini Korttype Antal ud af 100 Basis kort 83 Stjernespiller 3 Verdensklasse 0,2 Tabellen viser sandsynligheden for at få forskellige fodboldkort. Et specialkort er alle de kort, der ikke er almindelige basis kort. I en pakke fodboldkort er der seks tilfældige kort. 1. Hvor stor er sandsynligheden for at få et specialkort? 2. Kan man være sikker på, at der er mindst ét specialkort i en pakke? OPGAVE OPGAVE 3 Kig på udfaldene ved kast med fem mønter. 1. Hvor mange mulige udfald er der? 2. Hvad er sandsynligheden for at: a. alle mønterne viser krone? b. at præcis fire mønter viser krone? c. at mindst en af mønterne viser krone? OPGAVE 4 I en bunke kort er der to sorte knægte, to røde damer og to sorte konger. Du skal trække to kort uden tilbagelægning. Hvad er sandsynligheden for at trække: 1. to kort, der ikke har den samme værdi? 2. først et sort kort og så en knægt? 3. først et kort med en dame og så et kort, der ikke er en konge? Louise og Lucas simulerer et eksperiment med summen af tre firesidede terninger. Først simulerer de det 10 gange og derefter 40 gange. 1. Hvor mange forskellige summer kan de få med kast med tre firesidede terninger? 2. Brug kombinatorik til at bestemme sandsynligheden for hver af summerne. 3. Hvilke to summer er der størst sandsynlighed for at de opnår? 4. Hvilke to summer er der mindst sandsynlighed for at de opnår? 5. Hvilken sum har Louise og Lucas opnået flest gange i hver af de to simuleringer? 6. Hvilken sum har Louise og Lucas opnået færrest gange i hver af de to simuleringer?. Sammenlign de sandsynligheder du kan bestemme med kombinatorik med Louise og Lucas simulering. Træning 133

134 BLANDEDE OPGAVER OPGAVE 1 Skriv for hvert regnestykke et andet regnestykke, som giver samme resultat ( 48) : ( 8) 3. ( 7) ( 8) : ( 3) ( 1 2 ) 6. ( 72) : 6. ( 20) 1, : ( 2,5) OPGAVE 2 Skriv et regneudtryk, der passer til hver regnehistorie og find resultatet. 1. Tre piger har en plade chokolade som de deler, Emilie spiser 1 6, Yun 1 4 og Louise 1 3. Hvor stor en brøkdel af chokoladen spiser pigerne tilsammen? 2. Oliver har 1 2 liter sodavand. Han hælder 1 5 liter i et glas. Hvor meget sodavand er der tilbage i flaksen? 3. Otte piger spiser hver 3 4 pizza. Hvor mange pizzaer har pigerne spist i alt? 4. Seks drenge køber hver to 3 4 liter kakaomælk. Hvor mange liter har de købt tilsammen? 5. To piger deler 3 4 kage, hvor stor en brøkdel af hele kagen får de hver? 6. Sofie skal vande blomster for sin mor. En af de store planter skal have 3 liter vand. I vandkanden kan der være 3 4 liter vand. Hvor mange gange skal Sofie fylde vandkanden? OPGAVE 3 1. Tegn tre cirkler med radius 3 cm, 4,5 cm og 6 cm. 2. Find omkredsen af hver cirkel. 3. Bestem arealet af hver cirkel ved at finde arealet af polygoner, der cirka har samme areal som cirklerne. OPGAVE 4 Tegn hver polygon, og bestem arealet ved at triangulere. 1 2 OPGAVE 5 Regn stykkerne. 1. Læg 15 % af 500 til Læg 36 % af 350 til Læg 95 % af 160 til Læg 4 % af 75 til Træk 25 % af 160 fra Træk 48 % af 200 fra 200. Træk 32 % af 150 fra Træk 90 % af 380 fra 380 OPGAVE 6 Længdeforhold 1:3 I MULTI-fitness kan der købes forskellige sportsartikler. Ikke-medlemmer får 5 % rabat. Medlemmer får 15 % rabat. 1. Hvor meget koster hver vare for et ikkemedlem? 2. Hvor meget koster hver vare for et medlem? 134 Sandsynlighed og kombinatorik

135 OPGAVE Du må bruge et digitalt værktøj. Eleverne i 6.x og 6.y har undersøgt, hvor mange fraværsdage de har haft på en måned. Herunder kan du se deres datasæt: 6.x: 1, 0, 0, 3, 4, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 3, 5, 3, 4, 1, 2. 6.y: 0, 2, 3, 1, 2, 5, 4, 2, 0, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 0, 0, 4, 2, 1, 3, 2, 4, Lav en hyppighedstabel for hver klasse, som viser fordelingen af fraværsdage. 2. Find mindsteværdien, størsteværdien og variationsbredden for hver klasse. 3. Find typetallet og medianen for hver klasse. 4. Beregn middeltallet for hver klasse. 5. Lav et diagram for hver klasse, som viser fordelingen af fraværsdage. 6. Sammenlign de to klassers datasæt. Hvilke forskelle og ligheder er der mellem antallet af fraværsdage i de to klasser? OPGAVE 10 Terningen er tegnet i frontperspektiv. Tegn terningen i krydsperspektiv. OPGAVE 11 OPGAVE 8 Beregn overfladearealet af oktaederet. h = 13 cm g = 15 cm Kig på udfaldene ved kast med fire mønter. Hvad er sandsynligheden for, at: 1. alle mønterne ikke viser krone? 2. at halvdelen af mønterne viser plat? 3. at mindst en af mønterne viser krone? OPGAVE 9 Brug lineal, vinkelmåler og passer. 1. Tegn to vilkårlige trekanter. 2. Tegn vinkelhalveringslinjerne for, hver af vinklerne i den ene af trekanterne. 3. Tegn trekantens indskrevne cirkel. 4. Tegn de tre midtnormaler i den anden af trekanterne. 5. Tegn trekantens omskrevne cirkel. OPGAVE 12 Yun har set på bilerne, der kører forbi hendes vindue. Hun har lavet en tabel, der viser, hvor mange biler af hver farve, der er kørt forbi. Her kan du se Yuns resultater: Rød Hvid Grå Sort Andet IIIIIIIII IIII IIIIII IIIII IIIIIIIIIIII Hvad er sandsynligheden for, at den næste bil, der kører forbi Yuns vindue, er hvid? Blandede opgaver 135

136 SAMMENHÆNGE OG FUNKTIONER MÅL At du lærer: at tegne grafer, som viser forskellige slags sammenhænge, bl.a. ved hjælp af digitale værktøjer at forklare og beskrive sammenhænge ved hjælp af tabeller og grafer hvordan du kan finde stigningstallet for en lineær funktion hvordan grafer for lineære funktioner og funktionsforskrifter passer sammen. BEGREBER OG ORD graf tabel lineær sammenhæng funktion ikke-lineær sammenhæng lineær funktion forskrift stigningstal FORHÅNDSVIDEN 1. Hvad husker I om funktionsmaskiner? 2. Hvad vil det sige, at der er en sammenhæng mellem x og y i koordinatsæt? Hvad er fx sammenhængen mellem x og y i koordinat- sættene (1, 3), (3, 5), (5, 7)? Og hvad er sammenhængen mellem x og y i koordinatsættene (1, 2), (3, 6), (5, 10)? 3. Hvordan kan I se på en graf, at der er en lineær sammenhæng mellem x og y? 4. Giv mindst et eksempel på en sammenhæng fra hverdagen, som kan beskrives ved hjælp af en funktionsmaskine. Asta er 3 år ældre end Lucas Prisen for et glas saftevand til sommerfesten er 5 kroner og 3 kroner pr. gang, man får det fyldt op igen OPGAVE 1 Hvilken funktionsmaskine passer til hver af børnenes beskrivelser af sammenhænge? Emma sætter sit vækkeur til at ringe 5 minutter før, hun skal op Sammenhænge og funktioner Prisen for en kop kakao i skolens kantine er 5 kroner

137 A FUNKTIONSMASKINER OG GRAFER A 49 AKTIVITET FOR 2 PERSONER. I skal bruge: kort med koder eller beskrivelser (A49), et geometriprogram og saks. En kode, hvor y er 3 mindre end x? Jeg tror, at det er y = x 3 I skal først klippe kortene med koder fra funktionsmaskiner eller beskrivelser af funktionsmaskine-koder ud og lægge dem i en bunke med bagsiden opad. I skiftes til at trække et kort og tegne en graf, der passer til koden på kortet ved hjælp af et geometriprogram. Hvis der er en beskrivelse af en kode på kortet, skal I først finde ud af, hvilken kode der passer til. OPGAVE 2 1. Hvilken kode har hver funktionsmaskine? a. Funktionsmaskinen laver koordinatsæt, hvor y er 3 gange større end x. b. Funktionsmaskinen laver koordinatsæt, hvor y er 3 mindre end x. c. Sammenhængen mellem x og y er, at x er 10 større end y. d. Sammenhængen mellem x og y er, at y er halvt så stor som x. 2. Tegn fire grafer i et koordinatsystem, som viser de fire sammenhænge i a-d. 3. Forklar, hvordan graferne ser ud, og hvor de ligger i koordinatsystemet. Er de flade eller stejle? Ligger de højt eller lavt? OPGAVE 3 1. Tegn tre forskellige grafer, som viser lineære sammenhænge, hvor: a. x er mindre end y i alle punkternes koordinatsæt. b. y er mindre end x i alle punkternes koordinatsæt.beskriv, hvilken sammenhæng der er mellem x og y på dine grafer. 2. Kan du lave en graf, hvor x og y er lige store? OPGAVE d 1 b 2 c 3 a 1. Lav tabeller med koordinatsæt, som passer til mindst to af graferne i koordinatsystemet herover. Fx for grafen d. x y y Forklar, hvilken sammenhæng der er mellem x og y i hver graf. Brug graferne og dine tabeller. x O 49 Opgaver 137

138 T SAMMENHÆNGE En beskrivelse af en bestemt sammenhæng mellem nogle x-værdier og y-værdier kaldes en funktion. For hver x-værdi kan du finde netop én y-værdi, så du får nogle koordinatsæt, der kan afsættes som punkter i et koordinatsystem. Punkterne danner en graf, som viser sammenhængen. Hvis punkterne ligger på en ret linje, er der en lineær sammenhæng mellem x og y. Grafen til højre viser sammenhængen mellem antal gram, x, og pris, y, for bland-selv-slik, der koster 12,95 kr. pr. 100 g. Grafen er tegnet ud fra de koordinatsæt, som står i tabellen øverst. Den er en ret linje, så der er en lineær sammenhæng mellem, hvor mange gram slik man køber, og hvad det koster. Hvis flere børn skal i svømmehallen, er der også en lineær sammenhæng mellem, hvor mange billetter man køber og prisen. Tabellen og grafen til højre viser denne sammenhæng. Punkterne ligger på en ret linje, men punkterne er ikke forbundet med en ret linje. Fx kan du ikke bruge grafen til at finde prisen på 1,5 eller 3,5 billetter - man kan jo ikke købe halve billetter til svømmehallen! Du kan fx bruge et regneark eller et geometriprogram til at tegne grafer. Husk at skrive, hvad akserne i koordinatsystemet viser. Der findes også ikke-lineære sammenhænge. Grafen til højre viser fx sammenhængen mellem tid i minutter og længde i kilometer på en løbetur. Grafen er ikke en ret linje, så det er en ikke-lineær sammenhæng pris i kroner Vægt i gram Pris i kr , , , , ,75 20 B vægt i A gram C D E Antal F Pris i kr Pris i kroner Antal billetter BILLETTER TIL SVØMMEHALLEN 1 min km 138 OPGAVE 5 Valutakursen for euro var en dag: 746, Lav en tabel og tegn en graf, som viser sammenhængen mellem forskellige antal euro og antallet af danske kroner. 2. Hvad har I kaldt x-aksen og y-aksen? 3. Har I vist sammenhængen med punkter eller en ret linje? Forklar hvorfor. 4. Hvor mange euro kan man cirka få for a. 100 kr.? b. 150 kr.? c. 400 kr.? Aflæs på grafen. Sammenhænge og funktioner OPGAVE 6 Ida og Yun sælger muffins til skolefesten og tjener 7 kr. på hver muffin. 1. Lav en tabel og tegn en graf, som viser sammenhængen mellem antallet af muffins, som pigerne sælger, og de penge de tjener. 2. Hvad har du kaldt x-aksen og y-aksen? 3. Har du vist sammenhængen med punkter eller en ret linje? Forklar hvorfor. 4. Hvor mange muffins skal pigerne mindst sælge for at tjene 100 kr.? O 50

