Skriftlig matematik I dette kapitel skal du arbejde med at løse opgaver i skriftlig matematik med og uden hjælpemidler. Til nogle af opgaverne må du bruge alle hjælpemidler, mens du til andre af opgaverne ikke må bruge nogen udover skrive- og tegneredskaber. Når alle hjælpemidler er tilladt, må du i dine besvarelser bruge de hjælpemidler, der må bruges til afgangsprøverne, dvs. de tilladte digitale værktøjer, formelsamling m.m. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: kan udarbejde gode og sammenhængende besvarelser i skriftlig matematik med hjælpemidler kan udarbejde gode skriftlige svar på undersøgelser kan kommunikere tydeligt omkring din problemløsningsstrategi, fx vise dine beregninger kan skrive en tydelig og kort konklusion til problemløsningsopgaver kan løse enkle opgaver uden brug af hjælpemidler. Du skal arbejde med: skriftlig matematik opgaver med hjælpemidler opgaver uden hjælpemidler hjælpemidler, herunder digitale værktøjer. På alle sider i dette kapitel finder du problemløsningsopgaver, som du skal løse med hjælpemidler. Der er opgaver, som handler om problemer fra hverdagen, og der er opgaver, som er rene matematikproblemer. Opgaverne minder om de opgaver, som du kan møde til den skriftlige afgangsprøve med hjælpemidler, og derfor er opbygning og nummerering af opgaver forskellig fra resten af MULTI 9. Du skal til alle problemløsningsopgaver kommunikere din løsning så grundigt som muligt. Sørg for, at du viser din problemløsningsstrategi, fx viser dine beregninger, tegninger, grafer m.m. Husk også at skrive konklusioner til opgaverne som en del af besvarelsen. Brug din viden om de forskellige signalord du finder i problemløsningsopgaver. De kan fortælle dig noget om, hvilken type svar, opgaven kræver. På alle sider finder du også opgaver, som skal løses uden brug af hjælpemidler. Her må du bruge blyant og papir, hvor du fx kan bruge notatregning, overslag m.m. OPGAVE 1 Tal med din makker om, A hvad følgende signalord betyder og hvilke typer svar, I vil give, hvis de står i en opgave: Vis, undersøg, forklar, begrund, beregn, hvor mange, hvor stor, tegn. B hvad den gode besvarelse af en undersøgelse er. C hvilke opgaver, I typisk vil bruge dynamisk geometri, regneark eller et CAS-værktøj til at løse.
SKRIFTLIG MATEMATIK 175 1. SKIFERIE MED UNGDOMSSKOLEN Noah vil på ski med ungdomsskolen. Prisen for skiferien er 3400 kr. Noah skal desuden betale 643 kr. for skileje og 352 kr. for forsikring. 1.1 Hvad koster skiferie, skileje og forsikring i alt? Noah forventer, at han skal have 500 kr. med i lommepenge på turen. Hans forældre vil betale 75 % af udgifterne til skiferie, skileje, forsikring og lommepenge. Resten skal Noah selv betale. 1.2 Vis med beregning, at Noah selv skal betale ca. 1225 kr. til skiferien. Noah har et fritidsjob, hvor han tjener 66,16 kr. i timen. Han skal betale 8 % i arbejdsmarkedsbidrag af sin løn. Noah har frikort, og hans årlige indkomst overstiger ikke 24 500 kr., så han skal ikke betale skat og får derfor resten af lønnen udbetalt. Noah læser om skiområdet i Østrig, at der er 100 lifter og 350 km pister. Der er 119 km blå pister, 189 km røde pister og 42 km sorte pister. Noah kører kun på blå og røde pister, og han skal stå på ski i 5 dage. Noah regner med at stå på ski ca. 6 timer hver dag. Han regner med at bruge ca. 25 % af tiden hver dag på at køre i lift/stå i kø og holde pause. Noah har læst, at en fritidsskiløber som regel står på ski med en gennemsnitsfart på mellem 15 og 30 km/t. 1.4 Undersøg, om det er realistisk, at Noah kan nå at køre på alle de blå og røde pister. Du skal begrunde dit svar. Husk at tage højde for lifttid, køtid, pausetid m.m. 1.3 Hvor mange timer skal Noah arbejde, for at få 1225 kr. udbetalt? 1 Hvor mange penge koster ski og skistøvler i alt? 2 Hvor meget koster den grønne skihjelm mere end den sorte skihjelm? Noah kan få 10 % rabat på skiene. 3 Hvor mange penge kan Noah få i rabat på skiene? Noah løber på langrendsski med en gennemsnitsfart på 12 km/t. 4 Hvor mange kilometer løber Noah på 15 minutter? 5 Hvor mange minutter er Noah om at løbe en tur på 30 kilometer?
