Det gyldne snit består i et liniestykkes deling i 2 dele, af hvilke den største er mellemproportional mellem hele linien og den mindste del. Konstruktionen går tilbage til pythagoræerne. Det hævdes, at det gyldne snit i naturen og kunsten kan have æstetisk betydning (Bevingede ord / ved T. Vogel Jørgensen. 6. reviderede udgave. G.E.C. Gad : København, 1990). Definition. Den traditionelle definition vedrører opdelingen af et billedfelt eller opdelingen af et liniestykke. Arealet kan jo være opdelt i moduler svarende til mursten eller kvadreret papir. Men det gyldne snits placering kan ikke beskrives ved moduler dvs. simple forholdstal, som ved brøkerne 2:1 eller 3:2 Forholdet mellem delene bliver i stedet irrationelt, givet ved et irrationalt tal [dog stadigvæk tal, der kan konstrueres geometrisk med passer og lineal ]. Gyldenlakken Gyldenlæder Gyldenris Gyldenspjæt Gyldentallet Et gyldent alter Et gyldent håndtryk En gylden regel Et gyldent rektangel, en gylden rhombe Det Gyldne Horn Den gyldne mellemvej Det gyldne skind Det gyldne snit, det guddommelige forhold Det Gyldne Tempel Den gyldne trekant Det var i øvrigt grækerne der først opdagede, at opdeling af et liniestykke kan føre til tal, der ikke er sædvanlige brøker. Forhold mellem liniestykker i ganske almindelige geometriske figurer fører nemt til som vi siger i dag ikke-rationale tal. Nogle af disse er blevet berømte. Det gyldne snit defineres i dag ved at løse en pæn og ordnet andengradsligning, hvor den positive løsning kan udtrykkes pænt med bl.a. kvadratrodstegnet. Mere følger herom. Forholdsregning, historisk matematik Brøker og proportionalitet Ligning af anden grad, positiv og negativ rod Plangeometri og rumgeometri Differensrækker, nemlig Beatty rækker Den hele del, decimaldelen, antal decimaler i brug De regulære legemer, polyedre Regulære polygoner, og regulære stjernepolygoner Pentagon og pentagram Reelle tal af typen a+b sqr5 Rækker, dvs. talfølger. Kvotientrækken phi i n-te Rekursiv beregning, iteration Verhulst processen, eller Feigenbaum systemet Fibonaccitallene, herunder formlen med sqr5 Phyllotaxi Trigonometri Kædebrøk, partial-nævnere og konvergenter Største fælles divisor, Euklids algoritme Brøkers forkortning og største fællesnævner Penrose-fliser, brolægning af planen Eksempel: Et liniestykke med længden én enhed kan forlænges med endnu en bid, så enheden bliver mellemproportional mellem den lille bid x og det samlede liniestykke (1+x). Dette skrives som ligningen ( 1+x ) / 1 = 1 / x hvor lille x altså er et positivt tal under 1. Denne ligning fører til en andengradsligning med to berømte rødder, og til den moderne definitionen af det gyldne snit som en bestemt matematisk konstant, nemlig tallet (1+x) = 1,618. Den lille bid x bliver tallet 0,618 og de to tal lever sammen som Knold og Tot, øh storebror og lillebror, øh konstanter i familie med hinanden. Der er her som i alle spændende historier en tvetydighed tilstede: Hvilken af de to brødre er den retmæssige, den fineste eller den mest gyldne? Naturligvis den store, altså phi = (1+x). Phi er fin og udtales så, som fi! Og phi rimer på pi, der jo er en anden berømthed blandt de matematiske konstanter. Pi er defineret som forholdet mellem perimeter og diameter i en vilkårlig cirkel og de to konstanter har næsten intet at gøre med hinanden. Moderne tradition definerer det gyldne snit (phi eller evt. tau) som en bestemt matematisk konstant større end én. Opdeling af et liniestykke med længden phi i det gyldne snits forhold kan dermed beskrives ved hjælp af 1 tallet samt phi reciprok. Det store stykke (længden 1) er da mellemproportional mellem hele linien og det mindste stykke, som i ligningen y / 1 = 1 / (y 1 ) Side 1.
