SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

Transkript

1 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5

2 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning... 5 Komplekse tal... 6 Definition... 6 Eksempel... 6 Regning med komplekse tal... 7 Den komplekse talplan modulus argument Modulus... 9 Argument polærkoordinater Multiplikation i polære koordinater Division i polære koordinater Ligninger i den komplekse plan Ligningen komplekse kvadratrødder Ligningen komplekse kvadratrødder Andengradsligningen

3 Tallenes udvikling (Efterfølgende afsnit er hentet fra) Jørgen Ebert KOMPLEKSE TAL - en historisk aksiomatisk introduktion - Tallene er alle tings væsen, sagde Pythagoras. Han mente, at vejen til sjælens frigørelse lå i et studium af de talmæssige forhold, som gør naturen til et harmonisk kosmos. Selv om vi nu til dags - cirka 2500 år senere - nok ikke ville udtrykke os helt på denne måde, må vi indrømme, at tallene spiller en væsentlig rolle for vores forståelse af verden. Vi har opnået så stor fortrolighed med dem, at vi er tilbøjelige til at betragte dem som evige naturgivne. Men den opfattelse er forkert. Ideen om tallene er skabt af mennesker, som gennem årtusinder har forbedret regnekunsten. Den mest betydningsfulde drivkraft har været skiftende kulturers forsøg på at forklare naturens forskelligartede fænomener som for eksempel årstidernes rytme månens bevægelser. Men så rent praktiske gøremål har inspireret. Oldtidsbonden har haft brug for at holde styr på antallet af husdyr, søfareren behøvede en vis form for navigation. Alle disse aktiviteter involverede beregninger, som blev mere mere avancerede i takt med naturvidenskabernes udvikling. Når kravene til tallenes anvendelighed steg, måtte man udvide forbedre forældede talsystemer. De reelle tal bør derfor betragtes som en kulturel frembringelse, der har været undervejs, siden de første civilisationer opstod. Historien slutter ikke med de reelle tal. For kun et par hundrede år siden lykkedes det at udvide dem, så vi i dag har en endnu mere anvendelig talstruktur til rådighed - de komplekse tal. Følgende oversigt fremhæver i stærkt forenklet form nle af hovedpunkterne i tallenes regnemæssige udvikling frem mod de komplekse tal. De naturlige tal Den mest primitive af de sædvanlige talmængder er mængden af naturlige tal: N = {1, 2, 3,...}. De kaldes så tælletallene, fordi det er dem, man bruger, når man tæller. Men de kan så i begrænset udstrækning bruges til aritmetiske operationer. De naturlige tal er stabile over for addition multiplikation i den forstand, at såvel summen som produktet af to naturlige tal altid er et naturligt tal. Men stabiliteten er langt fra tilstrækkelig til at sikre, at alle additive eller multiplikative problemstillinger kan løses inden for mængden af de naturlige tal. Et så simpelt problem som»hvis jeg lægger 5 kroner til min formue, har jeg 3 kroner. Hvor stor er min formue?«har ingen løsning. Med andre ord: der findes ikke net naturligt tal x, som tilfredsstiller ligningen 5 + x = 3. Heller ikke ligningen 5 + x = 5 har nen løsning. De hele tal For at kunne løse alle ligninger af formen a + x = b er det nødvendigt at udvide talmængden til så at omfatte nul de negative hele tal. Dermed har vi mængden af alle de hele tal: 2

