Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion er defineret ved for reelle variable x og y. f (x, y, z) = 1 + z x + y (a) (3 point) Definitionsmængden for f består af samtlige punkter (x, y, z) der opfylder z = x + y > x + y 1 Hele rummet uden z aksen yx = (b) (3 point) Hvad er niveauoverfladen f (x, y, z) = 1? En sfære givet ved x + y + z = 1 xy-planen uden origo En paraboloide givet ved z = x + y En plan parallel med xy-planen givet ved z = 1 Opgave (6 point) En parametrisk kurve i rummet er givet ved r(t) = sin(t), cos(t), t hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. (a) ( point) Hvad er kurvens hastighedsvektor? sin(t), cos(t), cos(t), sin(t), cos(t), sin(t), t (b) ( point) Hvilken af de følgende vektorer er kurvens accelerationsvektor for t = π? Side 1 af 8
, 1,,,,, 1, 4, 4,, 1 (c) (1 point) Hvad er kurvens fart? t 1 + t 4 e it (d) (1 point) Hvad er kurvens længde fra t = π til t = π? π π π 4π π Opgave 3 (6 point) Tre komplekse tal er givet ved z 1 = 1 + i, z = i 3 og z 3 = i 1. (a) ( point) Hvad er z 1 + z på polær form? e iπ/4 e iπ/4 e π 4 i e iπ/4 (b) ( point) Hvad er z 1 z 3 på standardformen a + ib? i 1 i + i 1 + i 9 e iπ (c) ( point) Hvad er hovedargumentet for z 1? π/4 π 3π/4 3π/4 Vink til (c): Hovedargumentet er en polær vinkel i intervallet ] π, π]. En brugbar identitet er arg(z n ) = n arg(z). Side af 8
Opgave 4 (1 point) (a) ( point) En homogen anden ordens differentialligning er givet ved y = y y. Herunder er angivet en række funktionsudtryk hvori c 1 og c er arbitrære reelle konstanter. Markér det udtryk som udgør den fuldstændige løsning til differentialligningen. y(t) = c1 e t + c e t y(t) = c1 cos(t) + c sin(t) y(t) = c1 + c t y(t) = c1 + c t y(t) = c1 e t + c t y(t) = c1 sin(t) + c cos(t) y(t) = (c1 + c t)e t (b) ( point) Hvilken funktion x p (t) er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning blandt følgende funktionsudtryk. x (t) = x (t) x(t) + 1. xp (t) = t xp (t) = t + 1 xp (t) = 1 xp (t) = t xp (t) = t e t (c) (3 point) Markér løsningen x(t) til begyndelsesværdiproblemet x (t) = x (t) x(t) + 1, x() =, x () = 1, blandt følgende funktionsudtryk. x(t) = e t (t + 1) 1 x(t) = 4t x(t) = t te t x(t) = e t (t 1) + 1 x(t) = e t t x(t) = t e t + 1 x(t) = Side 3 af 8
Opgave (8 point) Markér om de følgende udsagn er sandt eller falsk. (a) ( point) Hastighedsvektoren til en kurve kan aldrig have en nullængde. Sandt Falsk (b) ( point) Når et punkt bevæger sig på en ret linje, så er krumningen uendelig stor. Sandt Falsk (c) ( point) Hvis f (x) = cos(x) og g(t) = e t så er h(t) = f (g(t)) differentiabel og h (t) = sin(e t ). Sandt Falsk (d) ( point) Funktionen f (x) = ln(x) hvor < x < 1 har en invers funktion. Sandt Falsk Opgave 6 (7 point) Et område R i planen kan repræsenteres ved hjælp af uligheden x + (y 1) 1. (a) (1 point) Hvilken af de nedenstående kurver beskriver randen af R? en parabel med toppunkt i, 1 en cirkel med centrum i, 1 og radius 1 en trekant med hjørner i origo,, 1 og 1, en kvadrat med sidelængde 1 og centrum i, 1 (b) ( point) Hvilken af de følgende uligheder viser, at et punkt med koordinater (x, y) = (r cos(θ), r sin(θ)) tilhører R? r, θ π r cos(θ), θ π r sin(θ), θ π r 1, θ π r 1 (c) (4 point) Området R modelerer en plade med en massefylde δ(x, y) = y. Hvilken af de følgende integraler giver pladens masse? Side 4 af 8
