Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen i FY50. Som hovedregel drejer det sig om hold M1 (matematik økonomi), S7 (datalogi) og S1 (lægemiddelvidenskab). Projektet kan hentes på kursushjemmesiden fra fredag d. 13. marts, kl. 13:00. Besvarelsen afleveres, klart mærket med navn, eksaminatoriehold og første seks cifre af CPRnummer, på IMADAs kontor senest kl. 13:00, fredag d. 0. marts. Hvis man ønsker en kvittering for afleveringen, skal man selv udfylde og medbringe den formular, der findes på sidste side af projektbeskrivelsen. Projektet omfatter ialt 8 delopgaver, som af praktiske grunde er nummereret med (f), (g), (h),, (m). I besvarelsen må man ikke citere teksten fra de enkelte delopgaver, men man skal lave en klar opdeling af besvarelsen i otte afsnit, med overskrifterne (f), (g), (h),, (m). Alle fire eksaminatorietimer i uge 1 er reserveret til at arbejde med projektet. Instruktorerne er til rådighed i eksaminatorietimerne, og caféværterne i caféens åbningstid, men de har bestemt ikke pligt til at hjælpe derudover. Instruktorernes og caféværternes hjælp må ikke omfatte de fakto besvarelse af konkrete delopgaver fra projektet. I stedet opfordres de til at hjælpe ved at vise, hvordan en beslægtet problemstilling kan løses. Jeg indrømmer dog, at det er vanskeligt at trække en meget præcis grænse for såvel hjælpens omfang som dens art. Den ideelle besvarelse er kort og præcis. Tre til fem sider (evt. plus bilag med figurer) bør være nok, i hvert fald hvis der er tale om printede sider. Aflevering i pæn, læselig og ordentlig håndskrift accepteres, men her er det naturligvis svært at give et normalt antal sider. Udover matematisk korrekthed lægges der ved bedømmelsen vægt på en overbevisende skriftlig fremstilling. Maple og/eller lommeregner må gerne anvendes, fx til at differentiere, til at bestemme integraler og til at fremstille figurer. 1
1. Fourier cosinuspolynomier for lige funktioner Der forudsættes fortrolighed med begreberne lige og ulige funktioner f : ( a, a) R og periodiske funktioner h : R R, i et omfang svarende til Calculus I projektet fra efteråret 008. Det er formålet med afsnittet at illustrere, at en pæn lige funktion g : ( L, L) R kan approksimeres med såkaldte cosinuspolynomier, dvs kombinationer af formen C n (x) = b 0 + b 1 cos(kx) + b cos(kx) + b 3 cos(3kx) + + b n cos(nkx). (1) Her er k = π L og koefficienterne b j er givet ved formlen b j = 1 L L L g(x) cos(jkx)dx. () I eksaminatorierne bør I undersøge mindst forskellige lige funktioner defineret på intervallet [ 1, 1], fx taget fra en (eller begge) af følgende familier af funktioner h 1, h, h 3,, p 1, p, p 3,, hvor h m (x) = 0 1 x 1 m m m x 1 < x < 1 (3) m m 1 0 x 1 m p m (x) = m π e m x / 1 x 1. (4) Grafer for h (x) og p 5 (x) er inkluderet som bilag 1 i denne projektbeskrivelse. For hver af de to funktioner bør I udregne det tilhørende cosinuspolynomium for mindst 3 forskellige værdier af n 1, og I bør tegne funktionens graf og graferne for de tre cosinuspolynomier, gerne med alle fire grafer i samme figur. Forhåbentlig vil det fremgå, at når n vokser, så bliver approksimationen bedre. (f) I projektrapporten afleveres (kun) behandlingen af 1 af de to funktioner sammen med 3 af dens cosinuspolynomier, inklusive grafer.
