Thomas Kaas Heidi Kristiansen. Gyldendal MATEMATIK KOPIMAPPE

Thomas Kaas Heidi Kristiansen 8 KO L O R I T Gyldendal MATEMATIK KOPIMAPPE

Thomas Kaas Heidi Kristiansen KOLORIT 8 Gyldendal

KOLORIT 8 KOLORIT 8 MATEMATIK KOPIMAPPE 1. udgave, 1. oplag 2011 2011 Gyldendal A/S, København Forlagsredaktion: Trine Juhler Vinther Grafisk tilrettelæggelse: Connie Thejll Jakobsen Omslag: Connie Thejll Jakobsen Tegninger: Kasper Bæk Jørgensen, Figuramus Fotos: Colourbox: s. 20, 88, 38, 95, 97, 117øh, 117mh, 117nh, 120mv, 123mh, 132mv, 135. Polfoto/Miriam Dalsgaard. s. 34. Scanpix/Torben Huss: s. 35. Søren Lundberg: Alle øvrige. Prepress: Narayana Tryk: Scandinavian Book A/S, Århus ISBN: 978-87-02-03015-0 Kopiering fra denne bog er tilladt. Til Kolorit 8. klasse hører: Kolorit 8 matematik grundbog Kolorit 8 matematik lærerens bog Kolorits hjemmeside: www.kolorit.gyldendal.dk www.gyldendal-uddannelse.dk

Indhold Indledning...s. 4 Kopiark knyttet direkte til Kolorit 8 matematik grundbog...s. 6 Kopiark til 8 af grundbogens kapitler Tal og regning.......................................s. 11 Geometriske eksperimenter...s. 23 Funktioner og ligninger...............................s. 33 Undersøgelser af trekanter............................s. 43 Læs matematik...s. 53 Hvad siger statistikken?...s. 73 Tal og algebra.......................................s. 83 Vækst...s. 93 Serviceark...s. 103 Matematiske færdigheder opgavesæt....................s. 111

INDLEDNING Kolorit 8 kopimappe indeholder opgaver, der giver eleverne mulighed for at arbejde med både problemløsning og færdigheder. Kopimappen er knyttet til Kolorit 8 matematik grundbog, men kan også anvendes i den daglige undervisning i matematik uafhængigt af lærebogssystem samt på andre klassetrin. Indhold Kopimappen er inddelt i fire afsnit: 1 Kopiark knyttet direkte til Kolorit 8 matematik grundbog 2 Kopiark til 8 af bogens kapitler: Tal og regning Geometriske eksperimenter Funktioner og ligninger Undersøgelser af trekanter Læs matematik Hvad siger statistikken Tal og algebra Vækst 4 Serviceark 5 Matematiske færdigheder opgavesæt Om de enkelte afsnit Kopiark knyttet direkte til Kolorit 8 matematik grundbog Kopimappen indledes med 2 kopiark, som er direkte knyttet til arbejdet med enkelte opgaver i grundbogen. Fra grundbogen henvises der i opgaveteksten direkte til disse kopiark. Kopiark til 8 af grundbogens kapitler Til 8 af grundbogens kapitler findes der 9-19 kopiark. Til højre er vist et eksempel på et kopiark til kapitlet Tal og algebra. Kopiarkenes indhold varierer mellem opgaver af problemløsende karakter og opgaver, der sigter på færdigheder. Flere kopiark er sat ind i en kontekst, som eleverne kan relatere til. Eleverne kan arbejde selvstændigt med opgaverne, men tekstopgaver med problemløsning kan med fordel anvendes i forbindelse med gruppearbejde. Bemærk, at nogle af kopiarkene til Læs matematik samtidig er knyttet til Hvad siger statistikken?. Kopiarkets titel Titlen øverst på siden angiver, hvilket matematisk område siden handler om. Nummeret angiver, at der er flere sider om samme matematiske område, dette er fx side 2 om Kvadrater i et mønster. KOPIARK 67 KvAdRAteR I et mønster (2) Du skal arbejde med, hvordan et mønsters udvikling kan generaliseres. Mønstret er sat sammen af to forskellige kvadrater. 1 Figur 1 Figur 2 Figur 3 1 Udfyld skemaet ved at undersøge, a hvor mange små kvadrater der er i hver figur. b hvor mange store kvadrater der er i hver figur. c hvor mange trekanter der er i hver figur. d hvor mange skæringspunkter der er i hver figur. e hvor stor figurens areal er. Figur 1 2 3 4 5 6 10 n antal små kvadrater antal store kvadrater antal trekanter antal skæringspunkter 2 1 6 5 areal 3 2 beregn sidelængden i det store kvadrat. 3 Udfyld skemaet ved at beregne omkredsen af hver figur. Kopiarksnummer Figur 1 2 3 4 5 6 10 n 1 omkreds 4 + 2 2 87 Kolorit 8 tal og algebra Kapiteloverskrift 4 KOLORIT 8 INDLEDNING

