Ren versus ligesvævende stemning
|
|
- Lars Andersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440 Hz (Hz = Hertz = antal svingninger pr. sek.). Jeg vil dog for det meste kun se på relative frekvenser og sætter f.eks. C0 til frekvensen 1. C0 er valgt for nemheds skyld selv om det dybeste C på klaviaturet normalt kaldes C1. Når vi går en oktav op fordobles frekvensen. Nedenfor vises en tabel over de relative frekvenser for C fra C0 og 7 oktaver op til C7: Tone Relativ frekvens C0 1 C1 2 C2 4 C3 8 C4 16 C5 32 C6 64 C7 128 F.eks. fås den relative frekvens for C7 ved at gange 2 med sig selv 7 gange: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 7 = 128. Dette tal kaldes "2 i syvende (potens)" og skrives 2 7. Oktaven er et eksempel på et interval. Intervallernes vellyd er fysiologisk knyttet til egenskaber ved vores øre. Pythagoras interesserede sig for tone-intervaller, kendte dog ikke til begrebet "fysiske frekvenser", men opdagede at på et strenge-instrument svarer de vellydende intervallerne til "pæne" delinger af streng-længden. F.eks. går tonen en oktav op når strengen halveres (forudsat at spændingen på strengen er den samme). Hvis strengens længden formindskes med en faktor 1/4 går tonen to oktaver op, etc. De pæne intervaller fremkomme som overtoner over grundtonen. Hvis grundtonen er C0 med den relative frekvens 1 bliver de første 11 overtoner: Tone nr. Overtone Nr. Tone Relativ frekvens 1 Grundtone C C G C E G Bb C D E F# G3 12 RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 1 af 7
2 Tone-nummeret er givet så grundtonen har nummer 1 og 1. overtone nr. 2 etc. Pythagoras mente at hele tal var det "naturlige", givet af os af det guddommelige. De positive hele tal benævnes i øvrigt i vore dage netop "de naturlige tal". Også brøker bestående af hele tal i tæller og nævner var guddommelige. Pythagoras mente at der ikke fandtes andre slags tal end disse tal - som i vore dage kaldes de "rationale tal". Desværre for Pythagoras viste allerede en af hans elever at diagonalen i et kvadrat med siden 1 har en længde som ikke kan beskrives ved et helt tal eller en brøk med hel tæller og nævner. Med vore dages betegnelser giver Pythagoras' sætning for den retvinklede trekant, den med a 2 + b 2 = c 2, at diagonalen i et kvadrat med siden 1 får længden kvadratroden af 2, 2, - og det kan vises at dette tal ikke kan skrives som en brøk med hel tæller og nævner; et sådant tal kaldes et "irrationalt tal". - Men det er en anden historie... I tabellen med overtoner ser vi at 1. overtone over C0, tone nr. 2, er C1 med relativ frekvens 2, og 2. overtone, tone nr. 3, er G1 med relativ frekvens 3. Springet fra C1 til G1 svarer altså til at frekvensen bliver ganget med 3/2. Dette interval kaldes en kvint (som består af 5 toner i en durskala når både start- og slut-tone regnes med). Regnet i halvtone-trin nås kvinten ved at tage 7 sådanne. Næst efter oktaven betragtede Pythagoras kvinten som det mest fundamentale tone-interval. Tilsvarende svarer springet fra G1 (relativ frekvens 3) til C2 (relativ frekvens 4) til at frekvensen bliver ganget med 4/3. Dette interval er en kvart. På denne måde fås de forskellige intervaller. Man benytter normalt de første 15 overtoner til dette. Her er endnu nogle eksempler: Fra tone nummer 4 til 5, C2 - E2, rel.frek. ganges med 5/4, intervallet er en stor terts. Fra tone nummer 5 til 6, E2 - G2, rel.frek. ganges med 6/5, intervallet er en lille terts. Fra tone nummer 5 til 8, E2 - C3, rel.frek. ganges med 8/5, intervallet er en lille sekst. Fra tone nummer 8 til 10, C3 - E3, rel.frek. ganges med 10/8, intervallet er