4 Z = {..., - 3, - 2, -1, 0,1, 2, 3,...}. De hele tal er - ligesom de naturlige - stabile over for addition multiplikation, man kan løse alle additive ligninger inden for denne mængde. Først i 1600-tallet begyndte negative tal at blive regnet for egentlig tal, helt frem til starten af 1800-tallet blev det blandt europæiske akademikere diskuteret, hvorvidt negative tal nul skulle tillades i matematikken. Men de multiplikative problemstillinger kniber det stadig med. Eksempelvis har problemet»fem personer har delt tre kager. Hvor meget fik de hver?«ingen løsning. Det er det samme som at sige, at ligningen 5 x = 3 ikke tilfredsstilles af net helt tal. De rationale tal Man kan kun løse alle ligninger af typen med, såfremt man udvider talmængden til så at omfatte alle brøker med heltallig tæller nævner. Denne mængde kaldes de rationale tal: { } De rationale tal indeholder de hele tal, thi et vilkårligt helt tal kan opfattes som en brøk med nævneren 1. Med denne udvidelse er man, foruden de additive ligninger, så i stand til at løse alle ligninger af formen, når blot. Næsten alle praktiske regneopgaver kan løses uden at forlade de rationale tal. Lommeregnere computere klarer sig endda med en ganske lille del af de rationale tal, nemlig dem, der kan skrives som endelige decimalbrøker med et bestemt maksimalt antal betydende cifre. De reelle tal Den næste udvidelse var dramatisk. Man opdagede, at forholdet mellem længderne af to linjestykker ikke altid kan angives ved hjælp af et rationalt tal. Sådanne linjestykker kaldes inkommensurable, deres forhold siges at være irrationalt. Allerede 300 år f. Kr. kendtes et bevis for, at forholdet mellem diagonalen en af siderne i et kvadrat er irrationalt (hvad er dette forhold?). Opdagelsen af de inkommensurable størrelser øvede en gennemgribende indflydelse på erkendelsesfilosofien. Man havde hidtil været overbevist om, at alle naturens fænomener kunne udtrykkes ved hjælp af simple rationale tal, at verden i hele sit væsen var rational. I oldtidens Grækenland havde medlemmerne af den navnkundige Pythagoræiske Skole viet hele deres liv til studiet af den guddommelige natur set i lyset af de rationale tal. Tallenes utilstrækkelighed kom som et chok for disse mennesker. Overleveringen siger, at guderne lod pythagoræeren Hippasos omkomme ved et frygteligt skibsforlis, fordi han med sin opdagelse af de inkommensurable størrelser kom dem for nær. Nle hemmeligheder er forbeholdt guderne. Opdagelsen var den direkte årsag til en total omlægning af den kurs, den græske matematik hidtil havde fulgt. Man måtte indrømme, at geometrien åbenbart var mere fuldkommen end tallene, thi geometrien kunne jo fremvise længder, som ikke kunne udtrykkes ved net tal. Som konsekvens heraf helligede man sig geometrien. Det førte i øvrigt til et yderst frugtbart arbejde, som resulterede i den klassiske geometri, der har holdt sig næsten uændret frem til vor tid. 3

5 De reelle tal, R, indeholder foruden de rationale tal så de irrationale. Dermed har man fået lukket de sidste huller på talaksen. Til ethvert punkt på talaksen svarer et reelt tal, til ethvert reelt tal svarer et punkt på talaksen. Det teoretiske grundlag for de reelle tal har været et virkeligt stort problem, som først er blevet løst på tilfredsstillende måde i nyere tid. Inden for de reelle tal er man i stand til at udtrykke længden af alle rette liniestykker andre geometriske størrelser som for eksempel forholdet p mellem en cirkels omkreds dens diameter. Desuden kan man inden for R løse alle ligninger af typen x n = a, hvor. Det vil sige, man kan uddrage n te-roden af alle positive tal. Men man kan ikke uddrage kvadratroden af negative tal, dermed har ligningen ingen løsning. Det skyldes, at x 2 altid - uanset værdien af x - er større end eller lig med 0. Altså vil x 2 +1 altid være større end eller lig med 1, derfor kan x 2 +1 aldrig være 0. Der er mange af den slags ligninger, som ikke kan løses, man har efterhånden affundet sig med, at»sådan er det bare«. Når man for eksempel skal løse en andengradsligning, beregner man først dens diskriminant. Hvis denne er negativ, er der ikke net at gøre: ligningen har ingen løsning. De komplekse tal Det ville lette mange beregninger, hvis det var tilladt at uddrage kvadratroden af -1. Belært af den allerede beskrevne udvikling, er det en nærliggende tanke at forsøge at udvide de reelle tal, således at x 2 +1 = 0 kan løses. Ideen er i sig selv ikke mere revolutionerende end den, der førte til de hele tal. Men regnetraditionen har rødder langt tilbage i tiden, den naturlige skepsis over for alt nyt har været svær at rokke på netop dette punkt. Derfor betragtedes ideen om at uddrage kvadratroden af -1 som næsten kættersk. Nle kritikere argumenterede med, at talaksen jo allerede var helt fuld af tal, så hvor skulle man finde plads til? Andre var mere konkrete i deres kritik. For eksempel fremførte de, at hvis eksisterede, ville man kunne opstille følgende to modstridende regnestykker: (1) (er ikke bevist at gælde) (2) På trods af al skepsis alle indvendinger har det d vist sig både muligt yderst anvendeligt at udvide talbegrebet. De komplekse tal, C, repræsenterer en udvidelse af de reelle tal, hvori ethvert polynomium af mindst første grad har et nulpunkt. Derfor har specielt ligningen x 2 +1 = 0 en løsning, derfor har det god mening at tale om. De komplekse tal betegnes C i kaldes den imaginære enhed. Nle gange bruges betegnelsen imaginære tal for de komplekse tal. Komplekse tal (betegnes C) forener et reelt et imaginært tal i en slags "par". Man kan beskrive et komplekst tal som to mere eller mindre "almindelige tal", kaldet realdelen maginærdelen, sat sammen til en enhed. (2 + 3i) er et eksempel på et kompleksttal. Lav intro til kompleksetal.docx fra fronter 4

