Betalingsrækker og nøgletal for obligationer

Betalingsrækker og nøgletal for obligationer Svend Jakobsen Mikkel Svenstrup 27. april 2004

1 PENGEMARKEDET 1 1 Pengemarkedet På det såkaldte interbank-marked kan pengeinstitutter placere eller låne i andre pengeinstitutter over en aftalt periode. Interbank-markedet er et anonymt marked, hvor handlen sker via et specialiseret børsmæglerselskab. Interbank-markedet hænger tæt sammen med aftalemarkedet, hvor virksomheder og private kan placere eller låne i pengeinstitutterne. I dette kapitel gennemgås disse markeder under et, under betegnelsen pengemarkedet. 1.1 Renteberegning Ved pengemarkedsindskud/lån aftales renten pro anno r, hovedstolen N, aftalens valørdato, d 1, samt aftalens udløbsdato d 2. Aftalen har normalt valør to hverdage efter aftalens indgåelse 1. Ved et pengemarkedsindskud indbetaler investor beløbet N på valørdatoen og modtager N plus den samlede tilskrevne rente, R, på udløbsdatoen. Ved et pengemarkedslån modtager investor beløbet N på valørdatoen og betaler N + R på udløbsdatoen. Renten R beregnes ud fra antal dage i perioden, d p, samt det forudsatte antal dage per år, d y på følgende måde (1) R = N r dp d y. På de finansielle markeder opereres med flere forskellige renteberegningskonventioner. Ved faktiske dage/360 (act/360) beregnes d p som antallet af faktiske dage (kalenderdage) i perioden fra valørdato til udløbsdato, og d y sættes til 360. Det vil sige, at R beregnes som (2) R = N r act/360 faktiske dage. 360 Ved faktiske dage/365 (act/365) sættes d y til antallet af kalenderdage i perioden og d y til 365. Act/360 og act/365 er de hyppigst anvendte rentekonventioner på det danske aftalemarked. En anden variation er act/act, hvor d y sættes til det faktiske dage på i et år. I andre sammenhænge anvendes den såkaldte obligationsmarkedskonvention eller rentedage/360 (30/360). Her beregnes d p som antallet af rentedage mellem valørdato og udløbsdagen. Beregningen af rentedage forudsætter, at hver måned (inklusive februar) har 30 dage. Der er ganske små forskelle mellem europæisk og amerikansk rentedagsberegning. Formlen til 1 For indskud af 1 dags varighed kvoteres hyppigt med andre valørkonventioner. O/N (overnight/next) er placering fra idag til imorgen. T/N (tomorrow/next) er indskud fra i morgen til i overmorgen og endelig er S/N (spot/next) en 1-dages placering med normal valør, dvs. med start om to hverdage og udløb en dag senere.

1 PENGEMARKEDET 2 beregning af rentedage fra datoen D1/M1/Y1 til D2/M3/Y2 er givet ved (3) Re ntedage = D2 D 1 +30 (M2 M 1 ) + 360 (Y 2 Y 1 ) hvor D 2 = min(d 2, 30). D1 er lig med min(d 1, 30) efter europæisk rentedagskonvention, mens D 1 = D 1 efter amerikanske konventioner. Rentedagsberegningen kan illustreres med følgende eksempel. Example 1 Beregning af rentedage 15/1-1995 til 15/2-1995 = 30 rentedage 15/2-1995 til 15/3-1995 = 30 rentedage 28/2-1995 til 1/3-1995 = 3 rentedage 30/1-1995 til 31/1-1995 = 0 rentedage 31/1-1995 til 1/2-1995 = 1 rentedag (Europæisk) eller 0 rentedage (US) 1.2 Sammenligning af rentesatser Renter på aftalemarkedet angives som pro anno renter med lineær rentetilskrivning. Ved sammenligning af renter på pengemarkedet bør man tage højde for antallet af rentetilskrivninger per år. En placering til renten r m, som tilskrives m gange årligt, vil give samme afkast som en placering til renten r n, der tilskrives n gange årligt, hvis (4) (5) ³ 1+ r n n ³ = 1+ r m n m r n = n ³ 1+ r m m m m n 1 Formel (5) kan anvendes til at omregne renterne for placeringer med forskellig løbetid til samme tilskrivningsfrekvens. Ved omregning af r m til helårlig rentetilskrivning (dvs. n =1) reducerer formlen til ³ (6) r 1 = 1+ r m m. m Som et andet yderpunkt kan vi omregne r m til den tilsvarende årlige rente med kontinuert tilskrivning r c. Kontinuert tilskrivning betyder, at renten tilskrives uendeligt hyppigt, svarende til at n går mod uendeligt i formel (4) ovenfor. For praktiske formål svarer kontinuert tilskrivning til daglig rentetilskrivning (n = 365). Det kan vises, at et beløb, N, som kontinuert tilskrives renten r c vil vokse til N e r c t over en periode af længde t.

