HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI 4. 10. KLASSE
Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Geometri 4.-10. klassetrin Samfundslitteratur
Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Geometri 4.-10. klassetrin Samfundslitteratur, 2013 Omslag: Annette Borsbøl, Imperiet Tegninger: Joh n Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2013 Trykt bog ISBN 978 87 593 1797 6 E-bog ISBN 978 87 593 2336-6 Samfundslitteratur Rosenørns Alle 9 1970 Frederiksberg C Tlf. 3815 3880 Fax 3535 7822 www.samfundslitteratur.dk Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.
INDHOLD Forord 9 Indledning 11 1 Eksperimentel geometri 13 En smagsprøve 14 Geometriske konstruktioner på papir og computer 15 Elementære konstruktioner 15 Kombinerede konstruktioner 18 Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion 20 Klassisk konstruktion 23 Opsamling på kapitel 1 28 2 Lokalisering, afstand og bevægelse 29 Bishops kulturelle fænomenologi 29 Lokalisering 31 Koordinatsystemer 32 Afstand mellem to punkter 34 Bevægelser 36 Retninger 36 Vektorer 37 Den retlinede bevægelse 40 Opsamling på kapitel 2 41 3 Undersøgelser af rumlige figurer 43 Genopdagelse af de platoniske legemer 44 Eulers polyedersætning 45 Descartes spidsheder 47 Halvregulære polyedre som inspiration 49 Opsamling på kapitel 3 51 Indhold 5
4 Bevisførelse i geometri 53 Grundlaget for euklidisk geometri 54 Trekanter i klassisk geometri 59 Kongruente trekanter som bevisværktøj 65 Opsamling på kapitel 4 71 5 Elementer af geometriens didaktik 73 Begrebsdannelse og geometriske former 73 Begrebet trekant i 2. klasse 74 Det figurale aspekt 78 van Hieles niveauer 79 Kritik af og inspiration fra van Hieles 81 Et par vigtige læremidler 85 Logo og dets efterfølgere 85 Dynamiske geometriprogrammer 86 Geometriske ræsonnementer 89 Beviset efter de dynamiske geometriprogrammer 93 Omdannelse af stive beviser til undersøgende argumenter 96 Opsamling på kapitel 5 98 6 Klassisk geometri 99 Klassisk trekantsgeometri 99 Afstandsbestemmelsens geometri 100 Bevis for Thales sætning 102 Sætningen om ensvinklede trekanter 104 Thales sætning skabt af og anvendt i praksis 106 Andre beviser baseret på Thales sætning 110 Fischbeins overraskende undersøgelse af et bevis 112 Trekantens klassiske linjer 113 Pythagoras sætning 115 Opsamling på kapitel 6 120 7 Måling og areal 123 Målingens didaktik 123 Centrale aspekter af målebegrebet 124 Måling som forbindelsesled til og mellem andre faglige emner 126 Arealberegning didaktiske overvejelser 128 6 Indhold
Areallæren 133 Beviser med opdeling og flytning 135 Måling af cirklen 138 Opsamling på kapitel 7 140 8 Rumfang 141 Om rumfangsbegrebet 141 Indledende eksperimenter med rumfang 143 Opbygning af rumfangslæren 144 Udvikling af rumfangsformler baseret på areallæren 144 Cavalieris princip 146 Opsamling på kapitel 8 152 9 Analytisk geometri 153 Afstande i planen 154 Midtpunkt af et linjestykke 155 Den rette linje 156 Vinkelrette linjer 160 Geometriske steder 162 Skæring mellem geometriske figurer 166 Opsamling på kapitel 9 168 10 Trigonometri og geometri i det fri 171 Trigonometriens definitioner 172 Beregninger i den retvinklede trekant 174 Formler 175 Beregninger i en vilkårlig trekant 177 Sinusrelationerne 178 Cosinusrelationen 180 Trigonometri i skolen 182 Landmåling og geometri i naturen 186 1) På vej i felten 186 2) Afsætningsøvelser 187 3) Højdebestemmelser 187 4) Afstandsbestemmelse over en sø 187 5) Nivellering, ekstra opgave, der kræver nivelleringsinstrument 188 6) Korttegning 189 Indhold 7
Opsamling på kapitel 10 189 11 Kuglefladens geometri 191 Jorden er rund 191 Hvordan Jordens radius blev bestemt 192 Sfærisk geometri 194 Enhedskuglen 195 Den retvinklede sfæriske trekant på enhedskuglen 196 Areal af en sfærisk trekant på enhedskuglen 199 Opsamling på kapitel 11 203 12 Grafteori og topologi 205 Grafteori 205 Teorien for Eulerture 209 Eulers polyedersætning med grafteoretisk bevis 212 Topologi og Eulertallet 217 Kuglefladen 218 Baderinge (torusser) og Möbiusbånd 219 Taxageometri i plan og rum 220 Opsamling på kapitel 12 223 Referencer 225 Bøger til grundskolen 226 Stikordsregister 229 8 Indhold