Projekt 1.1 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser

Transkript

1 Hv er mtemtik? ISN Projekt. Optimeringsprolemer i geometri eksperimenter og eviser Introuktion Projektet kn nvenes åe på og -niveu. et enkelte hol vil normlt ikke kunne nå t reje hele projektet igennem, men projektet er skrevet, så mn kn vælge ele f et u, eller mn kn le eleverne reje me forskellige ele f et. Projektet lægger op til en eksperimenterene unervisning me rug f IT-værktøjer, og er skrevet så eleven selv får en hne for t opge entrle ikke-trivielle smmenhænge. Komintionen f et eksperimentelle og et teoretiske er ieel til en muntlig eksmen. Forusætninger: Hæftet er først og fremmest en perspektivering f trigonometrien, og er forusættes erfor et elementært kensk til trigonometri, inklusive osinus- og sinus-reltionerne og en sævnlige relformel for en treknt: T = sin( ). Heruover forusættes et elementært kensk til funktioner, vs. en vis fortrolighe me t opstille funktionsutryk, tegne grfer og enytte simple grfværktøjer til t estemme fx skæringspunkter og lokle ekstrem (mks og min). erimo forusættes ifferentilregningen ikke ekent. er er og metget en fsluttene fruning f et entrle prolem u fr ifferentilregning, men et er upræget -niveu og kræver åe en vis moenhe og et vist teknisk kensk til håntering f trigonometriske funktioner. er lægges op til en eksperimenterene unervisning me støtte f IT-værktøjer, forusættes er eneligt et elementært kensk til ynmiske geometriprogrmmer. Hvorn opger mn mtemtiske sætninger? ette er et entrlt spørgsmål i egrunelsen for en eksperimentelle mtemtik. et forenklee svr er: Mn regner en strie konkrete eksempler igennem og ser om mn kn fine et generelt mønster i e svr mn finer. Me lit hel kn e enkelte eksempler smles i et sånt mønster og mn hr funet en sætning, er erefter kn evises. Her er et oplgt en klr forel for t hve goe værktøjer til råighe. Intuitionen må mn håe på, selv om et estemt hjælper me erfring og en go portion tålmoighe. Se fx på følgene prolemstilling: Hvis mn får oplyst e fire sielænger for en firknt, kn mn eformere firknten på mnge måer (i mosætning til treknten er en ikke stiv, men kn trykkes smmen på forskellige leer). et er nturligt t spørge om hvilken f isse firknter me givne sielænger, er er størst, vs. hr et største rel. et er rimeligt simpelt t sætte et eksperiment op me et ynmisk geometriprogrm og regne nogle konkrete eksempler igennem. erefter kn mn kigge på løsningerne og se, hvilke mønstre mn kn fine: Er er nogle estemte egensker er krkteriserer e optimle firknter? et viser sig, t er er mnge forskellige krkteristiske egensker mn kn hæfte sig ve, herf nogle gnske overrskene mn i første omgng tror må ero på fejl i eksperimenterne. I projektet er er smlet en række eksperimenter, mn kn enytte som ugngspunkt for selv t gå på opgelser i firknternes veren. Teori Som fruning er er smlet en el teori om firknter. e første to fsnit er overkommelige på -niveu. e næste er mere uforrene og henvener sig især til klsser på -niveu eller til et tlentreje. 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

