Matematik. på Åbent VUC. Trin 1 Eksempler

Transkript

1 Matematik på Åbent VUC Trin

2 Indledning til kursisterne Indledning til kursisterne Dette undervisningsmateriale består af i alt 0 moduler med opgaver. I hvert modul er der en bestemt type opgaver. Der er fx et modul med Procentregning og et modul med Geometri. Du kan se navnene på alle modulerne i indholdsfortegnelsen. Til hvert opgave-modul hører et modul med eksempler. Hvis du døjer med at regne en opgave, kan du næsten altid finde et eksempel, der ligner. Til hvert opgave-modul hører også en facit-liste. Når du arbejder med opgaverne, er det en god ide regelmæssigt at kikke i facit-listen. Du får ikke noget ud af at regne en masse opgaver på en forkert måde. Du kan sikkert ikke nå at regne alle opgaverne. Derfor er: - nogle opgaver mærket med - nogle opgaver mærket med - nogle opgaver mærket med Jo mere farve der er i mærket, jo sværere er opgaven (synes jeg). Hvis du ikke har haft den slags matematik før - eller er usikker - skal du: - især regne mange af de opgaver, som er mærket med - regne nogle af de opgaver, som mærket med - måske prøve at regne et par af de opgaver, som er mærket med Hvis du har haft noget af den slags matematik før - eller har nemt ved at lære det - skal du: - regne nogle af de opgaver, som er mærket med - især regne mange af de opgaver, som er mærket med - regne nogle af de opgaver, som er mærket med Hvis du kun har brug for at få den slags matematik genopfrisket, kan du måske nøjes med, at regne de opgaver, som er mærket med Du må altid hoppe over en opgave eller noget af en opgave, hvis opgaven ligner de foregående, og du er sikker på, at du kan regne den. God fornøjelse med opgaverne! Niels Jørgen Andreasen Lektion 00 - Indledning til kursisterne

3 Indholdsfortegnelse for eksempelsamling Eksempelsamlingen er inddelt i disse 0 moduler: Grundliggende regning og talforståelse... Omregning...6 Sammensætning af regnearterne... Brøker og forholdstal...9 Procent...8 Bogstavregning...7 Funktioner og koordinatsystemer...7 Geometri...57 Statistik...7 Kombinatorik og sandsynlighedsregning...79 Hvert modul er inddelt i en række afsnit, og alle modulerne starter med en indholdsfortegnelse over disse afsnit. ne er lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Arbejdet med eksemplerne er afsluttet i sommeren 00. Jeg vil meget gerne høre fra dig, hvis du opdager fejl i eksemplerne eller på anden måde har kommentarer hertil. Med venlig hilsen Niels Jørgen Andreasen niels.joergen.andreasen@vucaarhus.dk Lektion 00 - Indholdsfortegnelse til eksempelsamling

4 Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...0 Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine... Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal... Lig med, større end og mindre end... Regning med papir og blyant... Gange og division med 0, 00,.000 o.s.v...5 Lektion 0 - Grundliggende regning eksempler Side 0

5 Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine I eksemplerne herunder skal du bruge prislisten til højre. ne er enkle, men ideen er at vise, hvordan man bruger regnemaskinen. Mælk, pr. liter...7 kr. Rugbrød... kr. Kager, pr. stk...5 kr. Slik, kæmpepose... 0 kr. på opgaver Hvad koster en liter mælk og et rugbrød? Hvor meget får man tilbage, når man køber et rugbrød og betaler med 50 kr.? Hvad koster 5 liter mælk? Mælk 7 kr. Betalt 50 kr. Rugbrød kr. Rugbrød kr. I alt 9 kr. Tilbage 8 kr. 7 5 kr. = 5 kr. På regnemaskinen tastes: 7 x 5 = Eller blot: 7 kr. + kr. = 9 kr. På regnemaskinen tastes: 7 + = Eller blot: 50 kr. - kr. = 8 kr. På regnemaskinen tastes: 50 - = Man skriver gange med en prik, men på regnemaskinen skal man taste et kryds. på opgaver Hvor mange kager kan man få for 0 kr.? 5 børn deler en kæmpepose slik. Hvor meget skal de betale hver? 0 kr. : 5 kr. = På regnemaskinen tastes: 0 5 = 0 kr. : 5 = kr. På regnemaskinen tastes: 0 5 = Man skriver division med to prikker, men på regnemaskinen ser tegnet anderledes ud. I eksemplet til venstre spørger man: Jeg har 0 kr. Hvor mange gange kan jeg få 5 kr.? I eksemplet til højre deler man 0 kr. i 5 lige store dele. Men regnestykket er det samme. Lektion 0 - Grundliggende regning eksempler Side

6 Talsystemets opbygning - afrunding af tal Herunder er tegnet firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret på må og få. Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem. betyder nemlig 0+, eller to 0 ere og fire ere. 5 betyder på samme måde , eller tre 00 ere, to 0 ere og fem ere. Forestil dig, at du har tre 00-krone-sedler, to 0-kroner og fem -kroner., betyder to ere (to hele) og fire 0.ende-dele. Det er et tal mellem og. De enkelte tal i et tal kaldes cifre. har to cifre. 5 har tre cifre. Tal med komma i kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler. på opgaver Afrund,6 til en decimal. Afrund 5. til helt antal tusinde.,6 er et tal mellem, og,5 men tættest på,5. Derfor bliver resultatet:,5,6 5. er et tal mellem og men tættest på Derfor bliver resultatet: ,, Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad.,5 afrundes til,5. I store tal ( som f.eks. 5.) sætter man ofte - men ikke altid - punktum efter hvert. ciffer regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen. Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum Det er ret forvirrende! Lektion 0 - Grundliggende regning eksempler Side

