Krumningsradius & superellipsen

Transkript

1 Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det fysiske begreb blnce (stbil ligevægt): Hvorfor kn et æg ikke stå stbilt å sidsen, når Piet Heins Sueræg kn gøre det? Bggrund: Den. fledede f ' f funktionen f siger noget om grfens hældning. Den. fledede f '' f funktionen f siger noget om, hvordn grfens hældning ændrer sig, dvs. hvordn grfen krummer. Antg t vi hr givet en funktion f(x), som hr loklt minimum i x 0, dvs. f '( x 0) = 0. Mn kn i x 0 tegne den cirkel, som bedst følger grfens krumning omkring x 0. Denne cirkel kldes for grfens krumningscirklen, og cirklens rdius kldes for grfens krumningsrdius R. I et loklt minimumsunkt x 0 for funktionen f(x) gælder: R = f ''( x ) (uden bevis) Stor værdi f f ''( x0) betyder t grfen krummer meget i x 0, så R bliver lille. 0 Cirklen Nu vil vi først og fremmest undersøge, om en cirkel hr krumningsrdius = cirklens rdius (det vil vi d forvente)! Givet en cirkel med centrum i (0,0) og rdius r. Ligningen for denne er som bekendt: y isoleres i ligningen: y =± r x. Vi ser å det nederste stykke f cirklen, dvs. vi skl bruge minus-tegnet. x + y = r.

2 Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Vi definerer så funktionen: f ( x) = r x for r < x < r Beregn t f '( x) = Beregn t f ''( x) = r x x r 3 ( r x ) (håndregning + tjek å TI-89) (håndregning + tjek å TI-89) Beregn så f ''(0) og endelig krumningsrdius R i unktet (0,-r) Stemmer den med det forventede? x y Mn kunne hve skrevet cirklens ligning å følgende form: + =, og dermed hve r r fundet et ndet udtryk for funktionen x x f ( x) = r = r for r < x<r. r r Gennemfør igen beregningen ovenfor med dette funktionsudtryk Ellisen Ellisen er en ovl. Den tilnærmer rimeligt æggeformen. Plnetbnerne omkring solen er eksemler å elliseform. x y Ellisen hr en ligning f formen: + =, ltså helt nlogt med cirklens ligning, blot er b rdius i x- og y-retningen forskellig (nemlig hhv. b) hvor og b begge er > 0. Isoler y i ellisens ligning, og udled funktionsudtrykket for den nederste del f ellisen:

3 Krumningsrdius & suerellisen Side 3/5 Steen Toft Jørgensen f ( x) = b x x = b for < x<. Beregn f '( x ) (håndregning + tjek å TI-89) Beregn f ''( x ) (håndregning + tjek å TI-89) Beregn f ''(0) (håndregning + tjek å TI-89) Vis t krumningsrdius R = i unktet (0,-b) b NB: hvis = b, så bliver R = r, dvs. det sser med udregningen for cirklen! Ellisens mssemidtunkt (tyngdeunkt) ligger i origo, dvs. (0,0). Krumningscirklen centrum ligger i (0,-b + ). Hvis > b, så vil R > b, så tyngdeunktet ligger UNDER krumningscentret. I så b tilfælde er ellisen stbil, dvs. en lille fvigelse vil forårsge et sving tilbge til ligevægten. Derfor kn ellisen ligge stbilt, når > b. Hvis < b, bliver ligevægten ustbil, idet en lille fvigelse får ellisen til t vælte Dette forklrer, hvorfor et æg kn ligge ned å siden, men ikke stå å enden! NB: Du kn læse mere om ellisen og se flot grfik å (Websitet er lvet f Erik Vestergård, Hderslev Ktedrlskole). Suerellisen Piet Hein hr rbejdet med den såkldte suerellise, der er mere rektngulær end ellisen. Hn hr brugt formen til t fremstille et berømt mødebord, og mnge kender den 3-dim. udgve kldet suerellisoiden fr Piet Heins sueræg, som tyisk kn købes i en flot messingudgve..5.5 x y Suerellisens ligning ligner ellisens - blot er eksonenten.5 i stedet for : + = b

