Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Eksempler

Transkript

1 Matematik på Åbent VUC Trin

2 Indledning til kursister på Trin II Indledning til kursister på Trin II Dette undervisningsmateriale består af 10 moduler med opgaver beregnet til brug på Trin I og 7 moduler med supplerende opgaver beregnet til brug på Trin II. I hvert modul er der en bestemt type opgaver. Der er fx et modul med Procentregning og et modul med Geometri. Du kan se navnene på alle modulerne i indholdsfortegnelsen. En hel del af fagstoffet er fælles for både Trin I og Trin II. Og dette fælles fagstof er kun med i modulerne til Trin I. Derfor vil mange kursister, der starter på Trin II, have brug for at arbejde med en del af opgaverne i Trin I-modulerne. Opgaverne i Trin I-modulerne er mærket: - nogle opgaver mærket med - nogle opgaver mærket med - nogle opgaver mærket med Jo mere farve der er i mærket, jo sværere er opgaven (synes jeg). Som Trin II-kursist skal du især regne opgaver mærket med og. Opgaverne i Trin II-moduler er ikke mærkede. Du skal regne så mange som muligt, men du kan sikkert ikke nå dem alle. Bed din lærer hjælpe dig med at vælge blandt opgaverne. Du må altid hoppe over en opgave eller noget af en opgave, hvis opgaven ligner de foregående, og du er sikker på, at du kan regne den. Til alle opgave-modulerne hører et modul med eksempler. Hvis du døjer med at regne en opgave, kan du næsten altid finde et eksempel, der ligner. Til alle opgave-modulerne hører også en facit-liste. Når du arbejder med opgaverne, er det en god ide regelmæssigt at kikke i facit-listen. Du får ikke noget ud af at regne en masse opgaver på en forkert måde. God fornøjelse med opgaverne! Niels Jørgen Andreasen Lektion 00s - Indledning til kursister på Trin II

3 Indholdsfortegnelse for eksempelsamling Eksempelsamlingen er inddelt i disse moduler: Grundliggende regning og talforståelse...1 Omregning... Sammensætning af regnearterne...1 Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler...18 a Brøker og forholdstal...19 Procent...8 Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler... a Bogstavregning...7 Bogstavregning - supplerende eksempler... a Funktioner og koordinatsystemer...7 Funktioner - supplerende eksempler... a Geometri...7 Statistik...71 Statistik...78 a Kombinatorik og sandsynlighedsregning...79 Rente, lån og opsparing - supplerende eksempler...8 Hvert modul er inddelt i en række afsnit, og alle modulerne starter med en indholdsfortegnelse over disse afsnit. Modulerne med supplerende eksempler er udelukkende beregnet til brug på Trin II ne er lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Arbejdet med eksemplerne er afsluttet i sommeren 00. Jeg vil meget gerne høre fra dig, hvis du opdager fejl i eksemplerne eller på anden måde har kommentarer hertil. Med venlig hilsen Niels Jørgen Andreasen niels.joergen.andreasen@vucaarhus.dk Lektion 00s - Indholdsfortegnelse til eksempelsamling med supplerende eksempler

4 Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...0 Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine...1 Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal... Lig med, større end og mindre end... Regning med papir og blyant... Gange og division med 10, 100, o.s.v... Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 0