7 Store tal og negative tal Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem. Her er et par eksempler: Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives Nogle gange skriver man blot fem mio. eller 5 mio. En million skrives Altså et et-tal med seks nuller bagefter. Det er det samme som Der bor omkring seks milliarder mennesker på jorden. Tallet seks milliarder skrives Nogle gange skriver man blot seks mia. eller 6 mia.. En milliard skrives Altså et et-tal med ni nuller bagefter. Det er det samme som tusind millioner eller eller Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. på opgaver Udregn: 5 8 Udregn: = + 0= Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten Lig med, større end og mindre end Du kender sikkert lighedstegnet. Man skriver + =, fordi + er lig med. Man kan også skrive 5+ = 8 eller 7,= 7,. Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud: 7> 5 betyder at 7 er større end 5 Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej. Tegnet åbner sig altid imod det største tal. < 8 betyder at er mindre end 8 Lektion 0 - Grundliggende regning eksempler Side

8 Regning med papir og blyant Når man regner med papir og blyant skal man sætte i mente og låne på opgaver Udregn: Udregn: Tallene skrives op over hinanden og erne lægges sammen Derefter lægges 0 erne sammen Til sidst lægges 00 erne sammen. Den tomme plads opfattes som 0. 6 erne lægges sammen og giver, men ti af ere sættes i mente som en 0 er 0 erne lægges sammen og giver, men ti af 0 ere sættes i mente som en 00 er 00 erne lægges sammen og giver 6. på opgaver Udregn: 78-7 Udregn: Tallene skrives op over 65-7 hinanden og erne trækkes - 58 fra hinanden 7 0 Man må låne en 0 er for at kunne trække erne fra hinanden Derefter trækkes 0 erne fra hinanden. 67 Man må låne en 00 er for at kunne trække 0 ere fra hinanden Til sidst trækkes 00 erne fra 65-7 hinanden. Den tomme plads - 58 opfattes som erne trækkes fra hinanden. Der er fem 00 er i øverste række. Lektion 0 - Grundliggende regning eksempler Side

9 på opgaver Udregn: Udregn: 96 Tallene skrives op, og og 96 6 ganges med hinanden. 96 og ganges med hinanden gange 6 giver, men -tallet sættes i mente. gange 9 giver 6. Hertil lægges -tallet. Man får 8, men -tallet sættes i mente. gange giver 8. Hertil lægges -tallet. Man får. Gange og division med 0, 00,.000 o.s.v. på opgaver 0, : 0 0 : = 0, 00= 0 50 :0= 5 0 :.000= 0, Man ganger et tal med 0, 00,.000 o.s.v. ved at sætte 0 er på tallet eller rykke kommaet til højre. Man dividerer et tal med 0, 00,.000 o.s.v. ved at fjerne 0 er eller rykke kommaet til venstre. på opgaver : 00 Man må se bort fra 0 erne i første omgang. 8 = Derefter sættes de tre 0 er bagpå. I alt fås: 80 00=.000 Man må fjerne 0 erne parvis på denne måde:.000 : 00 =.000 : 00 = 0 : = 0 I den sidste beregning bruger man, at: : = Lektion 0 - Grundliggende regning eksempler Side 5

10 Omregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...6 Kg-priser...7 Tid og hastighed...9 Valuta... Rente og værdipapirer... Lektion 0 - Omregning eksempler Side 6

11 Kg-priser De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder. Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder: Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man bruger den ene eller den anden skrivemåde. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på,7 kg oksefars.,7 59 = 00,0 kr. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 50 g oksefars. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige:.000 g koster 59 kr. 59 g koster = 0,059 kr g koster 50 0,059 = 6,55 kr. - Man kan i en beregning sige: = 6,55 kr. - Eller man kan (fordi 50 g = 0,50 kg) sige: 0,50 59 = 6,55 kr. Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 0 kr? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige: - Eller man kan i en beregning sige:.000 g koster 59 kr. 59 g koster.000 For 0 kr. kan man få: = 0,059 kr. 0 0,059 = 678 g. 0 : 59 = 0,678 kg eller 678 g Lektion 0 - Omregning eksempler Side 7

12 ,5 kg kartofler koster 9,95 kr. Find kg-prisen. 9,95 :,5 =,98 kr. pr. kg. 5 g leverpostej koster,75 kr. Find kg-prisen. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi kg =.000 g) sige: 5 g koster,75 kr., 75 g koster 5 = 0,065 kr..000 g koster 0, = 6,5 kr. - Man kan i en beregning sige:, = 6,5 kr. 5 - Eller man kan (fordi 5 g = 0,5 kg) sige:,75 : 0,5 = 6,5 kr. 5 g leverpostej koster 7,95 kr. Hvad vil 5 g koste? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan sige: - Eller man kan i en beregning sige: 5 g koster 7,95 kr. 7,95 g koster = 0,05 kr. 5 5 g koster 0,05 5 =,8 kr. 7, =,8 kr. ne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver. Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de efterfølgende afsnit om tid og valuta. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 8

13 Tid og hastighed Opgaver med tid er besværlige, fordi tids-enhederne ikke passer ind i vores talsystem. Det er let at regne med meter og cm, fordi der er 00 cm i en meter, og det er let at regne med kg og gram, fordi der er.000 gram i et kg. Men når der er 60 sekunder i et minut og 60 minutter i en time, kan man let lave fejl. på opgaver Hvor mange minutter er timer og 7 minutter? Omregn 0 sekunder til minutter og sekunder = 0+ 7= 57 minutter Man siger først: 0 : 60= 5,6... Det betyder, at der er 5 hele minutter, som svarer til 5 60 = 00 sekunder. Derfor er: 0 sekunder = 5 minutter og 0 sekunder på opgaver Det koster 5 kr. i timen at leje en båd. - Hvad koster det at leje båden i timer og 0 minutter? - Hvor længe har man haft båden, når man skal betale 05 kr? Man kan sige: t. og 0 min. = 60+ 0= 50minutter 5 min. koster = 0,75 kr. 60 t. og 0 min. koster: 50 0, 75=,50 kr. Man kan sige: 5 min. koster = 0,75 kr. 60 For 05 kr. kan man få: 0 min. = t. og 0 min. 05 =0 min. 0,75 En håndværker tager 780 kr. for timer og 5 minutter. Hvad er timelønnen? Man kan sige: t. og 5 min. = 60+ 5= 95minutter Prisen pr. minut er: 780 : 95 = kr. Prisen pr. time er: 60 = 0 kr. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 9