INDLEDNING Til hvert af de 8 kapitler er der lavet en vejledende oversigt til læreren (se eksemplet nederst på denne side), der indeholder: Indhold og kommentarer: I stikordsform gives et overblik over de faglige begreber på kopiarket samt enkelte kommentarer til nogle af opgaverne. Det kan være forhold, der er væsentlige at være opmærksom på i forbindelse med arbejdet med opgaverne, forslag til differentieringsmuligheder m.m. Vejledende sværhedsgrad: Kopiarkene er tænkt i niveauerne A, B og C, hvor A er det letteste, og C er det sværeste. Det betyder, at flere af arkene kan omhandle samme faglige begreber, men på forskellige niveauer. Angivelsen af niveau skal ses som vejledende. Det er således ikke tanken, at alle elever nødvendigvis skal arbejde med alle kopiarkene. De forskellige niveauer gør det muligt at differentiere inden for de forskellige områder. Bemærk, at det kan være forskelligt fra område til område, hvilket niveau der vil være aktuelt for den enkelte elev. Ikke alle dele af de faglige områder er repræsenteret på alle tre niveauer. Tilknytning til grundbogen: Her angives, hvilken side i grundbogen kopiarket kan knyttes til. Serviceark Her findes mm-papir, isometrisk papir, prikpapir, kvadratpapir og sømbrætpapir. Matematiske færdigheder opgavesæt Bagerst i kopimappen findes 8 opgavesæt, der kan bruges i arbejdet med færdigheder. Hvert sæt består af 3 sider med i alt 50 opgaver, der bør besvares uden brug af lommeregner. Opgavesættene svarer i opbygning og opgavetyper til færdighedsdelen ved den skriftlige afgangsprøve i matematik efter 9. klasse. Der er tænkt en progression i sættene. Opgavesæt 1 er således lettere end opgavesæt 8 svarende til den progression, der også ligger i Kolorit 8 matematik grundbog. Facitliste På Kolorits hjemmeside www.kolorit.gyldendal.dk kan der down loades facitliste til kopiarkene og til opgavesættene med færdighedsregning. Kopiark LÆRERVEJLEDNING Kongruente trekanter Ligedannede trekanter (1)? Kopiarkets titel Ligedannede trekanter (2)? Sidelængder i ligedannede trekanter Find ens vinkler Højder der ikke kan måles Brug Pythagoras sætning (1) Indhold og kommentarer Indhold og kommentarer Brug Pythagoras sætning (2) Brug Pythagoras sætning (3) UNDERSØGELSER AF TREKANTER siden giver eleverne mulighed for at øve navngivning af trekanter og for at finde ens vinkler og ensliggende sider i to kongruente trekanter. eleverne skal bruge lineal og vinkelmåler i arbejdet. eleverne finder ligedannede trekanter ud fra oplysninger om vinkler og sidelængder. trekanterne kan evt. konstrueres og tjekkes i et geometriprogram. opgaven kan udvides med, at eleverne finder målestoksforholdet eller forstørrelsesfaktoren mellem de ligedannede trekanter. eleverne undersøger fem påstande om ligedannede trekanter. for mange elever vil det være en fordel først at undersøge påstandene ved at prøve sig frem, fx ved at tegne i et geometriprogram. det undersøgende arbejde kan tænkes at støtte deres argumentation for, om de opdagelser, de gør, gælder generelt. Ved at udnytte deres viden om ensliggende sider i ligedannede trekanter kan eleverne ræsonnere sig frem til sidelængderne på de trekanter, som er tegnet på siden. opgave 2 kan differentieres ved at skærpe udfordringen, fx: kan du tegne trekanten, så den bliver den næststørste på siden? På denne side får eleverne mulighed for at bruge deres viden om topvinkler og vinkler ved parallelle linjer. nogle elever kan evt. have glæde af at undersøge figurerne ved at tegne lignende figurer i et geometriprogram, der kan angive vinkelstørrelserne. andre elever kan ræsonnere sig frem til facit på baggrund af deres indsigt. eleverne får her mulighed for at forbinde det teoretiske arbejde med topvinkler, ensliggende vinkler og ligedannede trekanter med situationer fra virkeligheden. teorien bruges til at finde højder, der ikke kan måles direkte. Bemærk, at det også kan være en mulighed at tegne figurerne i målestoksforhold, måle de ønskede højder og omregne til virkelighedens mål. Pythagoras sætning skal her bruges til at finde sidelængder på retvinklede trekanter og arealer på sidernes kvadrater. Bemærk, at eleverne i nogle af delopgaverne skal finde længden af en katete på grundlag af mål på en anden katete og hypotenusen. På den måde arbejder de samtidig med en form for ligningsløsning, der her er støttet af illustrationerne. eleverne benytter Pythagoras sætning til at finde mål i forskellige plane og rumlige figurer. opgaven kan evt. udvides med, at eleverne beregner arealet af de plane figurer og rumfanget af de rumlige figurer. siden rummer tre udfordrende opgaver, som kræver brug af bl.a. Pythagoras sætning. Hvis opgaverne skal bruges med sigte på problemløsning og ræsonnement, skal eleverne løse dem udelukkende med regnetekniske hjælpemidler, men det er også en mulighed at sigte på hjælpemiddelkompetencen og lade eleverne løse dem ved hjælp af et geometriprogram. Kapiteloverskrift Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 8 matematik grundbog a side 68 Tilknytning til a side 68 grundbogen B side 68 C side 68 B side 70-71 C side 70-71 a side 74-75 Vejledende sværhedsgrad B side 74-75 C side 74-75 43 kolorit 8 undersøgelser af trekanter 5 KOLORIT 8 INDLEDNING