2 Hv er mtemtik? ISN Optimering f treknter Hvis vi kener tre ufhængige stykker i en treknt, fx e tre sier eller to sier og en vinkel, er trekntens form fstlgt. e tre stykker skl og være inyres ufhængige. Fx er e tre vinkler ikke ufhængige, vinkelsummen i enhver treknt er 80. Hvis vi erimo kun kener to stykker i en treknt, fx to f sierne og, hr vi en frihe til t eformere treknten og kn erfor konstruere en hel fmilie f treknter me e opgivne mål. Fx kn vi opftte vinklen mellem e to sier og som en ufhængig vriel, er kn vrieres frit: rel = m m = Hvorn skl vi nu vælge en ufhængige vriel, vs. vinklen, så treknten liver størst mulig? I ette tilfæle er svret ikke særligt overrskene, men for t illustrere prinipperne vil vi kort se på hvorn vi kn eksperimentere os frem til svret. Luk op for it geometriprogrm og giv sierne og konkrete værier fx 6 m og 5 m. Strt me t konstruere et vnret linjestykke me længen = 6 m og en irkel me entrum i og rius 5 m. et siste treknthjørne ligger et eller net ste på irklen. Vi kn en gerne ntge, t et ligger et ste på en øvre hlvirkel, så vinklen kn vriere mellem 0 og 80. Mål nu såvel vinklen som relet f treknten. Trækker u i treknthjørnet og prøver ig frem, ser et u som om treknten er mksiml, når en er retvinklet, og t et største rel er 5: m = rel = m Vi kn kke et op me en mere præis grfnlyse på følgene måe: Ve t upege såvel en ufhængige vinkel som et fhængige rel T, kn vi fsætte punktet (,T) i et koorintsystem. Trækker vi i punktet vil grfpunktet gennemløe grfen for en funktion, er eskriver relet T som en funktion f vinklen. Som forventet er grfen symmetrisk omkring = 90 me et mksimum tæt på 90, er netop fører til et største rel. Vi kn styrke enne konklusion ennu mere ve t opstille et konkret funktionsutryk for relfunktionen. Vi tger T = sin( ) ugngspunkt i en velkente formel for trekntens rel:. f ( x) = sin( x) Vi ør erfor inskrive funktionen: emærk, t i visse geometriprogrmmer er et 60 kun muligt t håntere sinus-funktionen korrekt, 50 = m hvis vi regner rgumentet for sinus i riner. I 40 = m sånne progrmmer må vi først omsætte vinklen til riner: x x /80, og erefter inskrive 30 x Toppunkt = relfunktionen sålees: y 0 Toppunkt = x T( x) = sin Toppunkt 0 80 Mksimum fines i punktet (90,5), vs. en optimle treknt er retvinklet me et rel på L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

3 Hv er mtemtik? ISN Til sist vil vi prøve om vi kn give en simpel forklring på et funne mksimum. et kn ske ve t se på en mksimle væri for sinus-funktionen. Men vi kn også rgumentere geometrisk: Trekntens rel er T = h g, og grunlinjen g holes fst, skl vi forsøge t gøre højen h så stor som mulig. et sker tyeligvis, når vinklen er 90. Prøv nu selv kræfter me følgene øvelser! Øvelse ntg t vi hr en fst vinkel og en moståene sie, fx og. fsæt først vinklen og vælg et frit punkt på et ene vinkelen. fsæt ernæst linjestykket. Mål på trekntens vinkler og sier smt relet. Vrier nu et frie punkt. Hvornår er relet størst? Hv er er speielt ve netop enne treknt? Hvorfor? eskriv sporet for en fhængige linje. Konstruer sporet f som et geometrisk ste, når et ufhængige punkt vrieres. Øvelse Igen hr vi en fst vinkel og en moståene sie, fx og. enne gng fsættes linjestykket som grunlinje. Vælg en fri vinkel i (fx u fr en irkel me entrum i og et frit punkt P på enne irkel). eregn størrelsen f vinkel og konstruer treknten. Mål trekntens vinkler og sier smt relet. Vriér nu på en frie vinkel (vs. punktet P). Hvornår er relet størst? Hv er er speielt ve netop enne treknt? Hvorfor? eskriv sporet for et fhængige hjørne. Konstruér sporet f som et geometrisk ste, når en ufhængige vinkel (vs. punktet P) vrieres. Hv er et for et geometrisk ste? = = =.5894 P + Øvelse 3 enne gng er er givet en fst sie, smt summen l f e to øvrige sier i treknten, vs. l = +. Mn kn fx tænke på en fste sie som en mur og e to øvrige sier som et stykke hegn me længen l. fsæt en fste sie =. fsæt også et linjestykke svrene til længen f hegnet. fsæt ernæst et frit punkt P på ette linjestykke, svrene til opelingen f hegnet i e to sier og. Konstruer nu treknten me isse tre sier og umål længen f trekntens sier og vinkler smt ens rel. Vriér nu på et frie punkt P. Hvornår er relet størst? Hv er er speielt ve netop enne treknt? Hvorfor? eskriv sporet for et fhængige hjørne. Konstruér sporet f som et geometrisk ste, når et ufhængige punkt vrieres. Hv er et for et geometrisk ste? P 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

