FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning... 11 Ordliste... 13 Symboler... 14

De fire regningsarter Addition Beregningen 2 + 3 = 5 kaldes en sammenlægning eller en addition. 2 og 3 kaldes addender, og resultatet 5 kaldes en sum. Bemærk, at der foran den første addend (2) ikke behøver at være et fortegn. Plusset er underforstået. Byttes addenderne om, fås samme sum, dvs. addendernes orden er vilkårlig. Eksempel l 5 + 7 + 9 + 3 = 24 9 + 5 + 3 + 7 = 24 Addender skal være ensbenævnte (evt. ubenævnte) for at kunne sammenlægges. Summen får samme enhed som addenderne. Eksempel 2 5 ml + 2 ml + 7 ml = 14 ml Subtraktion Beregningen 9 7 = 2 kaldes en fratrækning eller en subtraktion. 9 kaldes minuenden, 7 kaldes subtrahenden, og resultatet 2 kaldes differensen. Ved subtraktion (fratrækning) skal de indgående størrelser være ensbenævnte (evt. ubenævnte), hvorved også differensen får samme enhed. Eksempel 3 9,20 kr. - 1,20 kr. = 8,00 kr. Enhver subtraktion kan kontrolleres ved subtraktionsprøven, der siger, at subtrahend + differens skal give minuend. Eksempel 4 Kontroller følgende subtraktion: 1927-319 1608 Subtraktionsprøve: 319 (subtrahend) + 1608 (differens) 1927 (minuend) Dvs. subtraktionen har været rigtig. Faglig regning Side 3 af 16

Multiplikation Beregningen 3 5 = 15 kaldes en multiplikation. 3 og 5 kaldes faktorer, og resultatet 15 kaldes et produkt. Byttes faktorerne om, fås samme produkt, dvs. faktorernes orden er vilkårlig. Eksempel 5 2 3 5 = 30 3 5 2 = 30 Parenteser kan hæves eller sættes efter behag om 2 eller flere efter hinanden følgende faktorer i et produkt. Eksempel 6 2 3 7 9 = 2 3 (7 9) 5 (8 7) 2 = 5 8 7 2 Er en af faktorerne 0, bliver produktet 0. Eksempel 7 5 2 7 0 = 0 Et produkts fortegn afhænger af faktorernes fortegn. Et lige antal minusser giver produktet fortegnet +. Et ulige antal minusser giver produktet fortegnet -. Eksempel 8 2 3 = 6 (+ + = +) 2 (- 3) = - 6 (+ - = -) (- 2) (- 3) = 6 (- - = +) Division Beregningen 20 : 5 = 4 kaldes en deling eller en division. 20 kaldes dividend, 5 kaldes divisor, og resultatet 4 kaldes en kvotient. Da 20 : 5 også kan skrives 20 bemærkes, at divisionstegnet kan erstattes med en brøkstreg. 5 NB! Der må aldrig divideres med 0. En kvotients fortegn afhænger af fortegnene for dividend og divisor. Eksempel 9 14: 7 = 2 (+ : + = +) (-14) : 7 = - 2 (- : + = -) (-14) : (-7) = 2 (- : - = +) Faglig regning Side 4 af 16

Flerleddede størrelser Parenteser Udtrykket 17 + (25 + 12-7) + 9 - (11 + 12-8) kaldes en flerleddet størrelse. Denne flerleddede størrelse indeholder 2 parenteser. Foran den første parentes står et plus, derfor kaldes parentesen en plusparentes. Foran den anden parentes står et minus, derfor kaldes parentesen en minusparentes. En plusparentes kan hæves eller sættes uden, at de enkelte led i parentesen forandrer fortegn. Eksempel 10 17 + (12-16 + 8) = 17 + 12-16 + 8 25 + 13 + 2-5 = 25 + (13 + 2-5) En minusparentes kan hæves eller sættes, når de enkelte led i parentesen forandrer fortegn. Eksempel 11 26 - (13 + 9-7) = 26-13 - 9 + 7 17-3+2-7 =17-(3-2+7) Er der led i en flerleddet størrelse, der indeholder en fælles faktor, kan denne faktor sættes uden for en parentes. Eksempel 12 17 + 50 + 20-10 = 17 + 10 (5 + 2-1) Brøk Et tal af typen 9 4 kaldes en brøk. Tallet over brøkstregen kaldes tælleren. Tallet under brøkstregen kaldes nævneren. Er tælleren mindre end nævneren, kaldes brøken en ægte brøk. Er tælleren større end nævneren, kaldes brøken en uægte brøk. Eksempel 17 3 er en ægte brøk. 4 4 er en uægte brøk. 3 En uægte brøk kan ved at dividere tæller med nævner omskrives til et blandet tal, dvs. et tal bestående af et helt tal og en ægte brøk. Faglig regning Side 5 af 16

