Rentesregning
Rettet den 28-12-11
Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken derefter tilskriver rente et antal gange med en termins mellemrum, taler vi om kapitalfremskrivning. En termin kan være et år eller 3 måneder eller en hvilken som helst periode mellem to rentetilskrivninger. Opgaven er at finde værdien af kapitalen efter den sidste rentetilskrivning. I opgaver, hvor en kapital tilskrives rente benyttes traditionelt sprogbrugen: Startkapital = K 0 Slutkapital = Rentesatsen pr. termin = r (angivet som brøk eller procent) Antallet af terminer = n Eksempel: Rentetilskrivning I Når der tilskrives rente til en kapital eller en gæld på for eksempel 20.000 kr med renten 5 % pr. termin, ser regnestykket således ud: Oprindelig kapital 20.000,00 kr. Rente = 20.000*5/100 kr. = 20.000*0,05 kr. = 1.000,00 kr. Ny kapital = 21.000,00 kr. 193
Funktioner Dette kan indsættes i en tabel som følgende: Beløb i kr. Procent Oprindelig kapital 20.000 100 % Rente 1.000 5 % Ny Kapital 21.000 105 % Ofte er man ikke interesseret i rentebeløbet, men alene i at beregne den nye kapital. Det kan naturligvis gøres direkte som 105 % af den oprindelige kapital: Ny kapital = 20.000 105/100 kr. = 20.000 1,05 kr. = 21.000 kr. Den nye kapital kan altså findes ved at gange den oprindelige med tallet (faktoren) 1,05. Denne faktor kaldes en fremskrivningsfaktor. Med traditionel sprogbrug (se ovenover) fås generelt: K 1 =K 0 (1+r) Kapitalfremskrivning I Eksempel: Rentetilskrivning II Hvis der skal tilskrives rente flere gange, kan tabellen fra før anvendes igen med udskiftning af de angivne kapitaler: Beløb i kr. Procent Oprindelig kapital 21.000 100 % Rente 1.050 5 % Ny Kapital 22.050 105 % Som ovenfor kan den nye kapital beregnes direkte: Ny kapital (efter 2. rentetilskrivning) = 21.000 105/100 kr.=21.000 1,05 kr.=22.050 kr. Huskes beregningen af den nye kapital efter 1. rentetilskrivning, fås: Ny kapital efter 2. rentetilskrivning K 2 =(20.000 1,05) 1,05 kr.=20.000 1,052 2 kr.=22.050 kr. 194
Kapital- og rentesregning Generelt fås: K 2 =K 0 (1+r) 2 man får: og argumentet kan naturligvis gentages uendeligt mange gange, så K 3 =K 0 (1+r) 3 K 4 =K 0 (1+r) 4... =K 0 (1+r) n 3 Kapitalfremskrivning II Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen Hvis: Startkapital = K 0 Slutkapital = - Rentesatsen pr. termin = r Antallet af terminer = n gælder: =K 0 (1+r) n (1+r) kaldes fremskrivningsfaktoren. Du har forhåbentligt noteret dig, at =K 0 (1+r) n den almindelige eksponentielle funktion: f (x)=b a x., blot er en anderledes skrivemåde for 3 Denne måde at bevise en sætning på kaldes et induktionsbevis. Formelt rigtigt bevises den ved først at vise, at sætningen er rigtig for n=1; dernæst at vise, at hvis sætningen er rigtig for n=m, vil den også være rigtig for n=m+1. (Det er ovenover kun vist med n=2, men metoden kunne anvendes generelt.) 195
Funktioner Kapitalfremskrivning III Eksempel: Beregning af En eksamensopgave i 1993 lød: 3000 kr. indsættes på en konto til 5 % p.a. Bestem hvor meget der står på kontoen efter 14 år. Jeg noterer mig, at der er tale om indbetaling af et beløb én gang, som i flere terminer forrentes med samme rente. p.a. betyder pro anno, det vil sige (når der ikke skrives andet) at terminen er et år og at der en gang om året tilskrives rente her 5 %. Derfor kan jeg benytte kapitalfremskrivningsformlen. I opgaveteksten vil jeg markere tallene (som gjort) og skrive besvarelsen som herunder: Besvarelse Da der er tale om kapitalfremskrivning, noteres: Startkapital = K 0 = 3000 Slutkapital = =??? Rentesatsen pr. termin = r = 0,05 Antallet af terminer = n =14 Disse tal indsættes i : =K 0 (1+r) n =3000 1,05 14 =5939,794=5939,79 Efter 14 år står der 5.939,79 kr. på kontoen 4 4 Bemærk, at i en "tekstopgave" beregnes svaret og derefter formuleres svaret klart og tydeligt på 196
Kapital- og rentesregning 3 renteformler: Beregning af andet end Find K 0 =K 0 (1+r) n (1+r) n=k 0 Tilføj dine kommentarer til beregningerne her K 0 = (1+r) n Find r =K 0 (1+r) n =(1+r) n K 0 n = (1+r) n n K 0 n =(1+r) K 0 n 1=r K 0 r= n 1 K 0 Find n =K 0 (1+r) n K 0 =(1+r) n log( K 0) =log((1+r)n ) log( K log(1+r) 0) log( =n K 0) n= log(1+r) almindeligt dansk. Svaret fremhæves (her ved understregning), så det er klart, at det er svar på opgavens spørgsmål. 197