4 Hv er mtemtik? ISN Teoretisk fruning Når mn først er levet fortrolig me enkeltvriel prolemet kn mn gå over til t kigge på to-vriel prolemer: Her får mn ltså kun ét stykke oplyst og hr to ufhængige stykker tilge, mn kn vriere. et kræver vrielkontrol, vs. t mn nøjes me t vriere en enkelt vriel gngen. Som et klssisk eksempel kn vi se på en treknt hvor omkresen p = + + er givet. Hvorn skl mn vælge treknten, så relet liver størst muligt? Her kn vi fx strte me t vælge som en ufhængig vriel, vi holer fst. For en given væri f holer vi ltså + fst. Men så hr vi lige set, t en største treknt er en ligeenee treknt. Hvis nu vi tænker os, vi hr funet en optimle treknt må ette gæle unset hvilken f e tre sier vi holer fst. vs. lle tre pr sier skl være lige lnge og erme skl treknten være ligesiet. Men kn got prolemtisere om er virkelig fines en optiml treknt, se fx Vgn Lunsgår Hnsens tnkevækkene og om ios prolem (Temer fr Geometrien, Mtemtiklærerforeningen, 99). Her vil vi nefle en øvelse me mulighe for et evis: Øvelse 4: Opstil funktionsutrykket for relet f en ligeenet treknt, hvor grunlinjen kn vrieres frit, mens omkresen holes fst. estem herve et optimle rel. Hvis u kn, er et fint også t gennemføre uregningen ve hjælp f ifferentilregning.. Optimering f firknter En firknt hr fire sier, er opskrives i rækkefølge,, og. Tilsvrene hr en fire hjørner,, og. I mosætning til treknter er er ikke en estemt måe t knytte hjørner og sier smmen. Går vi u fr e fire hjørner, etegner vi sierne me,, og. Går vi u fr sierne etegner vi hjørnerne (vinklerne) me,, og, se figuren. I en firknt er vinkelsummen 360. Me minre firknten er et rektngel er minst én f vinklerne erfor stump. Yermere er er pls til en enkelt vinkel over 80. I så fl fler en tilsvrene igonl uenfor firknten firknten er konkv. Ve t spejle e 'uhelige sier' i igonlen kn mn omnne en konkv firknt til en konveks firknt me smme sielænger. Konkve firknter er erfor ikke interessnte i optimeringsprolemer. en næste overrskelse hnler om ntllet f ufhængige stykker i en firknt. en (konveks) firknt estår f to treknter me en fælles igonl er en fstlgt ve fem stykker. Hvis mn kun får oplyst e fire sielænger er en leeløs og kn eformeres ve fx t trykke en ene igonl smmen. Vi kn nu spørge efter en optimle (konvekse) firknt me fire opgivne sier. Inen vi kster os over et generelle prolem vil vi se på nogle speielle firknter. 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

