3. Vilkårlige trekanter
|
|
- Karla Thøgersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke bruges her, men der kn opstilles nye formler, der gør det muligt også t beregne ukendte sider og vinkler i skævvinklede treknter. Hvis mn kender tre stykker - vinkler eller sider - i en treknt, kn mn beregne de øvrige vinkler og sider. Dog ikke i en treknt, hvor mn kun kender de tre vinkler. 180 v Ved t betrgte denne enhedscirkel kn mn se, t sin (180 v) = sin v v relet f en treknt Vi vil bevise en formel for relet f en vilkårlig treknt: Sætning 3.1: relet f en treknt relet T f en vilkårlig treknt er: T = ½ b sin Her er og b de hosliggende sider til. Tilsvrende gælder: T = ½ bc sin og T = ½ c sin evis for sætning 3.1 Figurerne i mrgenen viser en treknt, hvor vi hr tegnet højden h fr vinkelspidsen. Hvis treknten er spidsvinklet, flder højden inden for treknten. Hvis er stump, flder den udenfor. I begge tilfælde klder vi højdens fodpunkt for D. Vi ved i forvejen, t trekntens rel er givet ved formlen: T = ½ h Vi kn finde højden h ved t regne på D. D treknten er ret vinklet, gælder: h b 296
2 3. Vilkårlige treknter h = b sin h b c Indsætter vi dette i T = ½ h, får vi: D g T = ½ b sin Hvis vinkel er stump, forløber beviset for sætning 3.1 lidt nderledes. Udfordring: Kig lidt på enhedscirklen overfor og gennemfør så beviset Hermed er beviset ført. De to ndre formler bevises på tilsv rende måde. Eksempel 3.2 Mn kn finde relet f den første f de to treknter i mrgenen ved t bruge formlen T = ½ b sin : T = ½ b sin = ½ sin 63 = 433 I den næste treknt kender mn ikke, men og dens to hosliggende sider. I dette tilfælde ser beregningen derfor således ud: T = ½ bc sin = ½ 35,8 41,7 sin 37,1 = 450 Sinusreltionerne Når mn skl beregne sider og vinkler i vilkårlige treknter, bruger mn to sæt formler, nemlig de såkldte sinusreltioner og de såkldte cosinusreltioner. Vi vil først beskæftige os med sinusreltionerne. Sætning 3.3: Sinusreltioner I en vilkårlig treknt gælder: b c sin sin Forholdet mellem længden f en side og sinus til dens modstående vinkel er det smme for lle sider i treknten. 297
3 3. Vilkårlige treknter evis for sætning 3.3 Vi beregner trekntens rel på to forskellige måder. Tger vi udgngspunkt i, får vi relet T = ½ bc sin. Med udgngspunkt i får vi T = ½ c sin. D en treknt nturligvis kun hr et rel, må der gælde: ½ bc sin = ½ c sin bc sin = c sin b sin = sin bsin sin b sin sin Hermed hr vi bevist den første f de tre ligninger i sinusreltionerne. Den næste får vi tilsvrende ud fr T = ½ c sin og den tredje ved T = ½ b sin. Eksempel 3.4 I den viste treknt kender vi to vinkler og en side. Den tredie vinkel kn vi beregne f vinkelsummen: = ,5 75,1 = 47,4 Siden finder vi ved hjælp f en sinusreltion: b sin sin 12, 5 sin 751, sin 57, 5 12, 5sin 751, 14, 3 sin 57, 5 Siden c finder vi også ved hjælp f en sinusreltion: b c sin 12, 5 sin 57, 5 c sin 474, c = 10,9 298