Kopiark knyttet direkte til Kolorit 8 matematik grundbog

KOPIARK 1 BEVIS FOR PYTHAGORAS SÆTNING 71 KOLORIT 8 PYTHAGORAS OG PYTHAGORÆERNE

KOPIARK 2 FIGURTAL 3-kant 1 3 6 10 4-kant 1 4 9 16 5-kant 1 5 12 22 6-kant 7-kant 8-kant 9-kant 10-kant 28 KOLORIT 8 PYTHAGORAS OG PYTHAGORÆERNE

LÆRERVEJLEDNING TAL OG REGNING Kopiark Tal i mængder Det Døde Hav Spil med terninger (1) Spil med terninger (2) Decimaltal Negative tal Mount Everest (1) Planeter og måner Indhold og kommentarer På siden arbejder eleverne med de naturlige tal, de hele tal og de rationale tal og deres placering på tallinjen og i mængder. Det Døde Hav danner ramme om arbejdet med negative tal og procent. Gennem arbejdet kan eleverne erfare, hvordan tal kan bruges til at beskrive vores omverden. Gennem spil med terninger arbejder eleverne med de rationale tal og med at finde summen af decimaltal. Hver spiller skal bruge et kopiark. Spillene har fokus på cifrenes værdi i vores positionssystem. Eleverne skal vurdere, hvor i tabellen det bedst kan betale sig at skrive tallet, hver gang der er kastet med terningen/terningerne. Det kan derfor være en idé at regne undervejs. Eleverne kan selv være med til at udvikle lignende spil, hvor det handler om at komme tættest på et andet tal. En anden mulighed er at udvide antallet af decimaler, så fx tusindedele også bringes i spil. Tabellerne med et felt til hvert ciffer støtter elevernes talforståelse og gør dette kopiark lidt lettere end Spil med terninger (2). Gennem spil med terninger arbejder eleverne med de rationale tal og at finde summen af decimaltal. Hver spiller skal bruge et kopiark. Spillene har fokus på cifrenes værdi i vores titalssystem. Eleverne skal vurdere på hvilken position, det bedst kan betale sig at lade tallet optræde. Det kan være en idé at regne undervejs. Eleverne kan selv være med til at udvikle lignende spil, hvor det handler om at komme tættest på et andet tal. I opgave 1 skal eleverne vurdere decimaltals størrelse i forhold til hinanden. Der er fokus på de enkelte cifres værdi. For en elev med manglende forståelse for positionssystemet er det nærliggende at svare 0,3 < 0,21. Opgave 2 har fokus på brøker, decimaltal og division. Resultatet er kendt, og enten divisor eller dividend skal beregnes. Bemærk, at dette for mange er sværere end at beregne et resultat. Mange elever vil opleve det som udfordrende at skulle dividere med et decimaltal mindre end 1. Eleverne kan evt. bruge lommeregner. I opgave 3 arbejder eleverne med decimaltal og de fire regningsarter. Eleverne arbejder med de negative tal og de fire regningsarter. Opgave 1 sætter fokus på minus gange minus og en ret linje i koordinatsystemet bruges som eksempel på, hvorfor det giver mening, at minus gange minus giver plus. Eleverne skal bruge matematik især procentregning til at beskrive forhold knyttet til Mount Everest. Opgaverne er et eksempel på, hvordan vi kan bruge matematik til at beskrive virkeligheden. I opgave 1 må eleverne foretage cirkaberegninger det er meningen og en realistisk måde at anvende matematik på. Opgaverne sætter fokus på store tal og videnskabelig skrivemåde. Eleverne arbejder derfor med tierpotenser. Eleverne kan arbejde videre med området ved selv at søge flere informationer om de nævnte eller andre planeter og måner. De kan sammenligne deres masse, diameter, rumfang, afstande til hinanden m.m. Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 8 matematik grundbog A Side 2-3 B Side 4 A Side 5 B Side 5 C Side 5 A Side 6 B Side 9 B Side 11 11 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

