Fysik 3 Førsteårsprojekt

Fysik 3 Førsteårsprojekt Arvid Böttiger Nikolaj Korolev Jesper Mathias Nielsen Martin Cramer Pedersen Københavns Universitet

Indhold 1 Indledning 2 2 Standardmodellen 2 3 BRAHMS-detektoren 3 3.1 Generelt om BRAHMS.................................. 3 3.2 Beam-Beam-counters................................... 3 3.3 TPC - Time Projection Chambers........................... 4 3.4 Driftchambers....................................... 4 3.5 Dipol-magneter...................................... 4 3.6 Hodoskoper........................................ 5 3.7 Cherenkov-detektorer.................................. 5 4 Teoretiske udledninger 6 4.1 Partikelidentifikation................................... 6 4.2 Middellevetid....................................... 6 5 Fejlkilder og Datasortering 7 5.1 ROOT........................................... 7 5.2 Indledende cuts - Intervalcuts.............................. 8 5.3 Geometriske cuts..................................... 8 5.4 Partikelsorteringscuts.................................. 10 6 Effektiviteten af detektorerne 11 7 Databehandling 12 7.1 Fremgangsmåde...................................... 12 7.2 Resultater......................................... 13 8 Usikkerhedsvurdering 13 8.1 Overvejelser angående grundlaget for usikkerhedsberegning............. 13 8.2 Usikkerhed på de benyttede størrelser......................... 14 9 Usikkerhedsberegning 14 10 Konklusion 14 11 Litteraturliste 16 12 Appendix 17 12.1 Appendix A........................................ 17 12.2 Appendix B........................................ 18 12.3 Appendix C........................................ 19 12.4 Appendix D........................................ 20 12.5 Appendix E........................................ 21 12.6 Appendix F........................................ 22 12.7 Appendix G........................................ 23 1

1 Indledning I dette projekt vil vi bestemme pionernes middellevetid vha. målinger foretaget på partikelacceleratoren RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) ved Brookhaven National Laboratory. Det overordnede formål med forsøget ved RHIC er at studere kvark-gluon-plasmaet, som man mener, eksisterede i de første milliontedele sekunder efter Big Bang. BRAHMS (Broad RAnge Magnetic Spectrometer) er en af fire spektrometre i RHIC og det ved brug af data fra dette spektrometer, vi vil bestemme pionens middellevetid. I forhold til vores uddannelse på Københavns Universitet, er forsøget interessant, idet udregningen af pionens middellevetid kræver og således anleder til et studie af hhv. standardmodellen, relativistisk bevægelse, omfattende databehandling og usikkerhedsberegning. 2 Standardmodellen I standardmodellen redefineres de fundamentale byggesten og naturkræfterne kvantiseres ift. det klassiske verdensbillede. Således er alle naturkræfter knyttet til en kraftformidlende partikel, en boson 1. Til grund for standardmodellen ligger antagelsen om, at samtlige subatomare partikler kan inddeles i to hovedgrupper, fermioner og bosoner. Igen kan fermiongruppen inddeles i to undergrupper, hadroner og leptoner. Hadronerne er partikler, hvis opbygning kan beskrives ud fra seks byggesten - kvarker 2. Den partikel vi beskæftiger os med, pionen, ligger i den gruppe af hadroner, der går under navnet mesoner. Mesoner består af kun to kvarker (en kvark og en antikvark). En positiv pion, π +, består således af en u og en d-kvark og får følgeligt ladningen +1, mens en negativ pion, π, består af en u og en d og har ladningen 1. Energien (potentialet) mellem to kvarker øges proportionalt med afstanden indtil tærskelenergien nås. Da vil der dannes et nyt kvark-antikvark-par, og netop derfor er det ikke muligt at have en isoleret kvark. Imidlertid dannes der under sammenstødet mellem de to guldkerner såkaldt kvarkgluon-plasma (QGP). Et kvark-gluon-plasma opstår under ekstreme forhold, og er en betegnelse for den suppe hvor kvarkerne flyver rundt mellem hinanden og endnu ikke har fundet sammen i par. Denne tilstand menes ikke at have eksisteret siden 10 6 sekunder efter Big Bang, men kan genskabes kunstigt i en accelerator, som det er tilfældet ved RHIC eller hvis der naturligt forekommer ekstreme betingelser af den kaliber, der skal til for at danne QGP. Derfor er det også klart at tilstanden kun eksisterer i så kort tid at den endnu ikke har kunnet observeres. Pioner er, grundet deres lille masse, den klart hyppigst forekommende partikel under et Au-Austød. Den består, som førnævnt, af en u kvark og en d kvark eller en u kvark og en d kvark. Desuden ved vi, at guldkerner består af protoner og neutroner, der henholdsvis kan skrives som uud og udd. Koncentrationen af u-kvarker og d-kvarker vil derfor være temmelig stor i den QGP, som kollisionen danner. Dette er en ideel grobund for vores pioner, der allerede eksisterer den ene af de to typer kvarker, der skal bruges til at skabe en pion, altimens der samtidigt er høj energitæthed, så chancen for dannelse af et let 3 par uu eller dd bliver dannet er stor. Når energitætheden falder igen et lille stykke tid efter kollisionen faseskifter plasmaen til den almindelige tilstand, hvor kvarkerne er bundet sammen af den stærke kernekraft, og de nye partikler flyver afsted. Det estimeres, at ud af de cirka 4000 partikler, der dannes ved kollisionen, er cirka 3500 af dem pioner 4. 1 Se eventuelt Appendix A 2 Se eventuelt Appendix B 3 Ift. andre kvark-antikvark par, se eventuelt Appendix C 4 Oplyst af I. G. Bearden 2