139 A HVAD PASSER SAMMEN? A 50 AKTIVITET FOR HELE KLASSEN. I skal bruge: kort med grafer og beskrivelser af sammenhænge (A50) og saks. Min graf viser en ikke-lineær sammenhæng I skal klippe kortene fra aktivitetsark A50 ud og lægge dem i en bunke med bagsiden opad på et bord i klassen. Herefter skal I trække et kort hver. På jeres kort kan der enten være vist en graf eller en beskrivelse af en sammenhæng. I skal nu gå rundt mellem hinanden og finde den, der har et kort med en graf eller en beskrivelse, som matcher jeres eget. Når I har fundet en makker, stiller I jer sammen og holder kortene op foran jer. Herefter gentages aktiviteten. OPGAVE Hvilken af graferne a, b og c kan vise sammenhængen mellem: 1. vægten i kilo og prisen for vindruer? 2. sidelængden af et kvadrat og kvadratets areal? 3. alder og vægt for et barn? b a c Opgaver 139

140 A SAMMENHÆNGE OG AFKØLING AF VAND AKTIVITET FOR 3 TIL 4 PERSONER. I skal bruge: elkedel, termometer, stopur og regneark. Forskellige beholdere til afkøling af kogende vand, fx et glas, en kop, et termokrus, en termokande og en skål med isterninger. I skal undersøge, hvordan kogende vands temperatur falder, når I afkøler det i forskellige beholdere, som er placeret i fx et køleskab, en skål med isterninger, indenfor eller udenfor. Grupperne skal vælge forskellige måder at afkøle vandet på, og bagefter skal I sammenligne jeres resultater. 1. Aftal, hvor meget kogende vand fra elkedlen I skal afkøle. Det kan fx være 3 dl. Det er vigtigt, at alle grupper afkøler samme mængde vand, ellers kan I ikke sammenligne jeres resultater. 2. Opvarm vandet, og hæld det over i den beholder, som I har valgt at afkøle vandet i. 3. Stil jeres vand til afkøling. 4. Mål vandets temperatur hvert minut, og skriv jeres resultater med tiden i minutter og temperaturen i grader i en tabel i et regneark. 5. Stop jeres målinger, når I kan se, at temperaturen ikke falder mere, eller der er gået 30 minutter. 6. Tegn en graf, som viser sammenhængen mellem tiden i minutter og vandets tem- peratur i grader.. Forklar, hvad jeres graf viser. 8. Sammenlign jeres graf med de andre gruppers grafer. OPGAVE 8 Victor og Malte har lavet et eksperiment, hvor de undersøgte temperaturen i vand, som de varmede op. Tabellen herunder viser nogle af deres resultater. 1. Tegn en graf, som viser sammenhængen mellem tiden i minutter og vandets tem- peratur i grader. 2. Hvad har I kaldt x-aksen og y-aksen? 3. Har I vist sammenhængen med punkter eller en ret linje? Forklar hvorfor. 4. Hvad er vandets temperatur efter 8 minutter? Aflæs på grafen. 5. Vand koger ved 100 grader. Hvor lang tid vil der cirka gå før vandet koger, hvis tempera- turen fortsætter med at stige på samme måde? Du kan forlænge grafen og aflæse på den. 6. Sammenlign Victors og Maltes eksperiment med jeres egne undersøgelser om afkøling af vand. Hvad er forskellen på sammenhængen mellem tiden og vandets temperatur for vand, der opvarmes, og vand der afkøles? 140 Sammenhænge og funktioner

141 OPGAVE 9 En pizza koster 65 kroner. Prisen for levering er 25 kr., uanset hvor mange pizzaer man køber. 1. Hvad koster det i alt at få leveret: a. 1 pizza? b. 5 pizzaer? c. 10 pizzaer? 2. Hvilken af disse funktionsmaskine-koder beskriver prisen for at få leveret forskellige antal pizzaer? Forklar, hvorfor. a. y = 25 x + 65 b. y = 65 x + 25 c. y = 65 + x 25 d. y = 65 x Lav en tabel, som viser prisen for at få leveret: a. 1 pizza b. 2 pizzaer c. 3 pizzaer d. 10 pizzaer 4. Tegn en graf, som viser sammenhængen mellem antal pizzaer, man får leveret, og prisen. 5. Har du vist sammenhængen med punkter eller en ret linje? Forklar hvorfor. 6. Hvor mange pizzaer kan man få leveret for: a. 545 kr.? b. 220 kr.? c kr.? OPGAVE 10 En fingernegl vokser cirka 1 millimeter på 10 dage, og en tånegl vokser cirka 1 millimeter på 20 dage. 1. Lav en tabel, som viser sammenhængen mellem: a. antal dage en fingernegl er vokset, og hvor mange millimeter den er vokset. b. antal dage en tånegl er vokset, og hvor mange millimeter den er vokset. 2. Tegn to grafer i samme koordinatsystem, som viser sammenhængen mellem antal dage en fingernegl og en tånegl er vokset, og hvor mange millimeter de er vokset. 3. Hvad har du kaldt x-aksen og y-aksen? 4. Har du vist de to sammenhænge med punkter eller rette linjer? Forklar hvorfor. 5. Mål en af dine egne fingernegle. Hvor mange dage vil der cirka gå, før din egen fingernegl er skiftet helt ud? OPGAVE 11 F Når man kører i taxa, skal man betale et start- gebyr og derefter en pris pr. kilometer, man kører. Her er priserne for to forskelllige taxaselskaber 1. Hvad det vil koste at køre 5 km, 10 km, 25 km. a. med MAXI-taxa? b. med MULTI-taxa? Lav en tabel, som viser sammenhængen mellem antal km og pris for hvert taxaselskab. 2. Tegn to grafer, som viser sammenhængen mellem antal kilometer og pris for de to taxaselskaber. 3. Har du vist de to sammenhænge med punkter eller med rette linjer? Forklar hvorfor. Julies mormor bor 4,5 kilometer fra Julie. Hun skal køre med taxa hjem fra Julie. 4. Undersøg, hvilket taxaselskab det bedst kan betale sig for Julies mormor at bruge. 5. Forklar, hvornår det bedst kan betale sig at køre med MAXI-taxa, og hvornår det bedst kan betale sig at køre med MULTI-taxa. OPGAVE 12 Man kan vise sammenhængen mellem den afstand, man løber, og den tid, man er om at løbe, som en graf. Lucas forklarer sin løbetur sådan: Jeg løb cirka 40 minutter i alt. Første kilometer løb jeg på cirka 8 minutter. Næste kilometer løb jeg på 11 minutter, for her gik det op ad bakke. De næste to kilometer løb jeg på 15 minutter. Den sidste kilometer løb jeg så hurtigt, jeg kunne I skal forestille jer, at I skal tegne grafen, som viser den sammenhæng, Lucas beskriver. 1. Hvad vil I kalde x-aksen og y-aksen? 2. Hvor hurtigt løber Lucas den sidste kilometer? 3. Tegn nu grafen, som I mener, den skal se ud. 4. Har I vist sammenhængen med punkter eller en ret linje? Forklar hvorfor. O 51 Opgaver 141

142 A UNDERSØG OG SAMMENLIGN GRAFER FOR FUNKTIONSMASKINER A 51 AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: kort med funktionsmaskiner og koder (A51), et geometriprogram og saks. I skal klippe kortene ud og lægge dem i en bunke med bagsiden opad. I skiftes til at trække et kort, hvor der er vist to funktionsmaskiner med koder. I skal lave en tabel med koordinatsæt for hver funktionsmaskine og afsætte koordinatsættene som punkter i et koordinatsystem, så I får tegnet to grafer. Brug et geometriprogram. I skal nu sammenligne de to grafer og beskrive forskelle eller ligheder. I kan fx se på: Hvordan graferne ser ud. Hvor stejle eller flade graferne er. Hvor de skærer y-aksen. Osv. Den ene graf er ret flad I skal bruge et geometriprogram til at løse opgaverne på denne side. OPGAVE 13 y = 3 x + 1 OPGAVE 15 y Tegn grafen for den blå funktionsmaskine. 2. Tegn en graf, som er mere flad, men skærer y-aksen i samme punkt som grafen for den blå funktionsmaskine. Skriv en kode, der passer til grafen. 3. Tegn en graf, der er lige så stejl som grafen for den blå funktionsmaskine, men som skærer y-aksen i et andet punkt. Skriv en kode, der passer til grafen. OPGAVE Tegn grafen for den røde funktionsmaskine. 2. Tegn to grafer, som er mere stejle og to grafer, som er mere flade end grafen for den røde funktionsmaskine. Skriv en kode, der passer til hver graf. 3. Tegn to grafer, der er lige så stejle som grafen for den røde funktionsmaskine, men som skærer y-aksen i to andre punkter. Skriv en kode, der passer til hver graf. y = x + 2 Sammenhænge og funktioner x Herover er vist tre grafer. Find koden, som passer til hver graf, og beskriv, hvad hver af de røde grafer har til fælles med den blå graf. O 52

143 T LINEÆRE FUNKTIONER OG STIGNINGSTAL y x 2 y 6 Den blå graf er mere stejl end den grønne graf. Graferne er tegnet ud fra disse funktionsmaskiners koder. y = 3 x + 2 y = 1 x En lineær sammenhæng, der kan beskrives Man siger også, at graferne er tegnet ud fra med punkter, der ligger på en skrå eller funktionernes forskrifter. En forskrift viser vandret ret linje i et koordinatsystem, kaldes bl.a., hvor stejl en graf er. Tallet foran x kaldes en lineær funktion. Her er vist graferne for for stigningstallet eller hældningstallet. to forskellige lineære funktioner. Stigningstallet fortæller, hvor meget en funktions y-værdi stiger eller falder, hver gang x-værdien vokser med 1. Hvis du bevæger dig 1 til højre i koordinatsystemet fra et punkt på grafen, skal du altid bevæge dig stigningstallet, a, op eller ned for at ramme grafen igen y a = 3 3 a = x x OPGAVE 16 Her er en graf med et negativt stigningstal. y x 1 a = 2 1. Hvad betyder det for grafens udseende, at stigningstallet er negativt? Funktionens forskrift er: y = 2 x Forklar, hvordan I ud fra forskriften kan se, at stigningstallet er negativt. OPGAVE 1 Her er tre funktionsforskrifter: y = x + 3 y = 3 x + 3 y = 2 x Sammenlign de tre forskrifter med de tre grafer herunder. Hvad har de tre forskrifter og de tre grafer til fælles? y a 6 b 5 c x Hvilken af disse funktionsforskrifter bliver til en vandret ret linje i koordinatsystemet? y = 2 y = 2 x y = x + 2 O 53 Opgaver 143

