De rigtige reelle tal

Transkript

1 De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Hvad de reelle tal i virkeligheden er Udgangspunktet De neutrale elementer Algebraiske aksiomer Inverse elementer Ordningsaksiomerne Fuldstændighedsaksiomet Afledte regler Entydighed af de neutrale og inverse elementer At gange med 0 og Minus gange minus Subtraktion (minus) Division Brøkregnereglerne

3 Resumé Her går vi helt ned i dybden af hvad matematik består af og ser på hvad de reelle tal i virkeligheden er. Vi gennemgår alle aksiomerne for et fuldstændigt ordnet legeme og giver nogle eksempler på hvordan alle andre regler om de reelle tal kan bevises ud fra disse. Titlen er en joke. Hvis ikke du forstår den, så prøv at oversætte den til engelsk. 1 Introduktion Forestil dig et øjeblik at en venligtsindes race af rumvæsener kom på besøg på jorden. Det første de spørger om er hvordan vi regner og hvilke tal vi bruger. For at svare på dette spørgsmål behøver man faktisk kun at sige meget lidt. De 13 såkaldte aksiomer som vi gennemgår i dette dokument er alt hvad man behøver at vide om de reelle tal. Hvis man fortæller disse aksiomer til rumvæsenerne, så kan de udelukkende ved hjælp af logik sætte sig ned og udlede præcis den samme viden om tallene som vi har. Forudsætninger Du kan i princippet læse dette dokument uden at vide noget som helst om matematik (lige som vores rumvæsener). Det er dog en rigtigt god ide hvis du samtidigt læser 1 nogle eksempler på hvordan man i praksis bruger de algebraiske aksiomer som omskrivningsregler. 1 Det kan du læse her

4 2 Hvad de reelle tal i virkeligheden er 2.1 Udgangspunktet Vi snyder lige lidt og antager at alle (også rumvæsenerne) ved hvad en mængde er. Altså sådan en dimmer som indeholder elementer. Hvis du har læst perspektivdokumentet om mængder (det kan du finde her), så ved du at dette overhovedet ikke er så simpelt. Men den historie holder vi altså lige hemmelig her. De reelle tal De reelle tal er en mængde som indeholder to særlige elementer ved navn 0 og 1. Desuden har den tilknyttet to regneoperationer ved navn + og (læses plus og gange ) som til ehvert par af elementer x og y giver et element x + y og x y. Endelig har den tilknyttet en såkaldt relation ved navn < (læses er mindre end ) som kan skrives mellem to elementer x og y og danne et udsagn (x < y) som enten kan være sandt eller falsk. Se, det var jo ikke så slemt. Nu kommer så de tretten aksiomer som er alt hvad man behøver at vide om denne mængde. 2.2 De neutrale elementer De to tal, 0 og 1, kaldes de neutrale elementer i de reelle tal. At være neutral vil sige at man ikke ændrer noget. Og det er præcis hvad 0 og 1 gør når man henholdsvist lægger 0 sammen med et andet tal, og når man ganger 1 med et andet tal. Man fristes til at kalde dem ligegyldige, men faktisk er de utroligt vigtige! Nogle gange er det netop deres skyld at et regneudtryk kan reduceres.

5 Det additivt neutrale element (nul) Tallet 0 er neutralt med hensyn til addition. Det betyder at hvis man lægger et tal sammen med nul, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Aksiom 1 For ethvert tal x, gælder: x + 0 = x Det multiplikativt neutrale element (et) Tallet 1 er det neutrale element med hensyn til multiplikation. Det betyder at hvis man ganger et tal med 1, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Aksdiom 2 For ethvert tal x, gælder: x 1 = x

6 2.3 Algebraiske aksiomer De associative og kommutative love De næste love kunne også kaldes for flytte rundt lovene. De handler om at man (i nogle bestemte situationer!) må ændre på den rækkefølge som en udregning skal foretages i. Aksiom 3 Hvis x, y og z er tre tal, så er (x + y) + z = x + (y + z) Aksiom 4 Hvis x, y og z er tre tal, så er (x y) z = x (y z) Aksiom 5 Hvis x og y er to tal, så er (x + y) = (y + x) Aksiom 6 Hvis x og y er to tal, så er (x y) = (y x) Den distributive lov Den sidste regel er der kun en enkelt af. Til gengæld handler den (som den eneste) om begge regneoperationerne på samme tid. Det er samtidigt langt den sværeste at vænne sig til, fordi der nogle gange forsvinder eller opstår kopier af et bogstav eller tal. Aksiom 7 Hvis x, y og z er tre tal, så er x (y + z) = x y + x z