Funktioner Udregning med tal fra eksemplet: Beregning af (side 196) log n= ( 2 3000) log(1,05) =13,99=14,0 hvilket stemmer med det forventede. 5 Anvendeligheden af formlerne Formlerne og terminologien handler om penge eller kapitaler, som forrentes med en fast procent. Der er imidlertid intet i vejen for at bruge dem i forbindelse med al anden vækst, hvor noget vokser (eller aftager) med den samme procent periode efter periode. Eksempler kunne være både kanin- og menneskepopulationer, værdien af en lastbil, intensiteten af en radioaktiv stråling osv.. Formler og ligninger Lige meget hvilke betegnelser der anvendes, kan vi beregne funktionsværdien med kendte parametre og kendt x-værdi ( = n). Kendes omvendt f(x) (= ), kan x-værdien beregnes. Mangler du kun oplysning om en af parametrene, kan den beregnes med kendskab til de andre 3 oplysninger. Dette er typisk for alle formler. Har vi en formel, hvor der optræder variable, og kendes værdierne af de variable (eller parametrene) på nær en, kan dennes værdi beregnes ved at indsætte de kendte tal og derefter løse ligningen. I nogle tilfælde kan der være flere løsninger. Det er normalt ikke tilfældet her. På de følgende sider skal du gennemregne nogle typiske (andre) opgaver. Opsparingsannuitet Hvis man sætter et beløb på b kr. i banken, venter en termin, igen sætter b kr. i banken, venter en termin, igen sætter b kr. i banken... Hvis man i alt sætter n gange b kr. i banken på denne måde med en termins mellemrum mellem hver indbetaling kan saldoen lige efter sidste indbetaling udregnes med formlen herunder: Hvis: Hver af indbetalingerne = b Rentesatsen pr. termin = r Antallet af betalinger = n gælder: 5 Bemærk: log(x) er en funktion som mange andre; på din lommeregner kan du direkte finde funktionsværdier. Funktionen omtales yderligere i Appendiks. 198
Kapital- og rentesregning A n =b (1+r)n 1 r hvor A n er værdien af alle indbetalingerne inkl. rente lige efter den sidste indbetaling. Ved udregning på lommeregner: 1+r kan du klare som hovedregning!? Men: Husk at sætte parentes om hele tælleren. Hvorfor? Bemærk i øvrigt, at selvom der er n betalinger, er der kun (n-1) terminer mellem første og sidste indbetaling. Det har formlen taget højde for! På tegningen herunder vises med de tynde streger mærket 1, 2,..., n, hvornår indbetalingerne finder sted. Med den kraftige blå pil markeres tidspunktet for opgørelsen af annuitetens værdi Tid 6 1 2 3... n Gældsannuitet Hvis man låner penge i banken og får en gæld på G kr. og tilbagebetaler gælden med n lige store ydelser hver på y kr., hvor den første ydelse betales en termin efter lånets udbetaling, den næste ydelse en termin senere og så fremdeles, gælder formlen herunder: 0 1 2 3... n Hvis: Hver af ydelserne = y Rentesatsen pr. termin = r Antallet af ydelser er = n 6 Tid måles i terminer; 1 er skrevet ved tidspunktet for den første betaling, 2 er skrevet ved tidspunktet for anden betaling osv. 199
Funktioner gælder: G= y 1 (1+r) 1 r hvor G er gælden 1 termin før første ydelse. På tegningen er vist tidspunkterne for gældens optagelse (med kraftig rød pil) og med tynde streger er vist tidspunkterne for ydelsernes betaling. Bemærk: første ydelse betales en termin efter lånets udbetaling. Eksempel: Annuitetsopgaver Find A, G, b og y. Findes ved indsætning i den relevante formel. Find r og n. Findes ofte med tabel. n kan findes ved at løse ligningen. Både n og r kan findes ved lineær interpolation. CAS-værktøjer, regneark og nogle lommeregnere kan også finde løsningen. Lineær Interpolation 7 G = 600.000 n = 30 y = 30.000 r =?? Vi gætter på meget groft at rentesatsen er mellem 2 og 6 procent, beregner hvad gælden ville være i begge tilfælde og tegner dette diagram: Gælden ved forskellige rentesatser 800000 700000 600000 500000 400000 300000 200000 0 1 2 3 4 5 6 7 G Lineær (G) Hvis den rette linje var grafen for funktionen Gæld, kunne vi aflæse, at rentesatsen er ca. 3,1 %. Det er kun omtrent rigtigt. Funktionen er ikke lineær og derfor fås et unøjagtigt resultat. Ved kontrolberegning fås at rentesatsen ligger mellem 2,8 % og 2,9 %. For at få et nøjagtigere 7 Historisk metode: med GeoGebra eller andre CAS-værktøjer findes løsningen nemt... 200