3 BRAHMS-detektoren 3.1 Generelt om BRAHMS BRAHMS står for Broad RAnge Hadron Magnetic Spectrometer, og som navnet antyder, er det et spektrometer, der dækker en stor vinkel omkring Vertex 5. Desuden er spektrometret kun i stand til at observere ladede hadroner. Spektrometret identificerer partikler ved at sammenholde partiklens afbøjning i et magnetfelt med dens udsendte Cherenkov-stråling. Figur 1: Systematisk diagram over BRAHMS 3.2 Beam-Beam-counters Til at bestemme tid og sted for Vertex benyttes en såkaldt beam-beam counter. En beam-beam counter består af to Cherenkov-detektorer 6, placeret på hver sin side af det ønskede sammenstødsområde 7, kaldet Beam-Beam Right, BBR, og Beam-Beam-Left, BBL. Detektorene indstilles til at reagere på to tærskelværdier - en for antallet af registrerede partikler, en for partiklernes hastighed. Hvis der registreres tilstrækkeligt mange partikler med tilstrækkelig stor hastighed, er sammenstødet sket indenfor det ønskede område og stopuret koblet til hodoskoperne kan startes. Endvidere registreres tidspunktet for tærskeloverskridelsen i hver detektor. Idet man følgelig betragter tidsforskellen mellem detektornes registrering af tærskeloverskridelsen t = t BBR t BBL, kan kollitionspunktet i en dimension bestemmes, idet vi kan udnytte, at detektorerne kun reagerer på partikler med hastigheder tæt på lysets. Vi udnytter således at afstanden mellem detektorne 5 Vertex er den almene term for det punkt, hvori kollisionen finder sted 6 Se afsnit 3.7 7 Vi tænker her på muligheden for videre behandling af partiklerne 3

er kendt med stor præcision og at: l BBR,BBL = v(t BBR + t BBL ) c(t BBR + t BBL ) (1) 3.3 TPC - Time Projection Chambers Time Projection Chamber 8 samt Drift Chamber 9 har til opgave at fastlægge partiklernes bane med henblik på - i samspil med en række dipolmagneter 10 - at bestemme impulsen af en bestemt partikel. TPC og DC er grundlæggende en kasse med gas i. Over kassen er der en given spænding og samtidigt kan spændingsfaldet måles ved en række detektorpunkter koblet til anode-gitteret. Når partiklerne fra sammenstødet passerer gennem kassen, ioniseres gassen og elektronerne vil bevæge sig mod det nærmeste detektorpunkt med en bestemt hastighed afhængende af spændingen over kassen og gassens viskositet. Elektronernes anslag mod detektorerne registreres og en række punkter i rummet kan fastlægges. Partiklens bane gennem kassen kan nu bestemmes, idet vi udnytter proportionaliten mellem elektronernes fortløbende anslag mod detektorne ned gennem kassen og partiklens bane. Vi fitter således den bedste rette linie gennem punkterne henført til elektronernes anslag mod detektorne. Vi bemærker, at z-aksen følger Forward Spectrometer-armen og (x, y) er således et tværsnit af kassen. 3.4 Driftchambers Konceptet i Driftchambers minder meget om konceptet i TPC. Man lader på samme måde de ladede partikler passere gennem en gas, hvorved gassen bliver ioniseret. Gassen udsender derved elektroner, der ledes ned gennem detektoren af et elektrisk felt. Dette elektriske felt er dog så svagt, at det ikke har nogen mærkbar indflydelse på pionernes bane. Ud fra disse elektroner er man så i stand til at estimere partiklens bane gennem detektoren ved at approksimere med en ret linie. Rent praktisk opfanges disse elektroner i et tæt gitter af strømførende tråde, der løber gennem detektoren. Man er derved i stand til at pinpointe elektronens udsendelsespunkt ud fra den rækkefølge elektronen påvirker disse tråde. Ligeledes er formålet med TPC og DC det samme. Dog er de to kamre ikke helt identiske - en række konstruktionsforskelle gør at TPC kan behandle større partikelmængder end DC, der tilgengæld kan spore partiklernes bane med større nøjagtighed. 3.5 Dipol-magneter I Forward Spectrometer sidder en række dipolmagneter (D1-D4 på figur 1). Når en ladet partikel passerer gennem et jævnt magnetfelt, der er orienteret ortogonalt på bevægelsesretningen, vil den påvirkes af en kraft 11 vinkelret på såvel partiklens bevægelsesretning som magnetfeltlinierne (eftersom kraftens retning er et krydsprodukt mellem hastighedsvektoren og magnetfeltlinierne, vil denne være vinkeltret på begge). Dette resulterer i en jævn cirkelbevægelse 12. Vi anvender Newtons 2. lov og vores viden om cirkelbevægelse og sætter Lorentzkraften lig centripetalkraften 13 : F = q (E + v B) = qvb = m v2 r = p2 m r 8 Fremover TPC 9 Fremover DC 10 Se afsnit 3.5 11 Jf. teorien om magnetfelter side 469 i Understanding Physics 12 Idet tabet af impuls er meget lille, antager vi, at den kinetiske energi i pionerne er bevaret, og derved også at deres hastighed ikke ændres 13 Se afsnit 4.1 (2) 4