4 3. Vilkårlige treknter osinusreltionerne Lige som sinusreltionerne er cosinusreltionerne et sæt formler, der bruges til t finde sider og vinkler i treknter. De to sæt formler sup plerer hinnden. I tilfælde, hvor sinusreltioner ikke er egne de til t løse et problem, kn mn nvende cosinusreltioner og omvendt. Sætning 3.5: osinusreltioner osinusreltionerne: c 2 = 2 + b 2 2b cos b 2 = 2 + c 2 2c cos 2 = b 2 + c 2 2bc cos I en vilkårlig treknt gælder: c 2 = 2 + b 2 2b cos Kommentrer: Sætningen kldes ofte for Den udvidede pythgoræiske Læresætning, fordi den minder om Pythgors sætning. Den hr dog fået et ekstr led, fordi ikke er ret. Læg mærke til, t cosinusreltionen ovenfor hndler om en side c og dens modstående vinkel. Inde i formlen indgår de to ndre sider. Som cosinusreltionen er formuleret ovenfor, er den let t gå til, hvis mn hr brug for t finde siden c. Er det derimod siden, mn skl finde, er det ikke, men der kommer til t indgå i form len: 2 = b 2 + c 2 2bc cos Tilsvrende ser reltionen således ud, hvis vi skl finde siden b: b 2 = 2 + c 2 2c cos evis for sætning 3.5 I tegner vi højden h fr og klder dens fodpunkt for D. For enkelheds skyld klder vi stykket D for x. Stykket D må d være x. Vi bruger Pythgors på D: ( x) 2 + h 2 = c x 2 2x + h 2 = c 2 (*) 299
5 3. Vilkårlige treknter Størrelsen h 2 indgår ikke i cosinusreltionerne, så vi vil gerne f med den. Pythgors nvendt på D giver: x 2 + h 2 = b 2 c b h som omformes til: h 2 = b 2 x 2 Vi indsætter i (*): + x Hvis vinkel er en stump vinkel, ser treknten lidt nderledes ud, men beviset kn gennemføres lligevel. Udfordring: Gennemfør beviset x D 2 2x + x 2 + b 2 x 2 = c b 2 2x = c 2 (**) Størrelsen x indgår heller ikke i cosinusreltionerne. Vi får den væk ved t bruge cosinus til i den retvinklede treknt D: cos x b Vi isolerer x og får x = b cos, der indsættes i (**): 2 + b 2 2b cos = c 2 Hermed er sætningen bevist, når er en spids vinkel. Eksempel 3.6 Vi tænker os, t vi kender og dens to hosliggende sider. Vi vil finde den modstående side c ved hjælp f en cosinusreltion: c 2 = 2 + b 2 2b cos = cos 65 = 260,6 Herefter finder vi c ved t uddrge kvdrtroden: c = 260, 6 = 161, Mn kunne også sætte sig for t finde og, men for øjeblikket lder vi dette problem hvile. 300
6 Eksempel 3.7 Vi tænker os, t vi kender og dens to hosliggende sider. Vi vil beregne den modstående side b. Vi kn imidlertid ikke bruge sætning 4.5 direkte. D det er, vi kender, skl vi bruge en cosinusreltion på formen: b 2 = 2 + c 2 2c cos 3. Vilkårlige treknter = 4, , ,31 5,27 cos 47,1 = 15,426 b 15, , osinusreltionerne er ofte nyttige, når mn skl beregne en vinkel. Sådn som vi hr skrevet formlerne indtil nu, hr de imidlertid været mest velegnede til beregning f en side. Skl mn beregne en vinkel som fx, bliver det nødvendigt t isolere cos i udtrykket c 2 = 2 + b 2 2b cos. Ld os se på et pr eksempler: Eksempel 3.8 Hvis mn kender de tre sider i en treknt, kn mn bestemme dens vinkler. Først : c 2 = 2 + b 2 2b cos 5,3 2 = 3, , ,6 4,7 cos 28,09 = 12, ,09 33,84 cos osinusreltioner til beregning f vinkler: cos 2 b 2 + = c 2 2b cos 2 c 2 + = b 2 2c cos b 2 c 2 + = 2 2bc 33,84 cos + 28,09 = 35,05 696, cos 02057, 33, 84 33,84 cos = 6,96 = cos 1 0,2057 = 78,1 og findes på smme måde. Øvelse 3.9 Isolér cos i cosinusreltionen c 2 = 2 + b 2 2b cos, så der fremkommer en formel til beregning f vinkel. Udled også formler til beregning f vinkel og vinkel. 301