. Varmeligningen med randbetingelse Et randværdiproblem er specificeret af en partiel differentialligning som gælder i et domæne, (fx. intervallet [ L, L]), samt af nogle matematiske relationer som løsningen skal opfylde ved domænets rand. Disse relationer kaldes randbetingelser. Her betragtes følgende randværdiproblem T t (x, t) = T (x, t), (5) x T (±L, t) = 0. (6) x For at løse dette problem søges der i første omgang efter løsninger af formen hvor τ og ξ er funktioner af en variabel. T (x, t) = τ(t) ξ(x) (7) (g) Vis (idet I ignorerer den kendsgerning, at τ og/eller ξ kunne ske at blive nul en gang imellem) at ligning (7) giver en løsning til ligning (5) såfremt der findes en konstant λ, så at τ (t) τ(t) = ξ (x) ξ(x) = λ og ξ (±L) = 0. (8) Dette giver en første ordens differentialligning for τ(t) og en anden ordens differentialligning (med randbetingelser) for ξ(x). (h) Find, for vilkårligt λ, de generelle løsninger for τ(t) og ξ(x), idet der i første omgang ses væk fra randbetingelserne. (i) Vis, at randbetingelserne, ligning (6), for λ > 0 kun kan opfyldes med ξ(x) = 0 for alle x. En kedelig løsning som ignoreres i det videre. For λ 0, sættes λ = Ω hvor Ω 0. (j) Vis, at randbetingelserne i dette tilfælde tillader to typer løsninger på problemet, nemlig Ω = p π L, τ(t) = Ce Ωt, ξ(x) = A cos(ωx), (9) Ω = (p + 1 ) π L, τ(t) = Ce Ωt, ξ(x) = B sin(ωx). (10) I begge tilfælde er p et vilkårligt heltal 0, mens A, B, C er vilkårlige reelle tal. I det videre skal I kun bruge løsninger svarende til (9). Her sætter man ligesom i afsnit 1, k = π. Med A = C = 1 bliver de endelige løsninger L T p (x, t) = e p k t cos(pkx), p = 0, 1,, 3,... (11) Bemærk dog, at disse løsninger er udledt under den (urealistiske) antagelse, at ξ(x) 0 overalt. Af den grund bør besvarelsen af dette afsnit sluttes med (k) Vis, at funktionerne T p (x, t) faktisk er løsninger til randværdiproblemet givet ved (5) og (6). 3
3. Løsning til randværdiproblemet med given begyndelsesbetingelse Ofte betragtes der udover en randbetingelse også en begyndelsesbetingelse, dvs en betingelse af formen T (x, 0) = g(x), L x L, (1) hvor g(x) er en given funktion. Den samlede problemstilling omfatter altså nu de tre ligninger (5), (6) og (1). En udvidelse af overvejelserne i afsnit 1 til cosinuspolynomier af uendelig høj grad 1 tillader opskrivning af den præcise løsning til problemstillingen, når g er en lige funktion. Her vil vi dog nøjes med at vise, hvordan man kan løse problemet, når funktionen g(x) er et cosinuspolynomium. (l) Lad stadig k = π, og lad g(x) være givet ved L Vis, at g(x) = b 0 + b 1 cos(kx) + b cos(kx) + b 3 cos(3kx) + + b n cos(nkx). (13) T (x, t) = b 0 + b 1 T 1 (x, t) + b T (x, t) + + b n T n (x, t) (14) er en løsning til rand- og begyndelsesværdiproblemet givet ved ligningerne (5), (6) og (1). (m) Beskriv, hvad der sker med denne løsning for t. 1 Mere præcist: Uendelige rækker af formen b0 + Σ p=1b p cos(pkx). Sådanne uendelige rækker, som i det generelle tilfælde også kan inkludere uendelig mange led med sinus-funktioner, kaldes Fourier-rækker. De er opkaldt efter den franske matematiker Joseph Fourier (1768-1830), som udviklede deres teori i et studium af netop varmediffusion, og som også var den, der først opstillede ligningen (5). 4
Figure 1: Grafer for funktionerne h (x) og p 5 (x) 5
Kvitteringsformular Vil du have en kvittering for din aflevering skal du medbringe denne formular til IMADAs kontor i udfyldt stand. Navn: CPRnr. (første 6 cifre): Eksaminatoriehold: Afleveringsdato: har ovennævnte dato afleveret en projektrapport for kurset MM50 til IMADA. For IMADA: Lone Seidler Petterson eller Hans J. Munkholm Underskrift: 6