en stor terts - og det stemmer jo fint med at 10/8 = 5/4. Desuden består det samlede spring E2 - E3 af de to delspring E2 - C3 og C3 - E3, relativ frekvens ganges med 8/5 * 5/4 = 8/4 = 2, altså et oktav-spring. Det stemmer! En lille sekst + en stor terts giver en oktav. På tilsvarende måde kan man se på springet G1 - E2, en stor sekst, og et spring videre: E2 - G2, en lille terts, prøv selv at regne på dette. Også kvinten C1 - G1 plus kvarten G1 - C2 giver en oktav, 3/2 * 4/3 = 2. Systemet ser umiddelbart "sundt" ud og det er fristende at sige at vi på grundlag af dette kan konstruere hele vores 12-tone system. Men desværre lurer der problemer bagved! RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 2 af 7
3 2. Det Pythagoræiske komma og den rene Intervallet kvint kan benyttes til at komme hele vejen rundt i vores 12-tone system. Hvis vi starter på C0 og bevæger os 12 kvinter op, ender vi igen på et C, C7. Lad os beregne den relative frekvens for C7 på to forskellige måder: 1. C7 ligger 7 oktaver over C0, den relative frekvens for C7 må derfor være 2 7 = Vi når C7 i 12 kvint-spring som hver ganger den relative frekvens med 3/2. Samlet bliver den relative frekvens så ganget med 3/2 12 gange: (3/2) 12 = 129,746 med 3 decimaler. Vi havner altså lidt over C7. Denne fejl kaldes "det pythagoræiske komma". Også ved at stable tertser ovenpå hinanden kan vi se at der er et problem. En stor terts svarer til at den relative frekvens ganges med 5/4. Tre store tertser giver en oktav. Men (5/4) 3 = 1,953, altså noget mindre end 2. Tilsvarende giver fire små tertser: (6/5) 4 = 2,074, altså lidt mere end 2. Ligeledes skulle 12 kvart-intervaller give 5 oktaver, men (4/3) 12 = 31,569, altså mindre end 2 5 = 32. Det er som om kvinterne er for store, kvarterne for små, små tertser for store og store tertser for små. I den pythagoræiske forsøgte man at opbygge skalaer alene ud fra rene kvinter og kvarter. Som vi har set vil det ikke lykkes. Den store og lille terts betragtedes oprindeligt som dissonanser. Hvis man trods dette forsøgte at konstruere dem ud fra kvinter og kvarter kunne det gøres således: Hvis vi stabler 4 kvart-intervaller ovenpå hinanden, f.eks. fra C1: C1 - F1 - Bb1 - Eb2 - Ab2, ender vi på Ab2 med den relative frekvens (4/3)^4 = 256/81. Hvis vi dernæst går 2 oktaver ned fra Ab2 får vi Ab0 med rel. frek. 256/81 * 1/4 = 64/81. Den store terts vi herved har konstrueret fra Ab0 til C1 svarer derfor til en relativ frekvens på 81/64 = 1,266. Men en ren terts skulle jo være 5/4 = 1,25. Tilsvarende fører 3 kvart-intervaller fra C1 til Eb2 til (4/3)^3 = 64/27, og når Eb2 føres 1 oktav ned fås en lille terts fra C1 til Eb1 på 32/27 = 1,185, men den rene lille terts er 6/5 = 1,2. Prøv at undersøge hvilken stor terts man får ud af at stable 4 kvint-intervaller ovenpå hinanden. Disse typer af fejl benævnes det syntoniske komma. (*) - tilføjelse nederst s.5. Forsøget på at konstruere skalaer med ren kan dog forbedres ved andre metoder end den pythagoræiske kvint-baserede, men uanset hvordan man bærer sig ad, vil der være intervaller som ikke bliver rene. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 3 af 7