176 SKRIFTLIG MATEMATIK 2. FREYAS HÆNGELÅS Freya har en hængelås, som hun bruger til at lukke sit skab på skolen, hvor hun blandt andet opbevarer sin computer, når hun ikke skal bruge den. Hængelåsen er en kodelås, hvor hun kan dreje på tre hjul. På hvert hjul er cifrene 0-9. 2.1 Skriv alle de koder, Freya kan lave, når første hjul viser 3, og andet hjul viser 4. Freya har glemt, hvilken kode hun har indstillet på sin hængelås. Hun afprøver nogle forskellige kombinationer, og hun vurderer, at det tager ca. 2 sekunder at undersøge én kombination. Freya opstiller derfor denne model: t = n 2 t er den tid, det tager at afprøve samtlige kombinationer. n er antallet af mulige kombinationer. 2.3 Hvor lang tid vil det tage at finde Freyas glemte kode, hvis koden er 594, og hun starter fra 000, 001, 002 osv.? 2.4 Vurder ud fra Freyas model, om hun vil kunne afprøve alle kombinationsmuligheder på under 1 time. Du skal begrunde dit svar. Freya kan selv indstille, hvilken kode hængelåsen skal have. 2.2 Vis med beregning, at Freya kan vælge mellem i alt 1000 forskellige koder til sin hængelås. Freya har set, at man kan få en hængelås med fem hjul. Hun tænker, at det tager mere end 2 sekunder at afprøve en kombination på den hængelås. 2.5 Opstil en matematisk model for, hvor lang tid det vil tage at prøve samtlige mulige kombinationer på en hængelås med fem hjul. Beregn 1 Hvor mange tocifrede tal kan du skrive med cifrene herover, hvis cifrene i hvert tocifret tal skal være forskellige? 3 15 350 4 7,42 10 6 3 4 15 5 6 5 6 15 3 7 7 1,45 + = 2,35 1 8 4 + = 7 8 9 2,5 = 0,25 10 8 : = 16 Freya trækker to af talkortene herover tilfældigt. 2 Hvor stor er sandsynligheden for, at Freya trækker to ulige tal?
SKRIFTLIG MATEMATIK 177 3. UDSALGSSPILLET Asta er på tøjudsalg. Hun kommer forbi en butik, hvor man kan kaste med en lykketerning og få rabat. Hvis terningen viser en 1 er, får man 10 % i rabat, hvis terningen viser en 2 er, får man 20 % i rabat osv. helt op til en 6 er, som giver 60 % i rabat. Asta har fundet et par bukser, som koster 599 kr. 3.1 Hvad er den billigste pris, Asta kan få bukserne til? Indehaveren af butikken fører et regnskab over de varer, hun sælger. I regnskabet skriver hun varens pris og hvilken rabat, kunden har fået. Du kan se regnskabet i regnearket Salg af varer på udsalg, som du finder på MULTIs hjemmeside. 3.2 Hvor mange penge har butikken solgt for ifølge regnearket? Butiksindehaveren fortæller Asta, at hvis hun i gennemsnit får 50 % af varens pris dækket, så har hun ikke noget tab på varerne. 