1 PENGEMARKEDET 3 Placeringen i et år til renten r m,medm tilskrivninger per år, vil derfor give samme afkast som en placering, der kontinuert tilskrives renten r c,hvisogkunhvis ³ (7) 1+ r m m m = e r c ³ r c = m ln 1+ r m ³ m r m = m e rc/m 1 Kontinuert rentetilskrivning anvendes ikke så hyppigt i praksis, men da de fleste beregninger forsimples ved at antage kontinuert tilskrivning, så vil vi jævnligt vælge denne konvention i de følgende afsnit. Ved hjælp af formel (7) kan der omregnes mellem renter med diskret og kontinuert tilskrivning. Ved omregning af pengemarkedsrenter til renter med fælles tilskrivningsfrekvens er der behov for at kunne håndtere forskellene i valg af basis jf. ovenfor. Renten per periode beregnes som vist i formel (1) ovenfor og antal perioder per år beregnes som 365 dage delt med antal faktiske dage i perioden. Renten med helårlig rentetilskrivning bliver derfor: (8) r 1 =(1+r d p /d y ) 365 faktiske dage. og renten med kontinuert rentetilskrivning findes som r = ln(1 + r 1 ). Tabel 1 viser et eksempel på interbanksatser fra den 10 januar 1995. Som ventet varierer rentesatserne med aftalens løbetid. Indlånssatserne er her opgivet som act/360, men andre konventioner ses. Overfor private kunder anvendes undertiden act/360 på udlånssatser og act/365 på indlånssatser. Rentesatserne vil variere fra aftale til aftale afhængig af beløbsstørrelsen, ligesom spreadet mellem ind- og udlån varierer med pengeinstituttets kreditvurdering af låntager. Tabellen viser endvidere udløbsdatoen for hver enkelt placering, antal faktiske dage, antal rentedage, antal tilskrivninger per år, samt indlånsrentesatserne opgjort efter hhv. helårlig og kontinuert rentetilskrivning. Det skal understreges, at omregningen til helårlig rentetilskrivning sker under forudsætning af, at den tilskrevne rente er konstant. Ved sammenligning mellem f.eks. en placering over 3 måneder og en roll-over strategi, hvor samme beløb placeres 1 måned ad gangen, skal man huske, at 3 måneders renten er fast i hele perioden, mens det kun er den første 1- måneds rente, som er kendt. De fremtidige 1-måneders renter er usikre, og det samlede 3-måneders afkast af roll-over strategien er derfor behæftet med usikkerhed..

2 OBLIGATIONSMARKEDET 4 Tabel 1: Eksempel på inter-bank ind- og udlånssatser tirsdag 10/1-1995, kl. 12:29. Kilde: Harlow Butler Copenhagen. Periode Fakt. Rente- Tilskriv Hel- Kont. Act/360 Udløb dage dage ning/år årlig tilskrivn. O/N 5.25-75 11/1-96 1 1 365 5.47-00 5.32-83 T/N 5.25-75 12/1-96 1 1 365 5.47-00 5.32-83 S/N 5.50-00 13/1-96 1 1 365 5.73-27 5.58-08 1uge 5.50-70 19/1-96 7 7 52.1 5.73-95 5.57-78 2uger 5.55-75 26/1-96 14 14 26.1 5.78-00 5.62-82 1måned 5.65-85 13/2-96 31 30 11.8 5.88-09 5.71-92 2måneder 5.95-05 13/3-96 59 60 6.19 6.19-29 6.00-10 3måneder 6.15-25 13/4-96 90 90 4.06 6.38-49 6.19-29 6måneder 6.60-70 13/7-96 181 180 2.02 6.80-91 6.58-68 12 måneder 7.35-50 13/1-97 365 360 1.00 7.45-60 7.19-33 2 Obligationsmarkedet I stedet for at optage et lån i en bank kan en stor låntager eller en sammenslutning af mange låntagere låne ved at udstede obligationer. Obligationer er standardiserede gældsbreve, som sælges på børsen. Tidligere blev hver obligation udstedt med et bestemt pålydende beløb, typisk 1000 kr, men fra februar 2001, blev stykstørrelsen på alle obligationer ændret til den mindste valutaenhed, dvs. for danske kroner er mindste enhed er 1 øre. Obligationen giver ihændehaveren (investor) ret til at modtage renter fra udsteder på faste terminsdatoer frem til obligationens udløb. Ved udløb betaler udsteder obligationens pålydende (nominelle) beløb til investor og obligationen annulleres. Obligationer sælges i serier og alle obligationer i en given serie er underlagt de samme betalingsvilkår. Obligationerne er kendetegnet ved deres terminsdatoer, antal terminer per år, kuponrenten 2 angivet i procent p.a., seneste udløbstermin samt seriens afdragsform. De største serier på Københavns Fondsbørs har en samlet nominel værdi på 180 til 200 mia. kr. svarende til 180 til 200 mio. enkeltobligationer 1000 kr. I de følgende afsnit gennemgås beregningen af investors gennemsnitlige betalingsrække ved investering i forskellige typer af obligationer. 2 Før indførslen af den elektroniske registrering i 1987 var en obligation et papirdokument med fortrykte kuponer, der angav renten pr. termin. For at modtage rente måtte investor fraklippe den relevante kupon og fremsende den til udsteder. Da håndtering af kuponer tog nogle dage var det nødvendigt, at sælger beholdt retten til at modtage kuponbetalingen ved handel tæt på en termin. Heraf begrebet handel eksklusiv kupon, jf. nedenfor.

