Problembehandling Progression
Problemløsning Problemløsning forudsætter at man står overfor et problem som man ikke har en færdig opskrift til at løse. Algoritme Når man har fundet frem til en metode eller gives en metode til at løse problemet på har du fundet algoritmen. Algoritmer er opskrifter man kan anvende til at løse opgaver. 2
Undersøgelser har vist, at børn med store indlæringsvanskeligheder har samme kvalitet i deres opmærksomhedsfunktion som deres bedre fungerende kammerater, når begge parter møder lette opgaver, mens børnene med indlæringsvanskeligheder demonstrerer opmærksomhedsproblemer både ved for dem for svære opgaver og ved krav om nøjagtighed. Mogens Hansen, 2002 3
Matematiklæreren ser eksekutive funktioner i problemopgaver, men ikke i taltræning. Det vil sige at man i skolen skal spørge læreren om barnets funktion over for problemløsning og projektorienteret arbejde. Anne Vibeke Fleischer 4
Problemløsnings færdigheder involverer Domænespecifik viden (viden om matematik) Heuristik (viden og erfaringer der plejer at virke, en tommelfingerregel) Matekognition (tænkning omkring en opgave og hvordan man selv plejer at løse opgaver) Beliefs (holdninger til sig selv og faget) Konteksten (sammenhængen hvori opgaven er formuleret) 5
Udviklingen af problemløsningsfærdigheder kræver: Mulighed for at træne problemløsningsfærdigheder Muligheden for løbende at anvende problemløsningsfærdigheder Muligheden for et trygt miljø der gør det muligt at synliggøre elevernes strategier Muligheden for at eleverne bliver bevidste om deres problemløsningsstrategier Muligheden for at kunne beskrive de mentale processer der ligger til grund for problemløsning 6
Problemløsning består af fire trin: 1. At få en ide, altså at kunne danne indre forestillingsbilleder om noget, man gerne vil - at nå et mål. 2. At planlægge, dvs. at kunne tænke i sekvenser (først, og så til sidst), mens man fastholder opmærksomheden på målet. 3. At udføre, dvs. at gå i gang med de delhandlinger, der i den rigtige rækkefølge fører til målet uden at lade sig aflede. Undervejs skal opmærksomheden være rettet både mod tilfredsstillelse af det konkrete behov og hensyntagen til omgivelsernes forventninger og krav. 4. At reflektere og eventuelt justere. Handlingerne skal løbende vurderes så man tager stilling til, om de fører til det ønskede mål, eller om der skal justeres undervejs. 7
At få en idé Erkendelse af problemet: Hvad er problemet? Formål, hvor skal det ende? Hvor vigtigt er det scala 1-10 Beslutte at handle. Initiativ. 8
At planlægge Analyse, planlægning, strukturering: Hvilke muligheder har jeg? Hvad har jeg brug for? Tid, ressourcer, hjælpemidler. Hvilke dele hører med? Sætte dele i rækkefølge Nødplan. 9
Løbende refleksion Udførelse, handlefasen: Hvordan bevæger jeg mig frem? Kigge tilbage i målsætning/planlægning. Hvordan klarer jeg modgang, så jeg kan komme videre? 10
Handling 4 Kontrol og vurdering: Vurdere resultatet i forhold til målet. Vurdere forløbet. Er der noget jeg ikke fik med? Hvad har jeg lært, nye erfaringer. 11
Problemløsningsstrategier 1. Fremstil en liste over hvad du ved. (Strukturering og systematisering) 2. Er det muligt at dramatisere situationen? (konkretisering) 3. Kan man bruge konkrete materialer? (konkretisering) 4. Er det muligt at tegne et billede? (mentalisering, visualisering, strukturering og systematisering) 5. Kan man skrive ned undervejs? (mentalisering, hukommelse, strukturering og systematisering) 6. Er det muligt at tegne en skitse? (mentalisering, visualisering/strukturering og systematisering) 7. Er det muligt at fremstille en ligning/funktion? (generalisering) 8. Er det muligt at anvende bogstaver/algebra? (generalisering) 9. Løs enklere problemer af samme type. 10.Kan opgave løses ved at arbejde baglæns? 11.Gæt og prøv.