Eksempel: Hvordan indlægges konstanten phi, på lommeregneren? Tast for eksempel [1] [+] [5] [sqr] [=] [./.] [2] [=] [sto] hvor [sqr] betegner kvadratrodstasten. Tasteskemaet svarer til en skoleregner uden specielle funktioner, måske skal du taste anderledes på din grafregner. [ phi er givet som et rodudtryk ]. Andengradsligningen Hvis 1 tallet er mellemproportional til tallene phi og ( phi 1 ), så lyder ligningen phi / 1 = 1 / (phi 1) eller generelt (x 1) x = 1 eller x 2 x 1 = 0 (#) Denne andengradsligning har koefficienterne 1, 1 og 1, og diskriminanten store D = 5. Vi kan nu finde ligningens løsninger ; den positive løsning er ( 1 + sqr5 )/2 eller phi = 1,618 (afr.). Den negative løsning er (1 sqr5)/2 eller minus phi reciprok = 0,618 (afr.). Gør prøve med disse tal. For løsningerne gælder relationen sq(x) = x + 1, specielt gælder sq(phi) = phi + 1. Det er denne ligning (#), der definerer rodudtrykket for phi [ Vi har måske allerede skrevet det tidligere her i teksten eller på tavlen ]. En anden andengradsligning med to rødder af interesse er x 2 + x 1 = 0 Den positive rod er tallet (phi 1), den negative rod er minus phi, hhv. 0,618 og 1,618 (afr.) Flimmer Konstanten phi dukker op underligt mange steder i matematikken, derfor bliver det et flimrende eller kaleidoskopisk billede. Hvis man vil skrive matematikken med phi som ledetråd og ikke andet. Man kunne måske med samme ret se på tallet sqr5, kvadratrod 5, der også forekommer de underligste steder både i geometri, talbehandling, og i algebra. Det samme kan man i endnu højere grad sige om pi. Tallet dukker overraskende op overalt! Men pi er transcendent vanskeligt medens phi er algebraisk, dvs. phi kan være rod i et primitivt polynomium. [ = et polynomium med visse heltallige koefficienter ]. Phi er faktisk et af de pæne irrationale tal, der kan konstrueres geometrisk ved hjælp af passer og lineal. De reelle tal eller punkterne på en orienteret akse består således af de rationale tal plus de irrationale tal, hvoraf nogle udvalgte kan konstrueres geometrisk. De rationale tal er vore sædvanlige brøker skrevet med tæller og nævner. Eller som decimalbrøker med så og så mange cifre. [vi har altid kun en praktisk delmængde af Q i brug]. Beatty talfølger de supplerer hinanden Hvis tallene alfa og beta er to irrationale tal med den harmoniske sum 1, som i ligningen 1/alfa + 1/beta = 1 så kan vi danne to talfølger n alfa og n beta, og tage den hele del af alle disse multipla. Tæller vi op nedefra, så vil hele talrækken 1, 2, 3, komme i brug, og hvert tal bliver brugt én og kun én gang. Man kan sige at de to heltalsfølger supplerer hinanden godt. In 1926 Sam Beatty, a Canadian mathematician, published his astounding discovery that any positive irrational number generates complementary sequences... Martin Gardner in Scientific American, Vol. 236, Nr. 3, March 1977, p 137. Det bemærkes at alfa og beta er positive tal og at det mindste skal ligge mellem 1 og 2. Den hele del af mellemresultaterne får vi ved trunkering, ved at slette decimalerne. Beatty talfølger kan derfor nemt trylles frem på lommeregneren, prøv det selv som en opgave. Resultatet med at alle naturlige tal bliver brugt en gang i den ene eller anden af de to rækker det er en meget underlig konsekvens af, at vi startede med to irrationale tal, alfa og beta. Side 2.
Da phi er irrational kan dette tal bruges som alfa, makkeren beta bliver da sq(phi), phi-i-to-te eller kvadratet på phi. Kontroller selv at disse tal ved harmonisk addition giver én. Og dan så selv de to talrækker en af gangen på din lommeregner, altså beregn int[ n phi ] og int[ n sq( phi )]. De to talrækker skal supplere hinanden; - vi kan jo passende kalde dem for alfa rækken og beta rækken. [Kilde: Gardner som nævnt i citatet, samt A Handbook of Integer Sequences / by N.J.A. Sloane. New York: Academic Press, 1973. Se også andenudgaven af Sloanes bog: The Encyclopedia of Integer Sequences, 1995]. Hele tal og decimaler. Vhja. lommeregneren får vi phi reciprok = 0,618034 (afr.) phi = 1,618034 (afr.) sq(phi), kvadratet på phi = 2, 618034 (afr.) De samme decimaler hver gang? Nu bruger vi to af tallene til sammenhørende Beatty rækker int( n phi ) = 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16,... int ( n sq( phi ) ) = 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20,... Vi så tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 osv. netop éen gang, som vi forlangte. Vi kan lagre phi og beregne hver differensrække videre frem, altså alle multipla af phi, ved hele