Eksempel 18 19 3 1 6 3 En brøk kan forlænges ved at gange tæller og nævner med samme tal. Eksempel 19 2 forlænges med 7: 5 2 14 5 35 En brøk kan forkortes ved at dividere tæller og nævner med samme tal. Eksempel 20 9 forkortes med 9: 27 9 1 27 3 Regneregler for brøk Brøker med samme nævner sammenlægges eller fratrækkes ved at sammenlægge eller fratrække tællerne og beholde nævneren. Eksempel 21 5 1 7 7 6 7 2 1 1 3 3 3 Sammenlægning og fratrækning af brøker kan kun finde sted, når brøkerne har samme nævner, eller når de omregnes, så de får samme nævner (fællesnævneren). Eksempel 22 3 14 1 7 3 14 2 14 5 14 Fås ved regning med brøker som resultat en brøk, der kan forkortes, bør denne brøk forkortes. Eksempel 23 7 15 2 15 5 15 1 3 En brøk ganges med et tal ved at gange tælleren med tallet og beholde nævneren. Eksempel 24 2 5 19 10 19 2 brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. Faglig regning Side 6 af 16

Eksempel 25 3 7 10 5 21 50 En brøk divideres med et tal ved at gange nævneren med tallet og beholde tælleren eller ved at dividere tælleren med tallet og beholde nævneren. Eksempel 26 7 :3 11 2 : 7 5 7 33 2 35 10 2 :5 11 11 En brøk divideres med en anden brøk ved at gange med den omvendte brøk. Eksempel 27 3 2 : 11 5 3 5 11 2 15 22 Decimalbrøk En brøk (ægte eller uægte) kan omskrives til decimalbrøk ved at dividere tælleren med nævneren. Eksempel 28 1 0,25 4 Afrunding Ofte er det nødvendigt at slette overflødige decimaler i et resultat. Det kaldes afrunding. Er det første af de cifre, som skal slettes, 5, 6, 7, 8 eller 9, skal der forhøjes, hvilket vil sige, at der skal lægges 1 til det sidste af de medtagne cifre. Er det første af de cifre, som skal slettes, O, 1, 2, 3 eller 4, forhøjes ikke. Følgende tal er afrundet til tal med 2 cifre efter kommaet (2 decimaler): 9,278 ~ 9,28 1,2338 ~ 1,23 Skal 0,4298 afrundes til et tal med 3 decimaler, fås 0,430. Bemærk, at nullet skal medtages for at vise, at der er afrundet til 3 decimaler. Dvs. resultatet er 0,430 og ikke 0,43. Ved afrunding er det alene det første af de cifre, som skal slettes, der afgør, om der skal forhøjes. Skal 0,3245 afrundes til et tal med 2 decimaler, fås derfor 0,32. Når en brøk omdannes til decimalbrøk ved at dividere tæller med nævner, er det ikke altid, at divisionen går op. I sådanne tilfælde angives, hvor mange decimaler den fremkomne decimalbrøk ønskes bestemt med. Ved divisionen udregnes med en decimal mere, end der er forlangt, hvorefter der afrundes. Faglig regning Side 7 af 16