5 Hv er mtemtik? ISN Øvelse : ---. Når lle fire sier er lige lnge kles firknten en rome. Hvilken rome er en største? Hv skl er gæle om vinklerne? Hv liver størrelsen f et mksimle rel? Øvelse : ---. Hvis moståene sier er lige store kles firknten et prllelogrm. Hvilket prllelogrm er et største? Hv skl er gæle om vinklerne? Hv liver størrelsen f et mksimle rel? Øvelse 3: ---. Hvis to pr hosliggene sier er lige store kles figuren en rgefirknt. Hvilken rgefirknt er en største? Hv skl er gæle om vinklerne? Hv liver størrelsen f et mksimle rel? Øvelse 4: ---. enne gng er tre f sierne lige store. Hvorn ser en mksimle firknt u? Hv skl er gæle om vinklerne? Hv liver størrelsen f et mksimle rel? u skulle nu hve en fornemmelse for et generelle prolem og vi springer u i et og gennemfører resten f fsnittet som en øvelse: Øvelse 5: Hvem er en største? Vælg fire tilfælige hele tl,, og mellem og 0. e svrer til sielængerne i in firknt i en vlgte rækkefølge. Hvis mere en to f tllene er ens eller hvis er ikke kn konstrueres en firknt vælger u om igen. Som ufhængig vriel vælger u en vinkel, fx. u kn nu konstruere grunlinjen og en irkel me entrum i hjørnet og rius. På en øvre hlvirkel vælges et frit punkt, hjørnet. For t konstruere et siste hjørne fsætter u irkler me entre i og og rier henholsvis og se figuren. u skulle nu gerne hve fremrgt en ynmisk moel f en firknt me sielængerne,, og. f e Ve t vriere på vinklen, vs. ve t trække i punktet, kn u nu unersøge, hvornår relet liver størst muligt. fsæt også igonlerne e og f i firknten. Umål lle vinklerne i figuren, vs. e fire kntvinkler, så vel som vinklen mellem igonlerne. Umål også relet T, såvel som længen f e to igonler e og f. Prøve nu t give et u på følgene: Hv gæler er om kntvinklerne, når firknten er mksiml? Hv gæler er om igonlvinklen, når firknten er mksiml? Hvor stort liver et mksimle rel? Konstruér grferne for relet T, igonlvinklen v og prouktet f igonlerne e f som funktion f kntvinklen. Hv oserverer u? Vi vil nu prøve t strmme op omkring præisionen ve t gennemføre en egentlig eregning. Hertil hr vi rug for funktionsutrykket for relet T som funktion f kntvinklen. igonlen e splitter firknten i to treknter og vi kn nemt fine relet f e to treknter: T = sin( ) + sin( ) 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

6 Hv er mtemtik? ISN Her er kntvinklen netop en ufhængige vriel x. Vi mngler så re et utryk for en moståene kntvinkel. et finer vi ve hjælp f en elementær treknteregning: Først uregnes længen f igonlen e ve hjælp f osinusreltionen, og ernæst uregnes vinklen ve hjælp f osinusreltionen: e = + + e os( ) = os( ) Sættes e to utryk smmen finer vi erfor: + + os( ) os( ) = et giver nlening til et følgene utryk for relfunktionen: os( ) + + ux ( ) : = os ( ) T( x) : = sin( x) + sin( u( x)) Inskriv isse funktionsutryk og tegn grfen for relfunktionen T(x). estem t mksimum for relfunktionens grf. Konstruér på sis f et funne mksimum, en mksimle firknt. Eftervis me en størst mulige numeriske præision e formoninger, som u lleree hr opstillet omkring en mksimle firknt. Er er tle om en pæn væri for relet T? Hv me T? Er er tle om en pæn væri for e f? Supplerene uforringer: ) Konstruer mitnormlerne for e fire sier i firknten. Hv sker er når firknten er mksiml? ) Se på højernes fopunkter ', ' og ' på sierne, og fr et fjere hjørne. Hv sker er når firknten er mksiml? 3) Hv sker er me en mksimle firknt, hvis vi ytter om på rækkefølgen f sierne? Hv sker er fx me størrelsen f relet og længen f igonlerne? Teoretisk fruning Når mn først er levet fortrolig me enkeltvriel prolemet kn mn gå over til t kigge på fler-vriel prolemer: Her får mn fx kun ét stykke oplyst og hr fire ufhængige stykker tilge, mn kn vriere på. Som et klssisk eksempel kn vi se på en firknt, hvor omkresen p = er givet. Hvorn skl mn vælge firknten, så relet liver størst muligt? Her kn vi strte me t vælge e hosliggene sier, og en tilhørene igonl e som ufhængige vrile, hvis værier vi kn hole fst. For en given væri f, og e holes erfor summen + fst. Men vi kn stigvæk vriere sien (og le sien følge me). Men så hr vi set, t en største treknt er en ligeenee treknt e, hvor =. Hvis nu vi tænker os, t vi hr funet en optimle firknt må et jo gæle unset hvilke f e hosliggene sier vi holer fst. vs. lle fire pr sier skl være lige lnge, og erme skl firknten være en rome. et fstlægger længen f e fire sier, men vi kn stig vriere på igonlen e. Hvilken rome hr nu et største rel? Øvelse 6: Opstil funktionsutrykket for relet f en rome hvor igonlen kn vrieres frit, mens omkresen holes fst. Hvis u kn, er et fint også t gennemføre uregningen ve hjælp f ifferentilregning og sålees estemme et optimle rel. 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