tiden at addere lagerets indhold. Eller vi kan programmere en rutine ind [ vi trunkerer selv ]. På den måde dannes alfa rækken, og tilsvarende programmerer vi for det andet grundtal. Her dannes så beta rækken. Enhver hel potens af tallet phi er et irrationalt tal, der kan starte de to Beatty rækker. [produktet af to irrationale tal er enten et rationalt tal, eller et irrationalt tal som her]. Eksempel: alfa = phi 3 = phi-i-tre-te = 4,236068. Her fås beta numerisk lig med = 1,309017 og int ( n alfa ) = 4, 8, 12, 16, 21, 25,... int ( n beta ) = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 22,... ialt tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, osv. alle de naturlige tal. Senere lærer vi at udlede værdierne teoretisk: alfa = phi 3 = 2 phi + 1, giver beta = ( phi + 1) / 2. Hvorfor kan kun de irrationale tal danne Beatty talfølger, mon? Det fører os tilbage til Eudoxos, der sammenlignede størrelser ved at gange dem, og sammenligne multipla af de givne størrelser. Hvis vi starter med et rationalt tal alfa, så kan alfa skrives med to hele tal som en uforkortelig brøk. Beregner vi beta finder vi igen et rationalt tal, dvs. hele tal i tæller og nævner. Vi lader lille p og q være de relevante hele tal, uden forkortningsmuligheder. alfa = p / q beta = p / ( p q) Når vi danner Beatty rækkerne ud fra disse tal finder vi desværre flere steder, hvor multiplaene falder sammen. Og så går der kuk i det fine system med supplering. Nu vil de to Beatty rækker lappe over hinanden ved enkelte værdier, dvs. nogle af de hele tal vil blive brugt to gange. [Det sker for n = q i alfa rækken og n = (p q) i beta rækken]. Indirekte bevis: Man kan sige vi ovenfor førte et indirekte bevis. Ved at antage, at vi har to Beatty rækker, hvor alfa kan skrives uforkorteligt som p/q så ledes vi til at indse, at rækkerne ikke kan være Beatty rækker. Denne modstrid slår tilbage på antagelsen. Når vi taler om Beatty kan alfa derfor ikke skrives uforkorteligt som p/q. Altså alfa er et irrationalt tal i denne sammenhæng. q.e.d. >> På figuren har jeg lagt mine spillekort i fiskebensmønster. Kortets bagside er så nogenlunde et phi rektangel. Side 3.
Bevis at phi ikke er et brøktal Lad os argumentere for, at tallet phi er et irrationalt tal. Vi fører et indirekte bevis for denne påstand. Lad os et øjeblik antage, at der findes to positive tal p og q uden forkortningsmuligheder således at phi = p / q og at vi har denne andengradsligning for phi: (x 1) x = 1 Det betyder idet vi indsætter brøken og de hele tal at (p q)/q p/q = 1 dvs. p (p q) = q q eller p p p q = q q Regningerne kan hele tiden føres tilbage. Venstre og højre side i sidste ligning er i alle konkrete tilfælde to positive tal af en vis størrelse, faktisk to lige store positive tal. Vi ser vi at lille p går op i tallet på venstre side, så må p også gå op i højre side. Men så kan lille p kun være 1 tallet, da vi har forudsat en uforkortelig brøk fra begyndelsen. En anden udgave af den sidste ligning er p p = p q + q q Igen er ligningens venstre side et helt tal, der er lig med det hele tal på højre side. Vi lægger i dette tilfælde mærke til at lille q går op i højre side. Derfor siger vi ligesom før, at lille q også går op i venstre side. Da må lille q være tallet 1, da p og q ikke har fælles primfaktorer. Men indsætter vi brøken 1/1 i andengradsligningen får vi desværre 0 = 1 hvilket er en modstrid. Det slår tilbage på vor forudsætning. Konklusionen er at der ikke findes hele tal p og q, så phi kan skrives som en uforkortelig brøk. Og dermed er phi slet ikke et rationalt tal. q.e.d. [latin: qvod erat demonstrandum, hvilket skulle bevises] Passer og lineal konstruktioner Phi er et irrationalt tal, men at phi kan konstrueres med passer og lineal er en lidt anden sag. Det hænger sammen med konstruktionen af den regulære pentagon, som vi finder beskrevet i den klassiske geometri, Euklids geometri. Selve rodudtrykket, det eksplicitte udtryk, har vi vist nævnt. Der findes en nem geometrisk konstruktion af phi. [ illustration th. >>]. Forholdsregning Med positive størrelser a,b,c,d kan vi altid skrive op, at to forhold er lig med hinanden (som vi siger): a / b = c / d Med fire størrelser kommer vi til at tænke på reguladetri, kunsten at finde éen størrelse ud fra de tre andre. Det hed på latin Regula de tribus, reglen om de tre størrelser. Man må ikke dele med nul, men det kommer heller ikke her på tale; vi har fire positive størrelser. Hvorfor ikke dele med nul? Med nul i nævneren er brøken ikke defineret. Side 4.