14 på opgaver Omregn timer og 50 minutter til decimaltal. t. og 50 min. =,8 time. 50 Det er fordi 50 min. = time = 0,8 time. 60 Du må aldrig sige at: t. og 50 min. =,50 time. Omregn, time til timer og minutter., time = t. og min. Det er fordi 0, t. = 0, 60 min. = min. Du må aldrig sige at:, time = t. og 0 min. En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går.) pr. tidsenhed. Hvis en bil kører 00 km/time, så vil den på en time kunne køre 00 km. Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund. på opgaver: En bil kører 0 km på timer. Hvad er bilens hastighed? Hvor langt kan du gå på timer, når din hastighed er 5 km/time? Hvor lang tid tager det at cykle 60 km, når man kører 5 km/time? 0 = 80 km/time 5 = 0 km Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre. Formlen kan omskrives som vist herunder. Afstand= Hastighed Tid eller Tid= 60 = timer 5 Afstand Hastighed= Tid Afstand Hastighed Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen. Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler 6 km på time 0 minutter? - Da time og 0 min. =,5 time, kan man sige: 6 = km/time,5 - Eller man kan finde hastigheden i km/min. og gange med 60. Det kan gøres i en beregning: = km/time Lektion 0 - Omregning eksempler Side 0

15 Valuta Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 00 stk. af den fremmede valuta. I disse eksempler og de tilhørende opgaver er der brugt valutakurser fra sommeren 00, men valutakurser ændrer sig hele tiden. Kursen på svenske kr. er 8,9. Det betyder, at 00 svenske kr. koster 8,9 danske kr. En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,89 kr. eller 8,9 øre. Kursen på US-dollars er 856,9. Det betyder, at 00 US-dollars koster 856,9danske kr. En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 8,569 kr. eller 856,9 øre. Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel: F K D= D = Antal danske kroner F = Antal fremmed valuta K = Valutakursen 00 Formlen kan også skrives således: D 00 F= eller K K= D 00 F på opgaver: Hvor meget koster 50 US-dollars, når kursen er 856,9? Hvor mange svenske kr. kan man få for 800 danske kr., når kursen er 8,9? Hvad er kursen på pesetas, når pesetas, koster.9 kr.? ,9 =. kr. 00 Eller blot: 50 8,569=. kr. fordi hver dollar koster 8,569 kr = 95 sv. kr. 8,9 Eller blot: 800 = 95 sv. kr. 0,89 fordi hver svensk krone koster 0,89 dansk krone =, pesetas koster altså kun cirka,50 kr. Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at vurdere, om resultatet er rimeligt. I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet. I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr. I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 00), fordi antal pesetas er langt større end antal kr. Lektion 0 - Omregning eksempler Side

16 Rente og værdipapirer Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter. Renten opgives som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno), men pengene står sjældent i netop et år. Derfor beregnes renten efter det præcise antal dage. For at gøre beregningen lettere kan man lade som om, der er 0 dage i alle måneder og 60 dage i et år (fejlen bliver ikke ret stor), men bankens computere bruge de præcise tal. Man bruger denne formel (evt. med 65 i stedet for 60): K r d R = R = beregnet rente i kr. K = kapital i kr. r = renten pr. år i procent d = antal dage (kaldet rentedage) på opgaver Der står kr. fra. april til. juni på en konto med en rente på % pro anno. Beregn renten, hvis man regner - med 0 dage i hver måned. - med det præcise antal dage. Der går måneder 60 dage, så man får: = 5,00 kr Der går 6 dage (tæl selv efter), så man får: = 5,07 kr Aktier og obligationer er eksempler på værdipapirer. Aktier er andele i virksomheder (aktieselskaber). Hvis virksomheden giver overskud, får aktieejerne del i overskuddet (udbytte). En aktie har en pålydende værdi, men handelsprisen kan være højere eller lavere. Den kaldes kursværdien og afhænger af, hvor godt virksomheden går. Kursen på en aktie er handelsprisen for hver 00 kr. i pålydende værdi. Formlen viser sammenhængen: Kursværdi= Pålydende værdi Kurs 00 Obligationer er gældsbeviser. Hvis man ejer en obligation har man en sum penge til gode. Dette beløb kaldes obligationens pålydende værdi. Man får hvert år udbetalt en bestemt procentdel af disse penge i rente, og ved slutningen af obligationens løbetid får man udbetalt penge svarende til den pålydende værdi. Obligationer kan købes og sælges. Man køber og sælger retten til at få de årlige renter samt - til sidst - den pålydende værdi. Renten på en obligation er fast gennem hele løbetiden (mange år), mens den varierer andre steder. Derfor svinger handelsprisen på obligationer på samme måde som handelsprisen på aktier. Er renten på en obligation højere end renten andre steder, så vil kursen på obligationen være høj - og omvendt. Udbytte og rente opgives altid som en procentdel af den pålydende værdi (ikke af kursværdien). Lektion 0 - Omregning eksempler Side

17 Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal...5 Parenteser og brøkstreger...7 Potenser og rødder...8 Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side

18 Plus, minus, gange og division på opgaver Udregn: Udregn: Man regner forfra og får: = = 9 + = 5+ = 7 Man regner forfra og får: = = 7 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt plus foran det forreste tal). Forestil dig at: - du skal have 8 kr., 6 kr. og kr., - du skal af med 5 kr. og kr. Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i. (I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har). Man kan også tænke således: = = 6 9= 7. Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket. på opgaver Udregn: 6 : 5 : Udregn: 5 : 6 : Man regner forfra og får: 6 : 5 : = : 5 : = 8 5 : = 0 : = 0 Man regner forfra og får: 5 : 6 : = 0 : 6 : = 0 : = 60 : = 0 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt gange foran det forreste tal). Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side