3.3 Undersøg ved hjælp af tallene i regnearket, om butiksindehaveren får et tab på varerne? Asta har fundet tre ting, hun gerne vil købe i butikken. Hun overvejer nu, hvad der bedst kan betale sig. Skal hun kaste terningen én gang for hver vare, eller skal hun kaste en gang samlet for alle varer, eller er det lige meget, om Asta vælger det ene eller det andet? I regnearket Simulering af 1000 kast kan du se simulering af 1000 kast med tre terninger. Du kan også se et gennemsnit af de tre kast og forskellen på gennemsnittet og det første terningekast. Hvis forskellen er negativ, er det en ulempe at kaste tre gange, og hvis forskellen er positiv, er det en fordel at kaste tre gange. Hvis forskellen er 0, er det lige meget, om man kaster tre gange eller bruger et kast. 3.4 Undersøg ved hjælp af simulering i regnearket, om Asta bør kaste med én eller tre terninger eller om det er ligegyldigt, hvilken af de to strategier hun vælger. Du skal begrunde dit svar. Asta kaster en almindelig sekssidet terning. 1 Hvor stor er sandsynligheden for, at Asta får et øjental, der er større end 2? Asta kaster terningen to gange. 2 Hvor stor er sandsynligheden for, at Asta får to ens øjental? Asta køber en kjole, som normalt koster 599 kr. Hun får 30 % i rabat. 3 Hvilket regneudtryk kan Asta bruge til at beregne prisen med rabat? a 599 30 c 100 599 70 e 599 599 0,7 599 b 100 30 d 599 0,7
178 SKRIFTLIG MATEMATIK 4. KALKFRIT VAND Olivia bor i et område af Danmark med meget kalk i grundvandet. Olivias familie har derfor mange problemer med, at bl.a. deres vandhaner kalker til. Olivias familie overvejer at anskaffe et blødgøringsanlæg, som kan fjerne kalk fra vandet. Blødgøringsanlægget koster 11 990 kr. Dertil kommer 3000 kr. for at få det installeret. Anlægget bruger salttabletter, som koster 115 kr. pr. pakke. Der skal fyldes en pakke på hver anden måned. Derudover skal familien regne med, at anlægget bruger for ca. 300 kr. elektricitet om året. 42 cm 27 cm 24 cm 37 cm Olivia har opstillet en matematisk model for udgifter til blødgøringsanlægget som funktion af antallet af måneder, familien bruger det efter anskaffelse og installation. Du kan se modellen herunder. B(x) = 115 2 x + 300 12 x B er udgifter til blødgøringsanlægget i kr. x er antal af måneder. 4.3 Forklar, hvordan Olivia er kommet frem til modellen B(x). 4.1 Vis med beregning, at blødgøringsanlægget vil koste Olivias familie ca. 16 000 kr. det første år med udgifter til anskaffelse og installation, salttabletter og elektricitet. Blødgøringsanlægget har en beholder til vand, der har form som et prisme med mål som på skitsen øverst i kolonnen til højre. 4.2 Hvor mange liter vand kan der være i beholderen? Olivia har opstillet en matematisk model S(x) for sin families udgifter til sæbeprodukter, inden de købte blødgøringsanlægget. Olivia har læst, at med et blødgøringsanlæg kan man halvere sit sæbeforbrug. S(x) = 275 x S er udgifter til sæbeprodukter i kr. x er antal af måneder. 4.4 Undersøg, om det beløb, familien kan spare på sæbeforbruget, overstiger driftsomkostningerne til blødgøringsanlægget. Du skal begrunde dit svar. Her er en skitse af en kugle med radius 5. Du kan bruge formlerne til at beregne rumfang og overfladeareal af kuglen. V = 4 3 r 3 O = 4 r 2 5 Du kan bruge 3 som tilnærmet værdi for. 1 Hvor stor er kuglens diameter? 2 Hvor stort er kuglens rumfang? 3 Hvor stort er kuglens overfladeareal?