2 OBLIGATIONSMARKEDET 5 2.1 Handel med obligationer 2.1.1 Børsdag og valørdag Børsdage er de dage, hvor der foregår handel på Københavns Fondsbørs, dvs, de normale hverdage, mandag til fredag. Børshandlerne holder ikke fri 1. maj, men derimod på Grundlovsdag. I Danmark vil en handel, som aftales på en given børsdag, normalt have valør tre børsdage senere. En handel, som indgås tirsdag den 12. marts 1996 har derfor valør fredag den 15. marts, mens handler mandag den 1. april 1996 først har valør tirsdag den 9. april på grund af påsken. For skatkammerbeviser handles dog med 2 børsdages valør. På andre obligationsmarkeder gælder andre helligdage og andre betalingsfrister gående lige fra 0 til 7 dage. Det vigtige Eurobond marked kører med 7 dages valør 3. 2.1.2 Vedhængende rente Ved handel af obligationer skal køber betale obligationens kurs, samt vedhængende rente. Den vedhængende rente bruges til at sikre, at sælger får en andel af førstkommende kuponbetaling, som svarer til den forløbne andel af indeværende termin. Før 8. februar 2001 blev der i Danmark skelnet mellem handel inklusiv og eksklusiv kupon, hvilket stadig er tilfældet på nogle obligationsmarkeder. Det var sådan at med mere end 30 rentedage til førstkommende termin, blev der handlet inklusiv kupon. Dvs. at køber beholder kuponen og køber betaler vedhængende rente til sælger. Den vedhængende rente blev beregnet som kupon dage/360, hvor dage angiver antallet af rentedage mellem seneste terminsdato og valørdatoen. Var der 30 rentedage eller mindre til næste termin handlede man eksklusiv kupon, dvs. at sælger beholder kuponen og køber modtager rente. Indførelsen af EDB-systemer og den teknologiske udvikling har muliggjort, at man fra og med 2001 fjernede al handel eksklusiv kupon. Ydermere gik man væk fra den gamle rentekonvention 30/360 til faktisk/faktisk. Før 2001 30 dage eksklusiv kupon, rentekonvention 30/360 Efter 2001 0 dages eksklusiv kupon, rentekonvention faktisk/faktisk Ved at handle med vedhængende rente undgås, at obligationens kurs stiger frem mod en kuponbetaling, for at falde brat, når kuponen går fra. 3 De mange forskellige valørkonventioner giver problemer for handlen på tværs af grænserne. En investor, som ønsker at sælge sine Eurobonds for at skifte til danske obligationer kan blive nødt til at låne DKK i 4 dage, da obligationskøbet i Danmark har valør før salget af Eurobonds.

2 OBLIGATIONSMARKEDET 6 Summen af kurs og vedhængende rente kaldes ofte for det investerede beløb. Example 2 Torsdag den 30. november handles for nominelt 100.000 kr. af obligationen Danske Stat 7% Stående lån 2004. Obligationen har helårlige terminer 15/12. Kursen er 98,30. Handlen har valør tirsdag den 5. december. Da der kun er 10 rentedage til næste termin handles eksklusiv kupon og køber modtager 7 10/360 = 0, 19% i vedhængende rente. Købers samlede betaling til sælger bliver derfor (98,30-0,19). 1.000 = 98.110 kr. Fredag den 29. marts 1996 med valør onsdag den 3. april 1996 handles inklusiv kupon. Der er gået 108 rentedage siden sidste termin 15/12-95. Sælger modtager kursen på 97,90 samt en vedhængende rente på 7 108/360 = 2, 10% i alt 100,00 kr. per 100 kr. pålydende værdi. Onsdag den 3. marts 2004 handles for nominelt 100.000 kr. af obligationen Danske Stat 8% Stående lån 2006. Obligationen har helårlige terminer 15/03. Kursen er 110,54. Handlen har valør tirsdag den 8. marts. Selv om der kun er få dage til næste termin handles inklusiv kupon, da vi er efter 8. februar 2001. Ydermere anvendes rentekonventionen faktisk/faktisk, så rentedagene beregnes her til d y = 15/3 2004 15/3 2003 366 dage, mens d p = 8/3 2004 15/3 2003 359 dage, hvilket betyder vedhængende rente på 359/366 8=7,85. Den samlede betaling til sælger bliver her (110,54+7,85) 1.000=118.387kr. 2.2 Afdragsformer For at beskrive betalingsforløbet fra en obligationsserie anvendes følgende notation: t k Terminstidspunktet t k, t k =1,..,n.Termin n angiver seriens udløbstermin. N k Samlet nominelt beløb i serien efter udtrækning på termin k med N n =0. N 0 betegner den oprindelige nominelle restgæld i serien. a k Den andel af de udestående obligationer, som udtrækkes på termin k. Dergældernaturligvisata n =1. A k Samlet afdrag, dvs, det samlede nominelle beløb, som udtrækkes på termin k. Ved udløb gælder, at A n = N n 1. c k renten på termin k, somandelafrestgældenpåtermink 1. C k Samlet rentebetaling fra obligationsserien på termin k. B k Samlet betaling fra obligationen på termin k.