6 Indledning Hvis vi skal løse andengradsligningen så bruger vi løsningsformlen (1) Vi plejer at sætte at kalde d for diskriminanten. Hvis d > 0 er der to løsninger, hvis d = 0 er der én løsning, hvis d < 0 er der så ingen løsning. Som vi så i Intro til kompleksetal.docx, havde andengradsligningen (2) ikke nen løsning, idet der ikke findes et reelt tal, som ganget med sig selv giver -1. Hvis vi alligevel prøver at bruge den sædvanlige løsningsformel, (1), for andengradsligninger, får vi Nu prøver vi at godtage som en løsning, selvom vi godt ved, at ikke er et reelt tal. Hvis (3) ( ) skal være en løsning, må der gælde eller m.a.o., at er et tal, som ganget med sig selv giver -1. I de tilfælde, hvor en andengradsligning ikke har nen løsning indenfor de reelle tal, kan løsningsformlen altid omskrives, så den står på formen man kan sagtens regne med tal på formen, når blot man husker at bruge regel (3) samt regnereglerne for de reelle tal. I praksis erstatter vi med i skriver I TII benytter vi csolve til at bestemme komplekse løsninger. 5

7 Komplekse tal Definition Vi vil nu definere, hvad der skal forstås ved et komplekst tal. Tallet i er givet ved Ifølge det foregående afsnit betyder det, at. De komplekse tal består af mængden af alle tal, der kan skrives på formen De komplekse tal betegnes C i kaldes den imaginære enhed. Nle gange bruges betegnelsen imaginære tal for de komplekse tal. De reelle tal x y kaldes hhv. realdelen imaginærdelen af det komplekse tal betegnes hhv. Re(z) Im(z). Hvis kaldes et rent imaginært tal. Hvis er et reelt tal. Derfor er de reelle tal en delmængde af de komplekse tal. Hvis kaldes det komplekst konjugerede tal til z. Eksempel er et komplekst tal med realdel 2 imaginærdel 3. det konjugerede tal til z er et reelt tal. er et rent imaginært tal. Bestem nulpunkter til følgende funktioner (manuelt, kontrol ved TII), angiv imaginærdelen realdelen. (UHM),, Vi kan så få TII til at bestemme nulpunkterne for os. Hvis vi taster solve(x 2-2x + 17 = 0, x) fortæller TII, at resultatet er false, da der ikke er nle løsninger i de reelletal. Men hvis vi taster csolve(x 2-2x + 17 = 0, x) giver den os de komplekse løsninger. 6

8 Regning med komplekse tal Addition, subtraktion, multiplikation division foregår på samme måde som for reelle tal. Man skal blot huske på, at. Sætning 1 Lad være to komplekse tal. Så gælder: Sum af de to tal: læg realdelene imaginærdelene sammen hver for sig, dvs.: Differens af de to tal: På samme måde som ved en sum regnes på real- imaginærdele for sig. Konstant gange et tal: konstanten ganges på både realdelen imaginærdelen. Bevis: Sum, differens konstant gange et tal føres som øvelser i klassen Hertil skal det nævnes at to komplekse tal er identiske præcis hvis. Multiplikation division med komplekse tal, er lidt mere omstændigt. Sætning 2 Lad være to komplekse tal. Så gælder: Multiplikation giver et nyt komplekst tal Division foretages ved at forlænge med nævnerens komplekst konjugerede giver et nyt komplekst tal. Bevis: Multiplikation (gange): Hermed vist 7