144 OPGAVE 18 Her er fire grafer. y 6 b a x 1 d 2 c 1. Hvad er stigningstallet for hver graf? 2. I hvilket punkt skærer hver af de fire grafer y-aksen? 3. Hvilken af disse forskrifter passer til grafen for d? a. y = 2 x + 1 b. y = -1 x 1 c. y = 1 x d. y = 1 2 x 4. Skriv forskriften for mindst en af de andre grafer. OPGAVE 19 Julie skal købe tomater i supermarkedet. Hun kan købe løse tomater, som koster 2,50 kr. pr. stk. 1. Tegn en graf, som viser sammenhængen mellem antallet af løse tomater, man køber, og prisen. 2. Hvad har du kaldt x-aksen og y-aksen? 3. Har du vist sammenhængen med punkter eller med en ret linje? Forklar hvorfor. 4. Hvad er grafens stigningstal og forskrift? 5. Aflæs på grafen, hvad Julie skal betale for 5 tomater. I supermarkedet er der tilbud på 10 tomater for 22 kroner. Julie overvejer, om det kan betale sig for hende at købe 10 tomater i stedet for de 8 tomater, hun skal bruge. 6. Hvad kan det bedst betale sig for Julie at købe? Skriv en forklaring om, hvad du vil råde hende til. OPGAVE Lav tre tabeller, og tegn tre grafer, som viser sammenhængen mellem antallet af stykker frugt, man køber, og prisen. En uge koster appelsiner det halve. 2. Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem antal appelsiner og tilbudsprisen. 3. Hvad er grafens stigningstal og forskrift? 4. Hvilket stigningstal har en graf, der viser sammenhængen mellem den normale pris på appelsiner og antallet af appelsiner, man køber? 5. Hvilket stigningstal ville grafen have, hvis et stykke frugt kostede: a. 1 kr. pr. stk.? b. 3 kr. pr. stk.? c. 10 kr. pr. stk.? d. 25 kr. pr. stk.? 6. Undersøg, hvad frugt koster pr. stk. i dit lokale supermarked, i skoleboden eller lignende, og tegn en graf, der viser sammenhængen mellem antallet af stykker frugt, man køber, og prisen. OPGAVE 21 F Når man går op ad et bjerg, bliver det koldere, jo højere man kommer op ad bjerget. Temperaturen falder med cirka 1 grad for hver 200 meter, man bevæger sig over havets overflade. Forestil jer, at I skal tegne en graf, som viser sammenhængen mellem, hvor mange meter man har bevæget sig over havets overflade og temperaturen, hvis man skal cirka 5000 meter over havets overflade. Temperaturen ved havets overflade er 15 grader. 1. Hvilke enheder vil I vælge på x-aksen og y-aksen? 2. Tegn grafen. Mont Blanc, som er Europas højeste bjerg, er cirka 4800 meter højt. 3. Aflæs på din graf, hvad temperaturen cirka er på toppen af Mont Blanc, når temperaturen ved havoverfladen er: a. 30 grader? b. 20 grader? c. 0 grader? 144 Sammenhænge og funktioner

145 EVALUERING OPGAVE 1 1. Lav syv kort. Skriv et af følgende begreber på hvert kort: graf, lineær sammenhæng, funktion, ikke-lineær sammenhæng, lineær funktion, forskrift, stigningstal. 2. Læg kortene på bordet, så I kan se dem. 3. Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle har forstået begrebet, lægger I kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter, indtil alle kortene er forklaret og forstået. 4. Hvis der er nogle begreber, I ikke kan forklare eller forstå, så skal I hænge kortene med disse begreber op på tavlen. 5. Kig på tavlen, om der er begreber, I kan forklare en anden gruppe. a OPGAVE 2 Vis og forklar hinanden, hvordan man kan tegne graferne for disse funktionsmaskiner: 1. i hånden 2. i et geometriprogram. OPGAVE 3 Hvilke af graferne a, b og c kan vise sammen- hængen mellem: 1. tiden og temperaturen ved afkøling af vand? 2. vægten og prisen for chokolade? 3. tiden og den afstand, man cykler? y = 2 x + 4 y = x 3 y = 1 2 x + 2 y = 3 x + 4 OPGAVE 4 1. Lav en tabel og tegn en graf, som viser sammenhængen mellem antallet af æbler, man køber, og prisen i kroner. 2. Lav en tabel og tegn en graf, som viser sammenhængen mellem antal 100 gram nødder, man køber, og prisen i kroner. 3. Hvad har I kaldt x-aksen og y-aksen til hver graf? 4. Har I vist de to sammenhænge med punkter eller med rette linjer? Forklar hvorfor. 5. Hvad er stigningstallet for hver graf? 6. Skriv forskriften for en af graferne. b c E 11 Evaluering 145

146 TRÆN 1 OPGAVE 1 Tegn graferne for funktionsmaskinerne. OPGAVE 2 Tegn forskellige grafer, som kan passe med hver af disse oplysninger. 1. stigningstallet er grafen skærer y-aksen i stigningstallet er grafen skærer y-aksen i 1. OPGAVE 3 Her er fire grafer x 1 y = 2 x + 1 y = 3 x + 2 c a b y 4 d Hvad er stigningstallet for hver graf? 2. I hvilket punkt skærer hver graf y-aksen? 3. Hvilken af disse forskrifter passer til grafen for b? a. y = 2 x 2 b. y = 1 2 x + 2 c. y = 1 2 x + 3 d. y = x Skriv en forskrift, som passer til en af de andre grafer. y = 3 x 3 y = x + 4 OPGAVE 4 I skolens kantine kan man købe lune retter eller salat. Man vejer sin tallerken med mad og betaler efter, hvad den vejer. Prisen for maden er 8 kroner pr. 100 gram. 1. Lav en tabel og tegn en graf, som viser sammenhængen mellem vægten på maden, man køber, og prisen for maden. 2. Hvad har du kaldt x-aksen og y-aksen? 3. Har du tegnet sammenhængen med punkter eller en ret linje? Forklar hvorfor. 4. Hvor mange gram mad kan man købe for 30 kroner? 5. Victor køber 250 gram mad pr. måltid 3 dage på en uge. Aflæs på din graf og beregn, hvad Victor skal betale for mad i den uge. OPGAVE 5 Emma og Jakub køber frugt i supermarkedet. Prisen for frugt er 3,00 kr. pr. stk. 1. Lav en tabel og tegn en graf, som viser sammenhængen mellem hvor mange stykker frugt, man køber, og prisen i kroner. 2. Hvad har du kaldt x-aksen og y-aksen? 3. Har du vist sammenhængen med punkter eller en ret linje? Forklar hvorfor. I supermarkedet er der tilbud på 10 stykker frugt for 25 kr. 4. Hvor mange stykker frugt skal man mindst købe, før det bedre kan betale sig at købe 10 stykker frugt på tilbud? OPGAVE 6 Lav en tabel og tegn en graf, som viser sammenhængen mellem antallet af engelske pund (GBP) og antallet af danske kroner. Du kan bruge valutakurs 917,00. Antal engelske pund 1 GBP 2 GBP 5 GBP Antal danske kroner 146 Sammenhænge og funktioner

147 TRÆN 2 OPGAVE 1 Tegn grafer, som viser disse sammenhænge: 1. x er 2 større end y. 2. x er halvt så stor som y. 3. y er 2,5 større end x. 4. y er 1 4 af x. OPGAVE 2 Tegn grafen for hver af disse funktioner i et koordinatsystem. 1. Stigningstallet er 2, og grafen skærer y-aksen i Stigningstallet er 1 2, og grafen skærer y-aksen i Stigningstallet er 1, og grafen skærer y-aksen i 5. OPGAVE 3 Her er seks grafer. y c b 4 3 f x a 1 e d 5 1. Hvad er stigningstallet for hver graf? 2. I hvilket punkt skærer hver graf y-aksen? 3. Hvilke ligheder er der mellem: a. graferne b og c? b. graferne a og b? c. graferne a og d? 4. Skriv forskrifter, der passer til mindst to af graferne. 5. Vælg en af graferne, og giv et bud på, hvilken sammenhæng fra hverdagen, grafen kunne vise. OPGAVE 4 På benzintanken er dagens priser på benzin og diesel, som du kan se på skiltet herunder 1. Lav tre tabeller og tegn tre grafer, som viser sammenhængen mellem antal liter diesel, blyfri 92 benzin og blyfri 95 benzin og prisen. Brug et digitalt værktøj. 2. Hvad har du kaldt x-aksen og y-aksen? 3. Har du vist de tre sammenhænge med punkter eller med rette linjer? Forklar hvorfor. 4. Hvad er stigningstallet for hver af de tre grafer? OPGAVE 5 8. klasserne på skolen har lavet bolsjer, som de sælger i poser med 50 gram i hver. Man kan ikke købe bolsjerne løse, men kun i poser til 10 kr. pr. pose. Kamille og Malte diskuterer, hvilken sammenhæng der er mellem, hvor mange bolsjer man køber og prisen. Kamille mener, at man kan lave en forskrift, som kan vise sammenhængen mellem, hvor mange bolsjer man køber, x, og prisen, y, ved at skrive y = 10 x, fordi en pose bolsjer jo koster 10 kr. Malte er ikke enig. Han mener, at forskriften skal være y = x, fordi man skal dele prisen med vægten. 1. Lav to tabeller og tegn de to grafer, som Kamille og Malte mener, kan vise sammenhængen mellem, hvor mange bolsjer man køber og prisen. 2. Forklar, hvad hver af graferne viser. 3. Forklar, hvorfor både Kamille og Malte godt kan have ret. Træning 147

148 BLANDEDE OPGAVER OPGAVE 1 Beregn kvadratrødderne og kubikrødderne OPGAVE 2 Her er en figurfølge. Du kan se figur 1, figur 2 og figur 3 i figurfølgen. Find antallet af cirkler i de næste tre figurer OPGAVE 4 Du må bruge et digitalt værktøj. Eleverne i 6.x har undersøgt deres forældres alder. Herunder kan du se resultaterne. Fædrenes alder (antal år): 40, 39, 42, 44, 37, 48, 46, 47, 45, 45, 55, 49, 52, 40, 45, 42, 46, 38, 47, 44, 50, 39, 43, 46, 45. Mødrenes alder (antal år): 38, 40, 43, 45, 41, 44, 39, 50, 46, 45, 43, 42, 43, 47, 49, 36, 38, 43, 45, 41, 43, 46, 48, 51, Inddel dataene for fædrene i intervaller på 5 år, fx år, år osv., og lav en hyppighedstabel, som viser, hvor mange data der er i hvert interval. 2. Lav et diagram, som viser fædrenes data, og find typeintervallet. 3. Inddel også dataene for mødrene i intervaller. Lav en hyppighedstabel og et diagram, og find typeintervallet. 4. Sammenlign de to datasæt. Hvilke forskelle og ligheder er der mellem fædrenes og mødrenes alder? OPGAVE 5 OPGAVE 3 Ida, Emma og Louise skal på sommerferie til Spanien, og de har alle tre fået lommepenge med. Ida har fået 30 euro med. Emma har fået 35 euro med. Louise har fået 28 euro med. Kursen er 745, Hvor mange lommepenge har hver pige fået med i danske kroner? 2. Hvor mange penge har pigerne fået med i gennemsnit? Skriv svaret i euro og i danske kroner. Simon har købt en kuffert, som han må have med ombord på alle fly som håndbagage. Kufferten er 50 cm lang, 40 cm bred og 20 cm høj. 1. Hvor stort er rumfanget af Simons kuffert i både cm 3 og m 3? 2. Hvor mange kufferter magen til Simons kan man stable i en kubeformet kasse med rumfanget 1 m 3? 148 Sammenhænge og funktioner