Kapital- og rentesregning resultat, kan proceduren gentages med gæt på, at det rigtige resultat ligger i intervallet 2,5% til 3,5%. Lineær interpolation Opsparing og gæld 201
Funktioner Opgave med besvarelse Opgavetekst August 2010, opgave 1 (HF Matematik C) To søskende arver hver 250.000 kr. Den ene indsætter sin arv på en konto med en fast årlig rente på 4 %. a) Hvor stort et beløb står der på kontoen efter 5 år? Den anden indsætter sin arv på en konto med variabel rente. Efter 5 år står der 287.574,50 kr. på denne konto. b) Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise rente for denne konto Besvarelsen a) Beregning af saldo Saldoen beregnes ved kapitalfremskrivning med formlen: =K 0 (1+r) n hvor Startkapital = K 0 = 250.000 Slutkapital = skal beregnes Rentesatsen pr. termin = r = 0,04 Antallet af terminer = n =5 De kendte tal indsættes: =250.000 1,04 5 =304.163,23 Dvs. at efter 5 år er saldoen vokset til kr. 304.163,23 b) Beregning af den gennemsnitlige rentesats beregnes ved kapitalfremskrivning med formlen: 202
Kapital- og rentesregning =K 0 (1+r) n r= n 1 K 0 hvor Startkapital = K 0 = 250.000 Slutkapital = = 287.574,50 Rentesatsen pr. termin = r skal beregnes Antallet af terminer = n =5 De kendte tal indsættes: r= 5 287.574,50 250.000 1 r=0,0284 Dvs. at rentesatsen i gennemsnit for de 5 år har været 2,84 % 203
Funktioner Indholdsfortegnelse Eksponentielle funktioner...169 Vækst...171 Sætning om vækst for eksponentielle funktioner...171 Logaritmisk skala...172 Enkeltlogaritmisk papir...173 John Napier of Merchiston (1550-1617)...175 Logaritmerne en ide...175 Eksempler på eksponentielle funktioner...176 Eksempel: Et beløb indsættes i en bank...176 Om "at lægge renter til..."...177 Radioaktivitet...178 Øvelse Regneark...179 Definition: En eksponentiel funktion...179 Bemærkning...179 Tegn grafer for eksponentielle funktioner...180 Eksponentielle funktioners parametre...180 Find a og b?...181 Eksponentielle funktioners parametre...181 Bevis...181 Bemærkning...182 Tegn grafer for eksponentielle funktion...182 Find forskriften...182 Bemærkning om eksponentiel vækst...183 Fordoblingskonstant...185 Definition: Fordoblingskonstanten T2...185 Sætning: Fordoblingskonstanten T2...185 Bevis...185 Bemærkninger...186 Øvelse: Halveringskonstanten...186 Opgave med besvarelse...187 Øvelse: Eksponetielle funktioner (opg. 7)...188 Den eksponentielle funktion: Oversigt og regler...189 Eksempel: a = 2 og b = 3...189 Rentesregning...191 Kapital- og rentesregning...193 Navngivning ved rentesregning...193 Eksempel: Rentetilskrivning I...193 Kapitalfremskrivning I...194 Eksempel: Rentetilskrivning II...194 204
Kapital- og rentesregning Kapitalfremskrivning II...195 Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen...195 Kapitalfremskrivning III...196 Eksempel: Beregning af Kn...196 Besvarelse...196 3 renteformler: Beregning af andet end Kn...197 Anvendeligheden af formlerne...198 Formler og ligninger...198 Opsparingsannuitet...198 Gældsannuitet...199 Eksempel: Annuitetsopgaver...200 Lineær interpolation...201 Opsparing og gæld...201 Opgave med besvarelse...202 205
Funktioner Stikordsregister begyndelsesværdien...171 betaling...198 eksponentiel funktion...179 Fordoblingskonstanten...185 fordoblingskonstanten...185 fremskrivningsfaktor...194 fremskrivningsfaktoren...195 fremskrivningsfaktoren...177 Gældsannuitet...199 Halveringskonstanten...186 induktionsbevis...195 inflation...179 Kapitalfremskrivning...194 kapitalfremskrivning...193 Lineær Interpolation...200 log...198 Logaritmisk skala...172 Opsparingsannuitet...198 p.a...196 pro anno...196 renters rente...177 rentesregning...193 simulerer...178 Slutkapital...193 Startkapital...193 vækstfaktoren...171 ydelse...199 206