9 Division: Hermed vist Øvelse Opdigt 5 tilfældige komplekse tal (a, b, c, d, e), få din makker til at lægge to af disse sammen, trække to fra hinanden, dividere to af tallene eller gange to af tallene sammen. Den komplekse talplan modulus argument. Vi har fra de naturlige tal hele tiden udvidet vores talakse til at indeholde flere flere tal. Ved de reelletal var vores tallinje komplet (ingen huller). Vi har endvidere siden 1g været vant til at tegne reelle tal på en tallinje/talakse. På den måde har vi kunnet identificere et punkt på talaksen med et reelt tal et reelt tal har vi kunnet tegne som ét punkt på talaksen. Men med udvidelsen af de komplekse tal møder vi et illustrationsproblem med vores nuværende tallinje. I sidste afsnit i vores arbejdsark indførte vi de komplekse tal specielt set på den imaginære enhed, i. Men vi mangler at sige mere præcist hvad i er, kigge på hvordan vi kan angive det iforhold til en tallinje. Da vi til et hvert reelt tal nu an koble uendelig mange imaginære tal, så vil det for de fleste give god mening at illustrere dette ved et koordinat-system. Som vi nu skal se, kan komplekse tal så tegnes som punkter - men nu i et koordinatsystem med to vinkelrette talakser. Dette koordinatsystem kaldes den komplekse talplan. Øvelse: Indtegn de komplekse tal samt svarene fra forrige øvelse i et komplekst plan. 8

10 Det er meget let at addere to komplekse tal, som vi allerede har set i vores arbejdsark. I den komplekse plan kan dette illustreres med en enkel tegning. Figuren viser, at tallenes stedvektorer (stedvektor: pil fra (0, 0) til punktet) lægges i forlængelse af hinanden. Vi kan altså komme fra origo til vores resultat ved konsekvent at gå den reelle del hen ad første aksen den imaginære del op/ned ad anden aksen. Nle vil nok genkende processen fra vektorregning. Øvelse: Få sidemanden til at opdigte 3 komplekse tal, bestemme hvordan de skal lægges sammen/trækkes fra hinanden. Find nu svaret ved grafisk at indtegne disse vektorer efter hinanden (som illustreret oven over). Modulus Afstanden fra origo til punktet kaldes så for modulus. Sætning: Lad være et komplekst tal. Længden af stedvektoren til z (afstanden fra origo til punktet) i den komplekse plan kaldes modulus af z skrives z : Bevis: Vi har en retvinklet trekant. Dermed kan vi benytte pythagoras til at bestemme z. Da vi ikke kan have negative længder må Øvelse: Bestem nu modulus til de komplekse tal i den foregående øvelse. 9

11 Argument polærkoordinater Når vi nu har et komplekst tal angivet som en linje så kaldet en vektor fra origo til punktet, vi kan bestemme længden af denne, så vil der ligeledes kunne bestemmes en vinkel (altså en retning) for vektoren. Som en indledning skal det nævnes, at det normalt er standard at benytte radianer, når der regnes i komplekse tal. Her i noterne benytter vi d grader. Her skal vi lige have fat på vores viden fra geometrien omkring cosinus sinus. 1 T Kort ridset op: Punktet R har koordinaterne (cos (v), sin (v) ). Dette R er nu repræsenteret ved vores komplekse tal. sin (v) cos (v) cosinus til vinklen v er første-koordinaten -1 A v cos (v) S 1 P til retningspunktet (vores komplekse tal). sin (v) sinus til vinklen v er anden-koordinaten til retningspunktet (vores komplekse tal). -1 Øvelse: Hvis vi kobler vores viden fra ensvinklede trekanter med dette, hvordan kan vi så omskrive, så det indeholder cosinus sinus. Tip: kig på z Definition Vinklen fra den positive reelle akse til stedvektoren til z kaldes argumentet af z skrives arg(z). Sætning Et komplekst tal kan skrives på såkaldt polær form: Hvor z er modulus v er argumentet arg(z)., Bevis. For en vinkel v mellem 0 90 følger af ensvinklede trekanter vores viden om sinus cosinus, at Herfra får vi at Dette kan nu samles: Hermed bevist 10