7 Bemærk at der er flere kopier af x på højresiden af lighedstegnet end på venstresiden. 2.4 Inverse elementer Indtil nu har jeg omhyggeligt undgået at tale om regneoperationerne minus og division. Det er fordi de faktisk kan klares utroligt nemt når man har det ovenstående på plads. Man skal bare lige gå en lille omvej. Ordet invers betyder omvendt. Og et tals inverse element skal man lige præcis tænke på som en slags spejlbillede eller ond tvilling. Den præcise betydning af at være omvendte afhænger af hvilken regneoperation man snakker om, og derfor har man både inverse elementer med hensyn til addition og med hensyn til multiplikation. Additivt inverse elementer Ethvert tal har et spejlbillede i form af det samme tal med omvendt fortegn. Den operation hvor man erstatter et reelt tal med sit spejlbillede kaldes fortegnsskift, og hvis x er et reelt tal, så skrives dette spejlbillede som: x Bemærk at x sagtens kan være negativt. I så fald bliver x positivt. F.eks. er: ( 8) = 8 Det spejlbillede som fremkommer når man laver fortegnsskift på et reelt tal, x, kaldes det additivt inverse tal til x. Aksiom 8 Til ethvert tal, x, findes der et additivt inverst tal, y, med den egenskab at: x + y = 0

8 (Altså: Man får 0 når man lægger x sammen med sit additivt inverse tal.) Bemærk at nul er sit eget spejlbillede. Multiplikativt inverse elementer Aksiom 9 Til ethvert tal, x 0, findes der et multiplikativt inverst tal, y, med den egenskab at: x y = 1 (Altså: Man får 1 når man ganger x med sit multiplikativt inverse tal.) 2.5 Ordningsaksiomerne Aksiom 10 Aksiom 11 Aksiom Fuldstændighedsaksiomet Navnet på dette aksiom lyder ret vildt, og det er det også! Det sidste aksiom er klart det vildeste, og det er det som sikrer at der ikke er huller i den reelle talakse. Det er også det som sikrer at vi kan tale om grænseværdier (og dermed kontinuitet, differentiation og integration). Kort sagt: Det er et ret vildt aksiom. Desværre er det også langt det sværeste aksiom at forstå. Derfor tilbyder jeg tre forskellige versioner af det.

9 Aksiom 13 3 Afledte regler I dette afsnit vil jeg vise hvordan mange af de sædvanlige regler man har lært (og givet navne) bare er konsekvenser af de tretten aksiomer. Vi starter med nogle meget sære regler, som kun skal bruges til at bevise de andre. 3.1 Entydighed af de neutrale og inverse elementer Disse sætninger er meget sære. Vi beviser f.eks. at der kun findes et eneste nul. Umiddelbart forekommer dette faktum som noget der kun er interessant når man har røget underlig tobak. Men faktisk ville mange af vores andre beviser gå i stykker (blive forkerte) hvis der fandes et andet tal som havde samme egenskab som nul altså at der intet sker når man lægger det sammen med andre tal. Med andre ord vil vi gerne kunne stole på at hvis et tal opfører sig som nul, så er det faktisk nul. Derfor har vi følgende fire sætninger, som heldigvis er enormt simple at bevise: Sætning 1 (Entydighed af nul). Hvis et tal y opfører sig sådan at y + x = x for alle reelle tal, x, så er y = 0 Bevis. Antag at der findes sådan et underligt tal, y. Så kan vi spørge hvad udregningen: y + 0

10 giver. På den ene side giver det y, fordi nul er additivt neutralt. Men på den anden side giver det også nul, fordi y er additivt neutralt (vi har bare sat x = 0 i det vi vidste om y). Det vil sige at: 0 = y + 0 = y Men det må betyde at Altså er y lig med nul. 0 = y Sætning 2 (Entydighed af 1). Hvis et tal y opfører sig sådan at y x = x for alle reelle tal, x, så er y = 1 Øvelse 3. Prøv selv at bevise denne sætning. Du skal faktisk kun ændre ændre ganske få tegn i beviset fra den foregående sætning. De næste to sætninger ligner lidt, men de er lidt mere avancerede. De handler om at når man har et tal x, så har det kun en additiv invers, og 2 kun en multiplikativ invers. Men andre ord vil vi gerne kunne stole Sætning 4 (Entydighed af additiv invers). Hvis et tal y opfører sig sådan at y x = x 2 Når x er forskellig fra nul