149 OPGAVE 6 b 50 dl OPGAVE 9 a c h = 18 h = 23 cm G = 65 dm 2 h = 90 mm g = 1,6 dm Find arealet af den grønne figur. 1: Beregn rumfanget af hver af de rumlige figurer. 2. Skriv figurerne i rækkefølge efter størrelsen af deres rumfang. OPGAVE 10 I kan bruge formlen herunder til at beregne omkredsen af denne figur. OPGAVE A 64 a a b b O = 3 a + 2 b 1. Tegn en arbejdstegning og isometrisk tegning af centicubefiguren i længdeforhold 2:1. 2. Marker midtpunktet på hver af centicubefigurens sideflader på tegningerne. OPGAVE 8 1. Tegn en perspektivtegning i krydsperspektiv af den viste gaveæske. 2. Tegn gavebånd på gaven, så sløjfen er ved midtpunktet på toppen af gaven. 1. Hvad viser de forskellige tal og variable i formlen? 2. Brug formlen til at beregne omkredsen af figuren, hvis: a. a = 2 og b = 3 b. a = 7 og b = 12 c. a = 10 og b = 15 d. a = 25 og b = 75 OPGAVE 11 Marmona skal til fødselsdag og skal finde ud, hvilket tøj hun kan tage på. Hun kan vælge mellem tre forskellige bluser, to nederdele og tre par sko. Tegn et tælletræ, der viser, hvor mange forskellige tøjsammensætninger Marmona kan lave. Blandede opgaver 149

150 MATEMATIK I HVERDAGEN MÅL At du lærer: at læse og forstå tekster fra hverdagen, der indeholder matematik at finde nødvendige oplysninger i tekster med matematik fra hverdagen hvordan du kan læse tekster med matematik fra hverdagen at sammenligne oplysninger fra tekster med matematik at bruge din viden om matematik til at læse, forstå, forklare og vurdere resultater af undersøgelser. BEGREBER OG ORD tabeller diagrammer grafer sammenlign påstand læseguide Venn-diagram FORHÅNDSVIDEN 1. Giv eksempler på tekster fra hverdagen, som er vanskelige at læse, hvis man ikke kender til matematik. 2. Tal om, hvornår I læser tekster med matematik i hverdagen, og hvad I bruger dem til. OPGAVE 1 Herunder er der vist to eksempler fra en opslagsbog i matematik, hvor I kan få korte præcise forklaringer på forskellige vigtige fagord og begreber. Læs teksten. Hvilke fagord tror I, der bliver beskrevet? er en hundrededel af en meter (m). er en firkant, hvor siderne er parvis parallelle. Kilde: Ord i matematik OPGAVE 2 1. Forklar disse begreber med jeres egne ord: a. diameter b. rabat c. grader d. procent 2. Vis eller forklar, hvordan I finder: a. arealet af et rektangel, fx med længden 20 m og bredden 5 m. b. en procentdel af en pris, fx 15 % af 300 kr. c. differensen mellem to negative tal, fx 3 og 10. d. gennemsnittet af fem tal, fx 10, 15, 20, 19 og Matematik i hverdagen

151 A BRUG MATEMATIK I HVERDAGEN A 52 AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: kort med hverdagsopgaver (A52), saks og computer med internet. På aktivitetsark A52 er der forskellige kort med små udfordringer, som I kan møde i jeres hverdag. Fx at skulle bage boller til hele klassen, at skulle købe ind til aftensmaden eller at skulle tage bussen for at besøge jeres moster. Det er nødvendigt at bruge matematik, når I løser udfordringerne. I skal klippe kortene ud, vælge et af dem og beskrive, hvordan I ville løse udfordringen, hvis I fik den i virkeligheden. Bagefter skal I tænke over og forklare, hvilken matematik I har brugt for at løse udfordringen. I kan løse udfordringer fra flere af kortene. Præsenter jeres løsninger for hinanden. I kan fx lave en lille film, som I viser i klassen. Vi skal købe ind til aftensmaden og har 300 kr. Vi må finde priser på madvarer på nettet OPGAVE 3 Victor og Ida skal lave pirogger til en Grøn dag for klassen. De bruger opskriften til højre. Alle 25 elever i klassen og to lærere skal med til Grøn dag. 1. Hvor meget skal de bruge af hver ingrediens for at have nok pirogger til alle? Omskriv opskriften, så den passer til det antal pirogger, Victor og Ida skal lave. 2. Hvor mange liter mælk skal de købe? 3. Har de nok mel, hvis de køber en pose med 2 kg, og 1 dl mel svarer til cirka 60 gram? OPGAVE 4 Anna og Ida skal bage kanelsnegle til en sommerfest på skolen. De regner med, at der kommer cirka 300 personer. De bruger opskriften til højre. 1. Hvor meget skal de bruge af hver ingrediens for at kunne lave nok kanelsnegle til sommerfesten? Omskriv opskriften. 2. Hvor mange pakker smør skal de købe, hvis der er 250 g i en pakke? 3. Hvor mange pakker sukker skal de bruge, hvis der er 2 kg i en pakke, og 1 dl sukker svarer til cirka 85 gram? OPSKRIFT PÅ PIROGGER TIL 4 PERSONER 50 gram smør dl mælk 1 4 pakke gær 1 æg 1 tsk. salt 5-6 dl hvedemel Kilde: Vupti! OPSKRIFT PÅ KANELSNEGLE (15-20 STK.) 25 g gær 100 g smør 1 4 liter sødmælk 1 æg 1 2 tsk. salt 1 tsk. stødt kardemomme 1 2 dl sukker ca. 750 g hvedemel 1 æg til pensling Fyld: 200 gram helbladet spinat (frossen) 1 løg 200 gram feta Et nip revet muskatnød 1 æg til pensling Fyld: 150 g smør 100 g sukker 2 spsk. stødt kanel Kilde: Frk. Jensens kogebog for børn O 54 Opgaver 151

152 T AT LÆSE TEKST FRA HVERDAGEN, SOM INDEHOLDER MATEMATIK Når du læser tekst og løser opgaver i din matematikbog, er det naturligvis for at lære matematik. Den matematik, du lærer, skal bl.a. gøre dig bedre til at bruge matematikken i hverdagen og til at læse og forstå forskellige slags tekster fra hverdagen, som indeholder matematik, fx opskrifter, køreplaner og tilbudsannoncer. Når du læser teksterne, skal du kende til forskellige matematiske begreber, symboler og metoder. Fx skal du kende til: brøker og måleenheder, når du læser en opskrift klokken og tid, når du læser en busplan procent og forskellige regningsarter, når du skal forstå en tilbudsannonce. Tekster med matematik indeholder tit tabeller, diagrammer og grafer, som også er vigtige at kunne læse og forstå, fordi de hænger sammen med teksten eller viser vigtige oplysninger. Du læser ofte tekster med matematik i hverdagen, når du har brug for forskellige oplysninger, fx hvad temperaturen bliver i morgen, eller hvad du skal betale ved indgangen til vandland. Derfor skal du kunne finde netop de oplysninger, som du har brug for, i en tekst med matematik. Du kan bruge læseguiden herunder, når du skal læse, forstå og finde oplysninger i tekster fra hverdagen, som indeholder matematik. Ikke alle punkter og spørgsmål i læseguiden skal bruges til alle slags tekster. LÆSEGUIDE A 53 A. Mål Hvad skal du finde ud af ved at læse teksten? Hvilket emne fra din hverdag skal du lære noget om? B. Før du læser Hvilke forskellige dele består teksten af? Fx overskrift, tegninger, forklaringer, tabeller, grafer, diagrammer? Ved du noget i forvejen om det, teksten handler om? Hvem har lavet teksten, og hvem er teksten lavet til? C. Mens du læser Læsefokus Er det nødvendigt at læse hele teksten? Hvor finder du de nødvendige oplysninger? Hvilke fagord, begreber og metoder fra matematik skal du kende til? Undersøg, hvad ordene betyder, hvis du er i tvivl. Hvilken matematik bruges i teksten, og hvordan bruges matematikken? D. Efter du har læst Fik du de oplysninger, du havde brug for? Fik du mere viden om emnet? Kan du forklare indholdet i teksten? Kan du bruge oplysningerne? Sammenlign oplysningerne fra teksten med det, du vidste i forvejen. 152 Matematik i hverdagen

153 OPGAVE 5 Forestil dig, at en familie med tre børn på 7, 9 og 14 år skal købe en trampolin til haven. De er i tvivl om, hvilken størrelse trampolin de skal vælge, men forældrene har besluttet, at de vil bruge max 15 m 2 i et hjørne af haven. De har fundet oplysninger om forskellige trampoliner på nettet. Model 330 Model 380 Model 430 Diameter 3,3 m 3,8 m 4,3 m Rammens diameter 30 mm 30 mm 30 mm Antal fjedre Vægt 63 kg 71 kg 82 kg Højde 85 cm 90 cm 90 cm Hoppeflade 5,5 m 2 7,7 m 2 10,4 m 2 Den maksimale belastning for hver af de tre modeller er 100 kg, 110 kg og 120 kg. To kan hoppe samtidig, men af sikkerhedsmæssige årsager bør man kun hoppe én ad gangen. FAQ Hvilken størrelse skal jeg vælge, og hvor kan jeg placere trampolinen? Størrelsen af den trampolin, du vælger, afhænger naturligvis af, hvor meget plads du har i haven. Vi anbefaler ca. 2 meter fri plads hele vejen rundt om trampolinen, hvis der ikke er sikkerhedsnet på. Med sikkerhedsnet kan afstanden være mindre. Der skal være minimum 5-6 meter fri højde over trampolinen. Tænk også over, hvem der skal bruge trampolinen. For små børn med en vægt under 20 kg kan det være svært at få et godt hop på alt for store trampoliner. Hvad har betydning for sikkerheden? Vi anbefaler sikkerhedsnet højden af nettet er 180 cm. Af sikkerhedsmæssige årsager bør der ikke hoppe mere end en person ad gangen på trampo linen. 75% af trampolinulykkerne sker, når flere personer hopper samtidig. Trampolinens stålrammes tykkelse er meget vigtig for sikkerheden. Vægten af trampolinen viser noget om kvaliteten. Jo tungere trampolin, des bedre kvalitet har trampolinen. A. Mål. 1. Hvad skal du finde ud af ved at læse teksten? B. Før du læser. 2. Hvilke dele består teksten af? 3. Ved du noget om trampoliner i forvejen? 4. Hvem er teksten til? C. Mens du læser Læsefokus. 5. Hvorfor er der tre kolonner i tabellen? 6. Hvor finder du oplysninger om trampolinens størrelse?. Hvad betyder oplysningerne i række 3 og 5? 8. Hvor finder du oplysninger om trampolinens vægt? Er det vigtigt at kende vægten? 9. Hvilke oplysninger får du fra tabellen? Og fra teksten? 10. Hvilke fagord eller begreber skal du kende til for at kunne forstå teksten? 11. Er der fagord, som du skal finde ud af, hvad betyder? 12. Hvilken matematik bruges i teksten, og hvordan bruges den? D. Efter du har læst. 13. Hvad har du lært ved at læse teksten? 14. Kan du fortælle familien, hvilken trampolin de skal vælge? Skal de vælge sikkerhedsnet? 15. Hvilke oplysninger i teksten kunne du bruge til at hjælpe dig med at vælge den rigtige trampolin OPGAVE 6 1. Hvad er højden af hver af trampolinerne fra tabellen, når der er sikkerhedsnet på? 2. Hvad er hoppefladens diameter på hver trampolin, hvis kantbeskyttelsen er 33 cm bred? 3. Vis, hvordan man finder ud af, at hoppefladen på model 430 er 10,4 m 2. Du kan fx skrive et regneudtryk. 4. Tegn en skitse med mål af hjørnet på 15 m 2 i haven, hvor du placerer familiens trampolin. 5. Tegn en skitse med mål af familiens trampolin set forfra. O 55 Opgaver 153