Følgende brøker er omskrevet til decimalbrøk med 2 decimaler: 1 0,111~ 0,11 9 3 0,176 ~ 0,18 17 Talbehandling Vurdering af resultater Efter enhver beregning bør det vurderes, om resultatet ser rimeligt ud. Er der fx ved en beregning fundet, at densiteten for en vandig opløsning er 10,36 g/ml, bør det straks konstateres, at der må være en beregningsfejl, da vandige opløsningers densitet ligger omkring l g/ml. Her kan f.eks. være lavet en kommafejl, idet et resultat på 1,036 g/ml er mere sandsynligt. Ved at vænne sig til at være kritisk over for egne beregningsresultater, er der en stor chance for at fange fejl og dermed opnå at arbejde mere sikkert i det daglige. Overslag Når det skal vurderes, om et resultat ser rimeligt ud, kan det være til stor hjælp at lave et overslag. Et overslag er en beregning af det omtrentlige facit ved hjælp af afrundede tal. Bemærk, at jo mere de indgående tal afrundes, des "grovere" bliver overslaget. Overslag er en kontrol på, at resultatet har en sandsynlig størrelsesorden, idet mindre regnefejl let kan "slippe igennem" denne kontrol. Eksempel 31 Nøjagtig beregning 211 179 536 33 + 219 1178 Overslag 200 200 500 O + 200 1100 Absolutte tal Tal, der fremkommer ved at tælle en række genstande, indeholder ingen usikre cifre. Sådanne tal kaldes absolutte tal. Et absolut tal kan altid opfattes som havende et uendeligt antal betydende cifre, idet tallet kan efterfølges af nuller på et vilkårligt antal decimalpladser. Er der fx 20 elever i en klasse, er 20 et absolut tal og kan om ønskeligt skrives som 20,00000 osv. Beregningsnøjagtighed Et beregningsresultat skal angives med netop det antal betydende cifre, nøjagtigheden af de indgående tal berettiger til. Det vil være forkert at medtage for mange betydende cifre i resultatet. Men det er lige så forkert at afrunde groft og angive resultatet med for få betydende cifre. Faglig regning Side 8 af 16

Foretages beregninger fx ved hjælp af en lommeregner, fås ofte et resultat med et stort antal cifre, hvor flere af de sidste cifre kan være usikre. Et sådant resultat skal selvfølgelig altid afrundes til et tal med det "rigtige" antal betydende cifre. Addition og subtraktion: Resultatet afrundes til et tal med samme antal decimaler, som tallet med det mindste antal decimaler indeholder. Herved fås kun et usikkert ciffer (den sidste decimal). Eksempel 34 162,5 0,569 0,0373 120,6863 283,7926 Idet 162,5 er det tal, der indeholder det mindste antal decimaler (1 decimal), skal resultatet afrundes til et tal med l decimal. Dvs.: 283,7926 ~ 283.8 Eksempel 35 5,793-2,9241 2,8689 Idet 5,793 er det tal, der indeholder det mindste antal decimaler (3 decimaler), skal resultatet afrundes til et tal med 3 decimaler. Dvs.: 2,8689 ~ 2.869 Multiplikation, division og brøkstregudregning: Resultatet afrundes til et tal med samme antal betydende cifre, som tallet med det mindste antal betydende cifre indeholder. Herved fås kun et usikkert ciffer (det sidste ciffer). Eksempel 36 1,65370 0,260 ~ 0,42996200 Idet 0,260 er det tal, der indeholder det mindste antal betydende cifre (3 betydende cifre), skal resultatet afrundes til et tal med 3 betydende cifre. Dvs.: 0,42996200 ~ 0,430 Eksempel 37 5,678 5,17 1,1 Idet 1,1 er det tal, der indeholder det mindste antal betydende cifre (2 betydende cifre), skal resultatet afrundes til et tal med 2 betydende cifre. Dvs.: 5,17 ~ 5,2 Eksempel 38 270 0,026 1,351 0,325 7,02 0,439075 15,988156 Idet 0,026 er det tal, der indeholder det mindste antal betydende cifre (2 betydende cifre), skal resultatet afrundes til et tal med 2 betydende cifre. Dvs.: 15,988156 ~ 16 Faglig regning Side 9 af 16

Eksempel 39 700 15,0 335,46325 31,3 Idet alle 3 tal indeholder det mindste antal betydende cifre (3 betydende cifre), skal resultatet afrundes til et tal med 3 betydende cifre. Dvs.: 335,46325 ~ 335 Forholdsregning Eksempel 42 En mikstur indeholder 8 mg lægemiddelstof pr. ml. Hvor meget lægemiddelstof er der i l barneskefuld? (1 barneskefuld = 10 ml) Udregning: l ml mikstur indeholder 8 mg lægemiddelstof 10 ml - - 10 8 mg = 80 mg lægemiddelstof Eksempel 43 Hvor meget salicylsyre indeholder 60 g salve, når 125 g salve indeholder 5,0 g salicylsyre? Udregning: 125 g salve indeholder 5,0 salicylsyre 5, 0 1 g salve indeholder g = 0,04 g salicylsyre 125 5,0 60 60 g salve indeholder 2, 4 g salicylsyre 125 Et dråbepræparat indeholder 500.000 IE penicillin pr. ml. Hvor mange IE penicillin er der i 30 dråber? (l ml = 20 dråber) Udregning: l ml = 20 dråber indeholder 500.000 IE 1 dråbe = 500.000 IE = 25.000 IE 20 500.000 30 30 dråber = = 750.000 IE 20 Faglig regning Side 10 af 16

