Hv r mtmtik? Projktr: Kpitl 5. Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning I kpitl om optimringsopgvr liggr Projkt. Optimringsprolmr i gomtri ksprimntr og visr. Hr vil vi rj vir m prolmstillingn, mn nu inrg iffrntilrgning. En firknt skillr sig mrknt fr n trknt v, t sirn i n firknt ikk fstlæggr firkntn som n stmt figur. Dt gør sirn i n trknt, mn forstillr vi os sirn i n firknt hæftt smmn m nogl hængslr, så r figurn lløs og kn tg ll mulig formr. Et f spørgsmål, mn unrsøgr i projktrn i B-ogn r følgn: Givt silængr, u fr hvilk, r kn konstrurs n firknt - hvilkn f ll mulig firkntr hr størst rl? Dtt r ér unrsøgt m gomtrisk mtor. Hr vil prolmt nu liv unrsøgt m nvnls f iffrntilrgning.,, og Vi vil fin n størst firknt v t fin sttionær punktr for rlfunktionn T(x, s nnfor. Dt krævr, t vi først løsr ligningn, og rnæst fgør, hvorvit funn sttionær punktr svrr til mksim, minim llr vt. lot vnrtt vntngntr. Til slut skl vi rgumntr for t glolt mksimum. T'( x Arlt f firkntn kn utrykks v rlfunktionn: T( x sin( x + sin( u( x Hr r x vinkln mllm sirn og, mns u(x r n mostån vinkl, vs. vinkln mllm sirn og. Dn sist r stmt v osinusrltionrn for to trkntr frmrgt f igonln : u(x + os( ux + os( x x V t kominr iss to utryk finr vi: os( ux + + x os + + os( x Dt gør t nmt t iffrntir u(x v t unytt rgln for smmnst iffrntition: sin( u( x u '( x ( sin( x sin( x u'( x sin( u( x I lt finr vi rfor: T '( x os( x + os( u( x u '( x sin( x os( x + os( ux sin( ux sin( u( x os( x + os( u( x sin( x sin( ux Mn hr kn vi unytt itionsformln for sinus-funktionn sin( u + v sin( u os ( v + os( u sin( v 8 L&R Unnls A/S Vognmgrg DK-8 Kønhvn K Tlf: 3533 Emil: info@lru.k
Hv r mtmtik? Projktr: Kpitl 5. Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning Drv fornkls utrykkt for n fl funktion T '(x til formn: sin( x + u( x T '( x sin( ux Dtt r vors nøglrsultt! Dt visr t sttionær punktr for rlfunktionn frmkommr ntop når tællrn r nul, vs. når sin( x + u( x Mn sinusfunktionn r nul ntop når vinkln r llr 8. D gg rgumntrn x og u(x liggr mllm og 8 kn summn f to vinklr ikk vær nul. D sttionær punktr svrr rfor til firkntr, hvor mostån vinklr r supplmntvinklr. Mn vi kn slutt mr u f t ovnfor funn: Funktionn u(x r n voksn funktion, n hr n fl: sin( x u'( x sin( u( x Hr r sinus positiv fori vinklrn gg liggr mllm og 8. Hrf følgr t også summn f to vinklr, vs. x + u(x r n voksn funktion. Dr r rfor højst t sttionært punkt. Yrmr r rlfunktionn m n fl sin( x + u( x T '( x sin( ux voksn foru for t sttionær punkt, fori n fl r positiv, så læng x + u(x r minr n og tilsvrn ftgn ftr t sttionær punkt, fori sinus skiftr fortgn, når vi pssrr t sttionær punkt. Et sttionært punkt r ltså nøvnigvis t loklt mksimum. Mn når r højst r t sttionært punkt sluttr vi yrligr: Et vntult sttionært punkt r fktisk t glolt mksimum. Vi mnglr nu kun t vis, t r rnt fktisk ksistrr t sttionært punkt! Dt r imilrti hllr ikk uovrkommligt. Hrtil skl vi løs ligningn T '( x x + u( x 8 Mn hvis x og u(x r supplmntvinklr hr mostt osinusværir, vs. os( x os( u( x Dt omforms til: + os( x os( x + x os I nn ligning kn vi isolr os(x, hvorv vi finr: + os( x ( + Dnn ligning kn løss i intrvllt < x < 8, ntop når højrsin liggr mllm og. Vi skl ltså gotgør n følgn oltuligh: + ( + 8 L&R Unnls A/S Vognmgrg DK-8 Kønhvn K Tlf: 3533 Emil: info@lru.k