Heraf kan vi finde impulsen: p = q B r (3) Vi bemærker, at radius i cirkelbanen som partiklerne foretager kan måles ved at kigge på sporene i TPC, mens det er os selv, der bestemmer magnetfeltstyrken. Ladningen får vi fra andre målinger. Det ses, at dipolmagneterne således har to formål. Dels medvirker de som beskrevet til bestemme partiklernes impuls og dels virker de som et effektivt partikelfilter, idet neutralt ladede partikler ikke vil fortsætte ud af FS-armen, da denne er naturligt afbøjet for at følge de interessante partiklers (pioner, kaoner og protoner) forventede bane. Ydermere vil negativt 14 ladede partikler afbøjes modsat spektrometerarmen. Slutteligt frasorteres også ikke-relativistiske partikler, idet deres impuls ikke tillader dem at undslippe magnetfeltet og dermed cirkelbevægelsen. 3.6 Hodoskoper De to hodoskoper, H1 og H2, er placeret i midten og i slutningen af FS. Hodoskopernes opgave er at bestemme antallet af partikler, som passerer gennem dem, samt at bestemme Time of Flight 15. Ved at se på kvotienten af partikler mellem de to hodoskoper kan vi bestemme henfaldet og følgeligt pionernes middellevetid. Hodoskoperne består af et stort gitter af scintillatordetektorer 16 - også kaldet slatter eller på dansk lyspuls-detektorer. Når detektorerne rammes af en partikel bruges en negligibel del af partiklens kinetiske energi til at excitere atomerne i scintillatorerne. Når de efterfølgende henfalder til grundtilstanden udsendes en lyspuls 17. Denne lyspuls detekteres og tiden for detektionen registreres med en meget stor nøjagtighed. Kombineret med vores information om Beam-Beam-Counters, kan vi nu bestemme ToF som: T of = t slut t start = t hodoskop t BBC (4) Som tidligere beskrevet definerer Beam-Beam-Counterne tidspunktet t = 0. Følgeligt er den tid, pionerne har tilbagelagt t hodoskop. Yderligere bruges hodoskoperne til at tælle antallet af passerende partikler, så til hver hodoskop H1, H2 knyttes en optælling N1 og N2. Forholdet mellem N1 og N2 er af vital betydning for denne rapport, da det er denne størrelse N 2/N 1, vi endegyldigt benytter til at bestemme middellevetiden. Vi benytter forholdet mellem N1 og N2 i henfaldsloven: Hvis vi indsætter optællingerne fra H1 og H2, får vi: 3.7 Cherenkov-detektorer N(t) = N 0 e t/τ (5) N 2 = N 1 e t/τ (6) Cherenkov detektorer består af et kammer med en gas 18 i, som man kender brydningsindekset, n, for. I gassen vil lyset have hastigheden v lys = c/n, hvor c er lysets hastighed i vacuum. Hvis en partikel med høj impuls trænger ind i kammeret og overstiger lyshastigheden i kammeret, vil partiklen udsende en kegleformet stråling i en bestemt vinkel i forhold til bevægelsesretningen, der udelukkende afhænger af hastigheden og brydningsindekset. Dette fænomen kaldes Cherenkovstråling og kan udnyttes til at bestemme partiklernes hastighed i de to detektorer C1 og RICH (Ring Imaging CHerenkov). I C1 er der monteret et sæt spejle, således at den udsendte chokbølge af elektromagnetisk stråling, 14 Positivt ladede, hvis magnetfeltet vendes 15 Fremover ToF 16 Technics for Nuklear and Particle Physics Experiments side 155 17 Technics for Nuclear and Particle Physics Experiments side 5-6 18 C 4 F 10 5

reflekteres til en række fotomultiplikatorer, der omdanner strålingen til jævnstrøm 19 og således registrerer antallet af partikler, der har udsendt Cherenkov-stråling og følgeligt må have bevæget sig med en hastighed over lysets i gassen. Hvor C1 kunne fastlægge antallet af partikler, der overskred lyshastigheden, kan RICH detektoren give os hastigheden. Den har et sfærisk formet spejl, der måler den vinkel som strålingen blev udsendt i, hvorved man får et ringformet billede ud for partiklerne. Uden at gå i detaljer, kan man ved at måle radius af disse cirkelbaner bestemme hastigheden. Målingerne fra Cherenkov detektorerne vil i det følgende afsnit vise sig særdeles anvendelige, da pionerne har den mindste masse og dermed kan opnå den højeste hastighed. Således kan Cherenkov detektorerne med den rigtige kalibrering bruges til at separere pionerne fra de andre hadroner. 4 Teoretiske udledninger 4.1 Partikelidentifikation For at kunne identificere og separere pionerne blandt de mange partikler, der skabes ved kollisionen, skal vi vide to ting om hver partikel; deres masse og deres ladning. Når vi har disse to, kan vi identicere partiklen 20. Vi ved, at partiklen følger en cirkelbevægelse i magnetfeltet. Den eneste kraft, der påvirker partiklen er Lorentz-kraften 21. Vi kan altså tillade os at sætte Lorentz-kraften lig med centripetalkraften i cirkelbevægelsen: Fra afsnit 3.5 får vi: 4.2 Middellevetid F cent = F Lorentz (7) p = qrb (8) Eftersom pioner er ganske almindelige radioaktive partikler, henfalder de, ligesom alle andre radioaktive partikler ud fra henfaldsloven: N(t) = N 0 e t/τ (9) hvor N 0 er antallet af partikler til tiden t = 0 og τ er middellevetiden. Vi sætter N1 = N0, N2 = N og t angiver tiden fra registreringen i H1 til registreringen i H2. Ved isolation af τ kommer vi frem til følgende udtryk: τ = t 0 ( ) (10) N ln 2 N 1 Vi bliver nødt til at regne relativistisk, da pionerne bevæger sig med hastigheder nær lysets. For at kunne bestemme τ må vi gange Lorentz-faktoren på idet vi transformerer til laboratoriesystemet. t = γt 0 = t 0 1 β 2 t 0 = t 1 β 2 (11) γ er Lorentzfaktoren, som er forklaret nærmere i det dertil henviste appendix. β dækker over v/c, altså forholdet mellem partiklens hastighed i laboratoriesystemet og lysets hastighed. Dette substituerer vi ind i vores udtryk for τ: 19 Ved hjælp af fotoelektrisk effekt 20 Se ligning 18 21 Se Appendix D τ = t 1 β 2 ln ( N2 N 1 ) (12) 6