Procentregning "Procent" (angivet med symbolet %) kommer af det latinske udtryk "pro centum" og betyder pr. hundrede. Dvs., at 5 % betyder 5 hundrededele ( 5 ) 100 Skal der beregnes 4 % af 75 g tages 4 hundrededele af 75 g, dvs. 4 % af 75 g = 4 75 g 3g 100 4 % kaldes procentsats 75 g kaldes grundværdi 3 g kaldes procentværdi Al regning med procent består i, at der opgives 2 af værdierne (procentsats, grundværdi eller procentværdi) og heraf beregnes den tredie værdi. Beregning af procentværdi Eksempel 45 Find 5 % (procentsats) af 40 g (grundværdi) Udregning: 5 5 % af 40 g = 40 g 2 g (procentværdi) 100 Eksempel 46 I 1850 g urteblanding findes 40 % sennesblad. Hvor mange gram sennesblad indeholder urteblandingen? Udregning: 40 % af 1850 g 40 1850 g = 740 g sennesblad. 100 Beregning af procentsats Når det skal beregnes, hvor stor en procent, en værdi a udgør af en anden værdi b, sættes denne sidste værdi (grundværdien) til 100 %. Da b svarer til 100 %, beregnes ved hjælp af forholdsregning, hvor mange procent a svarer til: b g ~ 100 % 1 g ~ a g ~ 100 % b 100 a % b Eksempel 47 Hvor mange procent udgør 30 g (procentværdi) af 200 g (grundværdi)? Udregning: 200 g udgør 100% Faglig regning Side 11 af 16

100 1 g udgør % 200 30 g udgør 100 30 % = 15% (procentsats) 200 Beregning af grundværdi Når procentsatsen og procentværdien kendes, og hele mængden (grundværdien) skal beregnes, findes først, hvad 1% svarer til ved at dividere procentværdi med procentsats. Derefter beregnes hele mængden ved at gange med 100. Eksempel 48 5 % (procentsats) af en mængde udgør 7 g (procentværdi). Hvor stor er hele mængden? Udregning: 5 % svarer til 7 g 1 % svarer til 5 7 g 100 % svarer til 7 100 g = 140 g (grundværdi) 5 Der er ofte brug for at omregne procent til brøk og omvendt at omregne brøk til proccnt. En procent omregnes til brøk ved at sætte procenten i tælleren og 100 i nævneren. Eksempel 49 3,5 % svarer til 3,5 100 35 1000 7 200 En brøk omregnes til procent ved at gange den med 100 Eksempel 50 3 svarer til 25 3 100 % = 12 % 25 Promille Promille (angivet ved symbolet ) betyder pr. tusind, dvs. så og så mange tusindedele. Regnereglerne for promille er de samme som for procent, idet 100 erstattes af 1000. Faglig regning Side 12 af 16

Ordliste Addend: Addere: Addition: Ciffer: Decimal: Differens: Dividend: Dividere: Division: Divisor: Eksponent: Faktor: Kvotient: Minuend: Multiplicere: Multiplikation: Numerisk: Potens: Procent: Produkt: Promille: Reciprok: Reducere: Subtrahend: Subtrahere: Subtraktion: Et tal, der skal lægges til. Lægge til. Sammenlægning. Taltegn. Cifre efter komma betegnes decimaler. Forskellen mellem to størrelser. Et tal, der skal divideres. Dele. Deling. Et tal, der divideres op i et andet tal. Eksponenten til f.eks. tallet 7 5 er det tal, 5, der angiver, hvor mange gange tallet 7 skal ganges med sig selv. Et tal, der skal ganges med et eller flere andre tal. Resultat af en division. Et tal, hvorfra der skal trækkes et andet tal. Eks.: 7 3 = 4. Her er 7 minuend. Gange. Gangning. Ved den numeriske værdi for et tal forstås tallets værdi uden hensyn til fortegnet. Et produkt af ens størrelser. 1 procent (1 %) af a = en hundrededel af a. Resultat af en multiplikation. 1 promille (1 ) af a = en tusindedel af a. Ved den reciprokke værdi af et tal forstås 1 divideret med tallet. Forenkle. Et tal, der skal trækkes fra et andet tal. Eks.: 7-3 = 4. Her er 3 subtrahend. Trække fra. Fratrækning. Faglig regning Side 13 af 16