LÆRERVEJLEDNING tal og regning Regn med seks tal Med udgangspunkt i seks tal bestående af cifrene 0 og 1 arbejder eleverne med de fire regningsarter, videnskabelig skrivemåde, brøker og decimaltal. Arbejdet med siden kan udvides ved at lade fx seks andre tal være udgangspunktet for arbejdet. B Side 15 12 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 3 Tal i mængder 1 Placer tallene i de mængder, de hører til. -5 19 2 1 2 2,75 0 4 0,19 100000-1 -19-100 - 1 5 8 10 15 20 1-17 25 100,01-13,5-0,6 Q N Z 4-5 2 Placer tallene mellem -1 og 1 fra opgave 1 på tallinjen. 1 0 1 3 Skriv fem tal, der er a mindre end 1 og større end 1 2. b større end 10 og mindre end 11. 13 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 4 Det Døde Hav 1 Overfladen af indsøen, Det Døde Hav, er ca. 411 m under havets overflade. Det er det lavest beliggende sted på Jorden. Mount Everest er ca. 8848 m højt og det højeste bjerg på Jorden. a Forklar, hvorfor regneudtrykket 8848 m (-411 m) kan bruges til at beregne højdeforskellen mellem Mount Everest og Det Døde Hav. Det Døde Hav b Beregn højdeforskellen mellem Mount Everest og Det Døde Hav. 2 Genesaret Sø i Israel ligger ca. 210 meter under havets overflade. Skriv et regneudtryk, der kan bruges til at beregne højdeforskellen mellem Det Døde Hav og Genesaret Sø, og beregn denne højdeforskel. 3 I Illustreret Videnskab kan man læse: Det Døde Hav, som trods navnet er en indsø, indeholder 33 pct. salt. Vis med en beregning, at det svarer til 330 gram salt pr. liter vand i Det Døde Hav. 1 L vand vejer 1 kg 4 Luftfugtigheden ved Det Døde Hav er kun ca. 50 %, dvs. luften indeholder 50 % af den vanddamp, den højst kan rumme. Skemaet viser, hvor meget vanddamp luften kan rumme ved forskellige temperaturer, når luftfugtigheden er 100 %. Temperatur i C g vanddamp pr. m 3-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 2,3 3,4 4,8 6,8 9,4 12,8 17,3 23,0 30,4 39,6 51,1 Hvor mange gram vanddamp pr. m 3 indeholder luften ved Det Døde Hav, hvis temperaturen en a sommerdag er ca. 35 C b vinterdag er ca. 20 C? 14 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 5 Spil med terninger (1) Du kan spille sammen med én eller flere andre. I skal skiftes til at kaste med én terning. 1 Hvem kommer tættest på 10? Kast med en terning. Skriv værdien af terningens øjne i et af de tolv felter i tabellen. Når I alle har kastet tolv gange hver, har I hver fire tal med to decimaler. Beregn summen af de fire tal. Den, der har en sum tættest på 10, har vundet. Prøv igen! 1. spil: 2. spil: Enere Tiendedele Hundrededele Enere Tiendedele Hundrededele,,,,,,,, Sum: Sum: Du kan spille sammen med én eller flere andre. I skal skiftes til at kaste med to terninger. 2 Hvem kommer tættest på 100? Kast med to terninger. Skriv øjnenes værdi for hver af de to terninger på to af pladserne i en række. Vælg selv hvor. I rækkens to andre felter skriver du 0. Når I alle har kastet fem gange hver, har I hver fem tal med to decimaler. Beregn summen af de fem tal. Den, der har en sum tættest på 100, har vundet. Prøv igen! Eksempel: Kast Tiere Ener Tiendedele Hundrededele 1 1 0, 5 0 Kast Tiere Enere Tiendedele Hundrededele 1, 2, 3, 4, 5, Sum 15 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 6 Spil med terninger (2) Du kan spille sammen med én eller flere andre. I skal skiftes til at kaste med to terninger. 1 Hvem kommer tættest på 10? Kast to terninger. Beregn summen af terningernes øjne. Vælg, om summen skal være enere, tiendedele eller hundrededele. Skriv tallet i tabellen. Find summen af tallene i tabellen, når alle har kastet fire gange. Det gælder om at komme så tæt på 10 som muligt. Prøv igen! Eksempel: Summen er 3 + 5 = 8. Vælg, om det skal gælde for 8; 0,8 eller 0,08. Skriv tallet i tabellen. Kast Tal 1 0,8 1. spil 2. spil 3. spil Kast Tal Kast Tal Kast Tal 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 Sum Sum Sum 2 Spil igen, hvor I beregner produktet af terningernes øjne i stedet for summen. 