Vi kan udregne t ved hjælp af simple bevægelsesligninger. Hvis vi benytter s som afstanden mellem hodoskoperne, kan vi udlede at: t = s v For nemheds skyld udtrykker vi igen hastigheden vha. β: Ved indsættelse i (12) får vi: t = s βc (13) (14) Vi sætter β 2 udenfor kvadratroden, reducerer og får: τ = s 1 β 2 βc ln ( N2 N 1 ) (15) s 1 β 1 τ = ( 2 ) (16) c ln N2 N 1 Vi ønsker at få β helt elimineret fra dette udtryk til fordel for kendte størrelser. Vi ved, at sammenhængen mellem impulsen og relativistisk hastighed (og derved også β, ser således ud): p = γmv = γmβc β = p γmc Vi kender sammenhængen mellem β og γ, og kommer ved nogle matematiske manipulationer frem til et udtryk, som kan eliminere β fra vores ligning for τ: Dette udtryk substituerer vi ind i (16): s τ = Vi reducerer dette udtryk til: (17) 1 β 2 = 1 + c2 m 2 p 2 (18) 1 + c2 m 2 p 1 2 c ln 5 Fejlkilder og Datasortering 5.1 ROOT ( N 2 N 1 ) (19) τ = m ( s ) (20) N p ln 2 N 1 Vores dataserier indeholder spor fra mange tusinde partikler, og vi har således behov for et passende værktøj for at kunne behandle de store datamængder. Under arbejdet på CERN har man ofte stået overfor netop dette problem og udviklede man derfor programmet ROOT. (Man har sig egen version af ROOT på BRAHMS, BratROOT, som vi dog ikke bruger, da vores data allerede er formateret til CERNs ROOT.) Udover at programmet er proportioneret til at behandle store datamængder, er en af ROOT s forcer den måde, hvorpå forskellige datalister fra en ROOT-fil 22 kan sammenlignes og kombineres 22 En dst-fil, et Data Summary Tree 7

i forskellige skæringer også kaldet cuts. Det er denne egenskab til at kunne opstille betingelser for enkeltstående datalister, der gør ROOT særdeles velegnet til at sortere og filtrere datasæt. Vi vil i dette afsnit opremse de fejlkilder, som påkræver sådanne sorteringer. Ydermere vil vi vise, hvordan disse fejlkilder forsøges minimeret med forskellige cuts. Grafisk beskæftiger vi os med hhv. en (1/β, p)-graf og en ( N, m 2) -graf. Betragtes graferne i flæng kan man danne sig et billede af, hvor godt hver enkelt cut renser rådataen for uegnede partikler. Én fejlkilde er en række ustabile partiklers henfald. Blandt andet dannes der ved sammenstødet en række partikler, der kan henfalde til forskellige hadroner. I det tilfælde at disse ladede partikler indfanges i FS, kan der ske følgende 4 ting. Partiklen kan fortsætte ud af detektorarmen. Her kan den henfalde enten før alle detektorer (situation 1), før H1 (situation 2) eller efter H1 (situation 3). Slutteligt er der det tilfælde, hvor partiklen ikke fortsætter ud af detektorarmen (situation 4). 5.2 Indledende cuts - Intervalcuts I situation 1 hvor partiklen henfalder til en målbar hadron før detektorerne, vil hadronen kunne indgå i måledata uden problemer. Indledningsvis tilføjer vi derfor tre interval-cuts med det simple formål at indsnævre vores data. seimpulse : Begrænser impuls-intervallet sem2 : Begrænser mass 2 -intervallet betalimit : Begrænser β-intervallet Figur 2: (p, 1/β)-graf og m 2 -histogram kun med SeM2 og betalimit for at fjerne det værste støj SeM2 = "FS.fH1.fMass2>-0.5&&FS.fH1.fMass2<1.5"; betalimit = "FS.fH1.fBeta>0.95&&FS.fH1.fBeta<1.01"; 5.3 Geometriske cuts I situation 2 hvor partiklen registreres af en eller flere detektorer før den henfalder til en registrerbar hadron 23 og registreres i H1, er det ikke muligt at bestemme RH s impuls. Imidlertid vil ROOT betragte partiklen og RH en som to forskellige partikler og i de detektorer, hvor hver af dem ikke er registreret, tildeles de en defaultværdi, der adskiller sig tydeligt fra alt andet. Ligeledes vil partiklen i situation 3, hvor den henfalder til en RH efter at være registreret i H1, tildeles defaultværdier af ROOT for de efterfølgende detektorer. En anden fejlkilde er udefrakommende partikler. Vores forsøgsopstilling (BRAHMS) er ikke isoleret fra omgivelserne på atomart plan. Således er der mulighed for, at en partikel flyver ind i 23 Fremover en RH 8