π π π cos(θ) r cos(θ)dr dθ sin(θ) 1 r sin(θ)dr dθ r sin(θ)dr dθ π r sin(θ)dr dθ π sin(θ) r sin(θ)dr dθ Opgave 7 (8 point) Et område R i planen består af alle punkterne med koordinater (x, y) som opfylder uligheden x + (y 1) 1. Funktionen f er defineret på R og givet ved f (x, y) = x. (a) ( point) Hvilke af de følgende punkter er indre kritiske punkter for f?, 1 1,, t hvor < t < t, hvor < t < t, t hvor < t < (b) (4 point) Hvilken af de nedenstående funktioner tager de samme værdier som f, når x, y tilhører randen af R? g(y) = (y 1) hvor 1 y g(y) = y hvor y g(y) = 1 y hvor y g(x) = 1 + x hvor x g(x) = x hvor 1 x 1 (c) ( point) Hvad er den maksimale værdi af f? 3 4 Opgave 8 (1 point) En flade F i rummet er bestemt ved ligningen F(x, y, z) =, hvor F(x, y, z) = y sin(x) + y z (a) (3 point) Hvilken af de følgende udtryk udgiver gradientvektoren F? y cos(x), sin(x) + y, z y cos(x) + sin(x), y, z y cos(x) + sin(x),, z y cos(x), sin(x) + y, z,, (b) (3 point) Hvilken af de følgende ligninger udgør tangentplanen til F i punktet P = (, 1, 1)? Side af 8
= x + y + z z = x + y z = x + y z = y + x z = x y (c) (6 point) Fra ligningen F(x, y, z) =, hvad er den partielle afledede z/ x i punktet P? 1 Opgave 9 (1 point) En funktion er givet ved hvor x og y. f (x, y) = sin(xy), (a) ( point) Markér om følgende udsagn er sandt eller falsk: f (x, y) kan ikke blive mindre end nul. Sandt Falsk (b) ( point) Markér om følgende udsagn er sandt eller falsk: f (x, y) bliver aldrig lig med 1/. Sandt Falsk (c) (4 point) Hvad er den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (, 1) og retning givet ved enhedsvektoren u =, 1? 3 4 1 (d) (4 point) Hvilken af de følgende enhedsvektorer peger i den retning hvor f vokser hurtigst i punktet P (retningen v hvor D v f (P) er størst)?, 1 1, 1,, 1, 1, 1, 1 1, 1 Opgave 1 (9 point) En funktion er givet ved for alle reelle tal x. f (x) = sin(x ) (a) ( point) Markér det korrekte udtryk for f (x) ( dvs f to gange differentieret) Side 6 af 8
4 sin(x ) x 4 sin(x ) cos(x ) 4x sin(x ) sin(x) sin(x ) 4x cos(x ) (b) (4 point) Hvilket af de følgende udtryk er anden ordens Taylor polynomiet for f med udviklingspunkt x =? x + x + x + x / x + x x x + x Side 7 af 8
Opgave 11 (11 point) En kurve i planen er givet ved x(t) = t + 1, y(t) = sin(t) for alle reelle tal t. (a) ( point) For hvilken værdi af parameteren t går kurven gennem punktet P = (1, )? π π 3π 4π (b) (4 point) Hvad er værdien af farten når t =? 3 (c) ( point) Hvad er kurvens krumning i P? / 8 7 / 1 / 1 Opgave 1 ( point) Betragt det følgende begyndelsesværdiproblem y (x) = x y (x), y() = 1. (a) (3 point) Antag, at y løser den ovenstående ligning og definer Hvilken ligning opfylder f? f (x) = 1 y(x). f (x) = x, f () = 1 f (x) = x, f () = 1 f (x) = 1, f () = 1 f (x) = x, f () = f (x) = x, f () = (b) ( point) Hvad er y(x)? + x /(1 + x) /( x ) /( + x ) /(1 x ) Side 8 af 8