1. spil 2. spil 3. spil Kast Tal Kast Tal Kast Tal 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 Sum Sum Sum 16 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 7 Decimaltal 1 Sæt <, > eller = a 0,3 0,21 b 0,3 0,30 c 0,299 0,3 d 4,59 4,590 e 17,1 17,09 f -2,3-2,29 g -8,2-8,02 h -17-17,0 i - 11,11-11, 011 j -0,1-0,09 2 Skriv et tal i hver firkant, så resultatet bliver tallet i midten. 0,4 : 1 40 0,5 : 1-50 4 2 01, 4 2-0, 1 92 : : 2,5 001, -12,5 : : -2 001, 3 Beregn summen. a 2,3 + 4,5 = b 17,7 + 2,2 = c 43,1 + 2,8 = d 6,8 + 4,7 = e 6,25 + 9,3 = f 12,75 + 5,06 = g 123,45 + 0,17 = h -5,8 + 4,2 = i -10,1 + 1,1 = 4 Beregn differensen. a 14,8 6,3 = b 8,2 2,8 = c 4,3 3,4 = d 10,25 6,8 = e 17,79 7,80 = f 15,6 10,93 = g 14,03 14,3 = h -10,4 2,5 = i -8,01 1,08 = 5 Beregn produktet/kvotienten. a 2,3 100 = b 3,7 2 = c 7 0,3 = d 7,2 3,2 = e 10,5 : 2 = f 24,8 : 4 = g 0,64 : 8 = h 18 : 4,5 = i 8,8 : 2,2 = 17 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 8 Negative tal 1 Udfyld tabellen (-5) x Resultat (-5) 3 (-5) 2 y = 5x 20 15 y (-5) 1 (-5) 0 (-5) (-1) (-5) (-2) (-5) (-3) (-5) (-4) 10 5-4 -3-2 -1 1 2 3 4-5 -10 x -15 2 Forklar ud fra tabellen og grafen, hvilken mening det giver, at minus gange minus giver plus. 3 Skriv mindst to regneudtryk med minus, hvor 32 er a summen. b differensen. c produktet. d kvotienten. 4 Skriv mindst to regneudtryk med minus, hvor -24 er a summen. b differensen. c produktet. d kvotienten. 18 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 9 Mount Everest (1) Mount Everest er det højeste bjerg på Jorden. Billedet viser de camps, der er på vej op ad bjerget. En tommelfingerregel siger, at temperaturen falder ca. 6,5 C for hver 1000 meters højde. På toppen af Mount Everest er temperaturen altid under frysepunktet. I januar er temperaturen i gennemsnit -36 C. 1 Hvor høj er temperaturen i januar ca. ved a Camp IV? b Camp III? c Camp II? Camp IV 7900 m Camp III 7300 m Camp II 6500 m Camp I 6100 m d Camp I? e Basecamp? f havoverfladen? Basecamp 5300 m 2 Ved havoverfladen består atmosfæren af ca. 79 % kvælstof og 21 % ilt. På toppen af Mount Everest er iltindholdet faldet til ca. en tredjedel. Man kan kun overleve få dage i denne dødszone. Hvor mange % ilt består atmosfæren af på toppen? 3 Fra 1921 2006 omkom 212 mennesker på bjerget. Det svarer til 1,3 % af de mennesker, der forsøgte at nå toppen. Hvor mange forsøgte at bestige Mount Everest fra 1921 2006? 4 113 klatrere døde pga. styrt, 52 døde af højdesyge og forfrysninger, og resten døde af andre årsager. Hvor stor en procentdel af de døde omkom pga. a styrt? b højdesyge og forfrysninger? c andet? 19 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 10 Planeter og måner Jorden Månen Radius 12 756 km 1737,4 km Masse 5970 000 000 000 000 000 000 000 kg 73 480 000 000 000 000 000 000 kg Massefylde 5515 kg/m 3 3,34 g/cm 3 Kilde: www.tycho.dk 1 Omskriv til videnskabelig skrivemåde: a Jordens masse: b Månens masse: 2 Den gennemsnitlige afstand mellem Jorden og Månen er ca. 384 400 km. Hvor mange gange er afstanden større end a Jordens diameter? b Månens diameter? 3 Beregn a Jordens rumfang. b Månens rumfang. Jupiter har 63 kendte måner. Skemaet viser en oversigt over de ti måner, der blev opdaget først, og den der er opdaget senest. 4 Hvilken af månerne er a størst? b tættest på Jupiter? c længst væk fra Jupiter? 5 Hvor stor er forskellen på den gennemsnitlige afstand mellem den måne, der blev opdaget først og senest? Navn Opdaget Diameter i km Gennemsnitlige afstand til Jupiter i km Io 1610 3643 421 800 Europa 1610 3122 671 100 Ganymede 1610 5262 1 070 400 Callisto 1610 4821 1 882 700 Amalthea 1892 168 181 400 Himalia 1904 160 11 461 000 Elara 1905 78 11 741 000 Pasiphae 1908 58 23 624 000 Sinope 1914 38 23 939 000 Lysithea 1938 38 11 717 000 S/2003 J23 2003 2 24 056 000 Kilde: www.tycho.dk 20 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

