Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30
Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ) er et (1 α)-konfidensområde hvis P θ (θ C(X)) }{{} dækningsgrad 1 α for alle θ Θ For et givet α ønsker vi C(x) så lille som muligt. Derfor foretrækkes lighedstegn.. p.2/30
Generel konstruktion Find en kombinant R : Θ X Y. Find for hvert θ et konkordansområde A(θ) Y så ) P θ (R(θ, X) A(θ) = 1 α Lad C(x) = {θ Θ R(θ, x) A(θ)} Virker fordi: θ C(x) R(θ, x) A(θ). p.3/30
Konstruktion med pivot En kombinant R : Θ X Y er en pivot hvis fordelingen af R(θ, X) under P θ er den samme for alle θ. Helt præcist, hvis afhænger af B Y med ikke af θ. ) P θ (R(θ, X) B I så fald kan konkordansområdet for R(θ, X) vælges så det ikke varierer med θ. Vi søger en mængde A så ) P θ (R(θ, X) A = 1 α for alle θ. Sæt C(x) = {θ Θ R(θ, x) A}. p.4/30
Asymptotisk konstruktion Lad Θ R. Hvis ˆθ n er en estimator så ˆθ n as N (θ, 1 ) n σ2 (θ) under P θ så vil n ˆθn θ σ2 (θ) D N(0, 1) Hvis q er 1 α 2 fraktilen i N(0, 1) vil C n = { θ q < n ˆθ } n θ σ2 (θ) < q opfylde at P θ (θ C n ) 1 α for n. p.5/30
Asymptotisk konstruktion Lad Θ R. Hvis ˆθ n er en estimator så ˆθ n as N (θ, 1 ) n σ2 (θ) under P θ så vil n ˆθn θ σ2 (θ) D N(0, 1) Hvis q er 1 α 2 fraktilen i N(0, 1) vil Cn = θ q < n ˆθ n θ σ 2 (ˆθ n ) < q måske opfylde at P θ (θ C n) 1 α for n. p.6/30
Asymptotisk konstruktion Lad Θ R. Hvis ˆθ n er en estimator så ˆθ n as N (θ, 1 ) n σ2 (θ) under P θ så vil n (ˆθ n θ) 2 σ 2 (θ) D χ 2, df = 1 Hvis z er 1 α fraktilen i χ 2, df = 1, vil C n = { θ n (ˆθ n θ) 2 σ 2 (θ) < z } opfylde at P θ (θ C n ) 1 α for n. p.7/30
Wald områder Lad Θ R k. Hvis ˆθ er en estimator så ˆθ N(θ, Σ(θ)), så er et approksimativt konfidensområde: Wald område: C(X) = { } θ (ˆθ θ) T Σ(θ) 1 (ˆθ θ) < z hvor z er (1 α) fraktilen i χ 2, df = k. Falsk Wald område: C(X) = { } θ (ˆθ θ) T Σ(ˆθ) 1 (ˆθ θ) < z hvor z er (1 α) fraktilen i χ 2, df = k.. p.8/30
Wilks sætning Lad Y 1, Y 2,... være iid. observationer fra en k-dimensional statistisk model. Under regularitetsbetingelser vil 2 log Q(θ, Y 1,...,Y n ) D χ 2, df = k under P θ. Konklusion: Et approximativt konfidensområde er C(X) = {θ 2 log Q(θ, Y 1,...,Y n ) < z} hvor z er (1 α) fraktilen i χ 2, df = k.. p.9/30
Gamma model Lad X 1,...,X n være uafhængige, Γ-fordelte med formparamter λ og skalaparameter β. l X1,...,X n (λ, β) = nλlog β + n log Γ(λ) (λ 1) Dl X1,...,X n (λ, β) = ( D 2 l X1,...,X n (λ, β) = n log β + nψ(λ) i n (λ, β) = nψ (λ) n β nψ (λ) n β n log X i + 1 β i=1 n log X i ; i=1 n β nλ β 1 β 2 nλ β + 2 n 2 β 3 i=1 X i n β nλ β 2 n i=1 X i ) n X i i=1. p.10/30
Eksempel X 1,...,X n iid variable. Γ-fordelte, form λ og skala β. 2 log Q β 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4 6 8 10 12 λ. p.11/30
Eksempel X 1,...,X n iid variable. Γ-fordelte, form λ og skala β. 2 log Q Wald β 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4 6 8 10 12 λ. p.12/30
Eksempel X 1,...,X n iid variable. Γ-fordelte, form λ og skala β. 2 log Q Wald Falsk Wald β 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4 6 8 10 12 λ. p.13/30
Eksempel X 1,...,X n iid variable. Γ-fordelte, form λ og skala β. Faktiske dækningsgrader: n 2 log Q Wald Falsk Wald 10 0.933 0.654 0.634 100 0.950 0.883 0.880 1 000 0.951 0.942 0.944. p.14/30
Konfidensområde for parameterfunktioner X (Ω, F) (X, E) x P θ ν θ Θ θ τ t D(x) R Konfidensbetingelse: P θ (τ(θ) D(X)) 1 α for alle θ. p.15/30
Konfidensområder og test At finde konfidensområde for τ : Θ R er det samme som på én gang at teste alle hypoteser af formen H y : τ(θ) = y Hvis et test af H y fører til kritisk mængde K(y) og acceptmængde A(y) sættes D(x) = {y R x A(y)} Omvendt, hvis D(x) er et konfidensområde, gennemføres et test af H y ved acceptmængden A(y) = {x X y D(x)}. p.16/30