7 4. De fem trekntstilfælde 4. De fem trekntstilfælde Vi hr tidligere omtlt de fem såkldte trekntstilfælde og vist, hvordn treknterne kn konstrueres med psser, linel og vinkelmåler ud fr tre givne stykker. Her vil vi gennem eksempler se, hvordn mn i lle fem tilfælde kn beregne de ukendte sider og vinkler. Først en oversigt: TREKNTSEREGNINGER IDEFEM TREKNTSTILFÆ LDE Figur Givet Tilfælde nr.1: LLE TRE SIDER Metode 1. En vinkel ved cos-reltion 2. En nden vinkel ved cos-reltion 3. Den tredje vinkel ved vinkelsum Tilfælde nr.2: EN VINKEL OG DE HOSLIGGEN- DE SIDER Tilfælde nr.3: TO VINKLER OG DEN MELLELIG- GE SIDE Tilfælde nr.4: TO VINKLER OG EN IKKE MELLEM- LIGGENDE SIDE Tilfælde nr.5: TO SIDER OG EN IKKE MELLEMLIG- GENDE VINKEL 1. Sidste side ved cos-reltion 2. En nden vinkel ved sin-reltion 3. Den tredje vinkel ved vinkelsum 1. Den tredje vinkel ved vinkelsum 2. En nden side ved sin-reltion 3. Sidste side ved sin-reltion 1. Den tredje vinkel ved vinkelsum 2. En nden side ved sin-reltion 3. Sidste side ved sin-reltion 1. En vinkel ved sin-reltion 2. Den tredje vinkel ved vinkelsum 3. Sidste side ved sin-reltion Ps på! Måsketo løsninger Eksempel 4.1: Første trekntstilfælde I en treknt er de tre sider givet. Deres længder er ngivet på figuren. Trekntens vinkler ønskes beregnet. 1. Vinkel beregnes ved en cosinusreltion: cos b c 832, 135, 890, cos 2bc 2832, 13, 5 = 39, = 0,7668 8,32 13,5 8,90 2. Vinkel beregnes på tilsvrende måde: c b cos 890, 135, 832, cos 2c 2890, 13, 5 = 36, = 0,
8 4. De fem trekntstilfælde 3. Vinkel beregnes på tilsvrende måde ved en cosinusreltion til 103,2. Herefter kn mn kontrollere resulttet, idet vinkelsummen bliver: + + = 39,9 + 36, ,2 = 180 8,56 Eksempel 4.2: ndet trekntstilfælde I treknt er der givet to sider og den mellemliggende vinkel. Størrelserne er ngivet på figuren. 1. Den tredie side beregnes f en cosinusreltion: 85,1 12,1 2 = b 2 + c 2 2bc cos 2 = 8, , ,56 12,1 cos 85,1 = 202,0 = 14,2 2. Vinkel findes også ved en cosinusreltion: c b cos 14, , 856, cos = 2c ,, = 36, = 0, Vinkel beregnes ud fr vinkelsummen: = ,1 36,9 = 58,0 Eksempel 4.3: Tredie trekntstilfælde Treknt er givet ved to vinkler og den mellemliggende side. De givne stykker er vist på figuren i mrgenen. 30,3 9,68 124,3 1. Vinkel beregnes ud fr vinkelsummen; = ,3 124,3 = 25,4 2. Siderne beregnes ved hjælp f sinusreltioner: b c b,, sin, = b sin sin 124, 3 = 968 sin, = = 18, sin 25, 4 c,, sin, = sin sin, = 968 sin, = sin 25, 4 = 11,
9 4. De fem trekntstilfælde Eksempel 4.4: Fjerde trekntstilfælde Treknt er givet ved to vinkler og en ikke mellemliggende side. De givne stykker er vist på figuren i mrgenen. 1. Vinkel beregnes ud fr vinkelsummen: = ,8 35,9 = 120,3 23,8 6,57 35,9 2. Siderne beregnes ved hjælp f sinusreltioner: b,, sin, = sin sin sin, = 657 sin, = sin 35, 9 = 452, c b c,, sin, = c sin sin 120, 3 = 657 sin, = = 967, 35 9 sin 35, 9 Eksempel 4.5: Femte trekntstilfælde Treknt er givet ved to sider og en ikke mellemliggende vinkel. De givne stykker er nført på figuren Vinklen beregnes ved hjælp f en sinusreltion: c 777,,, sin, = sin sin, = 960 = = 0, , I trekntstilfælde fem kn der være to løsninger. For t gennemføre en korrekt beregning, er det vigtigt t huske på, t ligningen sin = 0,9534 hr to løsninger. Den ene findes ved f nvende invers sinus og den nden ved t trække den først fundne fr 180. Sådn: 1 50,5 9,60 7, v 1 = sin 1 (0,9534) = 72,4 2 = ,4 = 107,6 v 2.Vinkel beregnes ud fr vinkelsummen: 1 = ,5 72,4 = 57,1 2 = ,5 107,6 = 21,9 To vinkler kn hve smme sinus 3. Den sidste side beregnes f sinusreltioner: 304 b1 c b1 960, 960, sin 571, = = b1 = sin sin 57, 1 sin 72, 4 sin 72, b2 c b2 960, 960, sin 219, = = b2 = sin sin 21, 9 sin 107, 6 sin 107, = 846, = 376,