2 OBLIGATIONSMARKEDET 7 For alle låntyper gælder følgende simple sammenhænge mellem ovenstående variable: A k = a k N k 1 R k = c k N k 1 B k = A k + R k N k = N k 1 A k A n = N n 1 N n = 0 a n = 1 De forskellige afdragsformer kan beskrives ved udtræksprocenten a k eller ved det samlede afdrag A k. I det følgende forudsættes en fast rente per termin, dvs. c k = c. Stående lån I obligationsserier, der afdrages som stående lån, afdrages samtlige obligationer ved udløb, dvs. A k = a k =0for k =1,...,n 1. Ved køb af en obligation udstedt som stående lån er der derfor ikke nogen usikkerhed omkring tilbagebetalingstidspunktet. Serielån Obligationsserier udstedt som serielån har et konstant afdrag per termin, dvs. A k = A for k =1,..,n. Det ses Iet, at A = N o /n. Desudenses,atN k 1 =(n k + l)a =(n k +1)a k N k 1,dvs.a k =1/(n k +1). For serielån gælder at det afdragsprocenten er den reciprokke af det resterende antal terminer. Da der afdrages et fast beløb på restgælden i hver termin vil den samlede ydelse inklusive rente være lineært faldende. Annuitetslån Ireneannuitetsserier betaler udsteder en konstant ydelse per termin, dvs. B k = B for k =1,...,n. Det kan let vises, at hvis et annuitetslån skal amortiseres på n terminer, så er ydelsen per termin bestemt ved c (9) B = N 0 1 (1 + c) n, hvor c angiver kuponrenten per termin. For annuitetslån vokser afdragenes andel af den samlede ydelse over tid, i takt med reduktionen i rentebetaling. På det danske obligationsmarked findes der ikke rene annuitetsobligationer. Samtlige annuitetsobligationer er udstedt af realkreditinstitutter og betalingerne i de enkelte serier er summen af renter og afdrag fra en lang række annuitetslån optaget af individuelle husejere. Da disse lån er ikke optaget på samme tidspunkt og ikke har samme løbetid vil den resulterende betalingsrække ikke være et rent annuitetslån. 2.3 Gennemsnitlig kontra faktisk udtrækning Før at stykstørrelsen blev sat ned i 2001 blev afdrag fordelt mellem investorerne ved simpel lodtrækning. Så selv om udstederne udtrak et på forhånd fastlagt beløb i hver termin, så

2 OBLIGATIONSMARKEDET 8 blev fik den enkelte investor udtrækket sine obligationer på tilfældige terminstidspunkter. For serieobligationer udstedt af den danske stat galdt endvidere, at udtrækningssystemet fordelte udtrækkene så ligeligt som muligt under hensyntagen til den manglende delelighed. Skulle der udtrækkes en fjerdedel og man havde 4 stk. 1000 kr s obligationer, så var man sikker på at få udtrukket 1 af de 4 obligationer. I samme omgang som stykstørrelsen blev reduceret, da blev der indført et matematisk model, så alle investorer fik udtrukket samme relative andel af deres beholdning. Alle beregninger af betalingsrækker tager udgangspunkt i denne relative udtrækningsprocent. 2.4 Konverterbare obligationer Statsobligationer er typisk inkonverterbare, dvs. at de fremtidige afdrag ligger fast Realkreditobligationer er udstedt til finansiering af fast ejendom. Betalingerne i en enkelt obligationsserie stammer fra titusindvis af individuelle huslån. Husejernes afdrag samles i en pulje, som anvendes til at tilbagebetale en andel af de udestående obligationer, ligesom husejernes rentebetalinger udbetales direkte til obligationsejerne. Som modydelse for sin formidlingsrolle tager realkreditinatituttet sig (godt) betalt med et løbende bidrag fra husejeren. Bidragets størrelse har dog ikke nogen umiddelbar betydning for obligationsinvestorer. Realkreditobligationer er næsten altid konverterbare, dvs. at hver enkelt låntager har ret til at indfri obligationernes restgæld til kurs 100. Hvis låntagerne vælger at tilbagebetale deres lån førtidig øges den samlede pulje til afdrag og udtrækningsprocenten må stige. Der skelnes mellem den ordinære udtræksprocent, a 0 k og den ekstraordinære udtræksprocent, a x k, hvor a0 k er defineret som udtræksprocenten under forudsætning af at ingen låntagere indfrier deres lån førtidigt. Den samlede udtræksprocent a k defineres som a k a 0 k + ax k. De generelle amortiseringsformier holder uændret. Det skal pointeres, at andelen af låntagere, som indfrier ekstraordinært, afhænger af renteniveauet. Jo lavere renteniveau i forhold til lånets kuponrente, jo flere indfrielser. Da de fremtidige indfrielser afhænger af den fremtidige renteudvikling vil man ofte benytte komplicerede modeller for at vurdere investering i konverterbare obligationer. 2.5 Publicering og udtrækning Serielån og annuiteter afdrages ved at investorerne får indfriet en del af deres obligationer. De udtrukne obligationer i en serie offentliggøres på publiceringsdatoen. For at deltage i udtrækningen skal obligationen være købt med valør før eller på publiceringsdatoen.