154 A FIND OG LÆS TEKSTER MED MATEMATIK A 53 AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: computer med internet, læseguide (A53). I skal finde eksempler på forskellige tekster med matematik på internettet. Teksterne kan handle om mange forskellige ting fra hverdagen, men de skal indeholde matematik, fx i form af tabeller, diagrammer, grafer, tal, matematiksymboler, fagord og begreber. Hvilke oplysninger, mener I, er vigtige at finde i teksterne? Byt spørgsmål og tekst med en anden gruppe. Brug læseguiden til at læse den anden gruppes tekst, og find svar på deres spørgsmål. Forklar hinanden, hvad I har lært af teksterne. Der er en graf Der står noget med procent her. Hvor mange procent var der i 2014? I skal bruge nogle af punkterne fra læseguiden fra side 152 eller aktivitetsark A53 til at læse jeres tekst. Når I har læst teksten, skal I stille mindst fem spørgsmål til jeres tekst. Det kan fx være spørgsmål om oplysninger, I får i teksten, eller spørgsmål om, hvad diagrammerne eller graferne i jeres tekst viser. 154 OPGAVE 7 Lucas og hans familie skal på skitur til Vallåsen i Sverige. De er i tvivl om, hvornår på sæsonen det vil være bedst at tage af sted. Lucas har fundet grafen til højre. Han ved, at det er bedst med mindst 25 cm sne i dalen, så store sten er dækket af sne og ikke kan ødelægge skiene. 1. Brug læseguiden på side 152 eller på aktivitetsark A53 til at læse grafen og teksten under grafen. Hvilke punkter i læseguiden kan hjælpe dig med at forstå graf og tekst? 2. Hvad viser de forskellige grafer? 3. Hvilke enheder er der på x-aksen og y-aksen? 4. Hvornår vil det være bedst for Lucas og hans familie at tage på skitur, hvis de gerne vil have så meget sne som muligt? 5. Hvad er forskellen mellem snedybden i dalen og på bjerget cirka i uge 14? Matematik i hverdagen 6. Hvornår er forskellen mellem snedybden i dalen og på bjerget størst?. Sammenlign snedybden i uge 2 og uge 9. Snehøjde, dal og bjerg (cm) Grafen er beregnet som gennemsnit over snedybden i sæsonerne 2001/02 til 2012/13. Den øverste graf viser snedybden på bjerget, den nederste viser snedybden i dalen. Kilde: skisport.dk O 56 Historisk snestatistik for Vallåsen Uge

155 OPGAVE 8 Forestil jer, at I skal 11 venner sammen i svømmehallen og vil finde ud af, hvad det koster. 1. Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden på side 152 eller på aktivitetsark A53 til at læse prislisten til højre. 2. Hvad viser de forskellige tabeller? 3. Hvor finder I de oplysninger, I skal bruge? 4. Hvordan kan I bruge matematik, når I skal sammen ligne priserne på de forskellige rabatkort? 5. Hvad koster det for 11 venner at komme i svømmehallen? 6. Hvilken type billet kan det bedst betale sig at købe?. Hvad koster det pr. person? 8. Undersøg, hvor meget en 12-årig dreng sparer, hvis han køber et af de to rabatkort i stedet for at købe enkeltbilletter, når han går i svømmehallen en gang om ugen hele året. Priser 2014 Svømmehaller (inkl. Friluftsbadet) & Isstadion Barn* Voksen Pensionist* 1 billet 18,- 36,- 25,- 12 turs rabatkort 180,- 360,- 250,- 30 turs rabatkort 370,- 740,- 510,- Årskort 1.350, , ,- Billetpris - Inklusiv adgang til: - RELAX Balkon (Klosterbakken) - Varmtvandsbassin (Bolbro & Højme) Barn* Voksen Pensionist* 1 billet 28,- 56,- 40,- 12 turs rabatkort 280,- 560,- 400,- 30 turs rabatkort 575, ,- 820,- Årskort 1.900, , ,- Skøjteleje 34,- Leje af badetøj 18,- Leje af håndklæde Helseaftener 80,- Priser for diverse 36,- (inkl. 18 kr. i depositum) SkøjteDiskotek 40,- Ekskl. skøjteleje (34,-) *) Takster for børn: gældende for børn under 14 år *) Takster for pensionister: gældende for folke- og førtidspensionister Kilde: Odense Idrætspark. Priser gældende 2014 OPGAVE 9 Julie, som bor i Hornbæk, skal til fødselsdag hos sin veninde, som bor i Hillerød. Fødselsdagen starter kl Julie skal med tog. Det tager 5 minutter at gå fra hendes hjem til stationen og cirka 10 minutter at gå fra Hillerød Station til hendes venindes hus. Julie vil finde ud af, hvornår hun skal gå hjemmefra. 1. Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden på side 152 eller på aktivitetsark A53 til at læse køreplanen til højre. 2. Hvilke rækker og kolonner skal du læse i? 3. Hvor lang tid tager det at komme fra Hornbæk til Hillerød? 4. Hvor mange stop er der mindst mellem Hornbæk og Hillerød? 5. Skriv en rejseplan for Julie, så hun kommer til fødselsdagen til tiden. Hvad er den samlede rejsetid? 6. En anden dag tager Julie toget kl Hvor står hun af 21 minutter senere?. Hvad er rejsetiden mellem: a. Dronningemølle og Græsted? b. Marienlyst og Søborg? O 57 Kilde: Lokalbanen A/S Opgaver 155

156 T SAMMENLIGN MED VENN-DIAGRAMMER Når du arbejder med matematik, kan du have brug for at sammenligne fx data og diagrammer. Det kan også være tal, priser, størrelser eller figurer, du skal sammenligne. Når du vil se på ligheder og forskelle, kan du bruge et Venn-diagram. Venn-diagrammet er opfundet af englænderen John Venn. John Venn ( ) Et Venn-diagram Forskelle: Ligheder: Forskelle: I midten skriver du det, som er fælles for det, du skal sammenligne. Eksempel: Sammenlign de to figurer herunder: Figur 1 Figur 2 h h Forskelle: Figur 1 7 sider 3 spidse vinkler Ligheder: Areal: 4 cm 2 Højde: 3 cm 2 rette vinkler Forskelle: Figur 2 5 sider 2 stumpe vinkler 1 spids vinkel OPGAVE Læs de to tabeller til højre, som viser vejret i Florida, USA og i Kas, Tyrkiet. 2. Lav et Venn-diagram, hvor I sammenligner vejret i de to byer. Hvilke forskelle og ligheder er der? 3. Forklar, hvad I har fundet ud af ved at sammenligne vejret i de to byer. Hvornår vil I fx helst tage på ferie til Florida? Og hvornår vil I helst besøge Kas? 4. Hvad er maksimumtemperaturen i gennemsnit i: a. Florida? b. Kas? 5. I hvilken måned er der størst forskel på temperaturen i Florida og Kas? 6. Hvor mange dage med nedbør er der i gennem snit i: a. Florida? b. Kas?. Lav en opgave hver, hvor I bruger vejrtabellerne. Byt og løs hinandens opgaver. O 58 USA s Meteorologiske Institut Florida, USA Maksimumtemperatur Solskinstimer Nedbørsdage Januar Februar Marts April Maj Juni Juli August September Oktober November December Kas, Tyrkiet Maksimumtemperatur Solskinstimer Nedbørsdage Januar Februar Marts April Maj Juni Juli August September Oktober November December Tyrkiets Meteorologiske Institut 156 Matematik i hverdagen

157 A SAMMENLIGN VAREDEKLARATIONER A AKTIVITET FOR 2 TIL 3 PERSONER. I skal bruge: varedeklarationer fra aktivitetsark A54 eller fra forskellige madvarer, computer, Venn-diagrammer (A55). I skal sammenligne varedeklarationer fra forskellige madvarer. En varedeklaration viser, hvad en madvare indeholder. Den kan også vise, hvor meget energi, fedt, protein og kulhydrat der er i 100 gram af madvaren. I kan bruge varedeklarationer fra forskellige madvarer eller fra aktivitetsark A54. I skal sammenligne varer af samme slags, fx kan I sammenligne forskellige slags pålæg, morgenmadsprodukter, mælkeprodukter osv. Hvilke forskelle og ligheder er der på de varer, I sammenligner? Lav Venn-diagrammer. I kan se på, hvilke ingredienser madvarerne indeholder og tegne diagrammer, som viser fordelingen af fedt, protein og kulhydrat. I kan også se på, hvordan varedeklarationerne ser ud. Er de fx nemme eller svære at læse? Der er 3,5 g protein pr. 100 g i begge to. Det er en lighed Der er 1,5 g fedt pr. 100 g i letmælk og 0,1 g fedt pr. 100 g i skummetmælk. Det er en forskel OPGAVE 11 Til højre kan I se varedeklarationer for to forskellige slags koldskål. 1. Sammenlign de to slags koldskål ved at finde forskelle og ligheder. Lav et Venn-diagram. 2. Hvad gør koldskål mere eller mindre usundt? 3. Lav et diagram, som viser fordelingen af fedt, kulhydrat og protein i de to slags koldskål. Fødevarestyrelsen anbefaler, at børn mellem 10 og 13 år ikke får over 55 gram sukker om dagen. En portion koldskål svarer til cirka 250 gram. 4. Hvor meget koldskål må I spise, hvis alt det sukker I spiser på en dag, kommer fra koldskål? Verdenssundhedsorganisationen, WHO, anbefaler, at man ikke får mere end 5 gram salt om dagen. 5. Beregn, hvor meget koldskål I kunne spise, før I ville nå grænsen for, hvor meget salt I må få på en dag. 6. Hvor stor en procentdel af energibehovet på en dag får en fysisk aktiv dreng dækket, hvis han spiser 300 gram koldskål og har et energibehov på kilojoule (kj)? Koldskål med tykmælk og æg Ingredienser: Kærnemælk 46%, tykmælk 46%, sukker 5%, pasteuriserede æg 3%, citronsaft, naturlig aroma, vaniljeekstrakt, surhedsregulerende middel (citronsyre), vaniljekorn, mælkesyrekultur. Næringsværdi pr. 100 g: Energi 278 kj (66 kcal) Fedt 2,1 g heraf mættet fedt 1,3 g Kulhydrat 8,2 g heraf sukkerarter 8,2 g Protein 3,5 g Salt 0,12 g Koldskål med tykmælk og æg Ingredienser: Kærnemælk 45%, tykmælk 45%, sukker 6%, pasteuriserede æg 3,5%, citronsaft, naturlig aroma, vaniljeekstrakt, surhedsregulerende middel (citronsyre), vaniljekorn, mælkesyrekultur. Næringsværdi pr. 100 g: Energi 310 kj/74 Kcal Fedt 2,2 gram heraf mættet fedt 1,3 gram Kulhydrater 9,4 gram heraf sukkerarter 9,2 gram Protein 3,5 gram Salt 0,12 gram Opgaver 157