7 Hv er mtemtik? ISN En eksmensopgve Et tilsvrene prolemkres fås ve t hole iverse stykker i en firknt fst, så er kun er få frie vrile tilge. I eksmensopgver vil er kun være en enkelt ufhængig vriel tilge, så mn kn regne sig igennem opgven ve t opstille et enkelt funktionsutryk. et gæler for eksempel en følgene opgve. Her får mn oplyst en vinkel og en sum f to sielænger (et hegn). et giver to stykker, hvorfor er må oplyses to stykker mere, fx ennu to rette vinkler (hvorve firknten liver til et retvinklet trpez) eller t e to moståene sier hr smme størrelse (hvorve firknten liver til et prllelogrm). Ve løsning f en ovenståene opgve er et selvfølgelig spænene t se, om mn kn se et mønster i e optimle figurer, og erme fx live i stn til t krkterisere løsningerne simpelt u fr vilkårlige hegnslænger. Men uforringen estår i t roppe e ekstr etingelser og søge en størst mulige firkntee inhegning, er lene opfyler e to oprinelige krv: Vinklen mellem murene skl være 35 og summen f e to sier, hvor er ikke er mur skl være 0 meter (hegnet). et giver tre resterene ufhængige vrile, fx sien, sien og igonlen. Prøv nu selv om u kn løse opgven. Øvelse: Eksmensopgve To mure nner et hjørne, hvor vinklen mellem murene er 35. Ve hjælp f et 0 meter lngt hegn skl er nnes en trpezformet inhegning (se figur ). Linjestykket er vinkelret på e prllelle sier og. Længen f sien etegnes x. Gør ree for, t længen f E er x. estem en trpezformee inhegnings rel T som funktion f x, og gør ree for, t T kn skrives som 3 T( x) = x + 0x. estem et størst mulige rel T mx f en trpezformee inhegning. Ve t give inhegningen form som et prllelogrm (se figur ) kn er me smme hegn på 0 m nnes en inhegning me et større rel en T mx. estem et størst mulige rel P mx f en prllelogrmformee inhegning. 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

8 Hv er mtemtik? ISN Teori I: Firkntstrigonometri Sætning (osinusreltionen for firknter) For en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v gæler: + = + e f v os( ) evis: igonlerne e og f eler hinnen i stykkerne e, e, f og f. igonlvinklen overfor sien kles v. e øvrige igonlvinkler er 80 v, v og 80 v. Ve t nvene osinusreltionerne på e fire treknter uspænt f igonlstykkerne og unytte t os(80 v) = os( v) fås : = e + f e f os( v) = f + e + f e os( v) = e + f e f os( v) = f + e + f e os( v) Lægger vi ligningerne for og smmen og tilsvrene for ( ) ( ) + = e + e + f + f e f + e f os( v) + = e + e + f + f + e f + e f os( v) og smmen fås: Trækker vi em ernæst fr hinnen fås enelig en funmentle smmenhæng: ( ) ( ) ( ) + + = e f + e f + e f + e f os( v) ( ) ( ) = e + e f + f os( v) = e f os( v) Herf følger påstnen ve t rykke om på leene. e f v f e Øvelse : Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? emærkning: Vi kn speielt se på tilfælet, hvor igonlvinklen v er ret. I så fl gæler os(v) = 0 og erme fås: + = +. Men hvis er på en nen sie gæler, t + = +, så må også os(v) = 0. Vi hr erfor vist: Sætning (Pythgors for firknter) igonlerne i en konveks firknt me sierne,, og står vinkelret på hinnen, netop når summen f kvrterne på moståene sier er ens: + = + emærkning: enne sætning viser l.. t enten er igonlvinklen i en firknt me fire opgivne sier,, og lti ret eller også liver en et lrig! Øvelse : Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? Sætning 3 (relformlen for firknter) For en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v gæler: T = e f sin( v). 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