19 I lange regnestykker skal man gange og dividere før man plusser og minusser. på opgaver Udregn: 5+ 8 : Udregn: 7 : + 8 : : = 0+ = 7 : + 8 : 6 5= 7 + 5= På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står. En mindre god regnemaskine vil typisk give, hvis man indtaster opgaven til venstre. Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således: 7 : + 8 : 6 5= 7 + 5= Så kan man f.eks. let se, at -tallet i anden linie er resultatet af 8 : 6. Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Der findes specielle regneregler for negative tal. Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler. Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder. på opgaver Udregn: 5 8 Udregn: 5+ ( 8) = 5+ ( 8) = Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt. I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt. Forestil dig, at du har 5 kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet. Så vil der være - kr. på kontoen (overtræk). I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen. Forestil dig, at har 5 kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto. Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 5

20 på opgaver Udregn: 6 ( ) Udregn: ( 7) 6 ( ) = 0 fordi 6 ( ) svarer til 6+ ( 7) = fordi ( 7) svarer til + 7 Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til, fordi to minusser efter hinanden giver plus. Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal. Tegningen til højre viser, at forskellen på - og 6 er Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler + = + = og + : = : + = og : = = + + på opgaver Udregn: ( 5) = Udregn: ( ) : ( 5) = 5 på grund af regnereglen: Forestil dig, at der på forskellige bankkonti alle står -5 kr. (overtræk). I alt står der -5 kr. på de konti. + = ( ) : = 6 på grund af regnereglen: : Forestil dig, at en gæld på kr. deles i lige store gælds-portioner. Hver portion bliver en gæld på 6 kr. + = på opgaver Udregn: - ( ) = Udregn: ( 0) : ( 5) ( ) = 8 på grund af regnereglen: = + Dette eksempel er svært at forklare. ( 0) : ( 5) = på grund af regnereglen: : = + Forestil dig, at en gæld på 0 kr. skal deles i mindre gælds-portioner på 5 kr. Der bliver gælds-portioner. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 6

21 Parenteser og brøkstreger Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først. på opgaver Udregn: (8 ) Udregn: 6+ ( ) : 5 (8 ) = 5= 0 6+ ( ) : 5 = 6+ ( ) : 5 = 6+ 0 : 5= 6+ = 8 En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn. Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer. Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først. på opgaver Udregn: Udregn: = 9 6 = Opgaven i eksemplet svarer til at skrive ( 5+ 7) : (9 6) = :=, men brøkstregen er mere fiks = + 5= + 5= 6 6 på opgaver Skriv 6 8 uden brøkstreg. Skriv 8 5 : : 0 på en brøkstreg. 6 = 6 : : : :0= 0 Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 7

22 Potenser og rødder Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens. på opgaver Skriv som en potens. Udregn også resultatet. Skriv 7 5 som et almindeligt gangestykke. Udregn også resultatet = 6 Man siger seks i fjerde. På regnemaskinen trykkes 6 ^ = for at beregne resultatet = = 78.5 Man siger fem i syvende. ne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store. Bemærk at potens-knappen også kan se således ud: y x på regnemaskinen. Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens. De fleste regnemaskiner har en i anden-knap. Den ser således ud: x. For at finde 5 5= 5 tastes 5 x og man får 5. Rødder er det modsatte af potenser. på opgaver Find 6 Find 8 6 kaldes for kvadratroden af 6. Man får fordi 6 = eller er 6. Man skulle tro, at 6 også kan være, fordi 8 kaldes både for den tredje rod af 8 og for kubikroden af 8. Man får fordi 8 = eller er 8. ( ) er 6 (husk regnereglen: = + ). Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 6. Og 6 betyder. Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x. Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 8

23 Brøker og forholdstal Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...9 Hvad er brøker - nogle eksempler...0 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... Regning med brøker - plus og minus... Regning med brøker - gange og division... Forholdstal... Lektion 0 - Brøker eksempler Side 9

24 Hvad er brøker - nogle eksempler Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade. Lagkagen er inddelt i lige store stykker eller brøkdele. Hver brøkdel kaldes (en fjerde-del). Chokoladen til venstre er inddelt i 6 lige store stykker. Ligesom en Rittersport. Hver del kaldes 6 (en sekstende-del). Chokoladen til højre er inddelt i 6 lige store stykker. Hver del kaldes 6 (en sjette-del). Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af. Der er spist af lagkagen til venstre. Der er tilbage. Der er spist 8 5 af lagkagen til højre. Der er 8 tilbage. Der er spist 6 7 af chokoladen til venstre. Der er 6 9 tilbage. Der er spist 7 af chokoladen til venstre. Der er 5 tilbage. Tallet over brøkstregen kaldes tæller. Tæller Tallet under brøkstregen kaldes nævner. Nævner En brøkstreg er også et divisionstegn. kan betyde to ting, som reelt er det samme: - en hel deles i dele - vi tager de - resultatet af divideret med Lektion 0 - Brøker eksempler Side 0

25 Forlænge og forkorte Der findes mange navne for den samme brøk. Man skifter navn ved at forlænge eller forkorte. r Forlæng brøken med. Forkort brøken 6 med. Man skal gange både tæller og nævner med : = = 8 Tegningen viser, at brøkerne og 8 er ens. Man skal dividere tæller og nævner med : 6 = : 6: Tegningen viser, at brøkerne 6 = og er ens. = = 8 6 = : 6 : = Gør man tæller og nævner større uden at ændre brøken, så forlænger man brøken. Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal. Gør man tæller og nævner mindre uden at ændre brøken, så forkorter man brøken. Man forkorter ved at dividere tæller og nævner med samme tal. Man forkorter normalt mest muligt. Hvor stor en brøkdel udgør 5 ud af 0? 5 Man skal forkorte brøken mest mulig: = 5:5 0:5 = Tegningen viser resultatet. Lektion 0 - Brøker eksempler Side

26 Udtage brøkdele Find af. Man kan finde af på måder. - Man kan enten: først sige: af = := og derefter sige: af = = 8 - Eller man kan sige: = = 8. På regnemaskinen tastes = De tre skriveformer af og og betyder det samme. 8 svarer til af et tal. Find tallet. Man kan finde tallet - det hele - på to måder: - Man kan enten: først sige: af det hele er 8 : = 6 = 8 = 6 = og derefter sige: Det hele må være 6 = 8 - Eller man kan sige: =. På regnemaskinen tastes 8 = Lektion 0 - Brøker eksempler Side