5 Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine I eksemplerne herunder skal du bruge prislisten til højre. ne er enkle, men ideen er at vise, hvordan man bruger regnemaskinen. Mælk, pr. liter...7 kr. Rugbrød...1 kr. Kager, pr. stk... kr. Slik, kæmpepose... 0 kr. på opgaver Hvad koster en liter mælk og et rugbrød? Hvor meget får man tilbage, når man køber et rugbrød og betaler med 0 kr.? Hvad koster liter mælk? Mælk 7 kr. Betalt 0 kr. Rugbrød 1 kr. Rugbrød 1 kr. I alt 19 kr. Tilbage 8 kr. 7 kr. kr. På regnemaskinen tastes: 7 x Eller blot: 7 kr. + 1 kr. 19 kr. På regnemaskinen tastes: Eller blot: 0 kr. - 1 kr. 8 kr. På regnemaskinen tastes: 0-1 Man skriver gange med en prik, men på regnemaskinen skal man taste et kryds. på opgaver Hvor mange kager kan man få for 0 kr.? børn deler en kæmpepose slik. Hvor meget skal de betale hver? 0 kr. : kr. På regnemaskinen tastes: 0 0 kr. : kr. På regnemaskinen tastes: 0 Man skriver division med to prikker, men på regnemaskinen ser tegnet anderledes ud. I eksemplet til venstre spørger man: Jeg har 0 kr. Hvor mange gange kan jeg få kr.? I eksemplet til højre deler man 0 kr. i lige store dele. Men regnestykket er det samme. Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 1

6 Talsystemets opbygning - afrunding af tal Herunder er tegnet firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret på må og få. Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem. betyder nemlig 10+, eller to 10 ere og fire 1 ere. betyder på samme måde , eller tre 100 ere, to 10 ere og fem 1 ere. Forestil dig, at du har tre 100-krone-sedler, to 10-kroner og fem 1-kroner., betyder to 1 ere (to hele) og fire 10.ende-dele. Det er et tal mellem og. De enkelte tal i et tal kaldes cifre. har to cifre. har tre cifre. Tal med komma i kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler. på opgaver Afrund, til en decimal. Afrund.1 til helt antal tusinde., er et tal mellem, og, men tættest på,. Derfor bliver resultatet:,,.1 er et tal mellem.000 og.000 men tættest på.000. Derfor bliver resultatet:.000.1,, Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad., afrundes til,. I store tal ( som f.eks..1) sætter man ofte - men ikke altid - punktum efter hvert. ciffer regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen. Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum Det er ret forvirrende! Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

7 Store tal og negative tal Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem. Her er et par eksempler: Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives Nogle gange skriver man blot fem mio. eller mio. En million skrives Altså et et-tal med seks nuller bagefter. Det er det samme som Der bor omkring seks milliarder mennesker på jorden. Tallet seks milliarder skrives Nogle gange skriver man blot seks mia. eller mia.. En milliard skrives Altså et et-tal med ni nuller bagefter. Det er det samme som tusind millioner eller eller Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. på opgaver Udregn: 8 Udregn: Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten Lig med, større end og mindre end Du kender sikkert lighedstegnet. Man skriver +, fordi + er lig med. Man kan også skrive eller 117, 117,. Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud: 7> betyder at 7 er større end Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej. Tegnet åbner sig altid imod det største tal. < 8 betyder at er mindre end 8 Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

8 Regning med papir og blyant Når man regner med papir og blyant skal man sætte i mente og låne på opgaver Udregn: + Udregn: 78 + Tallene skrives op over 78 + hinanden og 1 erne lægges + 8 sammen. 78 Derefter lægges 10 erne + + sammen. 98 Til sidst lægges 100 erne 78 + sammen. Den tomme plads + 98 opfattes som erne lægges sammen og giver 1, men ti af 1 ere sættes i mente som en 10 er 10 erne lægges sammen og giver 1, men ti af 10 ere sættes i mente som en 100 er 100 erne lægges sammen og giver. på opgaver Udregn: 78-7 Udregn: Tallene skrives op over - 7 hinanden og 1 erne trækkes fra hinanden 7 10 Man må låne en 10 er for at kunne trække 1 erne fra hinanden Derefter trækkes 10 erne fra hinanden. 1 7 Man må låne en 100 er for at kunne trække 10 ere fra hinanden Til sidst trækkes 100 erne fra - 7 hinanden. Den tomme plads opfattes som erne trækkes fra hinanden. Der er fem 100 er i øverste række. Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