9 Hv er mtemtik? ISN evis: Som før eler igonlerne e og f hinnen i stykkerne e, e, f og f. igonlvinklerne er v, 80 v, v og 80 v. Ve t nvene relformlen for treknter på e fire treknter fremrgt f igonlerne og unytte t e sin(80 v) = sin( v) fås : f v T = e f sin( v), T = e f sin( v) T = e f sin( v), T = e f sin( v) 3 4 f e Lægger vi e fire reler smmen fås netop: T = T + T + T + T 3 4 ( ) ( e e ) ( f f ) sin( v) = e f + e f + e f + e f sin( v) = + + = e f sin( v) Øvelse 3: Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? enne relformel er en simpleste for en firknt, men en fines også i to nre vrinter. Vi kn nemlig els eliminere igonlerne e og f, els eliminere igonlvinklen v. Sætning 4 (lterntive relformler) relet T for en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v opfyler e følgene to smmenhænge: ( ) T = + + tn( v) 4 ) ( ) ( ) (hvor et forusættes t igonlvinklen v ikke er ret! Hvis vinklen er ret er tngens ikke efineret). ( ) ( ) + + ) T = e f 4 4 evis: Ugngspunktet er relformlen og osinusreltionen, er omskrives på formen: ( ) ( ) 4T = e f sin( v) + + = e f os( v) ) Ve ivision f e to ligninger me hinnen går igonlerne e og f u og vi finer: 4T sin( v) = = tn( v) os( ) ( + ) ( + ) v 4 (( ) ( )) T = + + tn( v) ) Ve t kvrere e to ligninger og lægge em smmen går v u i krft f trigonometriens Pythgors: sin ( v) + os ( v) =. Først kvreres e to ligninger: (( ) ( )) 6 T = 4 e f sin ( v) + + = 4 e f os ( v) 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

10 Hv er mtemtik? ISN ernæst lægges e to ligninger smmen: Isoleres (( ) ( )) 6 T = 4 e f sin ( v) + 4 e f os ( v) T ( ) = 4 e f sin ( v) + os ( v) = 4 e f fr enne ligning fås netop en ønskee formel. For en firknt me fste sielænger,, og er forskellen på kvrtsummerne for e moståene sier, vs. ( + ) ( + ), nu en konstnt. e to nye relformler viser erfor t relet f en konveks firknt me givne sielænger fhænger på simpel vis f els igonlvinklen v (hvis enne ikke er ret), els f igonlernes proukt. en første formel viser, t relet f firknten T er proportionlt me tngens til en spise igonlvinkel v, vs. tn(v). Når vi eformerer en firknt hvor igonlvinklen v ikke er ret finer vi erfor et størst mulige rel, netop når en spise igonlvinkel er størst mulig (iet tngensfunktionen er voksene for spise vinkler). en nen formel viser tilsvrene, t forskellen mellem kvrtet på relet T og kvrtet på et hlve igonlproukt e f er konstnt. Men et viser t kvrtet på relet vs. T, er størst mulig, netop når kvrtet på igonlprouktet, vs., er størst muligt. Men erme gæler også, t relet T er størst muligt, netop når igonlprouktet e f er størst muligt (iet kvrtfunktionen er voksene for positive tl). e f ( e f) Sætning 5 For en konveks firknt me fste sielænger,, og topper e følgene tre størrelser erfor smtiigt:. Firkntens rel T.. Firkntens spise igonlvinkel v. 3. Firkntens igonlproukt e f. erme hr vi på elementær vis gjort ree for e fleste f e oservtioner vi (forhåentligt) hr gjort i vores eksperimentelle unersøgelse f firkntens rel. Vi mngler nu kun t gøre nærmere ree for e præise omstænigheer, hvoruner firkntens rel er mksimlt. 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