4 3. Den tempererede eller ligesvævende Hvis man skulle konstruere et klaviatur som kan spille i ren i alle 12 tonearter, måtte man have god plads. For at sikre at f.eks. alle intervaller bliver rene, måtte man have flere udgaver af hver tone. F.eks. vil det før nævnte eksempel med konstruktion af en stor terts ved stabling af 4 kvarter føre til een udgave af Ab, mens kravet om en ren terts fra Ab til C vil føre til en anden udgave af Ab. Og andre "komma-fejl" vil føre til endnu flere udgaver af Ab (hvoraf nogle måske mere berettiget kunne benævnes G#). Ved opbygning af den rene forsøgte man at sikre at i alt fald tonearter med få #'er og b'er kunne stemme rent, men så kun disse. I andre tonearter opstår mere eller mindre urene intervaller. Det berygtede eksempel er "ulvekvinten" som opstår ved at kompensere for hele det pythagoræiske komma i én bestemt kvint, G# - Eb. Hvis vi stabler 11 rene kvinter fås en relativ frekvens på (3/2)^11 = 86, Tilbage til den sidste kvint er så: 128 / 86,49756 = 1,4798, hvilket må siges at være en meget lille kvint. I den tempererede fordeler man - løst formuleret - det pythagoræiske komma "jævnt" over alle kvinterne. Spørgsmålet er hvad "jævnt" vil sige. Vi ved at ét oktav-spring fører til at frekvensen multiplicere med faktoren 2. Hvis vi holder fast på at et interval-spring skal svare til at frekvensen multipliceres med en faktor, kan "jævnt" bedst fortolkes således at man lader alle halvtone-trin (som er det mindste interval i vores tone-system) svare til samme faktor. Da der er 12 halvtone-trin i en oktav, må faktoren være et tal x som ganget med sig selv 12 gange giver 2: x 12 = 2. Tallet x kaldes "tolvte rod af 2" og skrives: 2 =1,0595, og dette er det samme som "2 i en tolvte-del", eller 2 En konstrueret som tempereret vil sikre at et vilkårligt interval får samme relative frekvens i alle tonearter. Omkostningen er til gengæld at ingen intervaller, bortset fra oktaven, bliver rene. F.eks. får kvinten som består af 7 halvtone-trin, den relative frekvens =( 2) =2 =1,4983 Tilsvarende bliver kvarten =( 2) =2 =1,3348 Beregningerne kan foretages på en lommeregner, evt. en mobil-telefon-regnemaskine. Brug "potens-knappen" x y således: 2 x y (7 / 12) =. I display vises 2^(7/12). Divisions-tegnet "/" ser muligvis anderledes ud. I den følgende tabel er vist nogle flere intervaller - jeg har ikke for alle disse vist hvordan man kommer frem til de rene relative frekvenser: RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 4 af 7
5 Interval Ren Tempereret prim 1 1 lille sekund 16/15 = 1,0667 1,0594 stor sekund (?) 9/8 = 1,125 1,1225 lille terts 6/5 = 1,2 1,1892 stor terts 5/4 = 1,25 1,2599 kvart 4/3 = 1,3333 1,3348 tritonus? 1,4142 kvint 3/2 = 1,5 1,4983 lille sekst 8/5 = 1,6 1,5874 stor sekst 5/3 = 1,6667 1,6819 lille septim 16/9 = 1,7778 1,7818 stor septim 15/8 = 1,875 1,8877 oktav 2 2 (?) stor sekund kan også i ren blive 10/9 = 1, (*) Lidt mere om det syntoniske komma: Både ved lille og ved stor terts bliver forholdet mellem det "falske" interval og det rene interval 81/80. Denne fejl nås også i den såkaldte komma-pumpe hvor man bevæger sig i intervaller således: fra C op til G, ned til D, op til A, ned til E, ned til C*. kvint op kvart ned ---- kvint op ---- kvart ned terts ned De relative frekvenser bliver: 3/2 * 3/4 * 3/2 * 3/4 * 4/5 = 81/80, dvs. at vi ender på et C* som er det syntoniske komma højere end det oprindelige C RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 5 af 7
6 Bonus-afsnit : Underdeling af halvtone-trinnet i cents Halvtone-trinnet findeles i 100 lige store del-trin, kaldet cents. Et halvtone-trin svarer til 100 cents, et kvarttone-trin svarer til 50 cents, et tiendedels-halvtone-trin svarer til 10 cents. (Det er historisk, men pokkers at vores mindste tone-enhed hedder "halvtone"). Et halvtone-trin svarer til den relative frekvens 2 =2 =1,0595. Hvert del-trin på 1 cent svarer til den relative frekvens: 2 =2 =1, Hvis springet fra en tone A til en tone B svarer til den relative frekvens b/a, og antal cents betegnes med c, fås sammenhængen: =2 For at komme fra den relative frekvens mellem to toner, b/a, til forskellen mellem de to toner i cents, c, må man benytte logaritmer som er det "omvendte" af potenser: =1200 =1200 log2 log ( ) Her vises den tidligere tabel som sammenlignede ren med tempereret, men nu angivet i cents: Interval Ren Tempereret Tempereret minus Ren prim lille sekund stor sekund (?) lille terts stor terts kvart tritonus? 