Hv r mtmtik? Projktr: Kpitl 5. Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning Dt r imilrti lot firknttinglsrn i forklæning! Vi visr én f m: + ( + + + + + + ( ( + Dnn sist r nstyn m følgn to ulighr (ovrvj!: + + + + + + Og tt r ntop firknttinglsrn, r usigr t summn f tr silængr lti skl vær størr n n fjr for t mn kn konstrur n konvks firknt m givn silængr. Drm hr vi gnnmført n nlysn f sttionær punktr for rlfunktionn og konklurr: Hovsætning Hvis,, og r silængrn i n konvks firknt, så r rlt T mksimlt, ntop når mostån vinklr i n konvks firknt r supplmntvinklr, vs. ntop når firkntn r yklisk, vs. n kn inskrivs i n irkl. I givt fl r vinklrn i firkntn givt v yklisk osinusrltionr: + os ( + Bmærkning. D yklisk osinusrltionr r hnlt i projkt 8. i C-ogn. Vi kn imilrti også fin n kskt væri for t mksiml rl. D vinklrn v og r supplmntvinklr hr smm sinus-væri i mksimumsstt x, vs. rlt r givt v: T( x sin( x + sin( u( x + sin( x Vi skl ltså lot fin sinusværin. Mn vi knr llr osinusværin. Vi nyttr rfor n pythgoræisk intitt: x u(x sin ( x os ( x ( + ( ( + ( ( + ( + ( + Vi får ltså: sin( x ( ( + ( + ( + 8 L&R Unnls A/S Vognmgrg DK-8 Kønhvn K Tlf: 3533 Emil: info@lru.k
Hv r mtmtik? Projktr: Kpitl 5. Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning Insætts t fås rfor: T + + Formln r fult rugr i nn form. Mn n kn skrivs m n usævnlig smuk symmtri, hvis vi nyttr kvrtrglrn: ( ( (( ( (( ( T + + + + + + + + ( ( ( ( + + + + + + + + ( ( ( ( + + + + + + + + + Formln lv funt f n inisk mtmtikr Brhmgupt i t syvn århunr. Øvls : Brhmgupts rlforml Infør firkntns hlv omkrs: s ( + + + / Gør r for t rlformln også kn skrivs på n tritionll form: T ( s ( s ( s ( s Antg én f sirn i n yklisk firknt, fx, klppr smmn, vs. vi sættr. Så r figurn n trknt! Hvorn sr formln så u? Kn u gnkn formln? Formln r tyligvis symmtrisk i sirn,, og. Arlt f n yklisk firknt fhængr ltså ikk f rækkfølgn f sirn,, og. Mn t gør firkntns form! Hv skr r m igonlr og vinklr, når vi omyttr sirns rækkfølg? Øvls : Cosinusrltionn Cosinusrltionn for n yklisk firknt r givt v utrykkt: + ( + os ( + Antg én f sirn i n yklisk firknt, fx, klppr smmn, vs. vi sættr. Så r figurn n trknt! Hvorn sr formln så u? Kn u gnkn formln? Hv skr r m størrlsn f vinkln, når mn omyttr m, hnholsvis m? Hv skr r, når mn omyttr ( m (? Hv skr r, når mn omyttr m? Prøv t grun ovnstån symmtrir gomtrisk. 8 L&R Unnls A/S Vognmgrg DK-8 Kønhvn K Tlf: 3533 Emil: info@lru.k
Hv r mtmtik? Projktr: Kpitl 5. Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning Bilg. Formlr i lmn konvks firkntr Vinklrn: Vinklsummn r 36 : A + B + C + D 36 Pythgors: Digonlvinkln v r rt, ntop når summn f kvrtrn på mostån sir r lig stor (s figur : + +. v Figur. Figur. f Cosinusrltionn for igonlvinkln: (s figur + + f v Arlformlrn: T f v sin os T + + v tn ( + ( + T f Firkntulighn: f + Hr gælr r kun lighstgn, hvis firkntn r yklisk. 8 L&R Unnls A/S Vognmgrg DK-8 Kønhvn K Tlf: 3533 Emil: info@lru.k
Hv r mtmtik? Projktr: Kpitl 5. Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning Bilg. Formlr i lmn yklisk firkntr Vinklrn: Mostån vinklr i n yklisk firknt r supplmntvinklr: B C A D A + C 8 Pythgors: En yklisk firknt r olt rtvinklt, ntop når r imtr for n omskrvn irkl (s figur : + +. Dn fælls væri r og igonln Figur. f Figur. f Cosinusrltionn: (s figur + + + os Arlformln: (Brhmgupts sætning T ( s ( s ( s ( s + + + m s Ptolmios sætning: f + 8 L&R Unnls A/S Vognmgrg DK-8 Kønhvn K Tlf: 3533 Emil: info@lru.k