Statistik Middelværdi med mere... 76 Hyppighed og frekvens... 77 Diagrammer... 78 Hvilket diagram er bedst?... 80 Grupperede observationer... 81 Statistik Side 75
Når man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordel at samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik. Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV. Du skal: - kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer. - selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger. Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at: En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne i en varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige: I gennemsnit er temperaturen meget behagelig. Middelværdi med mere Eksempel på opgave På et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Den første siger 3 fag, den næste siger 5 fag osv. Her er alle svarerne: 3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1 Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. Find typetal og middelværdi. Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag. Størsteværdi er det største af svarene. Man får 5 fag. Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 5 1 = 4 fag. Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får 4 fag. Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. Man får: 3 + 5 + 4 + + 4 + 1 57 = = 3,2 fag pr. kursist. 18 18 Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme. Statistik Side 76
Hyppighed og frekvens Eksempel på opgave (fortsat) På et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Her er svarerne: 3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1 Lav en tabel over hyppighed og frekvens. Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret 2 osv. Man får: Antal fag 1 2 3 4 5 I alt Hyppighed 4 1 4 6 3 18 I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister. Det ville man gøre, hvis det var en rigtig tabel i en avis eller på TV. 4 100 Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er = 22%. 18 Tabellen udvides og man får: Antal fag 1 2 3 4 5 I alt Hyppighed 4 1 4 6 3 18 Frekvens 22% 6% 22% 33% 17% 100% I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med, men lad være med at skrive hele rækken af decimaler. Det er en stor fordel at lave frekvenstabeller i et regneark. Så kan man lave en formel, der beregner den første frekvens og så kopiere denne formel. I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent. Det ville man gøre, hvis det var en rigtig tabel i en avis eller på TV. Bemærk: Hvis man skal finde hyppigheder og frekvenser er det en stor fordel få tallene sorteret efter størrelse. Det kan man let gøre, hvis man har tallene i et regneark. Så vil talrækken overfor se således ud: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3. Det er mere overskueligt. Man kan også få regneark (og andre programmer) til at tælle, hvor mange der er af hvert tal, men det er lidt mere avanceret. Statistik Side 77
Diagrammer Herunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og en kurve. Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC. Eksempel på opgave (fortsat) På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Svarene er vist i tabellen: Antal fag 1 2 3 4 5 I alt Hyppighed 4 1 4 6 3 18 Lav et pindediagram over hyppighederne. Pindediagrammet kan se således ud: 7 6 Hyppighed 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Antal fag Pindediagrammet kaldes også et søjlediagram. Man bruger de to ord lidt på må og få. Hvis man har tabellen med hyppighederne i et regneark, kan man let få regnearket til at lave diagrammet. Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden. Statistik Side 78