3 BEREGNING AF NØGLETAL 9 Example 3 Betalingsrække for 0990825 Danske Stat 10% Serie 1994 Børsdag tirsdag 31/7-90. Valør 3/8-90. Kurs 99,90. Helårlige terminer, næste termin 15/4-91. Udløb 15/4-91. Publiceringsdato 7/1-91. Nominelt 100. Rentedage fra sidste termin: 430-12 = 108 dage. Vedhængende rente 10*108/360 = 3 kr. Valør før publicering, dvs. 1. afdrag 15/4-91, i alt 4 afdrag af 25 kr. Tabel 2: Betalingsrække for Danske Stat 10% S1994 for børsdag 31/7-90 Dato Tid i år Afdrag Rente Ydelse 3/8-90 0-99,90-3 -102,90 15/4-91 0,7 25 10 35 15/4-92 1,7 25 7,5 32,5 15/4-93 2,7 25 5 30 15/4-94 3,7 25 2,5 27,5 3 Beregning af nøgletal 3.1 Effektiv rente Den effektive rente findes ud fra formlen nx (10) K = b k (1 + r) t k, k=1 hvor K er kursen inklusive vedhængende rente, t k er antallet af år til det k te betalingsti spunkt, og b k angiver den k te betaling fra obligationen. n er det samlede antal betalinger. Ved beregning af de officielle nøgletal måles t k altid som antallet af faktiske rentedage fra valørdagen til terminsdagen delt med faktiske dage (efter 2001). Formel (10) har ikke nogen eksplicit løsning for n større end 3 og man må derfor anvende numeriske løsningsmetoder, f.eks. Newton-Raphson. 3.2 Kurslistens varighedsmål Kurslisten varighedsmål, det såkaldte Macauley s varighedsmål, er defineret ved: (11) V = nx t k b k (1 + r) t k k=1, K

3 BEREGNING AF NØGLETAL 10 hvor K er kursen inklusive vedhægende rente, r angiver obligationens interne rente med helårlig tilskrivning, t k det k te betalingstidspunkt målt i år og b k den k te betaling fra obligationen. Bemærk, at hvis r c ln(l+r) angiver obligationens interne rente med kontinuert tilskrivning, så kan varigheden skrives som nx t k b k e t k r c (12) V = Example 4 Beregning af varighed k=1 0990825 10% S 1994, børsdag 31/7-90, valør 3/8-90. Kurs 99,90. Vedhængende rente 3 kr. Serielån, helårlige terininer 15/4. Næste termin ikke publiceret. Effektiv rente 10,00%. Den beregnede varighed bliver = 204,04/(99,90+3,00) = 1,98 K. Fortolkning V er en vægtet sum af betalingstidspunkterne med betalingens nutidsværdiandel af den samlede kapitalværdi (b k (1 + r) t k/k) som vægte. Derfor opfattes varigheden ofte som en gennemsnitlig løbetid. Porteføljer Tabel 3: Beregning af varighed Dato År Ydelse Diskont. Vægtning t k b k faktor d k T k 15/4-91 0,7 35,0 0,9355 22,92 15/4-92 1,7 32,5 0,8504 46,98 15/4-93 2,7 30,0 0,7731 62,62 15/4-94 3,7 27,5 0,7028 71,51 204,04 Samme formel gælder for porteføljer, med porteføljens kursværdi, sumbetalingsrække og interne rente. 3.3 Varighed og relativ kursfølsomhed Varigheden har en tæt sammenhæng med den første afledede af kursen med hensyn til renten, og varigheden kan derfor anvendes i forbindelse med tilnærmede beregninger på rentefølsomhed.