spektrometerarmen samtidigt med et partikelbeam fra et velegnet Au-Au-sammenstød. Imidlertid vil vi gerne frasortere disse partikler, da vi ikke kan henføre dem til vertex i hverken tid eller rum 24. magstatfs : Dette cut kræver, at en given partikel er registreret i forward FS (benævnt FS ; dvs D1, T1, D2,T2, H1). Dette burde minimere fejlen beskrevet i situation 2. magstatall : Dette cut kræver, at en given partikel er registreret i hele FS Dette burde minimere fejlen beskrevet i situation 2. trkvtxloose : Ved at benytte data fra Beam-Beam-counteren frasorteres partikler, der ikke stammer fra et område på 12 5 cm centreret fra Vertex. Herved udelukkes udefrakommende partikler. Figur 3: (p, 1/β)-graf og m 2 -histogram med SeImpuls, magstatfs(/all) og trkvtxloose SeImpuls = "abs(fs.fd2.fp)>>4&&abs(fs.fd2.fp)>>7"; magstatfs = "FS.fSwimD1==1&&FS.fD2.fStatus==1"; trkvtxloose = "abs(fs.fvtxx)<6&&abs(fs.fvtxy)<2.5"; Endeligt vil vi sikres os, at kun partikler, der - uagtet henfald - kan ramme H2, medregnes i H1. Dette er et nødvendigt cut, da H1 dækker en større vinkel fra Vertex end H2 - simpelthen fordi den er tættere på Vertex. Hvis vi udelod dette cut, ville det forekomme os, at der henfaldt langt flere partikler fra H1 til H2 (fordi en brøkdel aldrig ville ramme H2). 24 Se afsnit 3.2 9

Figur 4: Diagram over problematikken med H1 og H2s dækningsvinkel og effekten set på et histogram over antal partikler versus vinkel (1.aksen er radianer) cuth1h2 : Ved at projicere H2 s dækningsvinkel i x-retningen tilbage til D1, afgrænses et område på D1 ift. Vertex, indenfor hvilket alle partikler - uagtet henfald - vil ramme H2. Figur 5: (p, 1/β)-graf og m 2 -histogram med cuth1h2 cuth1h2 = "FS.fT2.FDirection.FX>-0.025&&FS.fT2.FDirection.FX<0.005&& FS.fT2.fOrigin.FX>-9&&FS.fT2.fOrigin.FX<17.5"; 5.4 Partikelsorteringscuts Vi påbegynder nu så småt partikelindentifikationen, idet vi i det følgende udtryk indsætter m 2 og p 2 for de forskellige partikler: 1 β = m 2 + p 2 p 2 (21) ( 1 Medregnes en bestemt usikkerhed, afgrænses et område på β )-grafen,, p hvori alle eksempelvis pioner vil befinde sig. Imidlertid er det svært at skelne pioner fra kaoner når vi nærmer os p 3 GeV c. Jævnfør afsnit 3.7 kan vi imidlertid udnytte Cherenkov-detektorerne til at frasortere alt andet end pioner med cuttet pionly. Endelig frasorteres alle partikler, der ikke opfylder en af de tre partikelligninger beskrevet ovenfor med cuttet pitcut. 10

Figur 6: (p, 1/β)-graf med og m 2 -histogram med pionly og pitcut pionly = "FS.fC1.fEnergy>1 abs(fs.fd2.fp)<3"; pitcut = "1/FS.fH1.fBeta>sqrt(0.02/(FS.fD2.fP*FS.fD2.fP)+1)+0.01&& 1/FS.fH1.fBeta<sqrt(0.02/(FS.fD2.fP*FS.fD2.fP)+1)-0.01"; Vi har desuden tilføjet de linier, hvor partiklerne ideelt burde være med den respektive impuls, samt de linier, der markere 1% afvigelse på impulsen. 6 Effektiviteten af detektorerne Vi har nu opremset og behandlet de værste fejlkilder. Vi mangler imidlertid at tage højde for effektiviteten af detektorerne. Vi definerer effektiviteten, η, som forholdet mellem antallet af protoner ved de to hodoskoper. Protonerne er velegnede til at bestemme effektiviteten, da de er stabile. Var vores spektrometer perfekt, ville alle protoner, der er registreret i H1 - med det geometriske cut i mente - også blive registreret i H2. Antallet af protoner bestemmes analogt med antallet af pioner. Vi bemærker, at effektiviteten er impulsafhængig - ved databehandlingen ses det, at effektiviteten falder drastisk i grænsetilfældene. Vi må formode, at det skyldes, at partikler med for høj impuls bliver afbøjet for lidt i magneterne og derfor flyver forbi H2. Omvendt med lavimpulspartiklerne, der bliver afbøjet for meget og tilsvarende ikke bliver registreret i H2. Vi vil finde pionens middellevetid og har tidligere fundet følgende ligning til det 25 : τ = m ( s ) (22) N p ln 2 N 1 Dette udtryk er imidlertid ikke korrigeret ift. detektorernes effektivitet. Vi kompenserer efter de gængse procentregneregler ved at dividere kvotienten med effektiviteten. Ved denne operation antager vi, at pioner og protoner registreres lige effektivt. Dette er imidlertid ikke urimeligt, for under antagelse af energibevarelse kan man af ligning 2 uddrage, at det eneste, der afgør størrelsen af en partikels afbøjning, er dens impuls 26. Således vil pioner med en given impuls afbøjes nøjagtigt lige så meget, som protoner med samme impuls. Det forhold, vi finder ud fra datasættene, skal divideres med den ovenover fundne effektivitet for at at få det ideele forhold. Herefter tager vi vores datasæt og deler det op i impulsintervaller, for hvilke vi finder det rigtige forhold mellem N2 og N1 ud for middelimpulserne i intervallerne. Derudover indsættes værdierne for konstanterne i ovenstående ligning, så vi får den korrigerede brøk som funktion af (middel)impulsen. Vi indfører således størrelsen N 2, som dækker over det korrigerede antal partikler, der passerer 25 Se afsnit 4.2 26 Selve retningen af afbøjningen er dog også afhængig af ladningen, men de partikler, vi arbejder med alle har ladningen 1 eller -1, har dette ingen indflydelse på størrelsen 11