11 Hv er mtemtik? ISN Teori II: ykliske firknter Vi vil nu se nærmere på firknter, er hr en omskrevet irkel såklte ykliske firknter. Vinklerne i en yklisk firknt er supplementvinkler. et skyles t en periferivinkel er hlvt så stor som en ue, en spæner over. To moståene vinkler, fx og, i en yklisk firknt spæner over hele irklens omkres, vs. 360, hvorfor e to vinkler tilsmmen spæner over et hlve grtl, vs. + = 80. et omvente gæler også, som et fremgår f en følgene sætning. + = 80 Sætning 6 En firknt er yklisk, netop når moståene vinkler er supplementvinkler. Men ikke lot er er en simpel forinelse mellem e fire vinkler i en yklisk firknt. er er også en simpel forinelse mellem e fire sier,, og smt igonlerne og i en yklisk firknt: Sætning 7 (Ptolemios sætning) Prouktet f igonlerne i en yklisk firknt er lig me summen f proukterne f e moståene sier: = + evis: Vi fsætter punktet E på igonlen, så vinklerne ve, vs. E og er lige store: Men vinklerne ve og er også lige store, e spæner over smme ue. e to treknter E og er ltså ensvinklee og erme ligennee, hvorfor vi slutter: E E = E = På smme måe er treknterne og E ensvinklee, fori vinklerne ve per konstruktion er lige store, mens vinklerne ve og spæner over smme ue. enne gng slutter vi erfor t er gæler: E = E = Lægger vi e funne ligninger smmen fås: + = E + E = ( E + E) = Herme er sætningen vist. enne vigtige smmenhæng går tilge til en store græske stronom Ptolemios fr et net århunree, er gjore en til en hjørnesten i en græske trigonometri. E Øvelse Hv svrer Ptolemios sætning til for et rektngel? 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

12 Hv er mtemtik? ISN Øvelse ) I en irkel me imeteren spæner periferivinklen v over koren. Vis t = sin(v) (se figur ). ) Gøre ree for, t hvis én f igonlerne i en yklisk firknt er en imeter, vil firknten være oelt retvinklet me igonlen som fælles hypotenuse. ntg t imeteren er. Vis t Ptolemios sætning netop svrer til itionsformlen for sinus, vs. (se figur ); sin(v) v Figur. Figur sin( + ) = sin( ) os( ) + sin( ) os( ) 6. Teori III: Geometrien g en størst mulige firknt en klssiske geometriske krkterisering f en største konvekse firknt viser sig t hnle om igonlernes proukt. Vi tger ugngspunkt i en siste el f eksperimentet i øvelse 5 sie 5-6, hvor vi (forhåentligt) opgee t højernes fopunkter, og fr et fjere punkt netop lå på ret linje når firkntens rel vr mksimlt. et viser sig t være en nøgleoservtion: e tre fopunkter, og uspæner nemlig en treknt, er må opfyle treknt uligheen: ' ' ' ' ' ' ' + ' ' ' ' ' hvor lighestegnet kun er gyligt, når e tre punkter ligger på en ret linje (me liggene mellem og e tre trekntsier i fopunktstreknten kn knyttes på simpel vis til sierne og igonlerne i en oprinelige firknt, iet er viser sig t gæle: k ' ' = k ' ' = k ' ' = hvor k er en fælles konstnt, som vi introuerer vi sinusreltionen. Først opskriver vi sinusreltionerne for treknten : = = = k () sin( *) sin( *) sin( *) Her er *, * og * en el f vinklen, er ligger ine i treknten og k er en fælles væri f e tre røker. ' ' * * '' '' ' ' ' '' ' ' * ' ' ). Men ernæst ser vi på e tre treknter ' ', ' ' og ' ', er hver for sig hr en vinkel fælles me en store treknt. Vi kører rgumentet igennem for treknten ' ', men et er et smme rgument i lle tre tilfæle. ' ' ' 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

13 Hv er mtemtik? ISN ' ' Firknten er en speiel firknt eftersom en er elt i to pr ensvinklee treknter, ligesom moståene vinkler i firknten er supplementvinkler: eviset er et lille rgument som involverer ligennee treknter. Vi strter me t emærke t e sorte treknter og er ensvinklee. ' ' et er e fori egge vinklerne ' og ' er rette og Q fori topvinklerne ve Q er lige store. Herf følger t e følgene to yre forhol er lige store: ' Q' Q = ( = forstørrelsesfktoren) Q' Q Q ' Q' Men e optræer også som inre forhol i e sorte treknter yermere topvinklerne ve Q igen er lige store er et tilstrækkeligt til t sikre t også treknterne 'Q' og Q er ligennee og erme ensvinklee. og Q neenuner: ' ' ' Q' Q ' Vi hr ltså msser f vinkler, er går igen overlt i firknten. For en smlee vinkelsum i firknten fås : 360 = ' + ' + + = x + y + z + 90 ltså gæler er smmenhængen: x + y + z = 90 ' ' x y y Q z ' z x et viser netop som påstået t ' og er supplementvinkler: ' + = 90 + z + x + y = = 80 isse to vinkler hr erfor en smme sinusværi: sin( ') = sin( ). En sneig nvenelse f sinusreltionerne (hvor vi unervejs skifter fr en nere eltreknt ' ' til en øvre eltreknt ' ) giver erfor: ' ' ' ' ' = = = = () sin( *) sin( ') sin( ) sin(90 ) Kominerer vi sinusreltionen () for en store treknt og sinusreltionen () for firknten '' fås erfor: ' ' sin( *) = = k ' ' = k På smme måe viser vi t er gæler: k ' ' = k ' ' = Gnger vi trekntuligheen me en positive konstnt k fås erfor: k ' ' k ' ' + k ' ' + 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