600 kvint lille sekst stor sekst lille septim stor septim oktav (?) stor sekund som 10/9 svarer til 182 cent. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 6 af 7
7 F.eks. er for den store terts den tempererede 14 cent højere end den rene, dvs. ca. 1/7 halvtone-trin højere. Tilsvarende er den tempererede lille terts 16 cent lavere end den rene lille terts, ca. 1/6 halvtone-trin lavere. Ulvekvinten med relativ frekvens 1,4798 svarer til 678 cent, altså 22 cent under den tempererede kvints 700 cent og 24 cent under den rene kvints 702 cent. Cent-målet er additivt. Vi havde tidligere et eksempel med stabling af 3 rene store tertser, her landede vi på en for lille oktav, men hvor lille? Stabling af 3 tempererede tertser giver præcis en oktav. I ovenstående tabel ser vi at en stor tempereret terts er 14 cent højere end en stor ren terts. Dvs. at stabling af 3 rene tertser havner = 42 cent under oktaven, altså næsten en kvarttone under. Det pythagoræiske komma, i frekvens 129,476/128, svarer til 23 cents. Det syntoniske komma, i frekvens 81/80, svarer til 22 cents. Ideen bag cent-begrebet er baseret på en almen erfaring om sammenhængen mellem fysiske påvirkninger og sanseindtryk. I mange tilfælde gælder at sanseindtrykket "afhænger logaritmisk" af den fysiske påvirkning. Det betyder at hver gang den fysiske påvirkning øges med en bestemt multiplikations-faktor, så øges sanseindtrykket med et additivt trin. Dette kaldes den "Weber-Fechnerske lov", benævnes dog også i den mere generelle form gældende for mange forskellige slags sanseindtryk "Stevens' Power Law". Lovemæssigheden gælder kun tilnærmet og kun indenfor visse grænser. Det er dette som danner baggrund for f.eks. målet for lydstyrke, decibel-skalaen, db, hvor definitionen er at vækst i fysisk lyd-effekt på en faktor 10 svarer til 10 trin på db-skalaen. Det betyder at en vækst i fysisk lyd-effekt på en faktor 2 svarer til at man går ca. 3 trin op på db-skalaen. Lyd-indtrykket af 1 motorcykel øges med ca. 3 db når vi udsættes for 2 motorcykler. Der skal så 4 motorcykler til igen at øge lydtrykket med 3 db. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 7 af 7
En musikalsk praktisk introduktion til Stemninger. Feb-08
En musikalsk praktisk introduktion til Stemninger. Feb-08 Allerførst vil jeg introducere den rene kvint og den rene stor-terts. Det er de toner der optræder som overtoner (eller partialtoner) i enhver
Læs mereEn oversigt over (næsten) samtlige stemninger stillet op grafisk mod den treklang. Prætoriansk. Treklange: C-G-D-A-E-H-F#-G# streg Eb-Bb-F-C
Stemninger resultater mus og mat Gert Uttenthal Jensen Side 1 Stemninger -resultater En oversigt over (næsten) samtlige stemninger stillet op grafisk mod den treklang. Pythagoræisk Ren Prætoriansk Werckmeister-III
Læs merePrætoriansk stemning: Hvor mange tonearter kan man spille i? Gert Uttenthal Jensen
Prætoriansk stemning: Hvor mange tonearter kan man spille i? Gert Uttenthal Jensen I overgangen fra de ikke-tempererede stemninger, som fx den prætorianske til de tempererede, som fx den ligesvævende,
Læs mereAkkorder bruges til at akkompagnere musik. Akkorderne tænkes opbygget af tertser der er stablet på hindanden.