158 158 OPGAVE 12 Victor mangler nye bukser, t-shirts og sneakers. Der er netop startet udsalg, og Victor har fundet annoncer i avisen og på nettet fra to forskellige tøjbutikker, som sælger de samme tøjmærker. 1. Læs de to annoncer. Du kan bruge nogle af spørgsmålene fra læseguiden side Sammenlign tilbuddene i de to tøjbutikker. Hvilke forskelle og ligheder er der? 3. I hvilken tøjbutik sparer Victor flest penge ved at købe tre par jeans, som normalt koster 400 kr. pr. par? Hvad er prisforskellen? 4. Hvor mange penge sparer han på tre t-shirts i forhold til normalprisen for tre, hvis han benytter sig af tilbuddet i den ene tøjbutik? 5. Hvad skal Victor betale i alt i hver tøjbutik, hvis han beslutter sig for, at han skal have: to par jeans, som normalt koster 400 kr. tre t-shirts et par sneakers, som normalt koster 700 kr. en cap, som normalt koster 249 kr.? 6. Lav en opgave, hvor du bruger annoncerne. Byt med en i klassen, og løs hinandens opgaver. UDSALG T-SHIRTS Vælg 3 for 99, Norm. 79, /stk. JEANS SPAR 100 KR. på alle CAPS 25% Matematik i hverdagen JEANS 1 par 20 % 2 par 30 % 3 par 40 % SKO 50 % Få en cap gratis med i købet, hvis du køber for over 1000 kr. Køb 3 betal for 2 til den nedsatte pris. (Det billigste par er gratis) T-shirts: Udvalgte modeller med print. Enhedspris nu 50 kr. Før op til 249 kr. Sneakers: Førpris kr. 700 NU kr. 350,- OPGAVE 13 3x100 g Kg-pris 100,00 Vælg mellem salt- og ostesmag 1. Hvad koster en pakke minikiks normalt? 2. Hvor meget sparer man pr. pakke? OPGAVE 14 Cilles familie vil på charterferie til Mallorca i sommerferien. Cille har en lillesøster, så de skal to voksne og to børn afsted. De leder efter gode tilbud på nettet og har fundet de to herunder: Hotel Luz del Sol/Alcudia, Mallorca Bedømmelse: 4,6 BBBB+ Pool: 7 stk. Strand: m Centrum: 1,2 km Rejselængde: 8 dage Værelsestype: 2-værelses lejlighed med havudsigt Måltider: ingen Hotel Palmera/Cala d Or, Mallorca Bedømmelse: 4,3 BBBB+ Pool: 2 stk. Strand: 800 m Centrum: 50 m Rejselængde: 8 dage Værelsestype: Dobbeltværelse med balkon Morgenmadsbuffet inkluderet 1. Læs de to tilbud. Du kan bruge nogle af spørgsmålene fra læseguiden. 2. Hvor meget sparer man i hvert af tilbuddene? Rejsebureauet har denne annonce i avisen: NED TIL SOL OG VARME Priseksempel: *19.996, ,- 2 voksne + 2 børn * prisen gælder for 2 voksne og 2 børn (2-12 år) og afhænger af afrejsetidspunktet Priseksempel: *20.396, ,- 2 voksne + 2 børn * prisen gælder for 2 voksne og 2 børn (2-12 år) og afhænger af afrejsetidspunktet SPAR OP TIL 50 % PÅ FERIEN I SKOLERNES SOMMERFERIE! 3. Synes du, at annoncen passer på de to tilbud, familien har fundet på nettet? Begrund dit svar. 4. Sammenlign de to tilbud. Hvilket tilbud ville du vælge? Begrund dit svar.

159 EVALUERING OPGAVE 1 1. Lav seks kort. Skriv et af følgende begreber på hvert kort: tabeller, diagrammer, grafer, sammenlign, påstand, læseguide, Venn-diagram. 2. Læg kortene på bordet, så I kan se dem. 3. Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle har forstået begrebet, lægger I kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter, indtil alle kortene er forklaret og forstået. 4. Hvis der er nogle begreber, I ikke kan forklare eller forstå, så skal I hænge kortene med disse begreber op på tavlen. 5. Kig på tavlen, om der er begreber, I kan forklare en anden gruppe. OPGAVE 2 Tabellen og diagrammet viser forskellige vejrdata for Danmark i I skal undersøge temperaturer og nedbør i Danmark i Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden på side 152 eller på aktivitetsark A53 til at læse diagrammet og tabellen. 2. Hvad viser: a. pindediagrammet? b. graferne? 3. Hvilken måned var der: a. flest nedbørsdage b. færrest nedbørsdage? 4. Hvor meget nedbør faldt der i: a. januar? b. maj? c. oktober? 5. Hvad var forskellen mellem dag- og nattemperaturen i: a. juli? b. januar? c. december? 6. Sammenlign vejret i maj, juni og juli. Hvilke forskelle og ligheder er der?. Undersøg, om man kan skrive dette om vejret i 2013: a. Om sommeren er der 3-4 gange så mange solskinstimer, som om vinteren. b. Forskellen på dag- og nattemperaturen er dobbelt så stor om sommeren, som om vinteren. c. Der er færrest nedbørsdage i sommermånederne. 8. Find selv tre ting, I kan sige om vejret ud fra diagrammet og tabellen. % angiver manglende data. En nedbørdag er en dag, hvor der falder 1 mm nedbør eller mere. Kilde: Danmarks Meteorologiske Institut E 12 Evaluering 159

160 TRÆN 1 OPGAVE 1 Herunder er der en prisliste fra Emmerbølle Strand Camping på Langeland. Du skal undersøge, hvad en campingferie på Langeland for 4 personer koster. 1. Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden på side 152 eller på aktivitetsark A53 til at læse prislisten. 2. Hvad viser de forskellige rækker og kolonner? 3. Hvad koster fem dages ferie i luksustelt på campingpladsen i starten af august? 4. Hvad koster tre dages ferie på campingpladsen i 5-stjernet hytte i starten af juli, hvis du ønsker slutrengøring og havudsigt? 5. Sammenlign priserne for de forskellige muligheder. Hvad er prisforskellen på den billigste og dyreste ferie en uge i juni på campingpladsen? Priserne er inkl. campinggebyrer for 4 pers., strøm, gas, vand og TV. Priserne er inkl. 4 pers. Der beregnes et miljøgebyr på 20,00 pr. person pr. døgn. NB! *excl. strøm efter måler pris 2,95 pr. kw Kilde: Emmerbølle Strand Camping. Priser gældende OPGAVE 2 Herunder er der vist noget af en køreplan for en rutebil fra Odense på Fyn til Rudkøbing på Langeland. Undersøg, hvor lang tid det tager at komme til Langeland med rute bilen. 1. Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden til at læse køreplanen. 2. Hvad tid skal du med bussen fra UCL, hvis du skal være i Rudkøbing kl ? 3. Hvor lang varer turen fra Ringe/Ørbækvej til Rudkøbing? 4. Hvad er forskellen på turens længde fra SDU til Svendborg Sygehus, hvis du tager afsted kl og kl ? 160 Matematik i hverdagen

161 TRÆN 2 OPGAVE 1 Herunder er der en prisliste fra en campingplads i Italien. Du skal undersøge, hvad en ferie i mobilehome i Italien koster. 1. Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden på side 152 eller på aktivitetsark A53 til at læse prislisten. 2. Hvad viser de forskellige rækker og kolonner? 3. Hvad koster en uges ferie i mobilehome for en familie med to voksne og to børn på 8 og 12 år i juni måned? Find prisen i danske kroner, når kursen er 746, Hvad koster 12 dages ferie i mobilehome i slutningen af juli for en familie med to voksne, et barn på 3 år og en baby? Find prisen i danske kroner, når kursen er 746, Sammenlign priserne for en uges ferie i mobilehome, der starter d. 1/5 og d. 28/6, for en familie med to voksne og to børn under 5 år. Hvad er prisforskellen? 6. Find prisen for en ferie for din egen familie i mobilehome på campingpladsen. Hvor længe skal I være der og hvornår? OPGAVE 2 Herunder er der vist noget af en køreplan for biltoget til Italien. Du skal finde ud af, hvor lang tid det tager at komme til Italien med biltog. 1. Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden til at læse køreplanen. 2. Forklar, hvad de forskellige dele af køreplanen viser. 3. Hvilke dage kan man køre med biltoget i juli? 4. Hvor lang tid varer selve togturen, hvis man tager biltoget: a. i starten af juni? b. i slutningen af juni? Hvorfor tror du, at turen varer længere i slutningen af juni? 5. Hvor lang tid varer turen i alt: a. i starten af juni? b. i slutningen af juni? Hamborg Alessandria 1200 km Apr Maj Juni Juli Aug Sep Okt Fr Lastetid Afgang Ankomst Tog-Nr. Fr ca. 13:05 13:48 09: Fr: ca. 12:15 13:19 09: Prices per night 2014 tourist tax not included Alessandria Hamborg 1200 km Apr Maj Juni Juli Aug Sep Okt Lø MobileHome (Persons not included) 60,00 76,00 88,50 101,00 Adult 4,90 6,70 8,10 9,60 Lastetid Afgang Ankomst Tog-Nr. Lø ca. 16:00 17:40 13: Lø: ca. 16:00 17:40 14: Senior (from 60 years) Children (from 1 to 5 years) Baby (up to 12 months) 3,60 5,60 7,30 9,00 0,00 4,60 5,70 6,90 0,00 0,00 0,00 0,00 Extra car 2,00 3,00 4,00 5,00 Extra motorcycle 1,70 2,00 2,20 2,50 Extra Beach Service (Sun umbrella and 2 deckchairs) 10,00 10,00 10,00 10,00 Træning 161

162 TEMA/PROJEKT RESULTATER AF UNDERSØGELSER A I skal arbejde med at læse tekster, som I kan møde i hverdagen, hvor matematik bliver brugt til at beskrive og forklare resultatet af undersøgelser, fx om trafik eller forbrugervaner. I kan derfor bruge jeres viden om matematik til at forstå undersøg elsernes resultater. I skal også arbejde med selv at lave undersøgelser og beskrive resultaterne. De påstår, at der er flere børn end unge, som kører med cykelhjelm Passer det med graferne? PROJEKT FOR 2 TIL 4 PERSONER. I skal bruge: data og forklaringer på resultater af undersøgelser fra aktivitetsark A56-A57. Der er resultater fra en undersøgelse om danskeres brug af cykelhjelm og en undersøgelse om danske unges brug af sociale medier. I kan vælge, om I vil arbejde med opgave 1 eller 2. Bagefter skal I arbejde med opgave 3. OPGAVE 1 De forskellige diagrammer og tekster på aktivitetsark A56 viser resultater fra en undersøgelse, som Rådet for Sikker Trafik har lavet om brug af cykelhjelm. I skal læse resultaterne og bl.a. undersøge, hvordan det ser ud med brugen af cykelhjelm i Danmark og særligt i jeres egen aldersgruppe. 1. Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden på side 152 eller på aktivitetsark A53 til at læse resultaterne. 2. Hvilken aldersgruppe bruger ifølge undersøgelsen cykelhjelm: a. mest? b. mindst? 3. Hvad viser undersøgelsen om brugen af cykelhjelm i jeres egen aldersgruppe? 4. Sammenlign brugen af cykelhjelm i forskellige aldersgrupper og mellem drenge og piger. Hvilke forskelle og ligheder er der? 5. Beskriv, hvilken udvikling der har været i brugen af cykelhjelm gennem årene. 6. Hvilke af de påstande, der står i rammen nederst på A56, er I enige i, at man kan læse af undersøgelsen? Forklar, hvorfor I er enige eller uenige i de forskellige påstande. 162 Matematik i hverdagen