14 Hv er mtemtik? ISN ette er netop firkntuligheen for fire punkter,, og i plnen: Sætning 8 (Firkntuligheen) For fstnene mellem fire punkter,, og gæler uligheen +, vs. prouktet f igonlerne er lti minre en eller lig me summen f e moståene siers proukter. Lighestegnet gæler kun, når højernes fopunkter fr et fjere punkt ligger på ret linje. Men et viser smtiigt t prouktet f igonlerne e f i en konveks firknt er optil egrænset f summen f e moståene siers proukter +. et viser også, t mksimum netop nås når højernes fopunkter fr ligger på ret linje. Spørgsmålet er så lot hvornår e tre fopunkter ligger på ret linje. Vi kigger igen på figuren og konentrerer os om et tilfæle, hvor e to fopunkter og ligger på hver sin sie f igonlen, og er erfor er en reel hne for t e ligger på smme rette linje som igonlpunktet. et er ltså e to linjestykker og som vi ønsker, skl ligge i forlængelse f hinnen. Men e to vinkler ve, vs. og skl være lige store (topvinkler). Nu hr vi lige set, t vinklen ' ' genfines i ', ligesom vinklen ' ' genfines i vinklen '. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Vi skl ltså sikre os t e to vinkler ve er lige store. Men treknterne ' og ' er egge retvinklee ( Vi finer erfor: ' = 90 ' = 90 (80 ) = 90 ' = 90 ltså skl er gæle: 90 = 90 + = 80 ' og ' er fopunkter for højer fr ). Fopunkterne ligger erfor på ret linje, netop når og er supplementvinkler. Men et smme må også gæle vinklerne og. Sætning 9 Fopunkterne for højerne fr i en konveks firknt ligger på ret linje, netop når moståene vinkler er supplementvinkler, vs. når ligger på en omskrevne irkel for treknten. Konklusion ver en størst mulige firknt Firknten hr et mksimlt igonlproukt, netop når en er yklisk. Og ette mksimle igonlproukt er netop summen f e moståene siers proukter: ( ) mks = + På smme måe hr en yklisk firknt erfor et mksimlt rel og (me minre igonlvinklen er ret) en mksiml spis igonlvinkel v. 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

15 Hv er mtemtik? ISN ilg. Formler i lmene konvekse firknter Vinklerne: Vinkelsummen er 360 : = 360 Pythgors: igonlvinklen v er ret, netop når summen f kvrterne på e moståene sier er lige store (se figur ): + = +. v e Figur. Figur. f osinusreltionen for igonlvinklen: (se figur ) + = + e f v relformlerne: T = e f v sin( ) os( ) ( ) T = + + v 4 ( ) ( ) tn( ) ( + ) ( + ) T = e f 4 4 Firkntuligheen: e f + Her gæler er kun lighestegn, hvis firknten er yklisk. 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

16 Hv er mtemtik? ISN Vinklerne: Moståene vinkler i en yklisk firknt er supplementvinkler: Pythgors: En yklisk firknt er oelt retvinklet, netop når e er imeter for en omskrevne irkel (se figur ): Figur. e osinusreltionen: (se figur ) ( ) + = + + os( ) relformlen: (rhmgupts sætning) T = ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) me s = Ptolemios sætning: e f = + f + = 80 Figur. e f + = +. en fælles væri er e og igonlen 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k