gennem H2. Forholdet er altså, at: Vores udtryk for middellevetiden er altså: N 2 = N 2 /η (23) τ = m s m s ( ) = ln N2/η ln (a) N 1 (24) 7 Databehandling 7.1 Fremgangsmåde Vi kan benytte ROOT til at tælle arealet af histogrammerne op og derved få antallet af passerende partikler på henholdsvis H1 og H2. Vi kalder disse to størrelser før N1 og N2. Som vi har eftervist, er forholdet mellem disse to givet ved: N 2 ( = e s m τ 1 p = N 1 e s m τ Vi danner ny et nyt diagram, hvor vi hen af 1.-aksen har impulsen og op af 2.-aksen har N 2/N 1. Formålet med dette diagram er, at fitte de fremkomne punkter med en eksponentialfunktion givet ) 1 p (25) Figur 7: Forholdet mellem det korrigerede antal partikler på de to hodoskoper, N 2/N 1 ved følgende udtryk: Sat i relation til ligning 25, kan vi nu se, at: f (p) = N 2 N 1 = a 1 p (26) ) (e s m 1 p τ = a 1 p (27) 12

Vi isolerer middellevetiden i denne formel og får fra (24), at τ kan beregnes således: τ = s m ln a (28) Dette vil imidlertid ikke resultere i en værdi for τ målt i SI-enheder, men derimod i enheden m/c, hvor c er lysets hastighed. Vi bliver derfor nødt til at korrigere, således at vores endelige udtryk bliver: τ = s m ln a Vi har nu alt, hvad vi behøver for at beregne middellevetiden. 1 c (29) 7.2 Resultater Ved hjælp af vores forskellige formler har vi nu alle de værktøjer, vi skal bruge til at bestemme pionens middellevetid. Tabel 1: Oversigt over middellevetider i de forskellige datasæt Datasæt Middellevetid fdst5642 1.70 10 8 s fdst5641 1.83 10 8 s fdst5649 1.61 10 8 s fdst5650 1.77 10 8 s fdst5654 3.29 10 8 s fdst5656 2.80 10 8 s Samlet (chained) 3.05 10 8 s 8 Usikkerhedsvurdering 8.1 Overvejelser angående grundlaget for usikkerhedsberegning I dette afsnit vil vi forsøge at redegøre for vores usikkerhedsberegning og de forskellige faktorers indflydelse på resultaterne. Ved første øjenkast kan man se, at vi ved hjælp af vores usikkerheder, rammer tabelværdien for τ 27. Problemet med at komme med et endeligt udtryk for usikkerheden var, at der hele tiden opstod nye forhold og faktorer, der skulle tages højde for, efterhånden som vi søgte at eliminere dem fra beregningerne. Dette var særligt tydeligt, da vi forsøgte at finde usikkerheden på den korrigerede brøk, N 2/N 1 = N2 28 N 1 η. Som det fremgår af ligningen, er denne størrelse afhængig af η og antallet af registrerede partikler. Hvis vi vil regne på usikkerheden af denne størrelse, bliver vi nødt til at antage, at de er uafhængige af hinanden. Dette er imidlertid ikke tilfældet, men man kan tillade sig at antage dette, eftersom den eksperimentielle usikkerhed på η kan gøres vilkårligt lille, da forsøget kan gentages i det uendelige og man derfor kan præcisere værdien for η vilkårligt godt. Ydermere skal vi også kunne bestemme usikkerheden på antallet af registrerede partikler. Usikkerheden på disse størrelser er et udtryk for, hvor godt hele spektrometeret er i stand til at genkende og derved skelne mellem forkellige partikler. Genkendelseskvaliteten er afhængig af det, der hos BRAHMS kaldes tracking-effektiviteten, som vi ikke har grundlag for at estimere. Vi vælger derfor at beregne usikkerheden på middellevetiden ud fra fitkvaliteten og -usikkerhed på størrelsen a i formel 29 samt de opgivne usikkerheder på m og s. 27 Se afsnit 10 28 Fremover KB 13