163 OPGAVE 2 De forskellige tekster og diagrammer på aktivitetsark A57 viser resultater fra en undersøgelse, som Tænketanken Digitale Unge har lavet om, hvordan danske unge i alderen år bruger sociale medier i De har undersøgt: hvordan de unge bruger sociale medier og hvordan de unges forældre tror, at deres børn bruger sociale medier. I skal læse resultaterne og bl.a. undersøge, hvordan det ser ud med unges brug af sociale medier og med forældrenes viden om deres børns brug af sociale medier. 1. Brug nogle af spørgsmålene i læseguiden på side 152 eller på aktivitetsark A53 til at læse tekst og diagrammer. 2. Hvilke sociale medier bruger de unge: a. mest? b. mindst? 3. Sammenlign, hvad forældrene tror, at deres børn bruger sociale medier til med, hvad børnene bruger sociale medier til. Hvilke forskelle og ligheder er der? 4. Sammenlign pigers og drenges brug af sociale medier. Hvilke forskelle og ligheder er der? 5. Undersøg, hvad de unge laver, når de bruger sociale medier. a. Hvad bruger de dem mest til? b. Hvad bruger de dem mindst til? 6. Undersøg, om forældrene ved, hvordan de unge bruger de sociale medier. OPGAVE 3 I skal lave en undersøgelse i jeres klasse, i en anden klasse på skolen eller blandt jeres forældre og beskrive jeres resultater. 1. Planlæg og gennemfør en undersøgelse, som svarer til en af dem, I arbejdede med i opgave 1 eller Forklar resultaterne af jeres undersøgelser. Lav tabeller og diagrammer, som viser resultaterne. Hvilken tekst kan I skrive, som beskriver resultaterne fra jeres undersøgelse? Tema/projekt 163

164 MATEMATISKE UNDERSØGELSER MÅL At du lærer: at løse problemer fra hverdagen ved hjælp af matematik at lave undersøgelser for at løse matematikproblemer at forklare, hvordan du har tænkt og har løst problemer, og hvad du har fundet ud af at begrunde, hvorfor du mener, at dit resultat er rigtigt at arbejde sammen med andre om at løse problemer i matematik. BEGREBER OG ORD undersøgelse undersøge model konklusion palindromtal tværsum pentagram FORHÅNDSVIDEN 1. Forklar, hvordan I vil løse opgave a og b herunder: a. Beregn arealet af en trekant med højden 12 og grundlinjen 8. b. Undersøg, hvor mange forskellige trekanter med arealet 48 I kan lave. 2. Diskuter, om I løste de to opgaver på forskellige måder. Brugte I fx tabeller, grafer, diagrammer, ligninger, formler, tegninger eller målinger til at løse opgaverne? Forklar hvorfor. OPGAVE 1 Anna og Malte skal bygge fuglekasser. De skal bygge hver fuglekasse af seks dele, som de skal save ud af en træplade. Du kan se de seks dele på skitsen herunder. side side bag for tag bund 13 cm OPGAVE 2 1. Undersøg, hvilke sidelængder og vinkler en ligebenet trekant kan have, hvis dens areal skal være 200 cm Undersøg, hvilke sidelængder og vinkler en ligebenet trekant kan have, hvis dens areal skal være 200 cm 2, og dens omkreds skal være så lille som mulig. OPGAVE 3 Jakubs mor skal købe toiletpapir. Hun ser på to forskellige tilbud i nogle tilbudsaviser. MULTIpapir 8 ruller - pris 34,95 kr. Vægt 826 g, 3 lag papir 120 meter pr. rulle cm 25 cm 25 cm 20 cm 20 cm 10 cm Anna og Malte har en træplade, som måler 115 cm i længden og 50 cm i bredden. Undersøg, hvor mange fuglekasser Anna og Malte kan bygge af træpladen. Matematiske undersøgelser WC-maxi 6 ruller - pris 29,95 kr. Vægt 570 g, 2 lag papir 170 meter pr. rulle Undersøg, hvilket tilbud der er bedst. 1. Hvilket tilbud giver Jakubs mor mest toiletpapir for pengene? Du kan fx undersøge prisen pr. rulle eller prisen pr. meter. 2. Hvilket toiletpapir vil du anbefale Jakubs mor at købe?

165 T PROBLEMER OG UNDERSØGELSER I MATEMATIK Når du arbejder med at løse problemer i matematik, kan der være flere rigtige måder at løse problemerne på, og tit er der også flere rigtige svar. Du skal kunne lave en matematisk undersøgelse for at løse problemet. Når du laver en undersøgelse, kan du: finde de informationer, som du har brug for, for at kunne løse problemet. stille spørgsmål, der hjælper dig med at løse problemet. lave en model, der viser problemet. finde ud af, hvilke metoder eller regler fra matematik du kan bruge. prøve dig frem ved at afprøve forskellige muligheder. bruge forskellige materialer eller digitale værktøjer. vise resultater fra din undersøgelse, fx i en tabel, med tegninger, med beregninger eller lignende. Når du har lavet din undersøgelse, er det vigtigt, at du laver en konklusion. I en konklusion skal du forklare og begrunde: hvordan du har tænkt og har løst problemet, hvad du har fundet ud af, og hvorfor du mener, at det er rigtigt. Du kan fx lave en kort film eller skærmoptagelse, som præsenterer din undersøgelse og konklusion. OPGAVE 4 Cille vil lave et lommepengebudget. Hun får 300 kr. i lommepenge hver måned. Hun vil gerne købe et blad, som koster 38 kr. hver måned. Hun vil til frisøren hver anden måned. Det koster 399 kr. pr. gang. Hun regner med at bruge cirka 75 kr. på en gave til hver af sine bedste veninder, som har fødselsdag i januar, april, juli, september og december. 1. Undersøg, om Cille får nok lommepenge om året til at dække sine udgifter. Du kan fx lave et budget i et regneark. 2. Forklar din makker: a. hvad du har fundet ud af b. hvordan du har løst problemet c. hvorfor du mener, at det er rigtigt. OPGAVE 5 Simons storebror skal rejse fra Aalborg til København en mandag. Han skal være i København senest kl Undersøg, om Simons storebror kan være i København kl , hvis han tager fra Aalborg kl Du kan finde oplysninger på internettet. 2. Hvilken rejseform vil du anbefale ham at vælge? Sammenlign mindst tre forskellige rejsemuligheder. Du kan finde oplysninger på internettet. 3. Hvad kommer rejsen til at koste? Opgaver 165

166 TO LIGE LANGE STÆNGER De 10 klodser, som I kan se herunder, har længder fra 1 cm til 10 cm. Hvis I sætter nogle af klodserne sammen, kan I bygge to lige lange stænger. Jeg har bygget to lige lange stænger af de fire mindste klodser 1 cm PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg, hvilke antal klodser det er muligt at bygge to lige lange stænger med, hvis I altid skal bruge alle de klodser, der er mindre end den længste klods, I har valgt at bygge med. I skal bruge: et sæt cuisenaireklodser med længderne 1-10 cm og computer eller tablet. I kan evt. selv bygge klodserne af centicubes, men I må ikke knække en klods, I har bygget. HJÆLPESPØRGSMÅL: Undersøg, om det er muligt at bygge to lige lange stænger, hvis I skal bruge alle 10 klodser. Forklar, hvorfor I kan eller ikke kan. Fjern nu den længste af klodserne, så de ni mindste klodser er tilbage. Er det nu muligt at bygge to lige lange stænger? Hvorfor eller hvorfor ikke? Hvad med de otte mindste klodser? De syv mindste? De seks mindste? Lav fx en tabel, hvor I viser, hvornår man kan og ikke kan bygge to lige lange stænger. I kan evt. bruge et digitalt værktøj. Antal klodser Prøv at forestille jer, at der findes længere klodser (med længderne 11 cm, 12 cm, 13 cm osv.) Med hvilke antal klodser ser det ud til, at det er muligt at bygge to lige lange stænger? Er det sandt, at I aldrig kan bygge to lige lange stænger, hvis I har et ulige antal klodser? Kan I lave en regel om, hvornår det er muligt at bygge to lige lange stænger? I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt To lige lange stænger Ikke to lige lange stænger 166 Matematiske undersøgelser

167 PALINDROMTAL Palindromtal er tal, som kan læses ens både forfra og bagfra. Herunder kan I se en række palindromtal, som vokser ud fra et bestemt system I palindromtallet 121 er der tre cifre. I tabellen herunder kan I se, hvor mange cifre der er i de første palindromtal. I kan også se tværsummen beregnet af de første palindromtal. I finder tværsummen af et tal ved at lægge værdien af alle cifrene i tallet sammen. Tal nr. Palindromtal Antal cifre Tværsum = Tværsummen af 89 er = 17 PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg, om I kan lave en regel for, hvordan man finder antallet af cifre, og hvordan man finder tværsummen af et palindromtal, uanset hvilket nummer palindromtallet har. HJÆLPESPØRGSMÅL: Undersøg, hvilket system palindromtallene vokser ud fra, og fortsæt rækken af palindromtal op til tal nr. 9. Hvordan vokser antallet af cifre i palindromtallene op til tal nr. 9? Kan I lave en formel, som kan bruges til at beregne antallet af cifre i et af palindromtallene op til tal nr. 9, hvis man kender nummeret på palindromtallet? Find tværsummen af alle jeres palindromtal. Vis, hvordan I kan beregne tværsummen af tal nr. 2, nr. 3, nr. 4,, nr. 9. Kan I lave en formel, som kan bruges til at beregne tværsummen af et palindromtal op til tal nr. 9, hvis man kender nummeret på palindromtallet? Undersøg, om jeres formler gælder for tal nr. 10? tal nr. 11? tal nr. 12? tal nr. 20? I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. O 59 Opgaver 167

168 TRAPPER Herunder kan I se forskellige slags trapper, som er bygget af centicubes. I skal forestille jer, at trapperne får flere og flere trin og prøve at finde regler for, hvor mange centicubes der skal bruges til at bygge de forskellige trapper. PROBLEM, I SKAL LØSE: A 64 Undersøg, om I kan lave regler for, hvor mange centicubes der skal bruges til at bygge de forskellige trapper, uden at I bygger og tæller centicubes i alle trapperne. I skal bruge: centicubes, isometrisk papir (A64), computer eller tablet. HJÆLPESPØRGSMÅL: Enkelttrapper Undersøg, hvor mange centicubes I skal bruge for at lave hver trappe med 4, 5, 6,, 10,, n trin. Lav en tabel, som viser resultaterne af jeres undersøgelser. Vis, hvordan I kan beregne antallet af centicubes i trapper med 3, 4, 5 og 6 trin. Forklar, hvilken sammenhæng der er mellem antal trappetrin og det antal centicubes, der skal bruges til at bygge trappen. 1 trin 2 trin 3 trin Dobbelttrapper Undersøg, hvor mange centicubes I skal bruge for at lave hver trappe med 4, 5, 6,, 10,, n trin. Lav en tabel, som viser resultaterne af jeres undersøgelser. Vis, hvordan I kan beregne antallet af centicubes i trapper med 3, 4, 5 og 6 trin. Forklar, hvilken sammenhæng der er mellem antal trappetrin og det antal centicubes, der skal bruges til at bygge trappen. 1 trin 2 trin 3 trin Jeres egne trapper Find selv på trapper og vis, hvordan de vokser. Kan I også finde ud af, hvor mange centicubes I skal bruge for at lave trapper med 4, 5, 6,, 10,, n trin? I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. 168 Matematiske undersøgelser