9 på opgaver Udregn: Udregn: 9 Tallene skrives op, og og 9 ganges med hinanden. 9 og ganges med hinanden gange giver, men -tallet sættes i mente. gange 9 giver. Hertil lægges -tallet. Man får 8, men -tallet sættes i mente. gange giver 8. Hertil lægges -tallet. Man får 11. Gange og division med 10, 100, o.s.v. på opgaver 10 1, : 10 0 : , : : , Man ganger et tal med 10, 100, o.s.v. ved at sætte 0 er på tallet eller rykke kommaet til højre. Man dividerer et tal med 10, 100, o.s.v. ved at fjerne 0 er eller rykke kommaet til venstre. på opgaver : 00 Man må se bort fra 0 erne i første omgang. 8 Derefter sættes de tre 0 er bagpå. I alt fås: Man må fjerne 0 erne parvis på denne måde: : : : 0 I den sidste beregning bruger man, at: 1 : Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

10 Omregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Kg-priser...7 Tid og hastighed...9 Valuta...11 Rente og værdipapirer...1 Lektion 0 - Omregning eksempler Side

11 Kg-priser De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder. Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder: Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man bruger den ene eller den anden skrivemåde. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Find prisen på 1,7 kg oksefars. 1, ,0 kr. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Find prisen på 0 g oksefars. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: g koster 9 kr. 9 1 g koster 0,09 kr g koster 0 0,09, kr. - Man kan i en beregning sige: , kr. - Eller man kan (fordi 0 g 0,0 kg) sige: 0,0 9, kr. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 0 kr? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: - Eller man kan i en beregning sige: g koster 9 kr. 9 1 g koster For 0 kr. kan man få: 0,09 kr. 0 0,09 78 g. 0 : 9 0,78 kg eller 78 g Lektion 0 - Omregning eksempler Side 7

12 , kg kartofler koster 9,9 kr. Find kg-prisen. 9,9 :,,98 kr. pr. kg. g leverpostej koster 11,7 kr. Find kg-prisen. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: g koster 11,7 kr. 11, 7 1 g koster 0,01 kr g koster 0, ,1 kr. - Man kan i en beregning sige: 11, ,1 kr. - Eller man kan (fordi g 0, kg) sige: 11,7 : 0,,1 kr. g leverpostej koster 7,9 kr. Hvad vil g koste? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan sige: - Eller man kan i en beregning sige: g koster 7,9 kr. 7,9 1 g koster 0,0 kr. g koster 0,0 11,8 kr. 7,9 11,8 kr. ne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver. Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de efterfølgende afsnit om tid og valuta. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 8

13 Tid og hastighed Opgaver med tid er besværlige, fordi tids-enhederne ikke passer ind i vores talsystem. Det er let at regne med meter og cm, fordi der er 100 cm i en meter, og det er let at regne med kg og gram, fordi der er gram i et kg. Men når der er 0 sekunder i et minut og 0 minutter i en time, kan man let lave fejl. på opgaver Hvor mange minutter er timer og 17 minutter? Omregn 10 sekunder til minutter og sekunder minutter Man siger først: 10 : 0,1... Det betyder, at der er hele minutter, som svarer til 0 00 sekunder. Derfor er: 10 sekunder minutter og 10 sekunder på opgaver Det koster kr. i timen at leje en båd. - Hvad koster det at leje båden i timer og 0 minutter? - Hvor længe har man haft båden, når man skal betale 10 kr? Man kan sige: t. og 0 min minutter 1 min. koster 0,7 kr. 0 t. og 0 min. koster: 10 0, 711,0 kr. Man kan sige: 1 min. koster 0,7 kr. 0 For 10 kr. kan man få: 10 min. t. og 0 min min. 0,7 En håndværker tager 780 kr. for timer og 1 minutter. Hvad er timelønnen? Man kan sige: t. og 1 min minutter Prisen pr. minut er: 780 : 19 kr. Prisen pr. time er: 0 0 kr. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 9