Eksempel på opgave Et hold med 18 VUC-kursister bliver spurgt om, hvorledes de kommer til VUC. Svarene er vist i tabellen. Lav et cirkeldiagram over tallene. Man kan lynhurtigt lave et cirkeldiagram i et regneark, men her vil jeg forklare, hvordan man laver diagrammet med passer og vinkelmåler. Transportmiddel Antal personer Til fods 4 Cykel 6 Bus 3 Bil 5 I alt 18 En hel cirkel er 360º (360 grader). Cirklen skal inddeles i 4 lagkagestykker. En for hver transportform. 4 4 360 Lagkagestykket for Til fods skal udgøre af 360º. Man får: = 80º 18 18 De andre lagkagestykker bliver 120º, 60º og 100º. Regn selv efter. Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler. Til fods Cykel Til fods Bus Bil Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser). Frekvensen for Til fods er fx 22,2% (regn selv efter). 22,2 360 Hvis du vil bruge procent-tallet, bliver regnestykket: 100 80 Man kan også blive bedt om at aflæse på et cirkeldiagram. Så skal man måle, hvor mange grader lagkagestykkerne er og omregne disse grad-tal til enten antal procent eller antal personer. Hvis man ud fra cirkeldiagrammet ovenfor skal beregne, hvor mange der kører med bus, skal man først måle lagkagestykket for Bus. Det er 60. 60 Der er altså af personerne, der kører med bus. 360 60 100 Det kan enten omregnes til antal procent på denne måde: = 16.666 17% 360 60 18 eller til antal personer på denne måde: = 3 personer. 360 Statistik Side 79
Eksempel på opgave I august starter der 18 kursister på et VUC-hold. I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe. Tabellen viser antal kursister måned for måned. Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April Maj Antal kursister 18 21 20 17 16 22 18 17 16 14 Lav et diagram over tallene. Der er flere mulige diagrammer, men det er vigtigt, at man kan se, at tallet både stiger og falder i løbet af året. Her har jeg valgt at lave det, som man kalder en kurve. Hvis man bruger regneark, skal man vælge det, der hedder et punkt-diagram eller et x-y-diagram. 25 Antal kursister 20 15 10 5 0 Maj April Marts Feb. Jan. Dec. Nov. Okt. Sept. Aug. Måned Hvilket diagram er bedst? Der findes ingen helt faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer. Men her er et par tommelfinger-regler. Kurven er god, når man skal vise, hvorledes det samme tal ændrer sig over tid. Søjle- og cirkeldiagrammer er gode, når man vil vise forskellige tal på samme tidspunkt. Pindediagrammet giver et godt billede af, hvor store tallene er i forhold til hinanden. Cirkeldiagrammet giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele. Statistik Side 80
Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål, hvor der er mange mulige svar, så må man samle svarerne i grupper. Det kaldes intervaller. Eksempel på opgave På et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor langt (helt antal km) de har til VUC. Der er 18 kursister. Svarene er: 10, 1, 18, 6, 14, 4, 22, 3, 19, 8, 13, 4, 1, 10, 0, 2 4, 1 Grupper svarene i intervallerne 0-4 km, 5-9 km o.s.v. Lav en tabel over hyppighed og frekvens. Lav et diagram over frekvensfordelingen. Tabellen laves på præcis samme måde som tidligere vist. Først tæller man op, hvor mange der har svaret 0, 1, 2, 3 eller 4 km. Så tæller man op, hvor mange der har svaret 5, 6, 7, 8 eller 9 km. Osv. Tabellen ser således ud: Antal km 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 I alt Hyppighed 8 2 5 2 1 18 Frekvens 44% 11% 28% 11% 6% 100% Diagrammet kan se således ud: 50% 40% Frekvens 30% 20% 10% 0% 20-24 15-19 10-14 5-9 0-4 Antal km Statistik Side 81
Tabellen og diagrammet på forrige side ser ud, som de typisk vil gøre det i en avis eller på TV. Men i matematik bruges ofte en speciel måde at skrive intervaller på. Man bruger enten firkantede parenteser eller større end- og mindre end-tegn. Her er nogle eksempler: Lukket interval Åbent interval Halvåbent interval Halvåbent interval [0 ; 5] ] 0 ; 5[ [0 ; 5[ ] 0 ; 5] 0 x 5 0 < x < 5 0 x < 5 0 < x 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0-5 1-4 0-4 1-5 eller 0,0-5,0 eller 0,1-4,9 eller 0,0-4,9 eller 0,1-5,0 eller 0,00-5,00 eller 0,01-4,99 eller 0,00-4,99 eller 0,01-5,00 eller. eller. eller. eller. Med firkantede parenteser kan hyppigheds- og frekvenstabellen skrives således: Antal km [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ [20 ; 25[ I alt Hyppighed 8 2 5 2 1 18 Frekvens 44% 11% 28% 11% 6% 100% Diagrammer for grupperede observationer laves nogle gange således. Det kaldes et histogram: 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0 5 10 15 20 25 I et histogram, er det i virkeligheden arealet på diagrammet, der er et mål for, hvor mange procent der er i hvert interval. Hvis et interval er bredere end de andre, skal søjlen over intervallet være forholdsvis lavere, men det er lidt kompliceret. Du kan evt. læse mere andre steder. Statistik Side 82