3 BEREGNING AF NØGLETAL 11 Nyttig formel: (13) K K V (1 + r) r. Udledning: Først beregnes ændringen i kursen ved en ændring i renten: (14) dk dr nx = (1 + r) 1 t k b k (1 + r) t k k=1 Formlen gælder approksimativt for små renteændringer r. Ved at dele med K og gange med r på begge sider fås (15) K K nx t k b k (1 + r) t k k=1 r, K (1 + r) Formel (13) fås ved at indsætte-definitionen (11) på varighed. Udtrykket V/(1 + r) kaldes ofte den modificerede varighed. Detsesaf(13),atdenmodi- ficerede varighed approksimativt udtrykker det procentvise kurstab ved en rentestigning på 1 procentpoint. Ofte ser man i stedet på renteændringer, hvor renten r c er opgjort med kontinuert tilskrivning. Da r c = ln(1 + r) fås, at dr c = dr/(1 + r). Dvs,atformlen forsimples til dk K = Vdr c kontinuert tilskrivning. Example 5 Ændring i kursværdi for 0990825 Danske Stat 10% Serie 1994 Varighed 1,98, kurs + vedh. rente 102,90. Rentestigning 1 procentpoint et relativt kurstab på (-1,98/1,1 ) 0.01 = 1,8% svarende til K = 102, 90 0, 018 = 1, 85 kurspoint. Omvendt gevinst på 1,85 kurspoint ved rentestigning. Nøjagtighed af approximation: De faktiske kursændringer i eksemplet er hhv. -1,82 og 1,89. Varighedsapproksimationen har således overvurderet tabet og undervurderet gevinsten. 3.4 Horisontværdi ved konstant renteniveau Mange investorer køber ikke obligationer for at holde dem til udløb. I stedet købes de med henblik på salg efter en given periode. Lagerbeskattede investerer skal herudover løbende opgøre og rapportere værdien af deres obligationsportefølje. Et vigtigt spørgsmål er derfor, hvordan værdien af en obligation eller obligationsportefølje udvikler sig over

3 BEREGNING AF NØGLETAL 12 tid, og hvorledes værdien påvirkes af renteændringer. I de følgende afsnit analyseres disse problemer under forudsætning af, at renteniveauet er ens for alle obligationer. Antag, at vi har købt en obligation med betalinger b k, som falder på tidspunkterne t k, t =1,...,n. Antag desuden, at renten r har været konstant siden købet, og at betalinger løbende geninvesteres til denne rente. Hvad er den akkumulerede værdi W h, af obligationsinvesteringen på tidspunkt h? W h kan skrives som den akkumulerede værdi af betalinger før tidspunkt h plus nutidsværdien af de samtlige betalinger efter tidspunkt h: X W h = b k (1 + r) h t k + X b k (1 + r) h t k (16) = {k t k h} {k t k >h} nx b k (1 + r) h t k = K 0 (r)(1+r) h. k=1 Ved et konstant renteniveau r vil obligationens akkumulerede værdi således få en årlig tilvækst svarende til r og obligationen har et løbende afkast svarende til sin interne rente. 3.5 Ændring i horisontværdi ved skift i renteniveau Antag nu, at der sker et skift i renteniveauet umiddelbart efter tidspunkt 0. For små skift kan virkningen på horisontværdien findes ved differentiation af W h, fra formel (16) med hensyn til r (17) dw h dr = X {t k h} b k (h t k )(1+r) h t k 1 + X {t k >h} b k (h t k )(1+r) h t k 1. Den lidt tunge opskrivning er valg/for at tydeliggøre,at ændringen i horisontværdi kan fortolkes som en sum af en positiv geninvesteringseffekt og en negativ kurseffekt. Horisontværdien øges, fordi betalinger, som ligger før horisonttidspunktet, (i.e t k h), nu kan geninvesteres til en højere rente. Omvendt falder horisontværdien, fordi betalinger, som ligger efter horisonttidspunktet, (i.e. t k >h), skal tilbagediskonteres med en højere rente. Rentestigningens samlede effekt på horisontværdien afhænger af den relative størrelse af disse to modsatrettede effekter. Ved omskrivning og indsættelse af definitionen på kursværdi og varighed fås: (18) dw h dr =(1+r)h 1 K 0 (r)(h V ). Formel (18) er et af de mest anvendelige resultater indenfor obligationsanalysen. Det ses, at hvis obligationens varighed V er større end horisonttidspunktet h, så vil en rentestigning have en negativ effekt på horisontværdien. Et rentefald vil omvendt øge horisontværdien.