Verhulst formlen, på dansk Feigenbaum systemet Ligningen f(x) = a x (1 x) definerer en funktion eller en beregningsrutine, som kan itereres, gentages. Vi lader den variable lille x være et tal i enhedsintervallet, altså definitionsintervallet [0;1]. Vi lader konstanten a eller koefficienten være et positivt tal mellem 1 og 4. Dette er et berømt eksempel behandlet teoretisk af Feigenbaum og andre kaos forskere. Et system, der ved iteration kan vise en overraskende opførsel. [ Systemets sluttilstand afhænger af parameteren lille a, og kun af lille a. ]. For fast a valgt i intervallet [1;4] kan vi vælge et (temmelig tilfældigt) x0 som udgangspunkt. Gentagne beregninger giver da tallene x1, x2, osv.. Hver beregning får sin egen skæbne. x0, x1, x2, x3,, x(n), konvergent, cyklisk eller kaotisk For a værdier mellem 1 og 3 vil en sådan talfølge være konvergent. Mellem 3 og tallet 1+sqr6 vil talfølgen nærme sig en såkaldt 2 cyklus: systemet har en bifurkation ved konstanten a = 3, og igen ved tallet a = 1+sqr6, én plus kvadratrod 6. Ved noget højere a værdier indtræder der først periodefordobling og så kaos (kaos for konstanten a i intervallet fra 3,56994567 til 4). Hele historien fortælles grafisk i figentræet, som er et diagram over a værdier og samtlige beregnede x(n) værdier. [Kilde: Iteration og kaos, et kapitel af Jens Carstensen i bogen: Matematik 3 for højt niveau / af Jens Carstensen og Jesper Frandsen. Systime: Herning, 1990.] Figentræet. Figuren har lille a på førsteaksen, x(n) på andenaksen. For a = 2 phi = 1 + sqr5 har Feigenbaum systemet en 2 cykel, og de to relevante grænsepunkter kan faktisk beregnes. Vi får skiftevis x(n) = 0,5 = ½ og x(n+1) = (1+ sqr5)/4 = phi/2, altså For a = 2 phi x0, x1, x2, x3, x(n), 0,5, phi/2, 0,5, phi/2, osv. En næsten ligning 6 sq( phi ) / pi = 5 egl. 5,00008 Vi ser nogle små hele tal, kvadratet på phi samt vor berømte konstant pi. Martin Gardner fortæller, at ligningen fejlagtigt er blevet brugt som en påstået nøjagtig beregning af pi. Side 5.
Flere kuriøse sammenfald Her i lommeregnerens tidsalder er det blevet en nem sport at finde næsten ligheder, den slags numerologi som kun Ramanujan og de gamle regnemestre dyrkede. Et underligt sammentræf er pi 2 phi = 16 egl. 15,9693..) altså en næsten ligning indeholdende to af vore berømte matematiske konstanter. Omregner vi finder vi kvotienten 4 / sqr( phi ) / pi = 1 egl. 1,000959... Trigonometri Her regner vi i gammeldags grader Sinusfunktionens værdimængde er som bekendt hele intervallet [ 1 ; 1 ], når vi benytter R eller hele den reelle akse som definitionsmængde. I denne værdimængde ligger der både nogle kendte rationale tal, f.eks. ½, og nogle irrationale tal, f.eks sqr(3) /2, kvadratrod 3 pause delt med 2. sin 30 = 0,5 eksakt sin 60 = (sqr3) / 2 eksakt cos 36 = phi / 2 eksakt sin 18 = 1 / (2 phi) eksakt = (phi reciprok) / 2 = ( phi 1 ) / 2 Endvidere rummer værdimængden mange tal, der kan udtrykkes med konstanten phi. Hele familien af vinkler n 18 har noget med pentagonen at gøre og dermed åbenbart med tallet phi. Ser vi specielt på pentagrammet, stjernepolygonen med n = 5, så er de spidse vinkler 36 grader eksakt. De spidse vinkler er periferivinkler og spænder over en bue på 72 grader, egentlig 360/5 eller én femtedel af hele cirklens omkreds. Vi har en formel, der udtrykker cos(2 v) ved sin v, og andre formler for vinklerne n 18. Derfor må vi i princippet kunne finde disse vinklers sinusser og cosinusser udtrykt ved phi. [ Derefter kan vi føre os frem og finde tangens værdierne]. Eksempel: sin 18 = 0,5 ( phi reciprok ) = 0,5 ( phi 1 ). Dermed er sq( sin 18 ) = 0,25 ( sq( phi ) 2 phi + 1) = 0,25 ( 1 + phi 2 phi + 1) = 0,25 ( 2 phi ) Nu kan cos 36 = cos 2 18 = 1 2 sq( sin 18 ) = phi/2 udledes af en kendt formel. Det gyldne rektangel som det kan kaldes populært En konstruktion, hvor den lille side har længden én og den store side længden phi. En firkant hvor forholdet mellem store og lille side er phi. Kald det evt. et phi rektangel, et gyldent rektangel. Det skulle være mere behageligt at kikke på end kvadratet, der jo er et 1:1 rektangel, eller rektangler af typen 2:1, 3:2, 4:3 eller andre forhold beskrevet ved brøker (med små tal i tæller og nævner). Man kan på en systematisk måde indskrive kvarte cirkelslag i et gyldent rektangel, så der opstår en sammenstykket spiral. [illustrationen th. >>] Og en logaritmisk spiral vil kunne indskrives gennem figurens støttepunkter. Martin Gardners artikel i Scientific American viste den smukke logaritmiske spiral. [forsidefiguren og side 18]. Side 6.