KOPIARK 11 # Regn med seks tal 0,01 1 0,1 100 10 0,001 1 Hvilke to tal giver a den største sum? b den mindste sum? c det største produkt? d det mindste produkt? 2 Skriv tallene øverst med videnskabelig skrivemåde. 3 Brug tallene øverst, og skriv forskellige regneudtryk med resultatet a 1 b 0,1 4 Hvilke af tallene øverst kan du skrive i tæller og nævner, så kvotienten bliver a størst mulig? b mindst mulig? 5 Skriv de seks tal øverst i hver sin ramme, så summen af brøkerne bliver a størst mulig. + + = b mindst mulig. + + = 21 KOLORIT 8 TAL OG REGNING

LÆRERVEJLEDNING Geometriske eksperimenter Kopiark Forskellige konstruktioner Undersøg linjer i en trekant Midtpunkter i trekanter og firkanter Midtpunkter og arealberegninger Midtpunkter i sekskanter (1) Midtpunkter i sekskanter (2) Glarmesteren, kunstneren og gartneren Indskrevne og omskrevne cirkler Geometrikunst Indhold og kommentarer Eleverne arbejder med at konstruere midtnormaler og vinkelhalveringslinjer. Eleverne skal undersøge fem påstande omkring linjer i trekanter. Eleverne skal selv tegne de trekanter, som de vil tage udgangspunkt i. Det er en fordel at bruge et geometriprogram til undersøgelsen. Som differentieringsmulighed kan eleverne undersøge, om deres resultater gælder for alle trekanter. Gælder det fx for spidsvinklede trekanter? For retvinklede trekanter? For stumpvinklede trekanter? På siden arbejder eleverne med at sammenligne arealet af en indre trekant med arealet af en ydre trekant. Tilsvarende med udgangspunkt i et kvadrat. Midtpunkterne på figurernes sider kan konstrueres som skæringspunktet mellem siden og dennes midtnormal. Brug evt. et geometriprogram. Siden har fokus på arealet af figurer i kvadrater. Eleverne kan med fordel anvende deres erfaringer med midtpunktstransversalen i en trekant, grundbogen side 20, og erfaringerne med midtpunkter i firkanter, grundbogen side 21. På siden arbejder eleverne med at sammenligne arealet af indre sekskanter med arealet af ydre sekskanter. Midtpunkterne på figurernes sider kan konstrueres som skæringspunktet mellem siden og dennes midtnormal. Brug evt. et geometriprogram. Eleverne skal argumentere for, at forholdet mellem en indre regulær sekskant og en ydre regulær sekskant er 3 4. Fokus er således på elevernes ræsonnementskompetence. De enkelte delopgaver skal hjælpe eleverne i deres argumentation. I opgave 1 kan eleverne bruge deres erfaringer fra side 21 i grundbogen. Det vil være en udfordrende side for mange elever. Med udgangspunkt i tre forskellige problemstillinger arbejder eleverne med skæringspunktet mellem midtnormaler, mellem medianer og mellem vinkelhalveringslinjer i en trekant. Eleverne må bygge deres rådgivning til glarmesteren, kunstneren og gartneren på matematisk argumentation. Siden sætter fokus på, hvor en omskreven cirkels centrum og en indskreven cirkels centrum er placeret i forhold til trekanten. Brug evt. et geometriprogram til opgaverne. Siden sætter fokus på midtnormaler, medianer og vinkelhalveringslinjer. Eleverne skal identificere, hvilke konstruktioner der ligger bag linjestykker på en tegning, og de skal selv konstruere linjestykker. Som en differentieringsmulighed kan eleverne selv fremstille geometrikunst evt. i et geometriprogram, hvor de forskellige linjer og cirkler kommer i spil. Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 8 matematik grundbog A Side 19 A Side 19 A Side 20 B Side 21 A Side 21 C Side 21 B Side 27 B Side 29 A Side 31 23 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 12 1 Tegn de punkter, der ligger a lige langt fra A og B. b lige langt fra A, B og C. c 3 cm fra A. Kan det tegnes? C C B B A A 2 Tegn a de punkter, der ligger lige langt fra linjestykket AB, og de punkter der ligger lige langt fra linjestykket AC. b vinkelhalveringslinjen til vinkel C. B B C C A A 3 Tegn en trekant, hvor en af sidernes midtnormal også er en højde i trekanten. 24 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 13 Undersøg linjer i en trekant 1 Undersøg hver af de fem påstande. Brug gerne et geometriprogram. Påstand 1: En trekants midtnormaler skærer hinanden i det samme punkt. Påstand 2: En trekants medianer skærer hinanden i det samme punkt. Påstand 3: En trekants vinkelhalveringslinje skærer hinanden i det samme punkt. Påstand 4: En trekants højder skærer hinanden i det samme punkt. Påstand 5: Det kan umuligt lade sig gøre at tegne en trekant, hvis midtnormaler, media - ner, vinkelhalveringslinjer og højder alle skærer hinanden i samme punkt. 25 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 14 Midtpunkter i trekanter og firkanter 1 Brug evt. et geometriprogram til denne side. B Tegningen viser en tilfældig trekant. C B a Tegn midtpunkter på hver af trekantens sider. b Tegn linjestykker mellem midtpunkterne. A c Undersøg forholdet mellem arealet af den indre trekant og arealet af den ydre trekant. C A d Tegn midtpunkter på hver af den indre trekants sider, og tegn linjestykker mellem midtpunkterne. e Undersøg forholdet mellem arealerne af de to indre trekanter. C B f Hvad er forholdet mellem arealet af den inderste trekant og arealet af den yderste trekant? g Gælder det for alle trekanter? 2 Tegn to indre firkanter i kvadratet, lige som du gjorde med trekanten i opgave 1. D C A B a Hvad er forholdet mellem arealet af det inderste kvadrat og arealet af det yderste kvadrat? b Gælder det for alle kvadrater? D A 26 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 15 Midtpunkter og arealberegning Hvert af kvadraterne har arealet 1. 1 Find arealet af hvert af de farvede områder. 27 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 16 Midtpunkter i sekskanter (1) 1 Brug evt. et geometriprogram til denne side. Tegningen viser en regulær sekskant. D a Tegn midtpunkter på hver af seks kantens sider. b Tegn linjestykker mellem midtpunkt erne. C 2 Undersøg forholdet mellem arealet af den indre sekskant og arealet af den ydre sekskant. E B F 3 Tegn mindst to andre sekskanter, der ikke er regulære. A 4 a Konstruer i hver sekskant en indre sekskant. b Undersøg for hver sekskant, om forholdet mellem arealet af den indre sekskant og arealet af den ydre sekskant er det samme, som du fandt i opgave 2. 28 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 17 Midtpunkter i sekskanter (2) Tegningerne viser to regulære sekskanter. Den indre sekskant er tegnet ud fra midtpunkter på den ydre sekskants sider. M er midtpunkt på linjestykket BE. Du skal argumentere for, at forholdet mellem arealet af den indre sekskant GHIJKL og arealet af den ydre sekskant ABCDEF er 3 4. G D H C 1 Hvad er forholdet mellem arealet af firkant GHIM og firkant BCDE? E I M L B F J 2 Forklar, hvorfor arealet af trekant GMN og arealet af trekant IMO tilsammen udgør 1 af arealet af BCDE. 4 K A D H G C 3 Forklar, hvorfor arealet af figur NGHIO udgør 3 af arealet af figur BCDE. 4 E N I M L O B F J 4 Forklar, hvorfor arealet af den indre sekskant udgør 3 af arealet af den ydre 4 sekskant. K A 29 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 18 Glarmesteren, kunstneren og gartneren 1 En glarmester har fået til opgave at sætte en ny glasplade på et cafebord. Bordets ben har form som en ligesidet trekant. Oppefra ser det ud som vist til højre. Men hvor skal glaspladen placeres, så bordet får ligevægt? Forklar glarmesteren, hvordan han finder ud af, hvor bordets centrum skal placeres på trekanten. 2 En kunstner vil bruge et trekantet stykke metal i sin nye skulptur. Trekanten er vist til højre. Den skal anbringes på en pind, sådan at den har ligevægt. Men hvor skal pinden anbringes, så trekanten får ligevægt? Forklar kunstneren, hvordan han finder ud af, hvor pinden skal placeres på trekanten. 3 En gartner har fået til opgave at plante et træ på det trekantede jordstykke, der ses til højre. For at give træets rødder så meget plads som muligt, skal det anbringes, så det står så langt væk fra de omkringliggende bede som muligt. Men hvor skal træet plantes, så det får den største afstand til bedene? Forklar gartneren, hvordan han finder ud af, hvor træet skal plantes. 30 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 19 Indskrevne cirkler og omskrevne cirkler 1 Tegn den indskrevne cirkel og den omskrevne cirkel i hver af de ligesidede trekanter. 2 Forklar, hvordan centrum for den indskrevne cirkel ligger i forhold til centrum for den omskrevne cirkel i hver af trekanterne. 3 Brug evt. et geometriprogram. Tegn en trekant, hvor centrum for den omskrevne cirkel ligger a inde i trekanten. b på trekanten. c uden for trekanten. 31 kolorit 8 geometriske eksperimenter