11 for alle reelle tal, x, så er y = At gange med 0 og 1. Alle ved at når man ganger med nul, så giver resultatet altid nul. Men når dette ikke er taget med blandt de fem regler, så er det fordi det faktisk er en logisk konsekvens af de fem regler. Lad mig vise hvorfor: Sætning 5 (At gange med nul). For alle tal, x er x 0 = 0 Bevis. Ifølge regel 1A kan vi skrive: Derfor er: 0 = x 0 = x (0 + 0) Men ifølge den distributive lov (regel 5) er dette lig med: x 0 = x (0 + 0) = x 0 + x 0 (1) Men hvad end x 0 måtte være, så har det ihvertfald et additivt invers tal, (x 0), (ifølge regel 2A) som opfylder at: x 0 + ( (x 0)) = 0 Hvis vi nu lægger dette tal til begge sider af lighedstegnet (1) så får vi: x 0 + ( (x 0)) = (x 0 + x 0) + ( (x 0)) (Bemærk parentesen på højre side, som markerer at dette egentlig var den gamle højreside som vi nu lægger noget ekstra til.) Men regel 3A

12 siger at vi gerne må flytte parentesen på højre side af lighedstegnet, så der står: x 0 + ( (x 0)) = x 0 + (x 0 + ( (x 0))) Og hvis vi så bruger at x 0 lagt sammen med sin additivt inverse giver nul (regel 2A), så står der: 0 = x Og til sidst kan vi bruge regel 1A igen til at lave højresiden om, så der står at: 0 = x Minus gange minus Jeg skal starte med at sige at jeg hader at folk kalder denne regel for minus gange minus. Det skyldes at minus er navnet på en regneoperation. Det er hverken et udsagsord (man kan ikke minusse det hedder trække fra eller subtrahere ) eller et tillægsord (et tal kan ikke være minus det hedder være negativt ). Hvis man siger x er minus eller vi minusser a og b så lyder det omtrent lige så dumt som hvis en kok siger suppen er kartoffel eller du skal kartofle suppen. Men af en eller anden grund så er lige præcis disse eksempler på babysprog blevet godkendt af nogle matematiklærere (jeg har endda set det skrevet i matematikbøger!!!), så du er tilgivet hvis du kalder denne regel for minus gange minus -reglen (men prøv at lade være!). Sætning 6. Et negativt tal ganget med et negativt tal giver et positivt tal. Mere præcist: Man kan gange to negative tal ved simpelt hen at fjerne begge deres fortegn og gange de to tilsvarende positive tal.

13 Og mere generelt: Uanset hvilket tal, x og y man har fat i, så er: ( x) ( y) = x y Bevis. Jeg beviser kun den sidste version af påstanden, fordi den automatisk medfører de to andre (som bare er det specielle tilfælde hvor x og y er positive). Udregningen ( x) ( y) kan (ifølge sætningen om at gange med minus 1 ovenfor) omskrives til: (( 1) x) (( 1) y) Med lidt associativ og kommutativ gymnastik kan vi flytte parenteser og ombytte faktorer: = ( 1) ( 1) x y og så kan vi sætte en ny parentes (mere associativitet): = (( 1) ( 1)) x y og så bruge at multiplikation med 1 skifter fortegn til at se at indholdet af parentesen giver 1: = (1) x y og så bruge at 1 er multiplikativt neutralt: = x y

14 3.4 Subtraktion (minus) Hvis du er den skeptiske type, så har du sikkert lagt mærke til at ikke en eneste af de fem regneregler nævner regneoperationen minus eller division med så meget som et ord. Det er fordi minus (også kendt som subtraktion ) i virkeligheden ikke er en selvstændig regneoperation. Den er derimod defineret som en sammensætning af addition og fortegnsskift: Definition 7. Hvis x og y er to reelle tal, så defineres differensen: til at være: x y x y = x + ( y) Altså y med omvendt fortegn, lagt sammen med x. At hæve en minusparentes 3.5 Division 3.6 Brøkregnereglerne Brøkregnereglerne er faktisk også bare en anvendelse af den distributive lov. Hvis man f.eks. omskriver en brøk med flere led i tælleren: a + b + c d så er det i virkeligheden fordi = a d + b d + c d a + b + c d = (a + b + c) 1 d