En konstruktion [fra Coxeter]: Tre stykker pap af facon som et gyldent rektangel kan forsynes med en slids i midten, af længden én. Derefter kan de skydes ind i hinanden til en tredimensional konstruktion. Og denne kan indlægges i et dodekaeder, såvel som i et icosaeder. Pacioli skrev om dette i 1509, og Leonardo da Vinci illustrerede hans bog. Dengang var de regulære legemers dimensioner terpestof for overklassens intelligente sønner. Indlagte paneler viste perspektiviske projektioner af både polyedre og vaser med blomster så livagtige, at det narrede øjet. Intarsia. Renæssancen fødtes her. Forholdet mellem radius og sidelængden i den indskrevne regulære 10 kant skulle være tallet phi og generelt er der mange forekomster af dette forhold i dimensionerne i figurer med 5 tals symmetri: Dels i de regulære plane figurer pentagon og pentagram, dels i de regulære rumfigurer dodekaeder og icosaeder. Ligeledes forekommer sqr2, kvadratrod 2 mange steder som forhold mellem de regulære figurers liniestykker, og mange steder i de platoniske legemer. [og sqr3 mfl.]. Algebra, symbolregning Et tallegeme indeholdende phi Tallet phi indeholder så at sige noget af tallet 1, vor almindelige enhed, og noget tallet sqr5, som kan betragtes som en ny og uafhængig enhed. Vi vil udbygge den ide at phi kan sammensættes af to enheder, som i en dybsindig forstand er uafhængige. Vi laver nærmest et vektorrum med plus og minus, gange og dividere, samt reciprok. Vi definerer en speciel kategori af tal, der har to koefficienter. Eksempel: phi = 0,5 1 + 0,5 sqr5 phi 2 = 1,5 1 + 0,5 sqr5 phi 1 = 0,5 1 + 0,5 sqr5 Generelt a = a1 1 + a2 sqr5 b = b1 1 + b2 sqr5 a + b = (a1 + b1) 1 + (a2 + b2) sqr5 a b = (a1 b1) 1 + (a2 b2) sqr5 0 = 0 1 + 0 sqr5 kaldet nul elementet 1/a = (a1/k) 1 (a2/k) sqr5 med k = (a1) 2 5 (a2) 2. 1/b = (b1/k) 1 (b2/k) sqr5 med k = (b1) 2 5 (b2) 2. Ethvert tal i vort algebraiske system har altså en første koordinat og en anden koordinat, og tallet nul har begge disse koordinater lig med nul. I så fald kan vi ikke danne det reciprokke tal. Alle andre tal har en reciprok værdi medmindre der er en meget uheldig sammenhæng mellem koordinaterne (hjælpetallet k må ikke blive nul, k < > 0). [Størrelsen k kaldes normen af a, hhv. normen af b]. Vi kan udlede regler for koordinaterne til et produkt, og til en kvotient mellem to givne størrelser. I det sidste tilfælde skal vi regne lidt og huske reglen om, at to tals sum gange to tals differens er lig med differensen mellem tallenes kvadrater (c 1 + d sqr5) (c 1 d sqr5) = c 2 5 d 2 Regler for multiplikation og division indenfor systemet: a b = (a1 1 + a2 sqr5) (b1 1 + b2 sqr5) = (a1 b1 + 5 a2 b2) 1 + (a1 b2 + a2 b1) sqr5 a / b = (a1 1 + a2 sqr5) / (b1 1 + b2 sqr5) = (a1 b1 5 a2 b2)/k 1 (a1 b2 a2 b1)/k sqr5 med k = (b1) 2 5 (b2) 2. Side 7.