14 på opgaver Omregn timer og 0 minutter til decimaltal. t. og 0 min.,8 time. 0 Det er fordi 0 min. time 0,8 time. 0 Du må aldrig sige at: t. og 0 min.,0 time. Omregn 1, time til timer og minutter. 1, time 1 t. og 1 min. Det er fordi 0, t. 0, 0 min. 1 min. Du må aldrig sige at: 1, time 1 t. og 0 min. En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går.) pr. tidsenhed. Hvis en bil kører 100 km/time, så vil den på en time kunne køre 100 km. Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund. på opgaver: En bil kører 0 km på timer. Hvad er bilens hastighed? Hvor langt kan du gå på timer, når din hastighed er km/time? Hvor lang tid tager det at cykle 0 km, når man kører 1 km/time? 0 80 km/time 10 km Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre. Formlen kan omskrives som vist herunder. Afstand Hastighed Tid eller Tid 0 timer 1 Afstand Hastighed Tid Afstand Hastighed Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen. Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler km på 1 time 0 minutter? - Da 1 time og 0 min. 1, time, kan man sige: km/time 1, - Eller man kan finde hastigheden i km/min. og gange med 0. Det kan gøres i en beregning: 0 90 km/time Lektion 0 - Omregning eksempler Side 10

15 Valuta Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 100 stk. af den fremmede valuta. I disse eksempler og de tilhørende opgaver er der brugt valutakurser fra sommeren 001, men valutakurser ændrer sig hele tiden. Kursen på svenske kr. er 8,91. Det betyder, at 100 svenske kr. koster 8,91 danske kr. En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,891 kr. eller 8,91 øre. Kursen på US-dollars er 8,91. Det betyder, at 100 US-dollars koster 8,91danske kr. En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 8,91 kr. eller 8,91 øre. Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel: F K D D Antal danske kroner F Antal fremmed valuta K Valutakursen 100 Formlen kan også skrives således: D 100 F eller K K D 100 F på opgaver: Hvor meget koster 0 US-dollars, når kursen er 8,91? Hvor mange svenske kr. kan man få for 800 danske kr., når kursen er 8,91? Hvad er kursen på pesetas, når pesetas, koster.19 kr.? 0 8,91.1 kr. 100 Eller blot: 0 8,91.1 kr. fordi hver dollar koster 8,91 kr sv. kr. 8,91 Eller blot: sv. kr. 0,891 fordi hver svensk krone koster 0,891 dansk krone , pesetas koster altså kun cirka,0 kr. Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at vurdere, om resultatet er rimeligt. I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet. I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr. I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 100), fordi antal pesetas er langt større end antal kr. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 11

16 Rente og værdipapirer Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter. Renten opgives som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno), men pengene står sjældent i netop et år. Derfor beregnes renten efter det præcise antal dage. For at gøre beregningen lettere kan man lade som om, der er 0 dage i alle måneder og 0 dage i et år (fejlen bliver ikke ret stor), men bankens computere bruge de præcise tal. Man bruger denne formel (evt. med i stedet for 0): K r d R R beregnet rente i kr. K kapital i kr. r renten pr. år i procent d antal dage (kaldet rentedage) på opgaver Der står.000 kr. fra 1. april til 1. juni på en konto med en rente på % pro anno. Beregn renten, hvis man regner - med 0 dage i hver måned. - med det præcise antal dage. Der går måneder 0 dage, så man får:.000 0,00 kr Der går 1 dage (tæl selv efter), så man får:.000 1,07 kr. 100 Aktier og obligationer er eksempler på værdipapirer. Aktier er andele i virksomheder (aktieselskaber). Hvis virksomheden giver overskud, får aktieejerne del i overskuddet (udbytte). En aktie har en pålydende værdi, men handelsprisen kan være højere eller lavere. Den kaldes kursværdien og afhænger af, hvor godt virksomheden går. Kursen på en aktie er handelsprisen for hver 100 kr. i pålydende værdi. Formlen viser sammenhængen: Kursværdi Pålydende værdi Kurs 100 Obligationer er gældsbeviser. Hvis man ejer en obligation har man en sum penge til gode. Dette beløb kaldes obligationens pålydende værdi. Man får hvert år udbetalt en bestemt procentdel af disse penge i rente, og ved slutningen af obligationens løbetid får man udbetalt penge svarende til den pålydende værdi. Obligationer kan købes og sælges. Man køber og sælger retten til at få de årlige renter samt - til sidst - den pålydende værdi. Renten på en obligation er fast gennem hele løbetiden (mange år), mens den varierer andre steder. Derfor svinger handelsprisen på obligationer på samme måde som handelsprisen på aktier. Er renten på en obligation højere end renten andre steder, så vil kursen på obligationen være høj - og omvendt. Udbytte og rente opgives altid som en procentdel af den pålydende værdi (ikke af kursværdien). Lektion 0 - Omregning eksempler Side 1