12 Hvis vinklen v er større end 90, forløber beviset næsten på samme måde, Vi husker på at Herfra får vi at Dette kan nu samles: Tilsvarende for de øvrige kvadranter Hermed bevist. BEMÆRKNING: Et tals argument er ikke entydigt (som modulus er), da da vi kan måle vinklen med mod uret (positivomløbsregning er mod uret). Derfor kan et tal have uendelig mange argumenter. På tegningen ses to argumenter, men vi kan jo blot løbe yderligere 360 rundt, så igen, så.. Der er tradition for at kalde den værdi af arg(z), der ligger mellem , for hovedargumentet af z, hvilket skrives Arg(z). Dermed er, hvor. Årsagen er at mange regner i radianer, der gælder at Når vi (her) taler om argumentet af tallet z, menes den værdi, som ligger mellem Bemærkning: To komplekse tal er identiske når de har identiske modulus argumenter., Øvelse: Omskriv følgende tal til polær form angiv modulus argument: Om tallet w ved du, at w =2 arg(w)=45. Skriv w på formen Multiplikation i polære koordinater. Vores mål er at vise hvordan kan beregnes. Vi starter med en hjælpesætning, så kaldet et lemma. Sætning Om produktet af to komplekse tal gælder der at: dvs. at, hvor, hvor 11

13 Bevis: Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver os at: Dermed ses at Hermed bevist Sætning Hvis hvor, så er dvs. at Bevis: Beviset føres som et induktionsbevis n=2: Følger direkte fra sætningen om multiplikation af kompleksetal n=k: Vi antager, at sætningen gælder (induktionsantagelse) n=k+1: (induktionsskridtet). Direkte fås Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver nu Da n=k+1 Herfra kan vi se at der må gælde at Hermed bevist Lad. Bestem 12

14 Division i polære koordinater. Sætning Om kvotienten af to komplekse tal gælder: ( ), hvor, hvor dvs. at: Bevis: Da, har vi Med vores viden omkring enhedscirklen:, fås Hertil benytter vi at (vil ikke blive bevist her): Dette giver nu Her af ses at ( ) Hermed bevist. Lad. Bestem 13

15 Ligninger i den komplekse plan Ligningen komplekse kvadratrødder Tidligere i noterne har vi vist at Nu skal vi se vores potenser af z i relation til rødder. Hvis, vil vi forsøge af finde z., hvor Sætning Ligningen hvor har n løsninger ( ) ( ) hvor Bevis: Løsningerne til ligningen er præcis de tal z som opfylder, hvor p=0,1 Da, er kravet altså at. Da modulus er et ikke negativt tal, har vi: Da jævnfør tidligere sætning om. Da, jævnfør vores viden om vinkler/argumenter. Derfor må have at Lad nu p løbe fra 0 op efter. Nu bliver argumenterne heraf fremgår det at der er præcis n forskellige argumenter til z. Dermed Hermed bevist Løs. Løs (fra stud. eksamen 1969). Tegn løsningerne ind i et komplekst talplan. 14

16 I TII kan vi blot løse opgaverne med csolve (husk at benytte i fra mathboksen). I opgaverne oven over ser det ud til at der dannes to trekanter. Det viser sig, at løsningerne danner en regulær n-kant. Årsagen er selvfølgelig den vinkel som hele tiden ligges til i ovenstående sætning. Modulus af løsningerne er ens. Argumentet til løsningerne er forskellige, men adskiller sig ved. Im(z) 3 Im(z) Re(z) Re(z) Løsninger til z^6 = Løsninger til z^7 = 2 + 8i Prøv selv at danne en grafisk løsning af en selvvalgt ligning Ligningen Sætning Ligningen hvor komplekse kvadratrødder har n løsninger ( ) ( ) Løsningerne kan skrives på formen hvor Bevis: ( ) ( ) Første del følger direkte af fra sætningen om. Anden del kommer af at ( ) ( ) ( ) kvadratroden kan vælges til enten + eller efter behag. Hermed bevist. 15

17 Andengradsligningen Tidligere har vi arbejdet med andengradsligningen, hvor. Vi kunne løse denne ligning hvis diskriminanten. Vi generalisere nu denne ligning tillader at koefficienterne kan være komplekse. Definition En general andengradsligning har formen hvor både koefficienterne den ubekendte z kan være komplekse tal. Sætning Enhver andengradsligning har altid to løsninger: Bevis: Beviset følger opskriften fra tidligere. Se AB1 s. 44 for yderligere info. Hermed kan vi se at diskriminantens værdi er underordnet i de komplekse tal. Hermed bevist Løs andengradsligningen 16