For en sikkerheds skyld, og for at undgå trykfejl: Vis eller udled selv disse regler. Forudsætningen er overalt, at man ikke må dividere med nul. >> Gyldent rektangel. Et phi rektangel med hvirvlende kvadrater. Man kan så at sige nøjes med at regne på de relevante koordinater, eller kombinere koordinaterne efter de foregående formler, uden at spekulere på de to grundlæggende størrelser (1 og sqr5). Tallegemet K( sqr5 ) Det er forholdsvist nemt at regne inden for dette algebraiske system, det såkaldte kvadratiske tallegeme baseret på kvadratrod 5. [ de rationale tal udvidet med sqr5 ]. Man benytter skolens sædvanlige regler for at gange parenteser sammen og bagefter samler man leddene. Endvidere bruger man ved brøkerne det kendte trick at skaffe rational nævner, som det hedder. Man ganger her i tæller og nævner med et passende tal. Konjugerede tal. Det passende tal er altid det der passer! Teoretisk set taler vi om to konjugerede tal. De kan skrives som henholdsvis a og a understreget (denne computer kan ikke sætte stregen over a ) a = a1 1 + a2 sqr5 og a konjugeret = a a = a1 1 a2 sqr5 a a = sq( a1 ) 5 sq( a2) + 0 sqr5 Produktet af de to sammenhørende tal er et nyttigt hjælpetal, den såkaldte norm af lille a (lig med normen af a konjugeret, normen af a ). Man lærer hurtigt at beregne disse normer, der kan blive negative tal såvel som positive tal. Hvis normen bliver tallet nul har vi tallegemets såkaldte nul element. [ og omvendt, nul-elementet har normen nul ]. Såkaldte hele tal I dette tallegeme er koefficienterne altid rationale tal. Også begrebet såkaldte hele tal kan indføres. De såkaldte hele tal skal være de mærkelige elementer der har normen lig med et almindeligt helt tal. [ De såkaldte hele tal i dette legeme kan skrives som heltallige linearkombinationer af tallene phi og 1, tal af formen m phi + n. Vi omtaler dette side 14 og side 31. ]. Litteratur forfatterens anbefalinger Vedrørende litteratur om phi kan jeg henvise til hjemmesiden for firmaet MathSoft, hvor der er mange artikler, således et print på 8 sider med litteraturliste vedrørende det gyldne snit. Se http:// www.mathsoft.com/asolve/constant/gold/gold.html eller søg på adressen trunkeret. En klassiker, der blev oversat til dansk [som Mere morsom matematik. Borgens forlag, 1964] er Martin Gardners anden bog med artikler fra hans faste spalte i Scientific American. Heri finder vi Phi: The Golden Ratio. in More Mathematical Puzzles and Mathematical Diversions / by Martin Gardner. Penguin Books: London, 1966. Martins oprindelige artikel stod i hæftet august 1959. [Min generation elskede Martin Gardner for hans spalter i Scientific American, derfor fornavnet]. Introduction to Geometry / by H.S.M. Coxeter. John Wiley & Sons, London, 1961. 6th. printing may 1967. En dejlig og illustreret geometribog, talrige noter. [Udtrykket extreme and mean ratio, på dansk højdeling eller deling i ydre og mellemproportional, går tilbage til den græske konstruktion af den regulære femkant ]. En mere moderne forfatter, eller samlingsredaktør, er engelske David Wells, som også havde en lille hjemmeside sidst jeg så efter. Han har først og fremmest bogen The Penguin Dictionary of curious and interesting Numbers / by David Wells. Revised edition. Penguin Books: London, 1997. Mit eksemplar er udgaven fra 1987. En guldgrube af oplysninger, simpelthen. [nb. Der er forskel på konstanten phi og så den talteoretiske phi funktion, Eulers totient funktion phi(n). Denne tæller ikke antallet af divisorer, men nærmere antallet af små tal, der ikke går op. Plus en enhed for tallet 1. For et primtal som 7 er phi(7) = 6. Altså denne phi funktion har intet med det gyldne snit at gøre.] Side 8.
The Penguin Dictionary of curious and interesting Geometry / by David Wells, illustrated by John Sharp. Penguin Books: London, 1991. Der er vist flere trykfejl side 266 67, der handler om Verhulst processen, eller iterationen x (n+1) = a x n (1 x n ) Vi skrev på side 5 dette som f(x) = a x (1 x). Også her på dette sted i Wells bog ser vi figentræet Der goldene Schnitt / von Dr. Adolph Zeising. Halle, 1884. Et eksempel på en gal mands fascination af mange cifre, og af de geometriske forhold i det gyldne rektangel, og i de regulære figurer. SDE. Artiklen om det gyldne snit i Den Store Danske Encyklopædi er også en guldgrube af oplysninger. Jessens polyeder. Det har navn efter den danske professor Børge Jessen. Det er et ikke konvekst icosaeder, der er en smule flexibelt. Det har sidetrekanter af to typer, dels regulære trekanter med siden 1, dels ligebenede trekanter med siderne 1, 1 og phi. [ i en passende skala]. Det såkaldte Jessens orthogonale icosaeder har i forhold til det regulære icosaeder fået lagt nogle dale ind. Dalenes bund følger kanterne i forside figuren, de tre gyldne rektangler flettet vinkelret sammen. Så også inde i dette polyeder er det gyldne snits forhold begravet. Fleksible eller ikke stive polyedre er et vildt emne, omtalt bl.a. i Davis Wells geometribog. Konvekse polyedre kan bevises at være stive polyedre. En