KOPIARK 20 Geometrikunst 1 Hvilke af linjestykkerne på tegningen kan frembringes ved at tegne a midtnormaler? b vinkelhalveringslinjer? c medianer? 2 Tegn a midtpunktet på linjestykket BG. b medianerne i trekant BGH. c den indskrevne cirkel til trekant AGH. E J K C F D I G A H B 32 kolorit 8 geometriske eksperimenter

Matematiske færdigheder opgavesæt

SÆT 1 TAL & ALGEBRA 1 103 + 99 = 2 225 26 = 3 25 11 = 4 125 : 5 = Løs ligningerne. 17 15 + x = 32 x = 18 42 = 7 x x = 19 8 + 2 x = 14 x = 20 Udfyld tabellen, så den passer til grafen. Afrund til en decimal. 5 25,02 = 6 0,649 = x 0 1 6 y 4 Omskriv til decimaltal. 7 9 10 8 50 % = 9 3 4 10 5 (-3) = = = y 5 4 3 2 1 11 (-18) : 6 = 12 (-4) (-5) = 1 2 3 4 5 6 x 21 10 % af 400 kr. er = kr. 13 Afsæt 15 på tallinjen. 22 20 kr. af 100 kr. er = % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 Gennemsnittet af 8, 14, 13 og 9 er 14 10 2 10 = 15 10 2 + 10 = 16 9 + 25 = 112 kolorit 8 matematiske færdigheder opgavesæt

SÆT 1 GEOMETRI 24 Tegn et rektangel med en omkreds på 24 cm. y 6 5 A v 4 3 m 2 1 1 2 3 4 5 6 x 31 Koordinatsættet til punktet A er (, ) 32 Vinkel v er 33 Linjen m har ligningen y = 34 Trapezet har arealet cm 2 35 Spejl trapezet i linjen m. Sæt netop to krydser. 25 Trekanten er retvinklet spidsvinklet stumpvinklet ligebenet ligesidet STATISTIK OG SANDSYNLIGHED Snurretoppens fem felter har samme form og størrelse. 26 Trekantens areal er cm 2 27 Tegn en af trekantens højder. 28 230 cm = m 29 3,1 km = m 30 5,2 kg = g 36 Sandsynligheden for, at snurretoppen lander på felt nr. 3, er 37 Sandsynligheden for, at snurretoppen ikke lander på felt nr. 1, er 113 kolorit 8 matematiske færdigheder opgavesæt 38 Sandsynligheden for, at snurretoppen lander på felt nr. 5 to gange i træk, er

