MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle, hvis planernes normalvektorer er parallelle. n n n t n Det vil sige: De to planer er parallelle t t t t t t t De to planer er parallelle b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem og -aksen. Skæring med -aksen for: = og z =. dvs. : Q (,,) Opgave (5 %) a) Bestem integralet: d. Substitution: u du ( ) d ( ) d ( ) d du, som indsættes: du I ln u ln u I ln c Opgave ( %) d En differentialligning er givet ved: e. d a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen. MF(): a( ) b( ) har løsningen: e b( ) e dce vi har: a ( ) ; b ( ) e A( ) a( ) d d A( ) b ( ) e d e e d e de Vi får så: e ( e ) ce e ce A( ) A( ) A( ) e ce b) Undersøg, om funktionen Sættes c i den fuldstændige løsning lig med 8, fås: f( ) e 8e er en løsning til differentialligningen. Eller ved at indsætte funktionen f( ) samt i differentialligningen. e 8e e 8 e. Indsættes i differentialligningen: e e ( e 8 e ) e e e e e e hvilket er sandt e 8e,altså er den angivne funktion en løsning.
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Opgave ( %) En vektor a er givet ved: a, og en vektor b k er givet ved: b, hvor k er et tal. a) Bestem b a udtrkt ved k. ab MF (7): ba a k ab k ba a b) Bestem k, så a og b bliver lige lange. a ; b k k a b k k k 9 k k ba k Opgave 5 (5 %) En funktion g er givet ved: g () sin(). g( ) cos( ) a) Løs ligningen: g ( ) for ;. cos( ) Ud fra enhedscirklen ses at også er en løsning Opgave (5 %) En cirkel er givet ved ligningen: k 5, hvor k er et tal, og et punkt P, ligger på cirklen. a) Bestem k. Koordinaterne for P indsættes i cirklens ligning: k 5 k k 5 5 5 k k k k k ( 5) 5 k k k 5
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Opgave 7 (5 %) På figuren ses grafen for funktionen F, der er stamfunktion til funktionen f. a) Bestem tallet f ( d ). F() ; F( ), Aflæst på grafen. I f( ) d F( ) F() F( ) 5 I 5 - - Delprøve med alle hjælpemidler: kl. 9.-. Hjælpemidler kan først benttes efter kl.., når første delprøve er afleveret. Opgave 8 (5 %) To funktioner er givet ved: f ( ) e e og g ( ) e. For begge funktioner gælder at. a) Skitsér graferne for de to funktioner, og beregn koordinatsættene til deres skæringspunkter. e ( e ) STO ( ) e STO ( ) Solve( ( ) ( ), ) or () () e,89 7 5 ff g Q(,) ; Q (;,89) Området M er afgrænset af graferne for de to funktioner. b) Beregn arealet af M. A ( ( ) ( )) d A Buelængden L af grafen for f i intervallet [ ;] L f ( ) d. ab kan bestemmes af: c) Bestem buelængden af grafen for f i intervallet. Buelængden beregnes på TI-89: arclen( f( ),, a, b) arclen( ( ),,,),789 L,789 Eller ved anvendelse af formlen ( ) b L f d f( ) d( ( ), ) e L ( e ) d,789 a b a
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Opgave 9 ( %) En linje l er givet ved: t, tr z P ; A ; r og et punkt er givet ved: A,,. PA AP a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder linjen l og punktet A. En normalvektor til planen er givet ved: n r P AcrossP(,,,,, ),, En ligning for planen er så: zd Konstanten d bestemmes ved at indsætte koordinaterne for A eller for P. Koordinaterne for A indsættes: d d 5 z 5 b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjen l og -planen. Vi har: t; t; z t t t Skæring med -planen for: z = dvs. for: ( ) 5 ( ) 5 Q ( 5, 5,) Opgave (5 %) t En harmonisk svingning er givet ved: f () t sin. t f() t sin sin t a; b ; c ; k a) Bestem perioden, faseforskdningen og værdimængden for svingningen. T b c b ma k a 5 k a min 5 -π π π π π 5π π 7π - T ; Vm( f ) ;5
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side 5 af 5 b) Bestem den stamfunktion F til f, som opflder: F( ) 5. ( t ) sin STO f ( t) Ft ( ) bestemmes ved: Ft ( ) f( t) dc t F() t ( f(),) t t c9sin tc t F( ) 9sin tc t c 9 t F( ) 5 c 9 5 c 7,78 Ft () 9sin t c) Bestem løsningerne til ligningen f t t () for ;. solve( sin( t ), t) t t or t t t Opgave ( %) En linje l er givet ved: og to punkter er givet ved: A, og B a) Bestem vinklen mellem stedvektorerne til punkterne A og B. 8 AB 8 7 cos( ), A B 8 7 7 Et punkt P ligger på linjen l, således at arealet af ABP er. b) Bestem koordinatsættene til de to mulige beliggenheder af P. det( AB, AP) T 8 5 AB B A P AP P A 5 det( AB, AP) 5( ) ( ) 5 det( AB, AP) T 8 8 solve(abs () 8, ) or, 7 5, 8,. 8 A P, B 5 7 8 9 5 P(,7) P,