SKRIFTLIG MATEMATIK 179 5. FRITIDSJOB BLANDT UNGE I regnearket Fritidsjob kan du se, hvor mange timers fritidsjob eleverne i tre niendeklasser har om ugen. 5.1 Hvor mange timers fritidsjob har eleverne i 9. A i gennemsnit om ugen? 5.2 Hvor mange procent af eleverne i hver af de tre klasser arbejder? Lucas har fundet data på internettet om, hvor stor en procentdel af de 15-19-årige der arbejder. Han har fundet diagrammet til venstre herunder, og han har selv fremstillet diagrammet til højre, som han mener bedre viser udviklingen i andelen af 15-19-årige, der arbejder. Andelen af 15-19 årige, der arbejder Andelen af 15-19 årige, der arbejder 80 % 68 % 70 % 66 % 60 % 64 % 50 % 62 % 40 % 60 % 30 % 58 % 20 % 56 % 10 % 54 % 0 % 52 % 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2018 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2018 Lucas diagram Diagram fra internettet 5.3 Forklar, hvorfor de to diagrammer ser forskellige ud, selvom om de begge viser andelen af 15-19-årige, der arbejder. Lucas har fundet tal, som siger, at der i 2018 er ca. 53 % af de 15-19 årige, der arbejder. 5.4 Undersøg, om beskæftigelsesprocenten samlet set i de tre niendeklasser ligger over eller under landsgennemsnittet. Du skal begrunde dit svar. 9. A 9. B 0 1 2 3 4 5 6 7 Boksplottene herover viser fordelingen af antal timer, eleverne i de to klasser ugentligt bruger på fritidsjob 1 Hvilke af udsagnene herunder kan man sige er sande på baggrund af de oplysninger, vi kan aflæse af de to boksplot? a Størsteværdien er ens i de to klasser. b Der er flere elever i 9. A end i 9. B. c Mindsteværdien er ens i de to klasser. d 50 % af eleverne i 9. B arbejder 3 timer om ugen eller mere. e I begge klasser arbejder 25 % af eleverne 1 time om ugen eller mindre.
180 SKRIFTLIG MATEMATIK 6. NY HÆK 9. A har fået til opgave at anlægge ny hæk til klassens skolehave. Skolehaven har form som vist på skitsen. Der skal plantes hæk langs det stykke, der er markeret med sort streg. Eleverne kan vælge mellem ligusterhæk og bøgehæk. Hvis de vælger ligusterhæk, skal der bruges 4-5 planter pr. meter. Hvis de vælger bøgehæk, skal de bruge 5-6 planter pr. meter. 5 5 5 9. A har læst, at de skal grave jord væk, så hækplanterne bliver plantet i frisk jord. Derefter skal de gøde og vande jorden. Eleverne skal grave en rende, som er 20 cm bred og 40 cm dyb langs hele det stykke, der skal hækplanter i. Derefter skal eleverne putte hækjord i renden sammen med hækplanterne. Prisen for hækjord er: 1299 kr. for 900 L jord. Eleverne skal gøde jorden med 0,03 kg gødning pr. m 2. Prisen for gødning er 89,95 kr. for 3,5 kg. 6.1 Undersøg, hvad det kommer til at koste for 9. A at anlægge og plante ny hæk til klassens skolehave. SKITSER E Skitsen til venstre viser trekant ABC og trekant DEF. De to trekanter er ligedannede. Længdeforholdet mellem de to trekanter er 1:3. A c b B a C D f e d F 1 Hvor lang er siden d i trekant DEF, hvis siden a i trekant ABC er 7? 2 Hvor stor er vinkel A i trekant ABC, hvis vinkel E i trekant DEF er 70? 3 Hvor stort er arealet af trekant DEF, hvis arealet af trekant ABC er 12?
SKRIFTLIG MATEMATIK 181 7. ET BESKÅRET KVADRAT Figuren herunder er konstrueret ved, at der først er tegnet et kvadrat, og derefter er der fjernet det, som svarer til en halvcirkel. Centrum i halvcirklen ligger midt på den ene af kvadratets sider, og diameteren i halvcirklen svarer til sidelængden i kvadratet. 7.2 Hvor stor er omkredsen af et beskåret kvadrat med sidelængden 4? 7.3 Hvor stort er arealet af et beskåret kvadrat med sidelængden 4? 7.4 Hvor stor er omkredsen af et beskåret kvadrat med sidelængden a? 7.5 Hvor stort er arealet af et beskåret kvadrat med sidelængden a? Asta påstår, at man kan beregne arealet af et beskåret kvadrat med sidelængden a ved hjælp af formlen i den gule boks, hvis sættes til 3. A = 5 8 a 2 A er arealet af det beskårede kvadrat. a er sidelængden i det beskårede kvadrat. 7.1 Tegn et beskåret kvadrat som figuren ovenover, hvor sidelængden i kvadratet er 4. 7.6 Bevis, at Asta har ret i sin påstand. 3 b 7 a a a b b Skitsen herover viser et rektangel med sidelængderne a + 7 og b + 3. 1 Hvor stor er omkredsen af figuren? 2 Hvor stort er arealet af figuren? Skitsen herover viser en figur med rette vinkler. 3 Hvor stor er omkredsen af figuren? 4 Hvor stort er arealet af figuren?