SÆT 1 MATEMATIK I ANVENDELSE 39 Hvor kraftig vind forventes søndag? 40 Hvilke ugedage forventes temperaturen ikke at komme op på 20? 41 Hvilken forskel forventes mellem den højeste og den laveste temperatur i perioden? 21:00 TV AVISEN 21:25 Sporten 21:30 Miss Marple: Mordet i præstegården Engelsk krimi fra 2004 23:05 Bibelmysteriet 00:35 OBS 00:40 Talismanen 01:25 Godnat Kl. er 19:30. 42 Hvor lang tid er der, til TV AVISEN begynder? 43 Filmen med Miss Marple varer min. Frederikke tjener 60 kr. i timen. 46 På 3 timer og 30 minutter tjener hun 47 For at tjene 900 kr. skal hun arbejde Kortet viser øen Anholt. 48 På det længste sted er Anholt ca. 2 km kr. timer km lang. 49 Arealet af Anholt er ca. km 2 En pakke med 50 g gær koster 1,25 kr. 44 For 5 kr. kan man få pakker gær. 45 Gær koster kr. pr. kg I Danmark boede der i 2010 ca. 5,5 mio. mennesker. I Frankrig boede der i 2010 ca. 12 gange så mange mennesker som i Danmark. 50 I Frankrig boede der ca. mennesker. 114 kolorit 8 matematiske færdigheder opgavesæt

SÆT 2 TAL & ALGEBRA 15 Sæt ring om de tal, 5 går op i. 1 303 + 147 = 52 210 118 185 2 494 95 = 3 11 31 = 4 424 : 4 = Forkort brøkerne så meget som muligt. 5 18 24 = Løs ligningerne. 16 x 11 = 18 x = 17 4 x 3 = 29 x = 18 44 : x = 11 x = 6 8 2 = 19 1 3 + 2 3 = Omskriv til procent. 7 25 100 = % 8 0,05 = % 20 1 5 + 6 10 21 5 % af 100 kr. er kr. 22 50 kr. af 200 kr. er % = Reducer. 9 3a + 2b 2a a = 10 5a (a +3a) = 23 0,75 + 0,50 = 24 0,5 3 = 25 9,95 5,50 = 11 Indsæt regnetegn, så udtrykket passer. 55 2 10 = 100 GEOMETRI 26 Tegn en vinkel på 100. 12 23,5 10 = 13 1000 0,7 = 14 251 : 100 = 115 kolorit 8 matematiske færdigheder opgavesæt

SÆT2 y 5 4 3 B C 2 m 4 m 2 3 m A -1 1 2 3 4 5 6 D x 34 Kassens rumfang er m 3 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED 27 Koordinatsættet til punktet A er (, ) 28 Arealet af firkant ABCD er cm 2 29 Firkant ABCD er en/et kvadrat rektangel parallelogram rombe trapez 8. C har gennemført en undersøgelse vedrørende antallet af biler på deres skolevej om morgenen. De har udfyldt tabellen herunder. Ugedag Antal biler mandag 32 tirsdag 25 onsdag 30 torsdag 33 fredag 35 35 8. C har i alt talt biler. 30 4 dl = L 31 1000 cm 3 = m 3 32 250 cm = m 36 Undersøgelsens middeltal var 37 Undersøgelsens variationsbredde var 33 Inddel cirklen i seks lige store stykker. I en lodtrækning deltager 12 piger og 8 drenge. Alle deltagerne har lige store vinderchancer. 38 Sandsynligheden for, at en dreng vinder lodtrækningen, er 116 kolorit 8 matematiske færdigheder opgavesæt

SÆT 2 MATEMATIK I ANVENDELSE Rundetårn blev bygget i 1642. 45 Tårnet er år gammelt. 46 I år fylder tårnet 500 år. Kursen på Euro er 750. 39 200 Euro koster kr. 40 375 kr. koster Euro Herunder ses åbningstiderne i Tivoli. Søndag torsdag: kl. 11.00 22.00 Fredag: kl. 11.00 00.30 Lørdag: kl. 11.00 24:00 En dl ris vejer ca. 80 g. 41 Hvilken ugedag har Tivoli åben i længst tid? 47 Fem dl ris vejer ca. g 48 Der skal ca. dl ris til 1 kg. 42 Om onsdagen har Tivoli åbent i timer Herunder ses entrepriserne i Tivoli. Voksen 8 år + 75 DKK Voksen, fredag efter kl. 20.00 8 år + 125 DKK Barn 0-7 år Gratis TILBUD 8 stk. 20,00 kr. Normalpris pr. stk. 3,00 kr. 43 Prisen for fem voksne en fredag kl. 21 er 44 Prisen for en familie med to voksne og tre børn på 2 år, 5 år og 9 år, der besøger Tivoli om eftermiddagen, er kr. kr. 49 I tilbudsprisen er prisen pr. æble kr. 50 Besparelsen ved at købe otte æbler på tilbud er kr. 117 kolorit 8 matematiske færdigheder opgavesæt