Symboler + - : ~ ( ) evt. [ ] "Plus" mellem 2 tal viser, at disse skal lægges sammen. "Plus" kan også bruges som fortegn, idet størrelsen +a kaldes positiv, såfremt a er større end nul. "Plus", anvendt som fortegn, kan udelades og er da underforstået. "Minus" mellem 2 tal viser, at det sidste tal skal trækkes fra det første. "Minus" kan bruges som fortegn, idet størrelsen -a eller (-a) kaldes negativ, såfremt a er større end nul. Multiplikationstegnet betyder, når det står mellem 2 tal, at disse skal multipliceres, f.eks. a. b. Divisionstegnet mellem 2 tal betyder, at det første tal skal divideres med det sidste tal, f.eks. a : b. Tegnet betyder "svarer til" eller "ækvivalent med". Parentesen viser, at den størrelse, der står inde i den, skal betragtes som en størrelse med hensyn til tegnet før parentesen. Parenteser, der har plus foran, kan hæves uden videre. Eks.: +(a + b - c) = a + b c. Parenteser, der har minus foran, kan kun hæves, hvis fortegnene for samtlige størrelser i parentesen ændres. Eks.: -(a + b - c) = - a - b + c. Er der flere parenteser inden i hinanden, må de inderste parenteser hæves først. Det kan i disse tilfælde være praktisk at give parenteserne forskellig form, f.eks. () og [ ]. = => >,< I I Lighedstegnet betyder "er lig med" og bruges mellem 2 lige store størrelser. Tegnet betyder "medfører". Ulighedstegnet betyder, når det står mellem 2 størrelser, at de er ulige store, og spidsen vender altid mod den mindste størrelse, f.eks. 7 < 12 og 12 > 1. Tegnene og læses, når de står mellem 2 størrelser, som henholdsvis "mindre end eller lig med" og "større end eller lig med". Tegnet angiver et tals numeriske værdi, dvs. tallets værdi uden hensyn til fortegnet. F.eks., betyder I X I den numeriske værdi af X. Eks.: Haves X = -2, er I X I =2. Faglig regning Side 14 af 16

Potenser af 10 Potenser af 10 har følgende forkortede betegnelser: Potenser af 10 Symbol Eks. 10 6 M(mega) 1 Mm 10 3 k(kilo) 1 km 10-3 m(milli) 1 mm 10-6 μ(mikro) 1 μm 10-9 n(nano) 1 nm Det græske alfabet Tegn Navn α alfa β beta γ gamma δ delta ε epsilon ζ zeta η eta θ theta ι iota κ kappa λ lambda μ my ν ny ξ ksi ο omikron π pi ρ ro ς final sigma (Anv. hvis sigma står som sidste bogstav i ordet.) σ sigma (Anv. hvis bogstavet sigma står inde i ordet.) τ tau υ ypsilon φ fi χ khi ψ psi ω omega Romertal M 1000 D 500 C 100 L 50 X 10 V 5 I 1 I modsætning til vort eget talsystem (positionssystemet), hvor det er enkeltcifrenes plads (position) i det store tal, der giver dem værdi og derfor kan "læses", må der ved romertallene foretages en beregning, en sammenlægning, og dette talsystem kaldes derfor additions-systemet. Eksempel: Når der skrives tallet 1312, fortælles efter positionssystemet, alene ved brug af cifrene og deres plads i tallet, at der er 1 tusinde 3 hundrede 1 tier 2 enere Faglig regning Side 15 af 16

Modsat må ved additionssystemet (romertal) de enkelte områder udregnes: MCCCXII betyder M = 1000 1000 CCC = 3 100 = 300 X=10 10 II=2 1 = 2 dvs. 1312 Eksempel: 1967 med romertal: MCMLXVII 1588 med romertal: MDLXXXVIII 659 med romertal: DCLIX CMIX 2523 med romertal: MMDXXIII Bemærk, at når et mindre tal står foran et større tal, skal det mindre tal trækkes fra det større tal. F.eks. er romertallet XC lig med 90, idet der her skal trækkes 10 (X) fra 100 (C). Der må højst stå et mindre tal foran et større tal. Kilde: Faglig regning, DAK, Apoteksassistentskolen, juni 1995 af Inger Sedum m.fl. Faglig regning Side 16 af 16