helt anden kategori af konvekse polyedre er de semiregulære, også kaldet Archimedes polyedrene. De har dog mig bekendt ikke meget med phi at gøre. Fibonaccitallene I dag ville vi nok sige Fibonacci talfølgen, og begynde den således F(1) = 1, F(2) = 1, derefter adderes de to seneste led, så F(3) = 2, F(4) = 3, F(5) = 5. Systemet fortsætter og talfølgen bliver 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, osv. Det n te fibonaccital kan faktisk udtrykkes i en formel indeholdende sqr5 og diverse potenser, som en funktion af n. Det er en kæmpeformel, associeret med opdageren Binet og året 1843. F(n) = 1/sqr5 ( (phi) n ( (1 sqr5)/2 ) n ) Kontroller formlen nogle gange ved at taste igennem på din lommeregner. Da formlens andet led bliver numerisk lille kan man nøjes med at beregne en potens, og runde af til nærmeste hele tal F(n) = round( ( phi ) n /sqr5 ) Det kan gøres nogenlunde let på en skoleregner, med afrunding i hovedet (dit eget). Start med at lagre phi. Lad så maskinen frembringe en kvotientrække, med første led sqr5 reciprok, og kvotienten phi. Kvotientrækken af phi potenser kan også skrives pænt op ved hjælp af tallet phi og fibonaccitallene. Systemet er 1 phi (phi) 2 = sq( phi ) = 1 + phi = 1 phi + 1 (phi) 3 = phi ( 1 + phi ) = phi + sq( phi) = sml. ovenfor = 2 phi + 1 (phi) 4 = phi ( som ovenfor ) = phi + 2 sq( phi ) = = 3 phi + 2 (phi) 5 = phi ( som ovenfor ) = 2 phi + 3 sq( phi ) = = 5 phi + 3 (phi) 6 = phi ( som ovenfor ) = 3 phi + 5 sq( phi ) = = 8 phi + 5 osv. = Side 9.
Phyllotaxi egl. bladstilling Disciplinen går vist ud på at afsløre skjulte lovmæssigheder, skjulte hele tal i planter og dyrs natur. Om end det er interessant at korsblomsterne har 4 tals symmetri og andre planter har 5 bægerblade eller en bladstilling baseret på fibonaccitallene så er det jo også uforklarligt. Et andet eksempel er primtallene, begravet som cyklus for visse bambus. Her kan man spørge om evolutionen kan have favoriseret primtal frem for sammensatte tal, i plantens samspil med snyltedyr. Men hvordan kan evolutionen have favoriseret fibonaccitallene i grankogler og annanas? Kædebrøker Tallet phi har en kædebrøksfremstilling hvor konvergenterne, dvs. de relevante approksimanter skrives vhja. tal i fibonaccifølgen. Det er temmelig besværligt at forklare kort, men her kommer et par opgaver i samme boldgade. Kædebrøker har altid noget at gøre med approksimationer. Konvergenter og det at finde gode brøker som tilnærmelse. Hvilken uforkortelig brøk er den bedste tilnærmelse til phi, hvis du højst må have to cifre i tælleren, og højst to cifre i nævneren? [Svaret er brøken 89 / 55 = F(11) / F(10)] Og hvilken brøk er den bedste tilnærmelse til phi, hvis du højst må have tre cifre i tælleren, og højst tre cifre i nævneren? [Svaret er brøken 987 / 610 = F(16) / F(15)] Disse problemer kan belyses ved at udvikle tallet som en uendelig kædebrøk. Brug lommeregneren! [Lige nu bruger jeg min gamle TI-30 Galaxy] Jeg spekulerer på hvordan det vil gå med potenserne, f.eks. (phi) 5 tilnærmet af en brøk med højst tre cifre i tæller og nævner. Kan du finde den bedste approksimant af typen m/n? Det er ikke nogen let opgave, uden tricks går det ikke. [ Svaret er brøken m / n = 987 / 89 ]. Kædebrøkens spektrum Kædebrøker kan skrives med en højst indforstået notation af typen [ 3, 7, 15, 1, 292,... ], hele tal mellem klammer. De hele tal i spektret eller i den såkaldte kædebrøks udvikling kan vi let finde med lommeregneren ved at taste lidt fantasifuldt! Start med det forelagte tal (brøk eller decimalbrøk). Vi skal nu danne nogle reciprokværdier. Men først skal den hele del af brøken trækkes fra. Så hele tricket er hovedregning: du lægger mærke til den hele del af hvert mellemresultatet x. Og så trækker du int(x) fra, før du reciprokker. Ovenfor har vi nævnt pi som kædebrøk. Spektret fortsætter i det uendelige uden periodiske egenskaber. Her vil vi se på kædebrøker der er periodiske, opbygget med int(x) plus en rest. Tasteskema: Dette vedrørende analysen af phi ; alle de hele dele bliver ens (underligt nok = 1): [indtast phi] [ notér den hele del, tallet én ] derefter [ ] [ 1 ] [ = ] [ 1/x ] [notér igen] [ ] [ 1 ] [ = ] [ 1/x ] [notér] [ ] [ 1 ] [ = ] [ 1/x ] osv. og vi noterer mellem skarpe klammer talrækken [ 1, 1, 1, 1, 1, ], de såkaldte partial-nævnere. Den hele talrække kunne have været anderledes, f.eks. [ 0, 6, 1, 5, 1, 5 ] som er en endelig række og kædebrøken for et rationalt tal. Det første tal er brøkens hele del, først de følgende tal er partial-nævnere, strengt taget. Men hvert tal er fundet som den hele del af det resterende beløb i beregningen. Rækken kaldes af Tobias Danzig for kædebrøkens spektrum. [Se omtalen side 304-308 i Tallet, Videnskabens sprog / af Tobias Danzig, på dansk ved Kjeld Rahbæk Møller. Gyldendals Uglebøger. København: Gyldendal, 1965. Opr. 1954.]. Kædebrøker kræver god tavleplads. Typografisk kan de fylde hele og halve sider. Jeg har set nogle bøger der bruger en selvopfundet notation for at spare plads. Men hjælper det, nix! Side 10.