17 Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Plus, minus, gange og division...1 Negative tal...1 Parenteser og brøkstreger...17 Potenser og rødder...18 Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

18 Plus, minus, gange og division på opgaver Udregn: Udregn: + 8+ Man regner forfra og får: Man regner forfra og får: Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt plus foran det forreste tal). Forestil dig at: - du skal have 8 kr., kr. og kr., - du skal af med kr. og kr. Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i. (I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har). Man kan også tænke således: Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket. på opgaver Udregn: : : Udregn: : : Man regner forfra og får: : : : : 8 : 0 : 0 Man regner forfra og får: : : 0 : : 10 : 0 : 0 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt gange foran det forreste tal). Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

19 I lange regnestykker skal man gange og dividere før man plusser og minusser. på opgaver Udregn: + 8 : Udregn: 7 1 : + 8 : + 8 : : + 8 : 7 + På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står. En mindre god regnemaskine vil typisk give 1, hvis man indtaster opgaven til venstre. Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således: 7 1 : + 8 : 7 + Så kan man f.eks. let se, at -tallet i anden linie er resultatet af 8 :. Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Der findes specielle regneregler for negative tal. Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler. Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder. på opgaver Udregn: 8 Udregn: + ( 8) ( 8) Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt. I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt. Forestil dig, at du har kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet. Så vil der være - kr. på kontoen (overtræk). I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen. Forestil dig, at har kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto. Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

20 på opgaver Udregn: ( ) Udregn: ( 7) ( ) 10 fordi ( ) svarer til + ( 7) fordi ( 7) svarer til + 7 Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til, fordi to minusser efter hinanden giver plus. Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal. Tegningen til højre viser, at forskellen på - og er Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler + + og + : : + og : + + på opgaver Udregn: ( ) Udregn: ( ) : ( ) 1 på grund af regnereglen: Forestil dig, at der på forskellige bankkonti alle står - kr. (overtræk). I alt står der -1 kr. på de konti. + ( ) : på grund af regnereglen: : Forestil dig, at en gæld på kr. deles i lige store gælds-portioner. Hver portion bliver en gæld på kr. + på opgaver Udregn: - ( ) Udregn: ( 0) : ( ) ( ) 8 på grund af regnereglen: + Dette eksempel er svært at forklare. ( 0) : ( ) på grund af regnereglen: : + Forestil dig, at en gæld på 0 kr. skal deles i mindre gælds-portioner på kr. Der bliver gælds-portioner. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

21 Parenteser og brøkstreger Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først. på opgaver Udregn: (8 ) Udregn: + ( ) : (8 ) 0 + ( ) : + (1 ) : + 10 : + 8 En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn. Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer. Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først. på opgaver Udregn: Udregn: Opgaven i eksemplet svarer til at skrive ( + 7) : (9 ) 1 :, men brøkstregen er mere fiks på opgaver Skriv 8 uden brøkstreg. Skriv 8 : : 10 på en brøkstreg. : : : :10 10 Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 17