3 BEREGNING AF NØGLETAL 13 Er varigheden mindre end horisonten vil horisontværdien øges ved rentestigning og reduceres ved rentefald. Endelig er der situationen, hvor h er lig med V.Hervilhorisontværdien være upåvirket af (små) renteskift og det h, hvor h = V, kaldes derfor ofte for immuniseringshorisonten. Hvis investeringshorisonten er lig obligationens varighed, så er obligationens værdi på horisonttidspunktet upåvirket af renteændringer. 3.6 Beregning af horisontafkast Ovenstående analyse af renteskiftets betydning for horisontværdien af en obligation kan omsættes til en simpel formel for horisontafkastet, dvs. afkastet pro anno ved investering over en given horisont. Antag at vi på tidspunkt 0 investerer i en obligation med en værdi på K 0 (r). Hvis renten r forbliver konstant er horisontafkastet, a h, opgjort som rente p.a. med helårlig rentetilskrivning, givet ved (19) a h = µ 1 Wh h 1=r. K Ved et lille skift dr i renten fås tilsvarende µ 1 Wh + dw h h ³ 1+a h = = (1 + r) h +(1+r) h 1 1 h (h V ) dr (20) a h = (1+r) K 0 1+ µ 1 h V h dr 1. 1+r Forsmåværdieraf(h V )dr kan udtrykket forsimples yderligere til 4 (21) a h = r + µ 1 V dr. h Denne formel er første gang udledt i Babcock (1984). Example 6 Horisontafkast 0990825 Danske Stat 10% Serie 1994: Effektiv rente primo 10,00%, varighed 1,98. Afkastet p.a. over 0,5 år med en rentestigning på 1 procentpoint =10+(1 1, 98/0, 5) (11 10) = 7, 04 Afkastp.a.,hvisrentenover0,25årfaldermed0, 75 procentpoint =10+(1 1, 98/0, 25) ( 0, 75) = 15, 19. 4 Idet en første ordens Taylorudvikling af funktionen f(x) =(1+x) m omkring x =0giver f(x) (1 + xm).

3 BEREGNING AF NØGLETAL 14 Babcocks formel opsummerer nyttige udsagn omkring afkast, varighed og effektiv rente. Det ses, at med konstant renteniveau (dr =0) er afkastet lig med den effektive rente uanset investeringsliorisont h. Ved rentestigning er afkastet større end, mindre end eller lig med den effektive rente afhængig af om varigheden er mindre end, større end eller lig med investeringshorisonten. Bemærk yderligere, at formlen gælder for såvel enkeltobligationer som for porteføljer af obligationer. 3.7 Konveksitet Som vist ovenfor kan varigheden anvendes til beregning af kursændringen ved en ændring i den interne rente. Den angivne formel (13) er dog kun en lineær approksimation til kursudsvinget. Ønskes større nøjagtighed kan man lave en 2. ordens Taylorudvikling af sammenhængen mellem kurs og rente. Den anden afledede med hensyn til en ændring i den helårligt tilskrevne rente er givet ved (22) d 2 K nx dr 2 = t k (t k +1)b k (1 + r) tk 2. k=1 Som det ses, er den anden afledede altid positiv, dvs. at kursen er en konveks funktion af renten. Påliniemedvarighedenharmandefineret obligationens konveksitet, C, somden anden afledede relativt til udgangskursen 5 : C = d2 K (1 + r)2 dr2 K = Ã nx! t k (t k +1)b k (1 + r) t k /K k=1 En 2. ordens Taylorudvikling af kursændringerne ved ændringer i den interne rente kan nu skrives som K dk dr r + 1 d 2 K 2 dr 2 ( r)2 = V 1+r K r + 1 C 2 (1 + r) 2 K ( r)2 Konveksitetsleddet er altid positivt, svarende til at den rene varighedsapproximation, (13), altid undervurderer kursændringen ved en ændring i renten. 3.8 Skattesegmentering På markeder, hvor investorerne har forskellige skattesatser vil det ofte være umuligt at opnå en markedsligevægt, hvor alle investorer er enige om de relative priser. Markedsligevægt 5 Ligesom ved varigheden optræder der en korrektion, (1 + r) 2, som stammer fra anvendelsen af helårlig rentetilskrivning. Det skal bemærkes, at begrebet konveksitet findes i flere varianter, afhængigt af om der er taget udgangspunkt i helårlig eller kontinuert rentetilskrivning.