182 SKRIFTLIG MATEMATIK 8. FUNKTIONER OG GRAFER Fire punkter ligger i et koordinatsystem. A(0, 1), B(1, 4), C(2, 7) og D(3, 10). 8.1 Tegn punkterne i et koordinatsystem. De fire punkter ligger på en graf for en funktion f. 8.2 Undersøg, om denne graf kan være en ret linje. Grafen for en anden funktion g går gennem punkterne E(0, 1), F(1, 4), G(2, 9) og H(3, 16). 8.3 Undersøg, om g kan være en lineær funktion. Du skal begrunde dit svar. 8.4 Undersøg, hvilken funktionsforskrift der kan passe til funktionen g. Graferne for f og g går begge gennem punktet (0, 1). 8.5 Giv et eksempel på en lineær funktion og en ikke-lineær funktion, som går gennem (0, 1), og som er forskellige fra f og g. 9. KVADRATER I KVADRATNET OPGAVEN HERUNDER LØSES MED BRUG AF HJÆLPEMIDLER Her er et 7x7 kvadratnet. I kvadratnettet er der tegnet tre forskellige kvadrater. 9.1 Undersøg, hvor mange forskellige kvadrater der er i et 7x7 kvadratnet. Angiv sidelængden til hvert af de kvadrater, du finder. To kvadrater er forskellige, når de ikke er kongruente. Tabellen herunder beskriver den lineære funktion f(x). x f(x) 0 1 1 3 2 5 3 7 4 Hvilket af udtrykkene herunder passer til beskrivelsen y er 3 større end x? a y = x 3 b y = 3x c y = x + 3x d y = 3 x e y = x + 3 f y + 3 = x g 3 y = x 1 Hvilken værdi har f(x), når x = 5? 2 Hvilken x-værdi har funktionsværdien 13? 3 Skriv en forskrift for funktionen f.
SKRIFTLIG MATEMATIK 183 10. REGNETREKANTER En regnetrekant som den du kan se på figur 1, kan du udfylde med hele tal. I øverste hjørne skriver du et helt tal. I nederste højre hjørne skriver du det hele tal, der er 1 større end tallet i øverste hjørne. I nederste hjørne til venstre skriver du det hele tal, der er 1 større end tallet i nederste højre hjørne. Figur 1 3 Herefter skal du i cirklerne på hver kant skrive 8 7 summen af de to hjørner på den pågældende kant i trekanten. I midtercirklen skal du skrive summen af alle tre cirkler på kanterne. 24 10.1 Udfyld regnetrekant 1 på arket Regnetrekanter (A14), hvor du starter med at skrive 8 i øverste hjørne. 10.2 Udfyld de manglende tal i regnetrekant 2 på arket Regnetrekanter (A14). 10.3 Udfyld regnetrekant 3 på arket Regnetrekanter (A14), hvor du starter med 4 i øverste hjørne. På figur 2 er figuren delvist udfyldt med tal og med variable. Figuren findes også på arket Regnetrekanter (A14) som regnetrekant 4. 5 Figur 2 9 n 4 10.4 Udfyld de manglende felter med tal og variable. 10.5 Undersøg, om der kan stå 100 i midtercirklen, hvis der kun må stå hele tal i regnetrekanten. 10.6 Undersøg, om der er flest lige eller ulige tal i en regnetrekant. Begrund dit svar. n + 2 n + 1 Løs ligningerne 1 7x + 5 = 33 x 2 2 + 3 = 8 3 2x 3 = 3x 11 Beregn 4 5071 + 2029 5 703 299 6 105 17 7 7021 : 7