Praktisk konstruktion I praksis konstrueres konfidensområder for τ : Θ R ofte ved en afbildning Z : X R R med en konkordansfortolkning. Find z y så P θ (Z(X, y) < z y ) 1 α hvis τ(θ) = y Der er kun håb om at konstruktionen virker hvis er pivot langs niveaukurver for τ R(x, θ) = Z(x, τ(θ)). p.17/30
Eksempel: IID normalfordelinger Lad X 1,...,X n være uafhængige N(ξ, σ 2 )-fordelte Problem Find et konfidensområde for ξ.. p.18/30
Fordelingsresultater Hvis X 1,...,X n er uafhængige N(ξ, σ 2 )-fordelte er X N(ξ, σ2 n ) SSD χ 2, df = n 1 og skala = σ 2 X og SSD er uafhængige Spaltningssætningen! Hvis U N(0, 1) og V χ 2 med df = k og skala = 1/k er uafhængige, så er U V t, df = k. p.19/30
Eksempel: IID normalfordelinger Lad X 1,...,X n være uafhængige N(ξ, σ 2 )-fordelte Problem Find et konfidensområde for ξ. D 1 (X 1,...,X n ) = ( X z SSD n(n 1), X + z SSD n(n 1) ), hvor z er 97.5% fraktilen for t-fordelingen med n 1 frihedsgrader. p.20/30
Profilkvotientteststørrelsen Lad τ : Θ Ψ være en parameterfunktion. Profillikelihoodfunktionen: L x (ψ) = sup L x (θ) θ:τ(θ)=ψ Maksimering af L x langs niveaukurver for τ. Kvotientteststørrelsen baseret på profillikelihoodfunktionen: Q(ψ, x) = L x (ψ) sup L ψ x (ψ ) = L x (ψ) L x (ˆθ) Find z ψ så P θ ( 2 log Q(ψ, X) < z ψ ) = 1 α når τ(θ) = ψ Kræver partiel pivothed for at give mening.. p.21/30
Wilks sætning Lad Y 1, Y 2,... være iid. observationer fra en k-dimensional statistisk model. Lad τ : Θ Ψ være en surjektiv parameterfunktion, og lad Ψ være m-dimensional. Under regularitetsbetingelser vil under P θ når τ(θ) = ψ. 2 log Q(ψ, Y 1,...,Y n ) D χ 2, df = m. p.22/30
Den lineære normale model Antagelse X er regulært normalfordelt på V med - centrum ξ L - præcision, σ 2 Parametrisering (ξ, σ 2 ) L (0, ). p.23/30
Konfidensområde Problem: Find konfidensområdet for parameterfunktionen (ξ, σ 2 ) ξ (Variansparameteren σ 2 er en støjparameter) Strategi: Find profillikelihoodfunktionen for ξ, L X (ξ). Find kvotientteststørrelsen Q X (ξ) ud fra L X (ξ). Find en afskæring af formen C(X) = {ξ Q X (ξ) > z} Bed til at Q X er pivot.... p.24/30
Profillikelihood Husk at L X (ξ, σ 2 ) = ( ) N/2 1 e X ξ 2 /2σ 2 σ 2 For fast ξ maksimeres dette udtryk af ˆσ 2 (ξ) = X ξ 2 N så profillikelihoodfunktionen er L X (ξ) = ( ) N/2 N X ξ 2 e N/2. p.25/30
Profillikelihoodkvotient Kvotientteststørrelse på denne baggrund: Q X (ξ) = L X (ξ) L X (ˆξ) = ( X p(x) 2 X ξ 2 ) N/2. p.26/30
Afskæringsområde Kvotientteststørrelsen er i (aftagende) bijektiv korrespondence med p(x) ξ 2 /k X p(x) 2 /(N k) Vi kan derfor vælge et afskæringsområde af formen C(X) = { ξ p(x) ξ 2 } /k X p(x) 2 /(N k) < z. p.27/30
Afskæringsområde Hvis (ξ, σ 2 ) er de sande parametre, så er p(x) ξ 2 /k X p(x) 2 /(N k) F -fordelt, df = (k, N k) altså pivot! Vi kan derfor vælge et afskæringsområde af formen C(X) = { ξ p(x) ξ 2 } /k X p(x) 2 /(N k) < z hvor z er 95% fraktilen i F(k, N k)-fordelingen. Bemærk: C(X) er en kugle i L med centrum i p(x).. p.28/30
Matrixformulering V = R N. Sædvanligt indre produkt: x, y = x T y. Underrum givet ved designmatrix L = {Aβ β R k } hvor de k søjler i A er lineært uafhængige N-vektorer. Konfidensområde for β: C(X) = {β R k (β ˆβ) T A T A(β ˆβ) < kz σ } 2 hvor z er 95% fraktilen for en F(k, N k)-fordelingen.. p.29/30
Marginale konfidensintervaller Hvis vi betrager en lineær reel parameterfunktion, β α T β kan vi i princippet finde profillikelihoodfunktion etc. Resultatet bliver et konfidensområde af formen α T ˆβ ± α T (A T A) 1 α z σ 2 hvor z er 95% fraktilen for en F -fordeling med (1, N k) frihedsgrader.. p.30/30