Akkord Oversigt Oversigt Næste C -dur Cm C7 C6 Cm7 C ø Cm7b5 C9 Cm7b9 C11 C13 Cdim C+ Akkorder bruges til at akkompagnere musik. Akkorderne tænkes opbygget af tertser der er stablet på hindanden. Du kan
Læs mereHvad er musik. 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse
Hvad er musik 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse Hvad er musik egentlig? (Hvad mener du?) Musik? Det skal bare lyde godt Hvad er musik? Følelser Rytme Klang Melodi Stilart - Genre Harmoni Overtoner
Læs mereNedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:
Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor
Læs mereChromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion
Chromatic staff Af Peter Hass Introduktion Der har været musik, længe inden der var nodesystemer. Inden man indførte nodelinier, forsøgte man at notere musik ved hjælp af neumer som blot var upræcise angivelser
Læs mereEn virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN
Jørgen Erichsen En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Ifølge overleveringen, som dog nok mere er en legende end en historisk kendsgerning, var det Pytagoras, som opdagede,
Læs mereMusik, matematik og forholdsregler
MATEMATIK Baggrund lærer Hvis du skærer rør (tæppe-/nedløbs- eller et andet rør) i tre forskellige længder, f.eks. 1 meter, 66,6 cm og 1/2 m, vil du få tre forskellige toner: en grundtone (1m) oktaven
Læs mereFra lyd-kilde til øre et eksempel. gennem luften. Hvordan ændres trykket I et punkt ud for øret? Ændringen over tid kan beskrives ved:
Stemninger musik og matematik Gert Uttenthal Jensen Side 1 Stemninger 10-04-2007 11:27 Fra lyd-kilde til øre et eksempel. En streng slåes an. Lydbølgens udbredelse gennem luften Lyden når øret Betragt
Læs mere1. Forstærkning af melodien
http://cyrk.dk/musik/medstemme/ Medstemme Denne artikel handler om, hvordan man til en melodi kan lægge en simpel andenstemme, der understøtter melodien. Ofte kan man ret let lave en sådan stemme på øret,
Læs mereOm skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002
Om skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002 Når skalaen ligger fast har man materialet til melodisk og harmonisk stof i skalaens toneart Vi spiller Lille Peter Edderkop i C dur og kan derfor betjene
Læs mereVokalarrangement. Keld Risgård Mortensen. Indholdsfortegnelse. Trin 1 Grundflydestemme side 2. Trin 2 Bevægelig flydestemme side 4
1 Keld Risgård Mortensen Vokalarrangement Indholdsfortegnelse Trin 1 Grundflydestemme side 2 Trin 2 Bevægelig flydestemme side 4 Trin 3 Basstemmen side 5 Trin 4 Medstemme + forsinket terts side 9 Trin
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMåske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel.
Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel. Meningen med dette foredrag er at tage dig med på en
Læs mereLær at spille efter becifring
1 Lær at spille efter becifring Becifringsklaver med - brudte akkorder - Jan Kuby 2 Lærerorientering Anvendelse Overalt hvor unge og voksne undervises i becifringsklaver. Fra den frivillige musikundervisning
Læs mereProgrammet Intervalgeneratoren
Programmet Intervalgeneratoren I det følgende forklares og demonstreres (i den nævnte rækkefølge) begreberne frekvenskvotient, superposition, naturintervaller, pytagoræiske intervaller, tempererede intervaller,
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs merei tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale
Læs mereVEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL
inn Stubsgaard 8585 lesborg VJLNIN TIL RØRKLOKKSPIL Tidligere trykt som artikel i Tidsskriftet ysik Kemi, udgivet af anmarks ysik- og Kemilærerforening, Julen 1996, 22 årgang nr 5. Revideret i forbindelse
Læs mereEn f- dag om matematik i toner og instrumenter
En f- dag om matematik i toner og instrumenter Læringsmål med relation til naturfagene og matematik Eleverne har viden om absolut- og relativ vækst, og kan bruge denne viden til at undersøge og producerer
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereRytmer. Skalaer i dur og mol
Rytmer Treklange og D7 akkorder Nodelæsning Intervaller Skalaer i dur og mol Taktering 1 Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele af den er ikke tilladt ifølge gældende dansk
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereVores logaritmiske sanser