8.2 Usikkerhed på de benyttede størrelser Vi beregner altså usikkerheden på middellevetiden ved at bruge ophobningsloven på de tre størrelser, m, s og a. Massen og afstanden mellem hodoskoperne er kendte på forhånd og kendt med stor præcision. Størrelse a er afhængig af vores fit af diagrammet 7. Usikkerheden på a får vi direkte fra ROOT og bliver således automatisk bestemt for hver eneste datasæt. 9 Usikkerhedsberegning Som udgangspunkt i vores usikkerhedsberegning benytter vi os af ophobningsloven. Ophobningsloven kan ses i sin generaliserede form i Appendix F. Vi påfører ophobningsloven på følgende udtryk for middellevetiden, τ. τ = m s ln (a) (30) I denne rapport ser vores version af ophobningsloven således ud: ( τ ) 2 ( ) 2 ( ) 2 τ τ σ τ = a σ a + s σ s + m σ m (31) For at kunne benytte os af denne relation skal vi kende til to ting. De partielt afledte i udtrykket og usikkerhederne på de indvolverede størrelser. De partielt afledte kan ses i Appendix G. For at kunne bruge ophobningsloven, kræves det, at de indgående størrelser er indbyrdes uafhængige. Umiddelbart er massen og impulsen jo afhængige af hinanden, men fordi vi bruger en tabelværdi for massen i dette forsøg, mens impulsen jo bestemmes eksperimentelt, omgås dette problem. Vi kender usikkerhederne på massen af pionen og også på afstanden, s 29. Deres tabelværdi og usikkerhed er: m = 139.57018 MeV/c 2 ±0.00035 MeV/c 2 s = 10.55 m ±0.01 m ROOT angiver usikkerheden på størrelsen a, så vi kan simpelt beregne vores usikkerhed. Tabel 2: Sammenfatning af resultater Datasæt Middellevetid Usikkerhed fdst5642 1.70 10 8 s ±1.18 10 8 fdst5641 1.83 10 8 s ±1.16 10 8 s fdst5649 1.61 10 8 s ±0.93 10 8 s fdst5650 1.77 10 8 s ±0.81 10 8 s fdst5654 3.29 10 8 s ±1.55 10 8 s fdst5656 2.80 10 8 s ±1.50 10 8 s Samlet (chained) 3.05 10 8 s ±1.21 10 8 10 Konklusion Slår man levetiden op 30 for π ±, kommer man frem til at: τ = 2.603 10 8 s ± 0.0005 10 8 s (32) 29 Oplyst af I. G. Bearden 30 Se European Physical Journal - Review of Particle Physics 14

Tabel 3: Sammenfatning af resultater Datasæt Middellevetid Usikkerhed Usikkerhed i procent fdst5642 1.70 10 8 s ±1.18 10 8 s 63% fdst5641 1.83 10 8 s ±1.16 10 8 s 53% fdst5649 1.61 10 8 s ±0.93 10 8 s 57% fdst5650 1.77 10 8 s ±0.81 10 8 s 46% fdst5654 3.29 10 8 s ±1.55 10 8 s 47% fdst5656 2.80 10 8 s ±1.50 10 8 s 53% Samlet (chained) 3.05 10 8 s ±1.21 10 8 39% I samtlige tilfælde kan det ses, at tabelværdien ligger inden for usikkerheden. Dette er i sig selv et succeskriterie, men samtidigt må vi erkende, at den procentuelle afvigelse er af en størrelsesorden, der betyder at ingen decideret brugbar værdi for pionens middellevetid kan uddrages. Vi bemærker dog, at pionens middellevetid maksimalt er af størrelsen 5 10 8 s. Konsulterer vi beregningen af usikkerheden vha. ophobningsloven, ser vi, at det ubetinget største bidrag til usikkerheden kommer fra fitusikkerheden. Endvidere ser vi, at fitusikkerheden på den sammenkædede dataserie er klart den bedste, hvilket anleder til overvejelser angående antallet af partiklers betydning for denne usikkerhed. Denne overvejelse underbygges af det faktum, at vi ofte havde problemer med for små dataserier. Da fitusikkerheden er en statistisk størrelse mindskes denne naturligt med forsøgets kvantitative værdi. Skulle forsøgets kvantitative værdi forbedres, er det værd at betragte antallet af lavimpulsprotoner i H2 i relation til 7. Vores datapunkter ligger i det område hvor grafen konvergerer, og således er funktionsanalytisk uinteressant - vi kunne principielt fitte en konstant linie gennem punkterne. Skulle fittet forbedres, er lavimpulsdata en nødvendighed - men samtidig en umulighed jf. figur 8. Figur 8: (p, 1/β) over partiklerne på H2 Problemmet med lavimpulsprotoner er, at de afbøjes for meget af dipolmagneterne 31 i BRAHMS, hvilket gør det umuligt at bestemme en effektivitet for H2 for de lavere impulser. Hvis vi skulle have opnået et bedre resultat ville vi først og fremmst have brug for mere tid til at lave en mere dybdegående usikkerhedsberegning, samt lære at bruge ROOT mere advanceret. 31 Jævnfør afsnit 3.5 15

I det hele taget er det synd, at vi kun har 28 normerede timer, da vi konstant har fundet nye aspekter i databehandlingen at tage højde for. Endvidere havde ingen af os kendskab til C++ i forvejen og alene at opnå et basalt kendskab til ROOT tager mere end 28 timer. Vi brugte således meget tid på at lære den basale syntaks samt hvordan man skulle læse og forstå manualen, der var for garvede brugere. Alt i alt har projektet dog forløbet godt og givet et stort indblik i problematikken og arbejdsgangen i moderne højenergifysik. Et absolut spændende projekt, der desværre lider meget på grund af tidsmangel. 11 Litteraturliste Vi har benyttet os af følgende bøger: European Physical Journal - Review of Particle Physics; Società Italiana de Fisica, Springer 2000 Understanding Physics; Michael Mansfield & Colm O Sullivan, Wiley 1998 Introduktion til den specielle relativitetsteori; Mogens Dam, Niels Bohr Instituttet 2004 Technics for Nuklear and Particle Physics Experiments; William R. Leo, Springer 1987 Og følgende hjemmesider har også været til stor hjælp: BRAHMS hjemmeside - www4.rcf.bnl.gov/brahms/www/ CERN s hjemmeside om ROOT - root.cern.ch/ RHIC s hjemmeside - www.bnl.gov/rhic/ Hitchhikers Guide to BRAT - brahms-web.brahms.bnl. brahmlib Desuden har vi søgt inspiration og forklaring i følgende tidligere førsteårsprojekter: K-mesonens middellevetid - F02 2810 K-mesonens levetid - F02 2828 16