22 Potenser og rødder Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens. på opgaver Skriv som en potens. Udregn også resultatet. Skriv 7 som et almindeligt gangestykke. Udregn også resultatet. Man siger seks i fjerde. På regnemaskinen trykkes ^ for at beregne resultatet Man siger fem i syvende. ne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store. Bemærk at potens-knappen også kan se således ud: y x på regnemaskinen. Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens. De fleste regnemaskiner har en i anden-knap. Den ser således ud: x. For at finde tastes x og man får. Rødder er det modsatte af potenser. på opgaver Find 1 Find 8 1 kaldes for kvadratroden af 1. Man får fordi 1 eller er 1. Man skulle tro, at 1 også kan være, fordi 8 kaldes både for den tredje rod af 8 og for kubikroden af 8. Man får fordi 8 eller er 8. ( ) er 1 (husk regnereglen: + ). Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 1. Og 1 betyder. Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x. Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 18

23 Supplerende eksemplet til Trin II Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...18 a Potenser...18 b Rødder...18 d 10-tals-potenser...18 e Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18a

24 Supplerende eksemplet til Trin II Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18b Potenser Der findes nogle specielle regneregler for potenser. De er vist her til højre. Reglerne ser indviklede ud, men hvis man afprøver dem på almindelige tal, så er de meget logiske. på opgaver Skriv på kortere form: Man får iflg. regel I: + Man får iflg. regel II: Man får iflg. regel III: 0 ) ( Men man kan også skrive: og det er naturligvis Men man kan også skrive: Ved at forkorte får man Men man kan også skrive: og det er naturligvis 0 på opgaver Skriv på kortere form: ( ) Man får iflg. regel IV: Man får iflg. regel V: ) ( Men man kan også skrive: og det er naturligvis Men man kan også skrive: ) ( og det er naturligvis I eksemplerne på denne side bliver man ikke bedt om at omregne de viste potenser til "almindelige" tal, men det kan let gøres på regnemaskinen. I: n m n m a a a + II: n m n m a a a III: n n n b) (a b a IV: n n n b a b a V: m n n m a ) (a

25 Supplerende eksemplet til Trin II Når man skriver en potens, kalder man det lille tal eksponenten. Selv om det lyder spøjst, kan en eksponent godt være negativ. Man definerer en negativ eksponent som vist til højre. 1 1 betyder derfor det samme som eller. Men skrive-måden fylder mindre end de andre. På regnemaskinen trykkes: ^ (-) eller på ældre modeller y x +/- Resultater bliver (naturligvis) et meget lille tal. 0, n a 1 n a Man definerer også, at et tal opløftet til nulte potens altid giver en. Det betyder, at 0 1 og og og.. De regneregler for potenser, som stod øverst på forrige side, gælder også, hvis en eller flere af eksponenterne er negative tal eller nul. a 0 1 for alle a på opgaver Skriv på kortere form: - 0 ( ) - Man får iflg. regel I: Men man kan også skrive: 1 Ved at forkorte får man Bemærk også at Man får iflg. regel II: Men man kan også skrive: 0 og det er naturligvis 1 Man får iflg. regel V: ( ) (-) Men man kan også skrive: 1 ( ) ( ) 1 og det er naturligvis Til sidst skal nævnes at eksponenten også kan være et decimaltal eller en brøk., Det er indviklet at forklare, hvad der helt præcis menes med regneudtryk som eller. Du kan evt. læse mere andre steder. Her skal du blot prøve at indtaste nogle potenser med decimal-eksponent på regnemaskinen. Du skal kontrollere (nogle af) tallene i tabellen herunder. 1,9,1,,,9,1 8, ,0.. 11,1.. 1,1, ,1.. Resultatet af potens-beregningen vokser jævnt i takt med, at eksponenten vokser. Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18c