27 Uægte brøker og blandede tal Brøker er ofte mindre end en hel. Så er tælleren mindre end nævneren, og brøken kaldes en ægte brøk. og 5 er eksempler på ægte brøker. Hvis en brøk er større end en hel, er der to skriveformer: Man kan både sige, at der er 9 lagkage, og at der er Altså: 9 = lagkage. Brøken 9 kaldes en uægte brøk. Tæller er større end nævner. Tallet kaldes et blandet tal. Det er sat sammen af et helt tal og en ægte brøk. Tegningen til højre viser, at =. r Omskriv til blandet tal. Omskriv til uægte brøk. 5 5 = 5 Der bliver hele, fordi : 5=, rest. Lav evt. selv en tegning, der viser omregningen. = 7 Det er fordi + = 7 Nogle gange skrives regnestykket således: + = = 7 Lektion 0 - Brøker eksempler Side

28 Brøker og decimaltal Decimaltal er også brøker. De kaldes nogle gange decimalbrøker Første ciffer efter kommaet er 0.-dele, andet ciffer er 00.-dele o.s.v. Almindelige brøker kan laves om til decimaltal ved: - enten at forlænge til 0.-dele, 00.dele o.s.v. - eller at dividere tæller med nævner på regnemaskinen. r Omskriv til decimaltal. Omskriv til decimaltal. - Man kan enten forlænge: = 5 0 = 0,5 - eller taste = på regnemaskinen. = Så får man: 0, 5 - Man kan enten forlænge: 5 5 = = 0,5 ( = eller taste = på regnemaskinen. = Så får man: 0, 5 5 ) Omskriv til decimaltal. Man kan ikke forlænge til hverken 0.-dele eller 00.dele eller.. = 0,... ved at taste = på regnemaskinen, og afrunder til fx: = 0, på opgaver Omskriv 0, til brøk. Omskriv 0,75 til brøk. 0 0,= ,75= = Lektion 0 - Brøker eksempler Side

29 Regning med brøker - plus og minus Hvis to brøker har samme nævner, kan man lægge dem sammen ved at lægge tællerne sammen og beholde nævneren. Man trækker brøker fra hinanden på samme vis. på opgaver =, som kan forkortes til. = Tegningen viser beregningen til venstre: = 6 9 = Hvis to brøker med forskellige nævnere skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden, skal man først finde en fællesnævner. på opgaver = + = 8 = 8 8 = 8 Tegningen viser beregningen til venstre: + = = 5 6 Lektion 0 - Brøker eksempler Side 5

30 Regning med brøker - gange og division Man ganger et tal og en brøk ved at gange tælleren med tallet og dividere med nævneren. 8 (eller 8 - rækkefølgen er ligegyldig) 8 8= = = 6 - Det kan både betyde af 8 hele (til højre) - Og betyde 8 portioner på (her under) Tegningerne viser, at begge dele giver 6. På regnemaskinen tastes 8 = Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. = = 6 = Tegningerne viser - på to måder - at resultatet er rimeligt. (Men de er lidt svære at forstå) er det samme som af eller - da rækkefølgen er ligegyldig: er det samme som af eller eller af eller eller af eller eller Lektion 0 - Brøker eksempler Side 6

31 Man dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet. : = : = 8 Tegningen til højre viser regnestykket : = 8 Hvis divisionen går op kan man også gøre som i dette eksempel: 6 7 6: : = = 7 7 Man dividerer et tal med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. : : = = = = 6 Tegningen til højre viser, at når man har hele, kan man 6 gange få Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. : : = = = = Tegningen skal vise, at hvis man har plade chokolade, kan man få plade gang Tegningen er svær at forstå = : = : Lektion 0 - Brøker eksempler Side 7

32 Forholdstal Del.000 kr. mellem to personer i forholdet :. Beløbet skal deles i 5 portioner, fordi + = 5. Den ene person får.000= 00 kr. 5 Den anden person får.000= 600 kr. 5 En læskedrik skal blandes med vand i forholdet : 6. Drikken sælges i flasker med 500 ml (½ liter). Hvor meget færdigblandet drik bliver der ud af en flaske? Hver meget koncentreret drik skal man bruge for at få en liter færdigblandet drik? Der skal bruges 6 500=. 000 ml vand til 500 ml koncentreret drik. I alt får man.500 ml =,5 liter færdigblandet drik. Fordi + 6= 7 skal der bruges liter koncentreret drik til en liter færdigblandet drik 7 Det svarer til 0, liter eller ml. Et forhold kan forkortes ligesom en brøk. Forholdet 0 : 0 kan forkortes til :. Man dividerer begge tal med 0. Lektion 0 - Brøker eksempler Side 8

33 Procentregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...9 Find et antal procent af...0 Procent, brøk og decimaltal... Hvor mange procent udgør..?... Find det hele... Promille... Moms... Ændring i procent...5 Forskel i procent...6 Lektion 05 - Procent eksempler Side 9

34 Ordet procent betyder pr. hundrede, og procentregning er en slags brøkregning, hvor man regner med 00-dele - eller prøver at regne om til 00-dele. En procent er. Man skriver %. 00 Find et antal procent af. På et VUC er der 75 kursister. Heraf er 0% mænd. Hvor mange procent af kursisterne er kvinder? Hvor mange mænd er der? De to procent-tal for mænd og kvinder skal give 00% tilsammen. Derfor er der 00% - 0% = 60% kvinder. Antallet af mænd kan findes på flere måder. - Man kan - se tegningen - sige: 00% = 75 kursister 75 % = = 7,5 kursist 00 0% = 7,5 0= 9 kursister Denne måde er nem at forstå men besværlig at skrive. % = 7,5 kursist 0% = 9 kursister 00% = 75 kursister - Eller man kan - i en beregning - sige: % af 75 = = 9 kursister 00 0 Denne skrive-måde er brøk-regning. Man finder af På regnemaskinen tastes 75 x 0 00 = Beregnings-metoden kan sættes på formel på denne måde: Del= Det hele Antal procent 00 - Endelig kan man - i en beregning - sige: 0% af 75 = 0,0 75 = 9 kursister. Her bruger man, at 0% er det samme som decimal-tallet 0,0 (se næste side). Lektion 05 - Procent eksempler Side 0