3 BEREGNING AF NØGLETAL 15 for private giver markedsuligevægt for bruttobeskattede og omvendt. Dette fremgår af følgende lille eksempel. Example 7 Betragt 2 1-årige stående lån, A og B. Kuponen på A er 6%, mens den er 12% på B. Om et år udløber begge obligationer, og de giver et afkast bestående af en kursgevinst på forskellen mellem køb- og udløbskurs, og en kuponrente. På markedet findes der tre forskellige investorer, X, Y og Z. X er privat investor og betaler 50% skat af renteindtægter. Kursgevinster beskattes ikke hos private. Y er en finansiel virksomhed, som betaler skat (35%) af såvel rente som kursgevinst, mens Z er en ubeskattet investor. Y og Z er begge ligeligt beskattede investorer. Antag først at Z bestemmer markedspriserne, så begge obligationer giver en rente på 12% før skat. De tilhørende kurser bliver 94,64 for A og kurs 100 for B. Disse kurser er også en mulig ligevægt for investor Y, da begge obligationer giver et afkast på 7,8 af såvel rente som kursgevinster. For investor X derimod, vil de nævnte priser svare til, at obligation A giver et afkast på A =8, 83%, mens obligation B giver 6%. Private investorer vil derfor kun investere i den lavtforrentede obligation A. Antag omvendt, at de private investorer bestemte priserne med udgangspunkt i en ligevægt efter 50% skat på 6%. Det betyder, at kursen på A skulle være 97,17, mens obligation B skulle stå i kurs 100. Hvis de private investorer bestemmer bliver obligation A højtforrentede for dyre for de ligeligt beskattede investorer. Der er to mulige udgange: Skattearbitrage eller segmentering. Hvis investorerne frit kan udstede obligationer vil de ligeligt beskattede investorer investere i højtforrentede og sælge lavtforrentede, mens de private investorer vil købe lavtforrentede og låne i højtforrentede. Denne proces fortsætter indtil de privates rentefradrag overstiger de private skattepligtige indkomst og skattesystemet bryder sammen. Den anden udgang er at obligationsmarkedet segmenteres således at de private investorer køber og beholder de lavtforrentede, mens de ligeligt beskattede køber og beholder de mellem og højtforrentede obligationer. Resultatet af denne proces er illustreret i Figur??. Markedet splittes i 2 eller flere segmenter, med et segment for hver skattesats. Skæring mellem før-skat og efter-skat markedet afhænger af den relative volumen mellem de to markeder.

4 OPGAVER 16 Effektiv rente 14 12 Skatteeffekter 4-Ÿrige stÿende lÿn 0% skat 56% skat 10 8 6 4 2 0 6 7 8 9 10 11 12 Kupon Figur 1: Markedsligevægt før og efter skat 4 Opgaver Flere at nedenstående opgaver skal løses med udgangspunkt i det vedlagte udsnit af kurslisten for børsdagen torsdag den 30. november 1995. Ved beregning af betalingsrækker tages der udgangspunkt i den officielle kurs. Den officielle kurs er bestemt som et vejet gennemsnit af alle BSH/BSH-handler, dvs, handler mellem to børshandlere (BSH). Er obligationen ikke handlet mellem to børshandlere anvendes et vejet gennemsnit for samtlige handler. Findes den heller ikke på dagen anvendes seneste officielle kurs. Den officielle kurs er fremhævet i kurslisten. Ved læsning af kurslisten Exercise 1 Opstil betalingsrækken, hvis du på pengemarkedet torsdag 30/11-1995 aftaler at låne 2 mio. kr. til 4,94% p.a. frem til onsdag 3. april 1996. Rentekonventionen er act/360. Der aftales tre børsdages valør ved indgåelse. Exercise 2 Opstil betalingsrækkerne 30/11-1995 for følgende obligationer: A DK000991503-5 INK 9% St.lån 96. Kurs 103,55 udløb 15/11-96 B DK000991821-1 INK 6% St.lån 99. Kurs 99,90 udløb 10/12-99

4 OPGAVER 17 C DK000990493-0 INK 12% S 2001, Kurs 116,05, udløb 15/2-2001, publiceringsdato 20/11-95 Obligation A og B er stående lån, mens S 2001 er et serielån. Alle lån har helårlige terminer. I bedes finde de eksakte datoer og der skal tages hensyn til betaling af kurs og vedhængende rente. Exercise 3 Beskriv forretningen, hvis du 30/11-95 låner de 2 mio. som beskrevet i afsnit 1 og investerer beløbet i obligation A for senere at sælge obligationerne med valør 3. april 1996 og tilbagebetale lånet. Hvilken kurs skulle du kunne sælge obligationerne til for at forretningen opnår break-even (Husk vedhængende rente 3. april 96). Den faktiske obligationskurs blev 102,85. Tjente du på forretningen? Exercise 4 Tilbagediskonter 30/11-95 betalingsrækken for obligation B og C med de effektive renter i kurslisten (hhv. 5,04% og 6,19%) og kontroller, at Fondsbørsen har regnet rigtigt. Exercise 5 Antag at du har købt et stort antal obligationer i en 5-årig ren annuitetsserie med helårlige terminer. Der er præcis et år til næste termin. Opstil den gennemsnitlige betalingsrække for obligationerne. Du får nu at vide, at der kommer et ekstraordinært afdrag på 20% at udestående restgæld ved førstkommende termin. Beregn den nye ydelsesrække. Exercise 6 Beregn varighed og konveksitet for obligation A, B og C og kontroller med kurslisten. Exercise 7 Beregn ved hjælp af Babcocks formel, hvor stort et afkast man vil få fra obligation A, B og C over 3 måneder, hvis renten stiger hhv. 0,2 %-point eller falder 0,5 % point. Fortolk resultaterne. Exercise 8 Beregn ved hjælp af Babcocks formel den renteændring, som giver obligation A og B samme afkast på hhv. 3 måneder og 6 måneders sigt. Fortolk resultaterne.