4 Krumningsrdius & suerellisen Side 4/5 Steen Toft Jørgensen.5.5 Isoleres y i ligningen får vi følgende udtryk: y = b for x Den del f suerellisen, som ligger i 4. kvdrnt (hvor x>0 og y<0), kn beskrives ved funktionen:.5.5 x f ( x) = b for 0< x<. Beregn f '( x ) (håndregning + tjek å TI-89) Beregn f ''( x ) (håndregning) NB: Udregningerne er omfttende. Ovenstående udtryk for f ''( x ) gælder for 0 < x <. Antg t vi kn beregne f ''(0) som lim f ''( x). x 0+ Vis å denne måde, t f ''(0) = 0 i unktet (0,-b) f ''(0) = 0 betyder, t suerellisen er uendelig fld i bunden (unset om eller b er størst)! Det svrer til, t krumningsrdius R er, dvs. t tyngdeunktet i (0,0) ALTID ligger UNDER krumningscentret. Derfor står suerellisen stbilt å underlget (unset om den står å sidsen)! NB: Du kn læse mere om Piet Hein og suerellisen å (Websitet er lvet f Erik Vestergård, Hderslev Ktedrlskole). Generlisering f suerellisen: x y Suerellisen kn generliseres med ligningen: + =, hvor >. b Jo større er, des mere rektngulær er formen! Isoleres y i ligningen får vi følgende udtryk: y = b for < x< Den del f den generliserede suerellise, som ligger i 4. kvdrnt (hvor x>0 og y<0), kn beskrives ved funktionen: f ( x) = b for 0< x< Ved udregninger gnske som under suerellisen kn mn beregne, t f ''(0) = 0 blot >. Dvs. ALLE generliserede suerelliser ( > ) kn stå stbilt å sidsen!

5 Krumningsrdius & suerellisen Side 5/5 Steen Toft Jørgensen Tegning og konstruktion f f, f og f i GRAPH: Mn kn tegne cirklen, ellisen og suerellisen i Grh. Så skl mn ngive funktioner: en som giver den nederste hlvdel (f), og en som giver den øverste hlvdel. Ostreg den nederste fuldt, og lv den øverste del stilet. Cirklen: Sæt rdius = 3. Ellisen: Sæt = 4 og b=. Suerellisen: Sæt = 4 og b=. Brug nu funktionen Indsæt f (x) fås ved t højreklikke å udtrykket for f. Kld den nye funktion for f under beskrivelse. Få også beregnet og tegnet f. Frver: Brug følgende frver til t skelne mellem grferne:! Blå = funktionen f! Rød = funktionen f! Lill = funktionen f Konklusion: f (0) er ikke 0 i tilfældet med cirklen og ellisen. Men ser ud til t være 0 i tilfældet med suerellisen. NB: Du får nok roblemer med suerellisen, idet der i f indgår funktionen sign(x), dvs. fortegnet for x. for x 0 sign( x) = + > for x < 0 Denne funktion er ikke differentibel (j ikke en gng kontinueret)! Derfor kn du ikke beregne f. Det kn du omgå ved t definere f, så den kun dur for x > 0, og så fjerne sign(x), som er +. Tilsvrende definerer du selv f for x < 0, idet du skriver - i stedet for sign(x). Selve funktionsudtrykket kn koieres fr før. PS: Bemærk t Grh ltså kn nvendes til t differentiere en funktion! Eksemel: f(x) = -*sqrt(-(x/4)^) giver f (x) = -(-4)*0.5/sqrt(-(x/4)^)*x/4*4/4^ og f (x) = -(-4)*(*0.5/sqrt(-(x/4)^)*x/4*4/4^/sqrt(-(x/4)^)^*x/4*4/4^ +0.5/sqrt(-(x/4)^)*4/4^*4/4^)