Observation af egen arbejdsform Hvordan systematiserede du? Hvilke strategier anvendte du? Forandrede du arbejdsmåde undervejs? Hvorfor? Fandt du frem til en arbejdsmåde der virkede, og som du fortsatte med at bruge? Kan der være flere måder at løse opgaven på? 13
En karavane var kørt fast i ørkenen, og de har besluttet at hente hjælp. Der er 6 dagsmarcher tilbage til civilisationen. Hver person kan bære mad og vand til 4 dage. En person kan altså ikke bære vand og mad nok til sig selv. Hvor mange må drage af sted, for at en person kan hente hjælp, og de andre kan komme sikkert tilbage til karavanen? 14
15
Progression Intuitivt analytisk 16
Analysemodel T 1 Fortæl hvordan du gør! Intuitivt T 2 Er der et system? Konkret T 3 Er der en regel? Abstrakt Van Hiele 17
Trin 1-Intuitivt handlende Eleven genkender figurerne visuelt og som en helhed. Figurens udseende er det der definere figuren. En eleven definere et kvadrat ved at fortælle Et kvadrat er et kvadrat fordi den ligner et kvadrat Et kvadrat, der er drejet 45 grader, er derfor ikke længere et kvadrat. En elev der klassificerer forskellige figurer i grupper, med dette udgangspunkt, gør det ud fra en intuitiv forståelse for figurernes visuelle udtryk. Elever, der arbejder på dette trin, tager derfor udgangspunkt i deres egen intuitive forståelse. Det er derfor vigtigt, at man her prøver at forstå hvordan eleven tænker, frem for at prøve at trække eleven ind i bestemte måder at tænke på, da eleven ikke umiddelbart vil være i stand til at sætte ord på sin viden. 18
19
Trin 2- Konkret analyserende Eleven arbejder på dette trin med egenskaberne ved en figur. Eleven kan ud fra figurens egenskaber beskrive et kvadrat som havende fire sider, hvor de modstående sider er parallelle og lige lange, samt at alle vinklerne er rette. Dette giver eleverne nye muligheder, når de grupperer og klassificerer geometriske figurer. Hvis en geometrisk figur skal tilhøre en bestemt klasse, skal den have visse bestemte karakteristika, der gør, at den kan tilhører en given klasse. De geometriske figurers egenskaber der på det foregående trin lå ubevidst hos eleven, bliver nu omsat til bevidst tænkning hos eleven. Elever på dette trin kan opliste egenskaber ved kvadrater, rektangler, parallelogrammer m.m. her er det derfor muligt at arbejde med bestemte måder at klassificere geometriske figurer. Ifølge van Hiele mestrer eleverne endnu ikke at generalisere figurernes egenskaber, fx at alle kvadrater er rektangler, fordi at kvadratet har alle rektanglets egenskaber 20
4 sider der er lige lange Siderne er parallelle 2 og 2 Alle Vinklerne er 90 grader 21
Trin 3- Generelt analyserende På dette trin skal eleverne reflektere over relationer mellem klasser af figurer. Der er fokus på hvis-så- ræsonnementer. Et ræsonnement kan fx se således ud: Hvis en firkant har fire lige lange sider og mindst en ret vinkel, så er det et kvadrat Hvis et kvadrat har ovenstående egenskaber, så er det også et rektangel. Fordi Eleven kan på dette trin følge et logisk deduktivt ræsonnement. Et kvadrat er også et rektangel fordi siderne er parvist lige lange og parallelle og vinklerne er 90 grader 22
Hvis en firkant har fire lige lange sider og mindst en ret vinkel, så er det et kvadrat 23
Differentiering/evaluering/progression Denne måde at tænke på giver ligeledes mulighed for en mere bevidst differentiering/evaluering/progression/dokumetation af/i undervisningen. Mange aktiviteter kan organiseres i klassen på en sådan måde at de forskellige abstraktionsniveauer tilgodeses. Et eksempel: Fortæl hvordan du grupperer disse figurer? (Trin 1) Hvilke egenskaber har du valgt at sortere efter? (Trin 2) Hvad karakteriserer disse grupper? (Trin 2/3) Kan man generalisere figurerne ud fra deres egenskaber? (Trin 3) T 1 T 2 T 3 24
Trekantsbageriet Trekantsbageriet har skabt deres bedste idé. En trekantet kage som I kan se her til højre. Hver kage er lavet af forskellige kagestykker med forskellig smag. Hvert kagestykke koster forskelligt. Fremstil forskellige kager 1. Hvad koster jeres billigste kage? 2. Hvad koster jeres dyreste kage? 3. Hvad kan prisen på de enkelte kagestykker være, hvis alle kager skal have samme pris? 25
Mønstre der vokser Hvor mange tændstikker skal du anvende til 2 firkanter? Hvor mange tændstikker skal du anvende til 3 firkanter? Hvor mange tændstikker skal du anvende til 27
Se her børn, jeg holder en boks i hånden. Den har seks lige store sider, hver af dem er et kvadrat, vi kalder sådan en form for en Hvem kan fortælle mig, hvad det er jeg holder i hånden? Se nøje på den boks jeg holder i hånden. Jeg sender den rundt, så I alle kan prøve at have den mellem hænderne Hvad kan I fortælle mig om denne boks? 29
Hvad hedder denne figur? Hvad er 8 gange 6? T 1 Beskriv figurerne i dette billede! Fortæl historien om dette regnestykke (8x6)! T 2 Hvilken form kan man forvente (4x4) cm 2? Kan du forudsige (4, 8, 12,.? Kan du opdele problemet i mindre dele. Hvad fortæller disse data os? Er der et system? Er der en regel Kan du forudsige det næste nummer i talrækken? Hvad nu hvis? T 3 Er den valgte metode hensigtsmæssig? Er dette facit rimeligt? Hvilke fejlkilder skal man være opmærksom på? 30
Spørgsmål der kan indlede en diskussion Prøv at forklare hvorfor, du tror det? Hvordan er du kommet til det resultat? Hvordan kan man vide det? Overbevis resten af os om at det stemmer? Er der andre der har samme svar men en anden forklaring? Hvilke ligheder er der på jeres forklaringer? Hvilke forskelle er der på jeres forklaringer? Er det sandt i alle sammenhænge? Hvordan vil du vise det? Hvad ved du? Hvilke antagelser vil du gøre? Hvordan kan man vise det ved hjælp af en model? Spørgsmål der kan støtte eleverne i at formulere og løse problemer Hvad tror du er problemet? Mangler du noget for at kunne løse problemet? Er der oplysninger der er overflødige? Har du et forslag? Tør du gætte? Er det muligt at formulere problemet på en anden måde? Kan du finde et mønster? Hvad nu hvis? Er det muligt at ændre på problemet for at få andre løsninger? Kan du komme i tanke om noget fra tidligere vi kan tage i anvendelse? Kan du finde nogen sammenhænge? Har du før arbejdet med lignende problemer? 31
Observation af egen arbejdsform Hvordan systematiserede du? Hvilke strategier anvendte du? Forandrede du arbejdsmåde undervejs? Hvorfor? Fandt du frem til en arbejdsmåde der virkede, og som du fortsatte med at bruge? Kan der være flere måder at løse opgaven på? 32