12 Appendix 12.1 Appendix A Kvantiserende partikler En vigtig del af standardmodellen er teorien om, at de fire naturkræfter udbredes ved hjælp af såkaldte kvantiserende partikler. Sammenhængen mellem kraft og partikel er som følger: Tabel 4: Oversigt over naturkræfternes og deres kvantiserende partikel Kraft Partikel Gravitationskraft Graviton (ikke eftervist) Elektromagnetisk kraft Foton Stærk vekselvirkning Gluon Svag vekselvirkning W, W + og Z 0 Ud over disse partikler, skal Higgs-partiklen nævnes. Higgs-partiklen er en teoretisk forudsat partikel, som skal fuldende standardmodellen. Higgs-partiklen styrer ingen naturkræfter, men ikke desto mindre spiller den en vigtig rolle, da dens eksistens kræves for at diverse bevarelsessætninger skal gælde i forskellige kollisioner og reaktioner. I Cern i Schweiz/Frankrig vil mange forskellige lande udføre en række eksperimenter så snart den nye acceleratorring er opperationel i håb om at finde Higgspartiklen. 17

12.2 Appendix B Kvarker og leptoner Sammen udgør kvarker og leptoner de 12 fundamentale elementer i alt stof. Tabel 5: Oversigt over kvarker og leptoner Generation 1 2 3 Positivt ladet kvark u c t Negativt ladet kvark d s b Ladet lepton e µ τ Neutrino ν e ν µ ν τ Neutrinoerne er formodet masseløse, det har i hvert fald indtil videre ikke været muligt at eftervise en egentlig masse. 18

12.3 Appendix C Kvarker Som det burde fremgå nedenfor har er de enkelte kvarker langtfra ens på nogle punkter, altimens de på nogle punkter ligner hinanden. Tabel 6: Oversigt over kvarker, deres masse og deres ladninger Kvark Masse Ladning / e Up 4 MeV/c 2 + 2/3 Down 7 MeV/c 2-1/3 Charm 1500 MeV/c 2 + 2/3 Strange 150 MeV/c 2-1/3 Top 170000 MeV/c 2 + 2/3 Bottom 4700 MeV/c 2-1/3 Enheden e dækker over elementarladningen, hvilket svarer til 1, 602 10 19 C. 19

12.4 Appendix D Lorentzkraften Ifølge den verdensberømte fysiker, Henrik Antoon Lorentz (1853 1928), påvirkes en ladet partikel i et elektrisk felt, et magnetisk felt eller en kombination af begge af en kraft, der henholdsvis påvirkede i samme retning som det elektriske felt og en, der står vinkelret på partiklens bane og på magnetfeltet. Denne kraft afhang desuden også af partiklens ladnings fortegn og størrelse. Kraften på partiklen kan derfor beregnes således: F = q (E + v B) (33) Under antagelse af, at vores pioner ikke er påvirket af andre kræfter end denne (vi antager også energi- og impulsbevarelse, så dette er et naturligt skridt at tage), vil den resulterende kraft stå vinkelret på bevægelsesretning, hvilket vil resultere i en jævn cirkelbevægelse. Det er netop denne cirkelbevægelse i dipolmagneterne, vi benytter til at identificere partiklerne. 20

12.5 Appendix E Lorentztransformationen Udgangspunktet i Lorentztransformationen er, at ingen hastigheder kan overstige lysets, c. Enhver partikel, der nærmer sig lysets hastighed, set fra en observators hvilesystem, vil blive udsat for Lorentztransformationen, således, at hastigheden vil virke mindre, set fra observatoren. Essentiel for Lorentztransformationen er Lorentzfaktoren, der er defineret således: 1 γ = 1 ( ) (34) v 2 c Årsagen til, at vi ikke kan regne på situationen ganske klassisk (det vil sige ved brug af Gallileitransformationen), er, at pionerne og de andre partikler opnår hastigheder, saa tæt på lysets, at de, set fra laboratoriesystemet, vil blive udsat for Lorentztidsforlængelse. Der vil derfor være forskel på den tid, vi mener, en pion lever i, og den tid, pionen mener, at den lever i. Lorentztidsforlængelsen ser således ud: t 0 t = γt 0 = 1 ( ) (35) v 2 c Vores pioner ligger lige omkring lysets hastighed, hvilket vil betyde, at deres Lorentzfaktor, γ antager forholdsvis høje værdier, hvilket betyder, at pionerne er udsat for en betydelig tidsforlængelse. 21

12.6 Appendix F Ophobningsloven Hvis et udtryk er givet ved: c = a 1 a 2... a n (36) kan usikkerheden beregnes således: ( a1 ) 2 ( σ c = c σ a2 a + c σ a 2 ) 2 ( ) 2 an +... + c σ a n (37) 22

12.7 Appendix G Partielt afledte For at kunne benytte ophobningsloven skal vi kende de partielt afledte af et udtryk. I udtrykket i denne opgave er: τ = m s ln a (38) Og de partielt afledte bliver derfor til: τ a = m s ln (a) 2 a (39) τ a = m ln a (40) τ m = s ln a (41) 23