169 FERIEBUDGET En familie med to voksne og to børn på 9 år og 13 år skal planlægge en bilferie til Italien. Familien har sparet kr. sammen til ferien. De diskuterer meget, om de skal tage på sommerferie med sol og varme, eller om de skal tage på skiferie med sne og kulde. Herunder kan I se, hvad forskellige ting koster på de to ferier, som familien har kigget på. Familien regner med, at det koster 2 kr. pr. kilometer, de skal køre med bilen. De udgifter dækker både brændstof og motorvejsafgifter. PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg, om familien har råd til at tage på skiferie eller sommerferie, når deres budget er kr. I skal bruge: regneark. HJÆLPESPØRGSMÅL: Opstil et budget for hvert af familiens ferieønsker, som viser, hvilke udgifter de vil have i forbindelse med ferien. I skal tage højde for: transport mad og lommepenge udgifter til ophold andre udgifter, fx skileje, besøg i tivoliland osv. uforudsete udgifter. Lav en anbefaling til familien ud fra jeres budgetter. Hvad har de råd til? Hvilken ferie vil I anbefale dem at vælge? I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. O 60 Opgaver 169

170 PÅSTANDE OM ET PENTAGRAM Et pentagram er en femtakket stjerne, som kan ligge inde i en regulær femkant. PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg, om forskellige påstande, der handler om vinkler og figurer i pentagrammet og femkanten udenom, er sande eller falske. Forklar, hvordan I kan vide, om hver påstand er sand eller falsk. Påstande: 1) Pentagrammet deler hver af vinklerne i den regulære femkant udenom i tre lige store vinkler. 2) Arealet af pentagrammet er cirka 60 % af arealet af den regulære femkant udenom, uanset hvor stor eller lille pentagrammet og femkanten bliver. 3) Den lille femkant, som dannes inde midt i pentagrammet, vil altid være regulær. Find selv på to sande og en falsk påstand, og lad en anden gruppe undersøge jeres påstande. I skal bruge: et geometriprogram, lineal, evt. vinkelmåler. HJÆLPESPØRGSMÅL: Tegn et pentagram inde i en regulær femkant. Brug et geometriprogram. I kan fx lade sidelængden i den regulære femkant være 10. Find størrelsen af forskellige vinkler i tegningen. Hvilke geometriske figurer kan I finde inde i pentagrammet? Hvor mange forskellige figurer er der? Kan I navngive alle figurerne? Tegn pentagrammer inde i regulære femkanter i forskellige størrelser, og find: vinkelstørrelser i de forskellige figurer, der dannes areal af de forskellige figurer. Hvor stor en del af pentagrammets areal udgør den lille femkants areal? Hvor stor en del af arealet af den regulære femkant udenom pentagrammet udgør den? Find sidelængderne og vinklernes størrelse i så mange af figurerne inde i pentagrammet, som I kan. Vis, hvordan I kan beregne størrelsen af nogle af vinklerne, hvis I kun måler nogle af vinklerne og bruger jeres viden om vinkler i trekanter. Vis, hvordan I kan beregne arealet af et pentagram, hvor sidelængden i den regulære femkant udenom er 10, hvis I ikke må bruge et geometriprogram. I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. Præsenter også jeres egne påstande. 170 Matematiske undersøgelser O 61

171 SODAVAND Mange børn og unge kan godt lide sodavand. Det er forskelligt, hvor meget sodavand hver dansker drikker på en dag, en uge eller et år. Sundhedsstyrelsen anbefaler, at alle over 7 år ikke drikker mere end en halv liter sodavand eller saft om ugen. En halv liter om ugen? Her kan man svare på vores spørgeskema Jeg har fundet oplysninger på Danmarks Statistiks hjemmeside! PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg, om I selv, jeres familier og eleverne på forskellige klassetrin på skolen drikker mere eller mindre sodavand end Sundhedsstyrelsens anbefaling. HJÆLPESPØRGSMÅL: Find ud af, hvordan I kan indsamle data, som kan bruges til jeres undersøgelser. Vil I lave en undersøgelse, hvor I stiller spørgsmål til jeres klassekammerater, elever fra andre klasser eller jeres familie? Hvilke spørgsmål skal I stille, så I får nogle data, I kan arbejde med? Hvordan vil I ordne jeres data? Skal det være enkeltobservationer, eller vil I inddele dem i intervaller? Lav nogle diagrammer, som viser resultaterne af jeres undersøgelse. Hvilke statistiske deskriptorer kan I bruge til at beskrive jeres undersøgelse? Gennemsnit? Mindsteværdi eller størsteværdi? Hyppighed? Typetal? Median? Sammenlign forskellige aldersgruppers forbrug af sodavand. Fx: drikker de yngste eller de ældste elever på skolen i gennemsnit mere eller mindre end en halv liter sodavand om ugen? har I selv eller jeres forældre det største forbrug af sodavand? Hvordan er jeres forbrug i forhold til Sundhedsstyrelsens anbefaling? I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. Opgaver 171

172 EMBALLAGE TIL SMØREOST De fleste madvarer er pakket i emballage, der kan have meget forskellige størrelser og former. Emballagen skal kunne indeholde et bestemt rumfang, og det er billigst og bedst for miljøet, hvis der ikke bliver brugt for meget materiale til at lave emballagen. I skal designe emballage til en smøreost, som har rumfanget 150 ml. PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg, hvilken form emballagen til smøreosten skal have, hvis der skal bruges så lidt materiale som muligt til at lave den. I skal bruge: pap, saks, lim, et geometriprogram, lineal, vinkelmåler, passer. HJÆLPESPØRGSMÅL: Lav forslag til forskellige former, som emballagen kan have, og undersøg, hvor meget materiale der skal bruges til jeres forskellige forslag. Vis, hvad rumfanget af jeres emballage er med beregninger eller i et geometriprogram. Vis, hvad overfladearealet af jeres emballage er med beregninger eller i et geometriprogram. Lav en model af jeres emballage i pap med de rigtige mål. Hvilken rumlig figur har I bygget? Og hvordan ser den ud, når den er foldet ud? Tegn udfoldningen. 172 I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, hvor I præsenterer jeres emballage og forklarer, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. O 62 Matematiske undersøgelser

173 HÅRVASK OG HÅRSHAMPOO Nogle vasker hår hver dag, andre et par gange om ugen. Langt hår kræver mere shampoo end kort hår, og der skal bruges mere vand på at skylle det ud. Der er stor forskel på, hvad shampoo koster. Men hvor mange penge bruger vi egentlig på shampoo og vand til hårvask på et helt år? Hvor mange penge kunne vi spare, hvis vi ændrede vores vaner med at vaske hår? PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg, hvor mange penge man kan spare på et år, hvis man i stedet for at vaske hår hver dag nøjes med at vaske håret hver anden dag. I skal bruge: shampooflaske, vægt, målebæger, computer eller tablet. HJÆLPESPØRGSMÅL: Hvor meget shampoo bruger I på en hårvask? I kan fx finde vægten eller rumfanget af en portion shampoo. Gentag jeres målinger et par gange, så I er sikre på resultatet. Hvor meget vand bruger I på en hårvask? Hvor mange hårvaske er der til i en flaske shampoo? Hvor mange flasker shampoo og hvor meget vand bruger I på et år, hvis I vasker hår: hver dag? hver anden dag? Hvad koster 1 m 3 vand, hvor I bor? I kan finde oplysninger på internettet. Hvad koster et års forbrug af shampoo og vand, hvis I vasker hår: hver dag? hver anden dag? I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. Opgaver 173

174 SKOLEKASINO Forestil jer, at I skal lave et kasino, hvor man kan satse spillemønter og tabe eller vinde en gevinst, som fx kan være to, tre eller fire gange så mange spillemønter, som man har satset. I kasinoet kan man spille på de tre spil, I kan se herunder. Kaste-centicubefigur Den skæve terning Lykkehjul PROBLEM, I SKAL LØSE: A 58 Undersøg, hvilke gevinster der vil være gode i spillene, hvis jeres kasino ikke skal løbe tør for spillemønter. I kan undersøge et eller flere af spillene. I skal bruge: centicubes, en skæv terning og et lykkehjul (A58), regneark. HJÆLPESPØRGSMÅL: Undersøg, hvilke udfald der er i mindst et af de tre spil. Er der lige stor chance for hvert udfald? Undersøg, hvad sandsynligheden er for de forskellige udfald i mindst et af de tre spil. Lav en simulering af mindst et af spillene. Hvilken gevinst skal der være for hvert af udfaldene i: Kaste-centicubefigur? Den skæve terning? Lykkehjulet? I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. 174 Matematiske undersøgelser

175 CYKLER MED GEAR Det kan være hårdt at cykle op ad en stejl bakke på en cykel uden gear. Gearene kan hjælpe, så det fx er lettere at cykle op ad en bakke. Det bliver lettere eller tungere at træde i pedalerne afhængig af, hvilket gear I vælger. Gearene betyder noget for, hvor langt cyklen kommer fremad for hver omgang pedalerne drejer, når I træder i dem. PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg sammenhængen mellem de forskellige gear på en cykel, og hvor langt cyklen kommer fremad, når pedalerne drejer netop én hel omgang. I skal bruge: jeres cykler, kridt, målebånd, computer eller tablet. HJÆLPESPØRGSMÅL: Undersøg, hvor langt jeres cykler kommer fremad, når pedalerne drejer én hel omgang i: - 1. gear - 2. gear - 3. gear Lav en tabel med jeres resultater. Tegn en graf, som viser sammenhængen mellem, hvilket gear I cykler i, og hvor langt cyklen kommer fremad, når I træder i pedalerne, så de drejer netop én hel omgang. Hvad vil I kalde x-aksen og y-aksen? Vil I vise sammenhængen med punkter eller en sammenhængende graf? Sammenlign sammenhængen mellem gear, og hvor langt cyklen kommer fremad for forskellige cykler. Er der forskelle? Kan I forklare hvorfor? Overvej, om der er noget i jeres måde at lave undersøgelsen på, som kan give upræcise resultater. I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. Opgaver 175

176 EN IDRÆTSDAG 6.x skal arrangere en idrætsdag for skolens klasser. Der skal være forskellige aktiviteter, som eleverne kan prøve. På skolen er der to klasser på hver årgang. Der er i gennemsnit 25 elever i hver klasse. Skolens elevråd har bestemt, at der skal være disse aktiviteter på idrætsdagen: stikbold, længdespring, højdespring, rundbold, akrobatik og stratego. 6.x må selv finde på en eller to aktiviteter mere. Elevrådet har også disse krav til idrætsdagen: - den skal vare fra kl til kl der skal være en pause på 1 2 time til frokost og en pause på 15 minutter før frokost og en pause på 15 minutter efter frokost. - alle elever skal prøve mindst fire forskellige aktiviteter i løbet af dagen. - der kan højst være 50 børn med til hver aktivitet. - klasserne må ikke være sammen med den samme klasse til mere end en aktivitet. PROBLEM, I SKAL LØSE: Undersøg, hvordan et program for idrætsdagen kan se ud, hvis det skal passe til elevrådets krav. HJÆLPESPØRGSMÅL: Undersøg, hvor mange forskellige aktiviteter der mindst skal være på idrætsdagen. Prøv fx at lave et program ud fra: seks aktiviteter syv aktiviteter otte aktiviteter Kan det passe til elevrådets krav? Undersøg, hvor mange forskellige aktiviteter der mindst skal være i gang samtidig, for at alle klasser deltager i en aktivitet. Hvilke klasser er sammen til de forskellige aktiviteter? Hvornår er der aktiviteter, og hvornår er der pauser i programmet? Skal alle klasser holde pause og lave aktiviteter samtidig? I skal præsentere jeres undersøgelse og konklusion. I kan fx lave en film, som viser, hvordan I har tænkt og har løst problemet, hvad I har fundet ud af, og hvorfor I mener, at det er rigtigt. 176 Matematiske undersøgelser