1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle
Læs merehvilket svarer til dette c, hvis man havde noteret i en tenor-nøgle
Treklangsmedstemmer s. 1 (TH 14) GENERELT Besætning: Lav koret 3-stemmigt for sopran, alt og tenor i tæt beliggenhed angiv besætningen ud for stemmerne. Korarrangementet er tænkt ud fra at der også tilføjes
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereKapitel 5 Renter og potenser
Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereHvad er matematik? OG MUSIK Gert Uttenthal Jensen faglig redaktion: Forfattergruppen bag Hvad er matematik? L&R Uddannelse
Hvad er matematik? OG MUSIK Gert Uttenthal Jensen faglig redaktion: Forfattergruppen bag Hvad er matematik? L&R Uddannelse Hvad er matematik? OG MUSIK Gert Uttenthal Jensen 209 L&R Uddannelse, København
Læs mereTenorens højeste højeste tone: tone: eller eller Altens dybeste tone:
Poprock-arrangement s. (TH 12) Poprock-arrangement s. 1 (TH 11) GENERELT GENERELLE PRINCIPPER FOR KORSATS Besætning: Besætning: Lav Lav koret koret 3-stemmigt 3-stemmigt for for sopran, sopran, alt alt
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereDen gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard
Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU Fra renæssancen udvikler den europæiske musik sig fra at være udpræget melodisk i sin karakter til
Læs mereBASSLINE4. Improvisation og bassolo for begyndere til øvede med 26 spændende skalaer og 10 bonus slapstyles. CD med 102 øve backing tracks inkluderet
BASSLINE4 Improvisation og bassolo for begyndere til øvede med 26 spændende skalaer og 10 bonus slapstyles CD med 102 øve backing tracks inkluderet Indholdsfortegnelse Forord Om Bassline 4...4 Improvisation
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereGrundlæggende lydtekniker kursus
Hvad er lyd? Grundlæggende Lyd kan vi opfatte med ørerne. Lyd opstår ved at noget bringes til at svinge. Hvis man f.eks. knipser en guitarstreng, vil den svinge frem og tilbage. Slår man med en hammer
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereAkkordsamling. til guitar. René B. Christensen
Akkordsamling til guitar René B. Christensen Akkordsamling til guitar c René B. Christensen, 0 Du er velkommen til at dele dette dokument - helt eller delvist - med andre, sålænge du henviser til det originale
Læs mereSansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed
Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mere3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder
3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive
Læs mereAnaloglyd for digitalister /finn holst 06
Analoglyd for digitalister /finn holst 06 2. Det første modul tonegeneratoren. Tonegeneratoren betegnes VCO (voltage controlled oscillator = spændingsstyret generator). At den er spændingsstyret henviser
Læs mereMEGET FLEKSIBEL AKUSTISK KOMFORT
MEGET FLEKSIBEL AKUSTISK KOMFORT Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Specielt designet til at reducere støjen fra regnog spildevandsrørledninger Tynde akustiske belægninger med høj ydelse Nemme at installere
Læs mereItalesættelse. Baggrund lærer. Hvordan taler vi om musikken og om kompositionen? Toner og Intervaller
Baggrund lærer MUSIK Hvordan taler vi om musikken og om kompositionen? Toner og Intervaller Toner er musikkens byggesten. Toner er frekvenser og de måles i hertz. Intervaller er afstanden mellem to toner.
Læs mereDen gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet
EMU/ Den gode stemning / Jens Ulrik Lefmann/Side af 38 Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU Vores forståelse af
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelig Basisår ved Aalborg Universitet
Det Teknisk-Naturvidenskabelig Basisår ved Aalborg Universitet Elektronik og Elektroteknik Gruppe B207 2. semester P2-projekt 2005 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Elektronik og Elektroteknik Strandvejen
Læs merewwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber
wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber Indhold Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber... 1 Indhold... 2 Lyd er trykforandringer i luftens molekyler... 3 Frekvens,
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereHvorfor kan vi ikke bare bruge rene kvinter og stortertser?