10 5. eregning med ligningsløser 5. eregning med ligningsløser Mnge mennesker er ikke interesseret i teori, men hr et behov for t gennemføre mnge beregninger i forbindelse med prktiske nvendelser. Sådnne mennesker vil ofte vælge IT-værktøjer til deres beregninger. Her vil vi vise, hvordn en ligningsløser kn benyttes til trekntsberegninger. Ligningen fr eksempel 5.1 er indtstet i ligningsløseren og løst til 3,941 Eksempel 5.1 Vi tænker os, t = 30,4, = 58,5 og b = 6,64. Vores opgve er t beregne. Vi begynder med t tegne en prøvefigur, og ser strks, t opgven kn løses med en sinus-reltion: sin 30, 4 664, sin 58, 5 Dette kn vi indtste direkte i solveren som vist på skærmbilledet i mrgenen. Fcit bliver 3,941. 6,64 30,4 58,5 Eksempel 5.2 Denne gng tænker vi os, t vi kender trekntens tre sider og skl finde finde (se prøvefiguren). En cosinusreltion kn løse problemet: 4,92 8,26 Ligningen fr eksempel 5.2 løses med ligningsløser c 2 = 2 + b 2 2b cos Vi indsætter tllene og indtster lignignen i ligningsløseren som vist. Fcit er = 66,9. 7,78 Eksempel 5.3 De givne stykker fremgår f prøvefiguren, og opgven er t finde. Ligningsløseren hr løst ligningen i eksempel 5.3 og fået resulttet = 73,32 11, 3 91, sin( , 2 ) Den ubekendte står gnske vist to steder i ligningen, men det generer ikke ligningsløseren. Fcit er = 73,32. 9,1 11,3 56,2 305
Trigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs meregudmandsen.net Geometri C & B
gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereTrigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v
Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri
K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereElementær Matematik. Plangeometri
Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereFORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse
FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereImplicit differentiation Med eksempler
Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereOversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2
geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereUGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Læs merePythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:
Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt
Læs mereFormelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11
Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereGEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y
GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereProjekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,
Læs mereImplicit differentiation
Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereGEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2
GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mereOpstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning
1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3
Læs mereMATEMATIK NOTAT MATEMATISKE BEVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 07 Michel Mndi (07) Indholdsfortegnelse Side f 4 Indholdsfortegnelse: Indholdsfortegnelse:... 0 - En treknts vinkelsum...
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mere