35 Procent, brøk og decimaltal Procent-tal, brøker og decimal-tal er tre sider af samme sag. Således er 50% både det samme som og det samme som 0,5. Et procent-tal kan altid omskrives til det samme antal 00-dele. Nogle gange kan man forkorte. Omskriv disse procent-tal til brøker: 7%, 80% og 50% 7 % = % = = 00 5 Tegningen viser at 80 % = % = = = 00 En brøk kan nogle gange omskrives til procent-tal ved at forlænge eller forkorte til 00-dele. Men langt fra alle brøker kan forlænges eller forkortes til 00-dele (se næste side). Man laver et procent-tal om til et decimal-tal ved at rykke kommaet to pladser til venstre. Man laver et decimal-tal om til et procent-tal ved at rykke kommaet to pladser til højre. Omskriv disse procent-tal til decimal-tal: 5%, 60% og 7% 5 % = 0, % = 0, 60 (eller blot 0,6) 7% =,7 Omskriv disse decimal-tal til procent-tal: 0,005 ; 0,75 og, 0,005 = 0,5% 0,77 = 75%, = 0% Lektion 05 - Procent eksempler Side

36 En brøk kan altid omskrives til procent-tal ved at dividere tæller med nævner og rykke kommaet to pladser til højre. Man bruger decimal-tal som mellem-resultat Omskriv disse brøker til procent-tal: og = 0,75= 75% = 0, = 67% 75 I opgaven med kan man også sige = = 75%. 00 I opgaven med er resultatet et uendeligt decimal-tal. Man kan også sige 66,7% eller 66,67%. Hvor mange procent udgør..? På et VUC er der 95 kursister. Heraf er 57 kvinder. Hvor mange procent af kursisterne er kvinder? Procent-tallet kan findes på flere måder. - Man kan sige: 00 % = 95 kursister 95 % = =,95 kursist Kvinderne udgør = 65% af kursisterne.,95 - Eller man kan - i en beregning - sige: Kvinderne udgør = 65% af kursisterne Man omregner brøken til procent-tal. På regnemaskinen tastes x 00 = 95 Man beregner, hvor mange procent en del udgør af det hele, på denne måde: Del 00 Antalprocent = Det hele Lektion 05 - Procent eksempler Side

37 Find det hele.. 5 personer deltog i sports-klubbens årsmøde. Det svarer til 5% af medlemmerne. Hvor mange medlemmer er der i alt? Tallet kan findes på flere måder. - Man kan sige: 5% = 5 personer 5 % = =, person 5 I alt er der, 00= 0 medlemmer af sportsklubben. - Eller man kan - i en beregning - sige: I alt er der 5 00 = 0 medlemmer af sportsklubben. 5 På regnemaskinen tastes 5 5 x 00 = Når man ved, hvor mange procent en del udgør, kan man beregne det hele på denne måde: Det hele Del 00 = Antal procent Promille Promille ligner procent, men ordet betyder pr. tusinde. En promille er altså Promille-opgaver regnes stort set som procent-opgaver..000 og skrives. Find af kr. af kr. = = 0 kr..000 Læg mærke til, at der divideres med.000 i stedet for med 00. Lektion 05 - Procent eksempler Side

38 Moms Alle priser tillægges 5% moms. Et par bukser koster 56 kr. uden moms. Find prisen med moms. Opgaven kan besvares på mange måder: - Man kan sige: Pris uden moms: 56 kr Moms: = 00 9 kr. I alt 95 kr. - Eller man kan sige: Pris uden moms: 56 kr. Moms: 0,5 56 = 9 kr. I alt 95 kr. - Eller man kan - i en beregning - sige: 56 5 Pris med moms: = 95 kr Eller man kan - i en beregning - sige: Pris med moms:,5 56= 95 kr. Pas på når du skal regne baglæns og finde prisen uden moms. Tegningen til højre viser, at: - momsen udgør 5% eller af prisen uden moms. 5 - men momsen udgør eller 5 5 eller 0% af prisen med moms. Pris uden moms Moms 5% 00% Pris med moms 00% 5% 00% 5% 5% En boremaskine koster 99 kr. med moms. Find prisen uden moms. Pris uden moms: = 99,0 kr. 5 Lektion 05 - Procent eksempler Side

39 Ændring i procent En ændring kan her både betyde en stigning og et fald. på opgaver En togbillet koster 60 kr. Prisen stiger med 5%. Find prisen efter stigningen. En computer koster kr. Prisen falder med 0%. Find prisen efter faldet. Begge opgaver kan regnes på flere måder: - Man kan sige: Gammel pris: 60 kr Stigning: = 00 kr. Ny pris 8 kr. - Man kan sige: Gammel pris: kr Fald: = kr. Ny pris kr. - Eller man kan - i en beregning - sige: 60 5 Ny pris: = 8 kr Eller man kan - i en beregning - sige: Ny pris:,5 60= 8 kr. - Eller man kan - i en beregning - sige: Ny pris: = kr Eller man kan - i en beregning - sige: Ny pris: 0, = kr. Man finder en ændring i procent på denne måde: Ændring i procent = Ændring i tal 00 Starttal på opgaver Prisen på en busbillet er vokset fra 8 kr. til kr. Find stigningen i procent. Prisen på et TV er faldet fra.999 kr. til.999 kr. Find faldet i procent. Stigning i tal: - 8 = kr. Stigning i procent: 00 =,% 8 Fald i tal: =.000 kr Fald i procent: =,%.999 Du skal altid dividere med start-tallet uanset om start-tallet er størst eller mindst. Lektion 05 - Procent eksempler Side 5