Kædebrøker igen uendelige kædebrøker er for de irrationale tal Tallet phi har kædebrøken [ 1, 1, 1, 1, 1 ]... og tallet phi reciprok bliver [ 0, 1, 1, 1, 1, ] Tallet sq( phi ) har partial nævnerne [ 2, 1, 1, 1, 1, ]... og den reciprokke værdi 1/sq( phi ) bliver [ 0, 2, 1, 1, 1, ] Tallet (phi) 3 har udviklingen i kædebrøk [ 4, 4, 4, 4, 4, ]... og tallet (phi) 3 har [ 0, 4, 4, 4, 4, ] Tallet (phi) 4 har udviklingen i kædebrøk [ 6, 1, 5, 1, 5, 1, ]... og tallet (phi) 4 har [ 0, 6, 1, 5, 1, 5, ] Tallet (phi) 5 har udviklingen i kædebrøk [ 11, 11, 11, 11, 11, ]... og tallet (phi) 5 har [ 0, 11, 11, 11, 11, ] Der er tale om uendelige kædebrøker, hvor vi kan beregne konvergenterne, de specielle småbrøker, der udgør gode approksimationer. Det sker vhja. et skema, der kunne være opfundet af regnemesteren Wallis. Hvert felt inde i skemaet udfyldes med et beregnet heltal, der findes som (hold fast!) den gange den plus den hvor vi må pege ind på de rette felter. De første småtal: 0 og 1 samt 1 og 0 kursiv, de er med for at komme godt i gang. Som eksempel beregner vi konvergenterne for phi-i-fir-te ved skemaet: a la Wallis: 6 1 5 1 5 0 1 6 7 41 48 281 1 0 1 1 6 7 41 Forklaring: Øverst ses de kendte partial nævnere (fede tal). Derunder ses den beregnede tæller, og nedenunder den beregnede nævner. De danner konvergenten eller den brøk, der er den pågældende kædebrøks-tilnærmelse. Den sidste brøk i vort skema ses at være 281 / 41 og den beregnes således: Tæller: 48 gange 5 plus 41 = 281 Nævner: 7 gange 5 plus 6 = 41 Her benyttede vi den relevante partial nævner 5, der står placeret øverst i sidste kolonne [i hver kolonne skal øverste tal benyttes]. Lommeregneren kan nu fortælle mere om alle konvergenterne som decimalbrøker. Phi-i-fir-te 6,854102 Konvergenten 41 / 6 = 6,8333 Konvergenten 48 / 7 = 6,8571 Konvergenten 281 / 41 = 6,8537 Skemaet a la Wallis kan naturligvis fortsættes ud til højre, så vi finder endnu bedre approksimanter, i form af brøker mellem større tal. Visse steder kan man indskyde en række brøker inden konvergenten, f.eks. kan indskydes 48 n + 41 = 89 137 185 233 281 7 n + 6 = 13 20 27 34 41 hvor også disse ufede brøker er nogenlunde gode approksimanter, den ene bedre end den anden. I dette tilfælde løber lille n fra 1 til og med 5, for de indskudte brøker. Hvis man kun må medtage to cifre i tæller og nævner er den bedste tilnærmelse muligvis en af de indskudte brøker, muligvis en konvergent; det må man kontrollere hver gang, både vedrørende værdien og vedrørende det valgte antal cifre. Approksimanten 89 /13 = 6,8462 for ringe, i forhold til konvergenten 48 / 7 Konvergenten 48 / 7 = 6,8571 Facit, phi-i-fir-te = 6,854102 Approkimanten 233 / 34 = 6,8529 bedre end konvergenten, men tre cifre i tælleren. Ideen med småbrøkerne og de indskudte brøker er den, at de kommer tættest muligt på det ønskede facit, fortolket i en eller anden teoretisk ramme [som Farey brøker]. Alle andre brøker end konvergenterne og de indskudte brøker, de viser sig at være for ringe. Disse overvejelser er her blot refereret på en praktisk måde, det er jo næsten det rene volapyk. Side 11.