Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med 1 afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet indeholder 100 point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. I hver delopgave skal der kun afkrydses én svarmulighed. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Du bedes også afkrydse det hold som du deltager i. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMER: Hold 1: MAT, MATTEK, MATØK, EGI, FYS, NANO N.H. Nielsen Hold : BIO, KEMI, KEMT, MILT, BIOT J.E. Johnsen Hold 3: BA, MP J. Broe Hold 4: GBE, EGF J. E.S. Ottosen Side 1 af 8
Opgave 1 (6 point) En funktion er defineret ved for reelle variable x og y. f (x, y) = 1 + y x (a) (3 point) Definitionsmængden for f består af samtlige punkter (x, y) der opfylder x < 0 y = 0 x = 0 x = 0 og y > 0 yx = 0 y = x (b) (3 point) Hvad er niveaukurven f (x, y) =? En parabel x = y + 1 En parabel x = y 1 En cirkel med centrum i origo og radius 1 En cirkel med centrum i origo og radius To rette linjer x = ±y uden origo. Opgave (6 point) En parametrisk kurve i rummet er givet ved r(t) = t, t, e t hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. (a) (3 point) Hvad er kurvens fart? 1, t, e t 5 + e 1 t + e t 4 + t 1 + 4t + e t 1 4t + e t (b) (3 point) Hvilken af de følgende vektorer er kurvens accelerationsvektor for t = 0? 0, 1, 0 0, 4, 0 0,, 0 4, 0, 1 0,, 1 0,, e Side af 8
Opgave 3 (6 point) Tre komplekse tal er givet ved z 1 = 1 i, z = i og z 3 = 1 + i. (a) (3 point) Hvad er z 1 + z på polær form? 0 e iπ/4 e iπ/4 5π e 4 i e iπ/4 e iπ/ (b) (3 point) Hvad er z 1 z 3 på standard form? 1 i i i i i/ Opgave 4 (10 point) (a) (5 point) En homogen anden ordens differentialligning er givet ved y = y. Herunder er angivet en række funktionsudtryk hvori c 1 og c er arbitrære reelle konstanter. Markér det udtryk som udgør den fuldstændige løsning til differentialligningen. y(t) = c1 e t + c e t y(t) = c1 cos(t) + c sin(t) y(t) = c1 + c t y(t) = c1 + c t y(t) = c1 e t + c y(t) = c1 sin(t) + c cos(t) y(t) = c1 t + c t y(t) = c1 + c e t (b) (5 point) Markér løsningen x(t) til den inhomogene differentialligning x (t) = x (t) + 1, x(0) = 0, x (0) = 0, blandt følgende funktionsudtryk. x(t) = t x(t) = 4t + 1 x(t) = t te t x(t) = e t 1 + t t x(t) = t + 1 4 (et 1) x(t) = t e t x(t) = t sin(t) x(t) = t cos(t) Side 3 af 8
Opgave 5 (8 point) Markér om de følgende udsagn er sandt eller falsk. (a) ( point) Hastighedsvektoren og enhedstangentvektoren til en kurve har altid den samme længde. Sandt Falsk (b) ( point) Når et punkt bevæger sig på en cirkel, så er krumningen konstant. Sandt Falsk (c) ( point) Produktet af to reelle funktioner som er differentiable i et punkt er differentiabel i det punkt. Sandt Falsk (d) ( point) Funktionen f (x) = sin(x) hvor 0 x π har en invers funktion. Sandt Falsk Opgave 6 (7 point) Et område R i planen kan repræsenteres ved hjælp af ulighederne 4 x + y 9 og x y. (a) (3 point) Hvilken af de følgende uligheder viser, at et punkt med koordinater (x, y) = (r cos(θ), r sin(θ)) tilhører R? r, 0 θ π 4 r 9, π/4 θ 5π/4 r 3, π/4 θ 5π/4 4 r 9, θ = π/ r 9 r 3 (b) (4 point) Hvad er områdets areal? π/ π 3π/ π 5π/ 3π Side 4 af 8
Opgave 7 (8 point) Et område R i planen består af alle punkterne med koordinater (x, y) som opfylder x + y. Funktionen f er defineret på R og givet ved f (x, y) = x + y. (a) (4 point) Hvilket af de følgende punkter er et indre kritisk punkt for f? 0, 1 0, 0 1, 0 1, 1 1, 1 1, 1 (b) (4 point) Hvad er den maksimale værdi af f? 6 10 4 8 1 Opgave 8 (1 point) En flade F i rummet er bestemt ved ligningen F(x, y, z) = 0, hvor F(x, y, z) = x + y z (a) (6 point) Hvilken af de følgende ligninger udgør tangentplanen til F i punktet P = (1, 1, 1)? 3 = x + y + z z = x + y z = x + y z = y + x z = 1 0 = 3x + y 5z (b) (6 point) Fra ligningen F(x, y, z) = 0, hvad er den partielle afledede z/ y i punktet P? 1 1/ 3/5 0 1/ 4 Side 5 af 8
Opgave 9 (1 point) En funktion er givet ved hvor x > 1 og y > 0. f (x, y) = ln(e x + y), (a) ( point) Markér om følgende udsagn er sandt eller falsk: f (x, y) kan ikke blive mindre end nul. Sandt Falsk (b) ( point) Markér om følgende udsagn er sandt eller falsk: f (x, y) er altid mindre end 100. Sandt Falsk (c) (4 point) Hvad er den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (0, 1) og retning givet ved enhedsvektoren u = 1, 0? 1 3 4 1 (d) (4 point) Hvilken af de følgende enhedsvektorer peger i den retning hvor f vokser hurtigst i punktet P (retningen v hvor D v f (P) er størst)? 5, 1 5 1, 0 1 5, 5 5 5, 1 5 1, 0 5 5, 5 5 0, 1 1 1, 1 1, Side 6 af 8
Opgave 10 (9 point) En funktion er givet ved for alle reelle tal x. f (x) = x + sin(x) (a) (5 point) Markér det korrekte udtryk for f (x) ( dvs f tre gange differentieret) cos(x) cos(x) 8 cos(x) 8 cos(x) 8 sin(x) 8 sin(x) (b) (4 point) Hvilket af de følgende udtryk er tredje ordens Taylor polynomiet for f med udviklingspunkt x = 0? 1 + x + x + x 3 1 + x / + x 3 /6 x + x x 3 /6 x + x 4x 3 /3 x + x x + x 4x 3 Opgave 11 (11 point) En kurve i planen er givet ved x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) for alle reelle tal t. (a) ( point) For hvilken positiv værdi af parameteren t vender kurven tilbage til punktet P = (1, 0) for første gang? (Bemærk, at kurven er i P når t = 0.) π/8 π/4 π/ π π (b) (5 point) Hvad er kurvens krumning i P? 1 3 4 5 (c) (4 point) Hvad er værdien af farten når t = π? 0 4 1 3 5 Side 7 af 8
Opgave 1 (5 point) Figuren nedenfor viser grafen for en funktion r = f (θ), 0 θ π, afbildet i polære koordinater. Grafen repræsenterer en kardioide. En af forskrifterne for f i listen nedenfor svarer til figuren. Hvilken? f (θ) = 1 + sin(θ) f (θ) = 1 cos(θ) f (θ) = 1 + sin( θ ) cos( θ ) f (θ) = sin (θ) cos(θ) f (θ) = cos(θ) sin(θ) f (θ) = sin(θ) Side 8 af 8