40 Forskel i procent Du skal finde en forskel i procent, når der i en opgave bliver spurgt om, hvor meget et tal er større end (eller mindre end) et andet tal. Eller højere end eller lavere end eller dyrere end eller... Man finder en forskel i procent på denne måde: Forskel i Forskel i tal 00 procent= "End"-tal Man kan også skrive Sammenligningstal under brøkstregen, men ordet end bliver næsten altid brugt i spørgsmålene. Nu kommer to eksempler, som ligner hinanden, men alligevel giver forskellige resultater. Hold tungen lige i munden!!! på opgaver En liter mælk koster 6,00 kr. i Super-Køb og 7,50 kr. i Nær-Kiosken. Hvor mange procent er Nær-Kiosken dyrere end Super-Køb? En liter mælk koster 6,00 kr. i Super-Køb og 7,50 kr. i Nær-Kiosken. Hvor mange procent er Super-Køb billigere end Nær-Kiosken? Man skal dividere med prisen i Super-Køb, fordi der blive spurgt end Super-Køb. Forskel i tal: 7,50-6,00 =,50 kr. Man skal dividere med prisen i Nær-Kiosken, fordi der blive spurgt end Nær-Kiosken. Forskel i tal: 7,50-6,00 =,50 kr. Forskel i procent:,50 00 = 5% 6,00 Forskel i procent:,50 00 = 0% 7,50 Tegningen viser, at forskellen fylder mere sammenlignet med Super-Køb end sammenlignet med Nær-Kiosken. Pris i Super-Køb Pris i Nær-Kiosken Forskel Forskel Pris i Super-Køb Forskel Pris i Nær-Kiosken Lektion 05 - Procent eksempler Side 6

41 Bogstavregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...7 Formler...8 Reduktion...9 Ligninger...0 Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 7

42 I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes noget skal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer. Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligt regnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også. på opgaver Beregn: R = 5 S+ 7 når S = Beregn: F= (,5 g ) når g = 9 og h = 6 : h R = 5 S+ 7 = = 5+ 7= F= (,5 g ) : h = (,5 9 ) = (,5 ) : 6 : 6 = 0,5 : 6=,75 I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte. på opgaver Beregn: n 5 M= 5n+ 8 når n = Beregn: Z = x y når x = og y = 5 n 5 M= 5n+ 8 5 = = 55+ 8= 9 Z= x y = 5 = 9 5= 6 5= Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 8

43 Reduktion Reduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler) på en kortere måde. Man regner med bogstaver. på opgaver Reducer: 5 a a+ a Reducer: x+ 5y + x y Bogstavet a symboliserer et tal. Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal. Når a står alene, er det det samme som a 5 a a+ a = a eller blot a Man kan regne x er sammen, man kan regne y er sammen, og man kan regne tal sammen. x+ 5 y + x y = x+ x+ 5 y y = x+ y 7 Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at: - eksemplet til venstre svarer til at sige: 5 agurker - agurker + agurk = agurker - eksemplet til højre til: æbler + 5 pærer - + æble - pærer - = æbler + pærer - 7 Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på. på opgaver Reducer: a 6a : + a Reducer: x + x x x a 6a : + a = 8a a+ a = 6a Læg mærke til at 6a : bliver til a. Det svarer til det halve af 6a x x + x x x x= + x x= x + x Man kan ikke regne x er og x er sammen Prøv at udskifte a med i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt). 6 : + = 9+ = 8. Det er det samme som 6 a, altså 6. Prøv også at udskifte a med 5 i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt) : + 5= = 0. Det er stadig det samme som 6 a, altså 6 5. Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid 6 tallet. Det er ideen i bogstavreduktion. Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 9

44 De sidste eksempler med reduktion er stygge: på opgaver Reducer: 5a + ( a) + Reducer: b (b 5+ a) + 6a Reducer: 5 (+ a) + (8a 6) : 5a+ ( a) + = 5a+ - a+ = 5a- a+ + = a+ 7 b (b 5+ a) + 6a = b b+ 5 a+ 6a = a+ b+ 5 5 (+ a) + (8a 6) a+ 8a 0+ 0a+ a = a+ 7 : : = 6 : = Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes. Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen. Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet. Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet. Ligninger En ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav. Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe. på opgaver Løs ligningen: = x+ 5 Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Løs ligningen: x + = 0 Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Du kan sikkert straks se, at x må være 7. Man skriver x = 7 Det kaldes at gætte en løsning. Du kan måske se, at x må være 6. Man skriver x = 6 For at være sikker kan man regne efter: 6+ = 0 8+ = 0 0= 0 Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 0

45 Man må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men når ligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende. Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler. Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at blade videre til de næste sider. på opgaver Løs ligningen: 5 x 6= 5 Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder: Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 5? Tænk også på x som et tal der er pakket ind i nogle beregninger. Vi skal pakke x ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved. Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over. 5 x 6= 5 Når 5x 6 er lig med 5, kan man lægge 6 til på begge sider af lighedstegnet. 5 x 6+ 6= 5+ 6 Der kommer til at stå noget andet på begge sider, men lighedstegnet gælder stadig. 5 x= 5+ 6 Man lægger 6 til for at ophæve x= 5 x = 5 x= 5 5 x=, Der kommer til at stå 5 x i stedet for 5x 6, og x er blevet pakket delvist ud. Senere dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at der står 5 foran x. Til sidst er x pakket helt ud, og man kan regne ud, at x er,. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 5 x 6= 5 5 x= x= x= 5 x=, Når du løser ligninger kan du også tænke på en gammeldags skålvægt. Der står lodder på begge skåle og vægten er i balance. På lodderne står der, hvor meget de vejer, men tallet mangler på det mørke lod (x). Ved at flytte rundt på lodderne, og ved at tilføje og fjerne lodder, skal man få det mørke lod (x) til at stå alene på den ene vægtskål, uden at vægten tipper. Når det mørke lod står alene, kan man regne ud, hvad det vejer ved at kikke på lodderne på den anden vægtskål. Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side