26 Supplerende eksemplet til Trin II Rødder Rødder er det modsatte af potenser. Hvis man skriver så mener man det tal, som opløftet til. potens giver. Man siger den. rod af, og resultatet er, fordi På regnemaskinen trykkes: x eller (på ældre modeller): INV y x på opgaver Udregn: , ,8 (afrundet) fordi, Bemærk at (,8) også er.011. Men. 011 betyder normalt det positive af tallene..8,8 (afrundet) fordi (,8). 8 Bemærk at man godt kan tage en ulige rod af et negativt tal. Men ikke en lige rod! 0,001 0, Bemærk at når man tager en rod af et tal, der er mindre end en, så bliver resultatet større end start-tallet. Der findes også specielle regneregler for rødder. De minder om reglerne for potenser. Reglerne for kvadratrødder (til venstre) er reelt kun specielle eksempler på reglerne til højre. Reglerne er meget logiske, hvis man afprøver dem på almindelige tal. n n n a b a b a b a b n a a a n b b n b a b Der findes også en særlig sammenhæng mellem potenser og rødder. Denne sammenhæng kan nogle gange bruges i beregninger. n a a 1 n på opgaver Skriv på kortere form: 100 Kontroller selv, at resultatet bliver det samme uanset hvilken skrive-måde, man vælger. Udregn: 1 1 Beregningen kan indtastes på regnemaskinen på mange måder. En af mulighederne er at bruge at: Ved at trykke som vist ovenfor, får man: 1 8 Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18d

27 Supplerende eksemplet til Trin II 10-tals-potenser Man skriver nogle gange meget store og meget små tal med brug af 10-tals-potenser. på opgaver Skriv som almindelige tal: , Der tilføjes i alt 8 nuller, 8 fordi der ganges med 10. Et nul for hver gang man ganger med 10., 10 1, , Kommaet rykkes pladser til højre, og der tilføjes 10 nuller. I alt 1 ændringer fordi der 1 ganges med10. Tænk først på at: Derfor får man at: ,00000 Det usynlige komma efter rykkes pladser til venstre, fordi omregningen svarer til gange at dividere med 10. Især det midterste eksempel giver en god fornemmelse af, at man kan spare plads ved at bruge 10-tals-potenser. Skrive-måden bruges bl.a. inden for videnskaber som fysik og kemi. Når man bruger denne skrive-måde, er det meget vigtigt at huske reglerne for, hvorledes man ganger og dividerer et tal med 10, 100 osv. Husk at: - man ganger et tal med 10, 100 osv. ved at flytte kommaet til højre og/eller tilføje nuller. - man dividerer et tal med 10, 100 osv. ved at fjerne nuller og/eller flytte kommaet til venstre. 8 7 Udregn: Selv om opgaven ser indviklet ud, kan den godt regnes uden brug af regnemaskine: , Den sidste omskrivning - fra 1 10 til at skrive disse tal med netop et ciffer foran kommaet , 10 - er udelukkende fordi, der er tradition for Hvis du skal bruge regnemaskine, kan du naturligvis bruge potens-knappen: ^ eller y x Men regnemaskinen har også en særlig 10-tals-potens-knap. Bed din lærer om hjælp. Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18e

28 Brøker og forholdstal Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...19 Hvad er brøker - nogle eksempler...0 Forlænge og forkorte...1 Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... Regning med brøker - plus og minus... Regning med brøker - gange og division... Forholdstal... Lektion 0 - Brøker eksempler Side 19

29 Hvad er brøker - nogle eksempler Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade. Lagkagen er inddelt i lige store stykker eller brøkdele. Hver brøkdel kaldes 1 (en fjerde-del). Chokoladen til venstre er inddelt i 1 lige store stykker. Ligesom en Rittersport. Hver del kaldes 1 1 (en sekstende-del). Chokoladen til højre er inddelt i lige store stykker. Hver del kaldes 1 (en sjette-del). Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af. Der er spist af lagkagen til venstre. Der er 1 tilbage. Der er spist 8 af lagkagen til højre. Der er 8 tilbage. Der er spist 1 7 af chokoladen til venstre. Der er 1 9 tilbage. Der er spist 1 7 af chokoladen til venstre. Der er 1 tilbage. Tallet over brøkstregen kaldes tæller. Tæller Tallet under brøkstregen kaldes nævner. Nævner En brøkstreg er også et divisionstegn. kan betyde to ting, som reelt er det samme: - en hel deles i dele - vi tager de - resultatet af divideret med Lektion 0 - Brøker eksempler Side 0