Hvorfor an vi ie bare bruge rene vinter og stortertser? Problemet med alle de stemninger der tager udgangspunt i rene tertser eller rene vinter de vil løbe ind i problemer omring en-harmonise toner - dvs
Læs mereI Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Vi har følgende grundtyper af flydestemmer:
Rockvokal Gert Uttenthal Jensen Frederiksborg Gymnasium & HF 2005 Flydestemme og akkorder 1. 3-stemmig flydestemme for lige stemmer I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Det
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereKapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden
Kapitel 1 Musik, matematik og astronomi i oldtiden Pythagoras store opdagelse Erkendelsen af en sammenhæng mellem musik og matematik går langt tilbage i tiden. Ifølge en legende blev forbindelsen opdaget
Læs mereÅrsplan i matematik for 8. klasse 2017/2018
Årsplan i matematik for 8. klasse 2017/2018 Undervisningen generelt: Undervisningen tilrettelægges ud fra fagets CKF er og forenklede fællesmål for faget. Undervisning bygges primært op ud fra emnerne
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereÅrsplan i matematik for 9. klasse 2017/2018
Årsplan i matematik for 9. klasse 2017/2018 Undervisningen generelt: Undervisningen tilrettelægges ud fra fagets CKF er og forenklede fællesmål for faget. Undervisning bygges primært op ud fra emnerne
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Herning HF og VUC Hf Fag og niveau Matematik C Lærer(e) Hold
Læs mereIndhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt
Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Indhold Musik Lyd Natur/teknik... 2 Lyd... 2 Toner... 3 Musikinstrumenter... 3 Idiofoner...4 Membranofoner... 4 Kordofoner...
Læs mereGyptone lofter 4.1 Akustik og lyd
Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Reflecting everyday life Akustik og lyd Akustik er, og har altid været, en integreret del af byggemiljøet. Basis for lyd Akustik er en nødvendig design-faktor ligesom
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereFærdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål
Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.
Læs mereÅrsplan i matematik for 9. klasse 2018/2019
Årsplan i matematik for 9. klasse 2018/2019 Undervisningen generelt: Undervisningen tilrettelægges ud fra fagets CKF er og forenklede fællesmål for faget. Undervisning bygges primært op ud fra emnerne
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereFormelsamling. Ib Michelsen
Formelsamling T = log(2) 2 log(a) Ikast 2016 Ib Michelsen Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede, har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den
Læs mereC Gennem tværfaglighed får eleverne lejlighed til at opleve matematikkens rolle i bredere sammenhænge.
Efter i flere år at have tumlet med idéen om at lade nogle 1. årgangstuderende arbejde med musik og matematik fik jeg i 1996/97 mulighed for at realisere projektet. Jeg fik timer til et udviklingsarbejde
Læs mereLøsninger til øvelser i kapitel 1
Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.
Læs mereMusikteori på video v. Anders Aare
1 Musikteori på video v. Anders Aare - oversigt over rammer, begreber og principper for analyseteori 1) Akkordlæsning Rammer: - klaverpartitur - funktionsharmonik, primært tertsopbygning - fokus på forsk.
Læs mereMatematik i 5. klasse
Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereMatematik. Læseplan og formål:
Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereVejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123
Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r
Læs mereLigningsløsning som det at løse gåder
Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereHarmonilære. Kompendium. efter. Leif Thybo. 6. udgave
Kompendium efter Leif Thybo 6. udgave 1998 2 Harmonilære Indhold Intervallæren............................................................... 3 Komplementære intervaller.................................................
Læs mereStemningssystemer. En undersøgelse af intonationsstrategi for a cappella SATB-kor. Kandidatspeciale. Sara Scully
Stemningssystemer En undersøgelse af intonationsstrategi for a cappella SATB-kor Kandidatspeciale Sara Scully Musikvidenskab Aalborg Universitet Musikkens Hus DK-9000 Aalborg http://www.musik.aau.dk/ Copyright
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereHvad er det for nogle tal?
Hvad er det for nogle tal? Ak ja tal er mærkelige og svære at arbejde med. I det følgende er en god portion matematik gemt, men jeg forsøger at formulere det sprogligt uden dog at love, at det bliver lysende
Læs mereÅrsplan i matematik for 8. klasse 2019/2020
Årsplan i matematik for 8. klasse 2019/2020 Undervisningen generelt: Undervisningen tilrettelægges ud fra fagets CKF er og forenklede fællesmål for faget. Undervisning bygges primært op ud fra emnerne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej 10, 2620
Læs mereLydteori. Lyd er ikke stråler, som vi vil se i nogle slides i dag.
Lydteori Introduktion Lyd er ikke stråler, som vi vil se i nogle slides i dag. Strålerne er en orklaringsmodel, der mere eller mindre godt beskriver virkeligheden. Lyd er bølger a lutmolekyler, der skubber
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSvingninger. Erik Vestergaard
Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard
Læs mere