46 Når man løser ligninger, må man: - lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. - trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. - gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. - dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Løs ligningen: x 7 = 9 x 7= 9 x 7+ 7= 9+ 7 x = 9+ 7 x = 6 Man lægger 7 til på begge sider af lighedstegnet x 7= 9 for at ophæve -7. x= 9+ 7 Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. x= 6 Når man lægger det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et minus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et plus-tal. Løs ligningen: 7 = x+ 9 7= x+ 9 Man trækker 9 fra på begge sider af lighedstegnet 7 9= x+ 9 9 for at ophæve = x Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 8= x Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre x= 8 7= x = x 8= x side, er kun til pynt. x = 8 Når man trækker det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et plus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et minus-tal. Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side

47 Løs ligningen: x = = x x = = x 6= x Man ganger med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve at x bliver divideret med. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre side, er kun til pynt. = x = x 6= x x = 6 x = 6 Når man ganger med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et divisions-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et gange-tal. Løs ligningen: x = x= x = x= x= 8 Man dividerer med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at x bliver ganget med. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. x= x= x= 8 Når man dividerer med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et gange-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et divisions-tal. Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side

48 Her kommer et par eksempler, som er drilske, selv om de ser lette ud: på opgaver Løs ligningen: = 9 - x = 9 x + x= 9 x= 9 x= Løs ligningen: 5 5= x 5= 5 x= 5 x= 5 x 5 5 x= Man kan ikke ende med at have x til at stå alene bag et minus, bag et divisionstegn eller under en brøkstreg. Derfor laver man disse tricks : - til venstre fjerner man - x ved at lægge x til på begge sider af lighedstegnet. - til højre fjerner man x fra pladsen under brøkstregen ved at gange med x på begge sider af lighedstegnet. Her kommer nogle mere indviklede eksempler: Løs ligningen: x 9= x 9= x= + 9 x= 0 x= 0 x= 0 Først lægger man 9 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om -9 flyttes over på den anden side og ændres til +9). Derefter dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side

49 Løs ligningen: 5 x = 7 5 x = 7 5 x = 7 5 x = 8 5 x= 8+ 5 x= 9 x= 9 5 x= 7,8 Først ganger man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om : flyttes over på den anden side og ændres til ). Derefter lægger man til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om - flyttes over på den anden side og ændres til +). Til sidst dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om 5 flyttes over på den anden side og ændres til : 5. Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). Løs ligningen: 6x 6= x+ 6 x 6= x+ 6 x= x x x= + 6 x= 7 x= 7 x=,5 Først lægger man 6 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om -6 flyttes over på den anden side og ændres til +6). Derefter trækker man x fra på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om x flyttes over på den anden side og ændres til - x). Derefter regner man sammen på begge sider af lighedstegnet. Til sidst dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Der er et usynligt gangetegn, og brøkstregen betyder divisionstegn). Det er altid en god ide, at kontrollere sine beregninger. I eksemplet ovenfor får man: 6,5 6=,5+ 6= + 5= 5 Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 5

50 Til sidst kommer et par eksempler, hvor der indgår potenser og rødder: på opgaver Løs ligningen: x = 9 Løs ligningen: x = x = 9 x = x =± x =± 7 9 x = x = 6 I eksemplet til venstre tager man kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. Tænk på at x må være x. I eksemplet til højre sætter man begge sider af lighedstegnet i anden potens. Tænk på at ( x ) må være x. Potenserne og rødderne kan også være "pakket ind" som vist herunder: på opgaver Løs ligningen: Løs ligningen: x = x = 8 x = x = 8 x x = = 0,5 x=± x=± 5,5 0,5 Man skal først have x eller x = 8+ x = x = x = x til at stå alene. Derefter gør man som i de øverste eksempler. Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 6

51 Funktioner og koordinatsystemer Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...7 Brug af grafer og koordinatsystemer...8 Lineære funktioner...5 Andre funktioner...55 Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 7

52 Brug af grafer og koordinatsystemer Et supermarked sælger kartofler for kr. pr. kg. Lav en graf i et koordinatsystem. Billige kartofler Kun kr. pr. kg - Vej selv af - Først beregnes nogle priser: - kg kartofler koster = kr. - kg kartofler koster = kr. - og så videre.. og 0 kg kartofler koster naturligvis 0 kr. Man kan lave en tabel som denne: Antal kg kartofler 0 5 Pris i kr Ud fra tallene i tabellen kan man lave tegningen herunder: Pris i kr ,5 kg koster 5 kr 0 5 Antal kg kartofler Prikkerne på tegningen svarer til tal-parrene i tabellen. Men man behøver ikke at købe et helt antal kg kartofler. Det viser den skrå streg gennem prikkerne. Man kan f.eks. se, at,5 kg kartofler koster 5 kr. Tal-akserne og gitteret på tegningen kaldes et koordinat-system. Prikkerne kaldes punkter. Den skrå streg kaldes en graf. Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 8

53 Et koordinatsystem har en vandret og en lodret tal-akse. Den vandrette akse kaldes x-akse eller første-akse. Den lodrette akse kaldes y-akse eller anden-akse. Herunder er vist to koordinatsystemer. I det øverste koordinat-system er der markeret tre punkter. Det ene punkt ligger lige over -tallet på x-aksen og lige ud for -tallet på y-aksen. Derfor hedder punktet (,). Tallene og kaldes punktets koordinater. Det andet punkt har koordinaterne og. Derfor hedder punktet (,). Tallet kaldes x-koordinat eller første-koordinat. Tallet kaldes y-koordinat eller anden-koordinat. Det tredje punkt ligger på x-aksen og hedder (,0) 5 0 (, ) (, ) (, 0) 0 5 I det nederste koordinat-system er der tegnet to grafer. Den skrå graf går igennem alle de punkter, hvor x-koordinaten og y-koordinaten er ens. For eksempel (0,0) og (,). Den vandrette graf går igennem alle de punkter, hvor y-koordinaten er,5. For eksempel (0 ;,5) og ( ;,5). Læg mærke til at der bruges et semikolon (;), når der er komma (,) i koordinaterne Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 9